1. eine kurze einführung in mathe-matische und statistische hilfsmittel

SS 2002 1

1. Eine kurze Einführung in mathe-matische und statistische Hilfsmittel.Motivation:

Wiederholung einiger einfacher mathematischer Konzepte, die immer wieder benötigt werden.

Kurze Einführung in die empirische Wirtschaftsforschung.

Wenn Sie sie einmal verstanden haben, haben Sie später „den Kopf frei“ für die ökonomischen Inhalte.

Übung an Hand konkreter Beispiele aus dem späteren Lehrstoff.

SS 2002 2

Inhalt•Bestands- und Stromgrößen

•Indizes

•Wachstumsraten

•Näherungsformeln

•Geometrische Reihen

•Funktionen und ihre Graphen

•Gleichungen, Gleichungssysteme, Gleichgewichte

•Empirische Wirtschaftsforschung

SS 2002 3

1.1 Bestands- und Stromgrößen

•Bestandsgrößen:

•Beziehen sich auf einen Zeitpunkt

•Z. B. Gewicht, Zahl der Studierenden, Bilanzposten, Preisniveau, Arbeitslosenquote,...

•Stromgrößen:

•Beziehen sich auf einen Zeitraum

•Z. B. Gewichtszunahme, Erträge in der Buchhaltung, BIP, gesamtwirtschaftlicher Konsum

Zusammenhang zwischen Bestands- und Stromgrößen.

Ersparnis = Stromgröße = Veränderung der Bestandsgröße „Vermögen“

SS 2002 4

1.2 Indizes•„Normierung“ von unhandlichen Größen.

•Drücken eine Größe in Prozent ihres Werts in der „Basisperiode“ aus.

100*0X

XXI t

t

•Index hat den Wert 100 in der Basisperiode.

•Beispiele:

•Index der Geldmenge

•Verbraucherpreisindizes (z. B. VPI 1995)

•Index des Bruttoinlandsprodukts

SS 2002 5

1.3 WachstumsratenWachstumsrate einer Variable X in Periode t:

1111

1

t

t

t

t

t

ttX X

XXX

XXX

g

Beispiel: Wachstumsrate der Geldmenge (M1) im Euroraum im Jahr 2000

Bestand per M1 (in Mrd. €, gerundet)

Index von M1(Basis: 31. Dez. 1998)

31. Dez. 1999 1.959 109,6

31. Dez. 2000 2.076 116,2

%0,6060,01109,6116,2

1959.1076.2

SS 2002 6

Näherungsformeln

Nominelles Wirtschaftswachstum

= RealesWirtschaftswachstum

+ Inflationsrate

$y = y + π

Beispiel:

0

$

1 1$1

πyπyy

πyy

Bitte nicht verwechseln:

„Prozent“ und „Prozentpunkte“!

ba10

abba1b1 a1

SS 2002 7

1.5 Geometrische Reihen

aa

aaan

n

11

...11

2 1 für 1

11

1lim

1

a

aaan

n

Beispiel: „Multiplikatorprozeß“

e"Konsumquot marginale" ... c

Ausgaben autonomen"" der gVeränderun ... ΔA

menschtseinkomGleichgewi des gVeränderun ... ΔY

c11

ΔA

...) c...ccΔA(1

... ΔAc...ΔAcΔAcΔAΔY

1

1

n1

211

n1

211

SS 2002 8

1.6 FunktionenFunktionen mit einer unabhängigen Variablen

y „abhängige Variable“, „Funktionswert“, „endogene Variable“

x „unabh. Variable“, „erklärende Variable“, „Argumentwert“, „exogene Variable“

xfy

Positiver Zusammenhang Negativer Zusammenhang

)(

xfy )(

xfy

0dxdy

0dxdy

SS 2002 9

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

nxxxfy ,...,, 21

0,0

),(

21

-21

xy

xy

xxfy

Beispiel: „Phillips-Kurve“

Allgemeine Form: Eine einfache spezielle Form:

)()(),(

uπfπ e

tt uππ ett

partielle Einflüsse, „ceteris paribus“ ...

SS 2002 10

Wie wirkt die Veränderung einer unabhängigen Variablen xi auf y?

ninii xxxfxxxxfy ,...,,...,,...,Δ,...,Δ 11

Oder:

ii x

yxy

ΔΔ

Beispiel: Veränderung des Gleichgewichtseinkommens, wenn die

Staatsausgaben um 100 erhöht werden ...

abenStaatsausg...

nen,Investitio... mmen,ichtseinko.Gleichgew..

e,Konsumquot marginale... Konsum, autonomer...c

200.G ,200 ,100 ,6,0 mit ,1

1

10

0101

G

IY

c

IccGIcc

Y

SS 2002 11

Lösungsweg 1:

Ausgangssituation: Einsetzen ergibt: Y = 1.250.

Nach der Veränderung der Staatsausgaben: Y = 1.500. ∆Y = 250.

Lösungsweg 2:

.250100*2,5GΔ2,5YΔ

.5,21

1

1

cGY

„Totales Differential“: nn x

ydx

xy

dxxy

dxdy

...2

21

1

Beispiel: „Erlösfunktion“

pdqqdpqR

dqpR

dpdR

qpRpqR

**

Menge... Preis,... .Erlöse,..

SS 2002 12

1.7 Graphen

)(xfy

A b s z is s e n a c h s e

O rd in a te n a c h s e

x b z w . x i

I

II III

IV

0

SS 2002 13

Y D

C

c 0

0

C

Y D

DYC

cΔΔ

1

DYccC 10

Graphen linearer Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

xb a ySteigungKonstante

Beispiel: „Keynesianische Konsumfunktion“

SS 2002 14

Beispiel: „IS-Kurve“:

Y = a + bi, b < 0

a

„IS-Kurve“

i

Y

0

i

Y

iY

bΔΔ

SS 2002 15

Graphen linearer Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

y

x1

),...,,( 21 nxxxfy

),...,,( 2 nxx0f

SS 2002 16

Beispiel: „Nettoexportfunktion“ (vereinfacht) )*,()()(

YYfNX

Relation)- (alte *),( 00 NXYYfNX

NX

0 Y

Relation)- (neue *),( 11 NXYYfNX

*0

*1 YY

SS 2002 17

1.8 Gleichungen, Gleichungssysteme, GleichgewichteGleichungen und Identitäten

Gleichungen: Spezielle Beziehung zwischen Variablen

Beispiel: „Gleichgewichtsbedingung“ im Gütermarkt

200.2

55025,0

30020075,050

300 ,200 ,75,0,50

)(

)(

10

10

Y

Y

YY

GIcc

YccYC

GIYCY

Identitäten: Beziehung zwischen Variablen, die immer gilt.

Beispiel: „Aggregierte Nachfrage“ GICZ

SS 2002 18

Gleichungssysteme

„Lösung“ eines Gleichungssystems: Eine Kombination von Variablen in allen Gleichungen, die mit allen Gleichungen vereinbar ist. Solche Lösungen begegnen uns häufig in Form von makroökonomischen Gleichgewichten.

•Rechnerische Lösung

•Grafische Lösung

Beispiel: Gleichgewicht im Geldmarkt

240M 0,2i :Lösung

50i250240

MM

50i250M

daher 1.000, $Ywobei 0,2i),0,25$Y(1M

240M

:Lösung heRechnerisc

ds

d

d

s

SS 2002 19

Grafische Lösung:

0 , 2 0

2 4 0 2 5 0 M S , M d

i M s

),( YiM d

SS 2002 20

„Komparativ-statische Analysen“:

•Veränderungen von Gleichgewichten

•Vergleich von „altem“ und „neuem“ Gleichgewicht

•Keine „dynamischen“ Betrachtungen

•Entwicklung von Variablen über die Zeit

•Anpassungsgeschwindigkeit

Beispiel: Geldmarkt-Gleichgewicht.

Wie verändert es sich, wenn sich das Geldangebot Ms erhöht?

SS 2002 21

1.9 Empirische Wirtschaftsforschung„Ökonometrie“

Kursentwicklung der europäischen Währungen gegenüber dem US-Dollar:Jänner 1986 bis September 2001 (Monats-Mittelwerte)

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

Jän.8

6

Jul.86

Jän.8

7

Jul.87

Jän.8

8

Jul.88

Jän.8

9

Jul.89

Jän.9

0

Jul.90

Jän.9

1

Jul.91

Jän.9

2

Jul.92

Jän.9

3

Jul.93

Jän.9

4

Jul.94

Jän.9

5

Jul.95

Jän.9

6

Jul.96

Jän.9

7

Jul.97

Jän.9

8

Jul.98

Jän.9

9

Jul.99

Jän.0

0

Jul.00

Jän.0

1

Jul.01

Monat

US

$ je E

CU

bzw

. Euro

ECU-Kurs Euro-Kurs

1. J än. 1999:Einführung des Euro

Datenplots

SS 2002 22

Hinweise auf paarweise Zusammenhänge („Korrelationen“)

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Jahr

Arb

eit

slose

nq

uote

(in

%)

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

Verä

nd

eru

ng

der

Infl

ati

on

srate

(in

%-P

un

kte

n)

Arbeitslosenquote Veränderung der Inflationsrate (in %-Punkten)

SS 2002 23

Austria: Modified Phillips curve (1988 - 2000)

2000

1988

y = -0.9024x + 5.6755R2 = 0.3403

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

4.75 5.00 5.25 5.50 5.75 6.00 6.25 6.50 6.75 7.00 7.25 7.50

x: unemployment rate (national definition, percent)

y:

Ch

an

ge

of

the

in

flati

on

rate

(pe

rce

nta

ge

po

ints

)

Lineare Regression

Bestimmung einer linearen Gleichung die „optimal“ zu einer „Punktwolke“ von Daten paßt.

SS 2002 24

Verwendung von Regressionsergebnissen:

•Bestimmung von Funktionsparametern

•Signifikanz-Tests liefern Aufschluß über die „Gültigkeit“ von postulierten theoretischen Zusammenhängen.

•Einfachregression

•„Multiple“ (Mehrfach-) Regression