7.ubung_zsflosungen

Einfuhrung in die Mikrookonomie Fruhjahrssemester 2015

Losungsschema zum Aufgabenblatt 7: Haushaltstheorie unddie Rolle von Preisen

1. Gegeben sei die Nutzenfunktion U(x1, x2) =ln(x1)

3+ 2ln(x2)

3.

a) Berechnen Sie die Nachfragefunktionen.

Es sind 2 Varianten moglich, die beide zum gleichen Ergebnis fuhren:

1. Variante: GRS=Steigung der Budgetgerade= negatives PreisverhaltnisOptimalitatsbedingung:

1

3x12

3x2

= p1p2

daraus folgt, dass x2 =2x1p1

p2bzw., dass x1 =

x2p22p1

einsetzen in die Budgetrestriktion ergibt

m = p1x1 + p2(2x1p1

p2) x1 = m3p1

m = p1(x2p22p1

) + p2x2 x2 = 23 mp2

2.Variante: Lagrangeansatz

maxx1,x2U(x1, x2) =ln(x1)

3+ 2ln(x2)

3s.t. m = p1x1 + p2x2

L = ln(x1)3

+ 2ln(x2)3

+ (m p1x1 p2x2)

Lx1

= 13x1 p1 = 0

Lx2

= 23x2 p2 = 0

L

= m p1x1 p2x2 = 0Gleichungssystem losen:x1 =

m3p1

, x2 =23

mp2

b) Wieviel fragt der Konsument, der uber ein Einkommen von m = 90 verfugt, bei denPreisen p1 = 2 und p2 = 3 nach?

x1 = 15, x2 = 20

c) Sind die Guter Substitute oder Komplemente? Begrunden Sie die Antwort.

Wie andert sich die Nachfrage des einen Gutes bei einer Preisanderung des anderenGutes?

Im Fall von Substituten x1(p1,p2,m)p2

> 0 und x2(p1,p2,m)p1

> 0

Im Fall von Komplementen x1(p1,p2,m)p2

< 0 und x2(p1,p2,m)p1

< 0

Departement Volkswirtschaftslehre, Universitat Bern 1


In diesem Spezialfall von Cobb-Douglas Praferenzen sind diese beiden Ableitungen:x1(p1,p2,m)

p2= x2(p1,p2,m)

p1= 0. Das bedeutet, dass die Nachfrage des einen Gutes

unabhangig vom Preis des anderen Gutes ist. Es wird immer ein fixer Anteil desEinkommens fur das eine oder das andere Gut ausgegeben.

2. Gegeben sei die Nutzenfunktion U(x1, x2) = min{x13 , 2x23 }.a) Berechnen Sie die Nachfragefunktion.

Optimalitatsbedingung x13

= 2x23

in die Budgetrestriktion einsetzen.

x2 =m

2p1 + p2

x1 =2m

2p1 + p2

b) Wieviel fragt der Konsument, der uber ein Einkommen von m = 72 verfugt, bei denPreisen p1 = 2 und p2 = 2 nach?

x1 = 24, x2 = 12

c) Sind die Guter Substitute oder Komplemente? Begrunden Sie die Antwort.

Komplemente, weil:

x1(p1, p2,m)

p2= 2m

(2p1 + p2)2< 0

x2(p1, p2,m)

p1= 2m

(2p1 + p2)2< 0

3. Zeichnen Sie fur folgende Guter den Einkommensexpansionspfad und die Engelkurven.Wie gross sind jeweils die Steigungen?

Eine Zunahme des Einkommens (ceteris paribus) verschiebt die Budgetgerade parallelnach aussen. Der Einkommensexpansionspfad zeigt die Guterbundel die bei dem jewei-ligen Einkommen konsumiert werden konnen. Sind beide Guter normale Guter, hat derEinkommensexpansionspfad eine positive Steigung.

Fixiert man die Preise fur Gut 1 und Gut 2 und bildet die Veranderung der Nachfragenach einem Gut bei einer Veranderung des Einkommens ab, erhalt man die Engelkurve.

a) perfekte Substitute

Wenn p1 < p2 dann wird Gut 1 konsumiert und ein steigendes Einkommen fuhrt zuerhohtem Konsum von Gut 1. Der Einkommensexpansionspfad wird durch die hori-zontale Achse abgebildet. Die Nachfrage nach Gut 1 ist x1 = m/p1. Die Engelkurveist daher eine Gerade mit der Steigung p1.



Abbildung 1: Einkommensexpansionspfad und Engelkurve - Substitute

b) Komplemente

Abbildung 2: Einkommensexpansionspfad und Engelkurve - Komplemente

Die Steigung der Engelkurve ergibt sich aus der Nachfrage. Fur den Fall, dassU(x1, x2) = min{x1, x2} ist x1 = m/(p1 +p2) und daher die Steigung der Engelkurvep1 + p2 .

c) Cobb-Douglas Praferenzen

Cobb Douglas Praferenzen werden durch Nutzenfunktionen der Form u(x1, x2) =

xa1x(1a)2 dargestellt. Die Nachfrage nach Gut 1 lautet x1 = am/p1. Fur konstante

Werte von p1 ist die Nachfrage linear im Einkommen. Wird das Einkommen ver-doppelt, verdoppelt sich auch die Nachfrage nach Gut 1. Die Nachfrage nach Gut 2lautet x2 = (1 a)m/p2 und ist ebenfalls linear im Einkommen. Der Einkommens-expansionspfad ist daher eine Diagonale durch den Ursprung. Die Engelkurve f ur x1ist ebenfalls eine Gerade mit dem Anstieg p1/a.



Abbildung 3: Einkommensexpansionspfad und Engelkurve - Cobb Douglas Pr aferenzen

4. Bestimmen Sie graphisch den Einkommens- und Substitutionseffekt bei folgenden Guterbundeln:

a) normale Guter die imperfekte Substitute sind

Abbildung 4: Einkommens-, Substitutions- und Totaleffekt am Beispiel normaler Guter.



b) perfekte Substitute (z.B. Butter und Margarine)

Der Effekt hangt von der Wertschatzung und den Relativpreisen ab.

1. Fall. Subjektive Wertschatzung des Individuums von Margarine (Steigung Indif-ferenzkurve) ist grosser als der Relativpreis (Steigung Budgetgerade) vor und nachder Preisveranderung von Butter.

2. Fall. Vor Preisveranderung von Butter: Subjektive Wertschatzung des Individu-ums fur Margarine kleiner als Relativpreis. Nachher: Subjektive Wertschatzung furMargarine grosser als Relativpreis.



Substitutionsguter 3. Fall. Subjektive Wertschatzung des Individuums fur Margarinekleiner als Relativpreis vor und nach der Preisveranderung von Butter.

c) Skis und Skischuhe (perfekte Komplemente)



d) Im Fall eines inferioren Gutes

e) Im Fall eines Giffen-Gutes

Gut 1 ist ein Giffengut.


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