2004 1 prof. dr.-ing. h. wörn, dr.-ing. j. seyfried institut für prozessrechentechnik, automation...
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Prof. Dr.-Ing. H. Wörn, Dr.-Ing. J. SeyfriedInstitut für Prozessrechentechnik, Automation und Robotik; Universität Karlsruhe (TH) 2004
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Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I
Übung im Sommersemester 2004J. Seyfried
http://wwwipr.ira.uka.de/~lehre/[email protected].: (0721) 608-3656Zimmer 107, Geb. 40.28
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Übung?
• Übungsblätter– Aufgaben zur Wiederholung und Verdeutlichung– Aufgaben zur Vertiefung– alte Klausuraufgaben
• Fragen !!!!!!! (?)• Wiederholung unklarer Sachverhalte
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Übung?
• Übungsblätter– Aufgaben zur Wiederholung ...– Aufgaben zur Vertiefung– alte Klausuraufgaben
• Fragen !!!!!!! (?)• Wiederholung unklarer Sachverhalte
!
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Informatik I + II
Informatik I
Informatik II
• Grundlagen
- mathematische
- logische
- informationstheoretische
• Algorithmen
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Vorbereitung auf die Klausur
• Stoff verstehen• Aufgabenblätter rechnen
– ohne in die Musterlösung zu schielen
• alte Klausuren rechnen• sich „durchbeißen“, auch
wenn man nicht gleich auf die Lösung kommt!
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Aufgabe 1
• Mengenbegriff:– Grundmenge wichtig:
Komplementbildung{1, 2, 3, 4}C = ?
• IN - {1, 2, 3, 4}• {5, 6, 7, 8, 9} auf Grundmenge {1,...9}
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Aufgabe 1
• Mengenbegriff:– Grundmenge wichtig
1
2
3
6
78
95
4
A
B
C
D
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Aufgabe 1
• Venn-Diagramme
Vereinigung:
Komplement:
Subtraktion:
Durchschnitt:
A B
A
A B
A B
A B
A - B
A B
AC
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Aufgabe 3
• RelationenUns geläufige Relationen:
>< ...
„neue“ Relationen analog:
statt 3<4:
3 R 4
Relationen kann man schreiben als:
• Matrix
• Tabelle
• formal
• ...
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Relationen – wofür?
• Ein Beispiel:
3 R 4?
SELECT * FROM session WHERE session_id='f09f8733c8b898ced7ca8f9405457f00'
Relationale Datenbanken (MySQL, ...) werden heute häufig für Webpräsentationen mit dynamischem Inhalt (Content Management Systeme - „CMS“) verwendet
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Aufgabe 3
• Relationen kann man schreiben als:
– Matrix
– Tabelle
– formal
– ...
3
2 43
5
1
1
5
4
2
1R3 1R5
2R1 2R5
4R1 4R3 4R5
5R3
Andere Schreibweise:
(1, 3) R
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Aufgabe 3
• {x: 3Rx}
3
2 43
5
1
1
5
4
2
= {}
• {x: (4, x)R}
={1, 3, 5}
• {x: xR5}
= {1, 2, 4}
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Aufgabe 3
• Vorbereich:
– alle Zeilen, indenen ein„Böbbel“ ist
3
2 43
5
1
1
5
4
2{1, 2, 4, 5}
• Nachbereich:
– alle Spalten, indenen ein„Böbbel“ ist
{1, 3, 5}
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Aufgabe 4
• Eigenschaften von Relationen
• spezielle Relationen
reflexiv, irreflexiv
symmetrisch, asymmetrisch
antisymmetrisch
transitiv
intransitiv
Äquivalenzrelation
Ordnungsrelation (totale, ...)Lernen!
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Aufgabe 5 b)
• Eigenschaften von Relationenreflexiv
1
1
1
1( )
an allen Knoten
Matrixdarstellung Graphendarstellung
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Aufgabe 5 b)
• Eigenschaften von Relationenirreflexiv
0
0
0
0( )
an keinem Knoten
Matrixdarstellung Graphendarstellung
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Aufgabe 5 b)
• Eigenschaften von Relationensymmetrisch
w 1 .
1 x . 0
.. y
0 z( )
Nur bidirektionale Kanten, Schleifen erlaubt
Matrixdarstellung Graphendarstellung
Matrix spiegelsymmetrisch
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Aufgabe 5 b)
• Eigenschaften von Relationenasymmetrisch
...
Nur unidirektionale Kanten, keine Schleifen
Matrixdarstellung Graphendarstellung
aijaji i, j=1..n, ij
aii1 i=1..n
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Aufgabe 5 b)
• Eigenschaften von Relationenantisymmetrisch
...
Nur unidirektionale Kanten, Schleifen erlaubt
Matrixdarstellung Graphendarstellung
aijaji i j
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Aufgabe 5 b)
• Eigenschaften von Relationentransitiv
...
Zu 2 benachbarten Kanten gibt es auch eine direkte
Matrixdarstellung Graphendarstellung
aij=ajk =1 aik =1 i, j, k=1..n
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Aufgabe 5 b)
• Eigenschaften von Relationenintransitiv
...
Zu 2 benachbarten Kanten gibt es keine direkte
Matrixdarstellung Graphendarstellung
aij=ajk =1 aik =0 i, j, k=1..n
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
Reflexivitäts-Kanten: weg
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
Reflexivitäts-Kanten: weg
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
Reflexivitäts-Kanten: weg
Transitivitäts-Kanten: weg
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
Reflexivitäts-Kanten: weg
Transitivitäts-Kanten: weg
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
Reflexivitäts-Kanten: weg
Transitivitäts-Kanten: weg
Pfeilrichtungen implizit
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
Reflexivitäts-Kanten: weg
Transitivitäts-Kanten: weg
Pfeilrichtungen implizit
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
a
bc
e d
a
bc
e d
Hasse-Diagramm
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Aufgabe 5 c)
• OrdnungsrelationenDarstellung als Hasse-Diagramm:
• Richtung der Pfeile immer implizit von unten nach oben
• Pfeile aus Transitivität werden weggelassen
• Totalordnungen: Ketten
a
bc
e d
Hasse-Diagramm
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Aufgabe 8
In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert?
Menge der Bücher B
Menge der Kunden K
b R k k hat b gelesen
bB, kK
Vorbereich:
V(R) = {x: kK mit xRk}
Menge der Bücher, die mindestens einmal gelesen wurden
Nachbereich:
N(R) = {x: bB mit bRx}
Kunden der Bibliothek, die mindestens ein Buch gelesen haben
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Aufgabe 8
In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert?
Menge der Bücher B
Menge der Kunden K
b R k k hat b gelesen
bB, kK
Ist R Funktion?
Zu prüfen:
• Rechtseindeutigkeit
• V(R) = B
Anschaulich: Funktion f: MN
• f(m) definiert mM
• f(m) ist eindeutig
1
2
3
4
g: MN
1
2
3
M N
G ist keine Funktion!
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Aufgabe 8
In einer Bibliothek werden jedem Buch seine bisherigen Leser zugeordnet. Was ist hier Vorbereich, was Nachbereich? Wird hierdurch eine Abbildung definiert?
Menge der Bücher B
Menge der Kunden K
b R k k hat b gelesen
bB, kK
Ist R Funktion?
Zu prüfen:
• Rechtseindeutigkeit
• V(R) = B
R ist nicht rechtseindeutig (mehrmals gelesene Bücher)
V(R) muss nicht gleich B sein (noch nie gelesene Bücher)
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Aufgabe 9
• Eigenschaften von AbbildungenAbbildungen auf abzählbaren Mengen:
Surjektivität
1
2
3
4
Kein Element des Nachbereichs ist ohne Pfeil
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Aufgabe 9
• Eigenschaften von AbbildungenAbbildungen auf abzählbaren Mengen:
Surjektivität
1
2
3
4
Kein Element des Nachbereichs ist ohne Pfeil
Nicht surjektiv
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Aufgabe 9
• Eigenschaften von AbbildungenAbbildungen auf abzählbaren Mengen:
Injektivität
1
2
3
4
Auf kein Element des Nachbereichs wird zwei Mal gezeigt
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Aufgabe 9
• Eigenschaften von AbbildungenAbbildungen auf abzählbaren Mengen:
Injektivität
1
2
3
4
Auf kein Element des Nachbereichs wird zwei Mal gezeigt
Nicht injektiv
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Aufgabe 9
• Komposition von Abbildungenf g wird gesprochen: f nach g
1
2
3
4
1
2
3
4
g
1
2
3
4
1
2
3
4
f
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Aufgabe 9
• Komposition von Abbildungenf g wird gesprochen: f nach g
1
2
3
4
1
2
3
4
g
1
2
3
4
1
2
3
4
ff g
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Aufgabe 9
• Komposition von AbbildungenZusammengefasst:
1
2
3
4
1
2
3
4
fg
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Aufgabe 9 b)
• Komposition von AbbildungenBei unterschiedlichen Wertebereichen: h g
zuletzt ausgeführte Abbildung (hier: h) gibt den Wertebereich an
1
2
3
4
1
3
h
1
2
3
4
1
2
3
4
f
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Aufgabe 10
1)( 3 xxf
Monoton steigend
injektiv
f: IR IRf(IR) = IR
surjektiv
bijektiv
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Aufgabe 10
)sin()( xxxg
f: IR IRf(IR) = IR
surjektiv
f(x1)=f(x2)
x1=x2/
nicht injektiv
nicht bjektiv
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Aufgabe 10
1)(sin)( 33
xxxhgfh
f: IR IRf(IR) = IR
surjektiv
f(x1)=f(x2)
x1=x2/
nicht injektiv
nicht bjektiv