1 2. die welle-teilchen-dualität 2.1. die de-broglie-wellenlänge photonen:...sind...
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1
2. Die Welle-Teilchen-Dualität2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge
kp
kp
ωE ωE
Photonen: ...sind e.m.-Wellen |k|cωk,ω
...und masselose Teilchen |p|cEp,E
Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 )Umgekehrt haben auch ,,Teilchen” (Elektronen, Atome, Kristalle,
Katzen, ...) Wellencharakter mit pk 1 pk 1 Eω 1
Eω 1
Nichtrelativistische ,,Teilchen” der Masse m:
2
2222
λ1
m2h
m2k
m2pE
Em2
h
p
hλ
de-Broglie-Wellenlänge
Simulationen:http://vqm.uni-graz.at/
2
Beispiel: Elektronenbeugung
me c2 511 keV U ≪ 511 kVBeschleunigungsspannung:
λUeE VU
nm22,1
Uem2h
e λUeE
VU
nm22,1
Uem2h
e
U 100 V 0,12 nm
Gitterkonstanten ( 0,3 0,7 ) nm
Kristallbeugung ist möglich(Experiment: Davisson, Germer
1926, Nobelpreis 1937)
Kantenbeugung am MgO-Einkristall
X-Rays
e
3
ZählrateBeispiel: Elektronenbeugung am Youngschen Doppelspalt
Detektor / Film
Em2hE
eλω
l
Doppelspalt, l, ≫ Spaltbreiten Interferenz von 2 Punktquellen
s ≫ lintensiver Elektronenstrahl
Exp.: Schwacher Elektronenstrahl Auftreffen von Einzelelektronen
Folgerung: Einzelne Elektronen interferieren mit sich selbst!
4
Elektronen nehmen jeden möglichen Weg gleichzeitig?
Zählrate
l
Elektronenstrahl passive Ladungssonde
passive Ladungssonde
Experiment: Detektiere den Weg jedes Elektrons mit passiven Sonden.
Beobachtung: Das Zweistrahl-Interferenzmuster verschwindet,sobald die Sonden aktiviert werden.
Durch die (,,passive“) Messung wurde die quantenmechanische ,,Kohärenz” zerstört. Jede Messung ändert
das gemessene System!
Em2hE
eλω
5
Realisierung des Doppelspaltexperiments (Düber, Möllenstedt):
n
O
l
d ≫ Basislänge s ≫ l
I(y)optisches Analogon: Fresnelsches Biprisma
N(y)
HV
Kathodenstrahl-Quelle
0 V
0 V
HV
Metallfaden, O(m)
6
2.2. Die Wellenfunktion (Zusammenfassung, Details Theorie)
Einfachster Fall: Die Bewegung einer Punktmasse m wird durch deren komplexe Wellenfunktion beschrieben. t,rψ
Physikalische Bedeutung:
2t,rψ
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort zur Zeit t
r
rdt,rψ 32Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen d3r um zur Zeit t
r
Bewegungsgleichung im Potential V:
ψVψΔi m2tψ 2 ψVψΔi m2tψ 2 Schrödingergleichung: ( lineare Dgl.)
(Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933)
7
Lösung für freie Teilchen (V 0): Wellenpaket ( Superposition ebener Wellen)
23
3
π2kdrki3ωtrki et,ψ~kdeC
~t,rψ kk
mit nichtlinearer Dispersionsrelation: kωω 2m2k
kωω 2
m2k
de Broglies Ansatz:
221
m2p
m2k
m2k mvE
ωE,kp222
✔
ψVψΔi m2tψ 2 ψVψΔi m2tψ 2
8
Ortsraum und k-Raum (bzw. Impulsraum):
23
3
π2kdrkiet,ψ~t,rψ k
Ortsraum:
23
3
π2rdrkiet,rψt,ψ~ k
Impulsraum:
Wahrscheinlichkeitserhaltung:
Wahrscheinlichkeitsdichte:
Wahrscheinlichkeitsflussdichte:
t,rψt,rρ 2
t,rψt,rρ 2
ψargρψψψψt,rj mim2
0jdivρ t
0jdivρ t
Kontinuitätsgleichung:
9
Klassischer Grenzfall ( ):
klassischer Messwert ≙ ,,Erwartungswert“
0
Ort: r d|ψ|rr 32 r d|ψ|rr 32
Impuls: rdψψkd|ψ~|kkp 3i
32
rdψψkd|ψ~|kkp 3i
32
Impulsoperator
ip
(hermitescher) Messoperator Ô: rdψOψO 3 rdψOψO 3
Quantenmechanische Unschärfe der Messgröße Ô:
Standardabweichung (vgl. Praktikum) OOO 2
2 OOO 2
2
10
2.3. Die Heisenbergsche Unschärferelation (Heisenberg 1927, Nobelpreis 1932)
Wellenbild UnschärferelationenAnalogie zur Optik
Gilt für alle über Fouriertransformationen verknüpfte Messgrößen
Beispiel: Orts / Impuls-Unschärfe
pΔzΔpΔyΔpΔxΔ 2z2y2x pΔzΔpΔyΔpΔxΔ 2z2y2x
(Gleichheit gilt für spezielle gaußförmige Wellenpakete)
Spezialfall: Energie / Zeit-Unschärfe EΔtΔ 2 EΔtΔ 2
Anwendung: Lebensdauer angeregter Zustände, radioaktiver Kerne, ...
eNtN τt0
natürliche Linienbreite: τωΔEΔΓ
τtΔ 2τΓtΔEΔ
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Experiment: Elektronenbeugung am Spalt
b x ≪ 1
x
N
e
ebene Welle
0pΔ0p xx
xΔ
x völlig unbestimmt
sin pbh
bλ
x sin pbh
bλ
x
xp
xx sinpp
bxΔ
2sinp2pΔ bh
xx
π4h2pΔxΔ x π4h2pΔxΔ x
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dλ2αΔ
Objektiv
Punktabbildg. durchs Okular/Auge
D
d
x
Gedankenexperiment: Auflösungsgrenze des Mikroskops
Rückstoßpx
Teilchen
D
d
x
Objektiv
Punktabbildg. durchs Okular/Auge
Punktabbildg. Photonen im Kegel ununterscheidbar D
dλh
γxDd βpΔpΔ,α2βΔ
dDλ2αΔDxΔ
Beugung Photonen aus Kegel ununterscheidbar
x
π4h2pΔxΔ x π4h2pΔxΔ x kleiner bessere Ortsauflösung
größere Impulsverschmierung
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2.4. Potentialkästen ψVψΔi m2tψ 2 ψVψΔi m2tψ 2
Betrachte stationäre Potentiale: (zunächst 1-dimensional)
rVV
rVV
Ansatz: mit ωˆierψt,rψ t
tωi
ωE ωE
ψEψVψΔ m2
2 Stationäre Schrödingergleichung
Gesamtenergiepotentielle
EnergieOperator der
kinetischen Energie
Lösung ( Theorie) Eigenzustände mit fester (erhaltener) Energie
Spektrum der zugehörigen Energieeigenwerte
Hier: Anschauliche Darstellung und Computersimulationen
14
E2
E1
E0
2.4.1. Rechteckpotentiale
Randbedingung: a Déjà vu: wie schwingende Saite
sinusförmige Eigenmoden, quantisierte Frequenzen
,1,0n,1n1nan
n
kπ
2λ
aπ
n 1nk
2am8
hm2k
n 1nE 2
22n
2
x0 a
E
E 0
Teilchen in unendlich hohem Rechteck-Potentialtopf
0xV 0xV
• Es gibt eine Nullpunktsenergie: E 2
2
am8h
0 E 2
2
am8h
0
• En wächst quadratisch mit der Quantenzahl n. Anders als Photonen!• E↗ Knoten von ↗ Krümmung von . ↗• a↘ E wächst quadratisch.
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Computer-Exp.: Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf
• Teilchen dringt in energetisch verbotenen Bereich V E ein; dort fällt die Wellenfunktion exponentiell ab.
• Es gibt nur noch endlich viele diskrete Energiezustände mit En V0 .
• Oberhalb der Ionisationsenergie V0 entsteht ein Energiekontinuum freier Zustände.
E2
E1
E0
x0 a
E
0xV 0xV
E 0
V0
16
2.4.2. Harmonischer Oszillator
E2
E1
E0
x0
E
E 0
Teilchen im harmonischen Potential
xDxV 221 xDxV 221
E3Qualitativ: Unendliche Folge von Kastenpot. wachsender Höhen
• Unendl. Folge diskreter Niveaus• Exp. Dämpfung in verbotenen
Bereichen• Es gibt eine Nullpunktsenergie• Energiequantenzahl n Knoten
Theorie
mD
21
n
ω
ωnE
mD
21
n
ω
ωnE
Im harmonischen Oszillator-Potential unterscheiden sich benachbarte Energie-Niveaus um das Energiequantum . Dabei ist die klassische Eigenfrequenz des Oszillators. Plancksche Quantenhypothese: Übergänge durch Absorption oder
Emission von Energiequanten (z. B. Photonen oder Phononen)
ω
17
2.5. Der Tunneleffekt2.5.1. Potentialstufen
x
E
0
V0
x
E
0
V0• Rechteckstufe enthält die wesentliche Physik
• Form der Stufe Details
Untersuche die monoenergetischen
harmonischen Teilwellen des Wellenpakets
exψtx,ψ tωi exψtx,ψ tωi
18
x
E
0
V0
a) : 0
22
Vm2
kE
Em2k 1
Em2k 1
klassisch
R, T Reflexions-, Transmissionskoeffizienten für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
0T1R 0T1R
x
quantenmechanisch
x
Überlagerung: einlaufend reflektiert
verbotene Zone: exponentielle Dämpfung
0T1R 0T1R
19
x
E
0
V0
b) : 0
22
Vm2
kE
Em2k 1
Em2k 1
klassisch
1T0R 1T0R
kk
kk4T
kk
kkR 2
2
kk
kk4T
kk
kkR 2
2
VEm2k 01 VEm2k 01
EEkin 0kin VEE
x
quantenmechanisch
x
einlaufend reflektiert
auslaufend
Bemerkung: • Gilt auch bei negativen Potentialstufen.• Wellenpaket Überlagerung aller harmonischen Teilwellen.
20
2.5.2. Potentialbarrieren
x
E
0
V0• Rechteckbarriere enthält die wesentliche Physik
• Barrierenform Höhe und Breite
Untersuche die monoenergetischen
harmonischen Teilwellen des Wellenpakets
exψtx,ψ tωi exψtx,ψ tωix
E
0
V0
a
21
x
E
0
V0
a) : 0
22
Vm2
kE
Em2k 1
Em2k 1
klassisch
0T1R 0T1R x
quantenmechanisch
x
exponentielle Dämpfung
getunnelte Welle
0T1R 0T1R
22
x
E
0
V0
b) : 0
22
Vm2
kE
Em2k 1
Em2k 1
klassisch
1T0R 1T0R
VEm2k 01 VEm2k 01
x
quantenmechanisch
x
Tunneleffekt
0VE0
1
0 1 2 3
R
T
Interferenz der reflektierten Teilwellen
23
E0
E1
E2
Vextern Eexternz
Exp. Test des Tunneleffekts (1): Feldemission des Wasserstoffs
z0
E
VCoulomb
Vtot
e e
Tunneleffekt
Coulombfeld
Proton
Elektron
z
externE
Emission
24
VCoulomb
Experimenteller Test des Tunneleffekts (2): -Zerfall von Kernen
r0
E
-Teilchen Helium-Kern (2 Protonen 2 Neutronen), Ladung 2e
VKern Vtot
Tunneleffekt Atomkern Ladung Ze
starke Kernkraft
r
25
V
zV
0
Exp. Test des Tunneleffekts (3): Tunnelschwingung des NH3-Moleküls
H
N
H
H
zBindungsenergie des N-Atoms in H3-Ebene:
Stabile Bindungsposition
Symmetrische Bindungsposition
Tunneleffekt
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