(()a ))(4 = (()a ))(⋅⋅⋅⋅(()a ... - kk.s.bw.schule.de · 80 maurer: mathe macht spaß 55...
TRANSCRIPT
80 Maurer: Mathe macht Spaß
555555555555 PPPooottteeennnzzzrrreeeccchhhnnneeennn uuunnnddd PPPooottteeennnzzzfffuuunnnkkktttiiiooonnneeennn
555555555555............111111111111 PPPooottteeennnzzzrrreeeccchhhnnneeennn DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnneeennn Für natürliche Hochzahlen gilt: an = a ... a
n mal Für n = 0 gilt: a0 = 1
Für ganze Hochzahlen gilt: nn
a1a =−
Für gebrochene Hochzahlen gilt: nn
1
aa = bzw:
p qqp
aa = apq = q ap
Bezeichnungen: an heißt Potenz a ist die Basis oder Grundzahl n ist der Exponent oder die Hochzahl
VVVooorrrbbbeeerrreeeiiitttuuunnnggg dddeeerrr PPPooottteeennnzzzgggeeessseeetttzzzeee uuunnnddd MMMoootttiiivvvaaatttiiiooonnn dddeeerrr DDDeeefffiiinnniiitttiiiooonnneeennn
MMMuuullltttiiippplll iiikkkaaatttiiiooonnn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr HHHoooccchhhzzzaaahhhlll::: aaaaaaa 23 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ 523 aa ======== ++++ Hochzahlen addieren DDDiiivvviiisssiiiooonnn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr HHHoooccchhhzzzaaahhhlll:::
aaaaa
aaaaa 123
2
3
============////⋅⋅⋅⋅////
////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅==== −−−− Hochzahlen subtrahieren
0333
3
aa1aaaaaa
aa ============
////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////==== −−−− .
Also ist es sinnvoll: 1a0 ==== zu definieren.
1434
3
aaa1
aaaaaaa
aa −−−−−−−− ============
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////////⋅⋅⋅⋅////⋅⋅⋅⋅////====
Also ist es sinnvoll: a1a 1 ====−−−− zu definieren.
PPPooottteeennnzzziiieeerrreeennn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn::: (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) aaaaaaaaaaaaaaaaa 333343 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== 1243 aa ======== ⋅⋅⋅⋅ Hochzahlen multiplizieren. (1) ac ==== heißt (2) ac2 ====
(2) in (1) eingesetzt: (((( )))) 12aaa ======== .
Also ist es sinnvoll 21
aa ==== zu definieren, denn dann gilt
(((( )))) aaaaa 12212
21
2============
====
⋅⋅⋅⋅
5. Potenzfunktionen 81
PPPooottteeennnzzzgggeeessseeetttzzzeee MMMuuullltttiiippplll iiikkkaaatttiiiooonnn///DDDiiivvviiisssiiiooonnn vvvooonnn PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr BBBaaasssiiisss PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr BBBaaasssiiisss wwweeerrrdddeeennn mmmuuullltttiiipppllliiizzziiieeerrrttt,,, iiinnn dddeeemmm mmmaaannn dddiiieee HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn aaaddddddiiieeerrrttt...
(1) an • am = an + m PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeerrr BBBaaasssiiisss wwweeerrrdddeeennn dddiiivvviiidddiiieeerrrttt,,, iiinnn dddeeemmm mmmaaannn dddiiieee HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn sssuuubbbtttrrraaahhhiiieeerrrttt...
(2) an : am = an - m PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeemmm EEExxxpppooonnneeennnttt wwweeerrrdddeeennn mmmuuullltttiiippplll iiizzziiieeerrrttt,,, iiinnndddeeemmm mmmaaannn dddiiieee BBBaaassseeennn mmmuuullltttiiipppllliiizzziiieeerrrttt uuunnnddd dddaaasss EEErrrgggeeebbbnnniiisss pppooottteeennnzzziiieeerrrttt...
(3) an • bn = (a b)n PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggllleeeiiiccchhheeemmm EEExxxpppooonnneeennnttt wwweeerrrdddeeennn dddiiivvviiidddiiieeerrrttt,,, iiinnndddeeemmm mmmaaannn dddiiieee BBBaaassseeennn dddiiivvviiidddiiieeerrrttt uuunnnddd dddaaasss EEErrrgggeeebbbnnniiisss pppooottteeennnzzziiieeerrrttt...
(4) an :bn = n
ba
PPPooottteeennnzzzeeennn wwweeerrrdddeeennn pppooottteeennnzzziiieeerrrttt,,, iiinnn dddeeemmm mmmaaannn dddiiieee EEExxxpppooonnneeennnttteeennn mmmuuullltttiiippplll iiizzziiieeerrrttt...
(5) ( ) mnmn aa ⋅= FFFaaauuussstttrrreeegggeeelllnnn:::
••• PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt nnneeegggaaatttiiivvveeennn HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn sssiiinnnddd eeeiiigggeeennntttllliiiccchhh BBBrrrüüüccchhheee...
••• PPPooottteeennnzzzeeennn mmmiiittt gggeeebbbrrroooccchhheeennneeennn HHHoooccchhhzzzaaahhhllleeennn sssiiinnnddd eeeiiigggeeennntttllliiiccchhh WWWuuurrrzzzeeelllnnn...
••• PPPaaassssssiiieeerrrttt eeeiiinnneee PPPooottteeennnzzz eeeiiinnneeennn BBBrrruuuccchhhssstttrrriiiccchhh,,, dddaaannnnnn ääännndddeeerrrttt dddiiieee HHHoooccchhhzzzaaahhhlll iiihhhrrr VVVooorrrzzzeeeiiiccchhheeennn...
� Beispiel
65
54
4223
531
4223
531
4213
5432
xayb
xayb
xxaaybb
yxbayxba ============ ++++++++
++++
−−−−
−−−−−−−−
oder a-5 b4 x-6 y
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111::: Vereinfachen Sie
a) 2n
n22
222−−−−
⋅⋅⋅⋅ b) 2
3nn3
842 ++++⋅⋅⋅⋅ c) 3
3
2
aa
aa ⋅⋅⋅⋅
d) xxxxx
3
23
2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ e)
02
3
43
3
2
ba
ab
ba
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
f)
n6n12
23
32
⋅⋅⋅⋅
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...222::: Fassen Sie zusammen: a) 5 • 2n + 3 • 2n b) 5 • 3n - 1 + 4 • 3n-1 c) 21• 5n-4 + 54 • 5n-4 d) 6 • 2n + 5 • 2n+1 e) 200 • 5k+1 - 3 • 5k+3 f) 90 • 3p-2 - 3p
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...333:::::: Multiplizieren Sie aus: a) (2x - 7xp+1)2 b) (x2p - y2q) (x2p + y2q) c) (4an + 9bn)2
d) (p6 - q7)2
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...444::: Multiplizieren Sie aus: a) (a2p +ap bp + b2p) (ap - bp); b) (x2p - 3 xp yq + 3 y2q) (xp + 3 yq);
82 Maurer: Mathe macht Spaß
c) (a4p-a3p+a2p-ap+1)(ap+1) d) (((( ))))32 1x −−−−
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...555::: Faktorisieren Sie: a) x12 - y8 b) x8 – 32 x4y3 + 256 y6 c) x2m - y2n d) 4 tn+3 - tn-1 e) t4p - 12 t2p + 36 e) e2x - 1
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...666::: Faktorisieren und kürzen Sie
a) 34
56
xxxx
++++++++ b) n1n
n2n2
axaxa
−−−−−−−−
++++ c) 49y
49y14ym2
mm2
−−−−++++++++
d) 1qq1q
2q1q
z16z8zz4z
−−−−++++
−−−−−−−−
++++−−−−−−−−
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...777::: a)
nn2 4x
b)
0
nn4
n3
aba
− c) m
nn ma
−
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...888::: Berechnen Sie ohne GTR die exakten (d.h. Wurzeln stehen lassen) Funktionswerte der Funktion f für f(x) =2x für x=-2; -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1, 5; 2.
555555555555............222222222222 PPPooottteeennnzzzfffuuunnnkkktttiiiooonnneeennn vvvooommm TTTyyyppp fff(((xxx))) === aaa xxxnnn,,, nnn ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
IIINNN,,, nnn >>> 111
Wir kennen bereits drei Funktionen der Bauart
f(x) = a xn, mit einer natürlichen Zahl n als Hochzahl:
Für n = 0 erhält man f(x) = a, also eine konstante Funktion. Für n = 1 erhält man f(x) = a x, also eine lineare Funktion, das Schaubild ist eine Ursprungsgerade. Für n = 2 erhält man f(x) = a x2, also eine quadratische Funktion, das Schaubild ist eine Parabel, die ab sofort Parabel zweiter Ordnung heißt.
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...999::: Betrachten Sie mit dem GTR die Schaubilder der Funktion f1(x) = x3; f2(x) = x4; f3(x) = x5; f4(x) = x6
f1(x) = x3 f2(x) = x4
5. Potenzfunktionen 83
f3(x) = x5 f4(x) = x6
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111000::: Lesen Sie aus den beiden folgenden Koordinatensystemen die Funktionsgleichungen der Parabeln in der Verschiebungsform ab, wie Sie es von den Parabeln (2. Ordnung) her kennen.
f g h k
l m n o
Dario Simon
84 Maurer: Mathe macht Spaß
ZZZuuusssaaammmmmmeeennnfffaaassssssuuunnnggg
Die Schaubilder der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN, n>1, kann man in 2 Gruppen einteilen:
y = x6
y=x4
y=x2
y = x5
y = x7
y = x3
nnn gggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg::: Sie ähneln der Normalparabel. S( 0 | 0 ) ist ihr Scheitel. Je größer n, � desto enger schmiegt sich die
Kurve in der Nähe von x = 0 an die x-Achse an,
� an der Nullstelle hat sie keinen Vorzeichenwechsel, � desto steiler wächst / fällt sie
für x → ± ∞
nnn uuunnngggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg::: Sie kommt von unten, schmiegt sich in O( 0 | 0 ) an die x-Achse an und geht dann nach oben. Der Ursprung ist kein Scheitelpunkt mehr, sondern ein Wendepunkt. Je größer n, � desto enger schmiegt sich die
Kurve in der Nähe von x = 0 an die x-Achse an,
� an der Nullstelle hat sie einen Vorzeichenwechsel,
� desto steiler wächst sie für x → ± ∞
5. Potenzfunktionen 85
VVVeeerrrsssccchhhiiieeebbbuuunnngggsss---fffooorrrmmm
f(x) = a (x - x0)n + y0 Wie bei der quadratischen Funktion gilt: a bestimmt die Dehnung/Stauchung in y-Richtung a < 0 bedeutet Spiegelung an der x-Achse
x0 bedeutet die Verschiebung nach rechts/links (x-Richtung) y0 bedeutet die Verschiebung nach oben/unten (y-Richtung)
Die Schaubilder aller dieser Funktionen f heißen PPPaaarrraaabbbeeelllnnn nnn---ttteeerrr OOOrrrdddnnnuuunnnggg.
� Beispiel: a) Skizzieren Sie die Parabel 4. Ordnung mit der Gleichung
f(x) = ( ) 32x31 4 +−− .
b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen?
Lösung:
OOOhhhnnneee GGGTTTRRR
MMMiiittt GGGTTTRRR
a) Die Parabel mit y = x4 wird an der x-Achse gespiegelt, mit Faktor 1/3 getaucht, um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. b) Schnitt mit x-Achse: OOOhhhnnneee GGGTTTRRR Ansatz: f(x) = 0
( ) 32x31 4 +−− = 0
( ) 92x 4 =−
x - 2 = ± 4 9 = ± 3 x1 = 3 , x2 = - 3 N1,2(2±±±± 3 |||| 0000
))))
Schnitt mit der y-Achse: Ansatz: x = 0, f(0) =37− , d.h. Sy(0 |
37− )
Schnitt mit x-Achse: Ansatz: f(x) = 0 Menü Graph. G-Solve. Root N1(0,27 I 0 ), N2(3,73 I 0 ) Schnitt mit der y-Achse: Ansatz: x = 0 Menü Graph. G-Solve. Y-ISPT
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111111::: Skizzieren Sie die Parabeln a) ( ) ( ) 12xxf 3 +−= b) ( ) ( ) 41x2xf 4 +−−=
c) ( ) ( ) 33x91xf 3 +−= d) ( ) ( ) 42x
41xf 4 −−=
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111222::: a) Skizzieren Sie die Parabel mit der Gleichung f(x) = ( ) 21x41 3 ++− .
b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen? (GTR) c) In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit y = - x+1 die Parabel. (GTR) d) Verschieben Sie die Parabel aus dem a)-Teil um 2 Einheiten nach rechts und um 3 nach unten. Welche Gleichung hat die entstehende Kurve?
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111333::: a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel 4-ter Ordnung, deren Scheitel auf der Geraden x = 3 liegt und die durch die beiden Punkte A(2|2,5) und B(5|10) geht. (Ohne GTR) b) Skizzieren Sie diese Parabel.
86 Maurer: Mathe macht Spaß
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555...111444::: Lesen Sie aus dem beiden folgenden Koordinatensystem die Funktionsgleichungen der Parabeln in der Verschiebungsform ab
555555555555............333333333333 PPPooottteeennnzzzfffuuunnnkkktttiiiooonnneeennn vvvooommm TTTyyyppp fff(((xxx))) === aaa xxx---nnn ,,, nnn ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
IIINNN,,, nnn ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 111
Auch die Funktionen mit f(x) = nx1 , n ∈ IN, n ≥ 1 kann man nach ihren
Schaubildern in zwei Gruppen einteilen.
y = 3x1 y = 4x
1
y = x1 y = 2x
1
Gemeinsame Eigenschaften: Alle Schaubilder bestehen aus zwei Teilen, die wir Äste nennen. Bezeichnung der Schaubilder: HHHyyypppeeerrrbbbeeelllnnn Die x-Achse ist AAAsssyyymmmppptttooottteee , d.h. die Hyperbel schmiegen sich für x → ± ∞ an die x-Achse, genauer für x → ± ∞ gilt f(x) → 0. Die y-Achse ist ebenfalls AAAsssyyymmmppptttooottteee , d.h. die Hyperbel schmiegen sich für x → 0 an die y-Achse, genauer für x → 0 von rechts oder von links gilt f(x) → ± ∞.
f1 f2 f3 f4 f5 f6
5. Potenzfunktionen 87
Bei senkrechten Asymptoten spricht man auch von PPPooolllsssttteeelllllleeennn . x = 0 ist bei all diesen Funktion Polstelle kurz Pol.
nnn uuunnngggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg
x = 0 ist Pol mit Vorzeichen-wechsel, d.h. der eine Ast der Kurve schmiegt sich nach oben, der andere nach unten an die y-Achse an. Die Kurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Gemeinsame Punkte P( 1 | 1 ), Q(- 1| - 1 )
nnn gggeeerrraaadddzzzaaahhhlll iiiggg x = 0 ist Pol ohne Vorzeichen-wechsel, d.h. beide Hyperbel-äste schmiegen sich nach oben an die y-Achse an. Die Kurve ist achsen-symmetrisch zur y-Achse. Gemeinsame Punkte P( 1 | 1 ), Q(- 1| 1 )
VVVeeerrrsssccchhhiiieeebbbuuunnngggsss---fffooorrrmmm
(((( )))) 0n0
yxx
a)x(f ++++−−−−
====
a bestimmt die Dehnung/Stauchung in y-Richtung a < 0 bedeutet zusätzliche Spiegelung an der x-Achse
x0 bedeutet die Verschiebung nach rechts/links (x-Richtung) y0 bedeutet die Verschiebung nach oben/unten (y-Richtung)
Die Schaubilder aller dieser Funktionen f heißen Hyperbeln. � Beispiel a) Skizzieren Sie die Hyperbel mit der Gleichung f(x) = 3
2x1 ++++−−−−
−−−− .
b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen? Lösung:
a) Die Hyperbel mit y = x1 wird
an der x-Achse gespiegelt, um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben. Damit hat die Hyperbel die beiden Asymptoten y = 3 und x = 2. b) Schnitt mit x-Achse: Ansatz: f(x) = 0
32x
1 ++++−−−−
−−−− = 0
3 = 2x
1−−−−
⇒ x - 2 = 31
x = 312 , d.h. N
0
312
Schnitt mit y-Achse: x = 0 f(0) = 3,5, d.h. Sy(0 | 3,5 ).
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111555 a) Skizzieren Sie die Hyperbel mit der Gleichung f(x) = ( )
21x
141
3 ++
−
b) Wo schneidet sie die Koordinatenachsen? c) In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit y = - x + 1 die Hyperbel? d) Verschiebe die Hyperbel aus dem a)-Teil um 2 Einheiten nach rechts und um 3 nach unten. Welche Gleichung hat die entstehende Kurve?
88 Maurer: Mathe macht Spaß
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111666 a) Bestimme die Gleichung der Hyperbel der Form f(x) = a (x-x0)-2+y0,
deren Asymptotenschnitt auf der Geraden x = 3 liegt und die durch die beiden Punkte A( 1 | 3 ) und B( − 1 | 3,75 ) geht. b) Skizziere diese Hyperbel. c) Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111777 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 12x
1 +−
− .
Ihr Schaubild sei K. Skizziere K und spiegle K dann an der Geraden y = 2. Gib die Gleichung der entstehenden Kurve an.
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111888 Gegeben ist die Funktion g mit ( )( )
21x
1xg 2 +−
−= .
a) Die Asymptoten von K, y = 2 und x = 1, bilden zusammen mit den Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt S(u | v ) auf der Kurve K ( u > 1 ) ein Rechteck. Zeichne K und zeichne auch das Rechteck für u = 2,5 ein. b) Gib eine Formel für den Inhalt A(u) des Rechtecks an. c) Gib eine Formel für das Volumen V1(u) des Zylinders an, der bei der Rotation des Rechtecks um die Asymptote y = 2 entsteht. d) Gib eine Formel für das Volumen V2(u) des Zylinders an, der bei der Rotation des Rechtecks um die Asymptote x = 1 entsteht.
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 111999 Gib die Gleichungen der folgenden Kurven an:
Da unten kommt noch Meer, ähh ich meine noch mehr.
5. Potenzfunktionen 89
EEEIIINNNIIIGGGEEE AAANNNWWWEEENNNDDDUUUNNNGGGSSSAAAUUUFFFGGGAAABBBEEENNN
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222000 Ein Skifahrer fährt einen Abhang hinunter, der die Form einer Parabel 3. Ordnung von der Bauart f(x) = a x3 hat. Die Strecke hat auf halber Höhe eine Stelle, auf der die Piste einen kurzen Augenblick waagrecht ist. Der Höhenunterschied beträgt 400 m. Der Abstand zwischen Start- und Zielpunkt beträgt per Luftlinie 500 m. Gib die Gleichung der Kurve an, auf der der Skifahrer unterwegs ist.
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222111 Auf einer kreisförmigen Grundrissfläche mit dem Durchmesser d = 10 m soll ein h = 6 m hohes Gewölbe erstellt werden. Für den senkrechten Schnitt stehen als Profile Parabeln der Form y = a xn mit n = 2, 4 oder 6 zur Auswahl.
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222222 Eine Seilbahn führt über einen kleinen Hügel. Das Seil der Sessel-Bahn liegt auf der Kurve mit der Gleichung f(x) = 0,5 x2 – 3 x + 8. Das Hügelprofil lässt sich durch g(x) = -x2 +3x+1 beschreiben. An welcher Stelle wird es kritisch für den Sessel?
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222333 Ein drehsymmetrischer Kühlturm ist 100 m hoch. Die Skizze zeigt einen vertikalen Schnitt längs der Rotationsachse (Maßangaben in 10 m). Im ersten Feld wird die Begrenzung der Schnittfläche im Innern des Turms beschrieben durch das Schaubild K der
Funktion f mit (((( ))))cx
axf−−−−
==== . K
verläuft durch P( 2 I 4 ) und endet in Q( 4 I 0,8 ).
a) Bestimmen Sie f(x). Welchen Innendurchmesser hat der Turm in 100 m Höhe? b) Wie entsteht die linke innere Begrenzungslinie aus K. Welche Gleichung hat sie?
AAAUUUFFFGGGAAABBBEEE 555... 222444 Gegeben ist die Kurve K, die Schaubild
der Funktion f mit f(x) = x2 ist.
Der Punkt P( u I v), u > 0, liegt auf der Kurve. Die Parallelen zu den Koordinaten-achsen durch P bilden zusammen mit den Asymptoten ein Rechteck.
Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks für jeden Punkt P gleich ist.