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Algorithmen & Datenstrukturen

Prof. Dr. Wolfgang Schramm

BÄUME

BALANCIERTE BÄUME

10. Kapitel (Teil 2)

1

Übersicht

1.  Einführung 2.  Algorithmen 3.  EigenschaDen von

Programmiersprachen 4.  Algorithmenparadigmen 5.  Suchen & SorMeren 6.  Hashing 7.  Komplexität von Algorithmen 8.  Abstrakte Datentypen (ADT) 9.  Listen 10. Bäume 11. Graphen

2

Lernziele des Kapitels

¨  Verstehen, wie balancierter Baum aussieht?

¨  Kennenlernen verschiedener Arten balancierter Bäume.

¨  Kennenlernen der speziellen OperaMonen, um balancierte Bäume im Gleichgewicht zu halten.

2

3

Inhalt

1.  Balancierte Bäume n  AVL-‐Bäume n  B-‐Bäume

2.  Weitere Bäume

4

Ausgeglichene Bäume

Problem

4

4 insert (6)

6

4 insert (8)

6

8 4

6

8

11

5


¨  Man muss dafür sorgen, dass ein Baum bei einer ungünsMgen Einfügereihenfolge nicht entartet.

¨  Idee: bei jeder Einfüge-‐ oder LöschoperaMon versucht man den Baum auszugleichen.

¨  Beispiel:

GA

F

I

E

C

J IC

G

J

F

E

A

insert A

ausgleichen

6


o  AVL-‐Bäume (nach G.M. Adelson-‐Velskii und E.M. Landis): sind höhenbalanciert.

Halten den Aufwand beim Ausgleichen begrenzt.

o  B-‐Bäume (B wie balanciert, breit, buschig oder Bayer) sind n-‐äre Bäume: sind

höhenbalanciert mit unausgeglichenem Verzweigungsgrad.

o  Es gibt noch weitere ausgeglichene Bäume.

7

AVL -‐ Bäume

¨  AVL-‐Kriterium: Für jeden inneren Knoten ist der absolute Betrag der Differenz der Höhen des linken und des rechten Teilbaums maximal 1.

¨  Beispiel: Welcher Baum erfüllt die AVL-‐EigenschaD und welcher nicht?

IC

G

J

F

D

E

C

I

J

F

D

E G

AVL-Baum Kein AVL-Baum

8

AVL -‐ Bäume

o  Balance eines Knotens k: b(k) = height(k.leD) – height(k.right) o  Mit AVL-‐Kriterium: b(k) ∈ { -‐1, 0, +1 }

o  Einfügen in AVL-‐Baum:

¤  Knoten wird wie in normalen binären Suchbaum als Blao eingefügt.

¤  Durch das Einfügen kann die AVL-‐EigenschaD verletzt werden, d.h. die Balance eines Knotens kann auch die Werte –2 oder +2 annehmen → b(k) ∈ { -‐2, -‐1, 0, +1, +2 }. Der Knoten ist somit außer Balance.

¤  Die Verletzung der AVL-‐EigenschaD muss durch Ausgleichen behoben werden.

¤  Das Ausgleichen erfolgt durch die Vertauschung von Knoten und damit einem neuen „Layout“ des Baums.

¤  Diese Vertauschungen nennt man RotaMonen.

9

AVL – Bäume Ausgleichsregeln

Wie wird bei Verletzungen der AVL-‐EigenschaDen ausgeglichen? ⇒  Fallunterscheidungen:

1)  Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes à RotaMon mit dem linken Kind.

2)  Einfügen im rechten Teilbaum des linken Kindes à DoppelrotaMon mit dem

linken Kind.

3)  Einfügen im rechten Teilbaum des rechten Kindes à RotaMon mit dem rechten

Kind.

4)  Einfügen im linken Teilbaum des rechten Kindes à DoppelrotaMon mit dem

rechten Kind.

Wegen der Symmetrie der Fälle 1. und 3. bzw. 2. und 4. à Beschränkung auf 1. und 2.

10

AVL-‐Bäume -‐ Balancierung

k1

k3

k2

+2

+1

0 Einfache Rotation (R) nach rechts k1

k2

k3

k3

k2

+2

-1

0

k1

Doppelrotation (LR) erst nach links, dann nach rechts

k2

k1

k3

0

0 0

0

0 0

Rotation von k1 über k2 und k3

Rotation von k2 über k3

11

Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes 1/2

1. Einfügen

rot = Balance

7

5

1

0

Einfügen 2

2

7

5

2

1

0

12

Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes 2/2

2. Ausgleich durch RotaMon (einfache Darstellung)

Einfache RotaQon rot = Balance

2

7

5

2

1

0 Einfache Rotation nach rechts

2

5

7

0

0 0

13

Einfügen im rechtenTeilbaum des linken Kindes 1/2

1. Einfügen rot = Balance

7

5

1

0

Einfügen 6

7

5

2

-1

0

6

14

Einfügen im rechtenTeilbaum des linken Kindes 2/2

2. Ausgleich durch RotaMon (einfache Darstellung) DoppelrotaQon (LR) = RotaMon nach links und dann nach rechts.

rot = Balance

7

5

2

-1

0

6

5

6

7

0

0 0

Rotation (L)

5

7

6

2

1

0 Rotation (R)

15

AVL – Bäume Anwendung der Ausgleichsregeln

o  Ausgleichen für den Knoten k für den das AVL-‐Kriterium verletzt ist. Fälle: 1.  Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes

à RotaMon des Knotens mit linkem Kind 2.  Einfügen im rechten Teilbaum des linken Kindes.

à DoppelrotaMon à RotaMon linkes Kind mit seinem rechten Kind à RotaMon des Knotens mit linken Kind

o  Die Fälle „Einfügen … des rechten Kindes“ sind symmetrisch à hier nicht betrachtet.

16

Einfügen – Änderung der Struktur 1/2

o  RotaMon (genaue Darstellung): LinksrotaMon von k.

vorher nachher

Wurzel k k.leD linkes Kind der Wurzel k.leD k.leD.leD rechte Kind der Wurzel k.right k li. Ki. des li. Ki. der Wurzel k.leD.leD k.leD.leD.leD re.Ki. des li. Ki. der Wurzel k.leD.right k.leD.leD.right li. Ki. des re. Ki. der Wurzel k.right.leD k.leD.right re.Ki. des re. Ki. der Wurzel k.right.right k.right

Die „nachher“-Position bezieht sich immer auf den den neuen Wurzelknoten, der Pfad zu dem entsprechenden Knoten beginnt immer beim alten Wurzelknoten k.

17

Einfügen – Änderung der Struktur 2/2

¨  RotaMonen (genaue Darstellung): Einfache RotaQon

rot = Balance

2

7

5

1

0

10

2

1

9

13

0

0

5

7

10

0

1 0

2

0

13

0

9

0

Nur die blau markierten Referenzen werden geändert

20

ImplemenMerung – AVL-‐Baum 1/4

public class AVLTreeNode { Element value; TreeNode left; TreeNode right; int balance; // reicht aus boolean isbalanced; // redundant !

// Konstruktor public AVLTreeNode (Element value, AVLTreeNode left, AVLTreeNode right) { this.value = value; this.left = left; this.right = right; balance = 0; } }

21

ImplemenMerung AVL-‐Baum 2/4

public class AVLTree { AVLTreeNode root;

// Konstruktoren public AVLTree ( ) { } public AVLTree (Element v) { root = new AVLTreeNode (v, null, null); } ...

22


o  RotaMon (Methode in AVLTree) private TreeNode rotateLeft (TreeNode t) {

TreeNode tmp = t.right; t.right = t.right.left; tmp.left = t; return tmp;

}

o  Analog rotateRight

23


o  DoppelrotaMon (verwendet in AVLTree) ¤  2 RotaMonen ¤  DoppelrotaMon links = Rot. Rechts + Rot. Links

... r.right = rotateRight (r.right); TreeNode tmp = rotateLeft (r); // tmp ist neue Wurzel ...

24

ImplemenMerung – AVL-‐Baum -‐ Einfügen 1/8

o  Idee ¤  Einfügen des neuen Knotens als Blao (wie Binärbaum). ¤  Anschließend ggf. Ausgleichen durch RotaMon. ¤  Es gilt

n  Es müssen höchstens Knoten auf dem Weg vom eingefügten Blao zur Wurzel ausgeglichen werden.

n  Es muss höchstens ein Knoten ausgeglichen werden (d.h. höchstens eine RotataMon oder DoppelrotaMon) .

o  Grundlage ¤  Rekursives insert (= insertR) für Binärbaum. ¤  Rekursiv, da dann Weg von Einfügeknoten zu Wurzel verfügbar ist.

25


o  (Methode in AVLTree) public void insert (Element p) { if (root == null) { root = new AVLTreeNode (p); } else { root = insertR (root, p); } }

26


private AVLTreeNode insertR ( AVLTreeNode t, Element p) { ... }

1. Grundlage: rekursives Einfügen des Binärbaums. 2.  Erweiterung: Rebalancieren

a) Feststellen, ob rebalanciert werden soll: I.  ein Knoten hat die Balance 1 (linker Unterbaum

größer) UND es wurde im linken Unterbaum eingefügt

II. Der Baum wurde noch nicht rebalanciert (nur ein Rebalancieren notwendig bei Einfügen!)

b) Rebalancieren & Balance aktualisieren

27


private TreeNode insertR (TreeNode t, int i) {

// t not equal null!

if (i < t.val) {

// left subtree

if (t.left == null) {

// no subtree – insert node

t.left = new TreeNode (i);

} else {

// insert in right subtree

t.left = insertR (t.left, i);

}

} else if (i == t.val) {

// nothing to do

} else {

// i > t.val

// right subtree analogue left subtree

}

}

Zu 1. Grundlage: rekursives Einfügen

im Binärbaum

28


Zu 2 a I: linker Unterbaum größer (Balance 1) UND in linken Unterbaum wurde eingefügt

¤  Nach dem Einfügen (rekursiver insertR-‐Aufruf): t.balance == 1 && Math.abs (t.left.balance) == 1

Anmerkung: nach dem Einfügen kann die

Balance auf 0 sein – in dem Fall ist der Baum jedoch bereits

balanciert

29


Zu 2 a II: Baum noch nicht rebalanciert ¤  Beim „Absteigen“ durch die rekursiven Aufrufe:

in jedem besuchten Knoten t: t.isbalanced = false

¤  Beim „Aufsteigen“: 1.  t.isbalanced = t.left.isbalanced

falls der Unterbaum bereits balanciert wurde, dann ist auch der übergeordnete balanciert

2.  Setze t.isbalanced = true falls der Baum balanciert wird bzw. ist: n  RotaMonen n  Es gibt Knoten gleichen Niveaus

mit eingefügtem Knoten in rechten Unterbaum

Baum hat die Balance 0

30


Zu 2 b Balancieren (nur falls noch nicht balanciert wurde) ¤  Balance der Wurzel erhöht sich um 1 ¤  Falls Balance == 2

n  Balancierregeln anwenden n  RotaMon oder DoppelrotaMon

n  Balancen neu berechnen n  Neue Wurzel: Balance = 0 n  RechtsrotaMon

right (ehemalige Wurzel): Balance = 0 n  DoppelrotaMon: neue Balancen =

alte Balance der neuen Wurzel

1 -‐1 leD 0 1 right -‐1 0

31


¨  Java Programm

32

AVL-‐Bäume Beispiel für Balancierung

+1

0

0

Tb1

Tb2 Tb3

Tb4

Welche Aussagen kann man über die Höhenverhältnisse der Teilbäume machen?

In welche Teilbäume kann man noch Knoten einfügen, ohne dass einer der angegebenen Knoten aus der Balance gerät?

33

AVL-‐Bäume Beispiel für Balancierung

0

0

Tb1 Tb2 Tb3

k2

k1

-1

0

Tb1

Tb2 Tb3

k1

k2

Welche Aussagen kann man über die Höhenverhältnisse der Teilbäume machen?

In welche Teilbäume kann man noch Knoten einfügen, ohne dass einer der angegebenen Knoten aus der Balance gerät?

34

ImplemenMerung – AVL-‐Baum -‐ Löschen

1. Grundlage: rekursives Löschen im Binärbaum 2.  Erweiterung: Rebalancieren

a) Feststellen, ob rebalanciert werden soll n  Betrachten des ganzen Pfades von der Wurzel

bis zum gelöschten Element und zurück. n  Balancieren mehrerer Knoten möglich.

b) Rebalancieren & Balance aktualisieren

36

Mehrwegbäume: MoMvaMon 1/2

o  Mit AVL-‐Bäumen: Bäume sind ausgeglichen à Anzahl der OperaMonen ist begrenzt.

o  Was ist, wenn der Baum zu groß für den Hauptspeicher ist? o  Externe Datenspeicherung → Speicherhierarchie:

¤  Register (< 1kB) 1 ns ¤  Cache (L2) (0,5-‐2 MB) 3 ns ¤  Hauptspeicher (512 MB – 8 GB) 20 ns ¤  Festplaoe (20 – 512 GB) 7 ms

o  Zugriffsverhältnis zwischen Hauptspeicher und Festplaoe: t(Plaoe) / t(Hauptspeicher) = (7·∙10-‐3) / (20·∙10-‐9) = 3.5·∙105

37

Mehrwegbäume: MoMvaMon 2/2

è Zugriff auf (externe) Knoten sehr teuer. Beispiele: o  Dateibaum des Datei-‐Systems. o  Tabellen von Datenbanken (DB2 (IBM), Sybase, Oracle, ...). à Man häoe gerne einen Baum, der noch geringere Tiefe hat als log2 n. Idee: o  Erhöhe die Basis des Logarithmus (à Mehrweg-‐Baum). o  Speichere mehrere "aufeinanderfolgende" Baum-‐Knoten auf

derselben Seite (Page) auf der Plaoe. à Reduziere damit die Anzahl der Seitenzugriffe.

38

m-‐Wege-‐Baum

o  Ein m-‐Wege-‐Suchbaum ist eine Verallgemeinerung eines binären Suchbaumes (d. h., ein binärer Suchbaum ist ein 2-‐Wege-‐ Suchbaum).

1 Seite

Wenn die Knoten des Baums jeweils wie eingerahmt auf einer Seite liegen, findet man einen Wert mit maximal 2 Zugriffen auf einem externen Speicher, stao mit max. 5 Zugriffen, wenn das nicht garanMert ist.

39

Mehrwegebaum: DefiniMon

o  In einem m-‐Wege-‐Baum haben alle Knoten den Grad ≤ m. o  Der Baum ist entweder leer oder besitzt folgende EigenschaDen: o  Jeder Knoten hat folgende Struktur:

¤  ki sind die Schlüssel, 1 ≤ i ≤ m-‐1. ¤  m-‐1 ist die Anzahl der Schlüssel im Knoten. ¤  ti sind die Zeiger zu den Unterbäumen des Knotens.

o  Schlüssel innerhalb eines Knotens sind aufsteigend geordnet: ¤  k1 ≤ k2 ≤ ... ≤ km-‐1

o  Alle Schlüssel im Unterbaum ti sind kleiner als ki+1 , für 0 ≤ i < m-‐1. o  Alle Schlüssel im Unterbaum tm-‐1 sind größer als km-‐1. o  Die Unterbäume ti , für 0 ≤ i ≤ m-‐1, sind ebenfalls m-‐Wege-‐Bäume.

k2 k1 k3 k4

t1 t0 t2 t3 t4

Beispiel: m = 5

40

EigenschaDen von m-‐Wege-‐Bäumen

o  Baum ist nicht ausgeglichen. o  Bläoer sind auf verschiedenen Stufen o  Bei Veränderungen gibt es keinen Ausgleichsalgorithmus. o  Schlechte Speicherausnutzung, kann zu verkeoeten Listen

degenerieren. o  Anzahl der Knoten im vollständigen m-‐Wege Baum mit Höhe h: o  Maximale Anzahl n von Schlüsseln:

¤  n ≤ AnzK*(m-‐1) = mh -‐1

o  Völlig degenerierter Baum: n = AnzK = h o  Grenze für die Höhe eines m-‐Wege-‐Baumes: logm(n+1) ≤ h ≤ n.

KANZ =im

i=0

h−1

∑ =hm −1

m−1

41

Prinzip des B-‐Baums

o  B-‐Baum-‐Kriterium ¤  Alle Pfade von der Wurzel bis zu den Bläoern sind gleich lang. ¤  Jeder Knoten – außer der Wurzel – enthält zwischen m und 2m

Schlüsselwerte. ¤  Jeder Knoten (außer der Wurzel) hat zwischen m+1 und 2m+1 Kinder

(Unterbäume). ¤  Die Wurzel ist entweder ein Blao oder hat mindestens 2 Kinder.

o  B-‐Baum

¤  Ein B-‐Baum ist ein Baum, der das B-‐Baum-‐Kriterium erfüllt (für ein gegebenes m).

¤  m heißt Ordnung eines B-‐Baums.

42

B-‐Baum – EigenschaDen der Knoten 1/2

e2 e1 e3 e4

b1 b2 b5 b3 b4

geordnet: ∀ Knoten k aus b2:

∀ Elemente e aus k: e1 < e < e2

43

B-‐Baum – EigenschaDen der Knoten 2/2

e2 e1 e3 ei

b1 b2 bi+1 b3 bi

Baum der Ordnung m: m < i < 2m

… Max. Anzahl von

Elementen: 2m Max. Anzahl von

Unterbäumen: 2m+1

44

B-‐Baum -‐ Beispiel

43 35 56 15 8

4 2 5 12 11 21 19 22

63 25

31 28

46

B-‐Baum: DefiniMon

Ein Baum heißt B-‐Baum der Ordnung m, wenn er folgende EigenschaDen erfüllt:

1.  Jeder Knoten enthält höchstens 2 ⋅ m Elemente.

2.  Jeder Knoten außer dem Wurzelknoten enthält mindestens m Elemente. Der Wurzelknoten enthält mindestens ein Element.

3.  Jeder Knoten ist entweder ein Blao ohne Nachfolger oder hat i+1 Nachfolger, falls i die Anzahl der Elemente ist.

4.  Alle Bläoer liegen auf dem gleichen Niveau.

5.  Ist ei ein Element, dann sind im linken Nachfolgeknoten (vi) alle Schlüssel kleiner und im rechten (vi+1) alle größer (Ordnungskriterium).

Bemerkung: Die Terminologie im Zusammenhang mit B-Bäumen ist in der Literatur nicht ganz einheitlich. Oft wird auch der maximale Verzweigungsgrad (in unserem Fall 2 ⋅ m + 1) als Ordnung bezeichnet – etwa von D. Knuth. Deshalb muss man die jeweilige Definition immer genau beachten!

47

B-‐Bäume: 2-‐3 Bäume

o  Ein B-‐Baum der Ordnung 1 hat

¤  pro Knoten mindestens 1 höchstens 2 Elemente.

¤  pro Knoten mindestens 2 höchstens 3 Kinder.

o  Man nennt einen B-‐Baum der Ordnung 1 auch 2-‐3 Baum, wenn man damit die

minimale und maximale Anzahl der Kinder eines Knotens angibt. Diese Art der

KlassifikaMon von B-‐Bäumen wird insbesondere dann verwendet, wenn man den

maximalen Verzweigungsgrad für die Ordnungsangabe heranzieht.

48

B-‐Bäume Aufnahmekapazität

o  Maximale Höhe eines B-‐Baums der Ordnung m bei minimaler Füllung: o  Sind dort n Knoten unterzubringen, gilt für die Höhe h = logm n.

o  Die Höhe eines B-‐Baums ist logarithmisch in der Anzahl der gespeicherten Schlüssel beschränkt.

o  Die Ordnung eines B-‐Baums liegt üblicher Weise bei 50 – 100. B-‐Bäume sind auch bei einer sehr großen Zahl von gespeicherten Schlüsselwerten besonders niedrig.

o  Frage: Wie viele Schlüssel kann ein B-‐Baum der Ordnung m = 50 bei einer Höhe von h = 4 maximal aufnehmen?

49

B-‐Bäume: Suchen

o  Suchen = KombinaMon des Verfolgens von Verweisen (wie im binären Suchbaum) und der Suche in einer sorMerten Folge.

o  Gesucht wird nach dem Wert w. o  Man beginnt im Wurzelknoten und besMmmt dort den Eintrag, für den gilt:

ei ≥ w. o  Ist ei = w, dann ist man ferMg (man hat w gefunden). o  Sonst geht man zum Knoten vi , d.h. man folgt dem Verweis, der vor ei liegt.

o  Gibt es kein Element mit ei ≥ w, dann folgt man dem letzen Verweis des Knotens. o  Findet man den Wert w auch auf einer erreichten Blaoseite nicht, dann ist der

Wert nicht im Baum enthalten.

50

Ein Beispiel B-‐Baum

25

2 5 7 8 13 14 17 18 22 24 32 38 26 27 28 42 43

10 20 31 40

51

B-‐Baum Einfügen 1/2

o  Ziel: Einfügen eines Wertes (Elements) w in den B-‐Baum.

o  Die B-‐Baum EigenschaD (m ≤ Anzahl der Elemente pro Knoten ≤ 2m) darf nicht verletzt werden.

1.  Suchen des Blaoknotens, in dem eingefügt werden muss (müsste).

2.  PosiMon im gefundenen Knoten – mit 3 Fallunterscheidungen: a)  Es gibt 2 Elemente s und b mit s < w < b. b)  Ein Element s als kleinstes Element des Knotens mit w < s; dabei ist s das am weitesten links

stehende Element.

c)  Ein Element b als größtes Element des Knotens mit b < w; dabei ist b das am weitesten rechts stehende Element.

3.  Einfügen des Elements mit 2 Fallunterscheidungen : a)  Der Knoten enthält bisher < 2m Elemente: dann muss man nur noch an der richMgen PosiMon

einfügen. b)  Der Knoten enthält bereits 2m Elemente. Dann platzt der Knoten beim Einfügen eines weiteren

Elements. D.h. es muss ein neuer Knoten eingeführt werden, dadurch ändert sich auch die Knotenstruktur des Baums.

52


o  Erzeugen eines neuen Knotens:

1.  Die ersten m Werte bleiben im Originalknoten.

2.  Die letzten m Werte werden in den neuen Knoten verschoben.

3.  Das miolere Element wandert in den Elternknoten nach oben.

o  Da der Elternknoten ein Element mehr aufnimmt, kann er auch platzen (Anzahl der Elemente in Elternknoten > 2m) → der Prozess des Erzeugens eines neuen Knotens beginnt von neuem und setzt sich rekursiv fort bis in den Wurzelknoten.

o  Platzt auch der Wurzelknoten, dann wird auch er geteilt und ein neuer Elternknoten (ein neuer Wurzelknoten) erzeugt, d.h. wächst der Baum um eine Ebene.

o  Feststellung: B-‐Bäume wachsen in Richtung Wurzel – anders als die bisherigen Bäume.

Es gibt eine Ausgleichsvariante è später

53


25

10 20

insert 16

13 14 16 17 18 Der Blattknoten platzt !

13 14 17 18 Split in 2 Knoten (alten + einen neuen)

2 5 7 8 13 14 17 18 22 24

54


25

2 5 7 8 13 14 17 18 22 24

10 16 20

55

B-‐Baum Löschen 1/3

o  Im Prinzip ähnlich wie Einfügen – nur mit umgekehrten Effekten. Ein Knoten kann defizitär werden, d.h. durch Entnahme kann die Anzahl der Elemente im Knoten < m werden.

1.  Suchen des Knotens, aus dem das Element w en�ernt werden soll.

2.  En�ernen im gefundenen Knoten – mit 2 Fallunterscheidungen:

a)  Liegt w in einem Blaoknoten, dann kann das Element gelöscht werden. Bleiben auf dem Blaoknoten weniger als m Elemente übrig, dann ist ein Defizit (Unterlauf) zu behandeln.

b)  Liegt w in einem inneren Knoten, dann wird das Element gelöscht und durch das nächst kleinere Element von einem Blaoknoten ersetzt (ähnlich wie beim binärem Suchbaum, wo man das größte Element im linken Teilbaum einsetzte). Bleiben auf dem Blaoknoten weniger als m Elemente übrig, dann ist ein Defizit zu behandeln.

Man ist am Ende immer in einem Blaoknoten angekommen.

56


3.  Behandlung des Defizits (Unterlaufs) mit 2 Fallunterscheidungen:

a)  Ausgleichen zweier benachbarter Knoten: wenn der Nachbarknoten n (n > m) Elemente enthält, dann kann sie einen Knoten „abgeben“. Dabei werden die Elemente der beiden beteiligten Knoten sowie das „eingeschlossene“ Element auf dem Elternknoten neu verteilt, so dass beide Kinder(knoten) mindestens m Elemente enthalten.

b)  Vereinigen zweier benachbarter Knoten: wenn ein Ausgleich nicht möglich ist – das ist dann der Fall, wenn der Nachbarknoten n = m Elemente enthält – werden die beiden Knoten zusammengefasst. Zusätzlich wird noch das „eingeschlossene“ Element aus dem Elternknoten herunter gezogen. Dieser neue Blaoknoten hat jetzt n = 2m Elemente (m-‐1 von dem Knoten, wo ein Element en�ernt wurde, m vom Nachbarknoten und 1 vom Elternknoten).

c)  Jetzt kann auch der Elternknoten defizitär werden (es wurde ja ein Element entnommen) → der Prozess der Unterlau�ehandlung eines Knotens beginnt von neuem und setzt sich rekursiv fort bis in den Wurzelknoten.

57


o  Wird auch das letzte und einzige Element im Wurzelknoten en�ernt, dann werden die beiden darunter liegenden Knoten vereinigt. Der Baum schrumpD um eine Ebene von der Wurzel her.

o  Feststellung: B-‐Bäume schrumpfen an der Wurzel – anders als die bisherigen Bäume.

58

B-‐Baum Löschen mit Ausgleichen

25

32 38 26 27 28 42 43

31 40

2 5 7 8 13 14 17 18 22 24

10 20

delete 22

2 5 7 8 13 14 17 20 24

10 18

59

B-‐Baum Löschen mit Vereinigen

25

42 43 2 5 7 8 13 14 17 18 22 24

10 20

delete 43

32 38 26 27 28

31 40 50

32 38 26 27 28

31 50

40 42

60

B-‐Baum Einfügen-‐Variante 1/2

25

2 5 7 8 13 14 17 18 22 24

10 20

insert 16

13 14 16 17 18 Der Blattknoten platzt !

Ausgleich mit Nachbarknoten statt Split.

61

B-‐Baum Einfügen-‐Variante 2/2

25

2 5 7 8 13 14 16 17

10 18

20 22 24

B*-‐Baum (nach Donald Knuth, 1973)

¨  Knoten müssen mindestens zu 2/3 gefüllt sein (anstao nur 1/2).

¨  Durch veränderte Split-‐Strategie: 2 volle Knoten auf 3 Knoten mit einem Füllgrad von 2/3 auDeilen.

62

B-‐Bäume: Zusammenfassung

o  Vielleicht die Datenstruktur, die in der Praxis am meisten benutzt wird.

o  B-‐Bäume sind ausgeglichene m-‐Wege-‐Bäume. o  Man wählt i.A. die Ordnung m gerade so groß, dass jeweils

alle Schlüssel eines B-‐Knotens genau einer page ( = Übertra-‐gungseinheit, d.h. Blockgröße bei einem Lesezugriff – typisch 4-‐16 kByte) entsprechen: ¤  Typische Größen, z.B. m = 50 oder m = 2500. ¤  Sehr flache Bäume. ¤  Kurzer Weg von der Wurzel zu den Bläoern.

63

Weitere Bäume

o  Bruderbäume „AVL-‐Bäume mit Bläoern gleichen Niveaus“ ¤  Innere Knoten dürfen nur ein Kind haben

o  Treaps „randomisierte Suchbäume“ ¤  Problem: Einfügen einer Folge geordneter Elemente erzeugt

„degenerierten Baum“ (Liste ¤  Abhilfe: Eingabefolgen zufällig vertauschen

o  Digitale Bäume ¤  Tries ¤  Patriciabäume

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