10. januar 2005 jan mittelstaedt 1 geostatistik kriging

10. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt 11

GeostatistikGeostatistik

KrigingKriging

2210. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt

GliederungGliederung

Einleitung Einleitung

InterpolationsverfahrenInterpolationsverfahren

Vorrausetzungen für KrigingVorrausetzungen für Kriging Intrinische HypotheseIntrinische Hypothese SemivariogrammSemivariogramm

Semivariogramm in ArcGISSemivariogramm in ArcGIS

Aufgabe 1Aufgabe 1


GliederungGliederung

KrigingKriging

GewichteGewichte

statistische Methodenstatistische Methoden

Kriging – ArtenKriging – Arten

Kriging in ArcGISKriging in ArcGIS

Aufgabe 2Aufgabe 2


EinleitungEinleitung

Kriging ist ein Oberbegriff für eine Reihe von Kriging ist ein Oberbegriff für eine Reihe von Schätzverfahren.Schätzverfahren.

Der Kriging – Schätzer ist ein Der Kriging – Schätzer ist ein BLUEBLUE - Schätzer . - Schätzer .

BBester ester llinearerinearer u unverzerrter Schätzer ( nverzerrter Schätzer ( EEstimator ) stimator )

Kriging bezeichnet ein Interpolationsmethode. Kriging bezeichnet ein Interpolationsmethode.

10. Januar 200510. Januar 2005 Jan MittelstaedtJan Mittelstaedt 55

EinleitungEinleitung

wurde nach dem südafrikanischen Bauingenieurwurde nach dem südafrikanischen BauingenieurD.G. KrigeD.G. Krige benannt benannt

Mitte des 20. Jahrhunderts von Mitte des 20. Jahrhunderts von G. MatheronG. Matheron in inFrankreich zur Anwendung im Bergbau weiter-Frankreich zur Anwendung im Bergbau weiter-entwickeltentwickelt

zur gleichen Zeit von zur gleichen Zeit von L.S. GandinL.S. Gandin in der Sowjetunion in der Sowjetunionentwickelt, in dem Bereich der Meterologie angewandtentwickelt, in dem Bereich der Meterologie angewandt

heute wird Kriging in allen Bereichen der Geowissen-heute wird Kriging in allen Bereichen der Geowissen- schaften angewandtschaften angewandt



Es gibt zwei verschiedene Es gibt zwei verschiedene


1.1. deterministische Interpolation ( alt )deterministische Interpolation ( alt )

2.2. geostatistische Interpolation ( neu )geostatistische Interpolation ( neu )


deterministische Interpolationdeterministische Interpolation

Ist das Ist das bisherigebisherige Interpolationsverfahren Interpolationsverfahren

Genaue Vorhersage von Ort und WertGenaue Vorhersage von Ort und Wert

eines Punktes, eines Punktes, fallsfalls die Messwerte die Messwerte regelmäßig und regelmäßig und in einer relativ hohen Dichtein einer relativ hohen Dichte

vorhanden sindvorhanden sind


geostatistische Interpolationgeostatistische Interpolation

Ist das Ist das neueneue Interpolationsverfahren Interpolationsverfahren

Vorhersage der Orte ungenauerVorhersage der Orte ungenauer

aberaber die Genauigkeit der Vorhersage kann die Genauigkeit der Vorhersage kann vorher bestimmt werden beivorher bestimmt werden bei

unregelmäßiger Verteilung undunregelmäßiger Verteilung und geringerer Dichte der Punktegeringerer Dichte der Punkte


Vorrausetzung für KrigingVorrausetzung für Kriging

Intrinische HypotheseIntrinische Hypothese

Semivariogramm Semivariogramm



Ein Prozess ist intrinisch ( stationär ), falls Ein Prozess ist intrinisch ( stationär ), falls

1.1. der Erwartungswert aller Zufallvariablen der Erwartungswert aller Zufallvariablen ZZ im im

Untersuchungsgebiet Untersuchungsgebiet konstant konstant istist

hxZxZE



2.2. der räumliche Zusammenhang zweier Variablen der räumliche Zusammenhang zweier Variablen nicht nicht von der absoluten Lage abhängt, sondern von der absoluten Lage abhängt, sondern von deren von deren Abstandsvektoren.Abstandsvektoren.

22 hxZxZEh

SemivarianzSemivarianzhttp://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/KrigingSemiar_2_Teil.html


SemivariogrammSemivariogramm

Um ein Semivariogramm zu erstellen, benötigen Um ein Semivariogramm zu erstellen, benötigen

wir eine Funktion.wir eine Funktion.

Diese Funktion ist die Diese Funktion ist die Semivarianz Semivarianz

2h)iZ(x)iZ(xn21γ(h)


2h)iZ(x)iZ(xn21γ(h)


Berechnung der SemivarianzBerechnung der Semivarianz

Semivarianz

Anzahl der Punktpaare mit

Abstand h

1. Variable

2. Variable im Abstand h

Ein Graph, mit den Werten von y(h) ist das

empirische Variogramm


Das empirische SemivariogrammDas empirische Semivariogramm

Berechnung der Abstände Berechnung der Abstände zwischen jedem Punktpaarzwischen jedem Punktpaar

Jedem Abstand h wird ein Jedem Abstand h wird ein Diagrammwert y(h) Diagrammwert y(h) zugeordnetzugeordnet

Bildung von Bildung von Abstandsklassen, da nur Abstandsklassen, da nur sehr wenige Punktpaare sehr wenige Punktpaare exakt den gleichen Abstand exakt den gleichen Abstand haben.haben.

Bspl

http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/Beispiel_Bodenproben.html#ExpVariogramm


Das theoretische VariogrammDas theoretische Variogramm

zeigt einen Zusammenhang der Stichproben mit bekannten Wertenzeigt einen Zusammenhang der Stichproben mit bekannten Werten

Variogrammwerte auch für Abstände, die nicht in der Stichprobe Variogrammwerte auch für Abstände, die nicht in der Stichprobe vorkommenvorkommen

1.1. empirisches Variogramm zeigt den empirisches Variogramm zeigt den groben Verlauf über den räumlichen groben Verlauf über den räumlichen ZusammenhangZusammenhang

2.2. der Verlauf des empirischen der Verlauf des empirischen Variogramms wird einer Funktion Variogramms wird einer Funktion angepasstangepasst

http://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/Beispiel_Bodenproben.html#ExpVariogramm


Funktion des VariogrammsFunktion des Variogramms

Die Punktwolke des empirischen Variogramms wird mitDie Punktwolke des empirischen Variogramms wird mit

einem Modell des theoretischem Variogramms einem Modell des theoretischem Variogramms verglichen.verglichen.

Aus der Ordnung wird das theoretische Variogramm Aus der Ordnung wird das theoretische Variogramm ausgewählt, welches das empirische Variogramm am ausgewählt, welches das empirische Variogramm am besten charakterisiert.besten charakterisiert.

Der Verlauf des empirischen Variogramms wird einer Der Verlauf des empirischen Variogramms wird einer Funktion angepasst.Funktion angepasst.


Modelle des VariogrammsModelle des Variogramms

Funktionalisieren durch dasFunktionalisieren durch das

„ „ kleinste Quadrate Verfahren“kleinste Quadrate Verfahren“

3 funktionale Modelle3 funktionale Modelle

• SphärischSphärisch

• ExponentiellExponentiell

• Gauss - ähnlichGauss - ähnlichhttp://ifgivor.uni-muenster.de/vorlesungen/Num_Modellierung/Raum_Interpol/KrigingSemiar_2_Teil.html


Kenngrößen des VariogrammsKenngrößen des Variogramms

Range:Range:

Abstand auf der x – AchseAbstand auf der x – Achse

bei dem der Graph den bei dem der Graph den

Schwellwert erreicht.Schwellwert erreicht.

Sill:Sill:

SchwellwertSchwellwert

( Maximum der Funktion )( Maximum der Funktion )

Range

Sill

Nugget

Nugget:Nugget:

Rauschen, entsteht wenn das Rauschen, entsteht wenn das Variogramm nicht durch den Variogramm nicht durch den Nullpunkt geht Nullpunkt geht

y(h)

h



Öffnen des MenüsÖffnen des Menüs

ViewView

Öffnen des MenüsÖffnen des Menüs

ToolbarsToolbars

Haken bei Haken bei

Geostatistical Geostatistical AnalystAnalyst



Klick aufKlick auf

Geostatistical Geostatistical AnalystAnalyst

Wähle MenüWähle Menü

Explore DataExplore Data Dann Untermenü Dann Untermenü

Semivariogramm/Covariance CloudSemivariogramm/Covariance Cloud

auswählenauswählen



Layer undLayer und

Attribute Attribute

auswählenauswählen



Einen Punkt imEinen Punkt im


auswählen.auswählen.



Das entsprechende

Punktepaar wird im

Semivariogramm dargestellt.


Aufgabe 1Aufgabe 1

Kopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe1 die beiden Kopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe1 die beiden

shapefile shapefile ca_NO2_pts.shp ca_NO2_pts.shp und und ca_outline.shpca_outline.shp

Erstellt dann ein Semivariogramm und findet mit dessenErstellt dann ein Semivariogramm und findet mit dessen

Hilfe die Punktpaare mit dem kürzesten Abstand und die Hilfe die Punktpaare mit dem kürzesten Abstand und die

Punktpaare mit dem größten Abstand.Punktpaare mit dem größten Abstand.


KrigingKriging

Durch das gewichtete Mittel der bekannten NachbarwerteDurch das gewichtete Mittel der bekannten Nachbarwerte

wird ein unbekannter Wert geschätzt.wird ein unbekannter Wert geschätzt.

)()(* 0 ii xzxz

gesuchter Wertgesuchter Wert GewichteGewichte gemessener gemessener WertWert

gemessene Werte müssen durch intrinischen Prozess gemessene Werte müssen durch intrinischen Prozess modelliert worden seienmodelliert worden seien


KrigingKriging

Grundlagen sind das geostatistische Modell und das Grundlagen sind das geostatistische Modell und das VariogrammVariogramm

der gesuchte Wert zwischen zwei Zufallsvariablen wird der gesuchte Wert zwischen zwei Zufallsvariablen wird gewichtet geschätztgewichtet geschätzt

Kriging – Schätzer für jeden zu schätzenden Ort neu Kriging – Schätzer für jeden zu schätzenden Ort neu bestimmenbestimmen


GewichteGewichte

Schätzfehler im Mittel =Schätzfehler im Mittel = NullNull

00 xFE

Kriging – Varianz des Schätzfehlers sollKriging – Varianz des Schätzfehlers soll minimalminimal sein sein

min0 xFVar

Summe der Gewichte = Summe der Gewichte = 11

1 i


Berechnung der GewichteBerechnung der Gewichte

Berechnung der Gewichte nach den Berechnung der Gewichte nach den BLUEBLUE – Anforderungen – Anforderungen( ( bbest est llinear inear uunibased nibased eestimator )stimator )

beste Schätzungbeste Schätzung( minimale Varianz des Schätzfehlers )( minimale Varianz des Schätzfehlers )

LinearitätLinearität( gewogenes Mittel )( gewogenes Mittel )

ErwartungstreuErwartungstreu(Schätzfehler = 0 )(Schätzfehler = 0 )

min* 00 xzxzVar

ii xzxz 0*

0* 00 xzxz


Berechnung mit MatrizenBerechnung mit Matrizen

mmnnnnn

n

0

101

1

111

*

011

1

1

Semivariogrammwerte Semivariogrammwerte zwischen allen zwischen allen gemessenen Punkten gemessenen Punkten ( Matrix A )( Matrix A )

Vektor mit den Vektor mit den gesuchten Gewichten gesuchten Gewichten ( Vektor ( Vektor λλ ) )

Semivariogrammwerte zwischen Semivariogrammwerte zwischen den gemessenen Orten und dem den gemessenen Orten und dem zu schätzenden Ort ( Vektor g )zu schätzenden Ort ( Vektor g )


LösungLösung

Die Gewichte und die Werte des nicht gemessenen OrtesDie Gewichte und die Werte des nicht gemessenen Ortes

lassen sich durch umstellen der Formel nachlassen sich durch umstellen der Formel nach

gA *1

vorhersagen !vorhersagen !


statistische Methodenstatistische Methoden

KrigingKriging

- bezieht sich in einem Datensatz immer nur auf ein Attribut- bezieht sich in einem Datensatz immer nur auf ein Attribut

- verwendet die Autokorrelation- verwendet die Autokorrelation

Co-KrigingCo-Kriging

-- bezieht sich in einem Datensatz auf 2 bis 4 Attributwertebezieht sich in einem Datensatz auf 2 bis 4 Attributwerte

- verwendet neben der Autokorrelation auch die - verwendet neben der Autokorrelation auch die Kreuzkorrelation Kreuzkorrelation


Arten des Kriging und Co-KrigingArten des Kriging und Co-Kriging

OrdinaryOrdinary

- das normalerweise Benutzte Verfahren- das normalerweise Benutzte Verfahren

- der zufällige Fehler wird geschätzt- der zufällige Fehler wird geschätzt

SimpleSimple

- dieses Verfahren benutzt kein Variogramm- dieses Verfahren benutzt kein Variogramm

- der zufällige Fehler wird als bekannt angenommen- der zufällige Fehler wird als bekannt angenommen

nicht möglichnicht möglich

UniversalUniversal

- brücksichtigt systematische Folgen der gesuchten - brücksichtigt systematische Folgen der gesuchten WerteWerte


Arten des Kriging und Co-KrigingArten des Kriging und Co-Kriging

IndicatorIndicator

- nicht lineares Verfahren- nicht lineares Verfahren

ProbabilityProbability

- Annahme bestimmter Werte- Annahme bestimmter Werte

DisjunctiveDisjunctive

- nichtlineare, verteilungsabhängige Abschätzung von - nichtlineare, verteilungsabhängige Abschätzung von

regionalisierten Variablenregionalisierten Variablen



Wähle im Menü Wähle im Menü Geostatistical Geostatistical Analyst und dann Analyst und dann Geostatistical Geostatistical WizardWizard



Einstellungen unter Einstellungen unter

Input DataInput Data

und und AttributeAttribute

vornehmenvornehmen

KrigingKriging einstellen und einstellen und

bestätigen durch bestätigen durch NextNext



Im Menü dann die Im Menü dann die gewünschte Krigingart gewünschte Krigingart einstellen.einstellen.

Hier als Bsp. Hier als Bsp.

Ordinary KrigingOrdinary Kriging

dann im Untermenü die dann im Untermenü die KartenartKartenart

Prediction MapPrediction Map

Weiter mit Weiter mit NextNext



In diesem Fenster wird In diesem Fenster wird die Variogrammart die Variogrammart eingestellteingestellt




Hier die größe der Hier die größe der Nachbarschaft un Nachbarschaft un deren Gewichtung deren Gewichtung einstelleneinstellen

gesuchter Punktgesuchter Punkt




In diesem Fenster In diesem Fenster erhält man einen erhält man einen Überblick über die Überblick über die Qualität der SchätzungQualität der Schätzung




In diesem Fenster In diesem Fenster erscheinen noch mal erscheinen noch mal alle eingestellten Datenalle eingestellten Daten

Vorgang abschließen Vorgang abschließen durch durch OKOK



VorhersageVorhersage

Es wird der Layer Es wird der Layer Ordinary Kriging Ordinary Kriging erstellterstellt



Erstellen einer Genauigkeitskarte Erstellen einer Genauigkeitskarte zur Vorhersagekartezur Vorhersagekarte

Den Layer Den Layer Ordinary Kriging Ordinary Kriging anklicken und anklicken und dann mit der rechten Maustaste Menü dann mit der rechten Maustaste Menü öffnen. Anschließend das Menü öffnen. Anschließend das Menü Create Create Prediction Standard Error Map Prediction Standard Error Map auswählenauswählen



Es wird der Layer Es wird der Layer Ordenary Kriging 2 Ordenary Kriging 2 erstellt mit der erstellt mit der GenauigkeitskarteGenauigkeitskarte


Aufgabe 2Aufgabe 2

Kopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe2 die shapefileKopiert aus dem Verzeichnis V:\Jan\Aufgabe2 die shapefile

ca_ozone_pts.shpca_ozone_pts.shp und und ca_outline.shp ca_outline.shp ..

Erstellt eine Kriging – Karte mit dem Attribut FID.Erstellt eine Kriging – Karte mit dem Attribut FID.

Benutzt das Ordinary – Kriging und stellt bei demBenutzt das Ordinary – Kriging und stellt bei dem

Semivariogramm einmal Spherical, Exponential und Semivariogramm einmal Spherical, Exponential und

Gaussian ein.Gaussian ein.

Zudem erstellt zu einer der Karten eine Genauigkeitskarte.Zudem erstellt zu einer der Karten eine Genauigkeitskarte.

10. januar 2005 jan mittelstaedt 1 geostatistik kriging

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