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DESIGUALDADES
Enfoque Problem-solving
Gerard Romo Garrido
Toomates Coolección
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docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho. Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por
acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues
impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos, pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un
producto de propiedad privada, accesible solo a aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada,
impidiendo el derecho del alumno de poseer todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro. Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más injusto, es
participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo en el que las modernas
tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf". El conocimiento no es una mercancía.
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Geometría axiomática:
Geometría Axiomática GA pdf 1 2 ... 23 portada
Problemas de Geometría PG pdf 1 2 3 4 5 6 7
Introducción a la Geometría PI pdf doc
Problem-solving:
Teoría de números AR pdf 1 2 3
Trigonometría PT pdf doc
Desigualdades DE pdf doc
Números complejos PC pdf doc
Álgebra PA pdf doc
Combinatoria PC pdf doc
Probabilidad PR pdf doc
Guía del estudiante de Olimpiadas Matemáticas OM pdf
Libros de texto (en catalán):
Àlgebra AG pdf 1 2
Funcions FU pdf doc
Geometria analítica GN pdf 1 2
Trigonometria TR
pdf doc
Nombres complexos CO pdf doc
Àlgebra Lineal 2n batxillerat AL pdf doc
Geometria Lineal 2n batxillerat GL pdf doc
Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat CI pdf 1 2
Programació Lineal 2n batxillerat PL pdf doc
Recopilaciones de pruebas PAU España:
Catalunya TEC ST , Catalunya CCSS SC , Galicia SG
Recopilaciones de pruebas PAU Europa:
Portugal A SA, Portugal B SB
Recopilaciones de problemas olímpicos y preolímpicos:
IMO 1959-2019 SI, OME 1965-2019 SE, OMI 1997-2019 SD, AIME 1983-2020 SA
Cangur SR , Canguro SG , Kangourou SK
Versión de este documento: 10/07/2020
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Índice Primera parte: Desigualdades algebraicas.
1 Las desigualdades fundamentales. →
2 La desigualdad AM-GM. →
3 El cuadro general de las desigualdades entre medias. →
4 La desigualdad Cauchy-Schwarz. →
5 El principio de reordenación. La desigualdad de Chebyshev. → El principio de reordenación de dos elementos. El principio de reordenación general.
La desigualdad de Chebyshev.
6 La desigualdad de Jensen. →
7 Desigualdades simétricas. Normalización y homogenización. →
8 Problemas olímpicos con desigualdades algebraicas. →
9 Desigualdades trigonométricas. →
Segunda parte: Desigualdades geométricas.
10 Desigualdades con los lados del triángulo. → Desigualdad Triangular. La Transformación de Ravi.
11 Desigualdades geométricas con trigonometría. →
12 Desigualdades con las rectas del triángulo. →
13 Inecuaciones. →
14 Aplicación de las desigualdades en la resolución de ecuaciones. →
Soluciones. →
Fuentes. →
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Una guía general de las Olimpiadas Matemáticas y sus contenidos curriculares.
Primera parte: Desigualdades algebraicas.
1 Las desigualdades fundamentales. 1.1 Las desigualdades fundamentales y sus aplicaciones.
Partimos de las dos desigualdades fundamentales:
a) 20 x y 00 2 xx
b) 22
2
2
1 ...0 nxxx y 0......0 21
22
2
2
1 nn xxxxxx
De estas dos anteriores se pueden deducir las dos siguientes: Si 0a y 0b ,
c) 222 baab
Sea bax . Entonces 2)(0 ba por el modelo (a), y por tanto:
22222 22)(0 baababbaba
d) 222 2)( baba
2)(0 ba , nuevamente por el modelo (a), y por tanto
222222222 22)(0 bababaabbaba
1.2
Demuestra que
a
b
b
a2
1.3
Demuestra que 2cossin
1
xx para
20
x
1.4 Demuestra que
aa
12
1.5
Demostrar que para todo x, se cumple:
21
2
2
2
x
x
2 La desigualdad AM-GM. 2.1 Desigualdad AM-GM con dos variables.
Si 0, ba
2
baab
y la igualdad solo sucede si ba .
Demostración. Hemos visto en 1.1c que 222 yxxy
Substituyendo a y b por a y b tenemos
222
baabbabaab
2.2 Desigualdad AM-GM en general.
La identidad anterior se puede generalizar para n números no negativos naa ,...1 :
n
aaaa nn
n
...... 1
1
y se produce la igualdad si y solo si naa ...1 .
2.3
Demostrar que si 0,, cba , entonces cbaaccbba 8))()((
2.4
Si 0ia y 1...21 naaa , entonces n
naaa 21...11 21
2.5
a) Demostrar que 222 cbaacbcab
b) Demostrar que 222233 cbacbaacbcab
2.6
Demuestra la desigualdad AM-GM con tres números: Si 0,, cba , entonces
33
cbacba
2.7 Problema resuelto.
Sean naaa ,...,, 21 números reales positivos. Entonces, para cualquier permutación
nbbb ,...,, 21 de los mismos se cumple
nb
a
b
a
b
a
n
n ...2
2
1
1
Solución: En efecto, solo hay que observar que nn bbbaaa ...... 2121 , y por tanto,
aplicando la desigualdad AM-GM:
1...
......
21
212
2
1
1
n
n
nn
n
bbb
aaa
n
b
a
b
a
b
a
2.8
Sea 1n un número natural. Demuestra que n
nn
2
1!
2.9
Demuestra que si 6 zyx entonces 12222 zyx
2.10
Sean IRcba ,, , 1222 cba . Demuestra que 12
1
cabcab .
2.11
Demuestra que, si 0, ba , entonces 2
22 ba
ba
ba
.
2.12
Demostrar que si cba ,, son positivos, entonces:
abccbabcaacb ))()((
2.13
Si cba ,, son tres reales positivos cualesquiera, demostrar que
8
b
ac
a
cb
c
ba
2.14
Demuestra que si 0,, cba
222222222 9 cbacabcabaccbba
2.15
Sean cba ,, números reales positivos tales que 1abc . Demuestra que
cbaa
c
c
b
b
a
2.16
Sean 0,,, yxba . Demuestra que abxybyaxxyab 4
2.17
Demostrar que, si 0,, cba , 222222)( baaccbcbaabc
2.18
Determina el mínimo de xx 22 cossin 44 .
2.19
Suponiendo que 0,, cba , demostrar que
cbaab
c
ac
b
bc
a
333
2.20
Sean cba ,, números reales positivos. Demostrar que
accbbacba 222333
2.21
Sean cba ,, números reales positivos. Demostrar que
accbbacabcabcba 222222333 2
2.22 D
Sean zyx ,, números reales positivos tales que 3 zyx . Demostrar que
3
1
2222
3
2
3
2
3
yx
z
xz
y
zy
x
2.23 D
Dados 0,, cba cumpliendo 1abc , demostrar que
3
cbac
ba
b
ac
a
cb
2.24 M
Sean cba ,, números reales positivos tales que 3 cba . Demostrar que
cabcabcba
Russia MO 2004
3 El cuadro general de las desigualdades entre medias.
La desigualdad AM-GM es un caso particular del cuadro general de desigualdades
"entre las medias".
3.1 Con dos variables:
bababa
baba
abba ,max
22
2,min
22
3.2 En general:
Si naa ,...1 son números no negativos:
QMAMGMHM
an
aa
n
aaaa
aa
na i
nnnn
n
i max......
...1
...1
min22
111
1
y se produce una igualdad si y solo si naa ...1 .
Nota: Las siglas se toman del inglés: HM: Harmonic-Mean, GM: Geometric Mean, AM: Arithmetic
Mean, QM: Quadratic Mean.
3.3
Dados dos números reales positivos yx, , se cumple )(2 yxyx
y la igualdad solo se cumple cuando yx .
3.4
Determina el valor máximo de
xx 722144
3.5 Problema resuelto.
Variaciones de la desigualdad AM-HM:
a) 2
1
1
1...
1... n
aaaa
n
n
b)
nn aa
n
aa
...
1...
1
1
2
1
y se cumple la igualdad si y solo si naa ...1
En efecto, partimos de la desigualdad AM-HM:
2
1
1
1
1 1...
1...
1...
1
...n
aaaa
aa
n
n
aa
n
n
n
n
3.6 Problema resuelto. Desigualdad de Nesbitt (Inglaterra, 1903):
2
3
ba
c
ca
b
cb
a
Solución. Sea
cazcbybaxconzyx
zyx
cacbbacacbba
cacbbaccbbaa
cacbbacba
ba
bac
ca
cab
cb
cba
ba
ba
ca
ca
cb
cb
ba
c
ca
b
cb
a
ba
c
ca
b
cb
acbaf
,,3111
2
1
3111
2
1
3111
2
1
3111
3
3),,(
Primera demostración. Vemos que esta función se adapta perfectamente a la variación
de la desigualdad AM-HM anterior:
2
333
2
13
111
2
1),,( 2
zyxzyxcbaf
Segunda demostración. Aplicando la desigualdad demostrada anteriormente:
2
3),,(
361212216111
66111
),,(2
222
cbaf
y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
z
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
zyxzyxcbaf
Tercera demostración. Aplicando la desigualdad AM-GM:
33 33
zyxzyxzyxzyx
La aplicamos a los dos paréntesis:
333
13
13
1113
111
zyxzyxzyxzyx
2
33
2
9133
2
13
111
2
1),,(
3
3
zyxzyx
zyxzyxcbaf
4 La desigualdad Cauchy-Schwarz.
4.1 Desigualdad Cauchy-Schwarz.
Para cualquier conjunto de números reales naaa ,...,, 21 y nbbb ,...,, 21 ,
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 ......... nnnn bbbaaabababa
y la igualdad solo pasa cuando las n-tuplas son proporcionales: n
n
b
a
b
a
b
a ...
2
2
1
1
4.2 Corolario.
22
2
2
1
2
21 ......
nn aaa
n
aaa
Demostración.
Basta tomar 1...21 nbbb .
4.3 Desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel".
Para cualquier conjunto de números reales naaa ,...,, 21 y para cualquier conjunto
nbbb ,...,, 21 de números positivos,
n
n
nn bbb
b
a
b
a
b
aaaa
......... 21
2
2
2
2
1
2
12
21
Demostración.
Basta aplicar la desigualdad Cauchy-Schwarz con i
ii
b
aa ' y ii bb ' .
4.4 Corolario a la Desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel".
Para cualquier conjunto nbbb ,...,, 21 de números reales positivos,
n
nbbb
bbbn1
...11
...21
21
2
y la igualdad acontece si y solo si nbbb ...21 .
Demostración.
Basta tomar 1...21 naaa
Alternativamente, se puede demostrar mediante la desigualdad AM-GM:
2
21
21
2121
2121
1...
11...1
...111
...11
......
nbbb
bbb
bbbn
bbb
bbbnbbb
n
nn
nn
nnn
Nota histórica.
Bunyakovskii (1804-1889) publicó esta desigualdad en una monografía sobre
desigualdades entre integrales en 1859, veinticinco años antes que Schwarz (1843-
1921), pero es más conocida como desigualdad de Cauchy-Schwarz.
4.5 Demostrar que la desigualdad AM-QM es un caso particular de la desigualdad Cauchy-
Schwarz.
4.6
Sean zyx ,, números reales positivos tales que 1 zyx . Determina el valor mínimo
de zyx
941 .
4.7
Encontrar el máximo de la función xbxaxf cossin)( , con 0, ba , y 2/0 x .
4.8
Sean edcba ,,,, números reales tales que 8 edcba y
1622222 edcba
Hallar el valor máximo de e.
4.9
Demostrar que si 3 cba , entonces 3222 cba
4.10
Demostrar que si 0,, cba , entonces 222222222 9 cbacabcabaccbba
4.11
Demuestra que si 0,,, dcba , entonces dcbadcba
6416411
4.12 M
Sean cba ,, números reales positivos. Demostrar que si
1111 2
2
2
2
2
2
c
c
b
b
a
a
Entonces 2
3 cabcab .
4.13 F
Demuestra el siguiente corolario a la desigualdad Cauchy-Schwarz:
221
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1 bbaababa
y acontece la igualdad si y solo si las parejas ),( 21 aa y ),( 21 bb son proporcionales.
Que se puede generalizar por inducción al caso de n números:
21
2
1
222
2
2
2
2
1
2
1 ......... nnnn bbaabababa
y acontece la igualdad si y solo si las tuplas ),...,( 1 naa y ),...,( 1 nbb son proporcionales.
4.14 MD
Sean 0,, cba . Demostrar que
0222 222
2
222
2
222
2
bac
abc
acb
cab
cba
bca
Pham Kim Hung
4.15 F
Supongamos que 1,, zyx y 2111
zyx. Demostrar que
111 zyxzyx
IRAN MO 1998
4.16 F
Sean x, y, z reales positivos tales que 3 zyx . Halla el valor máximo
alcanzado por
6322 zyx
¿Para qué valores de x, y, z se alcanza dicho máximo?
OME 2015 Primera fase, segunda sesión #6
5 El principio de reordenación. La desigualdad de Chebyshev.
El principio de reordenación de dos elementos.
5.1
MF
Demuestra que, si ba y yx , entonces bxaybyax .
A esta desigualdad la llamaremos "Principio de Reordenación de dos elementos".
5.2 MF
Demuestra que, si 0, yx ,
yxx
y
y
x
22
5.3
F
Sean dcba ,,, números reales tales que cbda . Demostrar que
0))(())(())(( cbaddbcadcba
Czech and Slovak Republics, 2004
El principio de reordenación general. El Principio de reordenación de dos elementos introducido en el apartado anterior se
puede extender a cualquier n-tupla de números:
Dadas dos secuencias ordenadas de números: naaa ...21 y nbbb ...21 ,
La suma nnbababa ...2211 es maximal, la suma nnn bababa 1211 ... es minimal.
Esto quiere decir que la suma con cualquier otra permutación naaa ',...,',' 21 se
encontrará entre estas dos:
nnnnnnn bababababababababa ...'...''... 221122111211
Además, se cumple
nnnnnnn aaaaaababababababa ,...,,',...,',''...''... 212122111211
y se cumple
112122112211 ,...,,',...,','...'...'' aaaaaababababababa nnnnnnn
Nota:
Para simplificar la escritura, en las primeras soluciones de este tema se utiliza la
siguiente notación:
332211
321
321bababa
bbb
aaa
5.4 D
Demostrar la desigualdad AM-GM aplicando el Principio de Reordenación.
5.5
Demostrar que acbcabcba 222
5.6
Demostrar que 222333 cbbaaccba
Nota: Este problema ya fue propuesto en 2.20. Se propone ahora resolverlo mediante reordenación.
5.7
Demostrar la desigualdad de Nesbitt introducida en 3.6 aplicando la técnica de este
apartado.
5.8
Demostrar que, dados naa ,...,1 números reales positivos, y naas ...1 , se cumple:
1...
2
2
1
1
n
n
as
a
as
a
as
a
n
n
5.9
Demostrar que si 0,, cba , entonces
cbaba
abc
ca
acb
cb
bca
222
Nota: Los problemas 10.12 y 10.15 de desigualdades con los lados del triángulo están
resueltos mediante el principio de reordenación.
La desigualdad de Chebyshev.
Versión directa de la desigualdad de Chebyshev.
Sean dos secuencias ia y ib ordenadas de la misma forma (es decir, ambas
crecientes o ambas decrecientes). Entonces, aplicando el principio de la reordenación
que acabamos de ver, tenemos:
112111
2423111
1322111
221111
......
...........................................................
......
......
......
nnnnn
nnn
nnn
nnnn
bababababa
bababababa
bababababa
bababababa
Sumando todas estas desigualdades obtenemos:
nnnn bbaababan ......... 1111
Versión inversa de la desigualdad de Chebyshev.
Si las secuencias ia y ib están ordenados de forma inversa, es decir, una es creciente
y la otra decreciente, tenemos la desigualdad contraria:
nnnn babanbbaa ......... 1111
5.10 Problema resuelto.
Demostrar que, si 0,, cba ,
1888 222
abc
c
cab
b
bca
a
IMO 2001 #2
Solución:
Aplicando 222 yxxy ,
bcSbccbabcbcabca 66628 22222
donde 222 cbaS . Luego
abS
c
acS
b
bcS
a
abc
c
cab
b
bca
a
666888 222
Vemos que las secuencias
),,( cba y
abSacSbcS 6
1,
6
1,
6
1
están ordenadas de la misma forma, y por tanto podemos aplicar la desigualdad de
Chebyshev:
abSacSbcScba
abS
c
acS
b
bcS
a
6
1
6
1
6
1
3
1
666
Ahora aplicamos la desigualdad AM-HM (ver 3.5b):
abSacSbcSabSacSbcS 666
9
6
1
6
1
6
1
Y aplicamos la desigualdad QM-AM:
(*)
666
3
666
3
abSacSbcSabSacSbcS
Finalmente observamos que
23)(23666 cbaacbcabSabSacSbcS
Y por tanto
cbacba
1
3
3(*)
2
Con lo que llegamos a:
11
666
cbacba
abS
c
acS
b
bcS
a
Tal y como queríamos ver. La igualdad se cumple cuando 1 cba .
Nota: Este mismo problema se volverá a resolver en 6.4 mediante otra técnica.
Fuente: https://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2001_IMO_Problems/Problem_2
5.11 F
Sean dcba ,,, números reales positivos tales que 42222 dcba . Demostrar que
3
42222
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
6 La desigualdad de Jensen.
6.1 Definición. Función convexa.
Diremos que una función )(xf es convexa en ba, cuando, para cualquier par yx
en ba, se cumpla
ytxtfyftxft )1()1(
es decir, cuando la gráfica de la función está siempre por debajo del segmento que une
dos de sus puntos.
6.2 Teorema.
Si 0)('' xf en ba, , entonces la función es convexa en ba, .
Demostración. Tomamos valores byxa y 10 t . Fijando los valores ty, ,
consideremos la función
yttxfyftxtfxg )1()()1()()( .
Entonces
yttxfxftyttxftxtfxg )1(')(')1(')(')('
Por hipótesis, 0)('' xf ,y por tanto )(' xf es creciente. Luego:
0)('
0)1(')('
0)1(')('
)1(')('
)1(
xg
yttxfxft
yttxfxf
yttxfxf
yttxx
Es decir, la función )(xg es decreciente, y por tanto, puesto que en todo momento
estamos suponiendo yx , tenemos que 0)()( ygxg .
Finalmente:
yttxfyftxtf
yttxfyftxtfxg
)1()()1()(
)1()()1()()(0
tal y como queríamos ver.
6.3 Teorema. Desigualdad de Jensen.
Si f es una función convexa en IRba , , entonces, para todo baxxx n ,...,,, 21 , y
para todo 0...,,, 21 naaa cumpliendo 1...21 naaa , se cumple
nnnn xaxaxafxfaxfaxfa ...)(...)()( 22112211
En particular, tomando naaa n /1...21 , tenemos el siguiente corolario:
Si f es una función convexa en IRba , , entonces, para todo baxxx n ,...,,, 21 ,
n
xxxfnxfxfxf n
n
...)(...)()( 21
21
Nota: Si la función es cóncava se verifican las desigualdades contrarias.
6.4 Problema resuelto.
Demostrar que, si 0,, cba ,
1888 222
abc
c
cab
b
bca
a
IMO 2001 #2
Solución:
Primera versión.
Puesto que la desigualdad es homogénea, podemos suponer 1 cba (ver Tema 7).
La función x
xf1
)( es convexa, luego podemos aplicar la desigualdad de Jersen:
(*))8()8()8(
1
8
1
8
1
8
1222222 abcccabbbcaaabc
ccab
bbca
a
Y ahora tenemos en cuenta que 1 cba , y por tanto
abccbacacbbacba
abccacbbaabccba
bcaccbabcabaabccbacba
24))()((3
2))()((36
361
333333
333
2222223333
En donde hemos tenido en cuenta abccacbba 8))()(( (ver problema 2.3)
Finalmente: 11
)(
1(*)24
3
3333
cbacba
cbaabccba
Segunda versión.
De nuevo, puesto que la desigualdad es homogénea, podemos suponer 1 cba (ver
Tema 7).
c
abcc
c
b
abcb
b
a
abca
a
abc
c
cab
b
bca
a
88888 222
222
abcc
c
abcb
b
abca
a
c
abcc
c
b
abcb
b
a
abca
a
c
abcc
c
b
abcb
b
a
abca
a
888
88888
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
La función abcx
xxf
8)(
3
3
es cóncava, y por tanto podemos aplicar la desigualdad
de Jersen:
cbafcfbfaf
3
1
3
1
3
13)()()(
Aplicando la desigualdad AM-GM, y teniendo en cuenta que la función )(xf es
estrictamente creciente:
13
133
3
1
3
1
3
13
3
1
3
1
3
1 33
abcfcbafabccba
Fuente: https://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2001_IMO_Problems/Problem_2
6.5
Dados cba ,, números reales no negativos tales que 1 cba , demostrar que
3
1 accbba
6.6
Demuestra la desigualdad AM-GM como caso particular de la desigualdad de Jensen.
6.7
Si 0,, cba y 1 cba , determina el mínimo de 101010
111
cc
bb
aa
6.8
Demostrar que, en todo triángulo ABC ,
2
33sinsinsin CBA
es decir, el mínimo perímetro de un triángulo inscrito en una circunferencia fija se
obtiene con el triángulo equilátero.
6.9
Demostrar que, en todo triángulo ABC ,
CBA tantantan33
6.10
Demostrar que, en todo triángulo ABC ,
2tan
2tan
2tan3
CBA
6.11 D
Suponiendo que 1,2/1,...,, 21 naaa , demostrar que
nn
n
n
n
n
aaan
aaa
aaa
aaa
...
)1)...(1)(1(
...
...
21
21
21
21
Las tres proposiciones siguientes nos permiten ahorrarnos verificar la convexidad de la función:
6.12 Proposición.
Si una función real IRbaf ,: satisface la condición
22)()(,,
yxfyfxfbayx
Entonces, para todo baxxx n ,...,,, 21 , se cumple
n
xxxfnxfxfxf n
n
...)(...)()( 21
21
6.13 Proposición.
Si una función real IRbaf ,: satisface la condición
yxfyfxfbayx 2)()(,,
Entonces, para todo baxxx n ,...,,, 21 , se cumple
nnn xxxfnxfxfxf ...)(...)()( 2121
Observación. La proposición anterior se puede generalizar a cualquier tipo de media: Aritmética, geométrica,
armónica...
6.14 Proposición.
Si f es una función definida en IRba , , entonces, para todo baxxx n ,...,,, 21 , y
para todo 0...,,, 21 naaa cumpliendo 1...21 naaa , se cumple
nnnn xaxaxafxfaxfaxfa ...)(...)()( 22112211
si y solo si se cumple para el caso 2n .
6.15 Problema resuelto.
Supongamos que 1,...,, 21 nxxx . Demostrar que
nnn xxx
n
xxx ...11
1...
1
1
1
1
2121
IMO Shortlist
Solución: Aplicando 6.13, es suficiente demostrar que, para todo 1, yx ,
yxyx
1
2
1
1
1
1
Que es equivalente a demostrar
yxyx
1
2
1
1
1
122
0)1()(
02222
222222
11212
1
2
11
2
1
2
1
1
1
1
2
332222222233
22223322
2222
22
22
22
xyyx
xyxyyxyxyxyxyxxyxyyx
yxyxxyxyyxyx
yxyxxy
yxyx
xy
yxyx
Lo cual es cierto, pues 0)1()(0111, 2 xyyxxyxyyx
7 Desigualdades simétricas. Normalización y homogenización.
7.1 Definición. Desigualdades simétricas.
Una desigualdad simétrica es aquella que se puede expresar como
0,...,, 121 aaaf
Cumpliendo 121 ,...,,,...,,21
aaafaaafniii para cualquier permutación niii ,,..., 21
de n,...,2,1 .
Un ejemplo clásico de desigualdad simétrica es la Desigualdad de Schur:
7.2 Problema resuelto. Desigualdad de Schur.
Suponiendo 0,, cba , entonces
)()()(3333 accacbbcbaababccba
Solución.
0))(())(())((
0)()()(3
)()()(3
333
333
bcaccabcbbcabaa
accacbbcbaababccba
accacbbcbaababccba
Aprovechando que la desigualdad es simétrica, podemos suponer que cba .
Sean bax , cby . Entonces:
cyxacacbbayx
cyb
y la desigualdad queda:
)2()()()())((
)))((()()()()(0
222 yxxyxyxcyxcycyxyyxcyxx
yyxcxycyyxxcyx
Lo cual es cierto porque 0,, cyc . La igualdad acontece cuando 0 yx y 0 cx ,
es decir, cuando cba o cuando 0, cba (o cualquiera de sus permutaciones).
7.3 Observación.
Esta desigualdad es equivalente a
abcbacacbcba ))()(( con 0,, cba ,
que fue demostrada independientemente en el problema 2.12.
7.4 Desigualdad de Schur generalizada.
Si 0,, cba y tomando cualquier constante 0k , se cumple:
0))(())(())(( bcacccbabbcabaa kkk
7.5 Observación.
Se puede demostrar que la desigualdad de Schur es cierta también para 0k . Y se
puede demostrar que si k es par, la desigualdad es cierta para cualquier terna cba ,, no
necesariamente positivos.
Homogenización.
7.6 Definición. Inecuaciones homogéneas.
Decimos que una función ,...),,( cbaf es homogénea de grado n si, para todo 0k ,
,...),,(,...),,( cbafkkckbkaf n
En particular, diremos que es homogénea de grado 0 si ,...),,(,...),,( cbafkckbkaf
Por ejemplo, la función bca
acbaf
8),,(
2 con 0,,, cba es homogénea de grado 0
puesto que
),,(
888),,(
222cbaf
bca
a
bcak
ka
kbkcka
kakckbkaf
Llamaremos desigualdad homogénea de grado n a toda desigualdad de la forma
0,...),,( cbaf con ,...),,( cbaf homogénea de grado n.
Las desigualdades homogéneas de grado 1 se pueden "escalar", es decir, podemos
multiplicar sus variables por cualquier valor de 0k . En efecto:
,...),,(0,...),,(,...),,(0 ckbkakfcbafkcbaf
Homogenizar una inecuación es utilizar la condición dada en el enunciado convertirla
en una inecuación homogénea equivalente.
7.7 F
Si 0,, cba y 1 cba , demostrar que
cabcabcba 41222
7.8 M
Sean cba ,, números reales positivos tales que 1abc . Demostrar que
cbaa
c
c
b
b
a
7.9 M
Sean cba ,, números reales positivos tales que 1abc . Demostrar que 222 cbacba
7.10 Definición. Normalización.
Las desigualdades homogéneas se pueden normalizar, es decir, podemos añadir
restricciones que no figuraban en el enunciado.
Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar 03333 abccba . Aunque no
figura en el enunciado, podemos añadir la condición 1abc . En efecto, supongamos
que 3kabc , y sean 'kaa , 'kbb , 'kcc .
Entonces 1''' cba , y nuestra desigualdad se convierte en 0'''3''' 333 cbacba , que es
la misma que la anterior.
7.11 M
Sean cba ,, números positivos. Demostrar que
abcabcacabccbabcba
1111333333
7.12
Demostrar que, si 0,, cba ,
1888 222
abc
c
cab
b
bca
a
IMO 2001 #2
7.13 Observación.
Una lista ampliada de condiciones que se pueden añadir a una desigualdad homogénea
podría ser la siguiente:
a) 1a b) 1b c) 1c d) 1abc
e) 1 cabcab f) 1222 cba
7.14 F
Sean cba ,, números reales positivos tales que 1abc . Demuestra que
11
11
11
1
ac
cb
ba
IMO 2000 #2
8 Problemas olímpicos con desigualdades algebraicas.
8.1 F
a) Demuestra que
10
1
100
99...
8
7
6
5
4
3
2
1
b) Demuestra, por inducción, que
113
1
2
12...
8
7
6
5
4
3
2
1
n
nn
n
c) Con ayuda del apartado anterior, mejora la desigualdad del apartado (a) demostrando
que
12
1
100
99...
8
7
6
5
4
3
2
1
8.2 MF
Demostrar que si 0,,, dcba , entonces
3333316 dcbadcba
8.3 F
Supongamos que 1 cba , siendo 0,, cba . Demostrar que
6191919 cba
8.4 MF
Sean cba ,, números positivos. Demostrar que
222
111
cbaabc
cba
8.5 M
Sean cba ,, números reales positivos tales que 1abc . Prueba la desigualdad siguiente:
4
3
111
222
ac
c
bc
b
ab
a
OME Fase Nacional 2009 #5
8.6 MD
Sean 0,, cba cumpliendo
4222 abccba
demostrar que
20 abccabcab
USAMO 2001 #3
8.7 M
Sean cba ,, números reales positivos tales que
42222 cbacba
Demostrar que
3
111222
ac
ca
cb
bc
ba
ab
USAMO 2011 #1
8.8 D
Dados 0,, cba , demostrar que
82
2
2
2
2
222
2
22
2
22
2
bac
bac
acb
acb
cba
cba
USAMO 2003 #5
8.9 F
Dados naaa ...,,, 21 enteros positivos diferentes, demostrar que
n
k
n
k
k
kk
a
112
1
IMO 1978 #5
8.10 F
Demuestra que
b
baba
ba
a
ba
8
)(
28
)( 22
para todo 0 ba .
8.11 F
Sean a, b y n enteros positivos tales que ba y 21 nab . Prueba que
34 nba .
Indica justificadamente cuando se alcanza la igualdad.
OME 2013 Fase nacional #1
8.12 F
Sean ba, números positivos. Probar que
2
22 baabba
OME 2014 Fase local, segunda sesión #4
8.13 D
Sean cba ,, tres números reales positivos. Demuestra que
8
15
332
3
323
3
233
3
cba
cba
cba
cba
cba
cba
OME 2010 Fase nacional, segunda sesión #4
8.14 F
Demuestra que
222byaxbyax
para cualesquiera IRyx , y cualesquiera IRba , con 1 ba , 0, ba .
¿En qué casos se da la igualdad?
OME 2015 Primera Fase, primera sesión #1
8.15 F
Dados dos números reales positivos p, q tales que 1 qp , y sabiendo que todo par de
números reales yx, cumple 02 yx , se pide demostrar
a) xyyx
2
b)
222
22
yxyx
c) 2
251122
pp
OME 1984 Fase nacional #3
8.16 MD
Sean x e y números reales entre 0 y 1. Probar que
yxxyxxyxyx 2223 22
OME 2014 Primera fase, segunda sesión #5
8.17 MD
Prueba que para cualesquiera números reales a,b tales que 1,0 ba , se cumple la
desigualdad siguiente:
2)1()1()1)(1( 2222 bababaab
OME 2008 Fase nacional #2
8.18 D
a) Demostrar que
1)1()1()1( 2
2
2
2
2
2
z
z
y
y
x
x
Para todos los números reales zyx ,, , todos diferentes de 1 y cumpliendo 1xyz .
b) Demostrar que la igualdad acontece para infinitas ternas de números racionales
zyx ,, , todos diferentes de 1 y cumpliendo 1xyz .
IMO 2008 #2
Nota: Solo el apartado (a) es un problema de desigualdades. El apartado (b) es un
problema propio de Teoría de Números.
9 Desigualdades trigonométricas.
9.1 F
Demuestra que
221cos
1sin
1 abx
b
x
a
para cualquier xba ,, con 0, ba y 2
0
x
9.2 F
Determina el valor mínimo de
xx
xxxf
sin
4sin9)(
22
para x0 AIME 1983 #9
9.3 MF
Determina el valor mínimo de
x
x
x
xxf
sin
cos
cos
sin)(
33
2
0
x
9.4 F
Demuestra que
221cos
1sin
1 abx
b
x
a
para todo xba ,, tales que 0, ba y 2
0
x .
Segunda parte: Desigualdades geométricas.
10 Desigualdades con los lados del triángulo.
Dedicaremos este primer tema del estudio de las desigualdades geométricas a la
Desigualdad triangular y a la Transformación de Ravi.
10.1 Teorema. La Desigualdad Triangular
Cuando trabajamos con triángulos debemos tener muy en cuenta que los números
0,, cba deben cumplir, además, la Desigualdad Triangular (ver GA/3.7.7):
La suma de dos lados siempre es mayor que el lado restante
a) cba , acb , bac
O equivalentemente:
b) cba , cab , bac
c) 0))()(( bacacbcba
Demostración:
ba )
babacbacbaacb
abccabacb
aacbacbacba
2
00
20
Las otras dos condiciones se demuestran de forma análoga.
ca )La expresión ))()(( bacacbcba es el producto de tres factores
positivos, por lo tanto es un número positivo.
ac )Por hipótesis, 0))()(( bacacbcba , y por tanto, o bien los tres
factores son positivos, es decir, se cumplen las condiciones del apartado a, o bien dos de
ellos son negativos y el restante positivo. Pero esto no puede suceder. Por ejemplo, si
0200
0
bbacbcba
acb
cba
Lo cual no puede suceder pues estamos trabajando con valores positivos.
10.2 Teorema. La Transformación de Ravi.
Las condiciones sobre los lados 0,, cba que acabamos de ver pueden ser sustituidas
por la existencia de tres valores 0,, zyx tales que
yxa , zyb , xzc ,
Demostración. Sea 2/)( cbas . Basta tomar
02/)(2/)( bcabcbabsx
02/)(2/)( cbaccbacsy
02/)(2/)( acbacbaasz
Y está claro que, por ejemplo, acbcbacbsyx 2
cczzxyzyyxba 22
y las otras dos condiciones se demuestran de forma similar.
10.3 Observación.
La Transformación de Ravi equivale geométricamente a determinar los puntos de
tangencia entre el triángulo y su circunferencia inscrita. (ver GA/11.4.10)
10.4 Observación.
Es posible expresar ciertos valores notables de la geometría del triángulo en función de
las zyx ,, de la Transformación de Ravi:
a) zyxcba
s
2
b) Por la fórmula de Heron: xyzzyxcsbsassABC )())()((
c) Puesto que zyx
xyz
zyx
xyzzyx
s
ABCrrsABC
)(
d) xyzzyx
xzzyyxR
R
abcABC
4
))()((
4
Otras identidades que pueden ser útiles:
e) 22 )(4)()(2 zyxcbazyxcba
f) )(3222 xzyzxyzyxcabcab
En los siguientes problemas se pide demostrar la desigualdad indicada, y siempre se supone
que cba ,, son los lados de un triángulo.
10.5
22222 cbacba
10.6
acbcabcbaacbcab 2222
10.7
a) 3
cba
c
bac
b
acb
a b) 3
c
cba
b
bac
a
acb
10.8
cbabacacbcba
y determinar cuándo ocurre la igualdad.
Asian Pacific Mathematics Olympiad 1996, Problema #5
10.9 M
Demuestra que, en todo triángulo ABC , se cumple rR 2 , donde R es el circunradio
y r el inradio del triángulo.
10.10 D
abccbacbacbacba 3)()()( 222
IMO 1964 #2
10.11 M
bcacba 2
10.12 F
cbacbabacacb
10.13 F
0222 acaccbcbbaba
IMO 1983 #6
10.14 MF
)(4)()(3 2 cabcabcbacabcab
10.15 MF
)(2222 cabcabcbacabcab
10.16 D
22
3
ba
c
ac
b
cb
a
10.17 D
abccbacbacbacba 3222222222
10.18 M
8
1
ac
ac
cb
cb
ba
ba
10.19 MF
Si, además, se satisface 3 cabcab , demostrar que
323 cba
10.20 F
Si s es el semiperímetro del triángulo,
a) abbsas ))((
b) 4
))(())(())((cabcab
ascscsbsbsas
11 Desigualdades geométricas con trigonometría.
11.1 M
Dado un triángulo ABC , demuestra que:
a) 12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan ACCBBA
b) 9
3
2tan
2tan
2tan
CBA
11.2 MF
Demuestra que en cualquier triángulo ABC
bc
aA
22sin
11.3 F
Dos circunferencias, 1 y 2 , tienen radio 5 y 12 respectivamente, y la distancia entre
sus centros es de 13 unidades. Las circunferencias se cortan en los puntos P y Q. Se
traza una recta l que pasa por P y corta la circunferencia 1 en PX y 2 en PY .
Determina el máximo valor de PYPX .
West Windsor Plainsboro Math Tournament 2013
11.4 F
Sea ABC un triángulo acutángulo. Demostrar que:
a) CBACBA tantantantantantan .
b) 33tantantan CBA .
11.5 M
Dado un triángulo ABC , demostrar que:
a) cb
aA
2sin
b) 8
1
2sin
2sin
2sin
CBA
c) 12
sin2
sin2
sin22
sin2
sin2
sin 222 CBACBA
d) 4
3
2sin
2sin
2sin 222
CBA
e) 4
9
2cos
2cos
2cos 222
CBA
f) 4
33
2cos
2cos
2cos
CBA
g) 62
csc2
csc2
csc CBA
11.6
Supongamos que en un triángulo ABC se cumple
1sinsinsin CBA
Demuestra que º30,,min ACCBBA
12 Desigualdades con las rectas del triángulo.
12.1 Comparación de ángulos y lados (GA/3.7.7)
Lado mayor determina ángulo contrario mayor y viceversa.
12.2 La desigualdad de Ptolomeo. (GA/13.2.7)
Dados cuatro puntos DCBA ,,, se cumple
BDACDABCCDAB
y la igualdad solo sucede si DCBA ,,, están alineados o son cocíclicos en este orden.
12.3 Teorema y desigualdad de Euler. (GA/11.13.1)
Dado un triángulo ABC , sea O el circuncentro, I el incentro, r el inradio y R el
circunradio. Se cumple:
)2(2 rRROI , y por tanto rR 2
y la igualdad acontece si y solo si el triángulo es equilátero.
12.4 Teorema y desigualdad de Leibniz. (GA/11.13.4)
En un triángulo ABC de lados cba ,, , con circuncentro O, baricentro G y circunradio
R, se cumple:
22222
9
1cbaROG , y por tanto 22229 cbaR
y la igualdad acontece si y solo si GO , es decir, cuando el triángulo es equilátero.
12.5 F
Dado un triángulo ABC con la mediana AD , se cumple:
a) 2
acbAD
b) Si aAD2
1 , entonces º90BAC .
12.6 F
Siendo a, b y c los lados de un triángulo y T su área, demostrar que
Tcba 34222
¿Cuándo se da la igualdad? IMO 1961 #2
12.7 D
Demostrar que en un triángulo ABC de lados cba ,, se cumple
cba
abcABC
934
12.8 D
Sea P un punto en el interior de un triángulo ABC con circunradio R. Sean rqp ,, las
distancias de P a los lados BC, AC y AB, respectivamente. Demostrar que se cumple
R
cbarqp
2
222
12.9 F
Sea ABC un triángulo equilátero de lado a , sea P un punto del su interior y sean D, E
y F las proyecciones de M en los lados BC, CA y AB, respectivamente. Demostrar que:
a) hPFPEPD , donde h es la altura del triángulo ABC . ("Lema de Viviani").
b) aPFPEPD
36111
c) aPDPFPFPEPEPD
33111
12.10 F
Sean ah , bh y ch las longitudes de las correspondientes alturas por A, B y C de un
triángulo ABC dado, y sea r el radio de su incírculo. Demostrar que:
a) 1cba h
r
h
r
h
r b) rhhh cba 9
12.11 F
Sea ABC un triángulo con alturas AD, BE y CF, y sea H su ortocentro. Demostrar
que:
a) 9HF
CF
HE
BE
HD
AD b)
2
3
HC
HF
HB
HE
HA
HD
12.12 MD
Las longitudes de los lados de un hexágono ABCDEF satisfacen BCAB , DECD
y FAEF . Demuestra que
2
3
FC
FA
DA
DE
BE
BC
IMO 1997 Shortlist #7
12.13 MD
Sea ABC un triángulo y sean L, M y N puntos en BC, CA y AB, respectivametne.
Sean P, Q y R los respectivos puntos de intersección de las rectas AL, BM y CN con el
circuncírculo de ABC . Demostrar que
9NR
CN
MQ
BM
LP
AL
COREA 1995
12.14 MF
Sean AD, BE y CF las alturas de un triángulo ABC , y sean PQ, PR y PS las distancias
entre un punto P a los lados BC, CA, AB, respectivamente. Demostrar que
9PS
CF
PR
BE
PQ
AD
12.15 M
Las cevianas AL, BM y CN de un triángulo ABC se cortan en un punto P. Demostrar
que
6PN
CP
PM
BP
PL
AP
si y solo si el punto P es el baricentro del triángulo.
12.16 MF
Las alturas AD, BE y CF cortan el circuncírculo de un triángulo ABC en los puntos
D', E' y F', respectivamente. Demostrar que:
a) 9'''
FF
CF
EE
BE
DD
AD b)
4
9
'''
CF
CF
BE
BE
AD
AD
12.17 D
Sean cba lll ,, las longitudes de las bisectrices internas de los ángulos de un triángulo, y
sean s y r el semiperímetro y el inradio del triángulo. Demostrar que:
a) 2srlll cba
b) 2222 slll cba
c) 2sllllll accbba
12.18 MF
Dado un triángulo ABC , sean M, N y P puntos arbitrarios en las rectas BC, CA y AB,
respectivamente. Si denotamos por cba ,, las longitudes de los lados del triángulo y por
R el circunradio, demostrar que
RCP
ab
BN
ca
AM
bc6
12.19 F
Demostrar que si R es el circunradio y denotamos por cba ,, las longitudes de los lados
del triángulo, se cumple:
2
1111
Racbcab
13 Inecuaciones.
13.1
M
Resuelve la siguiente inecuación:
92
211
42
2
xx
x
IMO 1960 #2
13.2 D
Determina todos los números reales para los que se satisface la inecuación:
2
113 xx
IMO 1962 #2
13.3 F
Dados 1 ba , resuelve la inecuación
bx
ax
bx
ax
1
1
14 Aplicación de las desigualdades en la resolución de ecuaciones.
14.1 M
Encontrar todas las soluciones enteras positivas de
12
1111
cbaaccbba
OME 2017 Fase Local #4
14.2 D
Sean nba ,, enteros positivos tales que ba y 21 nab . Prueba que
34 nba
Indica justificadamente cuando se alcanza la igualdad.
OME Fase nacional 2013 #1
Soluciones.
1.2
Partimos de 1.1c : a
b
b
a
ab
babaab
2222 22
1.3
2sin
cos
cos
sin
cossin
cos
cossin
sin
cossin
cos
cossin
sin
cossin
cossin
cossin
1 222222
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
1.4
Es un caso particular de 1.2 tomando 1b .
1.5
21
11
1
1
1
1
1
2
2
2
22
2
2
2
xx
xx
x
x
x por aplicación directa de 1.4
2.3
Aplicamos la desigualdad AM-GM tres veces:
abccbaacbcabcacbba
acca
bccb
abba
222
8
))()((
2
2
2
2.4
12
1...
2
1
2
1
12
1...1121...11
21
2121
n
n
nn
n
aaa
aaaaaa
Pero, aplicando la desigualdad AM-GM: iii aa
a
1
2
1
Luego 11......2
1...
2
1
2
12121
21
nnn aaaaaa
aaa
2.5
a) Primera versión: Aplicando la desigualdad AM-GM:
abbaba
22
22
2 , acca
ca
2222
2 , bccb
cb
2222
2
Luego
bcacabcba
bcacabcba
bcacabcbcaba
222
222222222
2
222
222
Segunda versión:
0)()()(0222222
0
222222
222222
cbcabaacbcabcba
acbcabcbaacbcabcba
Reduciendo la desigualdad al modelo 1.1b
b) Basta aplicar el apartado anterior teniendo en cuenta que
)(22222acbcabcbacba , y por tanto:
)(2)(2)(2 222222222 cbacbaacbcabcbaacbcabacbcab
2.6
Utilizamos la siguiente factorización:
acbcabcbacba
acbcabcbacbaabccba
222
222333 ))((3
Y aplicando el ejercicio anterior:
abccba
abccbaacbcabcbacba
acbcabcbaacbcabcba
3
030
0
333
333222
222222
Ahora, mediante el siguiente cambio 333 ,, ccbbaa llegamos a la desigualdad
deseada.
2.8
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
n
nn
nnn
n
aaaa
n
aaaa
......
...... 1
11
1
Aplicada a los números naaa n ,...,2,1 21 , y teniendo en cuenta que
2
)1(...21
nnn
nnn
n
n
nn
n
nnn
2
12/)1(...1...21!
2.9
Aplicamos la desigualdad AM-QM:
33
222 zyxzyx
222222
2222
34123
24333
62 zyx
zyxzyxzyx
2.10
acbcabcba
acbcabacbcabcbacba
2
1)(
)(21)(2)(
2
2222
Aplicamos la desigualdad AM-QM:
333
3
3
1
33
2222
cbacbacbacba
Luego 12
13
2
1)( 2
cba
acbcab
Por otro lado: 0)( 2 cba , luego acbcabcba
2
1)(
2
10
2
1 2
2.11
22
2
2222 ba
baba
ba
ba
Aplicamos la desigualdad AM-QM:
22
2
22222222
2
242222
baba
babababababa
2.12
Sean acbx , bcay , y cbaz .
Entonces
22
yxccbcaacbyx
,
y de la misma manera: 2
zxb
,
2
zya
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
azy
yzbzx
xzcyx
xy
2
,2
,2
Luego
abczyzxyx
yzxzxyxyxzyzzyx
xyzcbabcaacb
222
))()((
222
2.13
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
88
8
2
2
2
b
c
b
a
a
c
a
b
c
b
c
a
b
ca
a
cb
c
ba
b
c
b
a
a
c
a
b
c
b
c
a
b
ca
a
cb
c
ba
b
c
b
a
b
c
b
a
b
ca
a
c
a
b
a
c
a
b
a
cb
c
b
c
a
c
b
c
a
c
ba
2.14
Aplicamos la desigualdad AM-GM por separado en cada paréntesis:
abcdcbaaccbbaaccbba 3333 3333 222222
abcdcbacabcab 333 333222
Multiplicando estas dos desigualdades llegamos al resultado deseado.
2.15
Nos vamos a basar en la siguiente desigualdad: ac
b
b
a
b
a3
En efecto, por la desigualdad AM-GM:
aaabccba
cbacbacbac
b
b
a
b
a
c
b
b
a
b
a
333
13333
3 333 112
33 1123 1123 1123
y de la misma manera: ba
c
c
b
c
b3 y c
b
a
a
c
a
c3
Por tanto
cbaa
c
c
b
b
a
cbacbab
a
a
c
a
c
a
c
c
b
c
b
c
b
b
a
b
a
a
c
c
b
b
a
)(33333
2.16
Aplicamos la desigualdad AM-GM dos veces: BAABBA
AB
22
byaxxyabbyaxxyababxybyaxbyax
xyabxyab
224
2
2
2.17
Aplicando la desigualdad AM-GM tres veces:
222
222
222222
222222
222
22222
22222
22222
2
2
2
222
2
2
2
babcaccbaabc
babcaccbaabc
acbccababcaccbaabc
acbccababcacbacbcaabc
acbcacbcbac
cabacababca
bcacbcacabc
2.18
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
444
244442
44
22
2222
22
cossin
1cossincossincossin
xx
xxxxxx
Y la igualdad la encontramos cuando
4
1tan1tan
1cos
sin1
cos
sin1
cos
sincossin44
2
22
2
222cossin 22
xxx
x
x
x
x
x
xxxxx
2.19
Aplicando la desigualdad AM-GM,
abcbc
acb
bc
a333
33
Y de la misma manera, bcaac
b3
3
y cbaab
c3
3
.
Sumando las tres igualdades siguientes tenemos
cbaab
c
ac
b
bc
acbacba
ab
c
ac
b
bc
a
cbacbabaab
cca
ac
bcb
bc
a
333333
333
32
3333
2.20
Aplicando la desigualdad AM-GM:
accbbacba
acaccacc
cbcbbcbb
babaabaa
222333
23 333333
23 333333
23 333333
33
33
33
33
2.21
Aplicando la desigualdad AM-GM:
babaabaaba 2242323 222
Y de la misma manera:
cbbcb 223 2
accac 223 2
Y solo nos queda sumar las tres desigualdades anteriores.
2.22
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
3273
27
2
27
2
23
27
2
27
2
23
2
3
32
3
2
3 xxzyzy
zy
xzyzy
zy
x
Y por lo tanto:
27
429
27
229
27
2
27
2
322
3 zyxzyzyxzyzyx
zy
x
De la misma manera:
27
429
22
3 xzy
xz
y
, 27
429
22
3 yxz
yx
z
Sumando las tres desigualdades anteriores llegamos a
3
1
9
3
927
333
27
429429429
27
429
27
429
27
429
2222
3
2
3
2
3
zyxzyxyxzxzyzyx
yxzxzyzyx
yx
z
xz
y
zy
x
Fuente de la solución: "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". pág. 2
2.23
Aplicando la desigualdad GM-AM,
a
bcbc
acb
aa
cb2
21
Y aplicando el mismo principio a los otros dos sumandos llegamos a
(*)
2
a
bc
c
ab
c
ab
ab
ac
ab
ac
a
bc
c
ab
ab
ac
a
bc
c
ba
b
ac
a
cb
De nuevo, aplicando la desigualdad GM-AM:
cab
ac
a
bc
ab
ac
a
bc22
2/1
Y aplicando el mismo principio a los otros dos sumandos llegamos a
cbacbacba 2(*)
Finalmente, basta tener en cuenta que, aplicando la desigualdad GM-AM:
3332/12/1
abccbacba
2.24
222
2222
92
29
cbaacbcab
acbcabcbacba
92
922
222
222
cbacba
cbacabcabcbacabcabcba
Lo cual es cierto, pues aplicando la desigualdad AM-GM:
aaaaaaaaa 3)(32 3/1222
Y de la misma forma con las otras dos variables llegamos a
933)(33332 222 cbacbacbacba
3.3
Basta aplicar la Desigualdad GM-HM:
)(22
2
2222
22
yxyx
yx
yxyxbaba
yb
xa
3.4
Utilizamos la desigualdad del problema 3.3. En nuestro caso
345782)722144(2722144 xxxx
Y la igualdad acontece cuando 433722144 xxx
El dominio de definición de esta función es 722,144722144 xx
4.5
Tomamos 1...21 naaa ,
n
bbb
n
bbb
n
bbb
n
bbbn
n
bbb
n
bbbnbbbbbbn
bbbbbbn
bbbbbb
nnnn
nn
nn
nn
nn
............
............
......
......1...11
21
22
2
2
121
2
22
2
2
1
21
22
2
2
12
21
22
2
2
1
2
21
22
2
2
1
2
21
22
2
2
1
4.6
Tomando zyxaaa ,,,, 321 , y zyx
bbb3
,2
,1
,, 321
y aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz, tenemos:
36321941941 2
zyxzyx
zyx
Y la igualdad solo ocurre cuando 321
zyx , o
2
1,
3
1,
6
1,, zyx
4.7
2222222222 )(cossincossin)( baxfbaxxbaxbxaxf
y este máximo aparece para baxxx
x
b
a/arctantan
cos
sin
4.8
Por la Desigualdad Cauchy-Schwarz:
5/1600)516(05164641664
1648
1111
222
22
222222222
eeeeeeee
ee
dcbadcba
5/16
00)516( eee
El valor máximo es 5
16e , que ocurre cuando dcbakdcba )11,1,1(),,,( , y por
tanto 5
68
5
164 dcbaa
4.9
222
22222222
3
31111113
cba
cbacbacba
4.10
Tomando accbbau ,, y abcabcv ,,
accbbaaccbba 222222
abcabcabcabc 222222
222222
93 cbaabcabcabcabcabaccacbbcba
Y es, por tanto, una aplicación directa de la desigualdad Cauchy-Schwarz.
Observación. Este problema se podría haber resuelto aplicando la desigualdad GM-HM:
Dividiendo los dos lados por 222 cba , la desigualdad se transforma en
9
b
a
a
c
c
b
b
c
a
b
c
a
Y aplicando la Desigualdad GM-HM: b
c
a
b
c
ab
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
33
11 33
Y de la misma forma b
a
a
c
c
b3
4.11
abcdabcabdacdbcddcba
dcbaabcd
abcabdacdbcd
dcba
64164
6416416411
Tomando las cuaternas ),,,( dcbau y )16,4,,( abcabdacdbcdv
abcdabcdabcdabcdabcdabcdvu 64842222
y vemos que es una aplicación directa de la desigualdad Cauchy-Schwarz.
4.12
Aplicamos la Desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel" 4.3:
cabcabcbacba
cbacba
cbacbac
c
b
b
a
a
23
3
111111
2222
2222
2222
2
2
2
2
2
2
4.13
Basta elevar al cuadrado y desarrollar algebraicamente:
22121
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
121
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
21
2
21
22
2
2
2
2
1
2
1
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1
22
222
2
bbaababa
bbaababa
bbbbaaaababababa
bbaababababa
bbaababa
bbaababa
Que es la desigualdad Cauchy-Schwarz.
4.14
Observamos que
222
2
222
2222
222
22
222
2
2
21
2
222
2
2
2
)(
cba
cab
cba
cabcba
cba
abba
cba
ba
Luego
222
2
222
2
222
2
222
2
222
2
222
2
22223
2
)(
2
)(
2
)(
bac
bca
acb
abc
cba
cab
bac
ac
acb
cb
cba
ba
Luego nuestro problema se reduce a demostrar que
32
)(
2
)(
2
)(222
2
222
2
222
2
bac
ac
acb
cb
cba
ba
Aplicamos la desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel" (4.3):
22
2
22
2
222
2
2
)(
cb
b
ca
a
cba
ba
Y haciendo lo mismo en los otros dos sumandos llegamos a:
3
2
)(
2
)(
2
)(
22
22
22
22
22
22
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
222
2
222
2
222
2
ab
ab
cb
cb
ac
ca
ba
a
bc
c
ac
c
ab
b
cb
b
ca
a
bac
ac
acb
cb
cba
ba
Fuente de la solución: "Secrets in Inequalities (volume 1)" (Pham Kim Hung) pág. 35
4.15
2
222
111111
111
11111
11
11
11121
zyxzyxz
z
y
y
x
x
zyxz
z
y
y
x
xzyx
z
z
y
y
x
x
zyxzyx
En donde hemos aplicado la desigualdad Cauchy-Schwarz "en la forma de Engel" (4.3).
4.16
2312
)2(3)1(26322
zyx
zyxzyx
Aplicamos la desigualdad Cauchy-Schwarz:
62312
666213212312 22
zyx
zyxzyx
Y la igualdad acontece cuando las ternas son proporcionales:
23
12
3
2
2
1
1 zx
yxzyx
1
11336323123
z
yxxxxxzyx
Es decir, cuando 1 zyx .
Observación: En las soluciones oficiales (SE pág. 1042) se presenta un razonamiento
alternativo mediante la desigualdad de Jensen aplicada a la función xxf )( .
5.1
0))((0
0
yxba
yxyx
baba
aybxbyaxaybxbyaxbybxayaxyxba ))((0
5.2
Puesto que la desigualdad es simétrica en las dos variables, podemos suponer yx .
xyxyyx
11110
xy
yx
xy
yx
xy
yx
x
y
y
x 111111 222222
Y, aplicando el principio de Reordenación,
yxy
y
x
x
yy
xx
yy
xx
xy
yx
2222 111111
5.3
Desarrollando la expresión algébrica tenemos
bdbcadac
acabcdbdcdbcadabbdbcadac
cbaddbcadcba
2
))(())(())((0
Primera versión.
bcadbdac
bcadbdacbdbcadacbdbcadac
020
Si ba y dc , esta última desigualdad es una aplicación directa del Principio de
Reordenación.
Si ba y dc entonces cbdacbcada , contradiciendo la hipótesis del
enunciado cbda .
De la misma manera, si ba y dc , entonces
cbdacbdbdaba , contradiciendo de nuevo la hipótesis
cbda .
Finalmente, el caso ba y dc implica, por el principio de la Reordenación,
abbcacbd , y por lo tanto se satisface la desigualdad propuesta.
Segunda versión.
Basta tener en cuenta que ))(( dcbabdbcadac
y que dcbacbda
Luego 0)( 2 babdbcadac
5.4
Primera versión.
Sean 0ix y nnxxc ...1
Sean c
xa 1
1 , 2
212
c
xxa ,
3
3213
c
xxxa , ... , 1
...1 n
nn
c
xxa
y 1
1
1
ab ,
2
2
1
ab , ... , 1
1
n
na
b
Las secuencias ia y ib están ordenadas de forma opuesta. Luego:
12312111 ...... nnnnn babababababa
c
xxxx
c
x
c
x
c
x
c
x
xx
c
c
xxx
x
c
c
xx
c
x nn
.........1...1 321321
21
2
3
321
1
2
211
n
xxxxxxxxxxnc nn
nn
......... 321
1321
Segunda versión.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que 1...21 naaa (ver Normalización, Tema 7).
Realizamos el cambio de variable 2
11
x
xa ,
3
22
x
xa , ...,
n
nn
x
xa 1
1
, con 0...,,, 21 nxxx ,
Luego 1x
xa n
n y el problema se reduce a demostrar nx
x
x
x
x
x
x
x n
n
n
1
1
3
2
2
1 ...
Observamos que la secuencia ),...,,( 21 nxxx es creciente, mientras que la secuencia
nxxx
1,...,
1,
1
21
es decreciente. Por lo tanto, aplicando el Principio de Reordenación,
nx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
n
nn
n
nn
n
n 1
...1111
...11
...2
2
1
1
1
1
3
2
2
1
1
1
3
2
2
1
5.5
Las secuencias ),,( cba y ),,( cba están ordenadas de la misma manera. Luego
acbcabacb
cba
cba
cbacba
222
y la igualdad se produce si y solo si cba
5.6
222
222222
333 cbbaacbac
cba
cba
cbacba
5.7
Sean cba ,, números reales positivos.
Las secuencias cba ,, y
baaccb
1,
1,
1 están ordenadas de la misma manera. Luego
cbbaac
cba
baaccb
cba111111
accbba
cba
baaccb
cba111111
Y sumando estas dos desigualdades llegamos a
2
3
3))()(())()((
2
1111111112
ba
c
ac
b
cb
a
accbba
accbcaacbacbaccbba
ac
ca
cb
cb
ba
ba
ac
c
cb
b
ba
a
cb
c
ba
b
ac
a
ba
c
ac
b
cb
a
accbba
cba
cbbaac
cba
baaccb
cba
que es la desigualdad de Nesbitt (3.6).
5.8
Las secuencias ia y
ias
1 están ordenadas de la misma manera:
mn
mnmnasas
asasaa
11
Luego:
nk
asasas
aaa
asas
aa
kkk
n
n
n
...,,3,21...
11
...
1...
1
...
11
21
1
1
Luego, sumando las 1n desigualdades anteriores, llegamos (!!!!) al resultado deseado.
5.9
Primera versión.
bca
cbba
ca
cabcbba
ca
bac
baccabbcbacabcbba
))(()())((
)())((
2
22
Y de la misma forma
acb
caba
cb
abc
))((2
y cba
cacb
ba
cab
))((2
Luego
)(2))(())(())((
))(())(())((
222
cbaba
cacb
cb
caba
ca
cbba
cbacba
cacba
cb
cabab
ca
cbba
ba
abc
ca
acb
cb
bca
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que cba .
Y por tanto:
bacacbcbcaba
111
Y también ))(())(())(( cacbcbbacaba .
Luego, aplicando el criterio de Reordenación,
)(21
))((1
))((1
))((
1))((
1))((
1))((
cbacb
cacbba
cbbaca
caba
bacacb
cacbba
cbcaba
tal y como queríamos ver.
Segunda versión.
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que cba .
Luego: 222 cba , y también bacacb
cbcaba
111
.
Luego, aplicando el criterio de Reordenación,
ac
c
cb
b
ba
a
ba
c
ac
b
cb
a
222222
Y por tanto:
cbaac
acc
cb
bcb
ba
aba
ba
ab
ca
ac
cb
bc
ac
c
cb
b
ba
a
ba
ab
ca
ac
cb
bc
ba
c
ca
b
cb
a
ba
abc
ca
acb
cb
bca
222
222
222
222
Fuente de esta versión: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung), pág. 92.
5.11
Primera versión.
Supongamos la secuencia ordenada dcba .
Entonces 2222 dcba ,
Y también cbabadadcdcb ,
Y finalmente se cumple cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
2222
Entonces, aplicando la versión "inversa" de la desigualdad de Chebyshev:
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
adcba
22222222 exp
4
14
Con )(3exp dcbacbabadadcdcb
Así pues,
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
adcba
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
adcba
2222
2222
3
16
4
34
Ya solo queda demostrar que 4 dcba , lo cual es cierto por el Corolario a la
desigualdad Cauchy-Schwarz:
dcbadcba
dcbadcba
4416
44
22
2
2222
Segunda versión.
Supongamos la secuencia ordenada dcba .
Entonces 2222 dcba ,
Y también cbabadadcdcb
Luego cbabadadcdcb
1111
Aplicamos la versión "directa" de la desigualdad de Chebyshev:
21
2222
expexp4
1
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
Donde 4exp 2222
1 dcba
Y cbabadadcdcb
1111
exp 2
Ahora, se demuestra (!!!!) que
3
4
43
16
3
16
3
4exp
2222
2
dcbadcba
dcba
Fuente de la segunda versión: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung), pág. 54
6.5
Sea xxf )( . Esta función es cóncava, y por tanto podemos aplicar la Desigualdad de
Jensen:
accbbaafccfbbfaacbcabfacbcab )()()(
Y ahora aplicamos
3
111)(3 22 acbcabcbaacbcab
Y aplicamos ahora que la función xxf )( es estrictamente creciente:
3
1
3
1
3
1 acbcabacbcab
Así pues, accbbaacbcab 3
1
6.6
Sean naaa ...,,, 21 números reales positivos.
Si uno de los valores ia es cero, la desigualdad AM-GM se cumple trivialmente. Luego
podemos suponer que 0...,,, 21 naaa .
Consideremos la función )log()( xxf . Es una función estrictamente creciente. Luego
n
aaaaaa
naaa
n
aaa
aaan
aaa
nn
nn
n
nn
n
log...loglog...log
1...log
...log
......
212121
21
2121
Es decir, queremos demostrar que
n
afafaf
n
aaaf nn )(...)()(... 2121
Que es precisamente la desigualdad de Jensen aplicada a la función cóncava )log()( xxf .
6.7
Observamos que la función
101
)(
xxxf es convexa en ,0 , pues su segunda derivada
es positiva. Aplicamos la desigualdad de Jensen:
9
101010
101010
3
10
3
103
3
133
3
13
33
3
)()()(3)()()(
111
fcba
f
cfbfafcfbfaf
cc
bb
aa
Este mínimo se alcanza cuando 3
1 cba . En efecto:
9
101010101010
3
10
3
1033
3
13
111
cc
bb
aa
6.8
Sabemos que en todo triángulo ABC se cumple CBA , luego
33
1
3
1
3
1 CBA
Luego 13
1
3
1
3
1321 ttt y CBAxxx ,,,, 321 cumplen las condiciones de la
desigualdad de Jensen.
Por otro lado, xxf sin)( es una función cóncava en º1800 x , luego:
CBACBACBA sinsinsin3
1sin
3
1sin
3
1sin
3
1
3
1
3
1
3
1sin
3sin
2
3
O equivalentemente:
2
33sinsinsin CBA
6.9
Siguiendo con los elementos introducidos anteriormente,
xxf tan)( es una función convexa en º900 x , luego:
CBACBACBA tantantan3
1tan
3
1tan
3
1tan
3
1
3
1
3
1
3
1tan
3tan3
O equivalentemente:
CBA tantantan33
6.10
22
,2
,2
0,,0
CBA
CBA , y por tanto
2tan
2tan
2tan
666tan3
6tan3)30tan(3
3
133
CBACBACBA
Es decir:
2tan
2tan
2tan3
CBA
Con la igualdad si y solo si º60 CBA .
6.11
(*)...
...
...
...
)1)...(1)(1(
...
...
)1)...(1)(1(
...
...
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aaan
aaa
aaan
aaa
aaa
aaa
aaan
aaa
aaa
aaa
La función )ln()( xxf es creciente, luego
n
aaa
n
aaanaa
naaan
naaan
aaan
aaan
a
a
aaan
aaa
aaa
aaa
nnn
i
ii
n
n
n
nn
i i
i
n
n
n
n
n
...1ln
...ln1lnln
/)...(
/)...(ln
...
...ln
1ln
...
...ln
)1)...(1)(1(
...ln(*)
2121
1
21
21
21
21
1
21
21
21
21
Tomando la función xxxf 1lnln)( , la desigualdad anterior equivale a demostrar
n
aaafnaf n
n
i
i
...)( 21
1
Y, aplicando la desigualdad de Jersen, se reduce a demostrar que )(xf es convexa en
1,2/1 :
2
11221021)1(
1
)1(
1
0)1(
11)1()1)(1()1()(''
)1()1()1()('1lnln)(
222
22
22
22
1111
xxxxxxxxx
xxxxxf
xxxxxfxxxf
Fuente de esta solución: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) pág. 70.
7.7
Vemos que la desigualdad es homogénea de grado 2 en todos sus términos excepto en la
constante 1. Pero aprovechando la condición 1 cba , tenemos 2211 cba , y la
podemos transformar en la siguiente desigualdad equivalente:
cabcabcba
cabcabcba
cabcabcabcabcbacba
cabcabcbacba
222
222
222222
2222
22
42
4
Que es una desigualdad ya demostrada.
7.8
En primer lugar observamos que 3
3 11abc
cbacbaabcabc
.
Ahora realizamos la siguiente sustitución: y
xa ,
z
yb ,
x
zc
x
z
z
y
y
x
x
zy
z
yx
y
zxcba
a
c
c
b
b
a
222
Esta última desigualdad se demuestra fácilmente mediante el método de reordenación:
z
y
y
x
x
z
zyz
yxy
xxz
xyz
zxy
yxz
x
zy
z
yx
y
zx
222222222
111111
7.9
Vemos que esta inecuación no es homogénea, y procedemos a homogeneizarla:
111 3/13/1 abcabc
2223/1222 cbaabccbacbacba
Ahora desarrollamos la parte de la izquierda:
3/43/13/13/13/43/13/13/13/43/1cbacbacbaabccba
Luego queremos demostrar: 2223/43/13/13/13/43/13/13/13/4 cbacbacbacba
Aplicamos la desigualdad AM-GM apropiada:
663
2
6
6
4
666
3
663
2
2223/13/13/4
3/13/13/46 2286 222222222222
222222222
cbacba
cbacbacbaaaacbaaaa
cbacbacba
De la misma manera:
3
2
66,
63
2
6
2223/43/13/1
2223/13/43/1 cba
cbacba
cba
Y ya solo falta sumar las tres desigualdades anteriores, puesto que:
222222
222222222
222222222
6
666
6
4
6666
4
6666
4
3
2
6663
2
6663
2
cbacba
cbacbacba
cbacbacba
7.11
Puesto que la desigualdad es homogénea, podemos suponer que 1abc , y por tanto:
11
1
1
1
1
1333333
accbba
Con el cambio de variable 3ax , 3by , 3cz obtenemos la desigualdad equivalente
11
1
1
1
1
1
xzzyyx
Y finalmente, con el cambio de variable 1 yxA , 1 zyB , 1 xzC llegamos
finalmente a
1111
CBA
(*)2)(2))()((
02)(2))()((
01)3222())()((
01)()1)(1)(1(0
11111
zyxxzzyyx
zyxxzzyyx
zyxxzzyyx
CBACBAABACBCABC
ABCABACBCABC
ABACBC
CBA
Ahora utilizamos la siguiente identidad:
)2)(()(2))()(( zxyzxyzyxxyzzyxxzzyyx
Luego
3)2)(((*) zxyzxyzyx
Finalmente, aplicamos la desigualdad AM-GM: 13
3
xyzzyx
1231)(3
3/23 222
zxyzxyzxyzxyxyzzyxzxyzxy
y ya solo nos queda multiplicar las dos desigualdades anteriores.
7.12
Vemos que
1888
),,(222
abc
c
cab
b
bca
acbaf
es una función homogénea de grado 0, luego podemos añadir la restricción 1 cba .
En efecto, supongamos que 10 mcba . Entonces
m
c
m
b
m
a
m
cba
1
Y realizamos el cambio de variable maa /' , mbb /' , mcc /' , obteniendo una
desigualdad equivalente a la primera:
cbafm
c
m
b
m
afcbaf ,,,,',','
Nota: La solución de este problema sigue en 6.4.
7.14
Realizaremos la misma sustitución que en el problema 7.2: y
xa ,
z
yb ,
x
zc
xyzyxzxzyzyx
yxzxzyzyx
x
yxz
z
xzy
y
zyx
x
y
x
z
z
x
z
y
y
z
y
x
1
1
1111
Y esta desigualdad es el problema 2.12.
8.1
a) Observamos que 3
2
2
1 ,
5
4
4
3 ,
7
6
6
5 ... luego elevando al cuadrado, tenemos
10
1
100
1
100
99...
8
7
6
5
4
3
2
1
100
1
100
99...
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
100
99...
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
100
99...
8
7
8
7
6
5
6
5
4
3
4
3
2
1
2
1
100
99...
8
7
6
5
4
3
2
12
b) Por inducción en n:
Si 1n : 2
1
4
1
113
1
2
1
cierto.
Si 2n ; 64798737
1
8
3
7
1
123
1
4
3
2
1
cierto.
Suponiendo que es cierto para n, es decir:
13
1
2
12...
8
7
6
5
4
3
2
1
nn
n
queremos demostrar que también lo es para n+1:
nnnnnnn
nnnnnnnnnn
nnnnnn
n
n
nn
n
n
n
042028124192812
)484(1343144)22(131)1(3)12(
)22(131)1(3)12(1)1(3
1
22
12
13
1
1)1(3
1
22
12
2
12...
8
7
6
5
4
3
2
1
2323
2222
Lo cual es obviamente cierto.
c) Aplicando el apartado anterior: 12
1
155
115114412151144122
8.2
Las secuencias dcba ,,, y ),,,( 2222 dcba están ordenadas de la misma manera, luego
podemos aplicar la desigualdad de :
4444
333322222222 dcbaddccbbaadcbadcba
Podemos volver a aplicar la d. s con la secuencias dcba ,,, y dcba ,,, :
444416
22222dcbaddccbbaadcbadcbadcba
Uniendo estas dos desigualdades llegamos a:
444164
333322222dcbadcbadcbadcbadcba
Es decir:
3333
333333
164164dcba
dcbadcbadcba
Tal y como queríamos ver.
8.3
Aplicamos la desigualdad Cauchy-Schwarz:
636191919369
3133
9
333
9
1
9
1
9
133
9
1
9
1
9
1333
9
13
9
13
9
13191919
2
22
222
222
2
2
cba
cbacba
cba
cbacba
Nota: Un desarrollo más limpio sería comparar las ternas 19,19,19 cba y )1,1,1( y
aplicar la desigualdad Cauchy-Schwarz:
63)(93191919111191919 cbacbacba
8.4
Aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz:
222
2
222222222
22
111
111111111111
acbabc
cba
acbacbcacabacbcabc
cba
8.5
222222
222222
2
22
222
22
222
22
22222
1
1
1
1
1
1
111
111111
baaccb
aabcacbbcabacab
abc
acbcac
abc
abbcbc
abc
ac
c
ba
ba
bc
b
ca
ca
ab
a
cb
cb
ac
c
bc
b
ab
a
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
3 222
3 222
3222
3222222
3222222222222
11144
3
111
13
111
13
111
13
1
1
1
1
1
13
1
1
1
1
1
1
cbacba
cbacbacba
baaccbbaaccb
cbacba
cbacba
cbacbacba
baaccbbaaccb
11121112
1111114
111
13
111
13
1
1
1
1
1
13
1
1
1
1
1
1
33
233 222
3222
3222222
3222222222222
Y esta última desigualdad es el problema 2.4.
Nota: En las soluciones oficiales el enunciado se reduce hasta la desigualdad de Nessbit (3.6).
8.6
Primera versión.
Observamos que no es posible que los tres números sean mayores que 1, pues
41,, 222 abccbacba , contradiciendo la hipótesis del enunciado.
Supongamos que 1a . Entonces 01 a y por tanto
0)1()( abccbaabccabcab
Veamos ahora la desigualdad contraria.
Puesto que los tres números no pueden ser mayores que 1, podemos suponer, sin pérdida de
generalidad, b y c son ambos menores o ambos mayores que 1, es decir:
0)1)(1( cb
Interpretando la igualdad 4222 abccba como una ecuación de segundo grado en a ,
tenemos que
2
)4)(4(
2
)4(4)(04)(`
22222222 cbbccbbcbc
acbabca
Y por tanto:
bcabcacbaabccabcab )1)(1( .
Todo se reduce a demostrar que 2bca
(*)2
)4)(4(
2
2)4)(4(
2
)4)(4( 222222 bccbbccbbcbc
cbbca
Y se demuestra aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz en la forma:
2
2
2
1
2
2
2
12211 bbaababa
A nuestro problema:
41644)4()4()4)(4( 22222222 ccbbbccbbccb
Y por tanto
22
4(*) , tal y como queríamos ver.
Segunda versión.
La desigualdad inferior se demuestra igual que en la primera versión. Veamos la desigualdad
superior:
Igual que en la primera versión, podemos suponer sin pérdida de generalidad que b y c son
ambos mayores o iguales que 1 o ambos menores o iguales que 1, es decir, podemos suponer
que
0)1)(1( cb
Es conocido que bccb 222 , y por tanto
bca
abcaa
abca
abcaabcbcaabccba
2
)2(22
)2(4
)2(24
2
22222
Y por tanto:
2)1)(1(2122 bcabcbcaabcacaababccabcab
Fuente de estas dos versiones: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2001_USAMO_Problems/Problem_3
Nota: En dicha página web podemos encontrar una tercera versión mediante sustituciones
trigonométricas.
8.7
Primera versión.
Realizamos el siguiente cambio de variable:
caz
cby
bax
Luego
acbcabcbazyx
accacaz
bccbcby
abbabax
222222
2222
2222
2222
2
2)(
2)(
2)(
Y por tanto:
2222222222 24 zyxacbcabcbacbacba
Por otro lado,
cxzy
bzyx
ayzx
2
2
2
9)(4)(4)(4
12)(4
1)(4
1)(4
1
124)(4)(4)(
124))((4))((4))((
12444444
3111
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
22
222
222222
z
xy
y
zx
x
yz
z
xy
y
zx
x
yz
z
xyz
y
zxy
x
yzx
z
yzxxzy
y
xzyzyx
x
zyxyzx
ac
ca
cb
bc
ba
ab
ac
ca
cb
bc
ba
ab
Por otro lado, 2,,,,44 222222 zyxzyxzyx
22
222 44
4404022,xx
yzyzyzyzyz
y de la misma forma
22
2 4)(4
yy
zx
,
22
2 4)(4
zz
xy
Luego
9111
4444)(4)(4)(4
2222222
2
2
2
2
2
zyxzyxz
xy
y
zx
x
yz
Puesto que4
91114
222
222 zyx
zyx , tal y como queríamos ver.
Esta última desigualdad es el problema 3.3b.
Segunda versión.
Se sigue el mismo desarrollo, hasta llegar a
124)(4)(4)(
2
22
2
22
2
22
z
xyz
y
zxy
x
yzx
Puesto que, por hipótesis, 2224 zyx , seguimos así:
363
12322
2222
)()()(
4)(4)(4)(
222222
2222222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22222
2
22222
2
22222
2
22
2
22
2
22
z
xy
y
xz
x
yz
z
xy
y
xz
x
yz
z
xy
y
xz
x
yz
z
xy
y
xz
x
yz
z
z
y
y
x
x
z
xyz
y
xzy
x
yzx
z
xyz
y
xzy
x
yzx
z
zyxxyz
y
zyxzxy
x
zyxyzx
z
xyz
y
zxy
x
yzx
Y esta última desigualdad es consecuencia directa de aplicar la desigualdad AM-GM:
3133 33
222222
z
xy
y
xz
x
yz
z
xy
y
xz
x
yz
Tercera versión.
La condición 42222 cbacba se puede reescribir como
2222 acbcabcba
Y por lo tanto:
22
2
2
222
2
))((1
))(()(222
ba
bcac
ba
bcacba
ba
acbcabcbaab
ba
ab
Y por tanto:
3
))(())(())((
6222222
3111
222
222
222
ac
abcb
cb
caba
ba
bcac
ac
ca
cb
bc
ba
ab
ac
ca
cb
bc
ba
ab
Pero esta última desigualdad se demuestra aplicando la desigualdad AM-GM:
3
)()()(3
))(())(())((3
2
222
222
ba
babcac
ac
abcb
cb
caba
ba
bcac
Fuente de las versiones 2 y 3: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2011_USAMO_Problems/Problem_1&oldid=78098
8.8
Puesto que todos los términos son homogéneos, podemos suponer, sin pérdida de generalidad,
que 3 cba , y por lo tanto la desigualdad a demostrar se transforma en la siguiente:
832
3
32
3
32
322
2
22
2
22
2
cc
c
bb
b
aa
a
Observamos que
963
68
3
1
32
681
3
1
32
6832
3
1
963
96
32
3222
2
2
2
22
2
aa
a
aa
a
aa
aaa
aa
aa
aa
a
Y esto mismo podemos hacer en los otros dos términos de la suma, obteniendo
7963
68
963
68
963
68
8963
68
3
1
963
68
3
1
963
68
3
1
222
222
cc
c
bb
b
aa
a
cc
c
bb
b
aa
a
Ahora observamos que
6
68
963
6866)1(3963
2
22
a
aa
aaaa
Y realizando esto mismo con los otros términos de la suma, llegamos a
76
1838
6
18)(8686868
6
1
6
68
6
68
6
68
963
68
963
68
963
68222
cbacba
cba
cc
c
bb
b
aa
a
Fuente de la solución: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2003_USAMO_Problems/Problem_5
Nota: En esta página web se presentan tres soluciones alternativas más.
8.9
223222122
3
2
2
2
1
12
1...
3
1
2
1
1
1...
321 naaaa
n
aaaa
k
an
nn
k
k
Por un lado, tenemos el conjunto ordenado
2222
1...
3
1
2
1
1
1
n
Sea nkkk ,...,, 21 la permutación de n,...,3,2,1 tal que nkkkk aaaa ...
321
Entonces, por el Principio de Reordenación,
22222232221
1...
3
1
2
1
1
11...
3
1
2
1
1
1321 n
aaaan
aaaankkkkn
Puesto que la expresión de la derecha es el reodenamiento mínimo.
Pero naaaaaankkkkkk ,...,3,2,1
32121, y por tanto
22222222
1...
3
13
2
12
1
11
1...
3
1
2
1
1
1321 n
nn
aaaankkkk
n
1...
3
1
2
1
1
1
tal y como queríamos ver.
8.10
Primera versión.
abab 00
Aplicando la desigualdad AM-GM:
baabababababbabab
babab
bababb
babaab
222
2222
De nuevo aplicando la desigualdad AM-GM:
bababba
baababaaba
ababa
ababa
ababa
abbaba
ab
2
222
22
2
22
Así pues, tenemos la desigualdad
baabababba 2)(
Que, después de unas transformaciones apropiadas, se convertirá en la desigualdad del
enunciado:
b
baba
a
ba
b
baba
a
ba
b
baba
a
babaabababba
4422
222)(
22
222
2
b
baab
ba
a
ba
b
baabba
a
ba
b
baabba
a
ba
828
82
2
842
422
2222
Segunda versión.
Observamos que 12
2
a
baabaabab
Y de la misma forma b
ba
21
, luego
b
ba
a
ba
b
ba
a
ba
b
ba
a
ba
41
4
21
221
2
22
22
b
baabba
a
ba
b
baba
a
ba
b
bababa
a
baba
82
2
8
44
44
22
22
2
222
22
Tercera versión.
Observamos que abba
ba
abba
abba
abba
4)(2
)(
2
2
2
2
2
Y por tanto la desigualdad del enunciado es equivalente a
babbaa 424 , que es trivial puesto que bababa 0
Fuente de la segunda y tercera versión: 101 Problems in Algebra from the training of the USA IMO team (Adreescu, Feng, 2001), página 29.
8.11
Haremos una demostración por reducción al absurdo. Supongamos que no se cumple la
desigualdad. Entonces:
12)12(241344)()( 22222 nbannnnnabbaba
Y puesto que ba, son enteros, llegamos a nba 2 .
Pero, por otro lado, por la desigualdad AM-GM,
222
22
2 12
2
21 nnn
nbaabn
, absurdo.
Así pues, se tiene que cumplir la desigualdad del enunciado, tal y como queríamos ver.
Veamos ahora la igualdad:
12)12(241344)()( 22222 nbannnnnabbaba
3434 nnba es un cuadrado perfecto impar 2)12(34 un para cierto entero
no negativo u , y por tanto
14444144)12(34 2222 uunuunuuun , y 12 uba .
11121212
1222
uuuuunbunbaba
uba
nba
221121212 22 uuuubuauba
Y por tanto:
1112232122 22223422 nuuuuuuuuuab
Luego la igualdad se cumple cuando:
222 uua , 12 ub , 12 uun , 12 uba para todo entero no negativo u .
Fuente de esta solución: Solución oficial (SE)
8.12
Utilizaremos la desigualdad )(2 yxyx (ver Problema 3.3) y la igualdad acontece
si y solo si yx .
bababaabba
abba
ab
222
2222
)(22
22
La igualdad acontece cuando
bababaabbabaabba
ab
00)(0222
2222222
Nota: En las soluciones oficiales (SE) se presentan cuatro soluciones más.
8.13
Sea cbaS .
(*)63
1
3
1
3
176
3
7
3
7
3
7
63
322
3
322
3
322
623
22
3
22
3
2
3
2
3
2
3
2
332
3
323
3
233
3
aSbScSS
aS
S
bS
S
cS
S
aS
aSaS
bS
bSbS
cS
cScS
aS
aS
bS
bS
cS
cS
aS
aS
bS
bS
cS
cS
cba
cba
cba
cba
cba
cba
Por otro lado,
aSbScSSSSSaSbScS 3338
189333
Y por lo tanto
8
1563
8
76
3
1
3
1
3
1333
8
7(*) 2
aSbScSaSbScS
En donde hemos utilizado la variación de la desigualdad AM-HM vista en 3.5a:
2
1
1
1...
1... n
aaaa
n
n
Fuente de esta solución: Solución oficial (SE).
8.14
Primera versión.
Si 0b , entonces 1a , y por tanto
22222xxbyaxbyax , se cumple la igualdad. Lo mismo sucede cuando 0a .
Supongamos que 0, ba . Es una aplicación directa de la Desigualdad Cauchy-Schwarz "en la
forma de Engel" (4.3)
2
2222222222 byaxba
b
yb
a
xa
b
yb
a
xa
b
yb
a
xabyax
La igualdad acontece solo cuando las parejas
b
by
a
ax, y ba , son proporcionales, es
decir, cuando
yxb
by
a
ax
bb
by
aa
ax
Segunda versión.
Podemos escribir
222
222222
222222222
)()2(
)2(22)1()1(
2
yxabxyyxab
xyyxababxybayabxabxyybbxaa
abxyybxabyaxbyaxbyax
Que es claramente no negativa. La igualdad acontece cuando
0)( 2 yxab , es decir, cuando 0a o 0b o yx .
Tercera versión.
En las soluciones oficiales se presenta una tercera versión mediante la Desigualdad de Jensen
aplicada a 2)( xxf .
Fuentes de la segunda y tercera versión: Soluciones oficiales (SE pág. 1031)
8.15
a) es la desigualdad AM-GM.
b)
0)(02
222422
222
22222
2222
yxxyyx
xyyxyxyxyxyxyx
c) Aplicando el apartado b) tenemos
222
2
22
11
2
11
2
1111
2
1
2
11
211
pqpq
qp
qp
pp
pp
Luego el problema se reduce a demostrar que
pqqp
pqpqpqpqpqpq
22
1
2
1
4
1414
15
11
2
Que es precisamente el apartado a).
8.16
El problema equivale a demostrar que
022),( 2322 xyxyxyxxyxyxP si 1,0 yx
Escribimos el polinomio como polinomio en la variable x:
yxyyxyxyxP )21()12(),( 223
Dividimos este polinomio por 1x mediante el algoritmo de Euclides:
-1 12 y 221 yy
y
1 -1 y2 21 y
-1 y2 21 y 21 yy
Así pues,
)1()1()(
)1()(
11)1(2
11)1(2
1)1(12),(
2
22
222
222
222
yyxxyx
yyxxyx
yyxxyyxx
yyxxyyxx
yyxyyxxyxP
Y vemos que, efectivamente, para 1,0 yx los tres sumandos son positivos.
Fuente de la solución: Solución oficial (SE pág. 1022)
8.17
2
)(2)1)(1(2
22
)(2)1)(1()()1()1()1)(1( 2222
baba
baab
bababaabbababaab
21)1)(1(
22
2
2)1)(1(2
22
baba
baab
baba
baab
Con lo que nuestro problema se reduce a demostrar que
12
1)1)(1(2
1,0
baba
baabba
Aquí utilizamos que 310 xxx , y que 12
01,0
ba
ba
Y por tanto, y aplicando la desigualdad AM-GM, tenemos
22
33
3
1
23
1
223
babababa
baab
baab
21
2111
3
1
21)1)(1(
21)1)(1( 3
ba
baba
baba
baba
Y finalmente:
12
122
1)1)(1(2
babababa
baab
8.18
a) Realizamos el siguiente cambio de variable:
11
a
ax
x
xa ,
11
b
by
y
yb ,
11
c
cz
z
zc
La desigualdad a demostrar ahora es 1222 cba , sujeta a la condición
acbcabcba
acbcabcbaabccbaabc
c
c
b
b
a
axyz
1
1)()1)(1)(1(
1111
22222
2222
2222
2222
)1(1)(2)(1
)(2)(2
)()(2)(2
)()()1(2
cbacbacbacba
cbacbacba
cbacbacba
cbacbacba
De donde se deduce claramente que
11)1(0 2222222 cbacbacba
tal y como queríamos ver.
b) Seguimos con el cambio de variable anterior. Queremos resolver la ecuación
1222 cba
Y también 2222 )1(1 cbacba
Es decir, 1)1(10 2222 cbacbacba
Luego tenemos que resolver el sistema
1
1222
cba
cba
acbcab
acbcab
acbcabcbacba
0
)(211
)(2)(1
2
2222
0)1()1()1()1(
))(1()(011
2222
abaabbabaababbaa
babaabbacabbaccba
Entendiendo esta última expresión como una ecuación cuadrática en b, su discriminate es
)13)(1(
13)1(41)1()1(4)1()1(14)1( 22
aa
aaaaaaaaaaa
Para obtener valores racionales, es suficiente tomar valores de a racionales para los cuales
)13)(1( aa sea el cuadrado de un racional, de forma que el discriminante sea racional y
por tanto lo sea b y finalmente c).
Sea m
ka para ciertos enteros k y m .
2
)3)((3131)13)(1(
m
mkkm
m
mk
m
km
m
k
m
kaa
Luego nuestro problema se reduce a encontrar enteros mk, para los cuales km y mk 3
sean enteros.
Esto se obtiene tomando, por ejemplo, 12 kkm , para cualquier k entero, pues entonces 22 )1(12 kkkkm
222 )1(12133 kkkkkkmk
y ambos son cuadrados.
Así pues,
m
kkmmkmkb
m
k
m
kk
2
)1()(
2
/)1()/1(
1)1()1(
22
2
2
22
Tomando el valor de b con la suma:
m
m
m
m
m
mmb
kkkkm
m
kkm
m
kkm
m
kkmb 1
2
22
2
2
1212
2
)1(
2
1
2
)1()(
22
222
Y, finalmente
m
k
m
k
mmm
k
m
m
m
kbaccba
11111
1111
La condición 1,, cba descarta los casos 0k y 1k .
Aunque no es necesario, deshaciendo el cambio de variable llegamos a
2)1(
k
kx , 2kky ,
2
1
k
kz
Fuente de la solución: Soluciones oficiales (SE , pág 964)
9.1
Vemos que la desigualdad se adapta al modelo de la desigualdad Cauchy-Schwarz:
22222 mqnpqpmn
Tomando 1 pn , x
am
sin y
x
bq
cos , que están bien definidos pues
1cos,sin02
0 xxx
2
22
cossin
11
cossin1
cossin11
cos1
sin1
xxab
xx
ab
x
b
x
a
x
a
x
a
Solo queda demostrar que 2cossin
1
xx
En efecto,
2sin
cos
cos
sin
cossin
cos
cossin
sin
cossin
cossin
cossin
1 2222
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
Por la desigualdad del problema 1.2
9.2
xxxx
xxxx
xx
xx
xxxf
sin
4sin9
sin
4
sin
sin9
sin
4sin9)(
2222
Sean xxu sin9 , xx
vsin
4
Observamos que su producto es constante: 36sin
4sin9
xxxxvu
Aplicamos la desigualdad AM-GM:
126362
vuuvvu
Luego el valor mínimo de la función es 12.
La igualdad se obtiene si 9
4sin
sin
4sin9 22 xx
xxxxvu
La función xxxg 22 sin)( cumple 0)0( g y 9
4
22
2
g , luego el valor
9
4 se
alcanzará entre 0 y 2
.
9.3
Vemos que las secuencias xx 33 cos,sin y
xx sin
1,
cos
1 están ordenadas en el mismo orden:
21
21212
3
1
3
cos
1
cos
1coscossinsinsinsin
20
xxxxxxxxx
Luego , por el Principio de la Reordenación (ver Tema 5):
1cossin
cos
1
sin
1cossin
sin
1
cos
1cossin
)( 22
3333
xx
xx
xx
xx
xxxf
9.4
Primera versión. Aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz.
Vemos que se trata de una aplicación directa de la desigualdad Cauchy-Schwarz tomando
111 ba y x
aa
sin2 y
x
bb
cos2
x
b
x
a
xx
ab
x
b
x
a
x
b
x
a
cos1
sin1
cossin11
cos1
sin1
cossin11
2
2
Solo queda demostrar que 2
1cossin xx , lo cual se puede demostrar como aplicación de la
desigualdad GM-QM:
2
1cossin
2
1
2
cossincossin
22
xxxx
xx
O también se podría haber demostrado directamente mediante la identidad del seno del ángulo
doble:
2
11
2
12sin
2
1cossin xxx
Luego
22
21cossin
121cossin
1
2cossin
2cossin2
1cossin
abxx
abab
xx
ab
abxx
abab
xx
abxx
Con lo que llegamos finalmente a la desigualdad del enunciado.
Segunda versión. Aplicando la desigualdad AM-GM.
Desarrollamos los dos lados de la desigualdad:
(*)cossinsincos
222
cossinsincos12221
cos1
sin121
2
xx
ab
x
a
x
babab
xx
ab
x
a
x
babab
x
b
x
aab
Pero, aplicando la desigualdad AM-GM,
x
a
x
b
xx
ab
sincoscossin2
y puesto que 2
1cossin xx (ver la primera versión)
abab
xx
abxx 2
2/1cossin2
1cossin
Y por tanto x
a
x
bab
sincos22
Por otro lado, está claro que xx
ababxx
cossin2
2
1cossin , y sumando estas dos
desigualdades llegamos a demostrar la desigualdad (*) .
Fuente de esta segunda versión: 103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team (Titu Andreescu, 2005) , pág. 93.
10.5
Puesto que son los lados de un triángulo , podemos escribir
zya , xzb , yxc , con 0,, zyx
Luego
xzyzxyzyxcba
xzyzxyzyxxyxzxzyzy
yxyxxzxzzyzy
yxxzzycba
222222
222222
222222
222222
42
2222222
222
)()()(
xzyzxyzyx
zyzxzyzyyxxzxyx
zyxzyxyxxzzycba
24
4
4222
222
222
2222
Luego
04
424
2
222222
2222
xzyzxy
xzyzxyzyxxzyzxyzyx
cbacba
10.6
Puesto que son los lados de un triángulo , podemos escribir
zya , xzb , yxc , con 0,, zyx
qpxzyzxyzyxacbcab 3)(3222
qpqpxzyzxyzyxcba 2222 222222
qpacbcab 622
Está claro que acbcabcba 2222 pues qpqp 6222
Veamos la primera desigualdad:
acbcabcba
qpqpqpqpacbcabcba
222
222 0322
Y esta desigualdad se demostró en el bloque teórico.
10.7
a) Aplicando la Transformación de Ravi:
yxa , zyb , xzc
z
yx
yxxzzy
yx
acb
a
2
y de la misma manera
x
zy
bac
b
2
,
y
xz
cba
c
2
3)222(2
1
2
1
2
1
2
1
222
y
x
x
y
y
z
z
y
x
z
z
x
y
x
y
z
x
z
x
y
z
y
z
x
y
xz
x
zy
z
yx
y
xz
x
zy
z
yx
cba
c
bac
b
acb
a
b) De nuevo, mediante la Transformación de Ravi:
32222
xz
y
zy
x
yx
z
xz
y
zy
x
yx
z
c
cba
b
bac
a
acb
Es la Desigualdad de Nesbitt (3.4).
10.8
Ver problema PG/6.15
10.9
Ver problema PG/6.59
10.10
Ver problema PG/7.7
10.11
Ver problema PG/7.8
10.12
Ver Problema PG/7.9
10.13
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que cba .
Entonces, puesto que estamos trabajando con los lados de un triángulo, se cumple:
cbacbcabacba
En efecto, veamos la segunda desigualdad:
acbcbcbacbcbabaccbcacbab
cbcacbbcabcbacbcab
)()())((0 2222
22
y, efectivamente, cb pues suponemos cb y 0 acb por la desigualdad triangular.
Una vez establecido esto, el problema se resuelve mediante el método de Reordenación,
teniendo en cuenta que cba
cba111
cbacb
bcaba
acbac
cbacc
bcabb
acbaa
111111
Simplificamos la parte de la izquierda:
cbacbabcaacbcbacc
bcabb
acbaa
111
Simplificamos la parte de la derecha:
cb
cacb
a
bbca
c
aabcbac
bbcab
aacba
c
222111
Cancelando términos llegamos a:
b
acc
a
cbb
c
baa
b
cac
a
bcb
c
aba
b
cac
a
bbc
c
aab
)()()(0
)()()(0
222
Multiplicando por abc a ambos lados llegamos a la desigualdad del enunciado:
)()()(0 222 acaccbcbbaba
10.14
La desigualdad de la izquierda:
2)()(3 cbacabcab
está demostrado en el Problema 2.3b. No hace falta que sean lados de un triángulo.
Veamos la desigualdad de la derecha.
Aplicando la Transformación de Ravi, 22 )(4)()(2 zyxcbazyxcba
)(3222 xzyzxyzyxcabcab
Luego
)(3)(2
)(3)(2
)(3)(
)(4)(4)(4)(
222222
2222
22
xzyzxyxzyzxy
xzyzxyzyxxzyzxyzyx
xzyzxyzyxzyx
cabcabzyxcabcabcba
xzyzxy 0 , lo cual es cierto.
10.15
La desigualdad de la izquierda es el problema 2.5a.
Para la desigualdad de la derecha, basta ver que:
)()()()(2 baccabcbaacbcabacbcabcabcab
Y tener en cuenta que acb , bca y cba .
10.16
La desigualdad de la izquierda es la desigualdad de Nesbitt (3.6)
Veamos la desigualdad de la derecha. Observamos que
cba
c
ba
ccbabacbabababa
2
22
Y de la misma manera: cba
b
bc
b
2 y
cba
c
ba
c
2
Por lo tanto
2)(2222
cba
cba
cba
c
cba
b
cba
a
ba
c
ac
b
cb
a
10.17
Basta tener en cuenta que
)()()( 222222222222 cbacbacbacbacbacbacbacba
y aplicar el problema 10.10
10.18
Utilizaremos la siguiente identidad: ))()((
))()((
cacbba
cbcaba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
En efecto:
caabbabcaccbcbbaac
bcaccbcaabbacabacb
bcaccbcaabbaaccbba
222222
222222
222222
))()((
))()((
))()((
Y por tanto el numerador de la suma de las tres fracciones es:
))()((222222 cbcabacaabcbbcacba
Luego
(*)))()((
))()((
))()((
))()((
cacbba
cbcaba
cacbba
cbcaba
ac
ac
cb
cb
ba
ba
Ahora utilizamos el Problema 2.3
abccacbba 8))()((
Y por tanto
(**)8
1
8
))()(((*)
a
cb
b
ca
c
ba
abc
cbcaba
Y la equivalencia b de la desigualdad triangular:
1
a
cbcba , 1
b
cacab , 1
c
babac
Luego, finalmente:
8
1111
8
1(**)
10.19
Se deduce directamente del problema 10.14:
32334)(3
)(4)()(3
22
2
cbacba
cabcabcbacabcab
10.20
a)
abbcaacbabbcbaacba
abbcba
acba
abbsas
4422
22))((
Pero
0)(244 22222 cbabaabcabbcaacbab
Pues 22cbacba
Observación: Una manera alternativa:
cbacbabacbabasba
sbasbass
assbsababassbsabbsas
22)(2
)(0)(
0))((
22
22
Lo cual es cierto por la desigualdad triangular.
b) Multiplicando la parte izquierda por 4:
bcacabbcacabbcacabcbabcacab
acbcbacbabcabcaacb
ascscsbsbsas
22
))(())(())((
)22)(22()22)(22()22)(22(
222
Donde hemos utilizado bcacabcba 222 demostrado en el problema 10.15.
11.1
Ver problema PG/6.58
11.2
Ver problema PG/6.72
11.3
Ver problema PG/6.74
11.4
Ver problema PG/6.80
11.5
Ver problema PG/6.85
11.6
Ver problema PG/6.84
12.5
a)
Aplicando La Desigualdad Triangular al triángulo ABD , 2/aADc
Aplicando La Desigualdad Triangular al triángulo ACD , 2/aADb
Luego, sumando las dos desigualdades anteriores,
ADacb
ADacbaADcb
2
22
b) Sea BAD1 , DAC2 , ABD , ACD
Comparando lados y ángulos en ABD : 12
1BDaAD
Comparando lados y ángulos en ACD : 22
1CDaAD
Luego º902
º1802º180 212121 BADBAD .
12.6 Ver problema PG/7.6
12.7
Aplicamos la Desigualdad de Leibniz 12.4:
22229 cbaR
Y aplicando abcABCR 4 (ver GA/11.6.5)
Tenemos:
222
222
2
222222222
2
222222
2
222
2
222222222
34
43
16991616
9
16164
cba
abcABC
ABC
abccba
ABC
cbacbacba
ABC
cbacba
ABC
cba
ABC
cbaRcbaABCRabcABCR
Y ahora, aplicando la desigualdad Cauchy-Schwarz, tenemos
2223 cbacba
Y por tanto
cba
abcABC
cba
abc
cba
abc
cba
abcABC
934
33
3
3334
222222
Tal y como queríamos ver.
12.8
Aplicamos la Desigualdad Cauchy-Schwarz (4.1) a las ternas
crbqap ,, y cba /1,/1,/1
para obtener
(*)111
cbacrbqaprqp
Interpretando geométricamente los valores rqp ,, como alturas de los tres triángulos interiores
que determina P, la expresión crbqap es dos veces su área, y aplicando GA/11.13.1
tenemos:
R
abc
R
abcABCcrbqap
2422
Así pues,
R
abacbc
abc
abacbc
R
abc
abc
abacbc
R
abc
222(*)
Y por último solo nos queda aplicar el Problema 2.5a 222 cbaabacbc
para llegar al resultado deseado.
Fuente de esta solución: web "El blog de Leo" blog.nekomath.com
12.9
a) El punto P divide el triángulo en tres triángulos de alturas PD, PE, y PF, con bases todas
iguales al lado a , luego
PFPEPDaaPFaPEaPD
ABC 2222
Pero, por otro lado, 2
haABC
De donde se deduce directamente que hPFPEPD
b) Utilizamos 4.4 y el Lema de Viviani demostrado en el apartado a:
(*)99111
9111
hPFPEPDPFPEPDPFPEPDPFPEPD
Por otro lado, por Pitágoras, 2
3
4
3
2
22
22 ah
aaah
aa
36
2/3
9(*)
Tal y como queríamos ver.
b) De nuevo, aplicando 4.4,
aahPDPFPFPEPEPD
PDPFPFPEPEPDh
PDPFPFPEPEPDPDPFPFPEPEPD
33
2/32
9
2
9111
9111
2
9111
12.10
a)
ABC
a
hh
a
ABChaABC
a
aa
2
12
2
ABCrs
rABC
scba
ABCABC
c
ABC
b
ABC
a
hhh cba
1
2
1
222
111
Lo cual es cierto por GA/11.4.8.
Observación: Una manera más elegante podría ser tener en cuenta que, si I es el incentro del
triángulo:
ABC
IBC
ah
ar
h
r
aa
, y de la misma forma
ABC
ICA
h
r
b
y
ABC
IAB
h
r
c
Y por tanto
1
ABC
ABC
ABC
IAB
ABC
ICA
ABC
IBC
h
r
h
r
h
r
cba
b) Aplicamos 4.4 y el apartado a:
rhhhrh
r
h
r
h
rhhh
hhhhhh
cba
cba
cba
cba
cba
99
93111 2
12.11
a) Aplicaremos que las áreas de triágulos con la misma base son proporcionales a las alturas
correspondientes. En nuestro caso:
93111
111
2
AHBAHCBHCAHBAHCBHC
AHBAHCBHCABC
AHB
ABC
AHC
ABC
BHC
ABC
HF
CF
HE
BE
HD
AD
En donde hemos aplicado la desigualdad 4.4.
b) Sean HABSHACSHBCSABCS 321 ,,,
32
1
1
1
SS
S
SS
S
HDDA
HD
HA
HD
, y de la misma forma
31
2
SS
S
HB
HE
y
21
3
SS
S
HC
HF
y por tanto:
2
3
21
3
31
2
32
1
SS
S
SS
S
SS
S
HC
HF
HB
HE
HA
HD
Es una aplicación directa de la Desigualdad de Nesbitt (3.6).
Fuente de la solución: Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) pág. 62.
12.12
Sea ACa , CEb y AEc .
Aplicamos la Desigualdad de Ptolomeo 12.2 al cuadrilátero ACEF :
cFCAFbFEa
Puesto que se cumple FEFA , tenemos
FC
FA
ba
ccFCbaFA
)(
Y de la misma manera:
BE
BC
cb
a
y
DA
DE
ac
b
Y por tanto:
2
3
ba
c
ac
b
cb
a
FC
FA
DA
DE
BE
BC
Que es la desigualdad de Nesbitt (3.6).
12.13
En primer lugar vamos a estudiar uno de los segmentos por separado.
Consideremos el segmento AP.
Sea A' el punto medio del lado BC y P' el punto medio del arco BC.
Sean D y D' las respectivas proyecciones de A y P en el segmento BC.
Por semejanza de triángulos, ''' PA
AD
PD
AD
LP
AL
Luego el valor mínimo se obtiene cuando 'PP , es decir, cuando AP es la bisectriz del ángulo
A (ver GA/11.12.1).
Así pues, a partir de ahora supondremos que AP, BQ y CR son las bisectrices respectivas de los
ángulos A, B y C.
Pero en este caso sabemos (ver GA/11.4.4) que
cb
acBL
,
cb
abLC
y
2
2 1cb
abcAL
Y por tanto:
2
22
2
2
22
2211
a
acb
cb
bca
cb
abc
cb
ab
cb
ac
cb
abc
LCBL
AL
LPAL
AL
LP
AL
Y de la misma manera, con los otros dos segmentos del enunciado tenemos:
2
22)(
b
bac
MQ
BM ,
2
22)(
c
cba
NR
CN
Y por tanto, aplicado la desigualdad del Problema 2.5b:
(*)3
3
13
)()(
)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
22
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
cba
b
bac
a
acb
NR
CN
MQ
BM
LP
AL
Y finalmente, teniendo en cuenta que
6222
a
c
c
a
c
b
b
c
b
a
a
b
c
b
c
a
b
a
b
c
a
c
a
b
c
ba
b
ac
a
cb
Llegamos a
9363
1(*) 2
Observamos que la igualdad se cumple si y solo si cba .
Observación: Otra manera de acabar este problema sería la siguiente:
933222232
3)()(
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
ca
a
bc
c
ab
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
c
ba
b
ac
a
cb
En donde hemos tenido en cuenta que
22
2
2
2
a
b
b
a y 333
222222
cba
abbcca
b
ca
a
bc
c
ab
Fuente de esta solución: Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino), pág. 63
12.14
Nos basamos en que las áreas de triángulo compartiendo una misma base son proporcionales a
las alturas:
93111
111
2
APBCPABPCAPBCPABPC
APBCPABPCABC
APB
ABC
CPA
ABC
BPC
ABC
PS
CF
PR
BE
PQ
AD
En donde hemos utilizado que APBCPABPCABC y la desigualdad 4.4.
12.15
Si P es el baricentro del triángulo, basta aplicar GA/11.5.3b:
6222 PN
CP
PM
BP
PL
AP
Veamos el recíproco. Supongamos que 6PN
CP
PM
BP
PL
AP.
Entonces:
PN
CN
PM
BM
PL
AL
PN
PNCP
PM
PMBP
PL
PLAP
PN
PN
PN
CP
PM
PM
PM
BP
PL
PL
PL
AP
PN
CP
PM
BP
PL
AP
96
Pero sabemos, por GA/9.2.3, que 1CN
PN
AM
BM
AL
PL
Y por la desigualdad 4.4 que
9
PN
CN
PM
BM
PL
AL
CN
PN
AM
BM
AL
PL
Por lo anterior, esta desigualdad es igualdad, y esto solo sucede cuando
3PN
CN
PM
BM
PL
AL
Y esto solo sucede cuando P es el baricentro (faltaría por demostrar esto último).
12.16
a) Sea H el ortocentro del triángulo. Por GA/11.6.9 sabemos que HD=DD', HE=EE', HF=FF',
luego
HF
CF
HE
BE
HD
AD
FF
CF
EE
BE
DD
AD
'''
Por GA/9.2.3 sabemos que
1CF
HF
BE
HE
AD
HD
Aplicando la Desigualdad 4.4 tenemos
9
HF
CF
HE
BE
HD
AD
CF
HF
BE
HE
AD
HD
Luego 9HF
CF
HE
BE
HD
AD, tal y como queríamos ver.
b)
4'''
3'
1'
1'
1
''''''
CF
FF
BE
EE
AD
DD
CF
FF
BE
EE
AD
DD
CF
FFCF
BE
EEBE
AD
DDAD
CF
CF
BE
BE
AD
AD
Puesto que ya hemos visto en el apartado anterior que 1'''
CF
FF
BE
EE
AD
DD.
Aplicando la Desigualdad 4.4 tenemos
4
9
'''9
'''4
9'''
'''
CF
CF
BE
BE
AD
AD
CF
CF
BE
BE
AD
AD
CF
CF
BE
BE
AD
AD
CF
CF
BE
BE
AD
AD
tal y como queríamos ver.
12.17
a) Por GA/11.4.4d sabemos que
cb
asbcsla
)(42 , ca
bsacslb
)(42 , ba
csabslc
)(42
y por tanto:
))()((
4
))()((
)(4
))()((
4
))()((
))()((4)(4)(4)(4
242223222223222223
32223222
bacacb
rscba
bacacb
rsscba
bacacb
ABCscba
bacacb
csbsasscba
ba
csabs
ca
bsacs
cb
asbcslll cba
Donde hemos aplicado la Fórmula de Heron (GA/10.5.11) y GA/11.4.8. Luego:
rsrsbacacb
abclll cba
22
))()((
8
Donde hemos aplicado la desigualdad del problema 2.3.
b) Puesto que 2)(4 cbbc (Desigualdad AM-GM) tenemos que )()(42 ass
cb
asbcsla
, y
de la misma forma
)(2 bsslb y )(2 csslc .
y por tanto:
2
222
)(2
3
)()()()(
scbacba
s
csbsasscssbssasslll cba
c) Basta aplicar el Problema 2.5a, o de una manera directa:
22
2
2))(())(())((222
cs
bass
bsassbsassbsassllbsassll baba
En donde hemos aplicado la desiguadad AM-GM, y por tanto:
2
2222s
cbas
bs
as
csllllll accbba
12.18
Puesto que no hay relación entre los puntos M, N y P, vamos a demostrar que
RAM
bc2 , R
BN
ac2 y R
CP
ab2
Veamos la primera, las otras dos se demuestran con argumentos similares.
El punto de una recta más próximo a un punto dado se encuentra trazando la perpendicular por
dicho punto, así pues
ahAM , con ah la altura del triángulo correspondiente al vértice A.
Luego
Rh
bc
AM
bc
a
2
Esta última igualdad se puede demostrar por, por ejemplo:
aaa hRbc
haRabcABCRabc
haABC 2
244
2
Una manera alternativa de resolver este problema podría ser tener en cuenta la observación en
GA/9.2.2
)sin(22
)sin(
4AMBR
AM
bcAMBAMaABC
R
abc
Y de la misma forma )sin(2 BNARBN
ca y )sin(2 APCR
CP
ab
Y por tanto RRPCBNAAMBRCP
ab
BN
ca
AM
bc632)sin()sin()sin(2
12.19
Primera versión.
Aplicando la desigualdad 4.4
acbcabacbcabacbcab
acbcab
91113
111 2
Es suficiente demostrar
acbcabRRacbcab
2
29
19
Pero aplicando la desigualdad del problema 2.5a y la desigualdad de Leibniz (12.4) 2222 9Rcbaacbcab
Tal y como queríamos ver.
Segunda versión.
Aplicamos las identidades conocidas R
abcABC
4 ,
2
)( rcbasrABC
Y la desigualdad de Euler rR 2
2
1
2
1
4
/2111
RrRABCR
rABC
abc
bac
acbcab
13.1
Esta inecuación lleva implícita la condición 2/112021 xxx , y también
0x , pues 0x anularía el denominador de la división de la parte izquierda.
Multiplicamos y dividimos la parte izquierda por el conjugado para eliminar la raíz:
2
2
22
22
22
2
2
2222
2
2114
2114
211211
2114
211
4
42211211
2211)21(1211211
xx
xx
xx
xx
x
x
xxxx
xxxxx
Luego la inecuación del enunciado es equivalente a:
8/454/4514/4924/492/721
2/7217212
9221212192211
2
2
xxx
xx
xxxxx
Así pues, el resultado es 8
45
2
1
x y 0x
13.2
Esta inecuación lleva implícitas dos condiciones:
31101
303
x
xx
xx
Tomando 13)( xxxf , vemos que esta función es decreciente en el intervalo
31 x , y que toma valores desde 2)1( f hasta 2)3( f . Luego existirá un único
valor a tal que 2/1)( af , y el intervalo buscado será ax 1 .
Observamos que 0)1( f , luego 1a .
El problema se reduce a resolver la ecuación 2
113 aa , que elevando al cuadrado se
convierte en la ecuación de segundo grado 064
3322 aa , cuyas raíces son
8
311a .
Puesto que sabemos que 1a , la única solución válida es 8
311a y la solución del
problema es 8
3111 x .
Fuente de esta solución: International Mathematical Olympiads 1959-1977 Compiled and with solutions by Samuel L.Greitzer, pág. 46.
Nota: Si intentamos resolver este mismo problema por métodos digamos más convencionales,
vemos que aparece en el resultado un intervalo no aceptable:
0264
33
8
1523
8
1523
8
1513
8
1513
4
15132132
4
151324
4
1
13213132
113
2
1
2
2
2
2
2
2
22
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxx
Para resolver esta última inecuación determinamos las raíces de la ecuación cuadrática:
8
31102
64
33 2 xxx
Luego 8
311
8
31102
64
33 2 xxxx
Sin embargo, el intervalo 8
311x no es solución de la inecuación original.
13.3
Dominio de definición: La inecuación no está definida en bx y b
x1
.
01
10
1
10
1
01
110
1
1
1
1
2222
bxbx
x
bxbx
xba
bxbx
babxax
bxbx
axbxbxax
bx
ax
bx
ax
bx
ax
bx
ax
En donde hemos tenido en cuenta que 1 ba . Dividir entre b no cambia el signo, y por tanto:
0
1
)1)(1(0
1
12
bxb
x
xx
bxbx
x
Se cumplirá cuando el numerador y el denominador tengan el mismo signo. El numerador es
negativo en 11 x , y el denominador es negativo en bxb /1 .
El conjunto solución es ,1/1,1, bb .
14.1
Si 2,, cba ,
12
1111
4
1
2
14262
4
11
4
11
4
11
cbaaccbba
cbacba
ac
cb
ba
Y la igualdad solo puede darse si 2 cba , y se comprueba que este caso es solución de la
ecuación.
Supongamos ahora que al menos una de las tres incógnitas es menor que 2. Podemos suponer,
sin pérdida de generalidad, que 1a .
La ecuación nos queda
11
1
1
11
1
1
cbccbb
De nuevo, si 3, cb ,
11
1
1
11
1
1
4
1
5
1
1
1
4
1
1
1
4
1
6
11
4
1
1
1
cbccbb
cb
c
cb
b
. Luego 2,1 cb
El caso 1 cb no satisface la ecuación: 11
1
2
1
2
1
2
1
El caso 1b , 2c no satisface la ecuación: 12
1
3
1
3
1
2
1
El caso 1c , 2b tampoco por simetría.
Finalmente, el caso 2 cb tampoco satisface la ecuación: 13
1
3
1
4
1
3
1
Así pues, el único caso aceptable es 2 cba
14.2
Primera parte: Demostración de la desigualdad.
Supongamos que no es cierto, es decir, que existen nba ,, enteros positivos tales que ba y
21 nab , pero 34 nba
22222 1214414344344)()( nnnnnabnabbaba
Luego
nbanba 212
Por otro lado, por la desigualdad AM-GM:
2
2
baab
Y por tanto:
2
22
2
2
2
21 n
nbaabn
llegando a contradicción.
Segunda parte. Resolución de la igualdad.
De nuevo utilizamos identidad abbaba 4)()( 22 .
121214414344)()(22222 nbannnnnabbaba .
La ecuación 34 nba implica que 34 n sea un cuadrado perfecto impar, es decir,
21234 un para cierto u entero no negativo, y 1212342
uunba .
144441441234 2222 uunuunuuun
1121212212
1222
uuuuunbununb
uba
nba
221121212 22 uuuubuauba
Luego el conjunto solución son todos los números nba ,, tales que
12
1
1
22
2
2
2
uba
uun
ub
uua
para todo entero u positivo.
En efecto, se cumple:
111
22322222122
222
234223422
nuu
uuuuuuuuuuuuab
Fuente de esta solución: Soluciones oficiales OME.
Fuentes.
2.20 Basics of Olympiad Inequalities Samin Riasat (2008) 4
2.21 Basics of Olympiad Inequalities Samin Riasat (2008) 4
2.22 "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". 2
2.23 Mathematical Excalibur Volume 5, Number 4, September 2000 – November 2000 3
1.24 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 17
4.12 "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". 3
4.13 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 34
4.14 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 36
5.1 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 4
5.2 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 4
5.3 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 4
5.9 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 92
5.11 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 54
6.5 "2010 IMO Summer IMO Training: Inequalities Adrian Tang". 3
6.7 Mathematical Excalibur Volume 5, Number 4, September 2000 – November 2000 2
6.8 Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung) 70
7.7 https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Homogenization&oldid=78488
8.1 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 65
8.2 "Contest Problem Book V" 158
8.10 101 Problems in Algebra from the training of the USA IMO team (Adreescu, Feng) 2
9.1 Problem-Solving Strategies (Arthur Engels, 1998) 165
9.2 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 65
9.3 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 65
9.4 Problem-Solving Strategies (Arthur Engels, 1998) 174
9.5 Compiled and Solved Problems in Geometry and Trigonom... (Florentin Smarandache) 41
9.4 "AIME Solution Set 2015 David Altizio January 12, 2018" 12
9.4 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 65
10.9 "Contest Problem Book V" 170
10.10 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 15
10.11 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 54
10.12 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 56
10.14 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 57
10.15 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 57
11.1 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 66
11.2 103 Trigonometry Problems From the Training… (Titu Andreescu…) 64 y 68
12.5 International Mathematical Olympiads 1959-1977 Samuel L.Greitzer 3
12.8 web "El blog de Leo" blog.nekomath.com
12.9 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 61
12.10 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 62
12.11 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 62
12.13 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 63
12.14 Inequalities A Mathematical Olympiad Approach (Radmila Bulajich Manfrino) 65
13.1 International Mathematical Olympiads 1959-1977 Samuel L.Greitzer 46
Fuente principal del capítulo 6: Secrets in Inequalities (volume 1) (Pham Kim Hung), páginas 67 en adelante.
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