2 = 360° 1° = /180 6 ebene geometrie (s. 45ff) 180°
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2 = 360°1° = /180
6 Ebene Geometrie (S. 45ff)
180°
= s/r Einheit Radiant (rad) 360° = 2 rad Winkelgrad (°) = /180
abc
a2 + b2 = c2
ma2 + mb2 = mc2
Satz des Pythagoras
ma2 + mb2 = mc2
a2 + b2 = c2
ma2 + mb2 = mc2
a2 + b2 = c2
ma2 + mb2 = mc2
a2 + b2 = c2
sin = ca
sin = cos = cos(2 - )
sin2 + cos2 = 1
cos = cb
tan =
ba =
cossin
7 Trigonometrie (S. 51ff)
(S. 4)
sin0 = 0 sin2 = 1 cos0 = 1 cos
2 = 0
sin(-) = -sin cos(-) = cos
(S. 227ff)
Für "kleine" Winkel gilt sin tan
aber nur im Bogenmaß!
Raumwinkel
Einheit: Steradiant (sr)Vollwinkel = 4 sr
Maß für den Anteil am Gesichtsfeld(S. 179)
A =
z
y
x
aaa
Allgemein ist ein Vektor ein geordnetes n-Tupel, das bestimmten Rechenregeln unterliegt. Wir beschränken uns auf den dreidimensionalen euklidischen Raum 3. Dort ist ein Vektor A ein geordnetes Tripel, dessen Komponenten reelle Zahlen sind.
Ortsvektor oder Polarvektor
8 Vektoren (S. 55ff)
A = B a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3
|A| = 23
22
21 aaa
A + B = C
3
2
1
aaa
+
3
2
1
bbb
=
33
22
11
bababa
3
2
1
aaa
8.2 Skalarmultiplikation
A = |A| = | |23
22
21 aaa
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten
eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.
)´(:d
)(d:Δ
)()Δ(lim
0Δxf
xxf
xxfxxf
x
23 Differentialrechnung (S. 205ff)
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten
eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.
)´(:d
)(d:Δ
)()Δ(lim
0Δxf
xxf
xxfxxf
x
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten
eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.
)´(:d
)(d:Δ
)()Δ(lim
0Δxf
xxf
xxfxxf
x
f ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert der Folge der Differenzenquotienten
eindeutig existiert. Der Grenzwert f´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f(x). f´(x) = tan = Steigung der Tangente im Punkt x.
)´(:d
)(d:Δ
)()Δ(lim
0Δxf
xxf
xxfxxf
x
Isaac Newton (1643 – 1727)
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716)
xf
dd
f‘
fxxx
fx d
ddd
dd
dd
f‘‘
2
22
dd)
dd(
xff
x
fxdd
Differentialoperator
xcmxcxxmxf
x
][])([ )´( lim0Δ
xx
xxxx
xxxxfxx
2)(2 )( )´(2
0Δ
22
0Δlimlim
23.1 Ableitungen einfacher Funktionen
lineare Funktion f(x) = mx + c
insbesondere gilt für f(x) = c, d.h. m = 0: f´(x) = 0
mxxm
x
lim0Δ
quadratische Funktion f(x) = x2
(f + g)´ = f´ + g´ (fm)´ = f´m
x
f(x)
xx
xxxx
xxxxfxx
2)(2 )( )´(2
0Δ
22
0Δlimlim
quadratische Funktion f(x) = x2
121
0Δ0Δ
)R( )( )´( limlim
r
r
x
rr
xrx
xxxrx
xxxxxf
f(x) = xr mit r , r 0:
Produktregel: (f.g)´ = f´g + fg´
Man zeige mit der Produktregel: (mf)´ = mf´ für m = const.
(x3)´ = (x2.x)´ = 2x.x + x2.1 = 3x2
Man zeige mit der Produktregel: dx3/dx = 3x2
dsinx
dx = cosx d2sinx
dx2 = dcosx
dx = -sinx
d3sinx
dx3 = d2cosx
dx2 = - dsinx
dx = -cosx d4sinx
dx4 = d3cosx
dx3 = - d2sinx
dx2 = - dcosx
dx = sinx
xcosΔxxsinxcosΔxsinΔxcossinx
ΔxsinxΔx)sin(x
dxxsind
0Δx0Δx
limlim
xsinΔxxcosΔxsinxsinΔxcoscosx
ΔxsxcoΔx)cos(x
dxxcosd
0Δx0Δx
limlim
Satz (Kettenregel): Seien g(y) und f(x) auf diffbare Funktionen mit y = f(x), dann gilt:
dg dg dy=dx dy dx (wie in der Bruchrechnung)
d dsin(ωt) d(ωt)sin(ωt) cos(ωt) ωdt d(ωt) dt
Partielle Differentiation f(x,y) = 2x2y
xy4xf
2x2
yf
xy4dxdf
consty
2
constxx2
dydf
28. Funktionen mehrerer Variablen (S. 249ff)
d(k x)sin(ω t - k x) sin(ω t - k x)x (k x) dx
-k cos(ω t - k x)
f(x, t) = sin(t - kx)
2
2
2
2
sin(ω t - k x) [-k cos(ω t - k x)]x x
-k sin(ω t - k x)]
-k f(x,t)
2
2
2
2
sin(ω t - k x) [ω cos(ω t - k x)]t t
-ω sin(ω t - k x)]
-ω f(x,t)
Δx→0 Δx→0
F( x+Δx)= [F( x)+Δx f( x)]lim lim
Δx→0F( x+Δx)-F( x)f( x) = =F(́ x)lim Δx
a
bf(x)dx = F(b) - F(a)
29-33 Integralrechnung (S. 255ff)
3 2d x = 3xdx
32 xx dx = + C
3