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4 Normalteiler und Faktorgruppen

Übersicht4.1 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Normalisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der LinksnebenklassenaU eine Partition von G. Wir wollen auf dieser Menge M der Linksnebenklassen eineVerknüpfung erklären, sodass M damit ebenfalls eine Gruppe ergibt. Das ist so einfachaber nicht möglich, die Untergruppe U muss dazu eine weitere Eigenschaft erfüllen –sie muss ein Normalteiler sein. Normalteiler sind jene Untergruppen, für die Links-und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, d. h. für die aU = U a für jedes a ∈ G gilt.Ihre fundamentale Bedeutung erkannte bereits E. Galois.

4.1 Normalteiler4.1.1 Definition und Beispiele

Eine Untergruppe N einer Gruppe G heißt ein Normalteiler von G oder invariantin G, wenn aN = N a für jedes a ∈ G. Ist N ein Normalteiler einer Gruppe G, soschreibt man dafür N � G.

Lemma 4.1Für eine Untergruppe N einer Gruppe G sind gleichwertig:

(1) N � G.

(2) aN a−1 ⊆ N für alle a ∈ G.

Beweis: (1) ⇒ (2): Aus aN = N a für a ∈ G folgt aN a−1 = N . Also gilt (2).

C. Karpfinger, K. Meyberg, Algebra, DOI 10.1007/978-3-8274-3012-0_5,© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

44 4 Normalteiler und Faktorgruppen

(2) ⇒ (1): Nach (2) gelten für jedes a ∈ G die beiden Inklusionen:

aN a−1 ⊆ N und a−1 N a ⊆ N .

Sie sind gleichbedeutend mit aN ⊆ N a und N a ⊆ aN , also mit aN = N a.

Bevor wir zu den Beispielen kommen, wollen wir nur kurz anmerken, dass man dieEigenschaft aN a−1 ⊆ N für einen Normalteiler N einer Gruppe G nach bewährtemRezept für alle a ∈ G nachweist: Man nehme x ∈ N (beliebig), a ∈ G (beliebig) undzeige ax a−1 ∈ N .

Beispiel 4.1Die trivialen Untergruppen {e} und G einer Gruppe G sind stets Normalteiler vonG, da a {e} a−1 = {e} und aGa−1 ⊆ G für alle a ∈ G erfüllt ist.In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe U ein Normalteiler, da in solchen Grup-pen stets aU = U a erfüllt ist.Für jeden Körper K und jedes n ∈ N ist die spezielle lineare Gruppe SL(n,K) inder allgemeinen linearen Gruppe ein Normalteiler, d. h. SL(n,K) � GL(n,K).Um dies zu zeigen, wählen wir ein (beliebiges) A ∈ SL(n,K) und ein (beliebiges)B ∈ GL(n,K) und betrachten BAB−1. Wegen

det(BAB−1) = det(B) det(A) det(B)−1 = det(A) = 1

liegt BAB−1 in SL(n,K).In der Diedergruppe Dn (mit den Bezeichnungen aus Abschnitt 3.1.5) ist N := 〈β〉ein Normalteiler, da βi β β−i ∈ N für alle i ∈ N und αβ α−1 = β−1 ∈ N gilt.In D3 ist die Untergruppe 〈α〉 kein Normalteiler, da β αβ−1 = αβ−2 ∈ 〈α〉.

4.1.2 Weitere Beispielsklassen

Weitere Beispiele von Normalteilern bilden die Untergruppen vom Index 2:

Lemma 4.2Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler.

Beweis: Es sei U eine Untergruppe der Gruppe G mit [G : U ] = 2. Wegen G =

U ∪ bU für alle b ∈ G \ U gilt:⎧⎨⎩ a ∈ U ⇒ aU = U = U a

a ∈ U ⇒ aU = G \ U = U a .

4.1 Normalteiler 45

Beispiel 4.2In der Diedergruppe Dn = 〈α, β〉 ist die Untergruppe N := 〈β〉 ein Normalteiler, dagilt [Dn : N ] = 2.

Es gibt weitere wichtige Klassen von Normalteilern: Urbilder von Normalteilern unterHomomorphismen sind Normalteiler. Insbesondere ist jeder Kern eines Homomorphis-mus ein Normalteiler. Und Bilder von Normalteilern unter surjektiven Homomorphis-men sind Normalteiler. Das ist der Inhalt des folgenden Lemmas:

Lemma 4.3(a) Für jeden Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H gilt:

V � H ⇒ ϕ−1(V ) = {a ∈ G |ϕ(a) ∈ V } � G ,

insbesondereKernϕ � G .

(b) Für jeden Gruppenepimorphismus ϕ : G → H gilt

N � G ⇒ ϕ(N) � H .

Beweis: (a) Es gilt ϕ−1(V ) ≤ G nach Lemma 2.11. Für x ∈ ϕ−1(V ), a ∈ G istϕ(x) ∈ V und ϕ(ax a−1) = ϕ(a)ϕ(x)ϕ(a)−1 ∈ V ; somit ax a−1 ∈ ϕ−1(V ).(b) Es gilt ϕ(N) ≤ H nach Lemma 2.11. Zu jedem b ∈ H existiert wegen der Surjek-tivität von ϕ ein a ∈ G mit ϕ(a) = b, sodass für jedes x ∈ N :

bϕ(x) b−1 = ϕ(ax a−1) ∈ ϕ(N) .

Folglich ist ϕ(N) ein Normalteiler in H.

4.1.3 Produkte von Untergruppen

Sind U und V Untergruppen einer Gruppe G, so ist das Komplexprodukt U V imAllgemeinen keine Untergruppe:

Beispiel 4.3Betrachte die beiden Untergruppen U und V von S3:

U :=

⟨(1 2 3

1 3 2

)⟩und V :=

⟨(1 2 3

2 1 3

)⟩.

Es gilt dann

U V =

{Id,

(1 2 3

1 3 2

),

(1 2 3

2 1 3

),

(1 2 3

3 1 2

)}.

Aber U V ist nach dem Satz 3.9 von Lagrange sicher keine Untergruppe von S3.


Aber es gilt immerhin:

Lemma 4.4Sind U, V Untergruppen der Gruppe G mit U V = V U , so gilt U V ≤ G.Dies trifft z.B. dann zu, wenn V � G.

Beweis: Wegen

(U V ) (U V )−1 = U V V −1 U−1 ⊆ U V U−1 = V U U−1 ⊆ V U = U V

gilt die Behauptung nach den Untergruppenkriterien in Lemma 2.7.

4.2 Normalisatoren

Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G nennt man

NG(X) := {a ∈ G | aX = X a}

den Normalisator von X in G. Er ermöglicht es, die Konjugierten aX a−1, a ∈ G,von X in G zu zählen:

Lemma 4.5Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G gilt:

(a) NG(X) ≤ G.

(b) |{aX a−1 | a ∈ G}| = [G : NG(X)] – die Anzahl der Konjugierten von X ⊆ G istgleich der Anzahl der Nebenklassen von NG(X) in G.

Beweis: (a) folgt mit den Untergruppenkriterien in Lemma 2.7 aus e ∈ NG(X) und

a, b ∈ NG(X) ⇒ a bX = aX b = X a b ⇒ a b ∈ NG(X) ,

a ∈ NG(X) ⇒ aX = X a ⇒ X a−1 = a−1 X ⇒ a−1 ∈ NG(X) .

(b) Es seien a, b ∈ G. Die Behauptung folgt dann mit Lemma 3.7 aus:

aX a−1 = bX b−1 ⇔ b−1 aX = X b−1 a ⇔ b−1 a ∈ NG(X) ⇔ aNG(X) = bNG(X).

Die Äquivalenz aX a−1 = bX b−1 ⇔ aNG(X) = bNG(X) bedeutet, dass es genauso viele verschiedene Konjugierte von X gibt wie Nebenklassen nach NG(X).

4.3 Faktorgruppen 47

Vorsicht. Der Normalisator einer Teilmenge X von G ist nach Lemma 4.5 stets eineUntergruppe von G, aber nicht zwingend ein Normalteiler (vgl. das folgende Beispiel).

Beispiel 4.4Wir benutzen die Bezeichnungen aus Beispiel 3.7 von Seite 39. Wir bestimmen den Nor-malisator von {σ2} in S3: Wegen Id, σ2 ∈ NS3

({σ2}) gilt U1 = 〈σ2〉 ⊆ NS3({σ2}). We-

gen σ1 σ2 σ−11 = σ5, σ3 σ2 σ

−13 = σ4, σ4 σ2 σ

−14 = σ5, σ5 σ2 σ

−15 = σ4 gilt NS3

({σ2}) =U1, und U1 ist kein Normalteiler von S3. Beachte auch Aufgabe 4.2.

Jedoch gilt:

Lemma 4.6Es sei U eine Untergruppe einer Gruppe G. Dann gilt:

(a) U � G ⇔ NG(U) = G.

(b) U � NG(U), und für jede Untergruppe V von G mit U � V gilt V ⊆ NG(U).

Beweis: (a) NG(U) = {a ∈ G | aU = U a} = G bedeutet ja gerade aU = U a füralle a ∈ G.(b) Für a ∈ NG(U) gilt aU = U a und somit U � NG(U). Nun sei eine UntergruppeV von G mit U � V . Dann gilt aU = U a für jedes a ∈ V , und a ∈ NG(U).

Bemerkung. Der Teil (b) von Lemma 4.6 besagt, dass der Normalisator NG(U) einerUntergruppe U die größte Untergruppe von G ist, in der U ein Normalteiler ist.

4.3 Faktorgruppen

In der linearen Algebra bildet man zu jedem Untervektorraum U eines Vektorraums Vden sogenannten Faktorraum V/U = {v + U | v ∈ V }. Wir führen diese Konstruktionnun für Gruppen durch. Die Rolle der Untervektorräume übernehmen dabei die Nor-malteiler – mit einer Untergruppe würde dies im allgemeinen Fall nicht funktionieren.

4.3.1 G modulo N

Für jeden Normalteiler N einer Gruppe G bezeichnet G/N die Menge aller Linksne-benklassen (= Rechtsnebenklassen) von N in G:

G/N := {aN | a ∈ G} (gesprochen: G modulo N oder G nach N ) .

Wir werden nun auf dieser Menge G/N der Linksnebenklassen eine Verknüpfung erklä-ren, mit der G/N zu einer Gruppe wird. Wir beginnen mit den folgenden Gleichheitenvon Nebenklassen:


Für alle a, b ∈ G und den Normalteiler N von G gelten aN = N a, bN = N b, unddeshalb gilt für das Komplexprodukt

(aN) (bN) = a (N b)N = a (bN)N = a bN N = a bN

mit den Spezialfällen

N (aN) = aN und (a−1 N) (aN) = (a−1 a)N = N .

Das begründet bereits (vgl. Lemma 2.3 zu den schwachen Gruppenaxiomen) den Teil(a) aus:

Lemma 4.7Für jeden Normalteiler N einer Gruppe G gilt:

(a) Die Menge G/N = {aN | a ∈ G} bildet mit der Multiplikation

(aN, bN) �→ (aN) (bN) = a bN

eine Gruppe (mit neutralem Element N und zu aN Inversem a−1 N).

(b) Es gilt: |G/N | = [G : N ].

(c) Die Abbildung π :

⎧⎨⎩ G → G/N

a �→ aNist ein Epimorphismus mit Kern N .

Beweis: (b) gilt nach Definition, [G : N ] ist die Anzahl der verschiedenen Linksne-benklassen.(c) Es ist π ein Homomorphismus, da für a, b ∈ G gilt:

π(a b) = a bN = (aN) (bN) = π(a)π(b) .

Und π ist surjektiv: π(a) = aN besagt insbesondere, dass jede Nebenklasse als Bildunter π vorkommt. Ferner gilt

a ∈ Kernπ ⇔ N = π(a) = aN ⇔ a ∈ N ,

d. h. Kernπ = N .

Man nennt G/N = (G/N, ·) die Faktorgruppe von G nach N und π den zugehörigenkanonischen Epimorphismus.

Beispiel 4.5In der Diedergruppe D3 ist N = 〈β〉 = {Id, β, β2} ein Normalteiler. Die Faktorgruppebesteht aus den Elementen N, αN , also D3/N = {N, αN}, und es gilt:

N N = N , N (αN) = αN = (αN)N , (αN) (αN) = α2 N = N .

Insbesondere ist D3/N eine abelsche Gruppe.

4.3 Faktorgruppen 49

Die Ergebnisse 4.7 (c) und 4.3 (a) belegen:

Lemma 4.8Die Normalteiler einer Gruppe G sind genau die Kerne von Gruppenhomomorphismenϕ : G → H.

4.3.2 Zwischenbilanz: (G, ·) und (G,+)

Bevor wir nun ein wichtiges Beispiel einer Faktorgruppe diskutieren, bringen wir einenÜberblick über die unterschiedlichen Bezeichnungen und Benennungen in Gruppen(G, ·) (multiplikative Schreibweise) und (G,+) (additive Schreibweise). In der folgendenTabelle ist N ein Normalteiler von G:

(G, ·) (G,+)

a b – Produkt mit Faktoren a, b a+ b – Summe mit Summanden a, b

e – Einselement 0 – Nullelement

a−1 – Inverses −a – Negatives

ak, k ∈ Z – Potenzen k · a, k ∈ Z – Vielfache

o(a) – kleinstes n ∈ N mit an = e o(a) – kleinstes n ∈ N mit n · a = 0

U ≤ G ⇔ (a, b ∈ U ⇒ a b−1 ∈ U) U ≤ G ⇔ (a, b ∈ U ⇒ a− b ∈ U)

Nebenklassen aU = {au | u ∈ U} Nebenklassen a+ U = {a+ u |u ∈ U}in G/N : (aN) (bN) = (a b)N in G/N : (a+N) + (b+N) = (a+ b) +N .

Bemerkung. Die additive Schreibweise wird in der Regel nur für abelsche Gruppengenutzt.

4.3.3 Restklassen modulo n

Wir diskutieren ein wichtiges Beispiel einer Faktorgruppe.Für jedes n ∈ N ist nZ = {nk | k ∈ Z} eine Untergruppe von (Z,+) und als solche einNormalteiler, weil Z abelsch ist. Die Nebenklassen

a+ nZ = {a+ nk | k ∈ Z} , a ∈ Z ,

heißen auch Restklassen modulo n.Im Zahlbereich Z der ganzen Zahlen kennen wir die Division mit Rest. Darunter ver-steht man die Tatsache, dass es zu a ∈ Z, n ∈ N ganze Zahlen q, r gibt mit a = q n+ r

und 0 ≤ r < n (r heißt der Rest). Wird a so zerlegt, dann gilt

a+ nZ = r + (q n+ nZ) = r + nZ .


Das erklärt den Namen Restklasse. In a + nZ = r + nZ liegen alle Zahlen aus Z, diebei Division durch n den Rest r, 0 ≤ r < n, haben.Seit Gauß nennt man zwei Zahlen a, b ∈ Z kongruent modulo n und schreibt dafüra ≡ b (mod n), wenn a und b in derselben Restklasse liegen.Es gibt mehrere andere oft benutzte Charakterisierungen für modulo n kongruenteZahlen, die sich aus der Übertragung bereits früher gemachter Beobachtungen in dieadditive Schreibweise ergeben. So gilt:

a ≡ b (mod n) ⇔ a+ nZ = b+ nZ

⇔ a− b ∈ nZ (a− b ist durch n teilbar)

⇔ a und b haben bei Division durch n denselben Rest.

Es ist üblich, wenn eindeutig klar ist, mit welchem Modul n ∈ N gerechnet wird, dieRestklassen mit a, a ∈ Z, zu bezeichnen, d. h.

a = a+ nZ = {a+ nk | k ∈ Z} .

Die Menge Z/nZ der Restklassen modulo n bezeichnen wir kürzer mit Zn:

Zn = Z/nZ = {a+ nZ | a ∈ Z} = {a | a ∈ Z} .

Vorsicht. Ist n = p eine Primzahl, so kollidiert die Abkürzung Zn mit der üblichenBezeichnung Zp für die Menge der sogenannten p-adischen Zahlen. Daher verwendenviele Autoren anstelle von Zn die Bezeichnung Zn oder Cn oder vermeiden jede Ab-kürzung für Z/nZ.

Hat a ∈ Z bei Division durch n den Rest r, 0 ≤ r < n, dann gilt a = r; es gibt somitgenau n verschiedene Restklassen r, 0 ≤ r < n:

Zn = {0 , 1 , 2, . . . , n− 1} , |Zn| = n .

Die additive Struktur von Z überträgt sich gemäß Abschnitt 4.3.1 auf Zn (Z modulonZ):

(a+ nZ) + (b+ nZ) = (a+ b) + nZ

mit dem Nullelement 0 = nZ und dem zu a = a+ nZ negativen Element −a = −a =

−a+ nZ.Die so beschriebene Faktorgruppe (Zn,+) heißt Restklassengruppe modulo n.Den Potenzen ak in der multiplikativen Schreibweise entsprechen hier die Vielfachenk ·(a+nZ) = k a+nZ. Insbesondere lässt sich jede Nebenklasse a = a+nZ darstellenin der Form a · 1 = a · (1 + nZ) = a + nZ, d. h., die Gruppe Zn ist zyklisch, sie wirderzeugt von 1:

Zn = 〈1〉 , o (1) = |Zn| = n .

Wir fassen zusammen:

4.4 Der Homomorphiesatz 51

Lemma 4.9Die Menge Zn = {0, 1, . . . , n− 1} der Restklassen modulo n ist bezüglich der Additiona+ b = a+ b eine zyklische, von 1 erzeugte Gruppe der Ordnung n.

Bemerkung. Um die Summe a+b = a+ b wieder in der Form r mit r ∈ {0, 1, . . . , n−1} anzugeben, ist a+ b modulo n zu reduzieren, d. h. Division durch n mit Rest durch-zuführen: a+ b = q n+ r, 0 ≤ r < n.

Beispiel 4.6Die Verknüpfungstafel für die Addition in Z6 lautet:

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

4.4 Der Homomorphiesatz

Jeder Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H liefert einen Gruppenisomorphismus: Esist ϕ(G) ∼= G/Kernϕ, d. h. das Bild von ϕ ist isomorph zur Faktorgruppe G moduloKernϕ. Das ist der Inhalt des wichtigen Homomorphiesatzes:

Satz 4.10 (Homomorphiesatz)Es sei ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann sind Kernϕ ein Normalteilervon G, ϕ(G) eine Untergruppe von H und die Abbildung

ϕ :

⎧⎨⎩ G/Kernϕ → ϕ(G)

a Kernϕ �→ ϕ(a)

ein (wohldefinierter) Gruppenisomorphismus; somit gilt

G/Kernϕ ∼= ϕ(G) .

Beweis: Es seien a, b ∈ G. Die Wohldefiniertheit und Injektivität von ϕ folgen mitder Abkürzung N := Kernϕ aus:

aN = bN ⇔ b−1 a ∈ N ⇔ ϕ(b−1 a) = eH ⇔ ϕ(a) = ϕ(b) .


Offenbar gilt ϕ(G/N) = ϕ(G), sodass ϕ auch surjektiv ist. Schließlich folgt die Homo-morphie aus:

ϕ((aN) (bN)) = ϕ(a bN) = ϕ(a b) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(aN)ϕ(bN) .

Bemerkung. Es seien N = Kernϕ und π : G → G/N der kanonische Epimorphismusπ(a) = aN . Dann gilt wegen ϕ(a) = ϕ(aN) = ϕπ(a) für alle a ∈ G die Faktorisierungϕ = ϕπ. Das wird im folgenden Diagramm verdeutlicht.

G H

G/N

a ϕ(a)

aN

ϕ

π

ϕ

ϕ

π

ϕ

Hierbei besagt der gerundete Pfeil �, dass das Diagramm kommutativ ist, d. h., es istegal, ob man gleich mit ϕ nach H geht oder mittels π den Umweg über G/N macht,es gilt ϕ = ϕπ.

Beispiel 4.7Es seien m, n natürliche Zahlen. Die Abbildung

ψ :

⎧⎨⎩ mZ → Zn

mk �→ k + nZ

ist ein Epimorphismus mit Kern mnZ. Der Homomorphiesatz 4.10 liefert nun

mZ/nmZ ∼= Z/nZ .

Es sei R = (R,+) die additive Gruppe der reellen Zahlen. Weiter sei die multipli-kative Untergruppe

S := {e2π iα |α ∈ R}

von (C \ {0}, ·) gegeben. Die Abbildung

ρ :

⎧⎨⎩ R → S

α �→ e2π iα

ist offenbar ein Epimorphismus. Da e2π iα = 1 genau dann erfüllt ist, wenn α ∈ Zgilt, ist Z der Kern von ρ. Daher gilt mit dem Homomorphiesatz 4.10:

R/Z ∼= S .

4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * 53

Da für jede natürliche Zahl n und jeden Körper K die Abbildung

det :

⎧⎨⎩ GL(n,K) → K \ {0}

A �→ det(A)

ein Epimorphismus ist mit Kern SL(n,K), gilt

GL(n,K)/SL(n,K) ∼= K \ {0}

nach dem Homomorphiesatz 4.10.

4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einerGruppe *

Es sei InnG := {ιa | a ∈ G} die Menge der inneren Automorphismen der Gruppe G.Dabei ist für ein a ∈ G der innere Automorphismus ιa wie folgt erklärt:

ιa :

⎧⎨⎩ G → G

x �→ ax a−1.

Für a, b, x ∈ G gilt ιa ιb(x) = a (b x b−1) a−1 = (a b) x (a b)−1 = ιa b(x), d. h. ιa ιb =

ιa b. In anderen Worten: Die Abbildung

ι :

⎧⎨⎩ G → AutG

a �→ ιa

ist ein Homomorphismus mit dem Bild InnG. Wegen des Homomorphiesatzes 4.10 gilt:

InnG ∼= G/Kern ι .

Wir bestimmen den Kern von ι. Es gilt:

a ∈ Kern ι ⇔ ιa = IdG ⇔ ax a−1 = x für alle x ∈ G ,

d. h., ax = xa für alle x ∈ G. Damit ist der Kern von ι das Zentrum Z(G) von G:

Z(G) := {a ∈ G | ax = x a für alle x ∈ G} .

Da Z(G) der Kern eines Homomorphismus ist, gilt Z(G) � G (vgl. Lemma 4.3).Für a, x ∈ G und τ ∈ AutG gilt

τ ιa τ−1(x) = τ(a τ−1(x) a−1) = τ(a)x τ(a)−1 = ιτ(a)(x) ,

sodass τ ιa τ−1 = ιτ(a). Wir fassen zusammen:


Lemma 4.11Für jede Gruppe G gelten

Z(G) � G , InnG � AutG und InnG ∼= G/Z(G) .

Bemerkung. Ist G abelsch, so gilt: Z(G) = G, InnG = {IdG} und G/Z(G) = {G}.

4.6 Isomorphiesätze

In diesem Abschnitt stellen wir immer wieder benötigte Isomorphiesätze zusammen.

4.6.1 Der erste Isomorphiesatz

Satz 4.12 (1. Isomorphiesatz)Für jede Untergruppe U und jeden Normalteiler N einerGruppe G gilt

U N ≤ G , U ∩N � U und U N/N ∼= U/U ∩N .

∼= N

UN

U

U ∩N

Beweis: Es gilt U N ≤ G nach Lemma 4.4 und offenbar N � U N . Ferner ist

π :

⎧⎨⎩ U → G/N

a �→ aN

als Restriktion des kanonischen Epimorphismus von G auf G/N ein Homomorphismusmit dem Bild

π(U) = {uN | u ∈ U} = {u vN | u ∈ U, v ∈ N} = U N/N

und dem Kern U ∩N . Nun wende man den Homomorphiesatz 4.10 an.

Beispiel 4.8Es seien U eine Untergruppe und N ein Normalteiler der Gruppe G mit G = U N undU ∩N = {e}. Man nennt in dieser Situation G das semidirekte Produkt von U mitN . Es gilt G/N = U N/N ∼= U/U ∩N = U/{e} ∼= U , sodass G/N ∼= U .

4.6.2 Der Korrespondenzsatz

Wir wiederholen eine bekannte Bezeichnung: zu jeder Abbildung ϕ : G → H undV ⊆ H ist ϕ−1(V ) = {a ∈ G |ϕ(a) ∈ V }.

4.6 Isomorphiesätze 55

Satz 4.13 (Korrespondenzsatz)Es sei ϕ : G → H ein Gruppenepimorphismus mit Kern N . Dann liefert

U �→ ϕ(U)

eine Bijektion von der Menge aller N umfassenden Untergruppen von G auf die Mengealler Untergruppen von H mit der Umkehrabbildung V �→ ϕ−1(V ). Dabei gilt

U � G ⇔ ϕ(U) � H und G/U ∼= H/ϕ(U) .

Beweis: Es gelte N ≤ U ≤ G. Es gilt U ⊆ ϕ−1(ϕ(U)) und wegen Lemma 2.11 (c)ϕ(U) ≤ H. Zu jedem a ∈ ϕ−1(ϕ(U)), d. h. ϕ(a) ∈ ϕ(U), existiert ein u ∈ U mitϕ(a) = ϕ(u). Es folgt:

e = ϕ(a)ϕ(u−1) = ϕ(au−1) ⇒ a u−1 ∈ N ⇒ a ∈ N u ⊆ U .

Folglich gilt:(∗) ϕ−1(ϕ(U)) = U .

Für jedes V ≤ H gilt ϕ−1(V ) ≤ G nach Lemma 2.11 (d), und ϕ(ϕ−1(V )) = V , weil ϕsurjektiv ist. Damit ist der erste Teil begründet. Weiter folgt mit Lemma 4.3:

U � G ⇔ ϕ(U) � H .

Nun betrachten wir die Abbildung

ψ :

⎧⎨⎩ G → H/ϕ(U)

a �→ ϕ(a)ϕ(U) = ϕ(aU).

Die Abbildung ψ ist surjektiv, da ϕ surjektiv ist, und ein Homomorphismus, da:

ψ(a b) = ϕ(a b)ϕ(U) = ϕ(a)ϕ(U)ϕ(b)ϕ(U) = ψ(a)ψ(b)

für alle a, b ∈ G. Der Kern von ψ ist

{a ∈ G |ϕ(a) ∈ ϕ(U)} = {a ∈ G | a ∈ ϕ−1(ϕ(U))(∗)= U} = U .

Nach dem Homomorphiesatz 4.10 gilt H/ϕ(U) ∼= G/U .

4.6.3 Der zweite Isomorphiesatz

Sind N ein Normalteiler der Gruppe G und ϕ : G → G/N der kanonische Epimorphis-mus, so folgt aus Satz 4.13 unter anderem:


Satz 4.14 (2. Isomorphiesatz)Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N ⊆ U . Dann gilt

U/N � G/N und G/U ∼= (G/N)/(U/N) .

Beispiel 4.9Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N ⊆ U . Ist G/U zyklisch und gilt|U/N | = 2, so ist G/N abelsch.Denn: Es ist nämlich (G/N)/(U/N) ∼= G/U zyklisch. Wir kürzen G/N =: H undU/N =: K ab. Dann gilt also H/K = 〈aK〉 für ein a ∈ H und K = {e, k} � H. Esfolgt a k a−1 = k. Also ist G/N = H = 〈a, k〉 nach Korollar 3.3 abelsch.Hat demnach etwa eine Gruppe der Ordnung 10 einen Normalteiler U der Ordnung 2,so ist G abelsch (setze N = {e}).

4.6.4 Das Lemma von Zassenhaus *

Das Lemma von Zassenhaus ist ein Isomorphiesatz. Wir werden es benutzen, um imKapitel 11 den sogenannten Verfeinerungssatz von Schreier zu beweisen.

Satz 4.15 (Lemma von Zassenhaus)Es seien U, U0, N, N0 Untergruppen einer Gruppe G mit U0 � U und N0 � N . Danngilt:

U0 (U ∩N0) � U0 (U ∩N) , N0 (N ∩ U0) � N0 (N ∩ U)

undU0 (U ∩N)/U0 (U ∩N0) ∼= N0 (N ∩ U)/N0 (N ∩ U0) .

Beweis: Die Skizze verdeutlicht die Situation. (Aufgrund der Form dieser Skizze wirdin der Gruppentheorie dieser Satz häufig als Schmetterlingslemma bezeichnet.)Wegen U0 � U sind U0 (U ∩ N0) und U0 (U ∩N) nach Lemma 4.4 Untergruppen von U , sodassU0 (U ∩ N0) ≤ U0 (U ∩ N) gilt. Wegen N0 � N

gilt U ∩N0 � U ∩N , und infolge U0 � U gilt füru ∈ U0, v ∈ U ∩N0:

(#) u v u−1 = u v u−1 v−1︸︷︷︸∈U0

v ∈ U0 (U ∩N0) .

Nun seien x = u v ∈ U0 (U ∩ N) und g = a b ∈U0 (U∩N0). Wir zeigen x g x−1 = (u v) g (u v)−1 ∈U0 (U ∩N0) in zwei Schritten. U0 ∩N0

N0 ∩ UU0 ∩N

(U ∩N0)(U0 ∩N)

N0(N ∩ U0)U0(U ∩N0)

U ∩N

N0(N ∩ U)U0(U ∩N)

NU

(i) Es gilt v g v−1 ∈ U0 (U ∩N0), da

v g v−1 = v a v−1︸︷︷︸∈U0

v b v−1︸︷︷︸∈U∩N0

∈ U0 (U ∩N0) , da U0 � U und U ∩N0 � U ∩N .

4.6 Isomorphiesätze 57

(ii) Es gilt x g x−1 = u (v g v−1)u−1 ∈ U0 (U ∩N0): Mit (i) erhalten wir v g v−1 = c d ∈U0 (U ∩N0). Nun benutzen wir (#):

u (v g v−1)u−1 = u c u−1︸︷︷︸∈U0

u du−1︸︷︷︸∈U0 (U∩N0)

∈ U0 (U ∩N0) .

Damit ist U0 (U ∩N0) � U0(U ∩N) begründet.Wir wenden nun den 1. Isomorphiesatz auf H := U0 (U ∩N0), K := U ∩N an:

(∗) H K/H ∼= K/H ∩K .

Nun gilt außerdem:

(∗∗) H ∩K = U0 (U ∩N0) ∩ (U ∩N) = (U0 ∩N) (U ∩N0) .

Denn: Die Inklusion ⊇ ist klar, und aus u0 ∈ U0, v ∈ U ∩N0 und u0 v ∈ U ∩N folgtu0 ∈ N , also u0 v ∈ (U0 ∩N) (U ∩N0), d. h., auch die Inklusion ⊆ gilt.Wegen H K = U0 (U ∩N) folgt mit (∗) und (∗∗):

(∗ ∗ ∗) U0 (U ∩N)/U0 (U ∩N0) ∼= U ∩N/(U0 ∩N) (U ∩N0) .

Die Voraussetzungen des Satzes sind symmetrisch in U, U0 und N, N0, ebenso dierechte Seite in (∗ ∗ ∗) (denn infolge U ∩ N0 � U ∩ N gilt (U0 ∩ N) (U ∩ N0) =

(U ∩N0) (U0 ∩N)). Aus diesen Gründen gilt daher auch

N0 (N ∩ U)/N0 (N ∩ U0) ∼= U ∩N/(U0 ∩N) (U ∩N0) .

Aufgaben

4.1 Man gebe alle Normalteiler der Gruppen S3 und S4 an.

4.2 Bestimmen Sie die Normalisatoren aller Untergruppen der S3.

4.3 Begründen Sie: Sind U und N Normalteiler einer Gruppe G, so auch U N .

4.4 Zeigen Sie: Für jede Untergruppe U einer Gruppe G ist⋂

a∈G aU a−1 ein Normalteilervon G.

4.5 Es sei U Untergruppe einer Gruppe G. Zeigen Sie: Gibt es zu je zwei Elementen a, b ∈ Gein c ∈ G mit (aU) (b U) = cU , so ist U ein Normalteiler von G.

4.6 Eine Untergruppe U einer Gruppe G heißt charakteristisch, wenn ϕ(U) ⊆ U fürjedes ϕ ∈ AutG gilt. Begründen Sie:

(a) Jede charakteristische Untergruppe ist ein Normalteiler.

(b) Jede charakteristische Untergruppe eines Normalteilers von G ist Normalteilervon G.


(c) Ist ein Normalteiler eines Normalteilers von G stets ein Normalteiler von G?

4.7 Begründen Sie: Besitzt eine Gruppe G genau eine Untergruppe der Ordnung k, so istdiese ein Normalteiler von G.

4.8 Bestimmen Sie alle Normalteiler und zugehörigen Faktorgruppen für die DiedergruppeD4. Was ist das Zentrum von D4?

4.9 Es sei Q = {E, −E, I, −I, J, −J, K, −K} die Quaternionengruppe. Bestimmen Siealle Untergruppen und alle Normalteiler von Q.

4.10 Für reelle Zahlen a, b sei ta, b : R → R definiert durch ta, b(x) = ax + b. Es seiG := {ta, b |a, b ∈ R, a �= 0}. Zeigen Sie:

(a) Die Menge G bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe.

(b) Es ist N := {t1, b | b ∈ R} Normalteiler in G.

(c) Es gilt G/N ∼= R \ {0}.

4.11 Bestimmen Sie das Zentrum Z(G) für G = GLn(K) (n ∈ N, K ein Körper).

4.12 Eine Gruppe G heißt metazyklisch, wenn G einen zyklischen Normalteiler N mit zy-klischer Faktorgruppe G/N besitzt. Zeigen Sie: Jede Untergruppe einer metazyklischenGruppe ist metazyklisch.

algebra || normalteiler und faktorgruppen

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