A Begriffe aus der Kombinatorik

Eine Permutation nN ist eine Anordnung von N Elementen in einer bestimmten Reihenfolge.

Die Anzahl InN I der Permutation en N verschiedener Elemente ist

InNI = N!.

Beispiel: Sitzordnung in einer Klasse

Befinden sich unter den N Elementen K gleiche (K ~ N), ist die Anzahl

In}:) I der Permutationen (mit Wiederholung)

In (K)1 = N! N K!'

Beispiel: 16 Sitzplatze werden mit je einer Tasche belegt. 4 der 16 Taschen sind gleich. Wie viele unterscheidbare Permutationen gibt es?

Antwort: Ini!) I = 14~!

Die Anzahl In}:1,K2, ... ,KM) I der Permutationen von N Elementen, die

sich in M Gruppen mit jeweils K 1 , K 2 , ••• ,KM gleichen Elementen CL;;;=l Km = N) einteilen lassen, ist

In}:1,K2, ... ,KM)1 = N! . K 1!· K 2 !··· KM!

Beispiel: Aus den fiinf Ziffern 4, 4, 5, 5, 5 lassen sich

In(2,3) I = ~ = 10 5 2!3!

verschiedene fiinfstellige Zahlen bilden.

A Begriffe aus der Kombinatorik 207

Eine Kombination C~K) ist eine Auswahl von K Elementen aus N Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge.

Die Anzahl I cW) I der Moglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen

K Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwahlen, wobei jedes der N Elemente hochstens einmal in einer Kombination auftreten darf (Kombination ohne Wiederholung), ist

Beispiel: Beim Lotto gibt es (~) Moglichkeiten 6 aus 49 Zahlen anzukreuzen.

Die AnzahIIC~K) I der Moglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K

Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge, aber bei Zulassung belie big vieler Wiederholungen jedes der Elemente, auszuwahlen, ist

Beispiel: Mit K Wiirfeln sind

verschiedene Wiirfe moglich. Fiir 2 Wiirfel gilt also

Eine Variation V}{) ist eine Auswahl von K aus N Elementen unter Beachtung der Reihenfolge.

Die Anzahl IV}{) I der Moglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen

K unter Beachtung der Reihenfolge auszuwahlen, ist

208 A Begriffe aus der Kombinatorik

Beispiel: 30 Personen nehmen an einer Wahlveranstaltung teil. Wie­viele Moglichkeiten gibt es, einen aus einem Vorsitzenden, seinem Stell­vertreter, einem 1. und einem 2. Beisitzer bestehenden Wahlvorstand zu benennen?

Antwort: 4! C40) = 657720

Wenn von den N verschiedenen Elementen in einer Variation einzelne auch mehrfach auftreten diirfen, liegt eine Variation mit Wiederholung vor. Fiir ihre Anzahl gilt

Beispiel: Mit einem Byte (8 Bit) sind 28 = 256 verschiedene Zeichen darstellbar.

Die Ergebnisse dieses Anhangs sind in Bild A-I zusammengefafit darge­stellt.

ohne Wiedemolung

mit Wiedemolung

Art der Auswahl von K aus N Elemanten (K:s;N)

Pennutationen Kombinationen

N! ( ~ ) N!

( N\K-l ) K!

Variationen

K!( ~ )

NK

Bild A-I: Kombinatorik, Anzahl der Moglichkeiten

B Die Fouriertransformation

Die Fouriertransformation ordnet einer Funktion x(t) aus einem Funk­tionenraum U eine Funktion X (J) aus einem anderen Funktionenraum V umkehrbar eindeutig zu. In der Technik wird x(t) haufig als Zeitfunk­tion interpretiert. D.h. x(t) ist ein reell- oder komplexwertiges Signal.

Definition B-1

Filr die integrierbare Funktion x(t) ist durch

00

X(J) = ! x(t)e-i211"/t dt (B-1)

-00

deren Fouriertransformierte gegeben.

Bemerkungen:

(i) Der Zusammenhang zwischen x(t) und X(J) wird kurz durch x(t) 0--. X(J) beschrieben.

(ii) Die Fouriertransformation ist zunachst nur fUr integrierbare Funk­tionen erklart. Diese Funktionen bilden einen Vektorraum L1. Durch den Satz von Plancherel ([KF75], S.436if.) kann die Fou­riertransformation auch fUr den Raum L2 der technisch bedeut­samen quadratintegrablen Funktionen eingefiihrt werden. Signale x(t) E L2 besitzen endliche Energie. Dariiber hinaus kann die Defi­nition der Fouriertransformation auch auf Distributionen erweitert werden ([WaI74], S.155 if.). Formal gilt iiberall die Definitionsglei­chung (B-1), mit der wir im folgenden auch rechnen werden.

Die inverse Fouriertransformation X(J) ..-0 x(t) ist durch

00

x(t) = ! X (J)ei 21l"/t df (B-2)

-00

210 B Die FouriertransEormation

gegeben.

Es gelten folgende Rechenregeln der Fouriertransformation

1. Linearitat Flir beliebige Konstanten en und Signale xn(t}, 0 ::; n ::; N, gilt

2. Konjugiert komplexe Signale

x*(t} ~ X*(-f)

3. Symmetrieeigenschaften

x(-t} ~ X(-f)

Re {x(t)} gerade {:} Re {X (f}} gerade

Re {x(t)} ungerade {:} 1m {X(f)}

1m {x(t)} gerade {:} 1m {X(f)}

1m {x(t)} ungerade {:} Re{X(f)}

4. MaBstabsanderung, Skalierung Flir aile a E R, a "# 0, gilt

x(at} ~ ,!,X (~)

5. Zeitverschiebung Flir aile to E R gilt

x(t - to} ~ e-i21rlto X(f}

6. Modulation Flir aile 10 E R gilt

ei21rlotx(t} ~ X(f - lo}

ungerade

gerade

ungerade

B Die Fouriertransformation

7. Differentiation der Zeitfunktion

8. Differentiation der Fouriertransformierten

9. Integration der Zeitfunktion

t J x(r) dr o---e

-00

10. Faltungssatze Flir quadratintegrable Signale Xi(t)j i = 1,2j gilt

Xl(t) * X2(t) o---e Xl (f) . X 2(f)

Xl(t)· X2(t) o---e Xl (f) * X 2(f)

211

(B-3)

Mit Gleichung (B-3) wollen wir uns etwas naher beschaftigen. Zunachst ist durch * eine Operation, die Faltung der Signale Xl(t) und X2(t) heiBt, erklart. Ausfuhrlich schreibt sich die Faltung

00

Xl(t)*X2(t) = J xdr)x2(t-r)dr. -00

GemaB (B-3) wird aus der Faltung zweier Signale im Zeit bereich im Frequenzbereich das Produkt der zugehorigen Fouriertransformier­ten. Wir betrachten ein Zeit signal s(t) mit Fouriertransformierter S(f) und eine Fouriertransformierte

H(f) = . {I fur If I ~ ~ o flir If I > ~

(B-4)

Die Funktion H(f) charakterisiert einen (idealen) TiefpaB, d.h. ein System, das aIle Frequenzen If I ~ ~ unbeeinfluBt laBt und aIle Fre­quenzen If I > ~ vollstandig unterdruckt. Dies wird z.E. durch die

212 B Die Fouriertransformation

Gtiltigkeit von

SU) . H(f) ~ { S~) fur

fur

III ~ ~ III > ~

deutlich. Bezeichnen wir mit h(t) die inverse Fouriertransformierte von H(f), die sich aus Tabelle B-1 bestimmen laf3t, erhalten wir mit (B-3)

S(f) . H(f) = U(f) e----<> u(t) = s(t) * h(t).

Die Faltung 00

u(t) = s(t) * h(t) = I s(r)h(t - r) dr -00

stellt das durch (ideale) Tiefpaf3filterung aus s(t) hervorgehende Si­gnal dar. Die hier diskutierten Zusammenhange sind in Bild B-1 skiz­ziert.

-etlh, ~, A, -B/2 B/2 -B/2 B/2 -B/2 B/2

Frequenzbereich S (fl. H 1ft = u 1ft

I I I Zeitbereich s Itt • h Itt = u Itt

Bild B-1: Idealer Tiefpaf3

Die Funktion

GU) ~ { ~ 10 - ~ ~ III ~ 10 + ~ sonst

mit B « 10 charakterisiert einen (idealen) BandpaB. Dieses System lli.f3t aIle Frequenzen, die von 10 hochstens einen Abstand von 1f be­sitzen, unbeeinfiuBt und unterdriickt alle anderen Frequenzen.

B Die Fouriertransformation

1 0-----. ° (f) 1 1

cos (211" fot) 0-----. 20(f + fo) + 20(f - fo)

{If. If I < F

Fsi(1I"Ft) 0-----. X(f) = ur "2 o fUr If I > f

x(t) = 0-----. Tsi(1I" fT) {I fur It I < f o fur It I > f

1 1 2o(t + to) + 2o(t - to) 0-----. cos(211" fto)

° ( t) 0-----. 1

sin(27r fot) 0-----. ~o(f + fo) - ~o(f - fo)

x(t) = { 1 fur t > 0 1 1

0-----. -o(f) + -. -o fur t < 0 2 J211" f

-altl 0 0-----. 2a

x(t) = { e~.'

{ te-at

x(t) = 0

e ,a> a2 +(27rf)2

fur t > 0 1 , a > 0 0-----. ·2 f

furt<O a+J1I"

furt>O 1 , a > 0 0-----. 2

fur t < 0 (a + j27r f)

00

1 .. f - 0-----. - J sIgn 1I"t 1

j sign t 0-----. -1I"f

x(t) =.!:. ! x('x~ d,X 0-----. (-jsignf)X(f) 11" t-/\

-00

00 1 00

L o(t - mT) 0-----. T L ° (i - ;) m=-oo m=-oo

Tabelle B-1: Korrespondenzen zur Fouriertransformation

213

C Die ~-Distribution

Urn sowohl stetige als auch diskrete Zufallsvariablen einheitlich behan­deln zu konnen, ist die Einffihrung der 8-Distribution notwendig (ver­gleiche (4.1-12)). Dieser, auch in [Pap91] verfolgte Ansatz ist zwar rna­thernatisch nicht korrekt, erweist sich jedoch ffir die Praxis als nfitzlich.

Mit der 8-Distribution 8(X') kann einern Punkt X' = (Xl,X2, ... , XN)T

irn N-dh~ensionalen Raurn lRN die Masse 1 zugeordnet werden, d.h. es gilt

! 8(X') dX' = l. (C-1)

RN

Genauer betrachtet ist die 8-Distribution ein stetiges lineares Funktional [Wa174J, das jeder Funktion <p(X') seines Definitionsbereichs gernaB der Gleichung

! 8 (X') <p(X') dX' = <p(O) (C-2)

RN

ihren Wert irn Ursprung zuordnet. Darfiber hinaus ergeben sich die Iden­titaten

! 8(X' - X'o)<p(X') dX' = ! 8(X')<p(X' + X'o) dX' RN RN

(C-3)

1 -= ~<p(o), a ~ o. (C-4)

C Die is-Distribution 215

Bemerkungen:

(i) Uber die Forderungen, die die Funktion <p(i) in (C-2) erftillen muB, gibt die Distributionentheorie Auskunft [Wa174]. 1m vorliegenden Buch wird stets davon ausgegangen, daB die verwendeten Funktio­nen <p(i) so beschaffen sind, daB (C-2) gilt.

(ii) Es wird empfohlen, als Ubung die Gleichungen (C-I) bis (C-4) fUr den Fall N = 1 aufzuschreiben und zu interpretieren!

Die 8-Distribution laBt sich fUr N = 1 z.B. durch eine Folge von Recht­eckpulsen

o ftir Ixl > a/2 ,a>O

1 ftir Ixl ~ a/2

approximieren (Bild C-I). Betrachtet man namlich die in einer Umge­bung des Ursprungs stetige Funktion <p(x), ergibt sich

00

lim ~ I reet (:.) <p(x) dx a--+O a a

-00

~

hm - <p(x) dx . I! a--+O a

-"-2

00

<p(O) = 8(x )<p(X) dx (C-2) ! -00

216 C Die IS-Distribution

A 1 (x) a reet a

1 a=-

24

1 a=-

12

1 a=-

2 a=l

-----;------;-----~U-----+---~_+------+x

1 2

-2

Bild C-1: Approximation der o-Distribution durch Rechteckimpulse (N = 1)

D Tabelle der Standardnormalverteilung

I x II <p{x) II x II <p{x) II x II <p{x) II 0,00 0,5000000 0,38 0,6480272 0,76 0,7763727

0,02 0,5079783 0,40 0,6554217 0,78 0,7823045

0,04 0,5159534 0,42 0,6627572 0,80 0,7881446

0,06 0,5239221 0,44 0,6700314 0,82 0,7938919

0,08 0,5318813 0,46 0,6772418 0,84 0,7995458

O,lO 0,5398278 0,48 0,6843863 0,86 0,8051054

0,12 0,5477584 0,50 0,6914624 0,88 0,8105703

0,14 0,5556700 0,52 0,6984682 0,90 0,8159398

0,16 0,5635594 0,54 0,7054014 0,92 0,8212136

0,18 0,5714237 0,56 0,7122602 0,94 0,8263912

0,20 0,5792597 0,58 0,7190426 0,96 0,8314723

0,22 0,5870644 0,60 0,7257468 0,98 0,8364569

0,24 0,5948348 0,62 0,7323711 1,00 0,8413447

0,26 0,6025681 0,64 0,7389137 1,02 0,8461357

0,28 0,6102612 0,66 0,7453730 1,04 0,8508300

0,30 0,6179114 0,68 0,7517477 1,06 0,8554277

0,32 0,6255158 0,70 0,7580363 1,08 0,8599289

0,34 0,6330717 0,72 0,7642375 1,10 0,8643339

0,36 0,6405764 0,74 0,7703500 1,12 0,8686431

218 D Tabelle der Standardnormalverteilung

I x II ~(x) II x II ~(x) II x II ~(x) II 1,14 0,8728568 1,64 0,9494974 2,14 0,9838~26

1,16 0,8769755 1,66 0,9515427 2,16 0,9846136

1,18 0,8809998 1,68 0,9535213 2,18 0,9853712

1,20 0,8849303 1,70 0,9554345 2,20 0,9860965

1,22 0,8887675 1,72 0,9572837 2,22 0,9867906

1,24 0,8925123 1,74 0,9590704 2,24 0,9874545

1,26 0,8961653 1,76 0,9607960 2,26 0,9880893

1,28 0,8997274 1,78 0,9624620 2,28 0,9886961

1,30 0,9031995 1,80 0,9640696 2,30 0,9892758

1,32 0,9065824 1,82 0,9656204 2,32 0,9898295

1,34 0,9098773 1,84 0,9671158 2,34 0,9903581

1,36 0,9130850 1,86 0,9685572 2,36 0,9908625

1,38 0,9162066 1,88 0,9699459 2,38 0,9913436

1,40 0,9192433 1,90 0,9712834 2,40 0,9918024

1,42 0,9221961 1,92 0,9725710 2,42 0,9922397

1,44 0,9250663 1,94 0,9738101 2,44 0,9926563

1,46 0,9278549 1,96 0,9750021 2,46 0,9930531

1,48 0,9305633 1,98 0,9761482 2,48 0,9934308

1,50 0,9331927 2,00 0,9772498 2,50 0,9937903

1,52 0,9357445 2,02 0,9783083 2,52 0,9941322

1,54 0,9382198 2,04 0,9793248 2,54 0,9944573

1,56 0,9406200 2,06 0,9803007 2,56 0,9947663

1,58 0,9429465 2,08 0,9812372 2,58 0,9950599

1,60 0,9452007 2,10 0,9821355 2,60 0,9953388

1,62 0,9473838 2,12 0,9829969 2,62 0,9956035

D Tabelle der Standardnormalverteilung 219

I x II ~(x) II x II ~(x) II x II ~(x) II 2,64 0,9958546 3,10 0,9990323 4,10 0,9999793

2,66 0,9960929 3,15 0,9991836 4,15 0,9999833

2,68 0,9963188 3,20 0,9993128 4,20 0,9999866

2,70 0,9965330 3,25 0,9994229 4,25 0,9999893

2,72 0,9967359 3,30 0,9995165 4,30 0,9999914

2,74 0,9969280 3,35 0,9995959 4,35 0,9999931

2,76 0,9971099 3,40 0,9996630 4,40 0,9999945

2,78 0,9972820 3,45 0,9997197 4,45 0,9999957

2,80 0,9974448 3,50 0,9997673 4,50 0,9999966

2,82 0,9975988 3,55 0,9998073 4,55 0,9999973

2,84 0,9977443 3,60 0,9998408 4,60 0,9999978

2,86 0,9978817 3,65 0,9998688 4,65 0,9999983

2,88 0,9980116 3,70 0,9998922 4,70 0,9999986

2,90 0,9981341 3,75 0,9999115 4,75 0,9999989

2,92 0,9982498 3,80 0,9999276 4,80 0,9999992

2,94 0,9983589 3,85 0,9999409 4,85 0,9999993

2,96 0,9984618 3,90 0,9999519 4,90 0,9999995

2,98 0,9985587 3,95 0,9999609 4,95 0,9999996

3,00 0,9986501 4,00 0,9999683 5,00 0,9999997

3,05 0,9988557 4,05 0,9999743

Die Werte sind hinter der 7. Nachkommastelle abgeschnitten.

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Index

absolutes zentrales Moment k-ter Ordnung, 59

absorbierender Zustand, 189 Autokorrelationsfolge eines zeit­

diskreten Zufallsprozes­ses, 165

Autokorrelationsfunktion, 155 Autokorrelationsfunktion eines er­

godischen Prozesses, 161 Autokovarianzfolge eines zeit dis­

kreten Zufallsprozesses, 165

Autokovarianzfunktion, 156 Autokovarianzfunktion eines er­

godischen Prozesses, 162

BandpaB, 212 Bernoullisches Versuchsschema,

77

charakteristische Funktion, 60

de MORGANsche Formeln, 8 8-Distribution, 214 Dichte,41

bedingte, 109 mehrdimensionale, 105

DifIerenz von Mengen, 6 Dispersion, 57 Durchschnitt,6

Eigenschaften von Verteilungsfunk-tionen,39

Elementarereignis, 5 Energiesignale, 162 Ereignis,5

entgegengesetztes, 6 Komplement, 7 Negation, 7 sicheres,5 Teilereignis,6 unmogliches, 5

Ereignisdisjunktion vollstandige, 14

Ereignisse disjunkte, 8 unabhangige, 31 unvereinbare,8 vollstandig unabhangige, 32 zufallige, 1

Ergebnisraum endlicher, 5

Ergebnisse, 5 Ergodenhypothese, 160 ergodisch beziiglich g, 161 Erlangdichte, 197 Erwartungswert,54

bedingter, 11 0 erzeugende Funktion, 62

Faltung, 211 Fehlerfunktion

INDEX

gauBsche, 92 komplementare, 93

Formel von Bayes, 30 Formel von der totalen Wahr­

scheinlichkeit, 30 Formel von der totalen Wahr­

scheinlichkeit fUr Dich­ten, 110

Fouriertransformation, 209 inverse, 209 Rechenregeln der, 210

Fouriertransformierte, 209

Galtonsches Brett, 132 Gammafunktion, 95 GauBprozeB, 156 gemeinsam stationare stochasti­

sche Prozesse, 157

Haufigkeit absolute, 9 relative, 9

Eigenschaften, 10

Indikatorfunktion, 124 innere Zustande, 189

Kolmogoroffsche Axiome, 14 Kombination, 207 Korrelationskoeffizient, 111 Kovarianz, 111 Kovarianz komplexer Zufallsva­

riablen, 119 Kovarianzmatrix, 113 Kreuz-Leist ungsdichtespektrum ge­

meinsam stationarer Pro­zesse, 164

Kreuzkovarianzfunktion, 157 Kreuzkovarianzfunktion gemein­

sam ergodischer Prozes­se, 162

223

Kreuzkorrelationsfunktion, 157 Kreuzkorrelationsfunktion gemein­

sam ergodischer Prozes­se, 162

k-tes Moment, 56 k-tes Moment eines ergodischen

Prozesses, 161 k-tes Moment eines zeitdiskreten

Zufallsprozesses, 165 k-tes zentrales Moment, 56 k-tes zentrales Moment eines er­

godischen Prozesses, 161

Leistungsdichtespektrum eines sta­tionaren stochastischen Prozesses, 163

Leistungssignale, 162 Leistungsdichtespektrum zeit dis­

kreter stationarer Pro-zesse, 165

Markoffkette, 183 absorbierende, 189 homogene, 184

Markoffscher ProzeB, 182 Median, 59 mehrdimensionale Verteil ungsfunk-

tion, 105 Mittelwert, 54 mittlere Ankunftsrate, 179 mittlere Leistung, 155 mittlere Leistung zeitdiskreter Pro­

zesse, 165 mittleres Leistungsdichtespektrum

eines zyklostationaren Pro­zesses, 194

Modalwert, 59 Multiplikationsregel fUr Wahrschein­

lichkeiten, 28

224

Normalverteilung, 58,90 k-tes zentrales Moment, 91 charakteristische Funktion,

91 Erwartungswert, 91 Varianz, 91 zweidimensionale, 106

orthogonale stochastische Prozes­se, 158

Periodische Signale, 162 Permutation, 206 PoissonprozeB, 177 p-tes Quantil, 59

Q-Funktion,93

Rand,189 Randdichten, 108 Rayleigh-Verteilung, 122

Satz von Bayes ffir Dichten, 110 Scharmittelwert, 154 schwach stationar, 155 u-Algebra, 12

Borelsche, 14 Standardabweichung,57 Standardnormalverteilung, 42

zweidimensionale, 107 stochastische Matrix, 184 stochastische Prozesse

gemeinsam stationare, 157 unkorrelierte, 158

stochastische Vektoren, 184 stochastischer ProzeB, 152

ergodischer, 160 komplexer, 158 normaler, 156 Pfad,152

INDEX

Realisierung, 152 Scharmittelwert, 154 schwach stationarer, 155 stark stationarer, 153 Stationaritat, 156 Zeitmittelwert, 160 zyklostarionarer, 193

TiefpaB, 211

Ubergangsgraph, 186 Ubergangswahrscheinlichkeiten k­

ter Stufe, 183

Varianz, 57 Variation, 207 Vereinigung, 6 Verteilungsfunktion, 38

Eigenschaften, 39 Verteilungsfunktion einer mehr­

dimensionalen Zufalls­variablen, 105

Wahrscheinlichkeit, 11, 15 a posteriori, 30 a priori, 30 bedingte,27 Konvergenz in, 126

Wahrscheinlichkeitselement, 43 Wahrscheinlichkeitsraum, 15 weiBes GauBsches Rauschen, 174

zeitdiskrete Zufallsprozesse, 165 Autokorrelationsfolge, 165 Autokovarianzfolge, 165 k-tes Moment, 165 mittlere Leistung, 165 stationare, 165

Leistungsdichtespektrum, 165

INDEX

zeitlicher Mittelwert der Reali-sierung x(t), 160

Zeitmittelwert, 160 Zeitparametermenge, 183 Zufallsexperiment, 5

Laplacesches, 11 Zufallsvariable,38

Erwartungswert, 54 absolutes zentrales Moment

k-ter Ordnung, 59 cauchyverteilte, 53 charakteristische Funktion,

60 diskrete, 40 Dispersion, 57 erzeugende Funktion, 62 exponentialverteilte, 89 gau6verteilte, 90 gleichverteilte, 87 komplexe, 118 mehrdimensionale, 104 nichtzentral x~-verteilte, 123 normalverteilte, 90 poissonverteilte, 82 rayleighverteilte, 96, 122 riceverteilte, 123 stetige,40 unabhangige, 111 unkorrelierte, 112 verallgemeinert riceverteilte,

123 verallgemeinert rayleighver­

teilte, 122 weibullverteilte,95 zentral x~-verteilte, 122

Zustand, 189 Zustandsmege, 183 zweidimensionale Normalvertei-

lung, 106

225

zweidimensionale Standardnormal­verteilung, 107

zyklostarionarer stochastischer Pro­ze6, 193

zyklostationarer Proze6 mittleres Leistungsdichtespek­

trum, 194