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EINIGE NUTZLICHE ONLINE-DIENSTE A
A. Einige nutzliche Online-Dienste
• National Institute of Standards and Technology (NIST)
http://www.nist.gov/
– http://www.nist.gov/pml/data/ (Physical Reference Data)
– http://webbook.nist.gov/chemistry/ (NIST Chemistry WebBook)
– http://physics.nist.gov/cuu/ (Physikalische Konstanten)
– http://kinetics.nist.gov/janaf/ (JANAF Thermochemical Tables)
• International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC)
http://www.iupac.org/
– ”Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry”(Green Book)
– verschiedene Datenbanken
• National Nuclear Data Center (NNDC)
http://www.nndc.bnl.gov/ (Nuklidkarte)
• “CRC Handbook of Chemistry and Physics”
http://www.hbcpnetbase.com/ (ETH Lizenz)
159
A EINIGE NUTZLICHE ONLINE-DIENSTE
160
PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE B
B. Periodensystem der Elemente
Auf der nachfolgenden Seite ist das Periodensystem der Elemente aufgefuhrt. In den
Spalten sind die einzelnen Gruppen (nummeriert von 1 bis 18) und in den Zeilen die
Perioden aufgelistet.
Die einzelnen Kastchen enthalten Informationen zu den Elementen:
1. Zeile: Ordnungszahl
2. Zeile: Symbol des chemischen Elements
3. Zeile: Deutscher Name des chemischen Elements
4. Zeile: Standard-Atommasse (gewichteter Mittelwert der Massen der stabilen Iso-
tope) mit Angabe der Standardabweichung. Falls nur ein Wert angegeben ist
mit einem zusatzlichen Bereich in der 5. Zeile, handelt es sich um ein Element,
dessen Isotopenzusammensetzung in der Natur nicht konstant ist. Dabei soll der
angegebene Wert der Standard-Atommasse (4. Zeile) fur Berechnungen verwen-
det werden.
Literatur
[IUPAC (2013)] International Union of Pure and Applied Chemistry, online http://www.iupac.org,
Stand 19. Juni 2013.
[Wieser (2013)] Michael E. Wieser, Norman Holden, Tyler B. Coplen, John K. Bohlke, Michael Berg-
lund, Willi A. Brand, Paul De Bievre, Manfred Groning, Robert D. Loss, Juris Meija, Takafumi
Hirata, Thomas Prohaska, Ronny Schoenberg, Glenda O’Connor, Thomas Walczyk, Shige Yone-
da und Xiang-Kun Zhu, Atomic weights of the elements 2011 (IUPAC Technical Report) in
Pure and Applied Chemistry 85(5), S. 1047–1078 (2013)
161
B PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE
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162
AUSGEWAHLTE PHYSIKALISCHE KONSTANTEN C
C. Ausgewahlte physikalische Konstanten
Grosse Symbol Zahlenwert Einheit
Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum
c, c0 299 792 458 m s−1 (exakt)
Planck-Konstante h 6.626 070 040(81) · 10−34 J s
= h2π
1.054 571 817 · 10−34 J s (exakt)
Elementarladung e 1.602 176 634 · 10−19 C (exakt)
Boltzmann-Konstante k, kB 1.380 648 52(79) · 10−23 J K−1 (exakt)
Avogadro-Konstante NA, L 6.022 140 857(74) · 1023 mol−1 (exakt)
Molare Gaskonstante R 8.314 459 8(48) J mol−1 K−1
R = NAk (exakt)
Permeabilitat des µ0 ≈ 4π · 10−7 N A−2
Vakuums ≈ 12.5663706212(19) · 10−7 N A−2
Permittivitat des
Vakuums
ε0 = 1µ0c
20
ε0 8.854 187 812 8(13) · 10−12 F m−1
Gravitationskonstante G 6.674 30(15) · 10−11 m3 kg−1 s−2
Ruhemasse des Elektrons me 9.109 383 701 5(28) · 10−31 kg
5.485 799 090 70(16) · 10−4 u
Ruhemasse des Protons mp 1.672 621 923 69(51) · 10−27 kg
1.007 276 466 879(91) u
Ruhemasse des Neutrons mn 1.674 927 498 04(95) · 10−27 kg
1.008 664 915 88(49) u
Ruhemasse des mα 6.644 657 230(82) · 10−27 kg
α-Teilchens 4.001 506 179 127(63) u
Vereinheitlichte atomare
Masseneinheit
mu = 112m(12C) = 1 u
mu 1.660 539 040(20) · 10−27 kg
Rydbergkonstante
R∞ = mee4
8ε20h3c
R∞ 109 737.315 685 08(65) cm−1
Bohrscher Radius
a0 = 4πε02
mee2
a0 0.529 177 210 67(12) · 10−10 m
Fortsetzung auf der nachsten Seite
163
C AUSGEWAHLTE PHYSIKALISCHE KONSTANTEN
Grosse Symbol Zahlenwert Einheit
Bohr-Magneton
µB = e2me
µB 9.274 009 994(57) · 10−24 J T−1
Kern-Magneton
µN = e2mp
µN 5.505 783 699(31) · 10−27 J T−1
Elektron-g-Faktor ge −2.002 319 304 361 82(52)
Kern-g-Faktor gp 5.585 694 702(17)
Literatur
[Mohr (2015)] Peter J. Mohr, David B. Newell und Barry N. Taylor, CODATA Recommended
Values of the Fundamental Physical Constants: 2014, arXiv:1507.07956v1, (Publiziert am 21.
Juli 2015).
164
MATHEMATISCHE HILFSMITTEL D
D. Mathematische Hilfsmittel
Berechnung und Eigenschaften des Vektorproduktes
Das Vektorprodukt ~c = ~a×~b zwischen zwei Vektoren ~a und ~b ergibt wiederum einen
Vektor mit den folgenden Eigenschaften:
• ~c steht senkrecht auf ~a und auf ~b.
• ~a, ~b und ~c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshandiges Koordinatensystem. Die
Richtung von ~c kann mit Hilfe der rechten Hand bestimmt werden. Wenn der Dau-
men entlang von ~a und der Zeigefinger entlang von ~b zeigt, dann zeigt der um 90
gegen die Handflache gebeugte Mittelfinger in Richtung von ~c.
• Der Betrag |~c | = |~a×~b | von ~c ist gleich der Flache des von ~a und ~b aufgespannten
Parallelogramms. Somit gilt
|~c | = |~a×~b | = |~a ||~b | sinα ,
wobei α dem Winkel zwischen den beiden Vektoren ~a und ~b entspricht.
Fur das Vektorprodukt gelten allgemein die folgenden Beziehungen:
~a×~b = −~b× ~a ,(~a×~b
)× ~d 6= ~a×
(~b× ~d
),
~a×(~b+ ~d
)= ~a×~b+ ~a× ~d .
Zudem gilt, dass ~a und ~b parallel oder antiparallel sind, falls ~a×~b = ~0 ist.
Falls die Vektoren ~a und ~b dreidimensional sind, lassen sich die Komponenten von ~c
gemass
~c =
cxcycz
= ~a×~b =
axayaz
× bx
bybz
=
aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx
(D.1)
berechnen. Analog ist die Formulierung mit Hilfe von Determinanten:
~c =
cxcycz
= ~a×~b =
axayaz
× bx
bybz
=
∣∣∣∣ ay byaz bz
∣∣∣∣−∣∣∣∣ ax bxaz bz
∣∣∣∣∣∣∣∣ ax bxay by
∣∣∣∣
,
wobei die vorkommenden 2× 2-Determinanten wie folgt definiert sind:∣∣∣∣ p q
r s
∣∣∣∣ = ps− qr .
165
D MATHEMATISCHE HILFSMITTEL
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen sind definiert als Ableitungen einer Funktion mehrerer Varia-
blen, bei denen alle Variablen ausser jener, nach der abgeleitet wird, konstant gehalten
werden. Die partielle Ableitung ihrerseits ist aber in der Regel wieder eine Funktion
aller Variablen. Fur eine Funktion f(x1, ..., xi, ..., xj , ..., xn) von n Variablen gilt:
∂f
∂xi≡ limh→0
f(x1, ..., xi + h, ..., xj , ..., xn)− f(x1, ..., xi, ..., xj , ..., xn)
h.
Im Fall einer zweidimensionalen Funktion g(x, y) entspricht ∂g∂x
der Steigung der
Schnittkurve zwischen der Funktion g(x, y) und einer zur xz-Ebene parallelen Ebe-
ne. Analog gibt ∂g∂y
die Steigung der Schnittkurve zwischen g(x, y) und einer Par-
allelebene zur yz-Ebene wieder. Dies ist in Abbildung D.1 fur die Beispielfunktion
g(x, y) = x+ y2 − x3y illustriert.
y
3
x
2
−2
z
30
Abbildung D.1.: Illustration von
partiellen Ableitungen am Beispiel
der Funktion z = g(x, y) = x +
y2 − x3y. Die fett gezogenen Linien
stellen die Schnittkurven der Funkti-
on f mit den Ebenen x = x0 = 1
respektive y = y0 = 2 dar. Die
Steigung dieser Kurven entspricht im
ersten Fall der partiellen Ableitung
von g nach y, d. h.(∂g(x0,y)
∂y
)x=x0
an der Stelle x = x0, im zweiten
Fall der partiellen Ableitung von g
nach x an der Stelle y = y0, d. h.(∂g(x,y0)
∂x
)y=y0
. Verandert man x0
oder y0, sehen die Schnittkurven-
verlaufe mit den zur xz- respekti-
ve zur yz-Ebene parallelen Ebenen
anders aus. Demnach verandern sich
auch die partiellen Ableitungen, so-
dass diese in der Regel Funktionen
beider Variablen x und y sind.
In gleicher Weise konnen auch hohere partielle Ableitungen wie zum Beispiel ∂2f
∂x2i
oder ∂2f∂xi∂xj
definiert werden. Wird bei hoheren partiellen Ableitungen nicht immer
nach derselben Variablen abgeleitet, spricht man von gemischten partiellen Ableitun-
gen. Dabei spielt die Reihenfolge der Ableitungen nach den einzelnen Variablen im
Normalfall keine Rolle (Satz von Schwarz), sodass etwa Beziehungen wie
∂2f
∂xi∂xj=
∂2f
∂xj∂xi,
oder
∂3f
∂x2i ∂xj
=∂3f
∂xi∂xj∂xi=
∂3f
∂xj∂x2i
gelten.
166
MATHEMATISCHE HILFSMITTEL D
Anstelle von ∂g∂x
, ∂2g∂x2 , ∂2g
∂x∂yusw. wird teilweise auch gx, gxx, gxy usw. geschrieben.
Unter der zu Beginn erwahnten Voraussetzung konnen beim Berechnen von partiellen
Ableitungen dieselben Ableitungsregeln wie bei Funktionen einer einzelnen Variablen
angewendet werden. Fur die Beispielfunktion g(x, y) erhalt man demnach:
∂g
∂x= gx(x, y) = 1− 3x2y
∂g
∂y= gy(x, y) = 2y − x3
∂2g
∂x2= gxx(x, y) =
∂gx
∂x= −6xy
∂2g
∂y2= gyy(x, y) =
∂gy
∂y= 2
∂2g
∂x∂y= gxy(x, y) =
∂gx
∂y= −3x2 (D.2)
∂2g
∂y∂x= gyx(x, y) =
∂gy
∂x= −3x2 (D.3)
Die Gleichungen (D.2) und (D.3) demonstrieren die Vertauschbarkeit der Reihenfolge
bei gemischten partiellen Ableitungen.
Die partielle Ableitung einer Vektorfunktion berechnet man, indem die partiellen
Ableitungen der einzelnen Komponenten bestimmt werden.
167
D MATHEMATISCHE HILFSMITTEL
168
DAS SI-EINHEITENSYSTEM E
E. Das SI-Einheitensystem
Sehr haufig hat man zur Angabe des Werts einer physikalischen Grosse die Wahl zwi-
schen mehreren Einheiten:
Volumen: m3, L
Temperatur: K, CEnergie: J, cal, eV
Druck: Pa, bar, Torr
Um Komplikationen und Umrechnungsfehler zu vermeiden, wird empfohlen, generell
nur das SI-Einheitensystem zu verwenden. Die internationale Abkurzung SI steht
fur Systeme international d’unites (internationales Einheitensystem), welches von
der CGPM (Conference generale des poids et mesures) eingefuhrt und festgelegt
wurde. Es handelt sich um ein vollstandiges Einheitensystem, das auf sieben eindeutig
definierten SI-Basiseinheiten, die in Tabelle E.1 zusammengefasst sind, aufgebaut
ist. Die momentan gultigen Definitionen der SI-Basiseinheiten sind im Anhang E.1
zusammengestellt.
Tabelle E.1.: Zusammenstellung der sieben SI-Basiseinheiten.
Physikalische Grosse Name der SI-Einheit Symbol der SI-Einheit
Lange Meter m
Masse Kilogramm kg
Zeit Sekunde s
Elektrische Stromstarke Ampere A
Thermodynamische Temperatur Kelvin K
Stoffmenge Mol mol
Lichtstarke Candela cd
Daneben existieren abgeleitete SI-Einheiten, die als Produkte von Potenzen der
SI-Basiseinheiten ausgedruckt werden. In Anhang E.2 ist eine Zusammenstellung von
abgeleiteten SI-Einheiten mit speziellen Namen und Symbolen aufgefuhrt.
Im SI-Einheitensystem, welches standig weiterentwickelt und den Bedurfnissen der An-
wender angepasst wird, gibt es nur eine SI-Einheit fur jede physikalische Grosse — ent-
weder die SI-Basiseinheit selbst oder die entsprechende abgeleitete SI-Einheit. Trotzdem
begegnet man in vielen wissenschaftlichen und technischen Publikationen weiterhin Ein-
heiten, die vom SI-Einheitensystem abweichen, was oft auf Gewohnheit zuruckzufuhren
ist.
169
E DAS SI-EINHEITENSYSTEM
Beispiel E-1: Umrechnung in SI-Einheiten
Der Wert der universellen Gaskonstante betragt:
R = 82.057 338 atm cm3 mol−1 K−1
= 82.057 338 · (101 325 Pa) · (10−6 m3) mol−1 K−1
= 82.057 338 · 101 325 · 10−6 Pa m3 mol−1 K−1
= 8.314 459 8 Pa m3 mol−1 K−1
= 8.314 459 8 J mol−1 K−1 .
Die letzte Umformung folgt aus der Definition des Pascals und des Joules aus den
SI-Basiseinheiten: 1 Pa = 1 kg m−1 s−2, 1 J = 1 kg m2 s−2.
Ist der Zahlenwert einer physikalischen Grosse sehr klein oder sehr gross, kann anstelle
von Zehnerpotenzen auch ein SI-Prafix (siehe unten) in Kombination mit einem Einhei-
tensymbol verwendet werden. So gilt zum Beispiel 1 kΩ = 103 Ω oder 1 pF = 10−12 F.
In Kombination mit C werden keine SI-Prafixe benutzt.
Teil Prafix Symbol Vielfaches Prafix Symbol
10−1 Dezi d 10 Deka da
10−2 Zenti c 102 Heko h
10−3 Milli m 103 Kilo k
10−6 Mikro µ 106 Mega M
10−9 Nano n 109 Giga G
10−12 Pico p 1012 Tera T
10−15 Femto f 1015 Peta P
10−18 Atto a 1018 Exa E
10−21 Zepto z 1021 Zetta Z
10−24 Yocto y 1024 Yotta Y
Wenn ein Prafix mit einem Einheitensymbol benutzt wird, stellt die Kombination ein
neues Symbol dar, das ohne Klammern potenziert werden kann. So gilt beispielsweise
cm2 = (cm)2 = (0.01 m)2 = 10−4 m2 .
Zudem sollte man ein Prafix nicht allein benutzen und Prafixe nicht kombinieren. Letz-
teres gilt auch fur die SI-Basiseinheit der Masse, das Kilogramm (kg), welche bereits
ein Prafix enthalt. Hier konstruiert man Namen und Symbole der Dezimalvielfachen,
indem das entsprechende Prafix dem Wort Gramm und dem Symbol g hinzugefugt
wird. Man schreibt also mg und nicht µkg oder Mg und nicht kkg.
170
DAS SI-EINHEITENSYSTEM E
Beispiel E-2: Potenzen von Einheitensymbolen mit SI-Prafixen
6 cm3 = 6 · (0.01 m)3 = 6 · 10−6 m3
1.7µs−1 = 1.7 · (10−6 s)−1 = 1.7 · 106 s−1
1 V/cm =1 V
0.01 m= 100 V/m (E.1)
5.2 mmol/dm3 = 5.2 · 10−3 mol
(10−1 m)3= 5.2 mol/m3 (E.2)
Obwohl sowohl die Schreibweise mit Bruchstrichen (wie beispielsweise in den Glei-
chungen (E.1) und (E.2)) als auch diejenige mit Potenzen zugelassen ist, ist Letztere
vorzuziehen:
1 V cm−1 = 100 V m−1 ,
1 mmol dm−3 = 1 mol m−3 .
Beispiel E-3: Rechnen mit physikalischen Grossen und Umformen von Einheiten
Fur ein ideales Gas sind der Druck p, das Volumen V , die (absolute) Temperatur T
und die Stoffmenge n gemass dem idealen Gasgesetz
pV = nRT
miteinander verknupft. Die Konstante R = 8.314 459 8 J mol−1 K−1 heisst universelle
Gaskonstante. Der Druck bei 298 K im Inneren eines 500 dm3 grossen Gefasses, in
dem sich 100 mmol eines sich ideal verhaltenden Gases befindet, betragt:
p =nRT
V=
100 mmol · 8.314 459 8 J mol−1 K−1 · 298 K
500 dm3
=0.100 · 8.314 459 8 · 298
0.500· mol J mol−1 K−1 K
m3
= 4.96 · 102 J m−3 = 4.96 · 102 N m m−3 = 4.96 · 102 N m−2
= 4.96 · 102 Pa = 496 Pa.
Der Zahlenwert bei den Berechnungen soll jeweils auf eine vernunftige Anzahl Stellen
gerundet werden. Es hat keinen Sinn, Resultate auf beispielsweise neun Stellen genau
anzugeben, wenn bei deren Berechnung Grossen einfliessen, die nur auf die ersten drei
Stellen genau bekannt sind.
E.1. Definitionen der SI-Basiseinheiten
• Meter (m)
Der oder das Meter ist die Weglange, die Licht im Vakuum innerhalb eines Zeitinter-
valls von 1/299 792 458 einer Sekunde zurucklegt.
171
E DAS SI-EINHEITENSYSTEM
• Sekunde (s)
Die Sekunde ist die Dauer von 9 192 631 770 Perioden der Strahlung, die dem Ubergang
zwischen zwei Hyperfein-Niveaus des Grundzustands des Casium-133-Atoms ent-
spricht.
• Kilogramm (kg)
Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist uber den Wert der Planckschen
Konstante h = 6.626 070 15 · 10−34 J s (J = kg m2 s−2) und die Definitionen von
Meter und Sekunde festgelegt.
• Ampere (A)
Das Ampere ist uber den Wert der Elementarladung e = 1.602 176 634 · 10−19 C
(C = A s) und die Definition der Sekunde festgelegt.
• Kelvin (K)
Das Kelvin, Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist uber den Wert der Boltz-
mannkonstante k = 1.380 649 ·10−23 J K−1 (J = kg m2 s−2) und die Definitionen von
Kilogramm, Meter und Sekunde festgelegt.
• Mol (mol)
Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das 6.022 140 76 · 1023 Elementareinheiten
enthalt. Dies konnen Atome, Molekule, Ionen, Elektronen und andere Teilchen oder
spezifizierte Gruppen solcher Teilchen sein.
• Candela (cd)
Die Candela ist die Lichtstarke in einer gegebenen Richtung, die eine Lichtquelle mit
monochromatischer Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz emittiert und die eine
Strahlungsintensitat in dieser Richtung von 1/683 Watt pro Steradiant hat.
172
DAS SI-EINHEITENSYSTEM EE.2. Abgeleitete SI-Einheiten mit speziellen Namen und
Symbolen
Physikalische Name der Symbol der Ausdruck in Form
Grosse SI-Einheit SI-Einheit von SI-Basiseinheiten
Frequenzi Hertz Hz s−1
Kraft Newton N m kg s−2
Druck Pascal Pa N m−2 = m−1 kg s−2
Energie, Arbeit,Joule J N m = m2 kg s−2
Warmemenge
Leistung Watt W J s−1 = m2 kg s−3
elektrische Ladung Coulomb C A s
elektrische Spannung,Volt V J C−1 = m2 kg s−3 A−1
elektromotorische Kraft
elektrischer Widerstand Ohm Ω V A−1 = m2 kg s−3 A−2
elektrischer Leitwert Siemens S Ω−1 = m−2 kg−1 s3 A2
elektrische Kapazitat Farad F C V−1 = m−2 kg−1 s4 A2
magnetische Flussdichte Tesla T V s m−2 = kg s−2 A−1
magnetischer Fluss Weber Wb V s = m2 kg s−2 A−1
Induktivitat Henry H V A−1 s = m2 kg s−2 A−2
Celsius-Temperaturii Grad Celsius C K
Lichtstrom Lumen lm cd sr
Beleuchtungsstarke Lux lx cd sr m−2
Aktivitat (radioaktiv) Becquerel Bq s−1
absorbierte Strahlendosis Gray Gy J kg−1 = m2 s−2
Aquivalentdosis Sievert Sv J kg−1 = m2 s−2
ebener Winkeliii Radiant rad 1
Raumwinkeliii Steradiant sr 1
i Fur die Kreisfrequenz und die Winkelgeschwindigkeit sollte die Einheit rad s−1 oder einfach
s−1, aber nicht Hz benutzt werden. Die Einheit Hz sollte nur fur die Frequenz im Sinne von
Zyklen pro Sekunde verwendet werden.ii Die Celsius-Temperatur ist durch die Gleichung θ/C = T/K− 273.15 bestimmt. Die SI-Einheit
der Celsius-Temperatur ist das C, das dem Kelvin, K, gleich ist.iii Da die Einheiten Radiant und Steradiant die Dimension 1 haben, bleibt die Moglichkeit offen, sie
in Ausdrucken abgeleiteter SI-Einheiten einzubeziehen oder nicht. In der Praxis bedeutet das,
dass rad und sr benutzt werden konnen, wenn es angebracht erscheint, oder weggelassen werden
konnen, wenn dadurch die Eindeutigkeit nicht verloren geht.
173
E DAS SI-EINHEITENSYSTEM
E.3. Zusatzliche Einheiten im Gebrauch mit demSI-Einheitensystem
Diese Einheiten sind nicht Teil des SI-Einheitensystems, werden aber weiterhin im
entsprechenden Zusammenhang benutzt werden. Einigen dieser Einheiten konnen SI-
Prafixe beigestellt werden, zum Beispiel Milliliter (ml), Millibar (mbar), Megaelektro-
nenvolt (MeV), Kilotonne (kt).
Physikalische
Grosse
Name der
Einheit
Symbol fur
die Einheit
Wert in SI-Einheiten
Zeit Minute min 60 s
Zeit Stunde h 3600 s
Zeit Tag d 86 400 s
ebener Winkel Grad π180
rad
ebener Winkel Minute ′ π10 800
rad
ebener Winkel Sekunde ′′ π648 000
rad
Lange Angstrom A 10−10 m
Flache Barn b 10−28 m2
Volumen Liter l, L 10−3 m3
Masse Tonne t 103 kg
Druck Bar bar 105 Pa
Energie Elektronenvoltiv eV 1.602 176 620 8(98) · 10−19 J
Masse (vereinheitlichte)
atomare
Masseneinheitiv,v
u 1.660 539 040(20) · 10−27 kg
Literatur
[BIPM (2006)] Le Systeme international d’unites (SI), 8. Auflage (Franzosisch und Englisch),
Bureau international des poids et mesures (BIPM), Sevres, 2006.
iv Die Werte dieser Einheiten, ausgedruckt in SI-Einheiten, sind nicht exakt, weil sie von den
Werten der Naturkonstanten e (fur eV) und NA (fur u) abhangen, die experimentell bestimmt
werden.v Die (vereinheitlichte) atomare Masseneinheit wird manchmal auch Dalton genannt und mit
dem Symbol Da abgekurzt, obwohl Name und Symbol von der Conference generale des
poids et mesures (CGPM) nicht anerkannt werden.
174
TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE F
F. Tabelle der naturlichen Isotope
In Tabelle F.1 sind die naturlichen Elemente sowie deren stabile Isotope aufgelistet.
Jedes naturlich vorkommende Element ist dabei durch mindestens zwei Zeilen vertre-
ten. Die erste Zeile enthalt Informationen bezuglich einer naturlichen Mischung der
stabilen Isotope des Elements, wie sie auf der Erde vorkommen. Die atomare Masse
ist dabei ein gewichtetes arithmetisches Mittel der Massen der stabilen Isotope (ange-
geben durch einen Mittelwert mit Standardabweichung) [Wieser (2013)]. Da die Iso-
topenzusammensetzungen einiger Elemente in der Natur nicht konstant sind, sondern
von deren physikalischen, chemischen und nuklearen Werdegangen abhangen, werden
fur die Standard-Atommassen einerseits ein Wert angegeben, der fur Rechnungen ver-
wendet werden soll, und andererseits ein Bereich ([a; b]) spezifiziert, in welchem die
Atommassen naturlicher terrestrischer Proben liegen (a ≤ Mi ≤ b). Die nachfolgenden
Zeilen enthalten die Masse [Wang (2012)], die naturliche Haufigkeit [Berglund (2011)],
der Spins der stabilen Isotope des entsprechenden Elements, sowie die Lebenszeiten
einiger naturlicher Isotope [NNDC (2013)].
Tabelle F.1.: Auflistung der Massen, der naturlichen Haufigkeiten und der Kernspins der
naturlichen Isotope, sowie der mittleren Masse.
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
Wasserstoff 1H 1.008 [1.00784; 1.00811]1H 1.007 825 032 23(9) 99.9885(70) 1/22H 2.014 101 778 12(12) 0.0115(70) 1
Helium 2He 4.002 602(2)3He 3.016 029 3201(25) 0.000 134(3) 1/24He 4.002 603 254 13(6) 99.999 866(3) 0
Lithium 3Li 6.94 [6.938; 6.997]6Li 6.015 122 8874(16) 7.59(4) 17Li 7.016 003 437(5) 92.41(4) 3/2
Beryllium 4Be 9.012 182(3)9Be 9.012 183 07(8) 100 3/2
Bor 5B 10.81 [10.806; 10.821]10B 10.012 9369(4) 19.9(7) 311B 11.009 3054(4) 80.1(7) 3/2
Kohlenstoff 6C 12.011 [12.0096; 12.0116]12C 12 (exakt) 98.93(8) 013C 13.003 354 835 07(23) 1.07(8) 1/2
Stickstoff 7N 14.007 [14.00643; 14.00728]
Fortsetzung auf der nachsten Seite
175
F TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
14N 14.003 074 004 43(20) 99.636(20) 115N 15.000 108 8989(6) 0.364(20) 1/2
Sauerstoff 8O 15.999 [15.99903; 15.99977]16O 15.994 914 619 57(17) 99.757(16) 017O 16.999 131 7565(7) 0.038(1) 5/218O 17.999 159 6129(8) 0.205(14) 0
Fluor 9F 18.998 4032(5)19F 18.998 403 1627(9) 100 1/2
Neon 10Ne 20.1797(6)20Ne 19.992 440 1762(17) 90.48(3) 021Ne 20.993 846 69(4) 0.27(1) 3/222Ne 21.991 385 114(18) 9.25(3) 0
Natrium 11Na 22.989 769 28(2)23Na 22.989 769 282(19) 100 3/2
Magnesium 12Mg 24.305 [24.304; 24.307]24Mg 23.985 041 697(14) 78.99(4) 025Mg 24.985 836 98(5) 10.00(1) 5/226Mg 25.982 592 97(3) 11.01(3) 0
Aluminium 13Al 26.981 5386(8)27Al 26.981 538 53(11) 100 5/2
Silicium 14Si 28.085 [28.084; 28.086]28Si 27.976 926 5347(4) 92.223(19) 029Si 28.976 494 6649(5) 4.685(8) 1/230Si 29.973 770 136(23) 3.092(11) 0
Phosphor 15P 30.973 762(2)31P 30.973 761 9984(7) 100 1/2
Schwefel 16S 32.06 [32.059; 32.076]32S 31.972 071 1744(14) 94.99(26) 033S 32.971 458 9098(15) 0.75(2) 3/234S 33.967 867(5) 4.25(24) 036S 35.967 080 71(20) 0.01(1) 0
Chlor 17Cl 35.45 [35.446; 35.457]35Cl 34.968 852 68(4) 75.76(10) 3/237Cl 36.965 9026(6) 24.24(10) 3/2
Argon 18Ar 39.948(1)36Ar 35.967 545 11(3) 0.3336(21) 038Ar 37.962 732 11(21) 0.0629(7) 040Ar 39.962 383 1237(24) 99.6035(25) 0
Kalium 19K 39.0983(1)39K 38.963 706 486(5) 93.2581(44) 3/240K 39.963 998 17(6) 0.0117(1) 4 1.248 · 109 a
Fortsetzung auf der nachsten Seite
176
TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
41K 40.961 825 258(4) 6.7302(44) 3/2
Calcium 20Ca 40.078(4)40Ca 39.962 590 863(22) 96.941(156) 0 > 3.0 · 1021 a42Ca 41.958 617 83(16) 0.647(23) 043Ca 42.958 766 44(24) 0.135(10) 7/244Ca 43.955 4816(3) 2.086(110) 046Ca 45.953 689(24) 0.004(3) 0 > 2.8 · 1015 a48Ca 47.952 522 77(13) 0.187(21) 0 > 5.8 · 1022 a
Scandium 21Sc 44.955 912(6)45Sc 44.955 9083(8) 100 7/2
Titan 22Ti 47.867(1)46Ti 45.952 6277(4) 8.25(3) 047Ti 46.951 7588(4) 7.44(2) 5/248Ti 47.947 942(4) 73.72(3) 049Ti 48.947 8657(4) 5.41(2) 7/250Ti 49.944 7869(4) 5.18(2) 0
Vanadium 23V 50.9415(1)50V 49.947 156(9) 0.250(4) 651V 50.943 957(9) 99.750(4) 7/2 > 2.1 · 1017 a
Chrom 24Cr 51.9961(6)50Cr 49.946 0418(9) 4.345(13) 0 > 1.3 · 1018 a52Cr 51.940 5062(6) 83.789(18) 053Cr 52.940 6481(6) 9.501(17) 3/254Cr 53.938 8792(6) 2.365(7) 0
Mangan 25Mn 54.938 045(5)55Mn 54.938 0439(5) 100 5/2
Eisen 26Fe 55.845(2)54Fe 53.939 609(5) 5.845(35) 056Fe 55.934 9363(5) 91.754(36) 057Fe 56.935 3928(5) 2.119(10) 1/258Fe 57.933 2744(5) 0.282(4) 0
Cobalt 27Co 58.933 195(5)59Co 58.933 1943(6) 100 7/2
Nickel 28Ni 58.6934(4)58Ni 57.935 3424(5) 68.077(19) 060Ni 59.930 7859(5) 26.223(15) 061Ni 60.931 0556(5) 1.1399(13) 3/262Ni 61.928 3454(6) 3.6346(40) 064Ni 63.927 9668(6) 0.9255(19) 0
Kupfer 29Cu 63.546(3)63Cu 62.929 5977(6) 69.15(15) 3/2
Fortsetzung auf der nachsten Seite
177
F TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
65Cu 64.927 7897(7) 30.85(15) 3/2
Zink 30Zn 65.38(2)64Zn 63.929 142(7) 49.17(75) 0 ≥ 7.0 · 1020 a66Zn 65.926 0338(9) 27.73(98) 067Zn 66.927 1277(10) 4.04(16) 5/268Zn 67.924 8446(10) 18.45(63) 070Zn 69.925 3192(21) 0.61(10) 0 ≥ 2.3 · 1017 a
Gallium 31Ga 69.723(1)69Ga 68.925 5735(13) 60.108(9) 3/271Ga 70.924 7026(9) 39.892(9) 3/2
Germanium 32Ge 72.630(8)70Ge 69.924 2488(9) 20.57(27) 072Ge 71.922 075 83(8) 27.45(32) 073Ge 72.923 458 96(6) 7.75(12) 9/274Ge 73.921 177 761(13) 36.50(20) 076Ge 75.921 402 726(19) 7.73(12) 0
Arsen 33As 74.921 60(2)75As 74.921 5946(9) 100 3/2
Selen 34Se 78.96(3)74Se 73.922 475 934(15) 0.89(4) 076Se 75.919 213 704(17) 9.37(29) 077Se 76.919 914 15(7) 7.63(16) 1/278Se 77.917 309 28(20) 23.77(28) 080Se 79.916 5218(13) 49.61(41) 082Se 81.916 6995(15) 8.73(22) 0
Brom 35Br 79.904 [79.901; 79.907]79Br 78.918 3376(14) 50.69(7) 3/281Br 80.916 2897(14) 49.31(7) 3/2
Krypton 36Kr 83.798(2)78Kr 77.920 3649(8) 0.355(3) 0 ≥ 1.5 · 1021 a80Kr 79.916 3781(7) 2.286(10) 082Kr 81.913 4827(9) 11.593(31) 083Kr 82.914 1272(3) 11.500(19) 9/284Kr 83.911 497 728(4) 56.987(15) 086Kr 85.910 610 627(4) 17.279(41) 0
Rubidium 37Rb 85.4678(3)85Rb 84.911 789 738(5) 72.17(2) 5/287Rb 86.909 180 531(6) 27.83(2) 3/2 4.81 · 1010 a
Strontium 38Sr 87.62(1)84Sr 83.913 4191(13) 0.56(1) 086Sr 85.909 2606(12) 9.86(1) 087Sr 86.908 8775(12) 7.00(1) 9/2
Fortsetzung auf der nachsten Seite
178
TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
88Sr 87.905 6125(12) 82.58(1) 0
Yttrium 39Y 88.905 85(2)89Y 88.905 8403(24) 100 1/2
Zirkonium 40Zr 91.224(2)90Zr 89.904 6977(20) 51.45(40) 091Zr 90.905 6396(20) 11.22(5) 5/292Zr 91.905 0347(20) 17.15(8) 094Zr 93.906 3108(20) 17.38(28) 096Zr 95.908 2714(21) 2.80(9) 0 2.35 · 1019 a
Niob 41Nb 92.906 38(2)93Nb 92.906 373(20) 100 9/2
Molybdan 42Mo 95.96(2)92Mo 91.906 808(8) 14.53(30) 094Mo 93.905 0849(5) 9.15(9) 095Mo 94.905 8388(5) 15.84(11) 5/296Mo 95.904 6761(5) 16.67(15) 097Mo 96.906 0181(5) 9.60(14) 5/298Mo 97.905 4048(5) 24.39(37) 0
100Mo 99.907 4718(11) 9.82(31) 0 7.3 · 1018 a
Ruthenium 44Ru 101.07(2)96Ru 95.907 5903(5) 5.54(14) 098Ru 97.905 287(7) 1.87(3) 099Ru 98.905 9341(11) 12.76(14) 5/2
100Ru 99.904 2143(11) 12.60(7) 0101Ru 100.905 5769(12) 17.06(2) 5/2102Ru 101.904 3441(12) 31.55(14) 0104Ru 103.905 427(3) 18.62(27) 0
Rhodium 45Rh 102.905 50(2)103Rh 102.905 498(3) 100 1/2
Palladium 46Pd 106.42(1)102Pd 101.905 602(3) 1.02(1) 0104Pd 103.904 0305(14) 11.14(8) 0105Pd 104.905 0796(12) 22.33(8) 5/2106Pd 105.903 4804(12) 27.33(3) 0108Pd 107.903 8916(12) 26.46(9) 0110Pd 109.905 1722(7) 11.72(9) 0
Silber 47Ag 107.8682(2)107Ag 106.905 092(3) 51.839(8) 1/2109Ag 108.904 7553(14) 48.161(8) 1/2
Cadmium 48Cd 112.411(8)106Cd 105.906 4599(12) 1.25(6) 0 > 3.6 · 1020 a108Cd 107.904 1834(12) 0.89(3) 0 > 1.9 · 1018 a
Fortsetzung auf der nachsten Seite
179
F TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
110Cd 109.903 0066(6) 12.49(18) 0111Cd 110.904 1829(6) 12.80(12) 1/2112Cd 111.902 7629(6) 24.13(21) 0113Cd 112.904 4081(4) 12.22(12) 1/2 8.00 · 1015 a114Cd 113.903 3651(4) 28.73(42) 0 > 2.1 · 1018 a116Cd 115.904 763 15(17) 7.49(18) 0 3.3 · 1019 a
Indium 49In 114.818(1)113In 112.904 0618(9) 4.29(5) 9/2115In 114.903 878 776(12) 95.71(5) 9/2 4.41 · 1014 a
Zinn 50Sn 118.710(7)112Sn 111.904 8239(6) 0.97(1) 0 < 1.3 · 1021 a114Sn 113.902 7827(10) 0.66(1) 0115Sn 114.903 344 699(16) 0.34(1) 1/2116Sn 115.901 7428(10) 14.54(9) 0117Sn 116.902 954(5) 7.68(7) 1/2118Sn 117.901 6066(5) 24.22(9) 0119Sn 118.903 3112(8) 8.59(4) 1/2120Sn 119.902 2016(10) 32.58(9) 0122Sn 121.903 444(3) 4.63(3) 0124Sn 123.905 2766(11) 5.79(5) 0 > 1.2 · 1021 a
Antimon 51Sb 121.760(1)121Sb 120.903 812(3) 57.21(5) 5/2123Sb 122.904 2132(23) 42.79(5) 7/2
Tellur 52Te 127.60(3)120Te 119.904 059(3) 0.09(1) 0122Te 121.903 0435(16) 2.55(12) 0123Te 122.904 2698(16) 0.89(3) 1/2 > 9.2 · 1016 a124Te 123.902 8171(16) 4.74(14) 0125Te 124.904 4299(16) 7.07(15) 1/2126Te 125.903 3109(16) 18.84(25) 0128Te 127.904 4613(9) 31.74(8) 0 2.41 · 1024 a130Te 129.906 222 748(12) 34.08(62) 0 ≥ 3.0 · 1024 a
Iod 53I 126.904 47(3)127I 126.904 472(4) 100 5/2
Xenon 54Xe 131.293(6)124Xe 123.905 892(19) 0.0952(3) 0 ≥ 1.6 · 1014 a126Xe 125.904 298(4) 0.0890(2) 0128Xe 127.903 531(11) 1.9102(8) 0129Xe 128.904 780 861(6) 26.4006(82) 1/2130Xe 129.903 509 349(10) 4.0710(13) 0131Xe 130.905 084 06(24) 21.2324(30) 3/2132Xe 131.904 155 086(6) 26.9086(33) 0134Xe 133.905 3947(9) 10.4357(21) 0 > 5.8 · 1022 a
Fortsetzung auf der nachsten Seite
180
TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
136Xe 135.907 214 484(11) 8.8573(44) 0 > 2.4 · 1021 a
Casium 55Cs 132.905 4519(2)133Cs 132.905 451 961(8) 100 7/2
Barium 56Ba 137.327(7)130Ba 129.906 321(3) 0.106(1) 0132Ba 131.905 0611(11) 0.101(1) 0 > 3.0 · 1021 a134Ba 133.904 5082(3) 2.417(18) 0135Ba 134.905 6884(3) 6.592(12) 3/2136Ba 135.904 5757(3) 7.854(24) 0137Ba 136.905 8271(3) 11.232(24) 3/2138Ba 137.905 247(3) 71.698(42) 0
Lanthan 57La 138.905 47(7)138La 137.907 115(4) 0.08881(71) 5 1.02 · 1011 a139La 138.906 3563(24) 99.91119(71) 7/2
Cer 58Ce 140.116(1)136Ce 135.907 1292(4) 0.185(2) 0 > 7 · 1013 a138Ce 137.905 991(11) 0.251(2) 0 ≥ 9 · 1013 a140Ce 139.905 4431(23) 88.450(51) 0142Ce 141.909 25(3) 11.114(51) 0 > 5 · 1016 a
Praseodym 59Pr 140.907 65(2)141Pr 140.907 6576(23) 100 5/2
Neodym 60Nd 144.242(3)142Nd 141.912 0065(21) 27.152(40) 0143Nd 142.914 9044(19) 12.174(26) 7/2144Nd 143.914 8292(19) 23.798(19) 0 2.29 · 1015 a145Nd 144.917 1921(18) 8.293(12) 7/2146Nd 145.917 2829(18) 17.189(32) 0148Nd 147.919 7397(18) 5.756(21) 0150Nd 149.922 2169(20) 5.638(28) 0 7.9 · 1018 a
Samarium 62Sm 150.36(2)144Sm 143.911 999(3) 3.07(7) 0147Sm 146.914 8979(26) 14.99(18) 7/2 1.060 · 1011 a148Sm 147.914 8227(26) 11.24(10) 0 7 · 1015 a149Sm 148.917 1847(26) 13.82(7) 7/2150Sm 149.917 2755(26) 7.38(1) 0152Sm 151.919 7324(27) 26.75(16) 0154Sm 153.922 2093(27) 22.75(29) 0
Europium 63Eu 151.964(1)151Eu 150.919 8578(18) 47.81(6) 5/2 ≥ 1.7 · 1018 a153Eu 152.921 238(18) 52.19(6) 5/2
Gadolinium 64Gd 157.25(3)152Gd 151.919 7995(18) 0.20(1) 0 1.08 · 1014 a
Fortsetzung auf der nachsten Seite
181
F TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
154Gd 153.920 8741(17) 2.18(3) 0155Gd 154.922 6305(17) 14.80(12) 3/2156Gd 155.922 1312(17) 20.47(9) 0157Gd 156.923 9686(17) 15.65(2) 3/2158Gd 157.924 1123(17) 24.84(7) 0160Gd 159.927 0624(18) 21.86(19) 0 > 3.1 · 1019 a
Terbium 65Tb 158.925 35(2)159Tb 158.925 3547(19) 100 3/2
Dysprosium 66Dy 162.500(1)156Dy 155.924 2847(17) 0.056(3) 0158Dy 157.924 416(3) 0.095(3) 0160Dy 159.925 2046(20) 2.329(18) 0161Dy 160.926 9405(20) 18.889(42) 5/2162Dy 161.926 8056(20) 25.475(36) 0163Dy 162.928 7383(20) 24.896(42) 5/2164Dy 163.929 1819(20) 28.260(54) 0
Holmium 67Ho 164.930 32(2)165Ho 164.930 3288(21) 100 7/2
Erbium 68Er 167.259(3)162Er 161.928 7884(20) 0.139(5) 0164Er 163.929 2088(20) 1.601(3) 0166Er 165.930 2995(22) 33.503(36) 0167Er 166.932 0546(22) 22.869(9) 7/2168Er 167.932 3767(22) 26.978(18) 0170Er 169.935 47(3) 14.910(36) 0
Thulium 69Tm 168.934 21(2)169Tm 168.934 2179(22) 100 1/2
Ytterbium 70Yb 173.054(5)168Yb 167.933 8896(22) 0.123(3) 0170Yb 169.934 7664(22) 2.982(39) 0171Yb 170.936 3302(22) 14.09(14) 1/2172Yb 171.936 3859(22) 21.68(13) 0173Yb 172.938 2151(22) 16.103(63) 5/2174Yb 173.938 8664(22) 32.026(80) 0176Yb 175.942 5764(24) 12.996(83) 0
Lutetium 71Lu 174.9668(1)175Lu 174.940 7752(20) 97.401(13) 7/2176Lu 175.942 6897(20) 2.599(13) 7 3.76 · 1010 a
Hafnium 72Hf 178.49(2)174Hf 173.940 046(3) 0.16(1) 0 2.0 · 1015 a176Hf 175.941 4076(22) 5.26(7) 0177Hf 176.943 2277(20) 18.60(9) 7/2
Fortsetzung auf der nachsten Seite
182
TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
178Hf 177.943 7058(20) 27.28(7) 0179Hf 178.945 8232(20) 13.62(2) 9/2180Hf 179.946 557(20) 35.08(16) 0
Tantali 73Ta 180.947 88(2)180mTa 179.947 4648(24) 0.01201(32) 9 > 1.2 · 1015 a
181Ta 180.947 9958(20) 99.98799(32) 7/2
Wolfram 74W 183.84(1)180W 179.946 7108(20) 0.12(1) 0 ≥ 6.6 · 1017 a182W 181.948 2039(9) 26.50(16) 0183W 182.950 2227(9) 14.31(4) 1/2 > 1.3 · 1019 a184W 183.950 9309(9) 30.64(2) 0186W 185.954 3628(17) 28.43(19) 0 > 2.3 · 1019 a
Rhenium 75Re 186.207(1)185Re 184.952 9545(13) 37.40(2) 5/2187Re 186.955 7501(16) 62.60(2) 5/2 4.33 · 1010 a
Osmium 76Os 190.23(3)184Os 183.952 4885(14) 0.02(1) 0 > 5.6 · 1013 a186Os 185.953 835(16) 1.59(3) 0 2.0 · 1015 a187Os 186.955 7474(16) 1.96(2) 1/2188Os 187.955 8352(16) 13.24(8) 0189Os 188.958 1442(17) 16.15(5) 3/2190Os 189.958 4437(17) 26.26(2) 0192Os 191.961 477(3) 40.78(19) 0
Iridium 77Ir 192.217(3)191Ir 190.960 5893(21) 37.3(2) 3/2193Ir 192.962 9216(21) 62.7(2) 3/2
Platin 78Pt 195.084(9)190Pt 189.959 93(6) 0.012(2) 0 6.5 · 1011 a192Pt 191.961 039(3) 0.782(24) 0194Pt 193.962 6809(10) 32.86(40) 0195Pt 194.964 7917(10) 33.78(24) 1/2196Pt 195.964 9521(10) 25.21(34) 0198Pt 197.967 8949(23) 7.356(130) 0
Gold 79Au 196.966 569(4)197Au 196.966 5688(7) 100 3/2
Quecksilber 80Hg 200.592(3)196Hg 195.965 833(3) 0.15(1) 0198Hg 197.966 7686(5) 9.97(20) 0199Hg 198.968 2806(5) 16.87(22) 1/2
Fortsetzung auf der nachsten Seite
i 180mTa ist radioaktiv mit einer Halbwertszeit von > 1.2·1015 a. Der Superskriptm bedeutet,
dass es sich dabei um ein Isomer, also um ein Nuklid in einem angeregten Kernzustand, handelt.
Der Grundzustand von 180Ta wurde mit einer Halbwertszeit von 8.154 h zerfallen.
183
F TABELLE DER NATURLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Naturliche
Haufigkeit in %
I Halbwertszeit
200Hg 199.968 3266(5) 23.10(19) 0201Hg 200.970 3028(7) 13.18(9) 3/2202Hg 201.970 6434(7) 29.86(26) 0204Hg 203.973 494(5) 6.87(15) 0
Thallium 81Tl 204.38 [204.382; 204.385]203Tl 202.972 3446(14) 29.52(1) 1/2205Tl 204.974 4278(14) 70.48(1) 1/2
Blei 82Pb 207.2(1)204Pb 203.973 044(13) 1.4(1) 0 ≥ 1.4 · 1017 a206Pb 205.974 4657(13) 24.1(1) 0207Pb 206.975 8973(13) 22.1(1) 1/2208Pb 207.976 6525(13) 52.4(1) 0
Bismut 83Bi 208.980 40(1)209Bi 208.980 3991(16) 100 9/2
Thorium 90Th 232.038 06(2)232Th 232.038 0558(21) 100 0 1.40 · 1010 a
Protactinium 91Pa 231.035 88(2)231Pa 231.035 8842(24) 100 3/2 3.276 · 104 a
Uran 92U 238.028 91(3)234U 234.040 9523(19) 0.0054(5) 0 2.455 · 105 a235U 235.043 9301(19) 0.7204(6) 7/2 7.04 · 108 a238U 238.050 7884(20) 99.2742(10) 0 4.468 · 109 a
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Stand 19. Juni 2013.
184
DIE NATURLICHEN ZERFALLSREIHEN G
G. Die naturlichen Zerfallsreihen
Die Tatsache, dass in der Natur radioaktive Nuklide vorkommen, hat verschiedene Ur-
sachen. Einige radioaktive Nuklide entstehen fortlaufend aufgrund von Kernreaktionen,
welche durch die Wechselwirkung von kosmischer Strahlung mit stabilen Nukliden aus-
gelost werden. In diese Kategorie fallen etwa 14C, 3H, 7Be oder 22Na.
Daneben gibt es naturliche Radionuklide mit sehr langen Halbwertszeiten. Man kann
annehmen, dass es sich dabei um Radionuklide aus der Entstehungszeit der Erde vor
zirka 4.6 Milliarden Jahren handelt. Wegen den sehr langen Halbwertszeiten sind sie
seit ihrer Entstehung noch nicht vollstandig zerfallen. Teilweise haben sich ihre Teil-
chenzahlen sogar kaum merklich verandert. Die in Anhang F aufgefuhrten radioaktiven
Nuklide fallen in diese Kategorie. Die meisten von ihnen zerfallen in einem oder wenigen
Schritten in stabile Nuklide. Bei einigen bilden sich jedoch lange, teilweise verzweigte
Zerfallsreihen. Es bilden sich somit ausgehend vom langlebigen Mutternuklid fortlau-
fend weitere radioaktive Nuklide, bis die Reihe durch die Bildung eines stabilen Kerns
abgebrochen wird. Im Verlauf solcher Zerfallsreihen werden standig Radionuklide mit
zum Teil sehr kurzen Halbwertszeiten neu gebildet.
Heute existieren in der Natur noch drei sogenannte naturliche Zerfallsreihen: die
Uran-Radium-, die Uran-Actinium- und die Thorium-Zerfallsreihe, welche von 238U,235U respektive 232Th ausgehen.
In den naturlichen Zerfallsreihen fuhren α- und β−-Zerfalle zu Anderungen der Proto-
nen- und Neutronenanzahlen in den Kernen. Somit nehmen die Massenzahlen entweder
um vier Einheiten ab oder sie bleiben konstant. Deshalb sind im Prinzip vier unter-
schiedliche naturliche Zerfallsreihen moglich, je nachdem, welcher Rest sich bei der
Division der Massenzahl samtlicher in der Zerfallsreihe vorkommenden Nuklide durch
vier ergibt. Fur die oben erwahnten Zerfallsreihen gilt A = 4n + 2, A = 4n + 3 bezie-
hungsweise A = 4n, wobei n eine naturliche Zahl ist.
In den fruhen Zeiten der Erdgeschichte kam auch noch eine vierte naturliche Zerfalls-
reihe mit A = 4n+ 1, die bei 237Np startende Neptunium-Zerfallsreihe, vor. Wegen der
verglichen mit dem Alter der Erde relativ kleinen Halbwertszeit des langlebigsten in die-
ser Reihe auftretenden Nuklids ist sie heute allerdings bereits abgeklungen. 237Np wird
in der Natur nur noch in sehr geringen Mengen in Uranerz gefunden. Dort entsteht es
aufgrund von Kernreaktionen, welche durch Neutronenbestrahlung von 238U ausgelost
werden. Diese Neutronen stammen uberwiegend aus der Spontanspaltung von 238U.
Auf den folgenden Seiten sind die vier naturlichen Zerfallsreihen mit den auftretenden
Nukliden, den Halbwertszeiten und den Zerfallsarten dargestellt. Einzelne Nuklide un-
terliegen zu einem geringen Anteil auch Clusterzerfallen und Spontanspaltungen. Das
in der Uran-Radium-Zerfallsreihe auftretende 210Tl geht zudem in 0.007 % der Falle in
einer β-verzogerten Neutronenemission (siehe Kapitel 3.4.3) in 209Pb uber, welches mit
einer Halbwertszeit von 3.253 h zu stabilem 209Bi zerfallt. Im Weiteren zerfallt das in
185
G DIE NATURLICHEN ZERFALLSREIHEN
der Thorium-Zerfallsreihe auftretende 212Bi in 0.014 % der Falle in einer β-verzogerten
α-Teilchen-Emission direkt zum stabilen 208Pb.
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190
EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN H
H. Eigenschaften von Elementen
H.1. Atomradien
Tabelle H.1.: Kovalenzradien in Kristallstrukturen, der Van-Der-Waals-Radien sowie der
Kovalenzradien aus homo- und heteronuklearen Bindungen.
Z Periode GruppeKovalenzradiusa Van-Der-Waals-Radiusb Kovalenzradiusc
rCSD,kov / A rVdW / A rkov / A
1 H 1 1 0.23 1.20d 0.37
2 He 1 18 1.50 1.40 (0.32)
3 Li 2 1 0.68 1.82 1.34
4 Be 2 2 0.35 1.25
5 B 2 13 0.83 0.90
6 C 2 14 0.68 1.70 0.77
7 N 2 15 0.68 1.55 0.75
8 O 2 16 0.68 1.52 0.73
9 F 2 17 0.64 1.47 0.71
10 Ne 2 18 1.50 1.54 (0.69)
11 Na 3 1 0.97 2.27 1.54
12 Mg 3 2 1.10 1.73 1.45
13 Al 3 13 1.35 1.30
14 Si 3 14 1.20 2.10 1.18
15 P 3 15 1.05 1.80 1.10
16 S 3 16 1.02 1.80 1.02
17 Cl 3 17 0.99 1.75 0.99
18 Ar 3 18 1.51 1.88 (0.97)
19 K 4 1 1.33 2.75 1.96
20 Ca 4 2 0.99
21 Sc 4 3 1.44
22 Ti 4 4 1.47
(Fortsetzung auf der nachsten Seite)
a Die Werte fur die Kovalenzradien stammen aus der Cambridge Crystal Structure Database (CSD,
http://www.ccdc.cam.ac.uk/, Stand Januar 2006). Die CSD-Kovalenzradien rCSD,kov werden
benutzt, um Verbindungen in Kristallstrukturen zu charakterisieren. Fur Elemente, die noch
nicht in der CSD enthalten sind, empfiehlt die CSD, den Wert fur rCSD,kov auf 1.50 A festzule-
gen.b Die Werte fur Van-Der-Waals-Radien stammen, falls nicht anders angegeben, aus A. Bondi, J.
Phys. Chem. 68, 441–452 (1964).c Die Kovalenzradien sind aus bekannten homonuklearen Bindungslangen berechnet, in den
ubrigen Fallen aus ausgewahlten heteronuklearen Bindungen. Die Bindungslangen stammen, so-
fern nicht anders angegeben, aus”Tables of Interatomic Distances and Configuration in Molecules
and Ions“, Hrsg. L. Sutton, Spec. Publ. No. 11 and 18, The Chemical Society, London, 1958 und
1965. Die Werte in Klammern fur Edelgase, von denen man keine Verbindungen kennt, sind aus
den Werten fur die benachbarten Nichtmetalle extrapoliert (L. C. Allen und J. E. Huheey, J.
Inorg. Nucl. Chem. 42, 1523 (1980)).d R. S. Rowland und R. Taylor, J. Phys. Chem. 100, 7384–7391 (1996).
191
H EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN
Z Periode GruppeKovalenzradiusa Van-Der-Waals-Radiusb Kovalenzradiusc
rCSD,kov / A rVdW / A rkov / A
23 V 4 5 1.33
24 Cr 4 6 1.35
25 Mn 4 7 1.35 1.39e
26 Fe 4 8 1.34 1.25f
27 Co 4 9 1.33 1.25f
28 Ni 4 10 1.50 1.63 1.2g
29 Cu 4 11 1.52 1.40
30 Zn 4 12 1.45 1.39 1.20
31 Ga 4 13 1.22 1.87 1.20
32 Ge 4 14 1.17 1.22
33 As 4 15 1.21 1.85 1.22
34 Se 4 16 1.22 1.90 1.17
35 Br 4 17 1.21 1.85 1.14
36 Kr 4 18 1.50 2.02 1.10
37 Rb 5 1 1.47
38 Sr 5 2 1.12
39 Y 5 3 1.78
40 Zr 5 4 1.56
41 Nb 5 5 1.48
42 Mo 5 6 1.47
43 Tc 5 7 1.35
44 Ru 5 8 1.40
45 Rh 5 9 1.45
46 Pd 5 10 1.50 1.63
47 Ag 5 11 1.59 1.72
48 Cd 5 12 1.69 1.58
49 In 5 13 1.63 1.93
50 Sn 5 14 1.46 2.17 1.40
51 Sb 5 15 1.46 1.43
52 Te 5 16 1.47 2.06 1.35
53 I 5 17 1.40 1.98 1.33
54 Xe 5 18 1.50 2.16 1.30
55 Cs 6 1 1.67
56 Ba 6 2 1.34
57 La 6 Lah 1.87
58 Ce 6 Lah 1.83
59 Pr 6 Lah 1.82
60 Nd 6 Lah 1.81
61 Pm 6 Lah 1.80
62 Sm 6 Lah 1.80
63 Eu 6 Lah 1.99
64 Gd 6 Lah 1.79
65 Tb 6 Lah 1.76
66 Dy 6 Lah 1.75
67 Ho 6 Lah 1.74
68 Er 6 Lah 1.73
(Fortsetzung auf der nachsten Seite)
e F. A. Cotton und D. C. Richardson, Inorg. Chem. 5, 1851 (1966).f L. F. Dahl et al., J. Am. Chem. Soc. 91, 1655 (1969).g B. T. Kilbourn und H. M. Powell, J. Chem. Soc. A 1970, 1688 (1970).h Lantanoide
192
EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN H
Z Periode GruppeKovalenzradiusa Van-Der-Waals-Radiusb Kovalenzradiusc
rCSD,kov / A rVdW / A rkov / A
69 Tm 6 Lah 1.72
70 Yb 6 Lah 1.94
71 Lu 6 3 1.72
72 Hf 6 4 1.57
73 Ta 6 5 1.43
74 W 6 6 1.37
75 Re 6 7 1.35
76 Os 6 8 1.37
77 Ir 6 9 1.32
78 Pt 6 10 1.50 1.72
79 Au 6 11 1.50 1.66
80 Hg 6 12 1.70 1.55
81 Tl 6 13 1.55 1.96
82 Pb 6 14 1.54 2.02
83 Bi 6 15 1.54
84 Po 6 16 1.68
85 At 6 17 1.21
86 Rn 6 18 1.50 (1.45)
87 Fr 7 1 1.50
88 Ra 7 2 1.90
89 Ac 7 Aci 1.88
90 Th 7 Aci 1.79
91 Pa 7 Aci 1.61
92 U 7 Aci 1.58 1.86
93 Np 7 Aci 1.55
94 Pu 7 Aci 1.53
95 Am 7 Aci 1.51
96 Cm 7 Aci 0.99
97 Bk 7 Aci 1.54
98 Cf 7 Aci 1.83
99 Es 7 Aci 1.50
100 Fm 7 Aci 1.50
101 Md 7 Aci 1.50
102 No 7 Aci 1.50
103 Lr 7 3 1.50
104 Rf 7 4 1.50
105 Db 7 5 1.50
106 Sg 7 6 1.50
107 Bh 7 7 1.50
108 Hs 7 8 1.50
109 Mt 7 9 1.50
110 Ds 7 10 1.50
i Actinoide
193
H EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN
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J.
J.
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Polyhed
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5(11),
1763–1770
(1986).
dH
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pund
W.
C.
Lin
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J.Phys.
Chem.Ref.
Data
14(3),
731–750
(1985).
194
EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN H
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Bk
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cg
6.1
979
98
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cg
6.2
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6.4
2
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101
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6.6
5
103
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4.9
104
Rf
74
6
gA
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noid
e
197
H EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN
198
NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN I
I. Nutzliche mathematische Formeln
I.1. Komplexe Zahlen
Normalform:
z = α+ βi, α, β ∈ R,i2 = −1
α = Re z (Realteil),
β = Im z (Imaginarteil)
Polarform:
z = ρ(cosϕ+ i sinϕ), ρ, ϕ ∈ R,ρ =
√α2 + β2,
ϕ = arctan
(β
α
)Exponentialform:
z = ρ eiϕ, eiϕ = cosϕ+ i sinϕ
Re(z)
Im(z)
+ρ
−ρ
+ρ−ρ
ρ
ϕ
α
β
Abbildung I.1.: Geometrische Darstel-
lung komplexer Zahlen.
sinx =eix − e−ix
2icosx =
eix + e−ix
2
eix = cosx+ i sinx
(cosx+ i sinx)n = einx = cos(nx) + i sin(nx)
Beispiele:
i3 = −i i4 = 1 i−1 = −i i−2 = −1
eiπ/2 = i eiπ = −1 e
3iπ/2 = −i e2iπ = 1
I.1.1. Konjugiert komplexe Zahlen, Betragsquadrat, Real- undImaginarteil komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen z = α+ βi = ρ eiϕ
Konjugiert komplexe Zahlen z∗ = α− βi = ρ e−iϕ
Betragsquadrat komplexer Zahlen |z|2 = z z∗ = Re2z + Im2z = ρ2
Realteil komplexer Zahlen Re z =z + z∗
2
Imaginarteil komplexer Zahlen Im z =z − z∗
2i
199
I NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN
I.2. Trigonometrische Funktionen
π2 x
y
−1
1
3π2
−3π2
−π2
π 2π−2π −π
π2 x
y
−1
1
3π2
−3π2
−π2
π 2π−2π −π
y = sin(x)
y = cos(x)
y = tan(x)
y = cot(x)
Abbildung I.2.: Darstellung der trigonometrischen Funktionen sin(x) und cos(x) (links)
sowie tan(x) und cot(x) (rechts).
I.2.1. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
sin2 α+ cos2 α = 1 tanα =sinα
cosα
1
cos2 α= 1 + tan2 α
tanα cotα = 1 cotα =cosα
sinα
1
sin2 α= 1 + cot2 α
I.2.2. Funktionen von α± β, 2α und α/2
sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tan(α± β) =tanα± tanβ
1∓ tanα tanβ
cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
sin(2α) = 2 sinα cosα tan(2α) =2 tanα
1− tan2 α
cos(2α) = cos2 α− sin2 α
sin2(α
2
)=
1− cosα
2tan2
(α2
)=
1− cosα
1 + cosα
cos2(α
2
)=
1 + cosα
2tan
(α2
)=
1− cosα
sinα=
sinα
1 + cosα
200
NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN II.2.3. Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
sinα± sinβ = 2 sin
(α± β
2
)cos
(α∓ β
2
)cosα+ cosβ = 2 cos
(α+ β
2
)cos
(α− β
2
)cosα− cosβ = −2 sin
(α+ β
2
)sin
(α− β
2
)tanα± tanβ =
sin (α± β)
cosα cosβ
I.2.4. Produkte trigonometrischer Funktionen
sinα sinβ =1
2(cos(α− β)− cos(α+ β))
cosα cosβ =1
2(cos(α− β) + cos(α+ β))
sinα cosβ =1
2(sin(α− β) + sin(α+ β))
I.3. Logarithmen
Definition:
y = loga x ⇔ ay = x (a ∈ R+, a 6= 1)
Spezialfalle:
y = lg x ⇔ 10y = x (Zehnerlogarithmen)
y = lnx ⇔ ey = x (naturliche Logarithmen)
y = lbx ⇔ 2y = x (Zweierlogarithmen)
Satze:
log (uv) = log u+ log v
log(uv
)= log u− log v
log (ur) = r log u
log
(1
v
)= − log v
y
x1
1
y = ex
y = lnx
Abbildung I.3.: Die Exponential-
funktion und der naturliche Loga-
rithmus.
Wech-
sel der Basis:
loga x =lnx
ln a=
lg x
lg a, lg x =
lnx
ln 10, lnx =
lg x
lg e
Komplexe Argumente:
ln z = ln (α+ βi) =1
2ln(α2 + β2
)+ i arctan
(β
α
)+ n · 2πi,
= ln(ρeiϕ
)= ln ρ+ iϕ+ n · 2πi mit n ∈ Z
201
I NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN
I.4. Differentialrechnung
I.4.1. Ableitungsregeln
Definition f ′(x) =d f(x)
dx
Summe (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
Konstanter Faktor (c f(x))′ = c f ′(x)
Produkt (f(x) · g(x))′ = g(x)f ′(x) + f(x)g′(x)
Quotient
(f(x)
g(x)
)′=g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
g2(x)
Kettenregel (f(g(x)))′ = f ′(u) · g′(x), mit u = g(x)
Logarithmisches Differentiald ln(|f(x)|)
dx=
1
f(x)
d f(x)
dx
I.4.2. Ableitungen spezieller Funktionen
(cosx)′ = − sin(x) (sinx)′ = cos(x)
(ln |x|)′ =1
x(loga |x|)′ = (loga(e))
1
x=
1
x ln a
(ex)′ = ex (ax)′ = (ln a)ax
(ecx)′ = c ecx (acx)′ = (c ln a)acx
I.5. Integralrechnung
I.5.1. Integrationsregeln
Summe∫
(f(x) + g(x)) dx =∫f(x)dx+
∫g(x)dx
Konstanter Faktor∫c f(x)dx = c
∫f(x)dx
Partielle Integration∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−
∫f(x)g′(x)dx
Substitution∫f(u(x))u′(x)dx =
∫f(z)dz, mit z = u(x)
I.5.2. Spezielle unbestimmte Integrale∫sinx dx = − cosx+ C
∫cosx dx = sinx+ C∫
exdx = ex + C
∫1
xdx = lnx+ C∫
ln |x| dx = x(ln |x| − 1)
202
NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN II.5.3. Spezielle bestimmte Integrale
∞∫0
e−a2x2
=1
2
∞∫−∞
e−a2x2
=
√π
2a
∞∫0
cos(x2)dx =
∞∫0
sin(x2)dx =1
2
√π
2
π/2∫0
cos2(x)dx =
π/2∫0
sin2(x)dx =π
4
∞∫0
sin(ax)
xdx =
π
2fur a > 0
I.6. Reihenentwicklungen von Funktionen
I.6.1. Taylorsche Reihe
f(x) ≈ fn(x) = f(x0) +f ′(x0)
1!(x− x0) +
f ′′(x0)
2!(x− x0)2 + . . .
+f (n)(x0)
n!(x− x0)n
=
n∑k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)k
Bemerkung: k! = 1 · 2 · 3 · . . . · k und 0! = 1! = 1
fn(x) heisst Taylorsches Polynom n-ter Ordnung der Funktion f(x) an der Stelle x0.
I.6.2. Spezielle Summen
n∑k=1
k = 1 + 2 + . . .+ n =n(n+ 1)
2
n∑k=1
k2 = 12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
n∑k=1
k3 = 13 + 23 + . . .+ n3 =
[n(n+ 1)
2
]2
n−1∑k=0
qk = 1 + q + q2 + . . .+ qn−1 =qn − 1
q − 1, (q 6= 1)
n∑k=1
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2
203
I NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN
n∑k=1
(2k − 1)2 = 12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 =n(2n− 1)(2n+ 1)
3
I.6.3. Spezielle unendliche Reihen
∞∑k=0
a qk = a+ aq + aq2 + . . . = a∞∑k=0
qk =a
1− q , fur |q| < 1
∞∑k=0
(k + 1)qk = 1 + 2q + 3q2 + . . . =1
(1− q)2, fur |q| < 1
∞∑k=1
1
k2= 1 +
1
22+
1
32+ . . . =
π2
6
∞∑k=1
(−1)k+1
k2= 1− 1
22+
1
32− . . . =
π2
12
∞∑k=0
1
k!= 1 +
1
1!+
1
2!+ . . . = e
∞∑k=0
(−1)k
k!= 1− 1
1!+
1
2!− . . . =
1
e
∞∑k=1
(−1)k+1
k= 1− 1
2+
1
3− 1
4+ . . . = ln 2
∞∑k=0
(−1)k+1
2k + 1= 1− 1
3+
1
5− 1
7+ . . . =
π
4
I.7. Spezielle Grenzwerte von Funktionen
limx→0
sinx
x= 1 lim
x→0
ex − 1
x= 1 lim
x→0
ax − 1
x= ln a
limx→1
lnx
x− 1= 1 lim
x→0
ln(1 + x)
x= 1 lim
x→0
loga(1 + x)
x=
1
ln a
limx→∞
(xme−bx) = 0 limx→0
(xb lnx) = 0 limx→∞
(x−b lnx) = 0
mit b > 0.
204
NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN II.8. Naherungsformeln
(1 + x)a ≈ 1 + ax |x| 1 und |ax| 1
n√
1 + x ≈ 1 +x
n
1
1 + x≈ 1− x
ln(1 + x) ≈ x− x2
2
sinx ≈ x− x3
6cosx ≈ 1− x2
2
tanx ≈ x+x3
3
|x| 1
ln(n!) ≈ n ln(n)− n (Stirling)
(Bem.: n! = 1 · 2 · . . . · n)
grosse n, n ∈ N
I.9. Vektoralgebra im reellen dreidimensionalen Raum
~r = (x, y, z) r = |~r| =√x2 + y2 + z2 x, y, z: kartesische Koordinaten
I.9.1. Addition von Vektoren
~r1 = (x1, y1, z1) ~r2 = (x2, y2, z2) ~r1 + ~r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
I.9.2. Skalarprodukt ~r1 · ~r2
~r1 = (x1, y1, z1)
~r2 = (x2, y2, z2)
~r1 · ~r2 = |~r1| |~r2| cosφ
= (x1x2 + y1y2 + z1z2)
~r1 · ~r2 = ~r2 · ~r1
~r1 · ~r2 = 0 ⇔ ~r1 und ~r2 sind orthogonal
~r1
~r2φ
Abbildung I.4.: Darstellung
des Skalarproduktes zweier Vek-
toren ~r1 und ~r2.
205
I NUTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN
I.9.3. Vektorprodukt ~r1 × ~r2
~r1 = (x1, y1, z1)
~r2 = (x2, y2, z2)
~r1 × ~r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)
|~r1 × ~r2| = |~r1| |~r2| sinφ
~r1 × ~r2 = −~r2 × ~r1~r1 × (~r2 + ~r3) = ~r1 × ~r2 + ~r1 × ~r3
~r1 × ~r2 = 0 ⇔ ~r1 und ~r2 kollinear
Die Flache A, die durch die beiden Vektoren ~r1 und ~r2aufgespannt wird, betragt
A = |~r1 × ~r2|.
~r2
~r1φ
A
~r1 × ~r2
Abbildung I.5.: Darstellung
des Vektorproduktes zweier Vek-
toren ~r1 und ~r2.
I.9.4. Polare und axiale Vektoren
Polare und axiale Vektoren unterscheiden sich in ihrem Verhalten bezuglich einer Raum-
inversion P am Nullpunkt (x→ −x, y → −y, z → −z).
Polare Vektoren ~rp
P (~rp) = −~rp
Beispiele: Ortsvektor ~r, Geschwindigkeitsvektor ~v, Beschleunigung ~a, Impuls ~p, Kraft~F , elektrisches Feld ~E, etc.
Axiale Vektoren ~ra
P (~ra) = ~ra
Beispiele: Drehimpuls ~L, Magnetfeld ~B, magnetisches Dipol ~µ, etc.
Das Vektorprodukt verknupft axiale und polare Vektoren:
~ra = ~rp,1 × ~rp,2 ~rp = ~ra,1 × ~ra,2
Beispiel : ~L = ~r × ~p
206
PHYSIKALISCHES REPETITORIUM J
J. Physikalisches Repetitorium
Im Folgenden sind einige Formeln zusammengestellt, die im Rahmen dieser Vorlesung
und den Ubungen verwendet werden. Diese Zusammenstellung erhebt keinen Anspruch
auf Vollstandigkeit.
J.1. Klassische Mechanik
Gleichformige Bewegung
(~v = konst.)
~s = ~s0 + ~vt ~s0: Startposition (t = 0)
Gleichmassig beschleunigte
Bewegung
(~a = konst.)
~v = ~v0 + ~at
~s = ~s0 + ~v0t+ 12~at
2
~v0: Anfangs-
geschwindigkeit
~a: Beschleunigung
Gleichformige Kreisbewegung
(|v| = konst.)
ν =1
T=
ω
2π
v = rω = 2πrν
T =2πr
v=
2π
ω
az =v2
r= rω
2
ν: Frequenz
ω: Kreisfrequenz
v: Bahn-
geschwindigkeit
r: Bahnradius
T : Umlaufzeit, Periode
az : Zentripetal-
beschleunigung
Kraft ~F = m~a ~F : Kraft
m: MasseZentripetalkraft Fz = maz =
mv2
r= mrω
2
Impuls ~pi = mi~vi ~pi: Impuls des Teilchens
i
Impulserhaltungssatz ~ptot =∑i
~pi = konst. ~ptot: Gesamtimpuls im
abgeschl. System im
feldfreien Raum
Arbeit WAB =
∫ sB
sA
~F · d~s
207
J PHYSIKALISCHES REPETITORIUM
Energie Ekin =m
2v
2
Epot = −∫~F · d~s
~F = −(∂Epot
∂x,∂Epot
∂y,∂Epot
∂z
)Ekin: kinetische Energie
Epot: potentielle Energie
Beispiel J-1: Harmonischer Oszillator (eindimensional)
F (x) = −kx
Epot(x) =1
2kx
2+ E0
Beispiel J-2: Freier Fall
F (z) = −mg g = 9.806 65 m s−1
in Zurich
Epot(z) = mgh+ E0
Energieerhaltungssatz
eines Teilchen
Etot = Ekin + Epot
Gravitation
Gravitationskraft ~FG = −Gm1m2
r2
~r
rG: Gravitationskonst.
~r: Abstandsvektor
zweier Massen
potentielle Energie Epot = −Gm1m2
r12
mit Epot = 0
fur r12 →∞Gravitationspotential V = −Gm
r
Drehbewegung
Drehimpuls ~L = ~r × ~pL = Iω
I: Tragheitsmoment
~r: Ortvektor
~p: Impuls (~p = m~v)
Drehimpulserhaltung ~Ltot =∑i
~Li
J.2. Elektrostatik
Gesetz von Coulomb
(fur Punktladungen)
~FC =1
4πε
Q1Q2
r2
~r
rFC: Coulomb-Kraft
ε = ε0εr
ε0: Permittivitat des
Vakuumsεr: Dielektrizitatszahl
(Materialkonst.)
ε0 = 8.854 . . . ·10−12 F m−1
εr = 1 (fur das Vakuum)
Q1,2: Ladungen
~r: Abstandsvektor
zwischen den
Punktladungen
208
PHYSIKALISCHES REPETITORIUM JElektrische Feldstarke ~E =
~F
qq: Probenladung
Elektrisches Feld
einer Punktladung
~E =1
4πε
Q
r2
~r
r~r: Abstandsvektor zur
Punktladung
Spannung UAB =
∫ B
A
~E · d~s ~s: ~s = ~AB
Potential ϕA = UAZ = −∫ A
Z
~E · d~s Z: Bezugspunkt
(ϕZ = 0)
Potential im Feld
einer Punktladung
ϕ =1
4πε
Q
rBezugspunkt im
Unendlichen
Epot = 0 fur r →∞Potentielle Energie
eines geladenen Teilchens
Epot = qϕ
Kapazitat C =Q
UC: Kapazitat
Kapazitat eines
Plattenkondensators
C = εA
dA: Flache einer Platte
d: Plattenabstand
(d√A)
Elektrisches Feld im
Plattenkondensator
E =Q
εA=U
d
J.3. Magnetismus
Beachten Sie: Im Rahmen dieser Vorlesung wird mit der magnetischen Feldstarke die
magnetische Flussdichte ~B bezeichnet.
Lorentzkraft ~FL = q(~v × ~B) µ0: Permeabilitat des
Vakuums
µ0 = 4π · 10−7 N A−2
Magnetfeld im Innern
einer stromdurchflossenen
Spule
B =µ0NI√l2 + d2
N : Anzahl Windungen
I: Stromstarke
l: Spulenlange
d: Spulendurchmesser
B ≈ µ0NI
lfur l d
209
J PHYSIKALISCHES REPETITORIUM
210