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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-1
4. Stoßvorgänge
● Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auf-treten.
● Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Ge-schwindigkeiten vor dem Stoß und den Geschwindigkei-ten nach dem Stoß.
● Der genaue zeitliche Verlauf der Kräfte ist nicht bekannt.
● Stoßvorgänge werden daher mithilfe des integrierten Im-pulssatzes beschrieben.
● Dabei müssen Annahmen zum Kraftstoß getroffen wer-den.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-2
4. Stoßvorgänge
4.1 Idealisierungen
4.2 Stoß eines Massenpunktes
4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-3
4.1 Idealisierungen
● Idealisierungen sind vereinfachende Annahmen, die ge-troffen werden, damit ein Problem rechnerisch untersucht werden kann.
● Bei Stoßvorgängen werden folgende Annahmen getroffen:
– Die Stoßdauer tS ist so klein, dass Lageänderungen der be-
teiligten Körper während der Stoßdauer vernachlässigt wer-den können.
– Es müssen nur die durch den Stoß verursachten Kraftstöße berücksichtigt werden. Wegen der sehr kleinen Stoßdauer sind die Kraftstöße aller anderen Kräfte vernachlässigbar.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-4
4.1 Idealisierungen
– Die Verformungen der beiden Körper sind so klein, dass die Bewegungsgesetze für starre Körper angewendet werden können.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-5
4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Ein Massenpunkt trifft schräg auf eine glatte Wand.
– Bekannt:● Masse m
● Geschwindigkeit vA, α
A vor
dem Auftreffen
– Gesucht:
● Geschwindigkeit vB, α
B nach
dem Auftreffen
x
y
vA
vB
αA
xα
B
m
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-6
4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Geometrie:
● Integrierter Impulssatz in y-Richtung:
– Da die Wand glatt ist, werden keine Kräfte in y-Richtung übertragen.
– Damit gilt:
● Integrierter Impulssatz in x-Richtung:
– Der Stoßvorgang wird in zwei Phasen unterteilt, die Kom-pressionsphase und die Restitutionsphase.
vAx=−vA cos A , vAy=v Asin A
vBx=vB cos B , vBy=vB sin B
mvBy−mv Ay=0 vBy=v Ay
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
– Kompressionsphase:● Der Massenpunkt wird zusammengedrückt, bis die Ge-
schwindigkeit senkrecht zur Wand null ist.● Dazu muss auf die Masse der Kraftstoß wirken:
– Restitutionsphase:● Während der Restitutionsphase bildet sich die Verformung
ganz oder teilweise zurück.● Dabei nimmt die von der Wand auf den Massenpunkt ausge-
übte Kraft ab und ist am Ende der Restitutionsphase null.
FK
m⋅0−mvAx= FK −mvAx= FK
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-8
4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Für den Kraftstoß während der Restitutionsphase gilt:
– Zeitlicher Verlauf der Kraft auf den Massenpunkt:
FR
mvBx−m⋅0= FR mvBx= FR
t
F
Fmax
tS
F KF R
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-9
4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Stoßhypothese:
– Mit
stehen zwei Gleichungen zur Ermittlung der drei Unbekann-ten zur Verfügung.
– Zur Lösung wird noch eine Hypothese über das Verfor-mungsverhalten benötigt.
– Diese Hypothese stellt einen Zusammenhang zwischen den beiden Kraftstößen her.
−m vAx= FK , m vBx= FR
vBx , FK , FR
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
– Vollkommen elastischer Stoß:
● Verformungen und Kräf-te in der Restitutions-phase verlaufen spie-gelbildlich zur Kompres-sionsphase.
● Nach dem Stoßende hat die Masse wieder ihre ursprüngliche Form.
● Für die Kraftstöße gilt: t
F
Fmax
tS
F KF R
FR= FK
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Damit folgt:
● Ergebnis:
– Vollkommen plastischer Stoß:● Die gesamte Verformung bleibt erhalten.● Der Kraftstoß während der Restitutionsphase verschwindet:
● Damit folgt:
−mvAx = FK
mvBx = FK
mvAxmvBx=0
vBx=−vAx
vBy=vAy
vB=vA
B=A
FR=0
vBx=0
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Mit und folgt weiter:
● Der Massenpunkt rutscht an der Wand entlang.
– Teilelastischer Stoß:● Die Verformungen bilden sich teilweise zurück.● Für die Kraftstöße gilt:
● Die dimensionslose Konstante k wird als Stoßzahl bezeich-net.
● Der Wert der Stoßzahl liegt zwischen 0 (vollkommen plasti-scher Stoß) und 1 (vollkommen elastischer Stoß).
vBx=vB cos B , vBy=vBsin B vBy=vAy
B=90 °vB=vBy=vAy=vAsinA
FR=k FK
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Damit folgt:
● Ergebnis:
● Wegen k < 1 gilt:● Die Stoßzahl kann aus dem Verhältnis der Geschwindigkeiten
berechnet werden:
● Die Stoßzahl hängt von den Eigenschaften des Körpers und von den Eigenschaften der Wand ab.
−mvAx = FK
mvBx = k FK
k m vAxmvBx=0
vBx=−k vAx
tan B=vBy
vBx=
vAy
−k vAx=
1k
tan A
tan Btan A BA
k=−vBx
vAx
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
x
y
vA
vB
αA
xα
Bx
y
vA
vA
αA
xα
A
y
vA
vB
αA
x
αB
k = 1 0 < k < 1 k = 0
vollkommen elastisch teilelastisch vollkommen plastisch
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Bestimmung der Stoßzahl im Fallversuch:
– Eine Masse fällt aus der Höhe hA senkrecht auf eine waage-
rechte Unterlage.
– Nach dem Stoß erreicht sie die Höhe hB.
– Geschwindigkeiten nach oben werden positiv gezählt.
– Dann gilt für die Geschwindigkeit vA :
– Für die Höhe hB gilt:
– Damit folgt für die Stoßzahl:
vA=−2 g hA
hB=12
vB2
g vB=2 g hB
k=−vB
v A= hB
hA
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4.2 Stoß eines Massenpunktes
● Typische Werte der Stoßzahl:
– Glas auf Glas: 0,94
– Stahl auf Stahl: 0,8
– Holz auf Holz: 0,5
– Kork auf Kork: 0,56
● Außer vom Material hängt die Stoßzahl auch von der Geometrie des Körpers und von der Größe des Kraftsto-ßes ab.
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4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten
4.3.1 Definitionen
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
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4.3.1 Definitionen
● Berührungsebene und Stoßnormale:
– Die Berührungsebene liegt tangential zu den beiden Körpern.
– Der Stoßpunkt P liegt in der Berührungsebene.
– Die Stoßnormale geht durch den Stoßpunkt P und steht senkrecht auf der Berührungsebene.
P
S1
S2
Stoßnormale
Berührungsebene
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4.3.1 Definitionen
● Gerader Stoß:
– Die Geschwindigkeiten unmit-telbar vor dem Stoß haben die Richtung der Stoßnormalen.
● Schiefer Stoß:
– Die Richtungen der Geschwin-digkeiten unmittelbar vor dem Stoß stimmen nicht mit der Stoßnormalen überein.
P
S1
S2
v1
v2
P
S1
S2
v1
v2
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4.3.1 Definitionen
● Zentrischer Stoß:
– Die Stoßnormale geht durch die beiden Schwerpunkte.
– Beim zentrischen Stoß können die beteiligten Körper als Mas-senpunkte betrachtet werden
● Exzentrischer Stoß:
– Die Stoßnormale geht nicht durch die beiden Schwerpunkte.
S1
S2
P
S1
S2
P
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-21
● Vor dem Stoß:
– Die Massen m1 und m
2 bewegen sich mit den Geschwindig-
keiten v1 und v
2 entlang einer Geraden, die mit der Stoß-
normalen übereinstimmt.
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
x
m1
m2
v1
v2
v1 > v
2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-22
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
● Während des Stoßes:
– Zum Zeitpunkt t = 0 treffen die beiden Massen aufeinander.
– Sie üben eine Kraft F(t) aufeinander aus.
x
m1
m2
F(t)
Freigeschnitten:
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-23
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Kompressionsphase:● Während der Kompressionsphase werden die beiden Massen
zusammengedrückt.
● Am Ende der Kompressionsphase (Zeitpunkt t0 ) haben die
beiden Massen die gleiche Geschwindigkeit v0.
● Die Kontaktkraft F(t) erreicht zum Ende der Kompressions-phase ihr Maximum.
● Für den Kraftstoß während der Kompressionsphase gilt:
FK=∫0
t0
F t dt
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-24
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Restitutionsphase:● Während der Restitutionsphase bilden sich die Verformungen
teilweise oder vollkommen zurück. ● Dabei fällt die Kontaktkraft F(t) ab und ist am Ende (Zeitpunkt
tS ) null.
● Für den Kraftstoß während der Restitutionsphase gilt:
– Stoßhypothese:● Zwischen den Kraftstößen besteht die Beziehung
FR=∫t0
tS
F t dt
FR=k FK
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-25
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
● Nach dem Stoß:
– Die Massen m1 und m
2 bewegen sich mit den Geschwindig-
keiten w1 und w
2 entlang einer Geraden, die mit der Stoß-
normalen übereinstimmt.
x
m1
m2
w1
w2
w1 < w
2
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
● Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
– Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen wäh-rend der Kompressionsphase lautet:
– Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen wäh-rend der Restitutionsphase lautet:
– Damit stehen vier Gleichungen zur Verfügung, mit denen die vier Unbekannten w
1, w
2, v
0 und berechnet werden
können.
m1 v0−v1 =− FK , m2 v0−v2 = FK
m1 w1−v0 =−k FK , m2 w2−v0 =k FK
FK
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Addition der beiden Gleichungen für die Kompressionspha-se ergibt:
– Damit folgt für den Kraftstoß:
m1 v0−v1 m2 v0−v2 =0 v0=m1v1m2 v2
m1m2
FK=m2 v0−v2 =m2m1v1m2 v2
m1m2
−v2=m2
m1 v1m2 v2−m1m2 v2
m1m2
=m1m2
m1m2v1−v2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-28
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Aus den Gleichungen für die Restitutionsphase folgt:
– Ergebnis:
w1=v0−kFK
m1
=m1v1m2 v2
m1m2
−km2
m1m2v1−v2
w2=v0kFK
m2
=m1v1m2 v2
m1m2
km1
m1m2v1−v2
w1=m1 v1m2 v2−k m2 v1−v2
m1m2
w2=m1v1m2 v2k m1 v1−v2
m1m2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-29
4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Spezialfälle:● Ideal plastischer Stoß: k = 0● Ideal elastischer Stoß: k = 1
● Gleich große Massen: m1 = m
2
● Ideal elastisch mit gleich großen Massen:
● Ideal plastisch mit gleich großen Massen:
w1=w2=m1 v1m2 v2
m1m2
w1=2m2 v2m1−m2 v1
m1m2
, w2=2m1v1m2−m1 v2
m1m2
w1=12 [ 1−k v1 1k v2 ] , w2=
12 [ 1k v11−k v2 ]
w1=v2 , w2=v1
w1=w2=12 v1v2
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
● Impulserhaltung:
– Da wegen der sehr kurzen Stoßzeit der Kraftstoß der äuße-ren Kräfte auf das Gesamtsystem vernachlässigbar ist, muss der Impuls des Gesamtsystems erhalten bleiben.
– Addition der integrierten Impulssätze für die Kompressions-phase ergibt:
– Addition der integrierten Impulssätze für die Restitutions-phase ergibt:
m1 v0−v1 m2 v0−v2 =0
m1 w1−v0 m2 w2−v0 =0
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Addition dieser beiden Gleichungen ergibt:
– Daraus folgt:
– Diese Beziehung gilt un-abhängig von der Stoß-zahl.
m1 w1−v1 m2 w2−v2 =0
m1w1m2w2
=m1v1m2 v2
● Stoßbedingung:
– Für die Geschwindig-keitsdifferenz w
2 – w
1 folgt:
w2−w1
=k m1 v1−v2 k m2 v1−v2
m1m2
=k v1−v2
k=−w2−w1
v2−v1
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Die Stoßzahl ist gleich dem Verhältnis von relativer Tren-nungsgeschwindigkeit zu relativer Annäherungsgeschwin-digkeit.
– Mit Impulserhaltungssatz und Stoßbedingung stehen zwei Gleichungen zur Verfügung, die nach w
1 und w
2 oder nach v
1
und v2 aufgelöst werden können.
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
● Energiebilanz:
– Die mechanische Energie, die dem System durch Verfor-mung und Erwärmung verloren geht, berechnet sich aus der Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß:
– Daraus folgt zunächst:
E=E vK−En
K=
12 m1v1
2m2 v2
2 −12 m1w1
2m2 w2
2
2E = m1 v12−w1
2 m2 v22−w2
2 = m1 v1−w1 v1w1 m2 v2−w2 v2w2
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Mit folgt weiter:
– Aus den Stoßgleichungen folgt:
m2 v2−w2 =−m1 v1−w1 2E = m1 v1−w1 v1w1 −m1 v1−w1 v2w2
= m1 v1−w1 v1w1−v2−w2 = m1 v1−w1 v1−v2−k v1−v2
v1−w1=m1m2 v1−m1 v1−m2 v2k m2 v1−v2
m1m2
=m2 v1−v2 k m2 v1−v2
m1m2
=m2
m1m21k v1−v2
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4.3.2 Gerader zentrischer Stoß
– Damit folgt:
– Ergebnis:
– Beim ideal elastischen Stoß ist wegen k = 1 der Energiever-lust null.
– Beim ideal plastischen Stoß ist wegen k = 0 der Energiever-lust am größten.
2E=m1m2
m1m21k v1−v2 1−k v1−v2
E=12
m1m2
m1m21−k2 v1−v2
2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-36
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
● Betrachtet wird nur der schiefe zentrische Stoß zweier Massen in der Ebene.
● Dabei wird angenommen, dass die Oberflächen der Mas-sen glatt sind.
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4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
x
y
Stoßnormale
Berührungsebene
m1
m2
v1
v2
v1x
v1y
v2x
v2y
w1y
w2y
w1x w
2x
w2w
1
Geschwindigkeitenentgegen derx-Achse sind negativ.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-38
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
● Impulserhaltungssatz in y-Richtung:
– Da die Oberflächen der beiden Massen als glatt vorausge-setzt werden, werden in der Berührungsebene keine Kräfte übertragen.
– Der Impulserhaltungssatz in y-Richtung für jede der beiden Massen liefert:
m1 v1 y=m1w1 y v1 y=w1 y
m2 v2 y=m2 w2 y v2 y=w2 y
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.4-39
4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
● Integrierter Impulssatz in x-Richtung:
– In Richtung der Stoßnormalen liegen die gleichen Verhält-nisse vor wie beim geraden zentrischen Stoß.
– Der über die gesamte Stoßzeit tS integrierte Impulssatz für
jede der beiden Massen lautet:
– Zusätzlich muss die Stoßbedingung erfüllt sein:
m1w1 x−m1 v1 x=− F , m2w2 x−m2 v2 x= F
F= FK FR
k=−w1 x−w2 x
v1 x−v2 x
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4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß
– Damit stehen drei Gleichungen zur Bestimmung der drei Unbekannten w
1x, w
2x und zur Verfügung.
– Wie beim geraden zentrischen Stoß folgt:
– Geschwindigkeiten entgegen der x-Achse sind negativ.
F
w1 x=m1 v1 xm2 v2 x−k m2 v1 x−v2 x
m1m2
w2 x=m1v1 xm2 v2 xk m1 v1 x−v2 x
m1m2