1 funktionen als zentrales werkzeug prof. dr. dörte haftendorn, leuphana universität lüneburg,...
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Funktionen als zentrales Werkzeug
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Scheinwerfer
Antenne
Richtfunk
Parabol-Spiegel
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Mathematik und Sprache
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus
• formale Sprache
• verbale Sprache mit Exaktheitsanspruch
• offene, aber treffende verbale Sprache
• visuell unterstützte genauere Sprache
• Sprache des Lernens und Herantastens
• Mathematiker unter sich, M.-Bücher
• Mathematik in anderen Wissenschaften
• Ziel von allg. Mathematik-Lehre
• Basis für das Lehren
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Wenn die x-Werte von beiden Seiten
an b heranrücken,dann rücken die Funktionswerte
beliebig dicht an f(b) heran.
3Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus
visuell unterstützte genauere Sprache
Man kann dies in einem Zug zeichnen.
Sprache des Lernens und Herantastens
Darum ist f stetig in B.
Dieses f istunstetig in B.
Mathematik und Sprache am Beispiel
Eine Funktion ist stetig im Punkt B.
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visuell unterstützte genauere Sprache
Mathematik und Sprache am Beispiel
Diese Funktion ist unstetig im Punkt B.
nicht zu retten!
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Mathematik und Sprache am Beispiel Eine Funktion ist stetig im Punkt B=(b,f(b))
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• formale Sprache • verbale Sprache mit Exaktheitsanspruch
• offene, aber treffende verbale Sprache
• visuell unterstützte genauere Sprache
• Sprache des Lernens und Herantastens
Man kann dies in einem Zug zeichnen.
Wenn die x-Werte von beiden Seiten an b heranrücken, dann rücken die
Funktionswerte beliebig dicht an f(b) heran.
Für alle Epsilon größer Null gibt es ein Delta größer Null, so dass für alle x aus einer Delta-Umgebung von b die
Funktionswerte in einer Epsilon-Umgebung von f(b) liegen.
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Funktionen als zentrales Werkzeug
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Aufgabe von „Mathematik für alle“ ist es
begreifbar zu machen.
Mit visueller Unterstützung sollen Sie die Funktionen-Welt ordnen und gliedern.
Sie sollen die tragenden Konzepte verstehen und einen Eindruck vom Nutzen bekommen.Berechnungen, und Vertiefungen folgen in einigen Fachrichtungen später. Aber nicht hier!!!!!!
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Was ist überhaupt eine Funktion?
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Abbildung, Funktion und Zuordnung sind Synonyme.Es wird eine Definitionsmenge
Urbild-MengeineineWertemenge abgebildetBildmenge
und zwar auf eindeutige Weise.d.h. jedes Urbild hat ein Bild, aber auch nur eins.d.h. jedes Urbild hat genau ein Bild.
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Ausschärfung der Begriffe
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Abbildung, Funktion und Zuordnung sind Synonyme.
Abbildung verwendet man allgemein, im Besonderen aber in der Geometrie:Spiegelung, Drehung, Scherung, Projektion.... Zuordnung nimmt den Vorgang des Zuordnens und die einzelnen Objekte stärker in den Blick:den Waren sind Preise zugeordnet, jedem Konto eine PIN,... Schule bis Klasse 8
Funktion nimmt die Veränderung stärker in den Blick:z.B. der Druck ist eine Funktion der Temperatur. „y ist eine Funktion von x“
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„y ist eine Funktion von x“
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Wir betrachten nun erstmal den wichtigen Spezialfall, bei dem die reellen Zahlen in sich abgebildet werden.
Stelle,Abszisse,x-Wert,Einsetzung,Argumentunabh. Variable
WertOrdinatey-Wert,Funktionswertabhängige Variable
Die Funktion heißt f
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
GeoGebra, freies Mathematikwerkzeug, www.geogebra.org
Hauptform: k R
2( )f x xParabel
k R
( ) kf x x
PotenzfunktionPotenzfunktion enger
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
Hauptform:
k 1
( ) kf x x
Potenzfunktion engerPotenzfunktion
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
( ) kf x x
0 k 1
Wurzelfunktionen
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
Hyperbel undandere gebrochenePotenzfunktionen:
k 0
( ) kf x x
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
GeoGebra
Hauptform: ( ) kf x x
k Nk 0; k 1
Grundbausteine für Polynome
Alle GeoGebra-Dateien finden Sie in matheomnibus,
in myStudy, in dieser *.ppt und im GeoGebra-Book
( ) kf x x
Potenzfunktion engerPotenzfunktion
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
GeoGebra
Hauptform:
( ) kf x x
k0 k 1
k 0
k 0; k 1
Hyperbel u.a.
Potenzfunktion engerPotenzfunktion
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
Selber machen
( ) kf x t x
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Funktionsgleichung
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Grundtyp Potenzfunktion
( ) kf x t x
Selber machen
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Funktionsgleichung
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Variationen in Lage und Form
( ) kf x t x
Strecken, Stauchen,Spiegeln
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Funktions-Variation
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Variationen in Lage und Form
Der Scheitel S ist auf (a,b) verschoben
( ) ( )kf x t x a b Scheitel
verschieben
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Funktionsgleichung
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Übung mit Potenzfunktionen
Selber machen
( ) kf x x a b
verschieben
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Funktionsgleichung
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Übung mit Potenzfunktionen
( ) kf x x a b
Die Exponenten >4 und >5kann man nicht genau sehen.Akzeptiert wird auch 4, 6 und 8, bzw. 5 und 7 u.s.w..
verschieben
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Funktionsgleichung
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Übung mit PotenzfunktionenSelber machen
( ) kf x x a b
4( ) ( 3) 1f x x
5( ) ( 3) 2f x x 6( ) ( 2) 3f x x
4( ) ( 3) 1f x x 3( ) ( 2) 1f x x
2( ) ( 3) 2f x x
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Funktionsgleichung
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Übung mit PotenzfunktionenSelber machen
( ) kf x x a b
4( ) ( 3) 1f x x
5( ) ( 3) 2f x x 6( ) ( 2) 3f x x
4( ) ( 3) 1f x x 3( ) ( 2) 1f x x
2( ) ( 3) 2f x x
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