12. ubungsserie : stichprobenplan f ur die qualit...
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12. Ubungsserie : Stichprobenplan fur die Qualitatskontrolle
• Lieferung vom Umpfang N mit M Ausschussstucken.
• M unbekannt.
• Ô⇒ p = MN unbekannter Ausschußanteil.
• Fur pα < pβ gelte
p ≤ pα Ô⇒ Lieferung ist gut
p ≥ pβ Ô⇒ Lieferung ist schlecht
• Folgende Hypothesen werden getestet:
H0 ∶ p ≤ pα v.s. HA ∶ p ≥ pβ
Testentscheidung mit (n,c)-Stichprobenplan:
• Erhebung Stichprobe der Große n
• X sei die beobachtete Anzahl der Ausschußstucke
• Ô⇒ X ∼ Hyp(N,M,n)
Entscheidung:
x ≤ c Ô⇒ H0 wird angenommen Ô⇒ Annahme der Lieferungx > c Ô⇒ H0 wird abgelehnt Ô⇒ Ablehnung der Lieferung
• Wie sind n und c zu wahlen?
OC-Funktion:
Die Opperationscharakteristik (OC-Funktion) ist definiert durch
L(p) ∶= P(”Annahme der Lieferung“ ∣p ist Ausschußanteil)
= P(X ≤ c∣p)
=c
∑i=1
P(X = i∣p)
wobei
P(X = i∣p) =(Ni)(N−M
n−i)
(Ni)
, da X ∼ Hyp(N,M,n)
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Die Gutefunktion ist definiert durch
g(p) = P(X > c∣p) = 1 −L(p)
Zwei Interessengruppen:
Der Produzent stellt die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit fur die Ablehnungeines guten Postens moglichst klein sein soll. Fur einen kleinen Wert α soll alsogelten, dass
P(Ablehnung eines guten Postens)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
Produzentenrisiko
= P(X > c∣pα) = 1 −L(pα) ≤ α
alsoL(pα) ≥ 1 − α (0–1)
.Der Konsument stellt die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit fur die Annahmeeines schlechten Postens moglichst klein sein soll. Fur ein kleinen Wert β soll alsogelten, dass
P(Annahme eines schlechten Postens)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
Konsumentenrisiko
= P(X ≤ c∣pβ) = L(pβ) ≤ β (0–2)
Ziel: Bestimme n und c so, dass die Bedingungen (0–1) und (0–2) and die OC-Funktion erfullt sind!
Approximation der Hypergeometrischen Verteilung:
Es gilt
L(p) = P(X ≤ c∣p) =c
∑i=0
P(X = i∣p)
wobei
P(X = i∣p) =(Ni)(N−M
n−i)
(Ni)
, da X ∼ Hyp(N,M,n) (0–3)
Poisson-Verteilung(p ≤ 0,05;n ≥ 20)
L(p) approximation mit // Binomial-Verteilung(n ≤ N
20)
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((Normal-Verteilung(np(1 − p) > 9)