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Sprache in der Mathematik

Terme in Sprachform

1 Formuliere zu den gegebenen Termen passende Texte. Text Term a) 2 + d b) q : 3 c) f ∙ 6 d) 2 ∙ (y − 1) e) h : 3 ∙ 2 f)

(n + 1) ∙ (n −1)

2 Formuliere zu den gegebenen Texten passende Terme. Text Term a) Das Achtfache von p. b) Der Vorgänger von a. c) Das Doppelte vom Nachfolger von x. d) Die Hälfte von b. e) Das Dreifache von c vermindert um 4. f) Der sechste Teil von r vermehrt um 2. 3 Löse das Rätselgedicht. As I was going to St Ives

I met a man with seven wives And every wife had seven sacks And every sack had seven cats And every cat had seven kits Kits, cats, sacks, wives How many were going to St Ives?

Alter englischer Kinderreim um 1730

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Sprache in der Mathematik

Terme in Sprachform

1 Formuliere zu den gegebenen Termen passende Texte. Text Term a) z.B.: d vermehrt um 2. 2 + d b) z.B.: Der dritte Teil von q. q : 3 c) z.B.: Das Sechsfache von f. f ∙ 6 d) z.B.: Das Doppelte vom Vorgänger von y. 2 ∙ (y − 1) e) z.B.: Das Doppelte vom dritten Teil von h. h : 3 ∙ 2 f) z.B.: Der Vorgänger von n multipliziert mit dem Nachfolger von n. (n + 1) ∙ (n −1) 2 Formuliere zu den gegebenen Texten passende Terme. Text Term a) Das Achtfache von p. p∙8 b) Der Vorgänger von a. a – 1 c) Das Doppelte vom Nachfolger von x. 2∙(x + 1) d) Die Hälfte von b. b : 2 e) Das Dreifache von c vermindert um 4. c∙3 − 4 f) Der sechste Teil von r vermehrt um 2. r : 6 + 2 3 Löse das Rätselgedicht. As I was going to St Ives

I met a man with seven wives And every wife had seven sacks And every sack had seven cats And every cat had seven kits Kits, cats, sacks, wives How many were going to St Ives?

Alter englischer Kinderreim um 1730 Einer (er selbst)




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Termstrukturen untersuchen

Terme und Beschreibungen

1 Frau Knobel liebt es, über ihre Familie in Rätseln zu sprechen. a) Übersetze ihre Aussagen in Terme. Trage diese in die Tabelle ein:

- Mein Mann ist 6 Jahre älter als ich. - Meine Mutter ist doppelt so alt wie ich. - Meine Tochter ist halb so alt wie ich. - Mein Sohn ist 26 Jahre jünger als ich. - Das Alter meines Hundes ist nur ein Zehntel meines Alters. - Wenn ich mein Alter verdoppele und 5 addiere, so erhalte ich das Alter meines Vaters.

Person Mann Mutter Tochter Sohn Hund Vater Alter b) Wie alt könnte Frau Knobel sein?

Wie alt wären dann die einzelnen Familienmitglieder? 2 Schreibe als Term mit einer Variablen. Welche Zahlen kann man für die Variable einsetzen? a) Eine Zahl vermehrt um 10. Term: mögliche Variablen: b) Der Vorgänger einer natürlichen Zahl. Term: mögliche Variablen: c) Das Vierfache einer rationalen Zahl. Term: mögliche Variablen: d) Das Dreifache einer Zahl vermindert um 4. Term: mögliche Variablen: e) Eine durch 2 teilbare, ganze Zahl vermehrt um 3. Term: mögliche Variablen:

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Termstrukturen untersuchen

Terme und Beschreibungen

1 Frau Knobel liebt es, über ihre Familie in Rätseln zu sprechen. a) Übersetze ihre Aussagen in Terme. Trage diese in die Tabelle ein:

- Mein Mann ist 6 Jahre älter als ich. - Meine Mutter ist doppelt so alt wie ich. - Meine Tochter ist halb so alt wie ich. - Mein Sohn ist 26 Jahre jünger als ich. - Das Alter meines Hundes ist nur ein Zehntel meines Alters. - Wenn ich mein Alter verdoppele und 5 addiere, so erhalte ich das Alter meines Vaters.

Person Mann Mutter Tochter Sohn Hund Vater Alter x + 6 2x x : 2 x − 26 x : 10 2x + 5 b) Wie alt könnte Frau Knobel sein?

Wie alt wären dann die einzelnen Familienmitglieder? zum Beispiel: Frau Knobel ist 40 Jahre alt. Dann ist ihr Mann 46, die Mutter 80, die Tochter 20, der Sohn 14 der Hund 4 und der Vater 85 Jahre alt. 2 Schreibe als Term mit einer Variablen. Welche Variable kann man für die Variable einsetzen? a) Eine Zahl vermehrt um 10. Term: x + 10 mögliche Variablen: b) Der Vorgänger einer natürlichen Zahl. Term: x − 1 mögliche Variablen: c) Das Vierfache einer rationalen Zahl. Term: 4x mögliche Variablen: d) Das Dreifache einer Zahl vermindert um 4. Term: 3x − 4 mögliche Variablen: e) Eine durch 2 teilbare, ganze Zahl vermehrt um 3. Term: x + 3 mögliche Variablen: ; durch 2 teilbar

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Terme vereinfachen

Terme zusammenfassen

1 Markiere alle Terme die zu dem Term 2 x − 3 y gleichwertig sind.

2 y + x − 6 y + x −5 x − x + 2 y + 3 x 2 ∙ 3 x + y − 4 x − 4 y

x − 4 y + 2 y − x + 2 x x − y + x − 2 y x + 3 x − 3 y − 2x − y + x − y + x − y 2 ∙ 4 y − 2 x + 3 ∙ 2 x − 6 y y − x + 2 y + 3 x

y + 2 x − 4 y y − 3 x + x − 4 y + 4 x x + 2 x − y − 2 y − x

2 Fasse die Terme zusammen. a) a + b + b + a + a + b + b + a =

b) m + k + k + m − k − m + k =

c) r + s + t + r + s + t + r − s − s =

d) a + b + c − a − b − c − b + a =

e) x + y − 2 x + y − 5 y − x + 8 =

f) 27 a + 12 b + 10,9 a − 4,5 b =

g) 225 i − 5 h + 7 − 19 i − 55 h =

3 Gib für den Umfang der Figuren einen Term an.

Fasse diesen so weit wie möglich zusammen. a)

b)

c)

d)

e)

f)

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Äquivalenzumformungen

Lösen von Gleichungen

1 Gib die dargestellte Gleichung und die möglichen Lösungsschritte an.

2 Löse die Gleichungen. a) 2,8 = (3,6 x − 4,8 x2) : 6 x b) 3,5 (3 a − 8) = (8 a + 7) : 4

3 Schreibe als Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

a) Das Dreifache der Summe einer Zahl und 19 ist gleich 72.

b) Der fünfte Teil der Differenz von 110 und einer Zahl ist gleich dem Doppelten der Zahl.

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Lösen von Gleichungen

1 Gib die dargestellte Gleichung und die möglichen Lösungsschritte an.

2x + 6 = 4x

6 = 2x

3 = x

2 Löse die Gleichungen. a) 2,8 = (3,6 x − 4,8 x2) : 6 x b) 3,5 (3 a − 8) = (8 a + 7) : 4

2,8 = 0,6 − 0,8x 10,5a − 28 = 2a + 1,75

2,2 = −0,8x 8,5a = 29,75

x = −2,75 a = 3,5

3 Schreibe als Gleichung und gib die Lösungsmenge an.

a) Das Dreifache der Summe einer Zahl und 19 ist gleich 72. 3(x + 19) = 72

3x + 57 = 72

3x = 15

x = 5

L = {5}

b) Der fünfte Teil der Differenz von 110 und einer Zahl ist gleich dem Doppelten der Zahl. (110 − x) : 5 = 2x

110 − x = 10x

110 = 11x

10 = x

L = {10}




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Waagen und Gleichungen

Zeichne zu jeder Gleichung eine passende Waage. Wie kannst du die Lösung ermitteln? Zeichne eine Bildfolge und schreibe zu jedem Bild die passende Gleichung.

a) 2 x = 4

b) 8 = 3 x + 2

c) 6 x = 2 x + 8 d)

3 x + 2 = x + 4

e) 5 x = 2 x + 6 f)

4 x +1 = 2 x + 5

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Waagen und Gleichungen

Zeichne zu jeder Gleichung eine passende Waage. Wie kannst du die Lösung ermitteln? Zeichne eine Bildfolge und schreibe zu jedem Bild die passende Gleichung.

a)

2 x = 4

b)

8 = 3 x + 2

x = 2

6 = 3x

2 = x

c)

6 x = 2 x + 8

d)

3 x + 2 = x + 4

4x = 8 2x + 2 = 4

x = 2

2x = 2

x = 1

e)

5 x = 2 x + 6

f)

4 x +1 = 2 x + 5

3x = 6

2x + 1 = 5

x = 2

2x = 4

x = 2




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Ungleichungen durch Umformen lösen

Ungleichungen lösen

1 Zeichne die Lösungsmengen der Ungleichungen in die Zahlengerade ein. a) 2x + 1 < 1,8 b) −2x − 2 ≤ −1 c) 5x + 10 ≥ 5 d) 2 − x > 3,5

2 Gib jeweils die Lösungsmenge der Ungleichungen an und führe eine Probe durch. Setze dazu ein

Beispiel aus der Lösungsmenge in die Ungleichung ein. a) y − 0,5 > (−y + 0,2) : 2 b) 3(−4 x − 7) ≤ −9 x Stichprobe: Stichprobe: 3 Stelle die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen an der Zahlengeraden dar. a) −0,2 (25 + 12,5 a) < 2,5 b) 6 − (−2 x + 13) ≤ −7,4 + 4 x c) (6,8 y − 5,2) : 2 > − 4,3 d) 2 (b + 2,5) ≥ (3,5 b + 6,1) : (−5)

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Mit Gleichungen modellieren

Geld aufteilen

1 Unter vier Personen werden 860 € so verteilt, dass ausgehend von der ersten Person nacheinander die folgende Person 20 € mehr bekommt, als die vorige. Welche Eurobeträge werden unter den vier Personen verteilt? Löse die Aufgabe durch Aufstellen einer Gleichung.

Die erste Person erhält _____ Euro, die zweite _____ Euro, die dritte _____ Euro, die vierte _____ Euro. 2 Die Gruppe erhält nun 100 € mehr, der Aufteilungsmodus soll beibehalten werden. Wie viel erhält nun jeder? Musst du eine neue Gleichung aufstellen?

Die erste Person erhält _____ Euro, die zweite _____ Euro, die dritte _____ Euro, die vierte _____ Euro. 3 Die 960 Euro werden nun unter nur 3 Personen verteilt, weiterhin soll nacheinander die folgende Person 20 Euro mehr bekommen als die vorige. Wie viel erhält nun jeder? Wie musst du die Gleichung verändern?

Die erste Person erhält _____ Euro, die zweite _____ Euro, die dritte _____ Euro.

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Mit Gleichungen modellieren

Geld aufteilen

1 Unter vier Personen werden 860 € so verteilt, dass ausgehend von der ersten Person nacheinander die folgende Person 20 € mehr bekommt, als die vorige. Welche Eurobeträge werden unter den vier Personen verteilt? Löse die Aufgabe durch Aufstellen einer Gleichung. x sei Betrag der ersten Person

x + (x + 20) + (x + 40) + (x + 60) = 860 4x + 120 = 860 4x = 740 x = 185

Die erste Person erhält 185 Euro, die zweite 205 Euro, die dritte 225 Euro, die vierte 245 Euro. 2 Die Gruppe erhält nun 100 € mehr, der Aufteilungsmodus soll beibehalten werden. Wie viel erhält nun jeder? Musst du eine neue Gleichung aufstellen? Man kann den Term auf der linken Seite der Gleichung übernehmen

x + (x + 20) + (x + 40) + (x + 60) = 960 4x + 120 = 960 4x = 840 x = 210

Die erste Person erhält 210 Euro, die zweite 230 Euro, die dritte 250 Euro, die vierte 270 Euro. 3 Die 960 Euro werden nun unter nur 3 Personen verteilt, weiterhin soll nacheinander die folgende Person 20 Euro mehr bekommen als die vorige. Wie viel erhält nun jeder? Wie musst du die Gleichung verändern? Im Term auf der linken Seite der Gleichung muss die letzte Klammer entfernt werden.

x + (x + 20) + (x + 40) = 960 3x + 60 = 960 3x = 900 x = 300

Die erste Person erhält 300 Euro, die zweite 320 Euro, die dritte 340 Euro.



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Baumdiagramme

Bilder aufhängen

Drei Bilder sollen nebeneinander aufgehängt werden.

a) Skizziere alle Möglichkeiten, wie die Bilder hängen können.

b) Wie viele Möglichkeiten sind es also?

c) Zeichne nun ein Baumdiagramm und bestätige deine Antwort aus b).

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Baumdiagramme

Bilder aufhängen

Drei Bilder sollen nebeneinander aufgehängt werden.

a) Skizziere alle Möglichkeiten, wie die Bilder hängen können.

b) Wie viele Möglichkeiten sind es also?

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c) Zeichne nun ein Baumdiagramm und bestätige deine Antwort aus b).

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Wahrscheinlichkeiten bei Baumdiagrammen

Turnstunde

1 Herr Kork überprüft im Sportunterricht, ob alle Schülerinnen und Schüler Turnschuhe und Wechselkleidung mitgebracht haben. Aus Erfahrung weiß er, dass Turnschuhe von 9 % und Wechselkleidung von 14 % der Schülerinnen und Schüler vergessen wird.

a) Zeichne ein zweistufiges Baumdiagramm und notiere an den Pfaden die Wahrscheinlichkeiten. Bezeichne „mitgebracht“ mit + und „vergessen“ mit -.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, dass sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung

vergessen wurden. Mit einer Wahrscheinlichkeit von % werden sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung vergessen.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, dass sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung mitgebracht wurden.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von % werden sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung mitgebracht.

e) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass nur die Wechselkleidung mitgebracht wurde. Mit einer Wahrscheinlichkeit von % wurde nur die Wechselkleidung mitgebracht.

d) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass entweder Turnschuhe oder Wechselkleidung mitgebracht wurden.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von % werden entweder nur Turnschuhe oder nur Wechselkleidung mitgebracht.

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Turnstunde

1 Herr Kork überprüft im Sportunterricht, ob alle Schülerinnen und Schüler Turnschuhe und Wechselkleidung mitgebracht haben. Aus Erfahrung weiß er, dass Turnschuhe von 9 % und Wechselkleidung von 14 % der Schülerinnen und Schüler vergessen wird.

a) Zeichne ein zweistufiges Baumdiagramm und notiere an den Pfaden die Wahrscheinlichkeiten. Bezeichne „mitgebracht“ mit + und „vergessen“ mit -.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, dass sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung vergessen wurden.

P = 0,09 ⋅ 0,14 = 0,0126 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,26 % werden sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung vergessen.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, dass sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung mitgebracht wurden.

P = 0,91 ⋅ 0,86 = 0,7826 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 78,26 % werden sowohl Turnschuhe als auch Wechselkleidung mitgebracht.

e) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass nur die Wechselkleidung mitgebracht wurde.

P = 0,86 ⋅ 0,09 = 0,0774 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 7,74 % wurde nur die Wechselkleidung mitgebracht.

d) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass entweder nur Turnschuhe oder nur Wechselkleidung mitgebracht wurden.

P = 0,09 ⋅ 0,86 + 0,91 ⋅ 0,14 = 0,2048 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20,48 % werden entweder Turnschuhe oder Wechselkleidung mitgebracht.



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Sockenprobleme lösen

Angenommen, in einer Schublade liegen vier braune, acht grüne und sechs blaue Socken durcheinander und es sollen daraus ohne hinzuschauen nacheinander zwei Socken genommen werden. Erstelle ein zugehöriges Baumdiagramm und beantworte damit die folgenden Fragen.

1 Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man unabhängig von der Farbe zwei zusammenpassende

Socken?

2 Die grünen und die blauen Socken unterscheiden sich nicht so stark in der Farbe voneinander, sodass

es kaum auffällt, wenn sie getragen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, blaue oder grüne Socken zu erwischen, auch gemischt, was kaum auffällt?

3 Wie gut sind die Chancen, bei dreimaligem Ziehen zwei braune Socken zu erwischen?

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Sockenprobleme lösen

Angenommen, in einer Schublade liegen vier braune, acht grüne und sechs blaue Socken durcheinander und es sollen daraus ohne hinzuschauen nacheinander zwei Socken genommen werden. Erstelle ein zugehöriges Baumdiagramm und beantworte damit die folgenden Fragen.

1 Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man unabhängig von der Farbe zwei zusammenpassende

Socken?

512 + 153

28 + 515 = 153

49 ≈ 32,0 %; Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 32 %.

2 Die grünen und die blauen Socken unterscheiden sich nicht so stark in der Farbe voneinander, sodass

es kaum auffällt, wenn sie getragen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, blaue oder grüne Socken zu erwischen, auch gemischt, was kaum auffällt?

15328 + 51

8 + 518 + 51

5 = 15391 ≈ 59,5 %; Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 59 %.

3 Wie gut sind die Chancen, bei dreimaligem Ziehen zwei braune Socken zu erwischen?

512 + 2∙ 16

3 ∙( 15316 + 51

4 )= 10211 ≈ 10,8 %

Mit ca. 11 % Wahrscheinlichkeit stehen die Chancen dafür nicht gut.




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Zufall und Wahrscheinlichkeit

Zahlenlotto

1 Zwei von vier Zahlen sollen nacheinander verdeckt aus einem Gefäß gezogen werden („2 aus 4“).

Wichtig: Die gezogene Zahl wird nicht mehr in das Gefäß zurückgelegt. a) Vervollständige das Baumdiagramm zu „2 aus 4“.

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Zahlen zu ziehen?

c) Zusatz: Suche aus 1, 2, 3 und 4 zwei Zahlen aus und ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

diese Kombination vorkommt.

2 Zwei von sechs Zahlen sollen

nacheinander verdeckt aus einem Gefäß gezogen werden.

Wichtig: Die gezogene Zahl wird nicht mehr in das Gefäß zurückgelegt. a) Zeichne zu „2 aus 6“ ein Baumdiagramm.

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die zwei Zahlen zu ziehen?

c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2 und 5 gezogen werden.

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Zufall und Wahrscheinlichkeit

Zahlenlotto

1 Zwei von vier Zahlen sollen nacheinander verdeckt aus einem Gefäß gezogen werden („2 aus 4“).

Wichtig: Die gezogene Zahl wird nicht mehr in das Gefäß zurückgelegt. a) Vervollständige das Baumdiagramm zu „2 aus 4“.

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Zahlen zu ziehen?

Mit Beachtung der Reihenfolge beim Ziehen: 4∙3 = 12 Möglichkeiten.

Ohne Beachtung der Reihenfolge beim Ziehen: 12 : 2 = 6 Möglichkeiten. c) Zusatz: Suche aus 1, 2, 3 und 4 zwei Zahlen aus und ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau

diese Kombination vorkommt.

Beispiel: P {(1; 3), (3; 1) } =1

6 ≈ 0,167 (2 von 12 Möglichkeiten; 2∙1

4⋅ 13= 1

6).

2 Zwei von sechs Zahlen sollen

nacheinander verdeckt aus einem Gefäß gezogen werden.

Wichtig: Die gezogene Zahl wird nicht mehr in das Gefäß zurückgelegt. a) Zeichne zu „2 aus 6“ ein Baumdiagramm.

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die zwei Zahlen zu ziehen?

Mit Beachtung der Reihenfolge beim Ziehen: 6∙5 = 30 Möglichkeiten.

Ohne Beachtung der Reihenfolge beim Ziehen: 30 : 2 = 15 Möglichkeiten. c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2 und 5 gezogen werden.

P {(2; 5), (5; 2) } = 115 ≈ 0,067 (2 von 30 Möglichkeiten; 2∙16

⋅ 15= 1

15).



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Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

Ereignis und Gegenereignis

Betrachte die Dominosteine unten. Wenn man einen Stein verdeckt zieht, mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er 1 keine 1?

2 nicht zwei gleiche Punktzahlen auf den beiden Feldern?

3 eine Augensumme ungleich 3?

Betrachte jeweils zuerst das Gegenereignis.

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Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

Ereignis und Gegenereignis

Betrachte die Dominosteine unten. Wenn man einen Stein verdeckt zieht, mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er 1 keine 1? Gegenereignis: Stein enthält eine 1. P(G�) = 3

12= 1

4; P(G) = 3

4;

2 nicht zwei gleiche Punktzahlen auf den beiden Feldern? Gegenereignis: Stein hat gleiche Punktzahlen. P(G�) = 5

12; P(G) = 7

12;

3 eine Augensumme ungleich 3? Gegenereignis: Augensumme 3. P(G�) = 1

12; P(G) = 11

12;

Betrachte jeweils zuerst das Gegenereignis.




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ahrscheinlichkeitsrechnung Geeignete Zufallsgeräte finden 1 Aus zwei Gefäßen wird nacheinander jeweils eine Kugel gezogen.

Das Baumdiagramm stellt das Ziehen der Kugeln dar. Zeichne in die beiden Gefäße passende Anzahlen an Kugeln.

a� Mit welcher ahrscheinlichkeit werden zwei rote Kugeln gezogen? b� Mit welcher ahrscheinlichkeit werden eine rote und eine blaue Kugel gezogen? c� Mit welcher ahrscheinlichkeit wird mindestens eine rote Kugel gezogen? 2 Zwei verschiedene Glücksräder werden nacheinander jeweils einmal gedreht.

Das Baumdiagramm stellt das Drehen der beiden Glücksräder dar. Unterteile die beiden Glücksräder passend.

a� Mit welcher ahrscheinlichkeit stoppt der Zeiger bei beiden Rädern auf grün? b� Mit welcher ahrscheinlichkeit stoppt der Zeiger höchstens einmal auf rot? c� Mit welcher ahrscheinlichkeit stoppt der Zeiger mindestens einmal auf grün?

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ahrscheinlichkeitsrechnung Geeignete Zufallsgeräte finden 1 Aus zwei Gefäßen wird nacheinander jeweils eine Kugel gezogen.

Das Baumdiagramm stellt das Ziehen der Kugeln dar. Zeichne in die beiden Gefäße passende Anzahlen an Kugeln.

a� Mit welcher ahrscheinlichkeit werden zwei rote Kugeln gezogen? P = 0,2 ⋅ 0,65 = 0,13 b� Mit welcher ahrscheinlichkeit werden eine rote und eine blaue Kugel gezogen? P = 0,2 ⋅ 0,35 + 0,8 ⋅ 0,65 = 0,59 c� Mit welcher ahrscheinlichkeit wird mindestens eine rote Kugel gezogen? P = 1 − 0,8 ⋅ 0,35 = 0,72 2 Zwei verschiedene Glücksräder werden nacheinander jeweils einmal gedreht.

Das Baumdiagramm stellt das Drehen der beiden Glücksräder dar. Unterteile die beiden Glücksräder passend. �Die Unterteilungen sind beispielhaft.�

a� Mit welcher ahrscheinlichkeit stoppt der Zeiger bei beiden Rädern auf grün? P = 0,625 ⋅ 0,55 = 0,34375 b� Mit welcher ahrscheinlichkeit stoppt der Zeiger höchstens einmal auf rot? P = 1 − 0,375 ⋅ 0,45 = 0,83125 c� Mit welcher ahrscheinlichkeit stoppt der Zeiger mindestens einmal auf grün? P = 1 − 0,375 ⋅ 0,45 = 0,83125

20 %

65 % 65 % 35 %

0,55 0,55 0,45

0,625

z.B. 1 rote, 5 blaue Kugeln

z.B. 13 rote, 7 blaue Kugeln



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Terme mit mehreren Variablen aufstellen

Terme für Umfang und Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

1 Gesucht sind Terme für Umfang und Flächeninhalt dieser Figuren. Es gilt b = 2a.

①

②

a) Mit welchem dieser Terme kann man den Flächeninhalt (den Umfang) von Figur 1 berechnen? 4a2 + ac 6a + 3b + c 8a + 2b + 2c ab + ac + 3a2 8a + 4b + 4c 5a2 + ac

b) Gib für Figur 2 jeweils einen Term an, mit dem man den Umfang und den Flächeninhalt berechnen

kann. Vergleiche die Terme mit deinem Nachbarn.

c) Setze in die Terme für Figur 2 für die Variablen a, b und c feste Werte ein: a = 2, b = 4 und c = 1.

Vergleiche das Ergebnis wieder mit deinem Nachbarn. Was stellt ihr fest?

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Terme mit mehreren Variablen aufstellen

Terme für Umfang und Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

1 Gesucht sind Terme für Umfang und Flächeninhalt dieser Figuren. Es gilt b = 2a.

(1)

(2)

a) Mit welchem dieser Terme kann man den Flächeninhalt (den Umfang) von Figur 1 berechnen? 4a2 + ac 6a + 3b + c 8a + 2b + 2c ab + ac + 3a2 8a + 4b + 4c 5a2 + ac

Flächeninhalt: A = 5a2 + ac; ab + ac + 3a2; Umfang: U = 8a + 2b + 2c b) Gib für Figur 2 jeweils einen Term an, mit dem man den Umfang und den Flächeninhalt berechnen

kann. Vergleiche die Terme mit deinem Nachbarn.

individuelle Lösung, z.B. Flächeninhalt A = 4a2 + ac und

Umfang U = 8a + 2b + 2c (gleicher Umfang wie bei Figur 1)

Die Terme können unterschiedlich sein.

c) Setze in die Terme für Figur 2 für die Variablen a, b und c feste Werte ein: a = 2, b = 4 und c = 1.

Vergleiche das Ergebnis wieder mit deinem Nachbarn. Was stellt ihr fest?

Ergebnis: A = 18; U = 26

Auch unterschiedliche Terme führen immer zu dem gleichen Ergebnis.




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Terme vereinfachen – Addieren und Subtrahieren

Vereinfachen und zusammenfassen

1 Fasse die Terme so weit es wie möglich zusammen.

a) 5 a − 3 + a + 14 − 6 a =

b) 4 c + 1,2 d − 24 − 7 c =

c) a b + 4 a + 2 a b − 8 a =

d) 7,2 r + 2 s − 9 + 6 r − 7 s =

e) 6,4 x2 − 2 y2 + x + 8 x2 =

f) x + 12 y + 3 + 1,4 x + y =

2 Gib jeweils einen Term für den Umfang der Figur an.

Vereinfache den Term soweit wie möglich.

a)

b)

c)

d)

3 Löse die Klammern auf und fasse die Terme zusammen.

a) a + 25 b − (4 a + 4 b) =

b) 5 + 4 a − (b − 3 − a) =

c) 3 − (a + 7) + 5 a − 5 =

d) 9 (a + b + 7,5) =

e) x + 6 (y + 3 x) + 1,8 y =

f) 2,5 (12 + 34 x − 4 x) =

4 Setze in dem Term 3 x − 8 − 2 x − 14 − 11 Klammern, so dass als Ergebnis x − 5 entsteht.

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Terme vereinfachen – Addieren und Subtrahieren

Vereinfachen und zusammenfassen

1 Fasse die Terme so weit es wie möglich zusammen.

a) 5 a − 3 + a + 14 − 6 a = 11

b) 4 c + 1,2 d − 24 − 7 c = −3c + 1,2d − 24

c) a b + 4 a + 2 a b − 8 a = 3ab − 4a

d) 7,2 r + 2 s − 9 + 6 r − 7 s = 13,2r − 5s − 9

e) 6,4 x2 − 2 y2 + x + 8 x2 = 14,4x² + x − 2y²

f) x + 12 y + 3 + 1,4 x + y = 2,4x + 13y + 3

2 Gib jeweils einen Term für den Umfang der Figur an.

Vereinfache den Term soweit wie möglich.

a) u = 2x + y

b) u = 5x + 2,5

c) u = 5x + 2y

d) u = 12x


a) a + 25 b − (4 a + 4 b) = −3a + 21b

b) 5 + 4 a − (b − 3 − a) = 8 + 5a − b

c) 3 − (a + 7) + 5 a − 5 = −9 + 4a

d) 9 (a + b + 7,5) = 9a + 9b + 67,5

e) x + 6 (y + 3 x) + 1,8 y = 19x + 7,8y

f) 2,5 (12 + 34 x − 4 x) = 30 + 75x 4 Setze in dem Term 3 x − 8 − 2 x − 14 − 11 Klammern, so dass als Ergebnis x − 5 entsteht.

3 x − 8 − (2 x − 14) − 11 = 3 x − 8 − 2 x + 14 − 11 = x – 5



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Terme vereinfachen

Multiplizieren und vereinfachen

1 Vereinfache die Terme. a) 2 − x ∙ 4 x + 3 =

b) 2 a ∙ 5 a − 4 a2 =

c) 2 m + n + 6 m ∙ 5 =

d) 2 s ∙ 8 t ∙ s ∙ 3 t + 4 =

e) (−12) ∙ x + x ∙ 3 + y =

f) r2 − 2 ∙ a − r ∙ r + 5 + a =

g) 3 ∙ b ∙ b − 5 ∙ a + 6 ∙ a − 3 ∙ a =

2 Vervollständige die

Multiplikationstabelle. Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

∙ 1,5 −3 x 0,5 y −12 x y

−4 x

2,4 x

−7 y

13,5 y


Divisionstabelle. Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

: 4 −12 0,4 −1,5

12 x

−15 x

60 y

−48,6 y

4 Verbinde gleichwertige Terme miteinander. a) 4 x : 2 + 3 −3 x b) 2 + 0,5 a ∙ 6 −7 −6 a2

x ∙ (−5) + 2 x 10 x − 5 −4 a : 8 + 5 3 a − 5

3 + 2 x − 2 + x 2 x + 3 −0,25 a ∙ 8 a ∙ 3 4 − 3 a

3 − 6 x : (−2) 3 x + 1 −13 a : 2 + 5 a −1,5 a

2 x ∙ 5 − 5 5 + 5 x 6 − a ∙ a −0,5 a + 5

2 x ∙ 3 + 5 − x 3 x + 3 −3 a + 16 : 4 6 − a2

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Terme vereinfachen

Multiplizieren und vereinfachen

1 Vereinfache die Terme. a) 2 − x ∙ 4 x + 3 = 5 − 4x2

b) 2 a ∙ 5 a − 4 a2 = 6a2

c) 2 m + n + 6 m ∙ 5 = 8m + n

d) 2 s ∙ 8 t ∙ s ∙ 3 t + 4 = 48s2t + 4

e) (−12) ∙ x + x ∙ 3 + y = −9x + y

f) r2 − 2 ∙ a − r ∙ r + 5 + a = −a + 5

g) 3 ∙ b ∙ b − 5 ∙ a + 6 ∙ a − 3 ∙ a = 3b2 − 2a


Multiplikationstabelle. Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

∙ 1,5 −3 x 0,5 y −12 x y

−4 x −6x 12x2 −2xy 48x2y

2,4 x 3,6x −7,2x2 1,2xy −28,8x2y

−7 y −10,5y 21xy −3,5y2 84xy2

13,5 y 20,25y −40,5xy 6,75y2 −162xy2


Divisionstabelle. Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

: 4 −12 0,4 −1,5

12 x 3x −x 30x −8x

−15 x −3,75x 1,25x −37,5x 10x

60 y 15y −5y 150y −40y

−48,6 y −12,15y 4,05y −121,5y 32,4y

4 Verbinde gleichwertige Terme miteinander. a) 4 x : 2 + 3 −3 x b) 2 + 0,5 a ∙ 6 −7 −6 a2

x ∙ (−5) + 2 x 10 x − 5 −4 a : 8 + 5 3 a − 5

3 + 2 x − 2 + x 2 x + 3 −0,25 a ∙ 8 a ∙ 3 4 − 3 a

3 − 6 x : (−2) 3 x + 1 −13 a : 2 + 5 a −1,5 a

2 x ∙ 5 − 5 5 + 5 x 6 − a ∙ a −0,5 a + 5

2 x ∙ 3 + 5 − x 3 x + 3 −3 a + 16 : 4 6 − a2



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Ausmultiplizieren einer Klammer

Multiplikationsklammern auflösen

1 Trage die Terme jeweils ohne Klammer in die Tabelle ein.

a) ∙ −7 −3,5 −1,6 x 52 x

x + 6

−5 + x

−4 x − y

b) ∙ −18 + x 31 x − 12 3,2 x + y

41 x −

21

−21

−x

−3 x

c) ∙ −4 − 0,2 y 71 x −

21 −3 x + 4 y −8 x −

74 y

−2,4

43 x

−1,75 x y

2 Löse die Klammern auf und vereinfache anschließend den Term so weit wie möglich.

a) 12 x (4 − 5 y) + 16 x = =

b) −2 x (1,5 + y) + 8 x = =

c) 6 x (x + 2,5) − 11 x = =

d) (31 x + 5 − 2 x) ∙ (−2,7) = =

e) 31 x (5 +

83 x − 2) − 5 x = =

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Multiplikationsklammern auflösen

1 Trage die Terme jeweils ohne Klammer in die Tabelle ein.

a) ∙ −7 −3,5 −1,6 x 52 x

x + 6 −7x − 42 −3,5x − 21 −1,6x² − 9,6x 52 x² +

512 x

−5 + x 35 − 7x 17,5 − 3,5x 8x − 1,6x² −2x + 52 x²

−4 x − y 28x + 7y 14x + 3,5y 6,4x² + 1,6xy − 58 x² −

52 xy

b) ∙ −18 + x 31 x − 12 3,2 x + y

41 x −

21

−21 9 − 0,5x − 6

1 x + 6 −1,6x − 0,5y − 81 x +

41

−x 18x − x² − 31 x² + 12x −3,2x² − xy − 4

1 x² + 1/2 x

−3 x 54x − 3x² −x² + 36x −9,6x² − 3xy − 43 x² +

23 x

c) ∙ −4 − 0,2 y 71 x −

21 −3 x + 4 y −8 x −

74 y

−2,4 9,6 + 0,48y − 3512 x + 1,2 7,2x − 9,6y 19,2x + 35

48 y

43 x −3x −

203 xy

283 x² −

83 x −

49 x² + 3xy −6x² −

73 xy

−1,75 x y 7xy + 0,35xy² − 41 x²y +

87

421 x²y − 7xy² 14x²y + xy²

2 Löse die Klammern auf und vereinfache anschließend den Term so weit wie möglich.

a) 12 x (4 − 5 y) + 16 x = 12x∙4 − 12x∙5y + 16x = 64x

b) −2 x (1,5 + y) + 8 x = (−2x) ∙1,5 + (−2x) ∙y + 8x = 5x − 2xy

c) 6 x (x + 2,5) − 11 x = 6x∙x + 6x∙2,5 − 11x = 6x² + 4x

d) (

31 x + 5 − 2 x) ∙ (−2,7) =

31 x∙(−2,7) + 5∙(−2,7) − 2x∙(−2,7)

= 4,5x − 13,5

e) 31 x (5 +

83 x − 2) − 5 x = (

31 x)∙3 + (

31 x)∙(

83 x) − 5x

= −4x +

81 x²




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Terme ausmultiplizieren und ausklammern

Vereinfachung von Termen erläutern

Forme Terme um und vergleiche den Rechenweg mit dem deines Nachbarn.

a) Schreibe das Produkt als Summe. Multipliziere dazu die Faktoren wie im ersten Beispiel entsprechend der eingezeichneten Pfeile und beschreibe dein Vorgehen.

(3a – 3) · (4 + 2b) = b) Schreibe nun umgekehrt die Summe als Produkt wie im vorgegebenen Beispiel, und beschreibe dein Vorgehen. Überprüfe das Ergebnis durch eine Probe. 6a + 3ab = 3a·2 + 3a·b = 3a·(2 + b) 12xy – 15xy + 3y = Für die Berechnung des Flächeninhalts der untenstehenden Figur wurden verschiedene Terme aufgestellt. Prüfe anhand der Zeichnung, ob die Terme korrekt sind, und zeige – wenn möglich - mithilfe von Umformungen, dass die Terme gleich sind.

Term 1: a·c + b·c – c·c Term 2: a·b – (a – c)·(b – c)

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Terme ausmultiplizieren und ausklammern

Vereinfachung von Termen erläutern

Forme Terme um und vergleiche den Rechenweg mit dem deines Nachbarn. a) Schreibe das Produkt als Summe. Multipliziere dazu die Faktoren wie im ersten Beispiel entsprechend der eingezeichneten Pfeile und beschreibe dein Vorgehen.

b) Schreibe nun umgekehrt die Summe als Produkt entsprechend dem vorgegebenen Beispiel und beschreibe dein Vorgehen. Überprüfe das Ergebnis durch eine Probe. 6a + 3ab = 3a·2 + 3a·b = 3a·(2 + b) 12xy – 15xy + 3y = 3y·4x – 3y·5y + 3y·1 = 3y·(4x – 5y + 1) Für die Berechnung des Flächeninhalts der untenstehenden Figur wurden verschiedene Terme aufgestellt. Prüfe anhand der Zeichnung, ob die Terme korrekt sind und zeige – wenn möglich – mithilfe von Umformungen, dass die Terme äquivalent sind.

Term 1: a·c + b·c – c·c richtig Term 2: a·b – (a – c)·(b – c) richtig Mit beiden Termen wird der Flächeninhalt korrekt berechnet.

a∙b – (a-c)∙(b-c) ausmultiplizieren

= a∙b – (a∙b – a∙c – c∙b + c∙c) Klammer auflösen

= a∙b – a∙b + a∙c + c∙b - c∙c ausrechnen, Kommutativgesetz

= a∙c + b∙c - c∙c Terme sind äquivalent




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Ausmultiplizieren von zwei Klammern

Produkt zweier Summen

1 Ergänze die leeren Felder in der Rechnung.

a) (x + ) ( + y) = 8 x + + 48 + y b) (x + 9) (y − ) = − 8 x + −

c) (7 − ) ( + 6) = 7 b + − ab − a d) (a − 5) (b + ) = + 6 a − −

e) (x − ) ( + y) = 8 x + − 32 − y f) (8 + a) (b − ) = − 8 c + −

2 Verbinde die Produkte mit den passenden Summen. (3 a + 2) (4 a + 3) 12 a2 − a − 6

(3 a − 3) (4 a + 2) 12 a2 + 6 a − 6 (3 a + 2) (4 a − 3) 12 a2 − 6 a − 6

(3 a + 3) (4 a + 2) 12 a2 + 17 a + 6

(3 a + 3) (4 a − 2) 12 a2 + a − 6

(3 a − 2) (4 a + 3) 12 a2 + 18 a + 6

3 Löse die Klammern auf.

a) (3 x + 2,6) (5 + 4 y) =

b) (8 x + 2,2) (0,5 + y) =

c) (3 y − x) (8 + 12 y) =

d) (3 a2 + 5 a) (6 − 2 b) =

e) (0,8 + 8 x) (2 y − x) =


a) (3 a + 4,5) (8 + 2 a) =

b) (8 x + 7) (0,5 x + 4) =

c) (3 − 5 y) (3 − 5 y) =

d) (6 x y − 7 y) (x + 9) =

e) (8 a − 4 a b) (b + 2) =

5 Löse die Klammern auf und fasse den Term zusammen.

(x + 5) (x y + 4 x − 9) =

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Produkt zweier Summen

1 Ergänze die leeren Felder in der Rechnung. a) (x + 6 ) ( 8 + y) = 8 x + xy + 48 + 6 y b) (x + 9) (y − 8 ) = xy − 8 x + 9y − 72

c) (7 − a ) ( b + 6) = 7 b + 42 − ab − 6 a d) (a − 5) (b + 6 ) = ab + 6 a − 5b − 30

e) (x − 4 ) ( 8 + y) = 8 x + xy − 32 − 4 y f) (8 + a) (b − c ) = 8b − 8 c + ab − ac

2 Verbinde die Produkte mit den passenden Summen. (3 a + 2) (4 a + 3) 12 a2 − a − 6

(3 a − 3) (4 a + 2) 12 a2 + 6 a − 6 (3 a + 2) (4 a − 3) 12 a2 − 6 a − 6

(3 a + 3) (4 a + 2) 12 a2 + 17 a + 6

(3 a + 3) (4 a − 2) 12 a2 + a − 6

(3 a − 2) (4 a + 3) 12 a2 + 18 a + 6

3 Löse die Klammern auf.

a) (3 x + 2,6) (5 + 4 y) = 15x + 12xy + 13 + 10,4y

b) (8 x + 2,2) (0,5 + y) = 4x + 8xy + 1,1 + 2,2y

c) (3 y − x) (8 + 12 y) = 24y + 36y2 − 8x − 12xy

d) (3 a2 + 5 a) (6 − 2 b) = 18a2 − 6a²b + 30a − 10ab

e) (0,8 + 8 x) (2 y − x) = 1,6y − 0,8x + 16xy − 8x2


a) (3 a + 4,5) (8 + 2 a) = 6a2 + 33a + 36

b) (8 x + 7) (0,5 x + 4) = 4x2 + 35,5x + 28

c) (3 − 5 y) (3 − 5 y) = 9 − 30y + 25y2

d) (6 x y − 7 y) (x + 9) = 6x2y + 47xy − 63y

e) (8 a − 4 a b) (b + 2) = 16a − 4ab2

5 Löse die Klammern auf und fasse den Term zusammen.

(x + 5) (x y + 4 x − 9) = x2y + 4x2 + 5xy + 11x − 45



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Klammern auflösen

1 Fülle jeweils die Tabelle aus. Notiere den zugehörigen Term mit und ohne Klammern.

a) ∙ 5 2 b b) ∙ x −11

3 a x

−7 −11

Term: Term:

c) ∙ 2,5 e 17 f d) ∙ − x x y

−2,5 e x

17 f − x y

Term: Term:

2 Löse die Klammern der folgenden Terme jeweils mithilfe der Tabelle auf.

Gib anschließend die Lösung an. Term: (−5 x + 3 y) (3 y − 5 x) Term: (2,8 k − 1,5 l) (2,8 k + 1,5 l) a) ∙ b) ∙

Term: (154 k −

163 k l) (

154 k −

163 k l) Term: (

85 y − 4,8 x y) ( 4,8 x y −

85 y)

c) ∙ d) ∙

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Klammern auflösen

1 Fülle jeweils die Tabelle aus. Notiere den zugehörigen Term mit und ohne Klammern.

a) ∙ 5 2 b b) ∙ x −11

3 a 15a 6ab x x² −11x

−7 −35 −14b −11 −11x 121

Term: (3a − 7) (5 + 2b) = Term: (x − 11) (x − 11) =

15a + 6ab − 35 − 14b x² − 22x + 121

c) ∙ 2,5 e 17 f d) ∙ − x x y

−2,5 e −6,25e² −42,5ef x −x² x²y

17 f 42,5ef 289f² − x y x²y −x²y²

Term: (−2,5e + 17f) (2,5e + 17f) = Term: (x − xy) (−x + xy) =

−6,25e² + 289f² −x² + 2x²y² − x²y²

2 Löse die Klammern der folgenden Terme jeweils mithilfe der Tabelle auf.

Gib anschließend die Lösung an. Term: (−5 x + 3 y) (3 y − 5 x) Term: (2,8 k − 1,5 l) (2,8 k + 1,5 l) a) ∙ 3y −5x b) ∙ 2,8k 1,5l

−5x −15xy 25x² 2,8k 7,84k² 4,2kl

3y 9y² −15xy −1,5l −4,2kl −2,25l²

9y² − 30xy + 25x² 7,84k² − 2,25l²

Term: (154 k −

163 k l) (

154 k −

163 k l) Term: (

85 y − 4,8 x y) ( 4,8 x y −

85 y)

c) ∙ 154 k −

163 kl d) ∙ 4,8xy − 8

5 y

154 k

22516 k² −

201 k²l 8

5 y 3xy² − 6425 y²

− 163 kl

201 k²l

2569 k²l² −4,8xy −23,04x²y² 3xy²

22516 k² +

2569 k²l² −23,04x²y² −

6425 y² + 6xy²




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x bestimmen

1 Fasse so weit wie möglich zusammen und bestimme einen Wert für die Variable. a) (2 a + 3)2 − (a − 4)2+ 18 = 3 (a2 + 2) − 5 b) (y + 5)2 − (y − 3)2 = 12 (y + 4) c)

( − 9)2 + x2 = ( + 9) ( − 9) d)

( + 5) ( + 3) = ( + 2) ( + 7)

2 Fasse zusammen und bestimme den Wert für x. Ordne nach diesem Wert. Beginne mit dem kleinsten. a) 0,2 (24 + 3 x) = − 3 (2 x − 7) b) 21 − 3 (x + 12) = 4 x − (1 + 10 x) c) x (x + 3) = 9 + x2

d) 2 (2 x − 3,2) = − 6 (18 − 3 x)

e) ( + 5)2 − ( − 5)2 = 20

f) − + 16 = 4

g) 5 x2 − 3 (x + 1) (x − 1) − x = 2 (x2 − 3) h) (x − 0,2)2 − (x + 0,6)2 = − (x + 0,5)

Lösung:

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Ausmultiplizieren von zwei Klammern x bestimmen 1 Fasse so weit wie möglich zusammen und bestimme einen Wert für die Variable. a) (2 a + 3)2 − (a − 4)2+ 18 = 3 (a2 + 2) − 5 b) (y + 5)2 − (y − 3)2 = 12 (y + 4) 3a2 + 20a + 11 = 3a2 + 1 16y + 16 = 12y + 48 20a = −10 4y = 32 a = −0,5 y = 8 c)

( − 9)2 + x2 = ( + 9) ( − 9) d)

( + 5) ( + 3) = ( + 2) ( + 7)

x2 : 4 + 9x : 2 + 81 = x2 : 4 − 81 x2 : 4 + 15x + 15 = x2 : 4 + 14x + 14 9x : 2 = 162 x = −1 x = 36 2 Fasse zusammen und bestimme den Wert für x. Ordne nach diesem Wert. Beginne mit dem kleinsten. a) 0,2 (24 + 3 x) = − 3 (2 x − 7) b) 21 − 3 (x + 12) = 4 x − (1 + 10 x) c) x (x + 3) = 9 + x2

d) 2 (2 x − 3,2) = − 6 (18 − 3 x)

e) ( + 5)2 − ( − 5)2 = 20

f) − + 16 = 4

g) 5 x2 − 3 (x + 1) (x − 1) − x = 2 (x2 − 3) h) (x − 0,2)2 − (x + 0,6)2 = − (x + 0,5)

a) x ≈ 2,45 b) x ≈ 4,67 c) x = 3 d) x ≈ 3,14 e) x = 6 f) x = 0,5 g) x = 9 h) x = 0,3

Lösung: h f a c d b e g

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Autor: Reinhard Schmidt Bildrechteinhaber: Redaktion Mathematik

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Die 1. binomische Formel Veranschaulichung der 1. binomischen Formel 1 Betrachte die drei Quadrate. arum haben die beiden grauen Rechtecke in jeder Figur den gleichen Flächeninhalt?

2 Gib den Flächeninhalt des gesamten Quadrats in Abhängigkeit von a und b an. Vergleiche ihn mit der Summe der Flächeninhalte der Teilflächen.

3 Berechne das Quadrat von Zahlen, indem du sie in Zähler und Nenner zerlegst. Beispiel: 612 � �60 � 1�2 � 602 � 2∙60∙1 � 12 � 3721 Formuliere anschließend eine Regel.

532 � �50 � 3�2 =

322 � �30 � 2�2 =

112 � �10 � 1�2 =

842 � �80 � 4�2 =

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Autor: Reinhard Schmidt Bildrechteinhaber: Redaktion Mathematik

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