abelprisen 2017 yves meyer og de sm a b˝lgene · mozart og hans bes˝k i vatikanet under...
TRANSCRIPT
Yves Meyer
Abelprisen 2017Yves Meyer og de sma
bølgene
Arne B. Sletsjøe
Universitetet i Oslo
”for hans nøkkelrolle i utviklingen av den matematiske teorien omwavelets.”
Abelkomiteen sier i sin begrunnelse for tildelingen:”Wavelet-analyse er en metode for dele opp funksjoner i biter somer lokalisert bade i frekvens og i rom. Yves Meyer var denvisjonære lederen for den moderne utviklingen av denne teorien, iskjæringspunktet mellom matematikk, informasjons-teknologi ognumeriske beregninger og simuleringer.”
Wolfgang Amadeus Mozart
(1707 - 1783)
En berømt anekdote dreier seg omden 14-arige Wolfgang AmadeusMozart og hans besøk i Vatikanetunder onsdags-gudstjenesten ipaskeuken. Under gudstjenestenframførte koret Gregorio AllegrisMiserere, en vakker ni-stemt tonset-ting til Salme 51, kun tillatt framførti paskeuken. For a hindre at verketble framført ved andre anledningerhadde paven i mer enn 100 ar nedlagtforbud mot a kopiere notene.
Et par timer etter gudstjenesten hadde imidlertid den unge Mozartskrevet ned hele stykket etter hukommelsen.
Kartesisk koordinatsystem (Etter Rene Descartes):
- Plassering av nullpunktet- Retningen pa aksene (star normalt pa hverandre)- En malestokk- (a1, a2) · (b1, b2) = a1b1 + a2b2
Indre-produkt pa funksjonsrom (L2(C )):
〈f , g〉 =1
ρ
∫Cf (t)g(t) dt
- Bilineært- Symmetrisk- 〈f , f 〉 ≥ 0, likhet hvis og bare hvis f = 0
Ortogonal (ortonormal) basis B?
〈Bi ,Bj〉 =
{1 i = j
0 i 6= jBi ,Bj ∈ B
Mengden{sin nx , cos nx}, n ∈ Z
danner en naturlig basis for a beskrive 2π-periodiske funksjoner,som bølger eller svingninger.
〈sin x , sin x〉 =1
π
∫ π
−πsin t sin t dt =
1
π
∫ π
−π
1− cos 2t
2dt = 1
〈sin x , cos x〉 =
∫ π
−πsin t cos t dt =
1
2
∫ π
−πsin 2t dt = 0
Joseph Fourier (1768-1830)
Joseph Fourier;Thorie analytique dela chaleur, 1822:Alle periodiske funksjoner kan rep-resenteres ved (uendelige) summerav sinus- og cosinus-funksjoner medsamme type av periodisitet.
Fourier-transform:
f (ξ) =
∫ ∞−∞
f (x)e−2πixξ dx
Omvendt Fourier-transform:
f (x) =
∫ ∞−∞
f (ξ)e2πiξx dξ
Note-transform Omvendt note-transform
Mengden{1, x , x2, x3, x4 . . . }
danner en naturlig basis for funksjoner hvor vi har til hensikt aregne ut funksjonens verdier.
Vi kan ogsa uttrykke sin x med et uendelig polynom:
sin x = x − 13x
3 + 13·5x
5 − 13·5·7x
7 + . . .
Oppsummering sa langt:
- Studere en bestemt klasse av funksjoner- Finne en begrenset mengde av ”pene” basisfunksjoner med godeortogonalitetsegenskaper- Uttrykke funksjonene ved hjelp av basisfunksjonene- ”Koordinatene” til funksjonen med hensyn pa basisfunksjonenekalles funksjonens -transform
Svakhet ved Fourier-analyse (eller dekomponering i harmoniskesvingninger):
Frekvensanalyse, men sier ingenting om plassering i tid, derfor bestegnet til stasjonære signaler
Hva med helt andre typer funksjoner?
Aksjekurs ...
Jordskjelv og andre rystelser ...
Kanskje man leter etter olje
og ønsker a tolke de seismiske dataene ?
Alfred Haar(1885-1933
ψ(t) =
1 0 ≤ t < 1
2
−1 12 ≤ t < 1
0 ellers
ψn,k = 2n2ψ(2nt − k) t ∈ R
Jean Morlet (1931-2007
”Hvis det var sant, ville detvære kjent.”
”Jeg tok første tog til Mar-seille.”
Jean Morlet (1931-2007
”Hvis det var sant, ville detvære kjent.”
”Jeg tok første tog til Mar-seille.”
+
+
Wavelet = Moder-funksjon + Fader-funksjon(wavelet-funksjon) + (skalerings-funksjon)
Morlets wavelet
Wavelet-barn:
ψm,n(t) =1√amψ
(t − nb
am
)
Nødvendig betingelse for a rekonstruere signalet x ved formelen
x(t) =∑m∈Z
∑n∈Z〈x , ψm,n〉 · ψm,n
er at funksjonene {ψm,n;m, n ∈ Z} danner et ortonormaltfunksjons-system.
Meyers wavelet, presset sammen
Meyers wavelet, strukket ut
Wavelet-transform av Allegris Miserere (Tid-frekvens-analyse):
Stéphane Mallat:A wavelet zoom to analyze a multiscale world
Ingrid Daubechies:Wavelet bases: roots, surprises and applications
Emmanuel Jean Candès:Wavelets, sparsity and its consequences
Yves Meyer, Abel Laureate 2017:
Detection of gravitational waves and time-frequency wavelets
kl. 10:00
kl. 13:00
kl. 14:30
kl. 11:00
ABELFORELESNINGENE
Georg Sverdrups hus, Universitetet i Oslokl. 10:00 - 15:30
ONSDAG 24. MAI 2017
Forelesningene er åpne, men lunsjen krever påmelding på www.abelprisen.no