1 aussagenlogik - uni-halle.deusers.informatik.uni-halle.de/~theo/theolehre/grundlagen/... · 2011....
Post on 18-Jan-2021
1 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1
1 AussagenlogikJunktoren , z.B. ∧,∨,¬,→,↔, t, f
Aussagenvariablen (Atome), z.B. p, q, r, s, . . .
Definition 1 (induktiv) Die Menge AL(P) aller (aussagenlogischen)
Formeln mit Aussagenvariablen aus der Menge P ist definiert durch:
1. Alle Aussagenvariablen p ∈ P sind Formeln. (P ⊆ AL(P)).
2. t und f sind Formeln.
3. Sind ∗ ein einstelliger Junktor und ϕ eine Formel,
dann ist auch ∗ϕ eine Formel.
4. Sind ∗ ein zweistelliger Junktor und ϕ und ψ Formeln,
dann ist auch ϕ ∗ψ eine Formel.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2
Interpretation (für ϕ ∈ AL(P)) Zuordnung W : P → 0, 1.
Menge aller Interpretationen für Formeln ϕ ∈ AL(P)
W(P) = W : P → 0, 1 = 2P
Definition 2 Jede aussagenlogische Interpretation W mit W(ϕ) = 1
heißt Modell (oder erfüllende Belegung der Aussagenvariablen) für ϕ.
Menge aller Modelle von ϕ ∈ AL(P):
Mod(ϕ) = W : P → 0, 1 | W(ϕ) = 1
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 3
Definition 3 Eine Formel ϕ ∈ AL(P) heißt
erfüllbar , wenn sie ein Modell hat
(Mod(ϕ) 6= ∅)
Beispiel: ¬p→p
unerfüllbar (Widerspruch), wenn sie kein Modell hat
(Mod(ϕ) = ∅,
für jede Interpretation W gilt W(ϕ) = 0),
Beispiel: p∧ ¬p
allgemeingltig (Tautologie), wenn jede Belegung ein Modell für
ϕ ∈ AL(P) ist
(Mod(ϕ) = W(P),
für jede Interpretation W gilt W(ϕ) = 1).
Beispiel: p∨ ¬p
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 4
Definition 4 Menge aller Modelle einer Menge Φ ⊆ AL(P) von
Formeln:
Mod(Φ) =⋂
ϕ∈Φ
Mod(ϕ)
(Eine Interpretation W : P → 0, 1 ist ein Modell für eine Menge
Φ ⊆ AL(P) von Formeln, wenn W Modell für jede Formel ϕ ∈ Φ ist.)
Jede Interpretation ist ein Modell für die Formelmenge ∅.
Definition 5 Zwei Formeln ϕ und ψ mit Mod(ϕ) = Mod(ψ)
heißen semantisch äquivalent (ϕ ≡ ψ).
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 5
Normalformen
CNF
DNF
Definition 6 Eine Formel ψ ∈ AL(P) heißt Folgerung aus der
Menge Φ ⊆ AL(P) von Formeln (Φ |= ψ), falls Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ)
gilt.
Satz 1 |= ϕ gilt genau dann, wenn ϕ allgemeingültig ist.
Satz 2 Zwei Formeln ϕ und ψ sind genau dann äquivalent,
wenn ϕ |= ψ und ψ |= ϕ gilt.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 6
Definition 7 Ein Kalkül besteht aus einer Menge von Axiomen
(Formeln) und einer Menge von Regeln, mit deren Hilfe aus den
Axiomen und einer Eingabemenge weitere Formeln gebildet werden
können.
Definition 8 Eine Formel ψ ist im Kalkül K aus einer Formelmenge Φ
herleitbar (Φ ⊢K ψ), wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
• ψ ist ein Axiom
• ψ ist eine Formel aus Φ
• ψ kann in endlich vielen Schritten aus Axiomen oder Formeln aus
Φ hergeleitet werden. Ein Schritt beinhaltet die Anwendung der
Regel aus R auf bereits hergeleitete Formeln.
In K aus Φ ableitbare Formeln ψ heißen in K aus Φ beweisbar .
(Φ ⊢K ψ)
In K aus ∅ ableitbare Formeln heißen in K beweisbar . (⊢K ψ)
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 7
Satz 3 Korrektheit und Vollständigkeit von K
Es seien Φ eine Formelmenge und ψ eine Formel.
Dann gilt Φ ⊢K ψ genau dann, wenn Φ |= ψ.
Bemerkung:
K ist korrekt , d.h. jede aus einer Formelmenge Φ herleitbare Formel
ψ ist eine Folgerung aus Φ.
K ist vollständig , d.h. jede Folgerung ψ aus einer Formelmenge Φ
kann mithilfe von K hergeleitet werden.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 8
2 Mengen, Relationen, Funktionen
2.1 Mengen
Definition 9 [Georg Cantor 1895]
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
wohlunterschiedener Dinge unserer Anschauung oder unseresDenkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem
Ganzen.
Vereinigung: A ∪ B = x| x ∈ A oder x ∈ B
x ist genau dann Element der Menge A ∪ B, wenn
x Element von A oder von B ist
Durchschnitt: A ∩ B = x| x ∈ A und x ∈ B
x ist genau dann Element der Menge A ∩ B ist, wenn
x aus A und aus B ist
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 9
Definition 10 Es sei M eine Menge. Die Menge A : A ⊆M aller
Teilmengen von M heißt die Potenzmenge von M.
Sie wird mit 2M oder P(M) bezeichnet.
Definition 11 Es seien M eine Menge und A ∈ 2M. Dann heißt
A := x | x ∈M und x /∈ A
das Komplement von A (in M).
Satz 4 (DeMorgansche Regeln) Es seien A,B ∈ 2M. Dann gelten
A ∪ B = A ∩ B und A ∩ B = A ∪ B
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 10
2.2 Relationen
Kreuzprodukt A× B := (x, y) | x ∈ A und y ∈ B
Definition 12 Eine Teilmenge R von A1 ×A2 × · · · ×An heißt
(n-stellige) Relation über A1, . . . , An.
Definition 13 Es seien M eine Menge und R eine zweistellige
Relation über M.
Wir nennen die Relation R
reflexiv , falls für alle x ∈M stets (x, x) ∈ R gilt,
symmetrisch , falls aus (x, y) ∈ R stets (y, x) ∈ R folgt,
transitiv , falls aus (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R stets (x, z) ∈ R folgt,
antisymmetrisch , falls aus (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R stets x = y folgt.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 11
Definition 14 Es seien M eine Menge und ≈ eine zweistellige
Relation über M.
Wir nennen ≈ eine Äquivalenzrelation über M, falls ≈ reflexiv,
transitiv und symmetrisch ist.
Definition 15 Es sei M 6= ∅ eine Menge. Eine Teilmenge Z der
Potenzmenge 2M heißt Zerlegung (Klasseneinteilung) von M, falls
1.⋃
A∈ZA = M
2. A 6= ∅ für alle A ∈ Z und
3. A ∩ B = ∅ für alle A,B ∈ Z, A 6= B gelten.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 12
Definition 16 Es seien ≈ eine Äquivalenzrelation über M und
a ∈M. Wir nennen
[a]≈ := b | b ∈M und a ≈ b
die von a erzeugte Äquivalenzklasse .
Definition 17 Es seien M eine Menge und eine zweistellige
Relation über M.
Wir nennen eine Halbordnungsrelation über M, falls reflexiv,
transitiv und antisymmetrisch ist.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 13
Definition 18 Es sei M eine durch halbgeordnete Menge, und es
sei T Teilmenge von M. Wir nennen a ∈M
minimales Element von T , falls a ∈ T und b 6≺ a für alle b ∈ T gilt.
Minimum von T , falls a ∈ T und a b für alle b ∈ T gilt.
untere Schranke von T , falls a b für alle b ∈ T gilt.
Infimum von T , falls a das Maximum der Menge
b | b ∈ M und b ist untere Schranke von T ist.
Supremum von T , falls a das Minimum der Menge
b | b ∈ M und b ist obere Schranke von T ist.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 14
Definition 19 Es seien R ⊆ A×B, S ⊆ B×C zweistellige Relationen.
Verbindung
R S :=(a, c) | es gibt ein b ∈ B mit (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S
Umkehrrelation R−1 :=(b, a) | (a, b) ∈ R
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 15
Definition 20 Es seien M eine Menge und R ⊆M×M eine
zweistellige Relation über M.
Wir nennen R∗ die reflexive und transitive Hülle von R, falls R∗ die
kleinste reflexive und transitive Relation ist, die R umfasst. Wir nennen
R+ die transitive Hülle von R, falls R+ die kleinste transitive Relation
ist, die R umfasst.
Ferner seien IM :=(a, a) | a ∈M
, R0 := IM und Rn := R Rn−1
für n ≥ 1.
Satz 5 Es sei R ⊆M×M eine Relation auf einer Menge M. Dann
gilt R+ =⋃∞
i=1 Ri und R∗ =
⋃∞i=0 R
i.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 16
2.3 Funktionen
Definition 21 Eine Relation R ⊆ A× B heißt eindeutig , falls aus
(a, b1), (a, b2) ∈ R stets b1 = b2 folgt.
Eine Relation f ⊆ A× B heißt Funktion aus A in B, falls f eindeutige
Relation ist.
Definition 22 Es sei f ⊆ A× B eine Funktion.
Wir nennen f eine Funktion von A in B, falls der Definitionsbereichdom(f) = a | a ∈ A und es gibt ein b ∈ B mit f(a) = b
mit A übereinstimmt.
Wir nennen f eine Funktion aus A auf B, falls der Wertebereichran(f) = b | b ∈ B und es gibt ein a ∈ A mit f(a) = b
mit B übereinstimmt.
Wir nennen f eine Funktion von A auf B, falls dom(f) = A undran(f) = B gelten.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 17
Definition 23 Eine Relation R ⊆ A× B heißt eindeutig umkehrbar ,
falls R−1 eine Funktion ist.
Definition 24 Wir nennen eine Funktion f ⊆ A× B eineindeutig , falls
f eindeutige und eindeutig umkehrbare Relation ist.
Definition 25 Eine Funktion f :⊆ A −→ B heißt
injektiv , falls für alle y ∈ B gilt: |x : f(x) = y| ≤ 1,
surjektiv , falls für alle y ∈ B gilt: |x : f(x) = y| ≥ 1,
bijektiv , falls für alle y ∈ B gilt: |x : f(x) = y| = 1.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 18
3 Allgemeine Algebren
Definition 26 Ein Paar (A,Ω) heißt (universelle) Algebra , falls
1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge) ist, und
2. Ω ⊆⋃
n∈NA(An), d.h. Ω eine Menge von Operationen auf A ist.
Definition 27 Eine Algebra der Form (H, · ) heißt Halbgruppe , falls ·
eine zweistellige assoziative Operation auf H ist.
Wir nennen e ∈ H neutrales Element (oder Einselement ) von (H, · ),
falls a · e = e · a = a für jedes Element a ∈ H gilt.
Wir nennen n ∈ H Nullelement von (H, · ), falls a · n = n · a = n für
jedes Element a ∈ H gilt.
Hat (H, · ) ein neutrales Element e und gilt für Elemente a, b ∈ H die
Beziehung a · b = e = b · a, so nennen wir die Elemente a und b
zueinander invers .
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 19
Eine Halbgruppe (H, · ) mit Einselement heißt Monoid .
Definition 28 Eine Algebra (S,⊕,⊗,¬ mit
zweistelligen Operationen ⊕ und ⊗ und einer einstelligen Operation ¬
heißt Boolesche Algebra , falls
1. (S,⊕) kommutatives Monoid mit neutralem Element 0 ∈ S ist,
2. (S,⊗) kommutatives Monoid mit neutralem Element 1 ∈ S ist,
3. für die Operation ¬ gilt:
a⊕ (¬a) = 1 für alle a ∈ S und
a⊗ (¬a) = 0 für alle a ∈ S
4. die Distributivgesetze
a⊗ (b⊕ c) = (a⊗ b) ⊕ (a⊗ c) für alle a, b, c ∈ S und
a⊕ (b⊗ c) = (a⊕ b) ⊗ (a⊕ c) für alle a, b, c ∈ S
gelten.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 20
Definition 29 Eine Algebra der Form (R,+, · , 0) heißt Halbring , falls
1. +, · zweistellige assoziative Operationen auf R sind,
2. + kommutative Operation auf R ist,
3. 0 ∈ R neutrales Element der Halbgruppe (R,+)
4. und Nullelement der Halbgruppe (R, · ) ist, und
5. die Distributivgesetze (a+ b) · c = a · c+ b · c und
a · (b+ c) = a · b+ a · c gelten.
Wir nennen e ∈ R Einselement von (R,+, · , 0), falls a · e = e · a = a
für jedes Element a ∈ R gilt.
Definition 30 Die Signatur Σ einer Algebra (A,Ω) besteht aus der
Menge aller Paare (f, s), wobei f ∈ Ω und s die zu f gehörige
Stelligkeit ist.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 21
Definition 31 Zwei Algebren (A,Ω) und (A ′,Ω ′) heißen gleichartig ,
falls es eine eineindeutige aritätserhaltende Abbildung ψ von Ω auf
Ω ′ gibt.
(Man sagt auch, (A,Ω) und (A ′,Ω ′) haben dieselbe Signatur.)
Definition 32 Eine Abbildung h : A → A ′ heißt Homomorphismus
einer Algebra (A,Ω) in eine (unter ψ gleichartige) Algebra (A ′,Ω ′),
falls für alle ω ∈ Ω und alle ai ∈ A die Gleichung
h(
ω(a1, . . . , an))
= ψ(ω)(
h(a1), . . . , h(an))
gilt.
Hierbei sei ω eine n-äre Operation in (A,Ω).
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 22
Definition 33 Es sei (A,Ω) eine Algebra, Wir nennen B ⊆ A
abgeschlossen unter Ω, falls für alle ω ∈ Ω aus ai ∈ B stets
ω(a1, . . . , an) ∈ B folgt.
Ist B ⊆ A unter den Operationen ω ∈ Ω abgeschlossen, so nennen
wir (B,Ω) eine Unteralgebra von (A,Ω).
[ Kurzschreibweise: (B,Ω) ⊆| (A,Ω) ]
Definition 34 Eine binäre Relation ∼ heißt Kongruenzrelation auf
einer Algebra (A,Ω), falls
1. ∼ Äquivalenzrelation auf der Menge A ist, und
2. für alle ω ∈ Ω und alle ai, a′i ∈ A die Beziehung
ω(a1, . . . , an) ∼ ω(a ′1, . . . , a
′n) aus ai ∼ a ′
i folgt.
Notation: [a]∼ := a ′ : a ′ ∼ a für die von a ∈ A erzeugte
Äquivalenzklasse.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 23
Satz 6 (Homomorphiesatz) Es seien (A,Ω) und (A ′,Ω ′) (unter ψ
gleichartige) Algebren, und es sei h : A → A ′ ein Homomorphismus
von (A,Ω) in (A ′,Ω ′).
Dann definiert die Beziehung
a ∼ a ′ genau dann, wenn h(a) = h(a ′)
eine Kongruenzrelation auf (A,Ω), und es gibt einen
Isomorphismus ϕ von (A/∼,Ω) in (A ′,Ω ′) derart, dass
h(a) = ϕ(h∼(a)) für alle a ∈ A gilt.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 24
Diagramm zum Homomorphiesatz
(A,Ω) -h
(
h(a) | a ∈ A,Ω ′)
⊆| (A ′,Ω ′)
@@
@@
@R
h∼
ϕ
(A/∼,Ω)
Folgerung 7 Es seien (A,Ω) und (A ′,Ω ′) (unter ψ gleichartige)
Algebren, und es sei h : A → A ′ ein Homomorphismus von (A,Ω) in
(A ′,Ω ′).
Dann ist h(a) | a ∈ A abgeschlossen bezüglich der Operationen aus
Ω ′, m.a.W. (h(a) | a ∈ A,Ω ′) ist eine Unteralgebra von (A ′,Ω ′).
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 25
4 Terme und Σ-Algebren
Menge SF von Funktionssymbolen
funktionale Signatur: ΣF ⊆ SF × N
Definition 35 (induktiv) Die Menge Term(Σ) aller Grundterme über
Σ ist die kleinste Menge mit folgender Eigenschaft:
Für jedes n ∈ N, jedes f ∈ Σ(n) und alle (t1, . . . , tn) ∈ Term(Σ)n gilt
f(t1, . . . , tn) ∈ Term(Σ).
Damit gilt insbesondere Σ(0) ⊆ Term(Σ).
Für alle Signaturen Σ mit Σ(0) = ∅ gilt Term(Σ) = ∅.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 26
funktionale Signatur ΣF, Menge X von Variablen
Definition 36 (induktiv) Die Menge Term(Σ, X) aller Terme über Σ
mit Variablen aus X ist die kleinste Menge mit folgenden
Eigenschaften:
1. X ⊆ Term(Σ, X)
2. Für jedes n ∈ N, jedes f ∈ Σ(n) und alle
(t1, . . . , tn) ∈ Term(Σ, X)n gilt f(t1, . . . , tn) ∈ Term(Σ, X).
Bemerkung: Term(Σ) = Term(Σ, ∅)
Definition 37 Zu einer funktionalen Signatur Σ heißt S = (A,VS) eine
Σ-Algebra , falls
1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge oder Universum genannt)
ist und
2. für jedes n ∈ N und jedes f ∈ Σ(n) gilt VS(f) : An → A.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 27
funktionale Signatur Σ, Σ-Algebra S = (A,VS)
Definition 38 Die Funktion VS = VS(t) mit VS : Term(Σ) → A ordnet
jedem Σ-Grundterm t = f(t1, · · · , tn) ∈ Term(Σ) seinen Wert VS(t)
in der Σ-Algebra S zu:
VS(t) = VS(f)(VS(t1), · · · , VS(tn)).
Spezialfall für t = c ∈ Σ(0) : VS(t) = VS(c)
Definition 39 Grundterme s, t ∈ Term(Σ, ∅) mit VS(s) = VS(t)
heißen (semantisch) äquivalent in der Σ-Algebra S.
(s ≡S t)
Definition 40 Für jede funktionale Signatur Σ mit Σ(0) 6= ∅ heißt die
Σ-Algebra T(Σ) = (Term(Σ), VT(Σ)), in welcher für alle (f, n) ∈ Σ und
alle (t1, . . . , tn) ∈ Term(Σ)n gilt VT(Σ)(f)(t1, . . . , tn) = f(t1, . . . , tn)
Grundtermalgebra zu Σ.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 28
Menge A mit n-stelligen Relationen R ⊆ An
relationale Signatur Σ ⊆ SR × N (analog zu funktionaler Signatur)
Definition 41 Zu einer relationalen Signatur Σ ist S = (A,VS) eine
relationale Σ-Struktur , falls
1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge oder Universum) ist und
2. für jedes n ∈ N und jedes Relationssymbol (R, n) ∈ Σ gilt
VS(R) ⊆ An.
Gegeben sei eine relationale Signatur Σ = ΣR.
Definition 42 Für zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B, VS2
)
heißt eine Funktion h : A → B Homomorphismus von S1 in S2 genau
dann, wenn für alle (R, n) ∈ Σ und alle (a1, · · · , an) ∈ An gilt:
Aus (a1, · · · , an) ∈ VS1(R) folgt (h(a1), · · · , h(an)) ∈ VS2
(R).
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 29
Definition 43 Zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B, VS2
)
heißen isomorph , falls eine Bijektion h : A → B existiert, sodass für
alle (R, n) ∈ Σ und alle (a1, · · · , an) ∈ An gilt:
(a1, · · · , an) ∈ VS1(R) genau dann, wenn
(h(a1), · · · , h(an)) ∈ VS2(R).
funktionale Signatur ΣF, relationale Signatur ΣR
gemeinsame Signatur Σ = ΣF ∪ ΣR
Definition 44 Zu einer Signatur Σ = ΣF ∪ ΣR heißt S = (A,VS) eine
Σ-Struktur , falls
1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge oder Universum) ist,
2. für jedes n ∈ N und jedes f ∈ Σ(n) gilt VS(f) : An → A und
3. für jedes n ∈ N und jedes Relationssymbol (R, n) ∈ Σ gilt
VS(R) ⊆ An.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 30
gemischte Signatur Σ = ΣF ∪ ΣR
Definition 45 Für zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B, VS2
)
heißt eine Funktion h : A → B
Homomorphismus von S1 in S2 genau dann, wenn für alle n ∈ N und
alle (a1, · · · , an) ∈ An gilt:
1. für alle f ∈ Σ(n)
F gilt:
h(VS1(f)(a1, · · · , an)) = VS2
(f)(h(a1), · · · , h(an)),
2. für alle R ∈ Σ(n)
R gilt:
Aus (a1, · · · , an) ∈ VS1(R) folgt (h(a1), · · · , h(an)) ∈ VS2
(R).
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 31
Definition 46 Zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B, VS2
)
heißen isomorph , falls eine bijektive Funktion h : A → B existiert,
sodass für alle n ∈ N und alle (a1, · · · , an) ∈ An gilt:
1. für alle f ∈ Σ(n)
F gilt:
h(VS1(f)(a1, · · · , an)) = VS2
(f)(h(a1), · · · , h(an)),
2. für alle R ∈ Σ(n)
R gilt:
(a1, · · · , an) ∈ VS1(R) genau dann, wenn
(h(a1), · · · , h(an)) ∈ VS2(R).
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 32
5 Graphen
Definition 47 (V, E) heißt gerichteter Graph (Digraph), wenn
• V Menge von Knoten (auch Ecke genannt, vertex)
• E ⊆ V2 Menge von Kanten (edge).
Definition 48 (V, E) heißt ungerichteter (schlingenfreier) Graph ,
wenn
• V Menge von Knoten
• E ⊆(
V2
)
Menge von KantenNotation: ab statt a, b
mit(
V
2
)
= M ⊆ V | M enthält genau 2 Elemente
Graph (ohne Zusatz): endlich, ungerichtet, schlingenfrei
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 33
Der Graph (V, E) heißt
leer genau dann, wenn V = ∅ und E = ∅,
isoliert genau dann, wenn E = ∅,
vollständig genau dann, wenn E =(
V2
)
.
Kn – vollständiger Graph mit n Knoten
Knotengrad
Graph (V, E)
G = (V, E) definiert Funktion gradG : V → N,
wobei für alle a ∈ V gilt:
gradG(a) = |NG(a)|
gradG(a) heißt Grad des Knotens a.
(V, E) heißt n-regulär (regulär) , falls für alle a ∈ V gilt gradG(a) = n.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 34
Satz 8 Für jeden Graphen (V, E) gilt∑
a∈V gradG(a) = 2|E|.
Folgerung 9 In jedem endlichen Graphen ist die Anzahl der Knoten
von ungeradem Grad gerade.
Definition 49 Zwei Graphen G = (VG, EG) und H = (VH, EH) heißen
isomorph (G ≃ H), falls eine Bijektion f : VG → VH existiert, sodass
für alle a, b ∈ VG gilt:
f(a), f(b) ∈ EH genau dann, wenn a, b ∈ EG.
Die Isomorphie ≃ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
Graphen.
Äquivalenzklassen [G]≃ heißen Isomorphieklassen.
In := [(1, · · · , n, ∅)]≃
Kn := [(1, · · · , n,(
1,···,n2
)
)]≃
Pn := [(1, · · · , n, i, i+ 1|i ∈ 1, · · · , n− 1)]≃
Cn := [(1, · · · , n, i, i+ 1|i ∈ 1, · · · , n− 1 ∪ n, 1)]≃
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 35
Für Graphen G = (VG, EG) und H = (VH, EH) heißt H
Teilgraph von G genau dann, wenn VH ⊆ VG und EH ⊆ EG gilt,
echter Teilgraph von G genau dann, wenn H ist Teilgraph von G
und H 6= G,
induzierter Teilgraph von G genau dann, wenn VH ⊆ VG und
EH = a, b ∈ EG | a, b ⊆ VH
aufspannender Teilgraph von G genau dann, wenn H ist
Teilgraph von G und VH = VG
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 36
G ∗H = (VG ∪ VH, EG ∪ EH ∪ (VG × VH))
für VG und VH disjunkt
Graphenklassen: Km,n = Im ∗ In,
Sterne K1,n
allgemein Kn1,...,nm= In1
∗ · · · ∗ Inmfür m > 1
Definition 50 Ein Graph G = (V, E) heißt bipartit genau dann, wenn
eine Zerlegung V0, V1 von V (d.h. V0 ∩ V1 = ∅ und V0 ∪ V1 = V) mit
((
V0
2
)
∪(
V1
2
)
) ∩ E = ∅ existiert.
Ein Graph G = (V, E) ist genau dann bipartit, wenn ein Km,n = (V, E ′)
existiert, sodass E ⊆ E ′ ist.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 37
Definition 51 Das Komplement eines Graphen G = (V, E) ist der
Graph G = (V, E) mit
uv ∈ E genau dann, wenn uv 6∈ E gilt.
G heißt selbstkomplementär genau dann, wenn G ≃ G
Pfade, Kreise, Wege
Relation RG auf V2 im Graphen G = (V, E)
(u, v) ∈ RG (u und v sind zusammenhängend )
genau dann, wenn es einen Weg von u nach v in G gibt.
Bemerkung:
Für jeden Graphen G = (V, E) ist RG eine Äquivalenzrelation auf V .
Äquivalenzklassen [u]RGsind Knotenmengen induzierter Teilgraphen
von G
und heißen Zusammenhangskomponenten von G.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 38
Bäume
Definition 52 G = (V, E) heißt Baum , wenn
• G zusammenhängend ist und
• kein Teilgraph von G ein echter Kreis ist.
G = (V, E) heißt Wald , wenn kein Teilgraph von G ein echter Kreis ist.
v ∈ V mit grad(v) ≤ 1 heißt Blatt
Teilgraph H von G heißt Gerüst von G, falls
• H ein Baum und
• H ein aufspannender Teilgraph von G ist.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 39
Definition 53 Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg (e1, ..., en) ∈ E∗
heißt EULERscher Weg , falls E = e1, ..., en und ei 6= ej für i 6= j,
d.h. der Weg (e1, ..., en) ∈ E∗ enthält jede Kante aus E genau einmal.
Ist der Anfangsknoten v1, (e1 = v1, v2) gleich dem Endknoten
vn+1, (en = vn, vn+1), so spricht man von einem EULERschenKreis .
Satz 10 (Euler) Ein zusammenhängender Graph G = (V, E) ohne
Schlingen hat genau dann einen EULERschen Kreis, wenn der Grad
aller Knoten gerade ist.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 40
Definition 54 Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg (v1, ..., vn) ∈ V∗
heißt HAMILTONscher Weg , falls V = v1, ..., vn und vi 6= vj für
i 6= j, d.h. der Weg (v1, ..., vn) ∈ V∗ enthält jeden Knoten aus V
genau einmal.
Ist außerdem vn, v1 ∈ E, so spricht man von einem
HAMILTONschen Kreis .
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 41
Planare Graphen
Definition 55 Ein Graph G = (V, E) heißt planar , wenn er sich ohne
Überkreuzung von Linien in der Ebene zeichnen lässt.
Die Zeichnung des planaren Graphen in der Ebene zerlegt die Ebene
in eine endliche Anzahl von zusammenhängenden Gebieten (auch
Flächen genannt), wobei wir das äußere (unbeschränkte) Gebiet
mitzählen.
Satz 11 (EULERsche Polyederformel) Ist G = (V, E) mit V 6= ∅ ein
zusammenhängender planarer Graph ohne Schlingen mit f Flächen,
so gilt
|V | + f = |E| + 2 .
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 42
Folgerung 12 Es sei G = (V, E) ein planarer Graph. Dann gilt
|E| ≤ 3 · |V | − 6 .
Ist G außerdem bipartit, so gilt
|E| ≤ 2 · |V | − 4 .
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 43
6 Prädikatenlogik
(Individuen-)Variablensymbole: v0, v1, . . .
(Individuen-)Konstantensymbole: c0, c1, . . .
Funktionssymbole: f(n)
0 , f(n)
1 , . . . (n = 1, 2, . . .)
Definition 56funktionale Signatur: ΣF ⊆ (ci, 0) | i ∈ N
︸ ︷︷ ︸Konstanten
∪ (f(n)
i , n) | i, n ∈ N ∧ n ≥ 1︸ ︷︷ ︸
mehrstellige Funktionen
Variablen: X := vi | i ∈ N
t ist prädikatenlogischer Term , falls t ∈ Term(ΣF, X).
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 44
Relationensymbole: R(n)
0 , R(n)
1 , . . . (n = 1, 2, . . .)
relationale Signatur: ΣR ⊆ (R(n)
i , n) | i, n ∈ N ∧ n ≥ 1
Junktoren: ¬, ∧,∨
Quantoren: ∃, ∀
Klammern: (, )
Definition 57 1. Induktionsanfang (Atome) Sind t1, t2, . . . , tnTerme und ist R(n)
j ein Relationensymbol, so ist R(n)
j (t1 . . . tn) ein
(Σ-)Ausdruck .
2. Induktionsschritt Sind ϕ1, ϕ2 (Σ-)Ausdrücke und ist v ein
Variablensymbol, so sind auch ¬ϕ1, (ϕ1 ∧ϕ2), und (ϕ1 ∨ϕ2)
sowie ∃vϕ1 und ∀vϕ1 (Σ-)Ausdrücke .
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 45
Definition 58 Es seien S = (A,VS) eine Σ-Struktur und
β : vi : i ∈ N → A eine Belegung.
Wir nennen Iβ : Term(ΣF, X) → A eine Σ-Interpretation der Terme ,
falls
für eine Variable v: Iβ(v) := β(v),
für eine Konstante c: Iβ(c) := VS(c), sowie
für einen zusammengesetzten Term f (t1 . . . tn):
Iβ(f (t1 . . . tn)) := VS(f)(
Iβ(t1), . . . , Iβ(tn))
gelten.
Notation: Iβav
:= I(β a
v )
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 46
Definition 59 Es seien S = (A,VS) eine Σ-Struktur und
β : vi : i ∈ N → A eine Belegung.
Wir nennen eine Abbildung Iβ der Σ-Ausdrücke in die Algebra(0, 1
,max ,min , 1− (·), 0, 1
)
eine Σ-Interpretation der
Ausdrücke , falls
für atomare Ausdrücke R (t1 . . . tn): genau dann
Iβ(R (t1 . . . tn)) = 1 gilt, wenn(
Iβ(t1), . . . , Iβ(tn))
∈ VS(R) ist,
und für alle Σ-Ausdrücke ϕ1, ϕ2 die Beziehungen
für die Junktoren ¬,∨ und ∧: Iβ(¬ϕ1) := 1− Iβ(ϕ1),
Iβ((ϕ1 ∨ϕ2)) := maxIβ(ϕ1), Iβ(ϕ2) und
Iβ((ϕ1 ∧ϕ2)) := minIβ(ϕ1), Iβ(ϕ2), sowie
für die Quantoren ∃, ∀: Iβ(∃vϕ1) := max Iβav(ϕ1) | a ∈ A und
Iβ(∀vϕ1) := min Iβav(ϕ1) | a ∈ A gelten.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 47
Freie und gebundene Variablen
ψ frei(ψ) geb(ψ)
(R(t1, . . . , tn))⋃n
i=1 Var(ti) ∅
¬ϕ frei(ϕ) geb(ϕ)
(ϕ1 ϕ2) frei(ϕ1) ∪ frei(ϕ2) geb(ϕ1) ∪ geb(ϕ2) ∈ ∧,∨
Qvϕ frei(ϕ) \ v geb(ϕ) ∪ v Q ∈ ∀, ∃
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 48
Definition 60 Eine Menge Φ von Σ-Ausdrücken heißt genau dann
erfüllbar , wenn es eine Σ-Struktur S = (A,VS), eine Belegung
β : X → A und eine Σ-Interpretation Iβ derart gibt, dass Iβ(ϕ) = 1
für alle Ausdrücke aus ϕ ∈ Φ erfüllt ist.
Wir sagen dann auch, Iβ sei Modell für (von) Φ.
Definition 61 Es sei Φ eine Menge von Ausdrücken, und es sei ϕ ein
Ausdruck. Wir sagen, ϕ folgt aus Φ (kurz: Φ |= ϕ), falls jede
Interpretation Iβ, die Modell für Φ ist, auch Modell von ϕ ist.
M.a.W., falls Iβ(ψ) = 1 für alle ψ ∈ Φ gilt, so muß auch Iβ(ϕ) = 1
gelten.
Definition 62 Ein Ausdruck ϕ heißt allgemeingültig (kurz: |= ϕ), falls
∅ |= ϕ gilt, d.h. Iβ(ϕ) = 1 für alle Σ-Strukturen S = (A,VS) und alle
Belegungen β : X → A gilt.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 49
Definition 63 Zwei Ausdrücke ϕ und ψ heißen semantisch
äquivalent (ϕ ≡ ψ), falls sowohl ϕ |= ψ als auch ψ |= ϕ gelten, d.h.
es gilt für alle Σ-Strukturen S = (A,VS) und alle Belegungen
β : X → A genau dann Iβ(ϕ) = 1, wenn Iβ(ψ) = 1 gilt.
Kalkül K für die Prädikatenlogik erster Stufe
Definition 64 Eine Menge von Ausdrücken Ψ heißt widerspruchsfrei
bezüglich ⊢K, falls es einen Ausdruck ψ mit Ψ 6⊢K ψ gibt.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 50
Der GÖDELsche Vollständigkeitssatz
Satz 13 Es seien Σ eine Signatur, Φ eine Menge von Σ-Ausdrücken
und ϕ ein Σ-Ausdruck.
Dann folgt aus Φ |= ϕ auch Φ ⊢K ϕ.
Satz über die Adäquatheit des Kalküls K
Satz 14 Es sei Σ eine Signatur, und es sei Φ eine widerspruchsfreie
Menge von Ausdrücken über Σ. Für Σ-Ausdrücke ϕ gilt genau dann
Φ |= ϕ, wenn Φ ⊢K ϕ erfüllt ist.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 51
Elementare Arithmetik
ΣF = (0.0), (s, 1), (+, 2), (·, 2), ΣR = (<, 2)
Terme z.B.: 0, s(0), s(0) + 0, s(s(0)) · s(0)
Definition 65 Es sei Φ eine Menge von Σ-Ausdrücken, die keine
freien Variablen enthalten. (d.h. Menge von Σ-Sätzen)
Φ heißt Theorie , wenn Φ erfüllbar ist und wenn alle Folgerungen aus
Φ bereits in Φ enthalten sind.
Also für Folg(Φ) := ϕ|Φ |= ϕ und ϕ ist Σ-Satz gilt Folg(Φ) = Φ
(Abgeschlossenheit unter Bildung von Folgerungen).
Bezeichnung: Theorie T = T(S) (Interpretation abhängig von S, aber
nicht von β)
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 52
Satz 15 Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik , Alonzo Church
Es gibt keinen Algorithmus, der einen beliebigen Satz (Ausdruck ohne
freie Variable) als Eingabe erhält und feststellt, ob er allgemeingültig
ist oder nicht.
Eine Theorie T ist vollständig, wenn für jeden Satz ϕ entweder ϕ ∈ T
oder ϕ 6∈ T gilt.
T ist rekursiv-axiomatisierbar, wenn die Axiomenmenge entscheidbar
ist (algorithmisch entscheidbar, ob ein Ausdruck ein Axiom ist).
Satz 16 1. Unvollständigkeitssatz , Kurt Gödel
Jede widerspruchsfreie und rekursiv-axiomatisierbare Theorie, die die
elementare Zahlentheorie umfasst, ist unvollständig.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 53
T ist widerspruchsfrei, wenn es keinen Ausdruck ϕ mit T ⊢ ϕ und
T ⊢ ¬ϕ gibt.
Satz 17 Folgerung aus 2. Unvollständigkeitssatz , Kurt Gödel
Der Nachweis der Widerspruchsfreiheit einer Theorie, die die
elementare Zahlentheorie umfasst, lässt sich nicht mit Mitteln der
Theorie führen (es sei denn, die Theorie ist widerspruchsvoll).
Die Widerspruchsfreiheit der Mathematik kann mit mathematischen
Methoden nicht geführt werden. Entweder ist die Mathematik
widerspruchsvoll, oder aber wir können ihre Widerspruchsfreiheit nicht
beweisen.
top related