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Post on 05-Apr-2015
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V
Unbegrenzt
Es hat aber die Betrachtung über das Unbegrenzte eine Schwierigkeit; denn es ergibt sich viel Unmögliches, mag man aufstellen, daß es nicht existiere oder daß es existiere.
Aristoteles (384 - 322)
Das Unendliche (apeiron) ist unerschöpflich. Wo der Krieger auch steht, kann er seinen Speer weiter ausstrecken.
Anaximander (611 - 547) von Milet
ohne Ende: unbegrenzt, aber jeder Punkt erreichbar
ohne Ende und unerreichbar
Platon (427 - 348): Lichtstrahlen sind Geraden.
Grosseteste (1168 - 1253): Der Euklidische Raum ist überall und in jeder Richtung derselbe. Dies gilt auch für die Lichtausbreitung.
Pythagoreer: Die Grenze ist das Wesen des Gegenstandes, folglich die Fläche mehr als der Körper, die Linie mehr als die Fläche, der Punkt mehr als die Linie.
Die Fläche kann ohne Körper, der Körper aber nicht ohne Oberfläche sein.
Die fünf regelmäßigen Körper (kosmische Körper)
Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder
12 Pentagone 20 Dreiecke
Parkettierung einer unendlichen Fläche mit regelmäßigen Polygonenist nur möglich mit Dreiecken, Quadraten, Sechsecken.
Bienen bauen am ökonomischsten
Überlagerung zweier Hexagonalstrukturen Rauten (Rauten sind aber keine regelmäßigen Polygone.)
Halbregelmäßige Parkettierungen
August Ferdinand Möbius (1790 - 1868)
Deutscher Mathematiker und Astronom
1816 Professor in Leipzig
1844 Direktor der dortigen Sternwarte
Arbeiten über Geometrie (Dualitätsprinzip)
1843 Lehrbuch: Elemente der Mechanik des Himmels
Anfang der Topologie: welche Eigenschaften einer Fläche bleiben bei einer Verformung unverändert?
1865 Möbius-Band: eine einseitig orientierte Fläche
Max Bill
zwei Möbius-Bänder
zerschnittenes Möbius-Band = kein Möbius-Band
Inversion des Kreises
r = 1
b = 1/a
Topologie: Ein topologischer Raum ist eine Ansammlung von mathematischen Objekten mit einer Konvergenzdefinition. Ein Beispiel für einen topologischen Raum ist: mit .
1/0 =
1/ = 0
M.C. Escher
unendliche Länge: jeder (rationale) Punkt wird überstrichen.
Giuseppe Peano (1858 - 1932)ab 1890 Professor in TurinMitbegründer der symbolischen Logik (1903: Latino Sine Flexione (Kunstsprache)Peano-Axiome der natürlichen Zahlen1890: Peano-Kurve
Dimension
dim = -logN/logR
für R 0
N = 1/Rdim = R-
dimlogN = -dimlogR
dim = -log3/log(1/3)
= log3/log3 = 1dim = -log9/log(1/3) = 2·log3/log3 = 2
N = 1/R N = 1/R2
Helge v. Koch (1870 - 1924) schwedischer Mathematiker1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal.
Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird .
Helge v. Koch (1870 - 1924) schwedischer Mathematiker1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal.
Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird .
dim = -logN/logR für R 0
Gebrochene Dimension
dim = -log4/log(1/3)
N = 1/Rdim = R-dim
logN = -dimlogR
= log4/log3 = 1,262
Girard Desargues (1593 - 1662)französischer Ingenieur und Mathematiker1639: Projektive Geometrie
Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.
Trinity College
Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482
Meteorschauer
I saw, as one might see the transit of Venus, a quantity passing through infinity and changing its sign from plus to minus. I saw exactly how it happened and why the tergiversation [Finte, Wankelmut] was inevitable ...
but it was after dinner and I let it go!
Sir Winston Churchill (1874 - 1965)
Hyperbel: y = 1/x
Das Paradoxon des Rotationshyperboloids
Mantelfläche: dA = 2rds > 2rdx
=
dxrdV 2
x1
yr
21 x
dxV
1x
Bogenlänge: ds2 = dx2 + dy2 = dx2 (1 + dy2/dx2)
dx'y1dxds 2
dxx1
2A1 1xln2
Volumen:
=
21 x
dxV
1x
dxx1
2A1 1xln2
Das Paradoxon des Rotationshyperboloids:unendliche Mantelfläche, endliches Volumen
Anstrichfarbe außen unendlich Anstrichfarbe innen endlich
falls nicht dünn genug da zwangsweise dünn genug
Evangelista Torricelli(1608-1647)
Thomas Hobbes (1588-1679), englischer Philosoph und Staatstheoretiker, Mathematiklehrer des Prinzen von Wales:
To understand this for sense, it is not required that a man should be a geometrician or logician, but that he should be mad.
Die Unendlichkeitsmaschine
12 Pentagone 20 Dreiecke
Euklid: Es gibt nur fünf regelmäßige Körper
Außenwinkel im regelmäßigen Dreieck (180° - 360°/3) = 230° = 60°
Außenwinkel im regelmäßigen Viereck (180° - 360°/4) = 90°
Außenwinkel im regelmäßigen Fünfeck (180° - 360°/5) = 108°
Außenwinkel im regelmäßigen Sechseck (180° - 360°/6) = 120
Zwei Flächen bilden höchstens eine Kante, aber keine Ecke. Für eine Ecke sind mindestens drei Flächen erforderlich.Die Winkelsumme muß < 360° sein.
3 60°, 3 90°, 4 60°, 3 * 108°, 5 60°.
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