A Begriffe aus der Kombinatorik

Eine Permutation IIN ist eine Anordnung von N Elementen in einer be­stimmten Reihenfolge.

Die AnzahilIIN I der Permutationen N verschiedener Elemente ist

Beispiel: Sitzordnung in einer Klasse

Befinden sich unter den N Elementen K gleiche (K $ N), ist die Anzahl

!II~)! der Permutationen (mit Wiederholung)

!II(K) I = N! N K!·

Beispiel: 16 Sitzplätze werden mit je einer Tasche belegt. 4 der 16 Taschen sind gleich. Wie viele unterscheidbare Permutationen gibt es?

.1 (4) 1_ 16! Antwort. II16 - 4!

Die Anzahl ! II~ 10 K2 • ...• KM) 1 der Permutationen von N Elementen, die

sich in M Gruppen mit jeweils K I , K 2 , ••• , KM gleichen Elementen (E~=1 Km = N) einteilen lassen, ist

A Begriffe aus der Kombinatorik 209

Beispiel: Aus den fünf Ziffern 4,4,5,5,5 lassen sich

In(2,3)1 = ~ = 10 5 2!3!

verschiedene fünfstellige Zahlen bilden.

Eine Kombination et) ist eine Auswahl von K Elementen aus N Ele­menten ohne Beachtung der Reihenfolge.

Die Anzahl let) I der Möglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K

Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, wobei jedes der N Elemente höchstens einmal in einer Kombination auftreten darf (Kombina­tion ohne Wiederholung), ist

let)1 = (~), K ~ N.

Beispiel: Beim Lotto gibt es (~) Möglichkeiten 6 aus 49 Zahlen anzu­kreuzen.

Die Anzahl let) I der Möglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge, aber bei Zulassung beliebig vieler Wiederholungen jedes der Elemente, auszuwählen, ist

Beispiel: Mit K Würfeln sind

verschiedene Würfe möglich. Für 2 Würfel gilt also

Eine Variation vi:) ist eine Auswahl von K aus N Elementen unter Be­achtung der Reihenfolge.

210 A Begriffe aus der Kombinatorik

Die Anzahl !V~K>! der Möglichkeiten, aus N verschiedenen Elementen K unter Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, ist

Beispiel: 30 Personen nehmen an einer Wahlveranstaltung teil. Wieviele Möglichkeiten gibt es, einen aus einem Vorsitzenden, seinem Stellvertreter, einem 1. und einem 2. Beisitzer bestehenden Wahlvorstand zu benennen?

Antwort: 4!e~) = 657720

Wenn von den N verschiedenen Elementen in einer Variation einzelne auch mehrfach auftreten dürfen, liegt eine Variation mit Wiederholung vor. Für ihre Anzahl gilt

!vff'>! = NK. Beispiel: Mit einem Byte (8 Bit) sind 28 = 256 verschiedene Zeichen darstellbar .

Die Ergebnisse dieses Anhangs sind in Bild A-I zusammengefaßt dargestellt.

Art der Auswahl von K aus N Elementen

Permutationen Kombinationen Variationen

ohne Wiederholung N! ( ~ ) K!( ~ )

N! mit Wiederholung K! ( N\K-l ) NK

Bild A-l: Kombinatorik, Anzahl der Möglichkeiten

B Die Fouriertransformation

Die Fouriertransformation ordnet einer Funktion x(t) aus einem Funk­tionenraum U eine Funktion X (J) aus einem anderen Funktionenraum V umkehrbar eindeutig zu. In der Technik wird x(t) häufig als Zeitfunktion interpretiert. D.h. x(t) ist ein reell- oder komplexwertiges Signal.

Definition B-1

Für die integrierbare Funktion x(t) ist durch

00

X(J) = f x(t)e-i21fft dt (B-l) -00

deren Fouriertransformierte gegeben.

Bemerkungen:

(i) Der Zusammenhang zwischen x(t) und X(J) wird kurz durch x(t) o-e X(f) beschrieben.

(il) Die Fouriertransformation ist zunächst nur für integrierbare Funktio­nen erklärt. Diese Funktionen bilden einen Vektorraum LI. Durch den Satz von Plancherel ([KF75], S.436ff.) kann die Fouriertransformation auch für den Raum L2 der technisch bedeutsamen quadratintegrablen Funktionen eingeführt werden. Signale x(t) E L2 besitzen endliche Energie. Darüber hinaus kann die Definition der Fouriertransformation auch auf Distributionen erweitert werden ([Wal74], S.155 ff.). Formal gilt überall die Definitionsgleichung (B-l), mit der wir im folgenden auch rechnen werden.

Die inverse Fouriertransformation X(J) -..0 x(t) ist durch

00

x(t) = f X(J)e;i21f f t df (B-2)

-00

gegeben.

Es gelten folgende Rechenregeln der Fouriertransformation

212 B Die Fouriertransformation

1. Linearität Für beliebige Konstanten Cn und Signale xn(t), 0 ::; n ::; N, gilt

2. Konjugiert komplexe Signale

x*(t) o----e X*(-f)

3. Symmetrieeigenschaften

x(-t) o----e X(-f)

Re {x(t)} gerade {::> Re {X (J)} gerade

Re{x(t)} ungerade {::> Im {X (J)} ungerade

Im{x(t)} gerade {::} Im {X (J)} gerade

Im {x(t)} ungerade {::> Re {X (J)} ungerade

4. Maßstabsänderung, Skalierung Für alle a E R, a:f. 0, gilt

x(at) o----e ,!,X (~)

5. Zeitverschiebung Für alle to E R gilt

x(t - to) o----e e-i21rfto X(J)

6. Modulation Für alle 10 E R gilt

B Die Fouriertransformation

7. Differentiation der Zeitfunktion

dnx(t) o--e (j27rI)n X(J) dtn

8. Differentiation der Fouriertransformierten

9. Integration der Zeitfunktion

t ! x(r) dr o--e ~(J) + !X(O)Ö(J) J27r1 2

-00

10. Faltungssätze Für quadratintegrable Signale Xi(t); i = 1,2; gilt

Xl (t) * X2(t) o--e Xl (J) . X 2(J)

XI(t)· X2(t) o--e XI(J) * X 2(J)

213

(B-3)

Mit Gleichung (B-3) wollen wir uns etwas näher beschäftigen. Zunächst ist durch * eine Operation, die Faltung der Signale Xl (t) und X2(t) heißt, erklärt. Ausführlich schreibt sich die Faltung

00

XI(t)*X2(t) = ! xI(r)x2(t-r)dr. -00

Gemäß (B-3) wird aus der Faltung zweier Signale im Zeitbereich im Frequenzbereich das Produkt der zugehörigen Fouriertransformierten. Wir betrachten ein Zeitsignal s(t) mit Fouriertransformierter S(J) und eine Fouriertransformierte

{I für 1I1 ~ ~

H(n= . o für 1I1 > ~

(B-4)

Die Funktion H(J) charakterisiert einen (idealen) Tiefpaß, d.h. ein Sy­stem, das alle Frequenzen 1I1 ~ ~ unbeeinflußt läßt und alle Frequenzen 1I1 > ~ vollständig unterdrückt. Dies wird z.B. durch die Gültigkeit von

214 B Die Fouriertransformation

S(J) . H(J) = {S(J) für o für

111 ~ II 111> II

deutlich. Bezeichnen wir mit h(t) die inverse Fouriertransformierte von H(J), die sich aus Tabelle B-l bestimmen läßt, erhalten wir mit (B-3)

S(J) . H(J) = U(J) ~ u(t) = s(t) * h(t).

Die Faltung

00

u(t) = s(t) * h(t) = f s(r)h(t - r)dr -00

stellt das durch (ideale) Tiefpaßfilterung aus s(t) hervorgehende Signal dar. Die hier diskutierten Zusammenhänge sind in Bild B-l skizziert.

A, ~(II

" 1 I

- 8/2 8/2 - 812 8/2

Frequenzbereich S (tl . H (11 = U (11

I I I Zeitbereich s (tl * h (tl = u (tl

Bild B-l: Idealer Tiefpaß

Die Funktion

{I für 10 -ll ~ 111 ~ 10 + II

G(J) = o sonst

A, - 812 8/2

mit B « 10 charakterisiert einen (idealen) Bandpaß. Dieses System läßt alle Frequenzen, die von 10 höchstens einen Abstand von II besitzen, unbeeinflußt und unterdrückt alle anderen Frequenzen.

B Die Fouriertransformation

1 a--. 8(/) 1 1

cos(271" lot) a--. "28(/ + 10) + "28(/ - 10)

{I f" 1/1< F

Fsi(7I"Ft) a--. X(/) = ur 2" o für 1I1 > f

x(t) = a--. Tsi(7I"1T) {I für Itl < t o für Itl > t

1 1 "28(t + to) + "28(t - to) a--. cos(271"/to)

8(t) a--. 1

sin(271" lot) a--. ~8(/ + 10) - ~8(f - 10)

x(t) = { 1 fürt>O 1 1

a--. -8(f) + -. -o für t < 0 2 J271" I

-altl 2a

{-at

x(t) = e 0

{ t -at

x(t) = e 0

e , a > 0 a--. a2 + (271" J)2

fürt>O 1 ,a>O ~ ·2 I

fürt<O a+J 71"

fürt>O 1 ,a> 0 ~ 2

für t < 0 (a + j271"J)

00

1 ." I - ~ -Jslgn 7I"t 1

jsignt ~ -71"1

x(t) =.!:. ! x(A~ dA a--. (-jsignJ)X(f) 71" t-/\

-00

00 1 00

L 8( t - mT) a--. T L 8 (! - ;) m=-oo m=-oo

Tabelle B-l: Korrespondenzen zur Fouriertransformation

215

C Die d-Distribution

Um sowohl stetige als auch diskrete Zufallsvariablen einheitlich behandeln zu können, ist die Einführung der Ö-Distribution notwendig (vergleiche (4.1-12)). Dieser, auch in [Pap91] verfolgte Ansatz ist zwar mathematisch nicht korrekt, erweist sich jedoch für die Praxis als nützlich.

Mit der <>-Distribution Ö(X~ kann einem Punkt x = (Xl,X2, ••. ,XN)T im N -dimensionalen Raum R die Masse 1 zugeordnet werden, d.h. es gilt

f <>(x) dx = 1. (C-1)

RN

Genauer betrachtet ist die ö-Distribution ein stetiges lineares Funktional (Wal74], das jeder Funktion <p(x) seines Definitionsbereichs gemäß der Glei­chung

f <>(x)<p(x) dx = <p(6) (C-2)

RN

ihren Wert im Ursprung zuordnet. Darüber hinaus ergeben sich die Iden­titäten

f ö(x - xo)<p(x) dx = f ö(x)<p(x + xo) dx RN RN

(C-3)

! 6(ax)<p(x) dx = I~I ! 6(i)<p (~) di RN RN

1 ... = ~<p(O), a E lR, a i= O. (C-4)

C Die c5-Distribution 217

Bemerkungen:

(i) Über die Forderungen, die die Funktion tp(x) in (C-2) erfüllen muß, gibt die Distributionentheorie Auskunft [Wal74]. Im vorliegenden Buch wird stets davon ausgegangen, daß die verwendeten Funktionen tp(x) so beschaffen sind, daß (C-2) gilt.

(ii) Es wird empfohlen, als Übung die Gleichungen (C-l) bis (C-4) für den Fall N = 1 aufzuschreiben und zu interpretieren!

Die c5-Distribution läßt sich für N = 1 z.B. durch eine Folge von Rechteck­pulsen

o für lxi> a/2 , a E R,a > 0

1 für Ixl:S; a/2

approximieren (Bild C-l). Betrachtet man nämlich die in einer Umgebung des Ursprungs stetige Funktion tp(x), ergibt sich

00

lim ~ ! rect (~) tp(x) dx a-+O a a

-00

j

lim ~ ! tp(x) dx a-+O a

00

= 11'(0) (~2) ! c5(x)tp(x) dx

-00

218 C Die 6-Distribution

... ! rect(~) : a a I

24

1 a=-

12

1 a=-

2 a=1

2

Bild C-1: Approximation der d-Distribution durch Rechteckimpulse (N = 1)

D Tabelle der Standardnormalverteilung

I x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11

0,00 0,5000000 0,38 0,6480272 0,76 0,7763727

0,02 0,5079783 0,40 0,6554217 0,78 0,7823045

0,04 0,5159534 0,42 0,6627572 0,80 0,7881446

0,06 0,5239221 0,44 0,6700314 0,82 0,7938919

0,08 0,5318813 0,46 0,6772418 0,84 0,7995458

0,10 0,5398278 0,48 0,6843863 0,86 0,8051054

0,12 0,5477584 0,50 0,6914624 0,88 0,8105703

0,14 0,5556700 0,52 0,6984682 0,90 0,8159398

0,16 0,5635594 0,54 0,7054014 0,92 0,8212136

0,18 0,5714237 0,56 0,7122602 0,94 0,8263912

0,20 0,5792597 0,58 0,7190426 0,96 0,8314723

0,22 0,5870644 0,60 0,7257468 0,98 0,8364569

0,24 0,5948348 0,62 0,7323711 1,00 0,8413447

0,26 0,6025681 0,64 0,7389137 1,02 0,8461357

0,28 0,6102612 0,66 0,7453730 1,04 0,8508300

0,30 0,6179114 0,68 0,7517477 1,06 0,8554277

0,32 0,6255158 0,70 0,7580363 1,08 0,8599289

0,34 0,6330717 0,72 0,7642375 1,10 0,8643339

0,36 0,6405764 0,74 0,7703500 1,12 0,8686431

220 D Tabelle der Standardnormalverteilung

1 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11

1,14 0,8728568 1,64 0,9494974 2,14 0,9838226

1,16 0,8769755 1,66 0,9515427 2,16 0,9846136

1,18 0,8809998 1,68 0,9535213 2,18 0,9853712

1,20 0,8849303 1,70 0,9554345 2,20 0,9860965

1,22 0,8887675 1,72 0,9572837 2,22 0,9867906

1,24 0,8925123 1,74 0,9590704 2,24 0,9874545

1,26 0,8961653 1,76 0,9607960 2,26 0,9880893

1,28 0,8997274 1,78 0,9624620 2,28 0,9886961

1,30 0,9031995 1,80 0,9640696 2,30 0,9892758

1,32 0,9065824 1,82 0,9656204 2,32 0,9898295

1,34 0,9098773 1,84 0,9671158 2,34 0,9903581

1,36 0,9130850 1,86 0,9685572 2,36 0,9908625

1,38 0,9162066 1,88 0,9699459 2,38 0,9913436

1,40 0,9192433 1,90 0,9712834 2,40 0,9918024

1,42 0,9221961 1,92 0,9725710 2,42 0,9922397

1,44 0,9250663 1,94 0,9738101 2,44 0,9926563

1,46 0,9278549 1,96 0,9750021 2,46 0,9930531

1,48 0,9305633 1,98 0,9761482 2,48 0,9934308

1,50 0,9331927 2,00 0,9772498 2,50 0,9937903

1,52 0,9357445 2,02 0,9783083 2,52 0,9941322

1,54 0,9382198 2,04 0,9793248 2,54 0,9944573

1,56 0,9406200 2,06 0,9803007 2,56 0,9947663

1,58 0,9429465 2,08 0,9812372 2,58 0,9950599

1,60 0,9452007 2,10 0,9821355 2,60 0,9953388

1,62 0,9473838 2,12 0,9829969 2,62 0,9956035

D Tabelle der Standardnormalverteilung 221

I x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11 x 11 ~(x) 11

2,64 0,9958546 3,10 0,9990323 4,10 0,9999793

2,66 0,9960929 3,15 0,9991836 4,15 0,9999833

2,68 0,9963188 3,20 0,9993128 4,20 0,9999866

2,70 0,9965330 3,25 0,9994229 4,25 0,9999893

2,72 0,9967359 3,30 0,9995165 4,30 0,9999914

2,74 0,9969280 3,35 0,9995959 4,35 0,9999931

2,76 0,9971099 3,40 0,9996630 4,40 0,9999945

2,78 0,9972820 3,45 0,9997197 4,45 0,9999957

2,80 0,9974448 3,50 0,9997673 4,50 0,9999966

2,82 0,9975988 3,55 0,9998073 4,55 0,9999973

2,84 0,9977443 3,60 0,9998408 4,60 0,9999978

2,86 0,9978817 3,65 0,9998688 4,65 0,9999983

2,88 0,9980116 3,70 0,9998922 4,70 0,9999986

2,90 0,9981341 3,75 0,9999115 4,75 0,9999989

2,92 0,9982498 3,80 0,9999276 4,80 0,9999992

2,94 0,9983589 3,85 0,9999409 4,85 0,9999993

2,96 0,9984618 3,90 0,9999519 4,90 0,9999995

2,98 0,9985587 3,95 0,9999609 4,95 0,9999996

3,00 0,9986501 4,00 0,9999683 5,00 0,9999997

3,05 0,9988557 4,05 0,9999743

Die Werte sind hinter der 7. Nachkommastelle abgeschnitten.

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Index

absolutes zentrales Moment k-ter Ordnung, 59

absorbierender Zustand, 191 Autokorrelationsfolge eines zeit­

diskreten Zufallsprozes­ses, 166

Autokorrelationsfunktion, 156 Autokorrelationsfunktion eines

ergodischen Prozesses, 162

Autokovarianzfolge eines zeitdis­kreten Zufallsprozesses, 166

Autokovarianzfunktion, 157 Autokovarianzfunktion eines er­

godischen Prozesses, 162

Bandpaß, 214 Bernoullisches Versuchsschema,

77

charakteristische Funktion, 60

de MORGANsche Formeln, 8 8-Distribution, 216 Dichte, 41

bedingte, 109 mehrdimensionale, 105

Differenz von Mengen, 6 Dispersion, 57 Durchschnitt, 6

Eigenschaften von Verteilungs-funktionen, 39

Elementarereignis, 5 Energiesignale, 163 Ereignis, 5

entgegengesetztes, 6 Komplement, 7 Negation, 7 sicheres, 5 Teilereignis, 6 unmögliches, 5

Ereignisdisjunktion vollständige, 13

Ereignisse disjunkte, 8 unabhängige, 31 unvereinbare, 8 vollständig unabhängige, 32 zufällige, 1

Ergebnisraum endlicher, 5

Ergebnisse, 5 Ergodenhypothese, 161 ergodisch bezüglich g, 161 Erlangdichte, 199 Erwartungswert, 54

bedingter, 110 erzeugende Funktion, 62

Faltung, 213 Fehlerfunktion

Index

gaußsche, 92 komplementäre, 92

Formel von Bayes, 30 Formel von der totalen Wahr­

scheinlichkeit, 30 Formel von der totalen Wahr­

scheinlichkeit für Dich­ten, 110

Fouriertransformation, 211 inverse, 211 Rechenregeln der, 211

Fouriertransformierte, 211 Funktionen zweidimensionaler

Zufallsvariablen, 114

Galtonsches Brett, 132 Gammafunktion, 95 Gaußprozeß, 157 gemeinsam stationäre stochasti­

sche Prozesse, 158

Häufigkeit absolute, 9 relative, 9

Eigenschaften, 10

Indikatorfunktion, 124 innere Zustände, 191

Kolmogoroffsche Axiome, 14 Kombination, 209 Korrelationskoeffizient, 111 Kovarianz, 111 Kovarianz komplexer Zufallsva­

riablen, 119 Kovarianzmatrix, 113 Kreuz-Leistungsdichtespektrum

gemeinsam stationärer Prozesse, 165

Kreuzkovarianzfunktion, 158

225

Kreuzkovarianzfunktion gemein­sam ergodischer Prozes­se, 163

Kreuzkorrelationsfunktion, 158 Kreuzkorrelationsfunktion ge-

meinsam ergodischer Prozesse, 163

k-tes Moment, 56 k-tes Moment eines ergodischen

Prozesses, 162 k-tes Moment eines zeitdiskreten

Zufallsprozesses, 166 k-tes zentrales Moment, 56 k-tes zentrales Moment eines er­

godischen Prozesses, 162

Laplacesches Zufallsexperiment, 10

Leistungsdichtespektrum eines stationären stochasti-schen Prozesses, 163

Leistungssignale, 163 Leistungsdichtespektrum zeitdis­

kreter stationärer Pro-zesse, 166

Markoffkette, 185 absorbierende, 191 homogene, 186

Markoffscher Prozeß, 184 Median, 59 mehrdimensionale Verteilungs-

funktion, 105 Mittelwert, 54 mittlere Ankunftsrate, 181 mittlere Leistung, 156 mittlere Leistung zeitdiskreter

Prozesse, 166 mittleres Leistungsdichtespek-

trum eines zyklosta-

226

tionären Prozesses, 196

Modalwert, 59 Multiplikationsregel für Wahr­

scheinlichkeiten, 28

normaler Prozeß, 157 Normalverteilung, 58, 90

k-tes zentrales Moment, 90 charakteristische Funktion,

91 Erwartungswert, 90 Varianz, 90 zweidimensionale, 105

Periodische Signale, 163 Permutation, 208 Poissonprozeß, 179 Poissonverteilung, 80 p-tes Quantil, 59

Q-Funktion, 93

Rand, 191 Randdichten, 108 Rayleigh-Verteilung, 122

Satz von Bayes für Dichten, 110 Scharmittelwert, 155 a-Algebra, 12

Boreische, 13 Standardabweichung, 57 Standardnormalverteilung, 42

zweidimensionale, 107 stochastische Matrix, 187 stochastische Prozesse

gemeinsam stationäre, 158 orthogonale, 159 unkorrelierte, 159

stochastische Vektoren, 187 stochastischer Prozeß, 153

ergodischer, 161 komplexer, 159 normaler, 157 Pfad,153

Index

Realisierung, 153 Scharmittelwert, 155 schwach stationärer, 156 stark stationärer, 154 Stationarität, 157 Zeitmittelwert, 161 zyklostarionärer, 195

Tiefpaß, 213 Tschebyscheffsche Ungleichung,

125

Übergangsgraph, 188 Übergangswahrscheinlichkeiten Iv­

ter Stufe, 185 Unabhängigkeit

Ereignisse, 31 Zufallsvariablen, 111

Varianz, 57 Variation, 209 Vereinigung, 6 Verteilungsfunktion, 38

Eigenschaften, 39 Verteilungsfunktion einer mehrdi­

mensionalen Zufallsva­riablen, 105

Wahrscheinlichkeit, 10, 14 aposteriori, 30 apriori, 30 bedingte, 27 Konvergenz in, 126

Wahrscheinlichkeitselement, 43 Wahrscheinlichkeitsraum, 14 weißes Gaußsches Rauschen, 175

Index

zeitdiskrete Zufallsprozesse, 165 Autokorrelationsfolge, 166 Autokovarianzfolge, 166 kotes Moment, 166 mittlere Leistung, 166 stationäre, 166

Leistungsdichtespektrum, 166

zeitlicher Mittelwert der Realisie-rung x(t), 161

Zeitmittelwert, 161 Zeitparametermenge, 185 zentraler Grenzwertsatz, 129 Zufallsexperiment, 5

Laplacesches, 10 Zufallsvariable, 38

Erwartungswert, 54 absolutes zentrales Moment

k-ter Ordnung, 59 cauchyverteilte, 53 charakteristische Funktion,

60 diskrete, 40 Dispersion, 57 erzeugende Funktion, 62 exponentialverteilte, 88 gaußverteilte, 90 gleichverteilte, 86 komplexe, 118 mehrdimensionale, 104 nichtzentral X~-verteilte,

123 normalverteilte, 90 poissonverteilte, 81 rayleighverteilte, 96, 122 riceverteilte, 123 stetige, 40 unabhängige, 111 unkorrelierte, 112

227

verallgemeinert riceverteilte, 123

verallgemeinert rayleighver­teilte, 122

weibullverteilte, 94 zentral x~-verteilte, 122

Zustand, 191 Zustandsmege, 185 zweidimensionale Normalvertei-

lung, 105 zweidimensionale Standardnor­

malverteilung, 107 zyklostarionärer stochastischer

Prozeß, 195 zyklostationärer Prozeß

mittleres Leistungsdichte-spektrum, 196