4einführung in die optimierung 4.1 grundlagen der … · programme an (kapitel 4.1) als...
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1
Business Computing and Operations Research 356
4 Einführung in die Optimierung
� Optimierungsproblem begegnen uns in verschiedenster Form
� So sind häufig Entscheidungen zu fällen (definiert als die Wahl von Entscheidungsvariablen), die direkte Wirkung auf unsere Ziele haben
� Allerdings gibt es meist Restriktionen, die die freie Wahl von unterschiedlichen Entscheidungsvariablen einschränken
� Im Folgenden wollen wir bestimmte Optimierungsprobleme betrachten und optimal lösen
� Als deterministische Probleme schauen wir uns dazu Lineare Programme an (Kapitel 4.1)
� Als stochastisches Problem widmen wir uns danach dem Newsvendor Problem (Kapitel 4.2)
Business Computing and Operations Research 357
4.1 Grundlagen der linearen Programmierung
� Häufig lassen sich praktische Optimierungsprobleme als lineare Programme abbilden
� Diese Probleme besitzen folgende Eigenschaften
� Es sind Werte für kontinuierliche Entscheidungsvariablen (oder kurz Variablen) zu finden (definiert als reelle Zahlen)
� Es sind vorher gegebene lineare Restriktionen durch die Variablenwerte einzuhalten (Zulässigkeit einer Lösung)
� Es ist eine gegebene lineare Zielfunktion, die jede Lösung bewertet, zu minimieren oder zu maximieren (Qualität einer Lösung)
� Es ist eine optimale Lösung zu finden
� D.h. es existiert keine andere zulässige Lösung im Lösungsraum, die hinsichtlich der Zielfunktion besser ist
� Bei Maximierung (Minimierung) ist also eine zulässige Lösung mit maximalem (minimalem) Zielfunktionswert zu finden
Business Computing and Operations Research 358
Lineare Programme – Haupteigenschaften
� Kontinuierliche Variablen
� Lineare Restriktionen, die durch die Variablenwerte einzuhalten sind
� Lineare Zielfunktion zur Bewertung einer jeden zulässigen Lösung
� Ziel ist die Ermittlung einer optimalen Lösung
Lösung Vektor von Entscheidungsvariablen
Zulässige Lösung Lösung, die alle Restriktionen erfüllt
Optimale Lösung Zulässige Lösung mit minimalem oder maximalem Zielfunktionswert
Business Computing and Operations Research 359
Man kann auch rechnen lassen…
� Excel Solver
� Wird aktiviert unter: Extras⇢Add-Ins (2003 Version), File⇢Options⇢Add-Ins (2010 Version)
� Danach nutzt man den Solver unter: Extras⇢Solver (2003 Version), Data⇢Solver (2010 Version)
� Der Solver ist nicht wirklich leistungsfähig aber ganz nett zum ersten Ausprobieren
� Es gibt auch freie Solver im WWW. Zum Beispiel unter:
http://www.zweigmedia.com/RealWorld/simplex.html
2
Business Computing and Operations Research 360
4.1.1 Zwei typische Anwendungsbeispiele
� Im Folgenden betrachten wir zwei sehr einfache Beispiele für lineare Programme
� Die Produktionsprogrammplanung
� Das Ernährungsproblem (Diet Problem)
Business Computing and Operations Research 361
Anwendung 1 – Produktionsprogrammplanung
� Das Produktionsmanagement eines Produzenten von Orangensaft soll das operative Produktionsprogramm für den nächsten Planungshorizont (PH) festlegen
� Dabei soll der Gesamtdeckungsbeitrag maximiert werden
� Es gibt zwei Arten von angebotenen Orangensäften, die im Werk erst gepresst und dann nach spezieller Rezeptur gemischt werden
� Aus Gründen der Einfachheit bezeichnen wir die beiden Sorten einfach als A und B
� Beide Sorten durchlaufen in gleicher Reihenfolge einen dreistufigen
Produktionsprozess
� Sie nutzen also die gleichen Anlagen
� Somit gibt es für beide Sorten die Reihenfolge 1 – 2 – 3 für die zu
durchlaufenden Produktionsstufen
� Dieser Ablauf ist der folgenden Abbildung zu entnehmen
Business Computing and Operations Research 362
Produktionsprogrammplanung - Illustration
Stufe 1
Stufe 2
Stufe 3
A
B
10 €
Maximaler
Absatz
50 l / PH
8 €
Maximaler
Absatz
40 l / PH
Kapazität240 h / PH
Kapazität240 h / PH
Kapazität100 h / PH
Business Computing and Operations Research 363
Zahlen und Fakten zusammengefasst
� Beide Sorten durchlaufen alle Stufen
� Die Kapazitäten auf den Stufen 1 und 3 umfassen jeweils 240 h
� Die Kapazität auf Stufe 2 umfasst 100 h
� Produkt A
� Absatzpreis pro Liter: 10€
� Variable Kosten pro Liter: 5€
� Damit erhalten wir einen Deckungsbeitrag pro Liter von 5 €
� Maximaler Absatz pro PH: 50 Liter
� Produktionskoeffizienten für einen Liter von Produkt A
� Stufe 1: 2 Stunden
� Stufe 2: 1 Stunde
� Stufe 3: 4 Stunden
3
Business Computing and Operations Research 364
… und für Produkt B
� Produkt B
� Absatzpreis pro Liter: 8€
� Variable Kosten pro Liter: 2€
� Damit erhalten wir einen Deckungsbeitrag pro Liter von 6€
� Maximaler Absatz pro PH: 40 Liter
� Produktionskoeffizienten für einen Liter von Produkt B
� Stufe 1: 4 Stunden
� Stufe 2: 2 Stunden
� Stufe 3: 2 Stunden
Business Computing and Operations Research 365
Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms
� Wir wollen den Gesamtdeckungsbeitrag maximieren
� Beide Produkte lohnen sich, da sie positive Deckungsbeiträge aufweisen
� Jeder produzierte und verkaufte Liter von A bringt 5€
� Jeder produzierte und verkaufte Liter von B bringt 6€
� Also, überprüfen wir zunächst, ob wir sie gleichzeitig in ihrem maximalen Absatzmengen fertigen können
� Die maximalen Absatzmengen stellen dabei die ersten Restriktionen bereit, da wir darüber hinaus die Produkte im PH nicht mehr absetzen können (Lagerhaltung wird hier nicht berücksichtigt)
Business Computing and Operations Research 366
Maximale Kapazitätsnachfrage
Ermittelte Kapazitätsnachfrage auf den Stufen
� Stufe 1: 50.2+40.4=260>240
Da der Bedarf höher ist als die verfügbare Kapazität ergibt sich ein Engpass auf Stufe 1!
� Stufe 2: 50.1+40.2=130>100
Da der Bedarf höher ist als die verfügbare Kapazität ergibt sich ein Engpass auf Stufe 2!
� Stufe 3: 50.4+40.2=280>240
Da der Bedarf höher ist als die verfügbare Kapazität ergibt sich ein Engpass auf Stufe 3!
Business Computing and Operations Research 367
Konsequenz
� Wir können leider nicht die Produkte in ihren maximalen Absatzmengen herstellen
� Grund sind die Kapazitätsengpässe auf den Fertigungsstufen
� Ein Engpass wäre für diese Erkenntnis bereits hinreichend gewesen
� Weist eine Stufe bei dieser Prüfung keinen Engpass auf ist ihre Kapazität für die weitere Planung irrelevant
� Dies wäre eine triviale optimale Lösung gewesen
� Wir müssen also neu überlegen, um eine optimale Lösung zu finden
4
Business Computing and Operations Research 368
Was ist zu tun?
?
Pah! Ist doch billig! Da B mehr Deckungsbeitrag pro Liter als A bringt (6€statt nur 5€), produzieren
wir am Besten alles von B und nutzen dann die
Restkapazität für A
Pah! Ist doch billig! Da B mehr Deckungsbeitrag pro Liter als A bringt (6€statt nur 5€), produzieren
wir am Besten alles von B und nutzen dann die
Restkapazität für A
Business Computing and Operations Research 369
Wir probieren diesen Vorschlag aus und erhalten
� B benötigt
� auf Stufe 1 4h. Maximal kann produziert werden: min{40, 240/4} = 40
� auf Stufe 2 2h. Maximal kann produziert werden: min{40, 100/2} = 40
� auf Stufe 3 2h. Maximal kann produziert werden: min{40, 240/2} = 40
B wird somit in der Absatzhöchstmenge produziert
� Nun kommt das Produkt A. Es benötigt
� auf Stufe 1 2h. Maximal kann also noch produziert werden:
min{50, (240-160)/2} = 40
� on Stufe 2 1h. Maximal kann produziert werden: min{50, 20/1} = 20
� on Stufe 3 4h. Maximal kann produziert werden: min{50, 80/4} = 20
Somit können noch zusätzlich 20 Liter von A produziert und verkauft
werden
Business Computing and Operations Research 370
Damit erzielen wir
einen Gesamtdeckungsbeitrag von:
20.5€ + 40.6€ = 240€ + 100€ = 340€
� Ist das nun ein optimales Ergebnis?
� Anders gefragt: Geht es besser?
� Am Besten ist es, das Problem mal mathematisch anzugehen. Dazu müssen wir es aber erstmal mathematisch definieren.
Business Computing and Operations Research 371
Lineares Programm
Entscheidungsvariablen: : Produzierte Liter von Orangensaft A
: Produzierte Liter von Orangensaft B
Zielfunktion: Maximize 5 6 Maximaler
Gesamtdeckungsbeitrag
Restriktionen: subject to (s.t.)
50 A
= ⋅ + ⋅
≤
A
B
A B
A
x
x
z x x
x bsatzrestriktionen
40
2 4 240 Produktionskapazitäten
1 2 100
4 2 240
, 0 Nicht-Negativität der Variablen
≤
⋅ + ⋅ ≤
⋅ + ⋅ ≤
⋅ + ⋅ ≤
≥
B
A B
A B
A B
A B
x
x x
x x
x x
x x
5
Business Computing and Operations Research 372
Graphische Lösungsbestimmung
xA
10050 7525
25
50
75
100Restriktion 1
xB
Restriktion 3
Z=500Restriktion 2
Optimale Lösung
Business Computing and Operations Research 373
Analytische Bestimmung der optimalen Lösung
� Graphisch können wir feststellen, dass die optimale Lösung der Schnittpunkt der Restriktionen 2 und 3 ist
� Also muss dieser Punkt beide Restriktionen gleichzeitig erfüllen
� Wir müssen also das folgende Gleichungssystem lösen
( )
6,26
6,46
3/80
3/140
3/80
3/1603/300
3/80
2100
1203200
2100
1204200
2100
12021002
2100
1202
2100
24024
10021
=
=⇔
=
=⇔
=
−=⇔
=
⋅−=⇔
=⋅−
⋅−=⇔
=+⋅−
⋅−=⇔
=+⋅−⋅
⋅−=⇔
=+⋅
⋅−=⇔
=⋅+⋅
=⋅+⋅
B
A
B
A
B
A
B
BA
B
BA
BB
BA
BB
BA
BA
BA
BA
BA
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Business Computing and Operations Research 374
Es ergibt sich somit
ein optimaler (also maximaler) Gesamtdeckungsbeitrag von
26.6.6€ + 46.6.5€ = 233.3€ + 159.9€ = 393.3€
Business Computing and Operations Research 375
Die Einsicht
OK ! Ich gebe zu, dass das wohl nicht so einfach war. Was machen wir aber bei mehr als zwei Variablen?
OK ! Ich gebe zu, dass das wohl nicht so einfach war. Was machen wir aber bei mehr als zwei Variablen?
Dann müssen wir ein lineares Programm definieren und den
SIMPLEX ALGORITHMUS
anwenden!
Dann müssen wir ein lineares Programm definieren und den
SIMPLEX ALGORITHMUS
anwenden!
6
Business Computing and Operations Research 376
Allgemeines LP zur Produktionsprogrammplanung
[ ]
[ ],
Gegeben
: Deckungsbeitrag pro Einheit von Produkt 1,..., GE/PE
: Produktionskoeffizient von Produkt 1,..., auf Maschine
1,..., KE/PE
: Maximale Kapazität der Maschine
j
i j
i
p j n
c j n
i m
C i
=
=
=
= [ ]
[ ]
[ ]
1
1,..., KE
: Absatzhöchstmenge von Produkt 1,..., im betrachteten Planungszeitraum PE
Gesucht
: Produktionsmenge von Produkt 1,..., im Planungszeitraum PE
Maximiere unter Einhaltung de
j
j
n
j j
j
m
X j n
x j n
p x=
=
=
⋅∑
{ }
{ }
( )
,
1
r Nebenbedingungen (u.E.d.N) (s.t.)
1,..., :
1,..., : 0
Einheiten: "KE=Kapazitätseinheiten", "PE=Produkteinheiten", "GE=Geldeinheiten"
n
i j j i
j
j j
i m c x C
j n x X
=
∀ ∈ ⋅ ≤
∀ ∈ ≤ ≤
∑
Business Computing and Operations Research 377
Einsatz von Excel für das Beispiel
� Wir können das Problem auch in Excel lösen
� Dies wollen wir einmal exemplarisch durchführen
Microsoft
Excel-Arbeitsblatt
Business Computing and Operations Research 378
Anwendung 2 – Das Ernährungsproblem
� Andrea wundert sich, wieviel Geld sie für ihre tägliche Nahrung ausgibt
� Zudem möchte sie wissen, ob sie sich ausreichend gesund ernährt
� Daher analysiert sie die Speisen in ihrer Speisekammer und konsultiert Gesundheitsbücher
� Sie betrachtet die folgenden sechs Speisen
Nahrungsmittel Größe pro
Mahlzeit
Energie
(kcal)
Protein (g) Kalzium
(mg)
Preis
(€ Cents)
Haferflocken 28 g 110 4 2 3
Huhn 100 g 205 32 12 24
Ei 2 Einheiten 160 13 54 13
Vollmilch 237 ml 160 8 285 9
Kirschkuchen 170 g 420 4 22 20
Schweinefleisch
mit Bohnen
260 g 260 14 80 19
Business Computing and Operations Research 379
Weitere wichtige Informationen
� Andrea braucht am Tag mindestens � 2,000 kcal� 55 g Protein� 800 mg Kalzium� Eisen und Vitamine werden in Tablettenform zugeführt
(nicht zur Nachahmung empfohlen!)
� Damit wären also 10 Portionen Schweinefleisch mit Bohnen ausreichend� Die will Andrea aber natürlich nicht essen! � Also muss es weitere Einschränkungen geben
� Wir setzen somit Obergrenzen� Haferflocken: höchstens 4 Mahlzeiten am Tag� Huhn: höchstens 3 Mahlzeiten am Tag� Ei: höchstens 2 Mahlzeiten am Tag� Vollmilch: höchstens 8 Mahlzeiten am Tag� Kirschkuchen: höchstens 2 Mahlzeiten am Tag� Schweinefleisch mit Bohnen: höchstens 2 Mahlzeiten am Tag
7
Business Computing and Operations Research 380
Das LP des Ernährungsproblems
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2
, , , , , Mahlzeiten der Speisen pro Tag
Minimiere 3 24 13 9 20 19
u.E.d.N.
0 4 0 3 0 2 0 8 0 2 0 2
110 205 160 160 420 260 2000
4 32 13
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥
⋅ + ⋅ + ⋅
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
8 4 14 55
2 12 54 285 22 80 800
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥
x x x x
x x x x x x
Business Computing and Operations Research 381
…und im Allgemeinen
( )
( )
( )
,
Gegegeben
: Menge des Inhaltsstoffes in der Speise 1 1 .
: Täglicher Bedarf am Inhaltsstoff 1 .
: Kosten pro Mahlzeit für Speise 1 .
: Maximale Zahl an Mahlzeiten
= =
=
=
i j
i
j
j
a i j i ,...,m, j ,...,n
r i i ,...,m
c j j ,...,n
X ( )
( )
pro Tag von Speise 1 .
Gesucht
: Tägliche Anzahl an Mahlzeiten von Speise 1 .
Damit wird ein täglicher Ernährungsplan durch einen Vektor 0 definiert.
Zielfunktion: Minimiere
=
=
≥ ∈
j
n
j j ,...,n
x j j ,...,n
x , x IR
{ }
{ }
1
,
1
u.E.d.N
1,..., :
1,..., : 0
=
=
⋅
∀ ∈ ⋅ ≥
∀ ∈ ≤ ≤
∑
∑
n
j j
j
n
i j j i
j
j j
c x
i m a x r
j n x X
Business Computing and Operations Research 382
Konsequenzen
� Beide Anwendungen sind sehr unterschiedlich
� Aber sie resultieren in ähnliche mathematische Formulierungen (Lineare Programme, LP)
� Beide LPs besitzen
� …Vektoren kontinuierlicher Variablen
� …lineare Zielfunktionen
� …lineare Restriktionen
� …eine lineare Zielfunktion zur Minimierung oder Maximierung
� …Restriktionen verlangen die Einhaltung von unteren oder oberen Schranken
Business Computing and Operations Research 383
Spannende Frage
Vielleicht kann man eine allgemeine Form für alle LP‘s finden?
Und womöglich kann man die dann alle sogar mit einer Methode lösen?
Vielleicht kann man eine allgemeine Form für alle LP‘s finden?
Und womöglich kann man die dann alle sogar mit einer Methode lösen?
Genau das lernen wir jetzt!
Genau das lernen wir jetzt!
8
Business Computing and Operations Research 384
4.1.2 Definition von Linearen Programmen
� Im Folgenden lernen wir eine allgemeine Form kennen, die festlegt, was ein Lineares Programm ist
� Dies ist ein eindeutiges Schema für alle Linearen Programme
� In der Literatur finden sich insgesamt drei Grundformen von Linearen Programmen, die allgemein ausdrücken, was unter einem LP zu verstehen ist
� LP in allgemeiner Form
� LP in kanonischer Form
� LP in standardisierter Form
� Allerdings kann es vorkommen, dass in Lehrbüchern die Definitionen vertauscht sind, d.h., was hier kanonisch ist kann woanders standardisierte Form sein
� Dies ist aber wegen der Äquivalenz der Formen kein Problem
Business Computing and Operations Research 385
LP in allgemeiner Form
{ }1
Sei gegeben, mit , 1 , und .
Des weiteren sei eine Menge von Zeilenindizes, die Gleichheitsrestriktionen darstellen.
Zudem sei eine Menge von Zei
T
m n n m
i
T
m
a
A IR A ... a IR i ,...,m b IR
a
M
M
×
′
′∈ = ∧ ∈ ∈ ∈ ′
lenindizes, die Ungleichheitsrestriktionen ausdrücken.
Darüber hinaus sei eine Menge von Spaltenindizes, die zu positiv definierten Variablen
gehören, während die Spaltenindizes sind, die zu unbes
N
N
{ }
{ }
chränkten (=freie) Variablen
gehören. Zu beachten ist, dass und eine Partition der Menge 1 darstellen, d.h.
es gilt 1 und . Zudem bilden und eine Partition der
Menge 1
M M ,...,m
M M ,...,m M M N N
,..
∪ = ∩ = ∅
{ } { }( )
{ }( )
1 und .
Dann ist der zulässige Lösungsraum definiert durch
: 0 : : .
Für verfolgen wir die Maximierung der Funktion .
n T T
j i i i i
n T
.,n N N ,...,n N N
P
P x IR | j N x i M a x b i M a x b
c IR z x c x
∪ = ∩ = ∅
′ ′= ∈ ∀ ∈ ≥ ∧ ∀ ∈ ⋅ = ∧ ∀ ∈ ⋅ ≤
∈ = ⋅
Business Computing and Operations Research 386
LP in kanonischer Form
{ }
Seien und :
Dann ist die Menge der zulässigen Lösungen wie folgt definiert:
0 and
Lösungen, die zur Menge gehören werden als zulässig bezeichnet.
Zur Bewertung einer Lösung
×∈ ∈
= ∈ ≥ ⋅ ≤
m n m
n
A IR b IR
P x IR | x A x b
P
( )
dient der Vektor und die Zielfunktion
lautet Maximiere .
∈
= ⋅
n
T
x c IR
z x c x
� Deutlich einfacher ist die kanonische Form
� Allerdings sind hier alle Gleichheitsrestriktionen und negative Variablen ausgeschlossen
Business Computing and Operations Research 387
LP in standardisierter Form
{ }
Seien und gegeben:
Dann definiert sich die Menge der zulässigen Lösungen als:
0 and
Lösungen aus der Menge werden als zulässig bezeichnet.
Zur Bewertung einer Lösung x die
×∈ ∈
= ∈ ≥ ⋅ =
m n m
n
A IR b IR
P x IR | x A x b
P
( )
nt ein Vektor , wobei die Zielfunktion
lautet: .
Die standardisierte Form verfolgt entweder die Minimierung oder die Maximierung
der Funktion unter Berücksichtigung von 0 und .
∈
= ⋅
≥ ⋅ =
n
T
c IR
z x c x
z x A x b
� Ähnlich einfach ist ein LP in standardisierter Form
� Hier sind alle Ungleichheitsrestriktionen und negative Variablen ausgeschlossen
9
Business Computing and Operations Research 388
Zu unseren beiden Beispielen
� Offensichtlich sind das Ernährungsproblem (EP) und das Produktionsprogrammplanungsproblem (PPP) bereits in allgemeiner Form
� Das PPP erfüllt zudem die Anforderungen der kanonischen Form
� Wegen der Ungleichheitsrestriktionen sind beide Probleme allerdings nicht in standardisierter Form
� Allerdings gibt es auch viele Anwendungen in denen negative Variablenwerte sinnvoll sind (zur Abbildung der Möglichkeit von Eigen- oder Fremdfertigung)
Business Computing and Operations Research 389
Mächtigkeit der LP-Formulierungen
� LP Formulierungen sind als äquivalent anzusehen, wenn sie sich ineinander überführen lassen, d.h. mit der Formulierung A kann man alles abbilden, was man auch mit B abbilden kann und umgekehrt (gleiche Mächtigkeit in der Abbildung)
� Offensichtlich sind LPs in kanonischer Form und in standardisierter Form bereits auch in allgemeiner Form
� Damit ist die allgemeine Form mindestens so mächtig wie die beiden anderen
� Allerdings ist die standardisierte Form „schön handlich“ und durch Gleichungen algebraisch gut nutzbar
� Daher würden wir diese häufig vorziehen um ein allgemeines Lösungsverfahren zu entwickeln
Business Computing and Operations Research 390
Äquivalenz der LP-Formulierungen
� Um zu zeigen, dass die Formulierungen äquivalent und somit gleich mächtig sind müssen wir zeigen wie wir die besonderen Eigenschaften der allgemeinen Form in der kanonischen Form und in der standardisierten Form abbilden können
� Im Einzelnen müssen wir
� Ungleichheitsrestriktionen durch Gleichheitsrestriktionen und umgekehrt ausdrücken
� Unbeschränkte (freie) Variablen durch positive Variablen simulieren
� Maximierung und Minimierung als Zielfunktion ineinander überführen
Business Computing and Operations Research 391
Gleichheitsrestriktionen�Ungleichheitsrestriktionen
( ) ( ) ( )
1
1
1
Ersetze die Gleichheitsrestriktion
durch die zwei folgenden Ungleichheitsrestriktionen
und
1 1
n
i, j j i
j
n
i, j j i
j
n
i, j j i
j
a x b
a x b
a x b
=
=
=
⋅ =
⋅ ≤
− ⋅ ⋅ ≤ − ⋅
∑
∑
∑
10
Business Computing and Operations Research 392
Ungleichheitsrestriktionen�Gleichheitsrestriktionen
1
1
Ersetze die Ungleichheitsrestriktion
durch die Hinzunahme einer neuen positiven Schlupfvariable und erhalte
0
Wir nennen alle Variablen des ursprünglichen Problems
n
i, j j i
j
n
i, j j i i i
j
a x b
a x y b y
=
=
⋅ ≤
⋅ + = ∧ ≥
∑
∑
Strukturvariablen
um sie von den neuen Schlupfvariablen zu unterscheiden.
Business Computing and Operations Research 393
Zielfunktion – Max versus Min
( )
1
1
1
Ersetze die ursprüngliche Zielfunktion Minimiere
durch die äquivalente neue Zielfunktion Maximiere 1
Ersetze die ursprüngliche Zielfunktion Maximiere
durch die äquivalen
n
j j
j
n
j j
j
n
j j
j
c x
c x
c x
=
=
=
⋅
− ⋅ ⋅
⋅
∑
∑
∑
( )1
te neue Zielfunktion Minimiere 1n
j j
j
c x=
− ⋅ ⋅∑
Business Computing and Operations Research 394
Freie Variablen � Positive Variablen
Für jede freie Variable definiere zwei neue positive Variablen 0, 0
mit .
Diese Ersetzung führt im System zu einer Verdopplung der korrespondierenden -ten Spalte in und in .
j j j
j j j
T
x IR x x
x x x
j c A
+ −
+ −
∈ ≥ ≥
= −
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1 1
Dabei
wird die neue Spalte mit "-1" multipliziert:
...... ...
,..., ,..., ,..., , ,..., und ,..., ,...,
... ......
j
j n j j j n j n j
j
n n
n
xx x
xc c c x c c c c A x a a a x
x
x xx
+
−
⋅ → − ⋅ ⋅ = ⋅
( ) { } { }
1
1
...
,..., , ,..., ,mit: 1,..., : , 1,..., :
...
j m
j j n i i
j
n
x
xa a a a i n c IR i n a IR
x
x
+
−
→ − ⋅ ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈
Business Computing and Operations Research 395
Ergebnis der Umformungsschritte
� Wir haben gezeigt, dass wir (im schlimmsten Fall bei einer Verdoppelung der Variablenzahl) alle LP-Formen äquivalent ineinander überführen können
� Dies bedeutet, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind
� Ein gegebenes Optimierungsproblem kann als LP in allgemeiner Form definiert werden
� Ein gegebenes Optimierungsproblem kann als LP in kanonischer Form definiert werden
� Ein gegebenes Optimierungsproblem kann als LP in standardisierter Form definiert werden
� Damit können wir uns bei jedem Problem, das als LP formulierbar ist,
aussuchen, in welcher Form es vorliegen soll
� Das wird im Folgenden meist die standardisierte Form sein
11
Business Computing and Operations Research 396
4.1.3 Der Simplex Algorithmus
� Im Folgenden wollen wir uns exemplarisch wieder der Produktionsprogrammplanung zuwenden und ein spezielles PPP systematisch optimal lösen
� In diesem Problem betrachten wir drei Produktarten (1,2 und 3) die auf drei Fertigungsstufen produziert werden
� Produkt 1
� Deckungsbeitrag pro Einheit: 5
� Produktionskoeffizienten auf den Stufen: 2, 4 und 3
� Produkt 2
� Deckungsbeitrag pro Einheit: 4
� Produktionskoeffizienten auf den Stufen : 3, 1 und 4
� Produkt 3
� Deckungsbeitrag pro Einheit: 3
� Produktionskoeffizienten auf den Stufen : 1, 2 und 2
Business Computing and Operations Research 397
Damit erhalten wir das LP in kanonischer Form
0,,
8243
11214
5132 s.t.
345Max
321
321
321
321
321
≥
≤⋅+⋅+⋅
≤⋅+⋅+⋅
≤⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅
xxx
xxx
xxx
xxx
zxxx
Business Computing and Operations Research 398
…und transformieren in die standardisierte Form
Max
s.t.
, ,
z x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
= ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ ≤
⋅ + ⋅ + ⋅ ≤
⋅ + ⋅ + ⋅ ≤
≥
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 4 3
2 3 1 5
4 1 2 11
3 4 2 8
0
Max
s.t.
, , , , ,
z x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
= ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + =
⋅ + ⋅ + ⋅ + =
⋅ + ⋅ + ⋅ + =
≥
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
1 2 3 4 5 6
5 4 3
2 3 1 5
4 1 2 11
3 4 2 8
0
� Die Variablen des ursprünglichen Programms werden als Strukturvariablen bezeichnet
� Im Gegensatz dazu nennen wir die neu eingeführten Variablen im LP rechts (mit Gleichheitsrestriktionen) Schlupfvariablen
Business Computing and Operations Research 399
Wir entwickeln eine erste Lösung
1 2 3
4 1 2 3
5 1 2 3
6 1 2 3 1 2 3 4 5 6
Max 5 4 3
s.t. 5 2 3 1
11 4 1 2
8 3 4 2 mit , , , , , 0
Dies ist ein mit der folgenden Interpretation:
Wir nennen die
z x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
n
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= − ⋅ − ⋅ − ⋅
= − ⋅ − ⋅ − ⋅
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≥
Dictionary
Variablen, die sich auf der rechten Seite
der Gleichungen befinden, als . Diese
Variablen erhalten den Wert Null.
Die anderen Variablen, die jeweils isoliert ausschließlich au
m
m
−
Nicht - Basisvariablen
4 5 6
f der
linken Seite der Gleichungen stehen, heißen . Sie bilden
die : 5 11 8 mit Zielfunktionswert
0. Wir bezeichnen in einem Dictionary die Komponenten der
Zielfunk
x x x
z
= ∧ = ∧ =
=
Basisvariablen
Basislösung
tion als .reduzierte Kosten
12
Business Computing and Operations Research 400
Der Begriff der Basislösung
� Jedes Dictionary definiert eine zulässige Basislösung� Dies ist sozusagen die Invariante des Simplex Verfahrens
� Damit springt der Simplex Algorithmus in jedem Verfahrensschritt von einer Basislösung zu einer anderen Basislösung
� Das schauen wir uns gleich an
� Eine Basislösung ist
� eine Lösung des LP, die alle Restriktionen der Matrix A erfüllt
� eine Lösung des LP, bei der höchstens m Variablen (die aktuellen Basisvariablen, wobei m die Anzahl der Zeilen der Matrix A ist) einen Wert ungleich Null besitzen (alle anderen Variablen sind gleich Null)
� Sind die Basisvariablen gewählt ist die Basislösung eindeutig
� Eine Basislösung heißt zulässige Basislösung falls zusätzlich alle Variablenwerte nicht-negativ sind
� Besitzt eine Basislösung weniger als m Variablen, die nicht den Wert Null haben, spricht man von einer entarteten Basislösung
Business Computing and Operations Research 401
Qualität der gefundenen Lösung
� Ist offensichtlich nicht gerade überzeugend (z=0)
� Wie kann man die Lösung vielleicht verbessern?� Der Zielfunktionswert ist natürlich nicht überraschend
� Nur Schlupfvariablen (keine Strukturvariable) sind in der Basis und damit ungleich Null
� Schlupfvariablen zeigen lediglich den Schlupf in den Restriktionen an. Also kann hierdurch kein Deckungsbeitrag entstehen
� Wir betrachten die Menge der Nicht-Basisvariablen
� Dazu schauen wir auf die Koeffizienten in der Zielfunktion
� Auf Grund der positiven Koeffizienten erhöht eine Erhöhung der Variablen x1,
x2 oder x3 den Zielfunktionswert z. Da x1 den größten positiven Koeffizienten
besitzt probieren wir diesen zuerst aus. Vorschriften zur Auswahl von Variablen
nennen wir Pivotstrategien. Die genutzte Strategie bezeichnet man als „Größte
Koeffizienten Regel“ (=„largest coefficient rule”)
� Um wieviel können wir x1 erhöhen?
zxxx =⋅+⋅+⋅ 321 345Max
Business Computing and Operations Research 402
Um wieviel kann man nun x1 erhöhen?
{ }
1 2 3
4 1 2 3 1 1
5 1 2 3 1 1
6 1 2 3 1 1
1
Max 5 4 3
5s.t. 5 2 3 1 0 5 22
11 11 4 1 2 0 11 4 04
8 8 3 4 2 0 8 3 03
5 8 511min , ,2 4 3 2
x x x z
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
⋅ + ⋅ + ⋅ =
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≥ ⇒ ≥ ⋅ ⇒ ≥
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≥ ⇒ − ⋅ ≥ ⇒ ≥
= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≥ ⇒ − ⋅ ≥ ⇒ ≥
⇒ = =
Business Computing and Operations Research 403
Was ist nun zu tun?
!
Wie können wir die Struktur erhalten und gleichzeitig x1 auf die linke Seite, also in die
Basis, bringen?
Wie können wir die Struktur erhalten und gleichzeitig x1 auf die linke Seite, also in die
Basis, bringen?
Das geht nur für die erste Restriktion.
Und danach substituieren wir
einfach die Variable
13
Business Computing and Operations Research 404
Umformung des Dictionary
( )
( )( )
252
211
250,,,,,
23
21
21
21
251
21
21
23
25 s.t.
25
21
27
252Max
0,,,,,
242
12
12
32
538
212
12
12
32
5411
21
21
23
25 s.t.
342
12
12
32
55Max
651654321
4326
425
4321
432
654321
324326
324325
4321
32432
=⇒=∧=∧=⇒≥
⋅+⋅−⋅+=
⋅+⋅+=
⋅−⋅−⋅−=
=⋅−⋅+⋅−
≥
⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−=
⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−=
⋅−⋅−⋅−=
=⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅
zxxxxxxxxx
xxxx
xxx
xxxx
zxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
zxxxxx
Business Computing and Operations Research 405
Analyse der neuen Lösung
� Die Koeffizienten zeigen uns, dass wir die Lösung noch weiter verbessern können
� Dies ist möglich für die Variable x3.
� Wiederum müssen wir schauen, wie weit wir diese Variable erhöhen können
� Dazu müssen wir Obergrenzen der einzelnen Restriktionen ableiten
� Hierzu betrachten wir wieder das aktuelle Dictionary
zxxx =⋅−⋅+⋅− 432 25
21
27
252Max
Business Computing and Operations Research 406
Bestimmung einer Obergrenze für x3
{ } 11,5min
102
32
12
12
1
0251
502
12
12
32
5 s.t.
25
21
27
252Max
3
34326
425
34321
432
==⇒
≤⇒≥⋅+⋅−⋅+=
≥⋅+⋅+=
≤⇒≥⋅−⋅−⋅−=
=⋅−⋅+⋅−
x
xxxxx
xxx
xxxxx
zxxx
Business Computing and Operations Research 407
Umformung des Dictionary
( )
( )
131120,,,,,
231
251
222 s.t.
331Max
23131112
251
21231
21
23
25 s.t.
25231
21
27
252Max
531654321
6423
425
6421
642
64234326
425
464221
46422
=⇒=∧=∧=⇒≥
⋅−⋅++=
⋅+⋅+=
+⋅−⋅−=
=−−⋅−
⋅−⋅++=⇒⋅+⋅−⋅+=⋅
⋅+⋅+=
⋅−⋅−⋅++⋅−⋅−=
=⋅−⋅−⋅++⋅+⋅−
zxxxxxxxxx
xxxx
xxx
xxxx
zxxx
xxxxxxxx
xxx
xxxxxx
zxxxxx
14
Business Computing and Operations Research 408
Und nun?
!
Da es keine Nicht-Basisvariablemehr gibt, die einen positiven
Koeffizienten in der Zielfunktion besitzt, haben wir eine optimale Lösung gefunden.
Da es keine Nicht-Basisvariablemehr gibt, die einen positiven
Koeffizienten in der Zielfunktion besitzt, haben wir eine optimale Lösung gefunden.
Genau! Betrachte dazu die Zielfunktion
zxxx =−−⋅− 642331
Business Computing and Operations Research 409
Struktur der Dictionaries
� Linke Seite der Gleichungen
� Nur diese m Variablen dürfen ungleich Null sein (eine für jede Restriktion)
� Jedes andere Vorkommen der Variablen ist durch den Wert der rechten Seite in allen Gleichungen und der Zielfunktion zu substituieren
� Wir bezeichnen diese Variablen als Basisvariablen
� Rechte Seite der Gleichungen� Diese Variablen sind gleich Null zu setzen
� Dies sind n-m Variablen
� Wir bezeichnen diese Variablen als Nicht-Basisvariablen
� ZielfunktionPositive (negative) Koeffizienten erhöhen (erniedrigen) den Zielfunktionswert wenn die zugehörige Variable in die Basis eingeführt wird
� In jedem Schritt erfolgt ein Austausch von einer Basisvariable gegen eine Nicht-Basisvariable. Es sind in jedem Schritt genau m Variablen in der Basis.
� Durch jeden dieser Schritte wird versucht, die aktuelle Lösung zu verbessern.
� Geometrisch bewegt sich die Lösungssuche auf dem Rand des Lösungsraums von Eckpunkt zu Eckpunkt
Business Computing and Operations Research 410
Der „Weg“ des Simplex Algorithmus’
Ein Eckpunkt
Zulässiger Lösungsraum
Iteration 1
Iteration 0
Iteration 2
xA
xB
Optimale Lösung
Zielfunktion
Business Computing and Operations Research 411
Der Primale Simplex Algorithmus (mit Dictionaries)
1. Transformiere das LP in die kanonische Form und bilde danach Gleichheitsrestriktionen.
2. Initialisiere das Dictionary mit einer ersten zulässigen Basislösung.
3. Gibt es nun strikt positive Koeffizienten in der Zielfunktion?
“JA” Iteration:
- „Größte Koeffizienten Regel“: Wähle die Variable xB mit dem größten positiven
Koeffizienten in der Zielfunktion.
- Bestimme die kleinste positive obere Schranke für xB in den Restriktionen
- Wenn es mindestens eine positive obere Schranke für xB gibt, setze xB auf die
minimale positive obere Schranke, die sich aus der Restriktion i ergibt;
terminiere andernfalls (keine positive obere Schranke) da der Lösungsraum
nicht beschränkt ist und sich die Lösung unendlich verbessern lässt (damit gibt
es keine optimale Lösung)
- Transformiere Gleichung i so, dass xB auf der linken Seite isoliert wird.
- Substituiere xB in allen anderen Gleichungen und in der Zielfunktion durch die
erhaltene rechte Seite der Gleichung i. Vereinfache das System. Gehe zu Schritt 3.
“NEIN” Terminiere. Eine optimale Basislösung wurde gefunden.
15
Business Computing and Operations Research 412
4.1.4 Schwierigkeiten bei der Berechnung
� Die präsentierte Lösungsberechnung lief sehr einfach
� Dabei blieben allerdings mögliche Probleme unerwähnt
� Aber es kann Probleme der folgenden Art geben
� Initialisierung
� Offensichtlich brauchen wir eine initiale Lösung
� Kann man diese Lösung immer generieren?
� Iteration
� Kann es Iterationen ohne Verbesserungen geben?
� Kann es beliebig lange Berechnungsphasen ohne Verbesserungen geben?
� Termination
� Endet die Berechnung immer?
� Oder sind auch zyklische Berechnungen möglich?
Business Computing and Operations Research 413
Initialisierung
� Zur Ausführung des Simplex Verfahrens muss immer eine zulässige Basislösung vorliegen
� Dazu muss zunächst eine erste Lösung bestimmt werden
� In jedem Schritt wird die aktuelle Lösung verändert, wobei darauf geachtet wird, dass die neue Lösung wieder zulässig ist
� Wir brauchen also für alle Fälle eine erste zulässige Lösung
� Dies zu ermöglichen, ist nicht immer so trivial wie in unserem kleinen Beispiel. Allerdings können wir eine erste Lösung durch einige Überlegungen für alle Fälle garantieren
� Zunächst kann jedes LP in kanonische Form gebracht werden
� Wenn der b-Vektor positiv ist, kann man die Schlupfvariablen auf die Werte des b-Vektors setzen und die Strukturvariablen mit Null definieren (siehe unser Beispiel)
Business Computing and Operations Research 414
Initialisierung
� Wenn b≥0, nimm die triviale Lösung: alle Strukturvariablen werden auf Null gesetzt und alle Schlupfvariablen werden auf die Werte des Vektors b gesetzt (Vektor der rechten Seite)
� Wenn es ein i gibt mit bi<0, wende die Zwei-Phasen Methode an
( ){ }{ }
{ }
0
0 0
1 0
1 0
1. Hilfs-LP: Maximiere
subject to 1 mit , 0
2. Initiale Lösung für das Hilfs-LP: ,..., ,
mit ... 0 min | 0 1,...,
Da es 1,..., gibt mit 0
m
Tini ini ini ini
n
ini ini ini
n i i
i
z x
A x x b x x
x x x x
x x x b b i m
i m b
= −
⋅ − ⋅ ≤ ≥
=
= = = ∧ = − < ∀ ∈
∈ <
*
, ist zulässig
3. Löse das Hilfs-LP und bestimme die optimale Lösung
4. Wenn >0, beende die Prozedur da das ursprüngliche LP nicht lösbar ist
5. Initiale zulässige Lösung zu dem ursprünglichen LP
inix
x
z
( )* * *
1: ,...,T
nx x x=
Business Computing and Operations Research 415
Zwei-Phasen Methode – Konsequenzen
4.1.4.1 Beobachtung: Da die Zielfunktion nach unten durch Null
beschränkt ist, ist das Hilfs-LP immer lösbar
4.1.4.2 Lemma: Die optimale Lösung für das Hilfs-LP liefert den
Zielfunktionswert Null genau dann wenn das ursprüngliche LP lösbar
ist
Beweis: “⇒”: Da z=0 gilt, folgt x0=0. Die optimale Lösung des Hilfs-LP
liefert eine zulässige Lösung zum Ursprungsproblem
“⇐”: Das ursprüngliche LP ist lösbar. Damit gibt es eine optimale
Lösung für das Hilfs-LP mit x0=0 und damit mit Zielfunktionswert z=0
16
Business Computing and Operations Research 416
Zwei-Phasen Methode – Konsequenzen
Betrachte die optimale Lösung des Hilfs-LP’s
� x0>0 ist Basisvariable:
Das ursprüngliche LP ist nicht lösbar da mindestens eine Restriktion verletzt ist
� x0 ist Nicht-Basisvariable oder x0=0 ist Basisvariable:
Lösche x0 und gehe zurück zu dem ursprünglichen LP und setze die ermittelte Lösung dort ein
Spezialfall:
x0=0 ist Basisvariable: Betrachte den Schritt in der Berechnung, bei dem die Zielfunktion das erste Mal Null wird. Dort wurde die Variable x0 auf Null reduziert. Damit war x0 in diesem Schritt ein Kandidat zur Entfernung aus der Basis. Dies sollte geschehen und der Schritt ist deshalb entsprechend zu modifizieren
Business Computing and Operations Research 417
Initialisierung – Beispiel I
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
1 2 3 0 4
1 2 3 0 5
1 2 3 0 6
Max
s.t. 2 2 4
2 3 5
2 1
, , 0
Max
s.t. 2 2 4
2 3 5 min
2 1
x x x z
x x x
x x x
x x x
x x x
x z
x x x x x
x x x x x
x x x x x
− + =
⋅ − + ⋅ ≤
⋅ − ⋅ + ≤ −
− + − ⋅ ≤ −
≥
− =
⋅ − + ⋅ − + =
⋅ − ⋅ + − + = − ↵
− + − ⋅ − + = −
0 1 2 3 4 5 6 , , , , , , 0x x x x x x x ≥
Business Computing and Operations Research 418
Initialisierung – Beispiel II
( )( )
( )
0,,,,,,
4343
325
92 s.t.
325Max
0,,,,,,
13252
325
432522 s.t.
325Max
6543210
65321
53210
5432
5321
6543210
65321321
53210
45321321
5321
≥
=+−⋅−⋅+⋅−
++⋅−⋅+=
=−++⋅
=−−⋅+⋅−−
≥
−=+++⋅−⋅+−⋅−+−
++⋅−⋅+=
=+++⋅−⋅+−⋅+−⋅
=++⋅−⋅+−
xxxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxx
zxxxx
xxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxx
xxxxxxxx
zxxxx
Business Computing and Operations Research 419
Initialisierung – Beispiel III
1 2 3 5
4 2 3 5
0 1 2 3 5
6 1 2 3 5
0 1 2 3 4 5 6 2
1 2 3 5
4 2 3 5 4
Max 5 2 3
s.t. 9 2
5 2 3
4 3 4 3
, , , , , , 0 Führe ein
Max 5 2 3
s.t. 9 2 9
x x x x z
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x z
x x x x x
− − ⋅ + ⋅ − − =
= − ⋅ − +
= + ⋅ − ⋅ + +
= + ⋅ − ⋅ + ⋅ +
≥ ⇒
− − ⋅ + ⋅ − − =
= − ⋅ − + ⇒ = 2 2
0 1 2 3 5 0 2 2
6 1 2 3 5 6 2 2
0 1 2 3 4 5 6
92 02
5 5 2 3 5 3 03
4 3 4 3 4 4 0 1
, , , , , , 0
x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
− ⋅ ≥ ⇒ ≤
= + ⋅ − ⋅ + + ⇒ = − ⋅ ≥ ⇒ ≤
= + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⇒ = − ⋅ ≥ ⇒ ≤ ↵
≥
17
Business Computing and Operations Research 420
Initialisierung – Beispiel IV
( )( )
( )
1 1 3 5 6 3 5
4 1 3 5 6 3 5
0 1 1 3 5 6 3 5
2 1 3 5 6
0 1 2
3 3 1 1Max 5 2 3 14 4 4 4
3 3 1 1s.t. 9 2 1 04 4 4 4
3 3 1 1 5 2 3 14 4 4 4
3 3 1 1 14 4 4 4
, , ,
x x x x x x x z
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x
− − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − − =
= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ≥
= + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + +
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅
3 4 5 6
1 3 5 6
4 1 3 5 6
0 1 3 5 6
2 1 3 5 6
0 1 2 3 4 5 6 3
, , , 0
5 31 1Max 24 4 4 4
3 5 1 1s.t. 72 2 2 2
5 31 1 24 4 4 4
3 3 1 1 14 4 4 4
, , , , , , 0 Führe in die B
x x x
x x x x z
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
≥
− + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅
≥ ⇒ asis ein
Business Computing and Operations Research 421
Initialisierung – Beispiel V
1 3 5 6
4 1 3 5 6 3 3
0 1 3 5 6 3
2 1 3 5 6 3
0 1 2 3 4 5
5 31 1Max 24 4 4 4
3 5 51 1 14s.t. 7 0 72 2 2 2 2 5
5 3 81 1 2 04 4 4 4 5
3 3 1 1 4 1 04 4 4 4 3
, , , , ,
x x x x z
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥ ⇒ ⋅ ≤ ⇒ ≤
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥ ⇒ ≤ ↵
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ≥ ⇒ ≥ −
6
0
4 1 0 6
3 1 0 5 6
2 1 0 5 6
0 1 2 3 4 5 6 1 2 3
, 0
Max 0
s.t. 3 2
8 31 4 1 5 5 5 5 5
3 311 2 1 5 5 5 5 5
811 , , , , , , 0 0, , ist eine zulässige Lösung5 5
x
x z
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x
≥
− =
= − + ⋅ −
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
= + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
≥ ⇒ = = =
Business Computing and Operations Research 422
Initialisierung – Beispiel VI
( )( )
1 2 3 1 1 5 6
1 5 6
Damit können wir die Berechnung mit dem ursprünglichen Problem fortfahren
und die ermittelte erste zulässige Lösung dort einsetzen
311 2 1Max Max 5 5 5 5
8 31 15 5 5 5
3Max 5
− + = − + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ − ⋅ + ⋅ + ⋅
= −
x x x x x x x
x x x
1 5 6
4 1 6
3 1 5 6
2 1 5 6
1 2 3 4 5 6
1 1 25 5 5
s.t. 3
8 31 1 5 5 5 5
311 2 1 5 5 5 5
, , , , , 0
+ ⋅ − ⋅ + ⋅ =
= − −
= − ⋅ + ⋅ + ⋅
= + ⋅ + ⋅ + ⋅
≥
x x x z
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
Business Computing and Operations Research 423
Terminierung
� In jeder Iteration des Simplex Verfahrens wird eine Variable aus der Basis entfernt und durch eine Nicht-Basisvariable ersetzt, die einen positiven Koeffizienten in der Zielfunktion aufweist
� Diese Wahl ist nicht immer eindeutig � Pivotstrategie� Nicht Basisvariablen
� Es bieten sich unter Umständen mehrere Nicht-Basisvariablen an, in die Basis aufgenommen zu werden
� Man könnte die größte Verbesserung des Zielfunktionswertes als Kriterium nehmen
� Gibt es keinen Kandidaten hat man eine optimale Lösung gefunden
� Basisvariablen� Die Wahl der die Basis verlassenden Variablen muss nicht eindeutig sein
� Gibt es keinen Kandidaten gibt es keine optimale Lösung, da die aktuelle Lösung beliebig verbessert werden kann
� Gibt es mehrere Restriktionen mit gleicher Schranke erhalten wir im nächsten Schritt eine entartete Basislösung
18
Business Computing and Operations Research 424
Entartete Basislösung – Beispiel I
1 2 3
4 3
5 1 2 3
6 1 2 3 1 2 3 5 6
3
1 2 3
Wir betrachten das folgende Dictionary
Max 2 8
s.t. 1 2
3 2 4 6
2 3 4 , mit , , , , 0
Wir nehmen in der Basis auf
Max 2 8
s.t.
⋅ − + ⋅ =
= − ⋅
= − ⋅ + ⋅ − ⋅
= + + ⋅ − ⋅ ≥
⋅ − + ⋅ =
x x x z
x x
x x x x
x x x x x x x x x
x
x x x z
4 3 3
5 1 2 3 3
6 1 2 3 3 1 2 3 5 6
1 1 2 02
1 3 2 4 6 02
1 2 3 4 0 , mit , , , , 02
= − ⋅ ≥ ⇒ ≤
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ ≥ ⇒ ≤
= + + ⋅ − ⋅ ≥ ⇒ ≤ ≥
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x
Business Computing and Operations Research 425
Entartete Basislösung – Beispiel II
� Wir sehen, dass es zwei Basisvariablen gibt (x5, x6), die den Wert 0 besitzen
� Obwohl das erstmal nicht problematisch im engeren Sinne ist (Lösung ist zulässig) kann das schädliche Nebeneffekte haben
� Insbesondere kann auf diese Weise eine zyklische Berechnung entstehen
1 2 4
3 4
5 1 2
6 1 2 3 1 2 3 5 6
4
1 12 2
0 2
0 3 2 0
Max 4 2
s.t.
mit
x x x z
x x
x x x
x x x x , x ,x ,x ,x ,x
+ ⋅ − − ⋅ =
= − ⋅
= − ⋅ +
= + − ⋅ + ⋅ ≥
Business Computing and Operations Research 426
Terminierung versus zyklische Berechnungen
� Zyklische Berechnungen verhindern eine Terminierung des Verfahrens
� Dieses Problem tritt selten auf muss aber abgefangen werden
� Aber, wie kann es dazu kommen?
� Verbessert sich der Zielfunktionswert in jedem Simplexschritt kann es keine Zyklen geben, da die neue Lösung ständig echt besser wird
� Liegt dagegen aber eine degenerierte zulässige Basislösung vor, besteht durchaus die Gefahr, dass eine Basisvariable mit dem Wert Null gewählt wird, die Basis zu verlassen. In diesem Fall kann es passieren, dass sich der Zielfunktionswert nicht verändert beim Tausch der Lösung
� Auf diese Weise kann es zu einer Folge von Schritten kommen, bei der verschiedene Basen entstehen und die, nach einer Reihe von Variablenwechseln wieder eine vorherige Lösung erreicht
� Wechselt man nicht mehr die angewendete deterministische Pivotstrategie terminiert der Algorithmus nie
Business Computing and Operations Research 427
Pivotstrategie: Minimaler Index
� Diese Pivotstrategie wählt (bei Alternativen) immer die Variable, die den kleinsten Index besitzt
� Da alle Variablen einen eindeutigen Index besitzen ist diese Regel immer eindeutig
� Diese Regel wird bei der Pivotstrategie für jede Entscheidung verwendet, d.h., sowohl für Variablen, die neu in die Basis kommen können als auch für Variablen, die diese verlassen könnten
4.1.4.3 Theorem:
Das Simplex Verfahren terminiert immer wenn die PivotstrategieMinimaler Index verwendet wird
Beweis:
siehe die Bachelor Veranstaltung „Combinatorial Optimization“ im folgenden Wintersemester
19
Business Computing and Operations Research 428
Lineare Programmierung – Was haben wir gelernt?
� Wir kennen die allgemeinen Formen von Linearen Programmen sowie ihre Definition und Äquivalenz
� Mit dem uns bekannten Simplex Algorithmus finden wir immer eine optimale Lösung für alle Linearen Programme (!!)
� Insbesondere können wir mit speziellen Problemen umgehen
� Finden einer benötigten Startlösung mit Hilfe einer einfachen Starkonstellation oder durch Anwendung der Zwei-Phasen Methode
� Verhinderung von Zyklen in der Berechnung durch Einsatz einer Pivotstrategie
� Die Veranstaltung “Combinatorial Optimization” setzt dies fort
� Tiefes Verständnis der Zusammenhänge (Struktur eines LP)
� Dualität
� Anwendungen der kombinatorischen Optimierung
� Ganzzahlige Optimierung
� Anwendungen der Spieltheorie
Business Computing and Operations Research 429
4.2 Ein Beispiel zur stochastischen Optimierung
� Im Folgenden betrachten wir beispielhaft eine praktische Problemstellungen, bei der die Eingabeparameter nicht mehr bekannt sind, sondern stochastischer Natur sein können
� Dies trifft in der Praxis sehr häufig zu
� Wir betrachten dazu ein Bestellmengenproblem mit unsicherer Nachfrage
� Es wird eine stochastische Verteilung der Nachfrage unterstellt
� Es ist in einer Periode eine Bestellmenge festzulegen, die Einfluss auf die sich ergebenden Kosten hat
� Es ist eine optimale Bestellmenge zu finden, die zu minimalen erwarteten Kosten führt
� Wir beginnen hierzu mit der Betrachtung von Modellen, die nur eine Periode umfassen, d.h. es wird lediglich eine Periode betrachtet, für die eine optimale Bestellmenge zu ermitteln ist
Business Computing and Operations Research 430
4.2.1 Einperiodisches Bestandsmanagement
� Bei einem einperiodischen Modell wird lediglich ein Bestellvorgang betrachtet
� Hierzu ist eine optimale Bestellmenge zu ermitteln
� Dabei handelt es sich meist um Anwendungen mit sehr verderblichen Gütern, d.h., um Güter, die – falls nicht verkauft – in den Folgeperioden nicht mehr verwendbar sind
� Mögliche Beispiele sind hierfür
� Tageszeitungen
� Leicht verderbliche Lebensmittel
� Aktionswaren
� Extreme Modeartikel
Business Computing and Operations Research 431
Newsvendor Problem
� Als klassisches Modell dient in diesem Bereich das so genannte „Newsvendor or Newsboy Model“, d.h. das „Zeitungsverkäufermodell“
� Bei diesem Modell wird ein Zeitungsverkäufer betrachtet
� Dieser entscheidet an jedem Morgen, wie viele Zeitungen er bestellt
� Für jede Zeitung ist ein Betrag von c Euro Bestellkosten zu entrichten
� Dagegen erzielt der Verkäufer einen Erlös von r Euro pro verkaufter Zeitung
� Auch ist es möglich, eine nicht verkaufte Zeitung für v Euro zurückzugeben
� Offensichtlich gilt: r > c > v
20
Business Computing and Operations Research 432
Computer Journal at Mac‘s (vgl. Nahmias (2005))
� Wir betrachten ein einfaches Beispiel
� Mac, Besitzer eines Zeitungskiosks bestellt jeden Sonntag das wöchentlich erscheinende Magazin „The Computer Journal“
� Er bezahlt c=25 Cents für jedes Exemplar im Einkauf und veräußert es zu r=75 Cents
� Daneben können nicht veräußerte Exemplare für v=10 Cents zurückgegeben werden
� Mac möchte ein effizientes Bestandsmanagement installieren und erfasst hierzu die Häufigkeit der Nachfrage
Business Computing and Operations Research 433
Nachfrage der letzten 52 Wochen
� Mittelwert der Reihe ist 11,7307692
� Standardabweichung ist 4,74079246
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 2 2 2 25 2 27 2 2 3 31 3 3 3 35 3 37 3 3 4 41 4 4 4 45 4 47 4 4 50 51 52
Tag
Nachfrage
Business Computing and Operations Research 434
Resultierende Häufigkeiten
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Nachfrage
Häufigkeit
Business Computing and Operations Research 435
Daten der diskreten Verteilung
Nachfrage Häufigkeit f F
0 1 0,019230769 0,019230769
1 0 0 0,019230769
2 0 0 0,019230769
3 0 0 0,019230769
4 3 0,057692308 0,076923077
5 1 0,019230769 0,096153846
6 2 0,038461538 0,134615385
7 2 0,038461538 0,173076923
8 4 0,076923077 0,25
9 6 0,115384615 0,365384615
10 2 0,038461538 0,403846154
11 5 0,096153846 0,5
21
Business Computing and Operations Research 436
Fortsetzung
Nachfrage Häufigkeit f F
12 4 0,076923077 0,576923077
13 1 0,019230769 0,596153846
14 5 0,096153846 0,692307692
15 5 0,096153846 0,788461538
16 1 0,019230769 0,807692308
17 3 0,057692308 0,865384615
18 3 0,057692308 0,923076923
19 3 0,057692308 0,980769231
20 0 0 0,980769231
21 0 0 0,980769231
22 1 0,019230769 1
Business Computing and Operations Research 437
Optimale Bestellmenge
� Mac möchte die Bestellmenge optimieren, um sein Bestandsmanagement zu verbessern, d.h. es sind die Kosten zu minimieren, deren Höhe von der Bestellmenge beeinflusst wird
� Zur Findung der optimalen Bestellmenge ist zu untersuchen, welche Kosten jeweils von Fehl- oder Überschussmengen verursacht werden
� Diese sind dann entsprechend zu quantifizieren und in ihrer Häufigkeit zu bewerten
Business Computing and Operations Research 438
Entwicklung einer Kostenfunktion
� Werden zu wenige Einheiten bestellt, d.h. es gibt Fehlmengen, treten die erzielbaren Erlöse als Opportunitätskosten auf.
Hier gibt es einen Unterbestand und wir setzen als Unterbestandskostensatz cu an (Unit Underage Cost)
� Im Fall zu großer Bestellmengen ist dagegen die Differenz aus Bestellkosten und Rückgabeerlös anzusetzen.
Hier gibt es einen Überbestand und wir setzen als Überbestandskostensatz co an (Unit Overage Cost)
� Damit ergibt sich der Erwartungswert der Kosten aus der Betrachtung aller möglichen Fälle, d.h. aller möglichen Nachfragen, in Abhängigkeit der gewählten Bestellmenge S
Es muss gelteno uc c v c r c r c v= − = − > >
Business Computing and Operations Research 439
Übergang zur stetigen Variante
� Im Folgenden wollen wir uns stetigen Nachfragefunktionen zuwenden
� Warum?
� Häufig lassen sich Gesetzmäßigkeiten in diskreten Verteilungen erkennen (siehe zum Beispiel der Tests auf Normalverteilung)
� Dies verbessert die Analysierbarkeit der Zusammenhänge
� Zudem können die Instrumente der Infinitesimalrechnung genutzt werden
� Zunächst wird nur eine beliebige stetige Verteilung herangezogen, um allgemeine Ergebnisse erzielen zu können
22
Business Computing and Operations Research 440
Eigenschaften der stetigen Variante
� Gegeben sei eine Zufallsvariable y, die für die Nachfrage steht� Wir unterstellen eine beliebige stetige Nachfrageverteilung� Deren Dichtefunktion f(y) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass genau y Güter (im diskreten Fall) nachgefragt werden � Deren Verteilungsfunktion F(y) gibt an, dass 0 bis einschließlich y
Güter nachgefragt werden� Falls f(y) bzw. F(y) nicht geben ist, sind Wertetabellen einsehbar� Zudem unterstellen wir, dass es keine negativen Nachfragen
geben kann, d.h. f(y)=0 für y<0� Beachte, dass dies keine triviale Annahme ist. Zum Beispiel lässt
die Normalverteilung bei geringen Mittelwerten und (relativ hierzu) größeren Varianzen durchaus positive Wahrscheinlichkeiten für negative Nachfragemengen zu
� Darüber hinaus werden aber keine weitere Annahmen an den genauen Verlauf der Nachfrageverteilung gestellt
Business Computing and Operations Research 441
Die stetige Kostenfunktion
� Wir betrachten somit im Folgenden die Kostenfunktion
� Vorgehen
� Wie können wir die optimale Bestellmenge bestimmen?
� Offensichtlich ist hierzu zunächst die Ableitung nach S zu ermitteln und dann Extrempunkte zu finden
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
S
o u
y y S
Z S c S y f y dy c y S f y dy
∞
= =
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅∫ ∫
Business Computing and Operations Research 442
Leibnizregel
� Zur Lösung unseres Problems benötigen wir die so genannte Leibnizregel. Sie lautet allgemein
� Diese können wir nun einfach auf unser Problem anwenden. Für das erste Integral ergibt sich die Substitution
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
2
1
2
1
2 12 1
a S
y a S
a S
y a S
Z Sh y,S dy
S S
h y,S a S a Sdy h a S ,S h a S ,S
S S S
=
=
∂ ∂=
∂ ∂
∂ ∂ ∂= + ⋅ − ⋅
∂ ∂ ∂
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yfySy,ShSSaSa ⋅−=== ,,0 21
Business Computing and Operations Research 443
Integral 1
� Damit erhalten wir
� Für das zweite Integral ergibt sich die Substitution
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )�
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
2 1
2 1
0 01 0
0
0 0
= === =
= − ⋅= − ⋅
= =
∂ − ⋅ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅
∂ ∂ ∂
∂ − ⋅= = =
∂
∫
∫ ∫
�������� �����
��������������
S
yS
S f yS S f y
S S
y y
S y f y a S a Sdy h a S ,S h a S ,S
S S S
S y f ydy f y dy F S
S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yfSyy,ShSaSSa ⋅−=∞== ,, 21
23
Business Computing and Operations Research 444
Integral 2
� Damit erhalten wir
� Damit ergibt sich als erste Ableitung
( ) ( )( )�
( ) ( )
( )( )�
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
2 1
2 1
0 10
lim
1
k
k
y S k S
S k f y S S f y
k
y S y S
y S f y a S a Sdy h a S ,S h a S ,S
S S S
y S f ydy f y dy F S
S
→∞
= = == =
= − ⋅ = − ⋅ =
∞
= =
∂ − ⋅ ∂ ∂ + ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂
∂ − ⋅= = − = − +
∂
∫
∫ ∫
����� ������������ �������
( ) ( )( )SFcSFc uo −⋅−⋅ 1
Business Computing and Operations Research 445
Und als zweite Ableitung
� ergibt sich somit
� Diese zweite Ableitung ist offensichtlich größer oder gleich Null für alle Werte von S und somit konvex
� Damit sind alle Nullstellen der ersten Ableitung Minima der Kostenfunktion
� Wir berechnen also die optimale Bestellmenge durch Nullsetzen der ersten Ableitung
( ) ( )( )( ) ( ) ( )SfcSfcS
SFcSFcuo
uo ⋅+⋅=∂
−⋅−⋅∂ 1
Business Computing and Operations Research 446
Berechnung der optimalen Bestellmenge
� Wir erhalten somit
� Man bezeichnet CR als das Critical ratio
� Es gilt für alle Nachfrageverteilungen
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
uo
u
uo
u
uo
uuuo
uuo
uo
cc
cCR
cc
cFS
cc
cSFcSFcc
SFccSFc
SFcSFc
+=
+=⇔
+=⇔=⋅+⇔
=⋅+−⋅⇔
=−⋅−⋅
− mit ,
0
01
1
Business Computing and Operations Research 447
CR – Beispielrechnung
� Sei die folgende Parameterkonstellation gegeben
� c=1€
� r=3€
� v=0,5€
� Damit gilt
8,05,2
2
5,02
2
€213
€5,05,01
==+
=⇒
=−=−=
=−=−=
CR
crc
vcc
u
o
24
Business Computing and Operations Research 448
Zurück zur diskreten Variante
� Da man davon ausgeht, dass die jeweilige diskrete Verteilung durch eine stetige angenähert werden kann, sind unsere Ergebnisse der stetigen Version auch verwendbar für den diskreten Fall
� Dies führt uns nun zurück zu unserem kleinen Eingangsbeispiel
Das Mac Beispiel
Business Computing and Operations Research 449
CR – Für das Mac Beispiel
� Hier war die folgende Parameterkonstellation gegeben
� c=25 Cents
� r=75 Cents
� v=10 Cents
� Damit gilt
76923,065
50
Cents 502575
Cents 151025
==⇒
=−=−=
=−=−=
CR
crc
vcc
u
o
Business Computing and Operations Research 450
Wie lässt sich dieses Ergebnis interpretieren?
� Wir wählen bei einer beliebigen Nachfrageverteilung die Bestellmenge, die in 80 Prozent aller Fälle keine Fehlmengen verursacht, d.h. es gilt
� Anders ausgedrückt: p(x≤S*)=F(S*)=0,8
� Für das Beispiel Mac
� CR=0,76923
� Wir suchen die Nachfrage bei der F ungefähr den Wert 0,76923 annimmt
� Dies ist wollen wir anhand der Tabelle ermitteln
Business Computing and Operations Research 451
Daten der diskreten Verteilung
Nachfrage Häufigkeit f F
0 1 0,019230769 0,019230769
1 0 0 0,019230769
2 0 0 0,019230769
3 0 0 0,019230769
4 3 0,057692308 0,076923077
5 1 0,019230769 0,096153846
6 2 0,038461538 0,134615385
7 2 0,038461538 0,173076923
8 4 0,076923077 0,25
9 6 0,115384615 0,365384615
10 2 0,038461538 0,403846154
11 5 0,096153846 0,5
25
Business Computing and Operations Research 452
Fortsetzung
Nachfrage Häufigkeit f F
12 4 0,076923077 0,576923077
13 1 0,019230769 0,596153846
14 5 0,096153846 0,692307692
15 5 0,096153846 0,788461538
16 1 0,019230769 0,807692308
17 3 0,057692308 0,865384615
18 3 0,057692308 0,923076923
19 3 0,057692308 0,980769231
20 0 0 0,980769231
21 0 0 0,980769231
22 1 0,019230769 1
Business Computing and Operations Research 453
Konsequenz
� Der gesuchte Wert CR wird offensichtlich zwischen 14 und 15 angenommen
� Wir wählen aufgrund der Nähe zu den Werten und nach einer genaueren Betrachtung 15 als optimale Bestellmenge
Business Computing and Operations Research 454
Unterstellung einer Normalverteilung
� Im Folgenden wollen wir eine Normalverteilung als Nachfragefunktion unterstellen
� Dazu benötigen wir zunächst einige allgemeine Informationen zur Normalverteilung
� Sie besitzt die Dichtefunktion
( ) ,
mit als Erwartungswert und als Standardabweichung
x µ
σf x e
σ π
µ σ
− − ⋅ = ⋅⋅ ⋅
21
21
2
Business Computing and Operations Research 455
Eigenschaften
Es gilt
und
( )t µ
σF e dt
σ π
µ
µ
− − ⋅
−∞
= ⋅ =⋅ ⋅∫
21
21 1
22
( )
( )
( )
x µx µ
σσf x e e
σ π σ π
f x
µ
µ
− + ⋅ − − − ⋅ − ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − + ⋅
22 211
221 1
2 2
2
26
Business Computing and Operations Research 456
Konsequenzen
� Damit entsprechen sich bei der Normalverteilung Median und Mittelwert
� Die Normalverteilung ist offensichtlich symmetrisch
Business Computing and Operations Research 457
Die zugehörige Verteilungsfunktion…
� ist leider nicht analytisch berechenbar
� Daher wird oft der Spezialfall mit μ=0 und σ=1 betrachtet
� Diese spezielle Verteilungsfunktion ist die so genannte Standardnormalverteilung N(0,1)
� Für diese Funktion sind spezielle Tabellierungen verfügbar
� Daher wäre es wünschenswert die allgemeine Normalverteilung hierauf zurückzuführen
� Auf diese Weise kann auf die spezielle Tabellierung der Standardnormalverteilung zurückgegriffen werden
� Wir wollen nun einige Eigenschaften dieser speziellen Verteilungsfunktion herleiten
Business Computing and Operations Research 458
Eigenschaften der Standardnormalverteilung
� Dichtefunktion
� Verteilungsfunktion
( ) ( )2
01
2
1
2
x
f x x eπ
ϕ
− = = ⋅
⋅
( ) ( )2
01
2
1
2
tx
F x Φ x e dtπ
−
−∞
= = ⋅⋅
∫
Business Computing and Operations Research 459
Transformation der Normalverteilung N(μ,σ)
� Es gilt die folgende z-Transformation
� Diese lässt sich leicht durch die folgende Beziehung zeigen. So gilt:
� Damit erhält man die Dichtefunktion als Ableitung
( )2
01
2
1
2
x µtz
σx µ
F x F e dtσ π
− = −
−∞
− = = ⋅
⋅ ∫
( )
101
2
01 01
2
1 1 1 1
2
− − ⋅
− ∂ − − ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
∂
x µ
σ
x µF
x µ x µσF f e f x
x σ σ σ σ σπ
27
Business Computing and Operations Research 460
Grundsätzliche Folgerungen
� Damit ist „die Brücke zur Standardnormalverteilung hergestellt“ und wir können nun formulieren
� Falls die Zufallsvariable x nach N(μ,σ) verteilt ist, gilt
� Damit gilt für Intervalle
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
01 01 01 01
1 1
1 1
P a x b P x a P x b F a F b
a µ b µ b µ a µF F F F
σ σ σ σ
≤ ≤ = ≥ − ≥ = − − −
− − − − = − − + = −
( ) ( ) 011 1a µ
P x a F a Fσ
− ≥ = − = −
Business Computing and Operations Research 461
α – Quantil
� Für α (0≤α≤1) ist das α – Quantil der Wert z(α), bei dem gilt
� Daraus folgt unmittelbar
� Da aber auch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung nicht analytisch bestimmbar ist, kommt die folgende numerische Näherung der z-Transformation zur Anwendung
( )( ) ( )( )01F z α P x z α α= ≤ =
( ) ( )101z α F α−=
( ) ( ) , mit Quantil der StandardnormalverteilungS α µ z σα α∗ = + ⋅ −
Business Computing and Operations Research 462
Konsequenz
� Erinnern wir uns: Für das Critical Ratio CR gilt F(S*)=CR� Für die Standardisierung der Zufallsvariable S*
erhalten wir somit
Das Critical Ratio CR also ein CR – Quantil der Standardnormalverteilung
� Die optimale Bestellmenge wird über die Rücktransformation erhalten
( ) ( )( )*
* *01( )
x SF S P x S P F z CR CR
µ µ
σ σ
− −= ≤ = ≤ = =
( )S µ z CR σ∗ = + ⋅
Business Computing and Operations Research 463
Konsequenz
( )*
Sz CR
µ
σ
−=
z
( )01f z
( )01F z
( )( ) ( )( )
01 01
z CR
F z CR f z dz CR−∞
= ⋅ =∫
z
CR
28
Business Computing and Operations Research 464
Das Mac Beispiel
� In dem Mac Beispiel galt CR=0,8. Aus der numerischen Näherung der Standardnormalverteilung ergibt sich
� Seien die folgenden Daten gegeben
� Wir wählen somit für eine stochastisch unabhängige und normalverteilte Nachfrage eine Bestellmenge von 117 Stück
( ) ( )101 0,8 0,84z CR F −= ≈
( )
100 Stück, 20 Stück
100 0 84 20 117 Stück
µ σ
S µ z CR σ ,∗
= =
= + ⋅ ≈ + ⋅ =
Business Computing and Operations Research 465
Die Näherung der Standardnormalverteilung
z(α) α = F01(z(α))0,69 0,755
0,71 0,76
0,72 0,765
0,74 0,77
0,755 0,775
0,78 0,78
0,79 0,785
0,81 0,79
0,825 0,795
0,84 0,8
0,86 0,805
0,88 0,81
Business Computing and Operations Research 466
Erwartete Fehlmenge J(S)
� Man vereinbart als erwartete Fehlmenge bzgl. S
� Damit gilt
( ) ( ) ( )y S
J S y S f y dy
∞
=
= − ⋅∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
21
2
lim
1lim
2
k
k
y S y S
y µk
σ
k
y S
J S y S f y dy y S f y dy
y S e dyσ π
∗
∞
→∞
= =
− − ⋅
→∞
=
= − ⋅ = − ⋅
= − ⋅ ⋅⋅ ⋅
∫ ∫
∫
Business Computing and Operations Research 467
Erwartete normierte Fehlmenge L(z)
� Analog hierzu wird die erwartete normierte Fehlmenge für z vereinbart
� Zusammenhang zwischen J(S*) und L(z*)
( ) ( ) ( )y z
L z y z y dy
∞
=
= − ⋅ϕ∫
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
y y µ
y z y µ z
y µ
σ
y µ z σ
L z y z e dy y µ z e dyπ π
y µz e dy J S
σ σπ
σ L z J S
∗ ∗
∗
∞ ∞− ⋅ − ⋅ − ∗ ∗ ∗
= = +
− ∞ − ⋅ ∗ ∗
= + ⋅
∗ ∗
= − ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅⋅ ⋅
− = − ⋅ ⋅ = ⋅
⋅
⇒ ⋅ =
∫ ∫
∫
22
2
1 1
2 2
1
2
1 1
2 2
1 1
2
29
Business Computing and Operations Research 468
Eine weitere wichtige Eigenschaft von L(z)
� Nahmias (2005) zeigt die folgende wichtige Eigenschaft der erwarteten normierten Fehlmenge
� Diese Eigenschaft erlaubt uns eine kompakte Darstellung der erwarteten optimalen Kosten
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
− ⋅ − ⋅
=−∞
=−∞
= ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= − ⋅ − = − ⋅ −
∫
∫
zz y
y
z
y
L z e z y z e dyπ π
z z Φ y dy f z z F zϕ
2 21 1
2 2
01 01
1 11
2 2
1 1
Business Computing and Operations Research 469
Erwartete optimale Kosten
� Nun können wir für die erwarteten Kosten der optimalen Bestellmenge S* formulieren
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0 0
S
o u
y y S
S S
o
y y y S y S y S y S
u
y S
o
y y y S y
Z S c S y f y dy c y S f y dy
c S f y dy y f y dy S f y dy y f y dy S f y dy y f y dy
c y S f y dy
c S f y dy y f y dy S f y dy y f y
∗
∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗
∗
∞∗ ∗ ∗
= =
∞ ∞ ∞ ∞∗ ∗ ∗
= = = = = =
∞∗
=
∞ ∞ ∞∗ ∗
= = =
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅
+ ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
u
S y S
o u
y S y S y S
o u
y S y S
dy c y S f y dy
c S S f y dy y f y dy c y S f y dy
c S y S f y dy c y S f y dy
µ
µ
∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗
∞ ∞∗
= =
∞ ∞ ∞∗ ∗ ∗
= = =
∞ ∞∗ ∗ ∗
= =
+ ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅
= ⋅ − + − ⋅ + ⋅ − ⋅
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Business Computing and Operations Research 470
Erwartete optimale Kosten
( )�
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )u o
u o u o
o u
y S y Sz σ
o o u o o u
y S
J S σ L z
o o u
c c
c c c c
Z S c S µ y S f y dy c y S f y dy
c z σ c c y S f y dy c z σ c c σ L z
c z σ c c σ f z z F z
∗ ∗∗
∗ ∗
∞ ∞∗ ∗ ∗ ∗
= == ⋅
∞∗ ∗ ∗ ∗
=
= = ⋅
∗ ∗ ∗ ∗
= − =+ +
= ⋅ − + − ⋅ + ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ −
∫ ∫
∫���������
�����01 01
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
oo o u o u
u o
o o u o o u
cc z σ c c σ f z c c σ z
c c
c z σ c c σ f z c σ z c c σ f z
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅+
= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅
01
01 01
Business Computing and Operations Research 471
Damit ergeben sich für Z(S*)
� Es gilt somit
� Damit ergibt sich als optimaler Gewinn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,
, ,
o uZ S c c σ f z f
∗ ∗= + ⋅ ⋅ = − + − ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
01 011 0 5 3 1 20 0 84
2 5 20 0 28 14
( ) ( ) ( ) ( )3 1 100 200 14 186uΠ S c µ Z S Z S∗ ∗ ∗= ⋅ − = − ⋅ − = − =
30
Business Computing and Operations Research 472
Konsequenzen
� Wir sehen unmittelbar, dass sowohl die Höhe des Erwartungswertes als auch die Höhe der Standardabweichung einen signifikanten Einfluss auf den erwarteten Gewinn haben
� Triviale Erkenntnis
� Je größer der Erwartungswert (also des erwarteten Absatzes) desto größer ist der erwartete Erlös und damit der erwartete Gewinn
� Je größer die Standardabweichung (also die Unsicherheit in der
Nachfrage) desto größer werden die erwarteten Kosten und mindert damit den erwarteten Gewinn. Zu beachten ist hierbei
� Es gibt Unsicherheit aufgrund einer unscharfen Nachfrageprognose (hier gibt es ein wichtiges Verbesserungspotential)
� Somit ist an einer verbesserten Prognose mit geringeren Abweichungen zu arbeiten
Business Computing and Operations Research 473
Folge: Idealer Extremfall
� Bei sicherer Nachfrageprognose ohne Abweichungen ergeben sich keinerlei erwartete Kosten mehr
� So wäre in diesem Fall die Bestellmenge an der nun sicheren erwarteten Nachfrageprognose auszurichten
Business Computing and Operations Research 474
Z(S*) bei Halbierung von σ
� Es gilt nun
� Erwartete Kosten
� Damit ergibt sich als optimaler erwarteter Gewinn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )728,0105,2
84,01025,0 0101
=⋅⋅=
⋅⋅+=⋅⋅+= ∗∗fzfσccSZ uo
( ) ( ) ( ) 193720010013 =−=−⋅−= ∗∗SZSΠ
( ) 1091084,010084,0 ≈⋅+=⋅+== ∗∗ σµCRSS
Business Computing and Operations Research 475
Diskrete Variante
� Hier tritt die Nachfrage in vordefinierten Wahrscheinlichkeiten in diskreten Niveaus auf
� Wir gehen dabei davon aus, dass die Nachfrage für kleinere n Poisson verteilt ist
� Hierzu zunächst einige Informationen zur Poissonverteilung
31
Business Computing and Operations Research 476
Informationen zur Poissonverteilung
� Die Poissonverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, d.h. es treten nur abzählbar viele Ausprägungen auf
� Sie ist abgeleitet aus einer Folge von Bernoulli Experimenten(2 mögliche Ausgänge)
� Die Dichtefunktion der Poissonverteilung ist definiert durch
� Die Ereignisrate λ ist zugleich Erwartungswert und Varianz der Verteilung
� Der Einsatz einer solchen Verteilung bietet sich immer dann an, wenn nur wenige Ausprägungen möglich sind
� Geht die Anzahl der möglichen Ausprägungen gegen Unendlich nähert sich die speziell parametrisierte Poissonverteilung der Standardnormalverteilung
( ) teEreignisra als mit , λλy
y ey!
λpyXp
−⋅===
Business Computing and Operations Research 477
Erwartungswert der Poissonverteilung
Es gilt für den Erwartungswert:
( )
( )
( )
0 0 0
1
1
1
1
1
1
1
∞ ∞ ∞− −
= = =
∞−
=
−∞−
=
−∞−
=
=
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅−
= ⋅ ⋅ =−
∑ ∑ ∑
∑
∑
∑λ
y yλ λ
y
y y y
yλ
y
yλ
y
yλ
y
e
λ λE X y p y e e y
y! y!
λe y
y!
λ λe y
y y !
λλ e λ
y !�����
Business Computing and Operations Research 478
Varianz der Poissonverteilung
Es gilt für die Varianz
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )
( )λλλλλλe
!y
λλ
λλe!y
λ
yyyyλ
λλey!
λyyλλe
y!
λyy
λey!
λyyyλλe
y!
λye
y!
λλ
e!y
λλe
y!
λye
y!
λλλyy
pλλyypλyX
y
λy
y
λy
y
λy
y
λy
y
λy
y
λy
y
λy
y
λy
y
λy
y
λy
y
y
y
y
=−+=−+⋅−
⋅=
−+⋅−
⋅−⋅
⋅−⋅⋅=
−+⋅⋅−⋅=−+⋅⋅−⋅=
−⋅⋅+−⋅=+⋅−⋅⋅=⋅⋅+
⋅−
⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅⋅−=⋅−=
∑
∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
∞
=
−−
∞
=
−−
∞
=
−∞
=
−
∞
=
−∞
=
−∞
=
−
∞
=
−−∞
=
−∞
=
−
∞
=
∞
=
222
2
22
2
2
22
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2
1
12
0
2
0
22
0
22
0
2
2
21
11
11
12
122
2Var
Business Computing and Operations Research 479
Erwartungswert der Kosten
� Damit können wir die folgende Formel ansetzen
� Bei der Ermittlung der optimalen Bestellmenge „stört“ die unendliche Summe
� Diese lässt sich allerdings durch einen einfachen Trick „entfernen“
� Wir definieren wie folgt
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑∑∞
=
∗−
=
∗∗
∗
∗
=⋅−⋅+=⋅−⋅=Sy
u
S
y
o yXpSycyXpyScSZ1
0
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑∑
∑
−
=
∗∞
=
∗
∞
=
∗
∗
∗
=⋅−⋅−=⋅−⋅=
=⋅−⋅
1
00
S
y
u
y
u
Sy
u
yXpSycyXpSyc
yXpSyc
32
Business Computing and Operations Research 480
Direkte Vereinfachungen
� Und erhalten schließlich als vereinfachten Ausdruck
� Somit ergibt sich für die erwarteten Kosten
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )∑
∑∑∑
−
=
∗∗
−
=
∗∞
=
∗∞
=
∗
∗
=⋅−⋅−⋅⋅−⋅=
=⋅−⋅−=⋅⋅−=⋅⋅=
1
0
1
000
1S
y
uuu
S
y
u
y
u
y
u
yXpSyccSc
yXpSycyXpcSyXpyc
λ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑−
=
∗∗
=
∗∗
∗∗
=⋅−⋅−−⋅+=⋅−⋅=1
00
S
y
uu
S
y
o yXpSycScyXpyScSZ λ
Business Computing and Operations Research 481
Erwartungswert der Kosten
� Und damit erhalten wir
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )∗
=
∗
∗
=
∗
=
∗
∗
=
∗
=
∗
∗
−λ⋅+=⋅−⋅+=
⋅−λ⋅+=⋅−⋅+=⋅−⋅=
−λ⋅+=⋅−⋅+=⋅−⋅=
∑
∑∑
∑∑
∗
∗∗
∗∗
ScyXpyScc
SccyXpyScyXpySc
ScyXpyScyXpySc
SZ
u
S
y
uo
uu
S
y
u
S
y
o
u
S
y
u
S
y
o
0
00
00
Business Computing and Operations Research 482
Poissonverteilung mit Mittelwert 3
Nachfrage Wahrscheinlichkeit Kumulierte Wahrscheinlichkeit
0 0,049787068 0,049787068
1 0,149361205 0,199148273
2 0,224041808 0,423190081
3 0,224041808 0,647231889
4 0,168031356 0,815263245
5 0,100818813 0,916082058
6 0,050409407 0,966491465
7 0,021604031 0,988095496
8 0,008101512 0,996197008
9 0,002700504 0,998897512
10 0,000810151 0,999707663
11 0,00022095 0,999928613
12 5,52376E-05 0,999983851
13 1,27471E-05 0,999996598
14 2,73153E-06 0,99999933
15 5,46306E-07 0,999999876
16 1,02432E-07 0,999999978
17 1,80763E-08 0,999999996
18 3,01272E-09 0,999999999
19 4,75692E-10 1
20 7,13538E-11 1
21 1,01934E-11 1
22 1,39001E-12 1
Business Computing and Operations Research 483
Beispiel von Folie 407 – Bestimmung von S*
� Wie man sofort sieht, ist S* auf 4 zu setzen (CR=2/2,5=0,8)
� Damit ergibt sich als erwarteter Gewinn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) 30,1298393275,1231935731,15,2
222404184,044808362,044808362,019914827,05,2
432425,04
0
0
≈=−⋅=
−+++⋅=
−⋅+=⋅−⋅+=
−⋅+=⋅−⋅+=
∑
∑
=
∗
=
∗∗
∗
y
u
S
y
uo
yXpy
ScyXpySccSZ λ
( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 6 1,30 4,70uΠ S c µ Z S Z S∗ ∗ ∗= ⋅ − = − ⋅ − = − =
33
Business Computing and Operations Research 484
Servicegrade
� Bisher haben wir für Fehlmengen und Überbestände einfach Kosten angesetzt und diese schließlich minimiert
� Problem dabei ist allerdings
� dass diese Kosten nicht immer eindeutig ermittelbar sind
� So gibt es unter Umständen Kunden, die aufgrund von Fehlmengen dauerhaft oder zumindest längerfristig zur Konkurrenz wechseln
� Diese Auswirkungen zu ermitteln ist sehr schwierig
� Daher gibt es andere Ansätze, die eine bestimmte Qualität in Form von zu erreichenden Servicegraden vorgeben und ausgehend hiervon die Bestellmengen festlegen
Business Computing and Operations Research 485
α-Servicegrad
� Idee:
� Wir wollen mit der Vorgabe eines Wertes zwischen 0 und 1 für α bestimmen, dass die Nachfrage in αProzent vielen Fällen vollauf befriedigt werden kann
� Das heißt formal, dass wir das folgende Problem betrachten
( )
Minimiere S
unter Beachtung der Nebenbedingung
F S α≥
Business Computing and Operations Research 486
Beispielwerte
α z(α)0,895 1,25
0,9 1,29
0,905 1,31
0,91 1,34
0,915 1,37
0,92 1,41
0,925 1,44
0,93 1,48
0,935 1,51
0,94 1,56
0,945 1,6
0,95 1,64
Business Computing and Operations Research 487
α-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
� Wir können somit S* direkt ermitteln durch
� An unserem Beispiel (μ=100, σ=20) folgt für
� α=0,95: z=1,64 und damit S*=100+1,64.20=132,8. Also 133 Stück
� α=0,9: z=1,29 und damit S*=100+1,29.20=125,8. Also 126 Stück
� Die Funktion nimmt bei Annäherung an α=1 einen extrem ansteigenden Verlauf
( )αFS1−∗ =
34
Business Computing and Operations Research 488
β-Servicegrad
� Idee:
� Betrachte zu einer Bestellmenge S die erwartete Fehlmenge J(S)
� Sie enthält – wenn normiert – den Anteil der Nachfrage, der nicht befriedigt werden kann, d.h.
( ) ( ) ( )dyyfSySJSy
∫∞
=
⋅−=
( )( ) ( )
µ
dyyfSy
µ
SJ Sy
∫∞
=
⋅−
=
Business Computing and Operations Research 489
β-Servicegrad
� Das heißt – positiv formuliert – wir sind bei Bestellmenge S in der Lage, genau
Prozent der Nachfrage zu befriedigen
� Damit ergibt sich als Programm der Erfüllung eines β-Servicegrades
( )( ) ( )
µ
dyyfSy
µ
SJ Sy
∫∞
=
⋅−
−=− 11
( )1
Minimiere S
J Sunter Beachtung der Nebenbedingung
µ− ≥ β
Business Computing and Operations Research 490
β-Servicegrad – Die zugehörige Bestellmenge
� Wir betrachten wiederum unser Beispiel mit der Normalverteilung
� Unter Verwendung von J(S)=σ.L(z) gehen wir über zu der normierten Funktion L(z)
� Damit muss für S* gelten
� Beachte dass L(z) eine fallende Funktion ist
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∗∗∗
∗∗∗
≥⋅−
⇔⋅≥⋅−⇔⋅≥⋅−⇔
≥⋅−
⇔≥⋅
−⇔≥−
zLσ
µβzLσµβµβzLσµ
βµ
zLσµβ
µ
zLσβ
µ
SJ
11
11
Business Computing and Operations Research 491
Am Beispiel ergibt sich
� Wir unterstellen wieder die obigen Daten
� Durch Betrachtung von entsprechenden Tabellen erhalten wir
( ) ( )∗≥==⋅−
===
zLσ
µβ
,σ,µ,β
25,020
51
20100950
( )
1078,1062034,0100
34,025,01
≈=⋅+=⇒
≈=∗
−∗
S
Lz
35
Business Computing and Operations Research 492
4.2.2 Periodisches Bestandsmanagement
� Im Folgenden werden Modelle untersucht, die eine Betrachtung des Bestandsverlaufs über mehrere Periodenerlauben und somit längerfristige Effekte abbilden
� Dabei wird davon ausgegangen, dass Überbestände auch in den folgenden Perioden noch verwendet werden können und Fehlmengen Nachbestellungen in den folgenden Perioden auslösen
� Zudem soll es (zunächst) möglich sein, Bestellungen in Nullzeitzu erhalten, d.h. Lieferzeiten werden vernachlässigt
� Wir können also am Anfang einer Periode bestellen und erhalten in derselben Periode noch die entsprechende Lieferung
� Des weiteren gehen wir von einem Zielbestand S aus, der jeweils am Anfang einer jeden Periode auf dem Lager vorhanden sein soll
Business Computing and Operations Research 493
Variablen des Modells
� Wir vereinbaren als Parameter
� Alle diese Größen sind Zufallsvariablen
� Damit ergibt sich die Bestellmenge aus dem Lagerbestand, der zu Beginn einer Periode bekannt ist, durch die einfache Formel
� Negative Bestände repräsentieren Fehlmengen, die durch eine nachfolgende Bestellung auszugleichen sind
: Bestellmenge in Periode
: Lagerbestand am Anfang der Periode
: Nachfrage in Periode
t
t
t
X t
I t
Y t
t tX S I= −
Business Computing and Operations Research 494
Kostenfunktion
� Wir wollen wiederum die erwarteten Kosten pro Periode minimieren
� Dazu ist zunächst zu determinieren, welche Kostenbestandteile auftreten können und wie sich diese berechnen lassen
� Variable Bestellkosten c fallen je bestellter Einheit an
� Lagerhaltungskosten h fallen mit dem Lagerbestand an, der am Ende einer jeden Periode noch vorliegt. Diese werden durch den Lagerhaltungskostensatz h monetär bewertet
� Strafkosten p (Penalty Cost) fallen pro Einheit an, die als Fehlmenge auftritt (Kosten der Rückstellung einer Nachfrage,
Deckungsbeitrag)
Business Computing and Operations Research 495
Direkter Zusammenhang
� Wir bestellen in jeder Periode soviel, dass wir schließlich den Bestand S erreichen
� Das heißt also, es gilt
� Darüber hinaus gilt
� Man sieht
� Wir bestellen einfach in jeder Periode genau den Verbrauch der letzten Periode
� Wenn man einen positiven Endbestand erhält, dann fallen Lagerkosten an
� Wenn ein negativer Endbestand auftritt, dann fallen Fehlmengenkosten an
t tX S I= −
1 1 1 1 1 1 1
1
t t t t t t t t
t t
I I X Y I S I Y S Y
S I Y
− − − − − − −
−
= + − = + − − = −
⇔ − =
1t tX = Y −
36
Business Computing and Operations Research 496
Konsequenz
� Fehlmengen- und Lagerhaltungskosten treten also immer bei positiven oder negativen Beständen am Anfang einer Periode auf
� Da der Anfangsbestand einer Periode dem Endbestand der Vorperiode entspricht, müssen wir uns also zur Determinierung dieser Kosten lediglich den Bestand am Ende der einzelnen Perioden anschauen
� Damit ergibt sich für die Anfangsbestände
� Fehlmengen und Überbestände hängen somit lediglich von Yt
ab, d.h. wir müssen unterscheiden ob gilt
tt YSI −=+1
t tS Y oder S Y < >
Business Computing and Operations Research 497
Die erwarteten Gesamtkosten
� Da variable Bestellkosten entscheidungsirrelevant sind, können wir für die erwarteten Gesamtkosten einer Periode festhalten
� Dies ist offensichtlich die Zielfunktion des Newsvendor Problems, wenn man cu durch p und co durch h ersetzt
� Somit erhalten wir als optimales Bestellniveau
( ) { }( ) { }( )0,max0,max SYEpYSEhSZ tt −⋅+−⋅=
+= −∗
hp
pFS
1
Business Computing and Operations Research 498
Am Beispiel
� Wir betrachten als Beispiel wieder einen Händler
� Diesmal soll ein Elektronikteilhändler betrachtet werden, der sich auf spezielle Adapter für Hardwarebastler spezialisiert hat
� Wir betrachten die wöchentliche Nachfrage, wobei der Händler lediglich am Freitag bestellt und am Montagmorgen vor Geschäftseröffnung die entsprechende Lieferung erhält
� Da keine Verkäufe am Wochenende erfolgen, liegt hier die im Modell unterstellte Lieferung in Nullzeit vor
� Wir gehen wiederum von einer normalverteilten Nachfrage mit dem Erwartungswert μ=100 Stück/Woche und einer Standardabweichung von 50 Stück/Woche aus
Business Computing and Operations Research 499
Bestimmung des optimalen Bestandes S*
� Wir unterstellen die folgenden Kostensätze
� Lagerhaltungskosten h=0,5 €/Stück je Woche
� Fehlmengenkosten p=3 €/Stück je Woche
� Damit gilt für die optimale Bestellmenge
� Wir können z* direkt in der Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen und erhalten
z*=1,07. Damit erhalten wir
* * 100 1,07 50 153,5 Stück pro WocheS zµ σ= + ⋅ = + ⋅ =
( )1 1 130,8571
3 0,5
pS F F F
p h
∗ − − − = = ≈ + +
37
Business Computing and Operations Research 500
Erwartete Kosten
� Wir können wiederum die Formel des Newsvendor Problems direkt einsetzen und erhalten somit als einfache Berechnung
� Setzt man einen Verkaufspreis von r = 10€ und Einkaufskosten von c = 4€ an, erhalten wir damit als erwarteten Gewinn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
01 011,07
3 0,5 0,2251 50 39,3925 €/Woche
Z S p h f z p h fσ σ∗ ∗= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅
= + ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )10 4 100 39,3925
560,6075 €/Woche
uS c Z Sµ∗ ∗Π = ⋅ − = − ⋅ −
=
Business Computing and Operations Research 501
Berücksichtigung der Lieferzeit
� In vielen Problemstellungen muss allerdings eine Lieferzeit durch das Anwendungssystem berücksichtigt werden
� Dies verändert die Problemstellung in der Weise, dass der Lagerbestand nicht sprunghaft, sondern schrittweise aufgefüllt wird
� Wir verfügen also nicht nur über den physischen Lagerbestand, sondern müssen noch zusätzlich offene, d.h. erfolgte aber noch nicht eingetroffene, Bestellungen berücksichtigen
� Dies wird zu einer „gewissen Verschiebung“ der Verteilung führen
Business Computing and Operations Research 502
Parameter und Modelldefinitionen
� Wir modifizieren unseren Modellentwurf nun wie folgt
� Neben dem Lagerbestand It zu einer Periode t treten somit periodenbezogene Parameter zu ausstehenden Bestellmengen Ot (Open Orders) und disponiblen Lagerbeständen IPt (Inventory Position)
� Der disponible Lagerbestand in Periode t IPt ergibt sich als Summe der in t noch ausstehenden Bestellmenge und dem dort vorliegenden Lagerbestand. Damit gilt
� Wir unterstellen zudem eine Lieferzeit von LT Perioden
t t tIP I O= +
Business Computing and Operations Research 503
Zusammenhang der Parameter
� Damit können wir uns nun verdeutlichen, wie sich Bestellungen in der Periode t auf den Lagerbestand in der Periode t+LT auswirken
� Konkret wird eine Bestellung in einer Periode wiederum so gebildet, dass der Lagerbestand zu Beginn der Periode durch die Bestellung auf den Zielbestand S aufgefüllt wird
� Die Bestellung in der Periode t (also Xt) selbst trifft dann im Laufe der Periode t+LT ein
� So gilt am Ende der Periode t+LT für den Lagerbestand
� Dabei lässt sich für den Lagerbestand am Ende der Periode t+LT-1 (d.h. am Anfang der Periode t+LT) festhalten
t LT t t LTI X Y+ ++ −
1 1... ...
t LT t t LT t t t LTI I X X Y Y+ − − + −= + + + − − −
38
Business Computing and Operations Research 504
Konsequenz
� Damit können wir direkt für den Lagerbestand am Anfang der Periode t+LT+1 folgern
� Was bedeutet dieses Ergebnis für die Suche nach einem optimalen Wert für S*?
1
1 1
1 1
1
... ...
... ...
...
t LT t LT t t LT
t t LT t t t LT t t LT
t t LT t t t t LT t LT
t t t t LT t LT
t LT
t
I I X Y
I X X Y Y X Y
I X X X Y Y Y
IP X Y Y Y
S Y
+ + + +
− − + − +
− − + − +
+ − +
+
=
= + −
= + + + − − − + −
= + + + + − − − −
= + − − − −
= − ∑ ττ
Business Computing and Operations Research 505
Interpretation des Ergebnisses
� Der Lagerbestand in Periode t wird also durch die Nachfrage in den Perioden t, t-1,…,t-LT bestimmt, die jeweils zu Fehlmengen oder Überständen führen können
� Damit sind wir an Informationen zur Verteilung der Summe der Nachfragen über diese Perioden interessiert
� Dies wird als Faltung bezeichnet
� Wir unterstellen wiederum stochastische Unabhängigkeit zwischen den einzelnen Perioden und definieren YLT+1 als die Faltung der LT+1 unabhängigen Nachfragen
Business Computing and Operations Research 506
Damit können wir schreiben
� für den Lagerbestand, der sich am Ende der Periode t+LT ergibt
� Allerdings vereinfacht sich diese Berechnung signifikant, wenn die Nachfrage jeweils normalverteilt ist
� So ist im Allgemeinen die Summe von k normalverteilten unabhängigen Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und Varianz σ2 wiederum normalverteilt mit Erwartungswert k.µ und Varianz k.σ2
� Dies wird an folgender Herleitung deutlich
1LT
t LTI S Y+
+ = −
Business Computing and Operations Research 507
Konsequenz
� Damit ergibt sich für die Verteilung der letzten LT+1 Perioden
� Erwartungswert (LT+1).µ und
� Varianz (LT+1).σ2
� Damit ergibt sich die Kostenfunktion
� Damit ergibt sich wiederum als optimale Lösung
( ) { }( ) { }( )1 1max ,0 max ,0LT LTZ S h E S Y p E Y S
+ += ⋅ − + ⋅ −
1
1LT
pS F
p h
∗ −
+
= +
39
Business Computing and Operations Research 508
Direkte Konsequenz
� Aufgrund der Eigenschaften der Normalverteilung gilt somit
� Wir unterstellen nun für unser kleines Beispiel eine Lieferzeit von LT=2 Wochen
� Die anderen Parameter behalten wir bei, d.h.
� Erwartungswert: μ=100 Stück/Woche
� Standardabweichung: σ=50 Stück/Woche
� Wir unterstellen die folgenden Kostensätze
� Lagerhaltungskosten h=0,5 €/Stück je Woche
� Fehlmengenkosten p=3 €/Stück je Woche
� Damit erhalten wir
� μLT+1=3.100=300 Stück/Woche
� σLT+1=(3.502)1/2=86,60 Stück/Woche
1 1LT LTS zµ σ∗ ∗
+ += + ⋅
Business Computing and Operations Research 509
Ermittlung von S*
� Wir verwenden wieder die Gesetzmäßigkeit der Normalverteilung und erhalten wiederum direkt
� und somit für den optimalen Zielbestand
( )1 1 1
01, 1 01, 1 01, 1
30,8571 1,07
3 0,5LT LT LT
pz F F F
p h
∗ − − −
+ + +
= = ≈ ≈ + +
1 1300 1,07 86,80 392,662 Stück pro Woche
LT LTS zµ σ∗ ∗
+ += + ⋅ = + ⋅ =
Business Computing and Operations Research 510
Ermittlung der erwarteten Kosten
� Wir können wiederum die Formel des Newsvendor Problems direkt einsetzen und erhalten
� Setzt man wieder einen Verkaufspreis von r=10€ und Einkaufskosten von c=4€ an, erhalten wir damit als erwarteten Gewinn
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
01 1 01 11,07
3 0,5 0,2251 86,6 68,22781 €/Woche
LT LTZ S p h f z p h fσ σ∗ ∗
+ += + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅
= + ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )10 4 100 68,22781
531,77 €/Woche
uS c Z Sµ∗ ∗Π = ⋅ − = − ⋅ −
=
Business Computing and Operations Research 511
Sensitivitätsanalyse
� Wir sehen z.B. anhand der Formel für die Berechnung der Bestellkosten
� dass die Bestellkosten linear mit der Standardabweichung der Nachfrage steigen oder fallen
� oder dass die Bestellkosten linear mit (LT+1)1/2 steigen oder fallen
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 1 011
LTZ S p h f z p h f z LTσ σ∗ ∗ ∗
+= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ +
40
Business Computing and Operations Research 512
Praktische Konsequenz
� Wir können untersuchen, was es an Ersparnissen bringen würde, wenn wir durch eine bessere Abstimmung mit unserem Lieferanten die Lieferzeit auf eine Woche reduzieren würden
� Da z* offensichtlich unabhängig von LT ist, können wir einfach formulieren
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
, 1 01 1 1 1
3 0,5 0,2251 50 3 2 39,3925 0,3178 12,52
LT LTZ S p h f z LT LTσ∗ ∗
−∆ = + ⋅ ⋅ ⋅ + − + −
= + ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ≈
Business Computing and Operations Research 513
Analyse der Bestandshöhe
� Wir analysieren in Abhängigkeit der Lieferzeit LT den Verlauf des
� Pipelinebestands (ps=„pipeline stock“)
� Sicherheitsbestands (ss=„safety stock“)
� Liegt eine Lieferzeit LT vor, entstehen durchschnittliche Pipelinebestände von
� D.h. in der Zeit der Beschaffung fallen diese Nachfragen durchschnittlich an und wir bestellen jeweils die Differenz zu S*, also durchschnittlich genau die erwartete Nachfragemenge
� Zudem ergibt sich ein gesamter Sicherheitsbestand ss von
LTps LT µ µ= ⋅ =
1 1 1LT LTss S z z LTµ σ σ∗ ∗ ∗+ += − = ⋅ = ⋅ + ⋅
Business Computing and Operations Research 514
Der Sicherheitsbestand
� dient zur Absicherung für Konstellationen in denen die Nachfrage die Summe der durchschnittlichen Erwartungswerte übersteigt
� erzeugen entsprechende Lagerkosten über den erwarteten Verbrauch
� Dies ist somit der Preis für die Unsicherheit in der Nachfrage
� Damit erlaubt eine bessere Kenntnis über die Nachfrage eine deutliche Reduktion der Kosten
Business Computing and Operations Research 515
α-Servicegrad
� Misst die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Periode keine Rückstellung notwendig wird
� Man sucht damit aufgrund der oben hergeleiteten Zusammenhänge die kleinste Bestellmenge S* mit
� Damit wählen wir
( )1LTF S α∗
+ ≥
( )1
1LTS F α∗ −
+=
41
Business Computing and Operations Research 516
α-Servicegrad – Am Beispiel
� Wir betrachten nun wiederum ein einfaches Beispiel zur Illustration des Vorgehens
� Dazu sei bei unserem Hardware Shop ein α-Servicegrad von 95% angenommen
� Dann muss gelten
( )
( )
1
1 1 1
1
01, 1
1 1
0,95 , mit
0,95 1,65
300 1,65 86,6 442,89
LT LT LT
LT
LT LT
S F S z
z F
S z
µ σ
µ σ
∗ − ∗ ∗
+ + +
∗ −
+
∗ ∗
+ +
= ⇒ = + ⋅
= ≈
⇒ = + ⋅ = + ⋅ =
Business Computing and Operations Research 517
β-Servicegrad
� Der β-Servicegrad misst nun den Anteil der Nachfrage einer Periode der durchschnittlich zurückgestellt werden muss
� Damit zielt dieser Servicegrad auf die Berechnung der erwarteten Fehlmenge JLT+1(S) der Nachfrage in einer Periode
� Beim periodischen Bestandsmanagement lässt sich allerdings diese Berechnung nicht einfach isoliert für die einzelnen Perioden durchführen
� Warum?
( ) ( ) ( )1 1 LT LT
y S
J S y S f y dy
∞
+ +
=
= − ⋅∫
Business Computing and Operations Research 518
β-Servicegrad
� Während beim vorherigen α-Servicegrad eine Periode in der Weise isolierbar ist, dass nur gefragt wird, ob es keinerlei Fehlmengen (d.h. keine unbefriedigte Nachfrage) gibt, ist dies beim β-Servicegrad so einfach nicht mehr möglich
� Das Problem besteht hier nun darin, dass die genaue Wahrscheinlichkeit einer spezifischen Fehlmenge (d.h., y, mit y>S*) nicht periodengenau vorliegt
� Genauer gesagt, wir wissen nicht genau wann die Nachfrage y aufgetreten ist
� Somit kann es sein, dass wir in der betrachteten Periode eine unbefriedigte Nachfrage messen, die in Wahrheit in der Vorperiode aufgetreten ist und dort ebenfalls unbefriedigt geblieben ist
Business Computing and Operations Research 519
Wahrscheinlichkeit einer Fehlmenge
� Dies führt zu einer möglichen Überbewertung (d.h. Mehrfachzählung) von Fehlmengen
� Dies gilt natürlich nur für die von uns gewählte Definition des β-Servicegrades
� Für diese können wir aber die oben genannte Definition als Näherungswert ansetzen
� Dies erscheint vor allem dann sinnvoll, wenn der Wert für βnahe bei 1,0 liegen soll
� Hierbei ist zu beachten, dass diese höheren Werte für βmehrfache Fehlmengen deutlich unwahrscheinlicher werden lassen
� Daher werden wir für diese Fälle die oben genannte vereinfachte Formel als eine relativ genaue Näherung verwenden
42
Business Computing and Operations Research 520
Berechnung des β-Servicegrades
� Damit können wir allgemein den β-Servicegrad wie folgt herleiten
� Wir suchen die minimale Bestellmenge S*, für die gilt
� Betrachten wir hierzu unser kleines Beispiel
� Seien β=0,95 und µ=100 Stück/Woche
� Dann gilt
( ) ( )( ) ( ) ( )1 1
1 11 1
LT LT
LT LT
J S J SJ S J S
µβ β µ µ β β µ
µ µ
∗ ∗
+ + ∗ ∗
+ +
−− ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⋅ ⇔ − ⋅ ≥
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1 1
01 01
1 0,05 100 5
5 86,6 0,057737 1,19
Bei minimal gewähltem gilt somit 300 86,6 1,19 403,054
LT LT LTJ S J S L z
J z J z z
S S
β µ σ∗ ∗+ + +
∗ ∗ ∗
∗ ∗
− ⋅ ≥ ⇒ ⋅ = ≥ = ⋅
⇔ ≥ ⋅ ⇒ ≤ ⇒ ≈
≈ + ⋅ =
Business Computing and Operations Research 521
Damit erhalten wir
� Einen Pipelinebestand von
� und einen Sicherheitsbestand von
2 100 200LT µ⋅ = ⋅ =
1 1 403,054 300 103,054LT LTS zµ σ∗ ∗
+ +− = ⋅ = − =
Business Computing and Operations Research 522
4.2.3 Kontinuierliches Bestandsmanagement
� Bisher haben wir eine optimale Bestellmenge bestimmt, zu der – als Zielbestand – immer wieder aufzufüllen ist
� Wir wollen nun aber den Bestellpunkt und die Bestellmenge unabhängig voneinander optimieren, d.h. wir integrieren in das Modell eine höhere Flexibilität indem wir nicht länger den Bestellpunkt aus der verfolgten Bestellmenge als Zielbestand ableiten
� Dazu wird angenommen, dass immer maximal eine Bestellung offen sein kann
Business Computing and Operations Research 523
Die Kosten – Variable Bestellkosten
� Diese erwarteten Kosten entstehen ausschließlich abhängig vom Bedarf in einer Periode
� Wir können somit formulieren
� Dabei gilt
( ), = ⋅vBK x r c µ
Variable Bestellkosten je Produkteinheit
Erwartete Nachfrage im Planungszeitraum
c
µ
43
Business Computing and Operations Research 524
Die Kosten – Fixe Bestellkosten
� Diese Kosten entstehen aufgrund der Durchführung von Bestellungen
� Wir können somit formulieren
� Dabei gilt
( ), = ⋅fB
K x r kx
µ
Fixe Bestellkosten je Bestellvorgang
Erwartete Nachfrage im Planungszeitraum
k
µ
Business Computing and Operations Research 525
Die Kosten – Lagerkosten
� Diese Kosten entstehen aufgrund der vorhandenen Lagerbestände
� Wir können somit formulieren
� Dabei gilt
( )
: Maximaler Lagerbestand wenn Bestellung gerade eintrifft
: Minimaler Lagerbestand genau vor dem Eintreffen der Bestellung
2 2,
2 2
2
+ − ⋅
− ⋅
+ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ + − ⋅
LB
r x LT
r LT
r x LT r LT r x LTK x r h h
xh r LT
µ
µ
µ µ µ
µ
Lagerkostensatz
Lieferzeit in Perioden
h
LT
Business Computing and Operations Research 526
Achtung – Fehler in der Berechnung
� Leider erfolgt die Berechnung lediglich auf Basis der Erwartungswerte
� Damit gehen Fehlmengen als negative Bestände ein
� Dies ist offensichtlich nicht korrekt, da in diesen Situationen kein negativer Lagerbestand sondern kein Lagerbestandvorliegt
� Damit unterschätzen wir insgesamt den Lagerbestand
� Da dieser Fehler aber bei höheren Servicegraden sehr gering ist, können wir mit dieser Approximation arbeiten
� Es gibt allerdings auch exakte Ansätze zu dieser Problemstellung (vgl. Zipkin (2000))
Business Computing and Operations Research 527
Die Kosten – Fehlmengenkosten
� Diese Kosten entstehen aufgrund von Fehlmengen
� Bei jeder möglichen Bestellung ergeben sich erwartete Fehlmengenkosten von
� Da es µ/x viele Bestellvorgänge gibt, gilt
� Dabei gilt
( ) ( ) ( ), ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅FM PFM LTK x r p K x r p J rx x
µ µ
Kosten pro Einheit Fehlmenge
Lieferzeit in Perioden
p
LT
( ) ( ) ( ) ( ),
∞
=
= − ⋅ =∫PFM LT LT
y r
K x r y r f y J r
44
Business Computing and Operations Research 528
Ermittlung der optimalen Lösung
� Wir betrachten die Gesamtkostenfunktion
� und bilden die partiellen Ableitungen
( ) ( ),2
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
G LT
xK x r c k r LT h J r p
x x
µ µµ µ
( )( )
2 2
,
2
∂= − ⋅ + − ⋅ ⋅
∂G
LT
K x r hk J r p
x x x
µ µ
( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
Anwendung der Leibniz Regel (siehe 2.Integral beim Newsvendor Problem)
,
1 1
∞
=
∂ − ⋅∂ ∂⋅ ⋅
= + ⋅ = + ⋅∂ ∂ ∂
⋅ ⋅= + ⋅ − − = + ⋅ − +
∫
���������������
y rG LT
LT LT
y r f y dyK x r J rp p
h hr x r x r
p ph F r h F r
x x
µ µ
µ µ
Business Computing and Operations Research 529
Auflösen nach x und r
� Optimale Wahl von x
� Optimale Wahl von r
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 2
2 2
2
,0 0
2
02 2
2 2
∂= ⇔ − ⋅ + − ⋅ ⋅ =
∂
⇔ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⇔ = ⇔ =
G
LT
LT LT
LT LT
K x r hk J r p
x x x
h hk x J r p x J r p k
J r p k J r p kx x
h h
µ µ
µ µ µ µ
µ µ
( )( )( ) ( )
( ) ( ) 1
,1 0 0
1 1−
∂ ⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ − + = ⇔ − + ⋅ =
∂
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇔ ⋅ = − ⇔ = − ⇔ = −
⋅ ⋅
G
LT LT
LT LT LT
K x r p p ph F r h F r
r x x x
p p h x h xF r h F r r F
x x p p
µ µ µ
µ µ
µ µ
Business Computing and Operations Research 530
Ein Problem bleibt allerdings…
� beide Berechnungsformeln hängen voneinander in der Weise ab, dass x zur Bestimmung von r benötigtwird und umgekehrt dass r zur Bestimmung von x benötigt wird
� Daher müssen wir ein iteratives Vorgehen anwenden, das sich schrittweise der optimalen Konstellation annähert
� Dazu wird der folgende Algorithmus angewendet
Business Computing and Operations Research 531
Iterativer Lösungsansatz
1. Anfangslösung
Wir bestimmen eine Anfangslösung für die Bestellmenge x0 mit Hilfe der klassischen Bestellmengenformel. Auf dieser Basis wird mit Hilfe der Berechnungsformel für r ein Anfangswert für den Bestellwert ermittelt
2. Aktualisierung der Bestellmenge x
Wir aktualisieren die Bestellmenge mit der Berechnungsformel für x auf der Basis der aktuellen Werte für x und r
3. Aktualisierung des Bestellpunktes r
Wir aktualisieren den Bestellpunkt mit der Berechnungsformel für r auf der Basis der aktuellen Werte für x und r
4. Frage der Terminierung
Fällt die Veränderungsrate für x und r unter einen vorgegebenen Schwellwert, wird die Berechnung gestoppt. Andernfalls werden die Schritte 2 bis 4 wiederholt
45
Business Computing and Operations Research 532
Annahme einer Normalverteilung
� Die Berechnungsformeln können wiederum etwas vereinfacht werden, wenn eine normalverteilte Nachfrage vorliegt
� In diesem Fall können wir die Formeln
� aufgrund der Beziehung
� formulieren als
( )( )2 ⋅ ⋅ ⋅ +=
LTJ r p k
xh
µ 1 1− ⋅= −
⋅ LT
h xr F
pµ
( ) ( ) , mit −
= ⋅ = LTLT LT
LT
rJ r L z z
µσ
σ
( )( )2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +=
LTL z p k
xh
µ σ 1
01, mit 1− ⋅
= + ⋅ = − ⋅
LT LT
h xr z z F
pµ σ
µ
Business Computing and Operations Research 533
Beispiel (vgl. Thonemann (2010) S.238ff)
� Wir betrachten folgende Konstellation, die sich beim Bestandsmanagement für Anschlusskabel für Toaster ergibt
� Wir gehen von einer normalverteilten Nachfrage aus mit den folgenden Daten
� Wir unterstellen eine 365 Tage Produktion
� Die fixen Bestellkosten betragen k=50€ pro Bestellung
� Die variablen Bestellkosten betragen c=0,9€ pro Stück
� Der Lagerhaltungskostensatz beträgt h=0,2€ pro Stück und Jahr
Erwartungswert der Nachfrage: 36500 Stück pro Jahr
Standardabweichung der Nachfrage: =1720 Stück pro Jahr
=µ
σ
Business Computing and Operations Research 534
Fehlmengenkosten
� Falls es nicht gelingt die erforderliche Menge an Anschlusskabeln bereitzustellen, wird der eigentliche Produktionsprozess am Band erheblich gestört
� So werden die Toaster in diesem Fall ohne Anschlusskabel gefertigt und – nach erfolgter Lieferung – in einem Offline Schritt neben dem Band montiert
� Dazu sind spezielle Verschraubungen der hinteren Abdeckung wieder zu lösen und das Kabel in die Schutzvorhängung einzuführen
� Aufgrund von Lagerung, zusätzlichen Arbeitsschritten und Effizienzverlusten entstehen so Mehrkosten von p=3€ je Stück
� Da die Fertigung der Kabel in Tschechien erfolgt, ergeben sich Lieferzeiten von LT=9 Tagen
Business Computing and Operations Research 535
Beispiel – Vorbereitung
� Zunächst berechnen wir den Erwartungswert und die Standardabweichung der Nachfrage über die Lieferzeit
� Offensichtlich ist die ursprüngliche Verteilung eine Faltung der einzelnen Perioden von jeweils 9 Tagen
� Damit gilt
365 9 936.500 900 Stück
9 365 365
365 9 91720 270 Stück
9 365 365
LT LT
LT LT LT
= ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ =
µ µ µ µ
σ σ σ σ σ
46
Business Computing and Operations Research 536
Beispiel – Initialisierung
� Wir bestimmen die erste Bestellmenge mit Hilfe der klassischen Herleitungsformel
� Wir bestimmen den Bestellpunkt
� Damit ergibt sich der aktuelle Bestellpunkt
0
36500x 2 k 2 50 4272 Stück
h 0,2
µ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( )1 1 1
01 01 01
0,2 42721 1 0,9922 2,42
36500 3
− − − ⋅ ⋅ = − = − = ≈
⋅ ⋅
h xz F F F
pµ
900 2,42 270 1553 Stück= + ⋅ = + ⋅ =LT LT
r zµ σ
Business Computing and Operations Research 537
Aktualisierung der Bestellmenge
� Wir benötigen zunächst den Wert für L(z)
� und berechnen für die Bestellmenge
( )( ) ( )2 2 36500 0,0026 270 3 50
0,2
4361 Stück
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ += =
=
LTL z p kx
h
µ σ
( ) ( )2,42 0,0026= =L z L
Business Computing and Operations Research 538
Aktualisierung des Bestellpunktes
� Wir berechnen zunächst
� Damit erhalten wir den neuen Bestellpunkt
� Veränderungen sind signifikant!
� Daher: Keine Terminierung!
( )1 1 1
01 01 01
0,2 43611 1 0,9920 2,41
36500 3
− − − ⋅ ⋅ = − = − = ≈
⋅ ⋅
h xz F F F
pµ
900 2,41 270 1551 Stück= + ⋅ = + ⋅ =LT LT
r zµ σ
Business Computing and Operations Research 539
Aktualisierung der Bestellmenge
� Wir benötigen zunächst den Wert für L(z)
� und berechnen für die neue Bestellmenge
( )( ) ( )2 2 36500 0,0026 270 3 50
0,2
4361 Stück
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ += =
=
LTL z p kx
h
µ σ
( ) ( )2,41 0,0026= =L z L
47
Business Computing and Operations Research 540
Aktualisierung des Bestellpunktes
� Wir berechnen zunächst
� Damit erhalten wir den neuen Bestellpunkt
� Keine Veränderungen erzielt
� Daher: Terminierung!
( )1 1 1
01 01 01
0,2 43611 1 0,9920 2,41
36500 3
− − − ⋅ ⋅ − = − = ≈
⋅ ⋅
h xF F F
pµ
900 2,41 270 1551 Stück= + ⋅ = + ⋅ =LT LT
r zµ σ
Business Computing and Operations Research 541
Ergebnis
� Aufgrund der gewählten Genauigkeit erhalten wir die optimale Lösung
� Damit erhalten wir als erwartete variable Bestellkosten,
� als erwartete fixe Bestellkosten
� als erwartete Lagerkosten
� und als erwartete Fehlmengenkosten
4361 1551 Stück= ∧ =x r
( ), 0,9 €/Stück 36500 Stück/Jahr = 32850= ⋅ = ⋅vB
K x r c µ
( )36500
, 50 418,484361
= ⋅ = ⋅ =fB
K x r kx
µ
( )4361
, 0,2 1551 900 566,32 2
= ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − =
LB
xK x r h r LT µ
( ) ( ) ( )36500 36500
, 3 2,41 270 3 0,0026 270 17,624361 4361
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =FM LTK x r p L z Lx
µσ
Business Computing and Operations Research 542
Gesamtkosten
� Damit erhalten wir erwartete Gesamtkosten in Höhe von
( ), 32850 418,48 566,3 17,62 33852,4= + + + =G
K x r
Business Computing and Operations Research 543
Sicherheitsbestand und -kosten
� Wir haben den Sicherheitsbestand
� Und damit die Sicherheitsbestandskosten
1551 Stück 900 Stück=651 Stück= − = −LTss r µ
0,2 651 130,2 €/Jahr⋅ = ⋅ =h ss
48
Business Computing and Operations Research 544
Pipelinebestand und -kosten
� Wir haben den Pipelinebestand
� Und damit die Pipelinebestandskosten
900 Stück= =LTps µ
0,2 900 180 €/Jahr⋅ = ⋅ = ⋅ =LTh ps h µ
Business Computing and Operations Research 545
α-Servicegrad
� In α Prozent aller Fälle darf kein Fehlbestand auftreten
� Damit wird ein Qualitätskriterium an Stelle der Fehlmengenkosten eingeführt
� Wir minimieren also die Gesamtkosten unter Beachtung des Qualitätskriteriums
� Hierdurch entsteht das folgende Modell
( )
( )
,2
unter der Nebenbedingung
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅
≥
G
LT
xK x r c k r LT h
x
F r
µµ µ
α
Business Computing and Operations Research 546
α-Servicegrad – Lösung des Modells
� Betrachten wir nun die neue Zielfunktion
� Wir sehen, dass die einzelnen Teile unabhängig voneinander behandelt werden können
� So gibt es keinen Teil, der von beiden Variablen gleichzeitig abhängt
� Damit kann leicht eine optimale Lösung ermittelt werden
( )
TeilTeil I
Teil IIkonstant, d.h. unabhängig von und Kostenfunktion des klassischen
Bestellmengenproblems
,2 2
2
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅�������
�����
G
x r
x xK x r c k r LT h c k h r h LT h
x x
xc LT h k h r h
x
µ µµ µ µ µ
µµ µ �
IIIKosten abhängig von
dem gewähltenBestellpunkt
Business Computing and Operations Research 547
Analyse der Bestandteile
� Teil I
� Ist unabhängig von der Bestellmenge x und vom Bestellpunkt r
� Damit kann dieser Teil ignoriert werden
� Teil II
� Entspricht der Zielfunktion des klassischen Bestellmengenmodells
� Da Teil III unabhängig von x ist, kann Teil II isoliert gelöst werden
� Daher setzen wir für x
� Teil III
� Steigt mit größeren Werten für den Bestellpunkt r
� Somit ist r zu minimieren. Hierdurch gilt
2 kx
h
⋅ ⋅µ=
( ) ( )1 1
01
− −= = + ⋅LT LT LT
r F Fα µ σ α
49
Business Computing and Operations Research 548
α-Servicegrad – Beispiel
� Wir betrachten wieder das Toaster Beispiel
� Wir fordern einen α-Servicegrad von 95 Prozent
� Damit ergeben sich
� als optimale Bestellmenge
� und als optimaler Bestellpunkt
2 2 50 365004272
0 2
kx
h ,
⋅ ⋅µ ⋅ ⋅= = =
( ) ( )1 1
010,95 900 270 0,95 900 270 1,64 1343 Stück− −= = + ⋅ ≈ + ⋅ =
LTr F F
Business Computing and Operations Research 549
Kosten im Beispiel
� Damit erhalten wir die Gesamtkosten
( ),2
36500 42720,9 36500 50 1343 900 0,2
4272 2
33793 €/Jahr
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅
=
G
xK x r c k r LT h
x
µµ µ
Business Computing and Operations Research 550
β-Servicegrad
� Ein Fehlbestand tritt in höchstens β Prozent aller Fälle in einem Bestellzyklus auf� Hierbei ist zu beachten, dass
� ein Bestellzyklus die Zeitspanne zwischen dem Auslösen zweier Bestellungen definiert
� JLT(r) die erwartete Fehlmenge berechnet, die in einem Bestellzyklus beim Bestellpunkt r auftritt und
� x die erwartete Verbrauchsmenge in einem Bestellzyklus definiert� Damit wird wiederum ein Qualitätskriterium an Stelle der Fehlmengenkosten
eingeführt� Wir minimieren wiederum die Gesamtkosten für diese Konstellation� Hierdurch entsteht das folgende Modell
( )
( )
,2
unter der Nebenbedingung 1
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅
− ≥
G
LT
xK x r c k r LT h
x
J r
x
µµ µ
β
Business Computing and Operations Research 551
β-Servicegrad – Lösung des Modells
� Die Lösung dieses Modells ist wesentlich komplexer als im Falle der Vorgabe eines α-Servicegrades
� So hängt leider die Erfüllung der Qualitätsbedingung simultan von beiden Variablen (x und r) ab
� Da die Lösung dieses Modells etwas komplexer ist, wollen wir der Einfachheit halber lediglich eine heuristische Lösung entwickeln
� Das Vorgehen der Heuristik ist sehr einfach gehalten
� So wird zunächst die optimale Bestellmenge mit Hilfe der
klassischen Bestellmengenformel bestimmt
� Anschließend wird r in der Weise determiniert, dass gerade der
geforderte β-Servicegrad erreicht wird
2 kx
h
⋅ ⋅µ=
50
Business Computing and Operations Research 552
β-Servicegrad – Lösung des Modells
� Dies geschieht durch die folgende Berechnungsformel
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
1
1
1 1 1 1
1
−
−
− = ⇔ − = ⇔ − ⋅ = ⇔ − ⋅ =
− ⋅⇔ =
LT LT
LT LT
LT
J r J rx J r J x r
x x
xL r
β β β β
β
σ
Business Computing and Operations Research 553
β-Servicegrad – Beispiel
� Wir betrachten wieder das Toaster Beispiel
� Wir fordern einen β-Servicegrad von 99 Prozent
� Damit ergeben sich
� als optimale Bestellmenge
� und als optimaler Bestellpunkt
2 2 50 365004272
0 2
kx
h ,
⋅ ⋅µ ⋅ ⋅= = =
( ) ( )( )1 1 11 1 0,99 42720,158 0,64
270
− − − − ⋅ − ⋅ = = = ≈
LT
xr L L L
β
σ
Business Computing and Operations Research 554
β-Servicegrad – Beispiel
� Und erhalten somit
� Damit ergeben sich die Gesamtkosten
900 0,64 270 1073 Stück∗= + ⋅ = + ⋅ =
LT LTr zµ σ
( ),2
36500 42720,9 36500 50 1073 900 0,2
4272 2
33739 €/Jahr
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ + + − ⋅
=
G
xK x r c k r LT h
x
µµ µ