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1(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Grundgedanke der FEM
Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und anderer statischer Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammengeführt.
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2(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
FEM als statisches Berechnungsverfahren
• Kraftgrössenverfahren– Kräfte und Momente
• Verschiebungsgrössenverfahren– Verschiebungen und Verdrehungen
Formulierung in Matrizenschreibweise
in der Regel lineares Gleichungssystem
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3(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Benötigte Angaben
• Geometrie des Tragwerks
• Auflagerbedingungen
• Materialeigenschaften
• Lasteinwirkungen
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4(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Lasteinwirkungen
• verteilte äussere Kräfte
• konzentrierte äussere Kräfte
• initiale Verzerrungen(von externen Einwirkungen)
• vorgeschriebene Rand- und Auflagerverschiebungen
• beschleunigungsproportionale Massenkräfte (z.B. Eigengewicht)
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5(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Methode
• Erarbeiten eines mathematischen Modells auf Grund der physikalischen Wirklichkeit.
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6(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Knotenpunkte, Freiheitsgrade, Finite Elemente
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7(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Verschiebungsgrössenverfahren
Voraussetzung: lineares Tragwerk
das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen und -verdrehungen als Unbekannte.
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8(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Lastvektor und Verschiebungsvektor
• Die in einem Knotenpunkt angreifenden Kräfte und Momente werden zum Lastvektor F zusammengefasst.
• Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen werden zum Verschiebungsvektor u zusammengefasst.
Es gilt: F = K•u
K ist die Systemsteifigkeitsmatrix
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9(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Beispiel 3-4
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10(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Das lineare Gleichungssystem
K • u = F
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11(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Vorgehensweise
• numerische Erfassung des Tragverhaltens jedes einzelnen finiten Elements ( lokale Elementsteifigkeitsmatrizen)
• Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors
• Lösung der globalen Systemgleichungen
• Ermittlung der Auflagerkräfte
• Berechnung der Elementspannungen
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12(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Beispiel 3-5
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13(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Statisches System
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14(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Knotenverschiebungen
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15(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Koordinatensysteme
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16(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Koinzidenztabelle
Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2)
1
2
3
4
5
6
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17(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Knotenkräfte
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18(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
K•u = F
Das System hat 5 Freiheitsgrade.
Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix K benötigt man die Elementsteifigkeitsmatrizen
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19(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Der Fachwerkstab
• Es soll die Elementsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes hergeleitet werden, und zwar in einem lokalen Bezugssystem.
• Der Fachwerkstab hat einen Querschnitt A, die Länge l und sein Material hat den Elastizitätsmodul E.
• Entlang der Länge des Stabes wirkt die Normalkraft N und bewirkt eine Verlängerung .
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20(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Der Fachwerkstab
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21(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Die Spannungsmatrix S
Für die Verlängerung gilt:
Gleichzeitig ist:
Damit folgt: €
l
=1
E⋅
N
A und somit : δ =
N ⋅ lEA
€
=u2(lok ) − u1
( lok )
€
N =EA
l⋅δ =
EA
l⋅ −u1
(lok ) + u2( lok )
( ) =EA
l⋅ −1 1( )
u1( lok )
u2( lok )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= Se
( lok ) ⋅ue(lok )
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22(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Die Elementsteifigkeitsmatrix
Die Elementsteifgkeitsmatrix ist aus den angreifenden Kräften und den Verschiebungen schnell angesetzt:
in Matrixform:
€
F1(lok ) = −N =
EA
lu1
(lok ) − u2( lok )
( )
F2(lok ) = N =
EA
l−u1
(lok ) + u2( lok )
( )
€
Fe(lok ) =
F1(lok )
F2(lok )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
−N
N
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
EA
l⋅
1 −1
−1 1
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟⋅
u1( lok )
u2( lok )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= Ke
( lok ) ⋅ue(lok )
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23(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Koordinatentransformation
Beim Fachwerkstab werden beide Knoten transformiert. Das führt zu:
€
u( lok )
v( lok )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
cosα sinα
−sinα cosα
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟⋅
u
v
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
u1( lok )
u2( lok )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
cosα sinα 0 0
0 0 cosα sinα
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟⋅
u1(e )
v1(e )
u2(e )
v2(e )
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
ue(lok) = T•ue
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24(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Transformation der Kräfte
Für die Kräfte an den Stabenden gilt also:
€
Fx
Fy
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
cosα −sinα
sinα cosα
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟⋅
Fx( lok )
Fy( lok )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
Fx1(e )
Fy1(e )
Fx 2(e )
Fy 2(e )
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
cosα 0
sinα 0
0 cosα
0 sinα
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅Fx1
( lok )
Fx 2( lok )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Fe = TT•Fe(lok)
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25(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Folgerungen
Es gilt im lokalen System: Fe(lok) = Ke
(lok)•ue(lok)
Einsetzen von: ue(lok) = T•ue
führt zu Fe(lok) = Ke
(lok)• T•ue
Somit gilt: Fe = TT•Fe(lok) = TT• Ke
(lok)• T•ue
Daraus kann man ablesen, dass die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten folgende ist:
Ke = TT•Ke(lok)•T
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26(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Elementsteifigkeitsmatrix für den Fachwerkstab
€
€
Ke = TT ⋅K e(lok ) ⋅T =
cosα 0
sinα 0
0 cosα
0 sinα
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅EA
l
1 −1
−1 1
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟⋅
cosα sinα 0 0
0 0 cosα sinα
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
=EA
l⋅
cosα −cosα
sinα −sinα
−cosα cosα
−sinα sinα
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅cosα sinα 0 0
0 0 cosα sinα
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
=EA
l⋅
cos2 α sinα cosα −cos2 α −sinα cosα
sinα cosα sin2 α −sinα cosα −sin2 α
−cos2 α −sinα cosα cos2 α sinα cosα
−sinα cosα −sin2 α sinα cosα sin2 α
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
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27(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Die Spannungsmatrix für den Fachwerkstab
N = Se(lok)•ue
(lok)
Mit ue(lok) = T•ue erhält man:
N = Se•ue = Se(lok)•T•u
Somit gilt:
€
Se =EA
l⋅ −cosα −sinα cosα sinα( )
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28(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Aufgabe
Es sind alle Elemetsteifigkeitsmatrizen und die Spannungsmatrizen für alle Elemente in globalen Koordinaten aufzuschreiben.
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29(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Die Systemsteifigkeitsmatrix
Vorgehensweise:
• Anpassen der Verschiebungsgrössen der einzelnen Elemente an diejenigen des Knotenpunktes (Kompatibilitätsbedingungen)
• Gleichgewichtsbedingungen in den Knotenpunkten
Kf•uf=Ff
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30(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Kf =
€
E ⋅A
l
1.35 −0.35 −1.0 0 −0.35 0.35 0 0
−0.35 1.35 0 0 0.35 −0.35 0 −1.0
−1.0 0 1.35 0.35 0 0 −0.35 −0.35
0 0 0.35 1.35 0 −1.0 −0.35 −0.35
−0.35 0.35 0 0 1.35 −0.35 −1.0 0
0.35 −0.35 0 −1.0 −0.35 1.35 0 0
0 0 −0.35 −0.35 −1.0 0 1.35 0.35
0 −1.0 −0.35 −0.35 0 0 0.35 1.35
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
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31(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Koinzidenztabelle
Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2)
1 1 2
2 3 2
3 4 3
4 4 1
5 4 2
6 3 1
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32(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Auflagerbedingungen
Hier gilt: v3 = 0, u4 = 0, v4 = 0
Damit werden in Kf die letzten 3 Spalten mit Nullen besetzt und man kann sie streichen.
Der Rang der Matrix Kf ist 5. Gestrichen werden die Zeilen, die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen, da rechts die Auflagerkräfte unbekannt sind.
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33(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Gleichungssystem
€
E ⋅A
l
1.35 −0.35 −1.0 0 −0.35
−0.35 1.35 0 0 0.35
−1.0 0 1.35 0.35 0
0 0 0.35 1.35 0
−0.35 0.35 0 0 1.35
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅
u1
v1
u2
v2
u3
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
Fx1
Fy1
Fx 2
Fy 2
Fx 3
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
0
0
10
−10
0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
€
E ⋅A
l
0.35 −0.35 0 −1.0 −0.35
0 0 −0.35 −0.35 −1.0
0 −1.0 −0.35 −0.35 0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟⋅
u1
v1
u2
v2
u3
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
Fy 3
Fx 4
Fy 4
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
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34(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Lösung des Gleichungssystems
Zuerst wird das erste Gleichungssystem gelöst. Das ergibt die Werte für u1, v1, u2, v2 und u3.
Diese Lösungen werden in das zweite Gleichungssystem eingesetzt und man kann die Auflagerkräfte in den Knoten 3 und 4 berechnen.
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35(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Lösungen
€
u =
0.86
0.18
1.04
−0.54
0.18
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⋅10−4
€
Fy 3
Fx 4
Fy 4
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟=
20.0
−11.0
−11.0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
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36(C) 2007-2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz
Elementkräfte
Die an den Elementen angreifenden Kräfte können mit den Spannungsmatrizen berechnet werden.
Es gilt: N=Se•ue