6. vektorautoregressive modelle - uni-potsdam.de · dann ist ln y vielleicht schon stationär...
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6.1
6. Vektorautoregressive Modelle
In bisherigen Modellen Festlegung von exogenen Variablen notwendig.
Streng genommen gibt es keine vollständig exogenen Variablen.
Beispiel: Selbst die „exogene“ Anhebung des Leit-zinssatzes war durch andere wirtschaftliche Einflussfaktoren notwendig geworden
In VARs sind alle Variablen potentiell endogen.
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6.2
6.1 VAR-Modelle ohne Restriktionen
Wiederholung: Zeitreihenanalyse u. Ökonometrie I
AR(p)-Prozess:
yt = (ß +) f 1 yt-1 + f 2 yt-2 + ... +f p yt-p + ut
wobei ut ein reiner Zufallsprozess, ein white noise, ist mit
,const ,0)E( 2 == utu σ
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6.3
Voraussetzung: yt (schwach) stationärer stochastischer Prozess
D.h. zeitkonstante(r) Erwartungswert und Autokovarianzfunktion ?(t ):
[ ] )()()(E
)E(
τγµµ
µ
τ =−⋅−
=
−tt
t
yy
y
Varianz ebenfalls zeitkonstant und endlich. Warum?
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6.4
Nachweis durch die Charakteristische Gleichung:
01 221 =−−−− p
pz...zz ϕϕϕ
Hinreichende und notwendige Bedingung für Stationarität:
Komplexzahlige Lösungen liegen außerhalb des Einheitskreises, d.h. |z|>1.
Wenn Lösung |z|=1 ist, liegt eine Einheitswurzel (unit root) vor, der Prozess ist nichtstationär
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6.5
Tests auf Stationarität:
Einheitswurzeltest (Unit root test), z. B.- Dickey-Fuller-Test- ADF
Microfit: process, ADF Y;
H0: Y nichtstationär (Unit root )H1: Y stationär
Ablehnung von H0 (d.h. stationär) mit Fehlerwahrscheinlichkeit a, wenn
t < tkrit (neg.!)
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6.6
Bewährte Methode der Stationarisierung nichtstationärer Prozesse:
Logarithmierung, Differenzenbildung, Trendsubtraktion (bei Mfit-ADF eingebaut)
Jetzt anstelle von yt Variablen-Vektor yt (Zeit t = 1,..,T):
VAR(p)-Prozess (d.h. für ein festes t):
tptp2t21t1t u++++= −−− yyyy ΦΦΦ K
mit N×N-Koeffizientenmatrizen F i
Warum??
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6.7
NtpNtNNpptNpNtNNtNNt
ntpNtnNpptnpNtnNtnnt
tpNtNpptpNtNtt
uyyyyy
uyyyyy
uyyyyy
+++++++=
+++++++=
+++++++=
−−−−
−−−−
−−−−
,11,1,1111,1
,11,1,1111,1
11,111,11,11111,11
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
KKKKK
KKKKK
KKK
oder kurz für n-te Gleichung (n-te Variable, alle t)
yn = f ´n YL + un1×T 1 × Np Np × T 1 × T
(in YL alle verzögerten Vektoren) Sehr viele Parameter! Optimale Beschränkung der Zahl der Lags äußerst wichtig.
oder im Detail:
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6.8
Beispiel:
Y – EinkommenC – Verbrauch
y – Wachstumsrate von Yc – Wachstumsrate von C
VAR
ct= f 1,11 ct-1 + f 1,12 yt-1 + f 2,11 ct-2 + f 2,12 yt-2 + u1tyt= f 1,21 ct-1 + f 1,22 yt-1 + f 2,21 ct-2 + f 2,22 yt-2 + u2t
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6.9
Weiter wird gefordert:
Vektorstationarität:
[ ] tttt
t
von unabhängig)()´)((E
)(E
τGµYµY
µY
=−−=
−
Für Stationarität (o. B.) :Alle (komplexen) Lösungen (roots) von
det [ 1 - F 1z - F 2z2 - ... - F pzp ] = 0
außerhalb des Einheitskreises: |z|>1
Wenn auf dem Einheitskreis |z|=1 , dann nicht stationär (unit root)
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6.10Wieder Annahmen:
- für tÖs: Fehlen von Autokorrelation:cov(utus’) = E(utus’) = 0;
N×1, 1×N
- aber für t=s (d.h. kontemporär): Homoskedastizität: Varianzkovarianzmatrixcov(ut) = E(utut’) = Su zeitunabhängig
N×N
Gu nicht notwendig diagonal, wäre also Fall für SURE.
Aber: Matrix der vorherbestimmten Variablen (YL) ist für alle Gleichungen dieselbe. Daher durch SURE kein Effizienzgewinn.
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6.11
Leicht zu zeigen, dass unter der Annahme
regulärplim QYY LL
=
××
′
∞→NpT, TNp
T T
der OLS-Schätzer für n-te Gleichung
.ist konsistent(ˆ1
L
1LL
1 ××××
−′
×′=
T TNpn
NpT TNpNpn yY)YYϕ
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6.12
Wenn ut normalverteilt, dann asymptotisch effizient und normalverteilt (o.B.).
Fehler-Varianz-Kovarianz Su schätzen durch
1 1 1
LL
ˆˆˆ
××××
−′′−⋅′−
=
TT NpNpT
p
mmnnnm NT
)()( YyYy ϕϕσ
Analog zum Eingleichungsmodell ist die Varianz der n-ten Störvariable entscheidend für Varianz-Kovarianz-Matrix des geschätzten Koeffizientenvektors der n-ten Gleichung:
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6.13
NpTT NpNp Np
nnn TTn
×××
−−
=
=
1
2
1
ˆ
´ˆ
´ˆ
LLLL YYYYS σσϕ
Diagonalelemente von sind die Varianzender geschätzten Koeffizienten f t ,nm der n-ten Gleichung.
Wurzel daraus ist Standardfehler - Grundlage der Signifikanztests für Koeffizienten.
nϕ̂S
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6.14
Beispiel:Wachstumsraten des Bruttoinlandsprodukts Deutschlands, der USA und Japans mit Verzögerung.Sei y nichtstationär. Dann ist ln y vielleicht schon stationär (Reduktion großer Varianzen), aber ? ln y mit großer Aussicht stationär (Trendelimination).
Interpretation von ? ln y:
1
1
11 lnlnlnln
−
−
−−
−≈
=−=∆
t
tt
t
tttt
yyy
yy
yyy
Wachstumsrate für relativ kleine ? y
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6.15
Daher als Wachstumsraten der BIPs jetzt als stationär angenommene Reihen ? ln Yt.
In Mfit: DLY mit Kennz. GER, USA, JAP (aus G7GDP.fit)
Vorgehen: Multivariate; Unrestricted VAR;
Lag-Ordnung (p) eingeben (z.B. 2); Variable eingeben.
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6.16
YGER
YUSA
YJAP
Quarters
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1963Q1 1965Q3 1968Q1 1970Q3 1973Q1 1975Q3 1978Q1 1980Q3 1983Q1 1985Q3 1988Q1 1990Q3 1993Q1 1993Q4
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6.17
LYGER
LYUSA
LYJAP
Quarters
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
0.0
0.5
1963Q1 1965Q3 1968Q1 1970Q3 1973Q1 1975Q3 1978Q1 1980Q3 1983Q1 1985Q3 1988Q1 1990Q3 1993Q1 1993Q4
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6.18
DLYGER
DLYUSA
DLYJAP
Quarters
-0.02
-0.04
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
1963Q1 1965Q3 1968Q1 1970Q3 1973Q1 1975Q3 1978Q1 1980Q3 1983Q1 1985Q3 1988Q1 1990Q3 1993Q1 1993Q4
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6.19OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR *********************************************************************Dependent variable is DLYGER 122 observations used for estimation from 1963Q3 to 1993Q4
*********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) -.0080199 .089397 -.089711[.929]DLYGER(-2) -.083075 .082693 -1.0046[.317]DLYUSA(-1) .13180 .10216 1.2900[.200]DLYUSA(-2) .14727 .10310 1.4284[.156]DLYJAP(-1) .26835 .083586 3.2105[.002]DLYJAP(-2) .12030 .083532 1.4402[.153]
**********************************************************************S.E. of Regression .010147 F-stat. F( 5, 116) 4.1723[.002]Mean of Dep. Variable .0068539 S.D. of Dep. Variable .010791Residual Sum of Squares .011943 Equation Log-likelihood 390.0179Akaike Info. Criterion 384.0179 Schwarz Bayesian Crit. 375.6059DW-statistic 2.1061 System Log-likelihood 1178.0
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6.20OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR**********************************************************************Dependent variable is DLYUSA 122 observations used for estimation from 1963Q3 to 1993Q4
**********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) .068371 .082932 .82443[.411]DLYGER(-2) -.0058116 .076713 -.075757[.940]DLYUSA(-1) .27102 .094776 2.8596[.005]DLYUSA(-2) .17300 .095641 1.8089[.073]DLYJAP(-1) .12612 .077541 1.6265[.107]DLYJAP(-2) .046537 .077491 .60055[.549]
**********************************************************************S.E. of Regression .0094130 F-stat. F( 5, 116) 1.5028[.194]Mean of Dependent Var. .0070795 S.D. of Dependent Var. .0095103Residual Sum of Squares .010278 Equation Log-likelihood 399.1764Akaike Info. Criterion 393.1764 Schwarz Bayesian Crit. 384.7644DW-statistic 1.9929 System Log-likelihood 1178.0
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6.21OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR **********************************************************************Dependent variable is DLYJAP 122 observations used for estimation from 1963Q3 to 1993Q4
**********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) .19767 .092731 2.1316[.035]DLYGER(-2) -.0023191 .085777 -.027036[.978]DLYUSA(-1) .11118 .10597 1.0492[.296]DLYUSA(-2) .070728 .10694 .66136[.510]DLYJAP(-1) .28891 .086703 3.3321[.001]DLYJAP(-2) .38332 .086647 4.4239[.000]
**********************************************************************S.E. of Regression .010525 F-stat. F( 5, 116) 6.0694[.000]Mean of Dependent Var. .013237 S.D. of Dependent Var. .011575Residual Sum of Squares .012851 Equation Log_likelihood 385.5507Akaike Info. Criterion 379.5507 Schwarz Bayesian Crit. 371.1387DW-statistic 2.2183 System Log_likelihood 1178.0
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6.22
OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR *********************************************************************Dependent variable is DLYGER 123 observations used for estimation from 1963Q2 to 1993Q4
*********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) -.045464 .084038 -.54099[.590]DLYUSA(-1) .24011 .10065 2.3856[.019]DLYJAP(-1) .36142 .071772 5.0357[.000]
*********************************************************************S.E. of Regression .010691 F-stat. F( 2, 120) 7.2028[.001]Mean of Dependent Var. .0071451 S.D. of Dependent Var. .011222Residual Sum of Squares .013717 Equation Log-likelihood 385.2024Akaike Info. Criterion 382.2024 Schwarz Bayesian Crit. 377.9841DW-statistic 1.9211 System Log-likelihood 1167.2*********************************************************************
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6.23
OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR**********************************************************************Dependent variable is DLYUSA 123 observations used for estimation from 1963Q2 to 1993Q4
**********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) .082361 .074388 1.1072[.270]DLYUSA(-1) .34695 .089093 3.8943[.000]DLYJAP(-1) .18970 .063531 2.9859[.003]
**********************************************************************S.E. of Regression .0094638 F-stat. F( 2, 120) 1.3264[.269]Mean of Dependent Var. .0071319 S.D. of Dependent Var. .0094890Residual Sum of Squares .010748 Equation Log-likelihood 400.2043Akaike Info. Criterion 397.2043 Schwarz Bayesian Crit. 392.9860DW-statistic 2.1666 System Log-likelihood 1167.2
**********************************************************************
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6.24
OLS estimation of a single equation in the Unrestricted VAR**********************************************************************Dependent variable is DLYJAP 123 observations used for estimation from 1963Q2 to 1993Q4
**********************************************************************Regressor Coefficient Standard Error T-Ratio[Prob]DLYGER(-1) .24459 .091367 2.6770[.008]DLYUSA(-1) .25139 .10943 2.2973[.023]DLYJAP(-1) .52913 .078031 6.7811[.000]
**********************************************************************S.E. of Regression .011624 F-stat. F( 2, 120) .84556[.432]Mean of Dependent Var. .013361 S.D. of Dependent Var. .011609Residual Sum of Squares .016214 Equation Log-likelihood 374.9172Akaike Info. Criterion 371.9172 Schwarz Bayesian Crit. 367.6989DW-statistic 2.5030 System Log-likelihood 1167.2
*********************************************************************
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6.25
Nachtrag: Bestimmung der Lag-Ordnung p
Akaike-Informationskriterium:Wiederholung Zeitreihenanalyse AR(p): Minimiere
[ ]
Ts
sp
TpN
pp
mmnnmn
mnu
2
u
)´´Y(y )´´Y(y
S
S
LL ϕϕ ˆˆ~
~)(~
2)(
~ln)AIC(
−⋅−=
=
+=
ppsT p u += )(ˆln)AIC(
Für VARs analog: Minimiere
wobei mit
bzw. maximiere die entsprechende ML-Variante
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6.26
Oder:Schwarz-Bayes-Informationskriterium: Minimiere
TTpN(p)SBC(p) u
lnS~ln2
+=
In Microfit nur die ML-Varianten von AIC und SBC zu maximieren!
Außerdem:LR-Test: p (Ho) gegen maximale Ordnung P (H1):
~
ln~
ln p))(P(N?) (P)(p)T(LR 22uu −−= SS ~
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6.27Test Statistics and Choice Criteria for Selecting the Order of the VAR Model ***********************************************************************Based on 116 observations from 1965Q1 to 1993Q4. Order of VAR = 8 List of variables included in the unrestricted VAR: DLYGER DLYUSA DLYJAP
***********************************************************************Order LL AIC SBC LR test Adjusted LR test
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------8 1158.4 1086.4 987.2667 --------- ---------7 1152.1 1089.1 1002.4 CHSQ( 9) = 12.5406[.185] 9.9460[.355]6 1145.9 1091.9 1017.5 CHSQ( 18) = 25.0522[.123] 19.8690[.340]5 1141.4 1096.4 1034.5 CHSQ( 27) = 33.9535[.167] 26.9287[.468]4 1135.9 1099.9 1050.4 CHSQ( 36) = 44.9430[.146] 35.6445[.485]3 1127.2 1100.2 1063.1 CHSQ( 45) = 62.3103[.045] 49.4185[.301]2 1120.3 1102.3 1077.5 CHSQ( 54) = 76.2381[.025] 60.4647[.254]1 1106.3 1097.3 1084.9 CHSQ( 63) = 104.2439[.001] 82.6762[.049]0 1044.5 1044.5 1044.5 CHSQ( 72) = 227.7601[.000] 180.6373[.000]
***********************************************************************gegen P=8 !
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6.28Test Statistics and Choice Criteria for Selecting the Order of the VAR Model **********************************************************************Based on 122 observations from 1963Q3 to 1993Q4. Order of VAR = 2 List of variables included in the unrestricted VAR: DLYGER DLYUSA DLYJAP
**********************************************************************Order LL AIC SBC LR test Adjusted LR test H1: 2 1178.0 1160.0 1134.7 --------- -----------H0: 1 1163.8 1154.8 1142.2 CHSQ( 9) = 28.3437[.001] 26.9498 [.001]
0 1093.7 1093.7 1093.7 CHSQ( 18)= 168.5944[.000] 160.3029 [.000]**********************************************************************
121 3**********************************************************************Order LL AIC SBC R test Adjusted LR test H1: 3 1176.6 1149.6 1111.9 --------- ----------H0: 2 1170.2 1152.2 1127.0 CHSQ( 9) = 12.8285[.171] 11.8744 [.220]
1 1156.2 1147.2 1134.6 CHSQ( 18) = 40.8207[.002] 37.7844 [.004]0 1087.8 1087.8 1087.8 CHSQ( 27)= 177.5574[.000] 164.3506 [.000]
**********************************************************************Achtung: Fehler 2. Art