1 statisik lv nr.: 0021 ws 2005/06 27. oktober 2005

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STATISIK

LV Nr.: 0021

WS 2005/06

27. Oktober 2005

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Schätzverfahren

• Schluss von der Grundgesamtheit auf eine Stichprobe: Inklusionsschluss (direkter Schluss)

• Schluss von einer Stichprobe auf Parameter einer Grundgesamtheit: Repräsentationsschluss (indirekter Schluss)

• Unterscheidung: – Punktschätzer (einziger Schätzwert)– Intervallschätzer (Konfidenzintervall)

3

Schätzverfahren

• Punktschätzer: Für den zu schätzenden Parameter wird nur ein einziger Schätzwert angegeben. – Bsp. Schätze das unbekannte arithm. Mittel einer

Grundgesamtheit μ durch das arithm. Mittel der Stichprobe

• Vorsicht: Die in einer Stichprobe realisierten Merkmalsausprägungen sind zufallsabhängig, Punktschätzer stimmen daher nur in den seltensten Fällen mit dem wahren Parameter überein.

x

4

Schätzverfahren

• Intervallschätzer: Ausgehend von einer Stichprobe wird ein Intervall bestimmt, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt (Konfidenzintervall).

• Irrtumswahrscheinlichkeit ≤ α

• Konfidenzintervall zum Niveau 1-α (Vertrauensbereich od. Vertrauensintervall)

5

Schätzverfahren

• Ges: Konfidenzintervall für das arithm. Mittel: ZV

• Symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervall

• Symmetrie: z(α /2) = –z(1-α/2)

daher: z = –z(1-α/2) und –z = z(α /2) und

α α1

2 2

X-μW(z n z ) 1- α

σ

2X~N(μ,σ )

α1)zσμXzσW(μ XX

6

Schätzverfahren

• In diesem Wahrscheinlichkeitsintervall liegt das arithm. Mittel mit der Wahrscheinlichkeit 1- α.

• Gesucht ist ist aber nicht das Ws-Intervall der ZV, sondern das Konfidenzintervall für das unbekannte arithm. Mittel µ der Grundgesamtheit. – Varianz σ² der Grundgesamtheit bekannt– Varianz σ² der Grundgesamtheit unbekannt

7

Schätzverfahren

• Konfidenzintervall für µ bei bekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit:

Konkreter Stichprobenmittelwert XX zσxμzσx

x

8

Schätzverfahren

• Konfidenzintervall für µ bei unbekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit:

• Statt der unbekannte Varianz σ² wird die Stichprobenvarianz S² verwendet.

• Zufallsvariable:

T ist t- verteilt mit v=n-1 Freiheitsgradenn

SμX

T

9

Verteilungen

• Es gilt:– Ist T der Quotient einer Standardnormalverteilung und

der Quadratwurzel des Mittelwerts von n quadrierten unabhängigen N(0,1)-verteilten ZV Xi, dann folgt T einer t-Verteilung mit v=n Freiheitsgraden.

• Zufallsvariable:

T ist t- verteilt mit v=n Freiheitsgraden T~tn

• t-Verteilung ist symmetrisch

0

n2i

i=1

XT=

1X

n

10

Verteilungen

• t- Verteilung mit v Freiheitsgraden:– Erwartungswert (für n>1):

E(T) = 0– Varianz (für n>2):

Var(T) = n / (n-2)

• Für n→∞ geht die t-Verteilung in die N(0,1) über.

• Approximation durch N(0,1)-Vt für n ≥ 30

11

• Wahrscheinlichkeitsintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz:

• Wobei t = t(1-α/2);n-1 = – t(α/2);n-1 die Punkte sind, bei denen die Verteilungsfunktion der t- Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden die Werte 1-α/2 bzw. α/2 besitzt.

Schätzverfahren

α α;n-1 1- ;n-1

2 2

X-μW(t t ) 1- α

S

n

12

• Konfidenzintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz:

Konkreter Stichprobenmittelwert

Konkrete Stichprobenvarianz

Schätzverfahren

x

XX σ̂txμσ̂tx

Xσ̂

13

Schätzverfahren

• Konfidenzintervall für den Anteilswert:

• Ann. genügend großer Stichprobenumfang, d.h. Approximation durch N-Vt möglich, E(P) = θ und Var(P) = σP

²

• Standardisierte ZV:

2P

P-θZ=

σ

14

Schätzverfahren

• Wahrscheinlichkeitsintervall:

• Konfidenzintervall:

• Ist σP unbekannt, verwendet man stattdessen die Stichprobenvarianz des Anteilswertes als Schätzer.

α α1

P2 2

P-θW(z z ) 1- α

P Pp-zσ θ p+zσ

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Schätzverfahren

• Konfidenzintervall für die Varianz

• ZV (n-1)S² / σ² ist χ² verteilt mit v=n-1 Freiheitsgraden

• Wahrscheinlichkeitsintervall:

• Konfidenzintervall:

22 2α α

;n-1 1- ;n-1P2 2

(n-1)SW(χ χ ) 1- α

σ

2 2

2 2α α

1- ;n-1 ;n-12 2

(n-1)S (n-1)S;

χ χ

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Stichprobenumfang

• Bisher: – Geg: Stichprobenumfang n, Sicherheitsgrad 1-α– Ges: Konfidenzintervall

• Jetzt: – Geg: Konfidenzintervall, Sicherheitsgrad 1-α– Ges: Stichprobenumfang

• Absoluter Fehler Δμ = zσX ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung

• Breite des Konfidenzintervalls: 2Δμ

17

Stichprobenumfang

• Frage: Welchen Stichprobenumfang benötigt man, um einen Parameter (arithm. Mittel) bei vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad zu schätzen?

2

22

μ)(

σzn

18

Eigenschaften von Schätzern

Eigenschaften von Schätzfunktionen:

• Erwartungstreue

• Effizienz

• Konsistenz

• Suffizienz

19

Eigenschaften von Schätzern

• Erwartungstreue

• Eine Schätzfunktion heißt erwartungstreu (unverzerrt, unbiased), wenn ihr Erwartungswert mit dem wahren Parameter übereinstimmt.

• Bedingung:

• Es gilt:

Θ)Θ̂E(

μ)XE( 22 σ)E(S

20

Eigenschaften von Schätzern

• Effizienz:

• Von 2 erwartungstreuen Schätzfunktionen gilt jene als effizienter (wirksamer), die die kleinere Varianz aufweist.

• Eine Schätzfunktion heißt effizient, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Θ)Θ̂E( )Θ̂Var()Θ̂Var( *

tionSchätzfunk treueerwartungsbeliebigeΘ̂*

21

Eigenschaften von Schätzern

• Konsistenz:

• Eine Schätzfunktion heißt konsistent, wenn der Schätzwert bei laufender Vergrößerung des Stichprobenumfangs (n→∞ oder n→N) mit dem zu schätzenden Parameter zusammenfällt.

22

Eigenschaften von Schätzern

• Suffizienz:

• Eine Schätzfunktion heißt suffizient (erschöpfend), wenn sie sämtliche Informationen über den zu schätzenden Parameter, welche die Stichprobe enthält ausschöpft.

23

Schätzverfahren

• Methode der Kleinsten Quadrat

• Maximum Likelihood

• Momentenmethode

24

Konfidenzintervall

• Ausgehend von dem Ergebnis einer Stichprobe wird ein Intervall angegeben, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) liegt.

25

Konfidenzintervall

• Bsp. Arithmetisches Mittel (ist bei N-Vt. Grundgesamtheit bzw. bei genügend großem Stichprobenumfang N-Vt.). Der wahre Parameter µ liegt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) im Intervall

XX

zσX;zσX

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KonfidenzintervallKonfidenzintervall für den Parameter µ (bei N-Vt. des Stichprobenmittelwertes)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Stichprobenmittelwert

Dic

hte

der

N(0

,1)

1-α = 0,95

α/2 = 0,025

Konfidenzintervall

α/2 = 0,025

x-z(α/2)σ x+z(1-α/2)σ

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Konfidenzintervall

• Bsp. Körpergröße: – Mittelwert =173,42– Standardabweichung = 9,54 – N = 73– 2-seitiges KI zum Niveau α=0,05

Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter im KI liegt ist 0,95. Quantile der t-Vt: t=±1,99 Quantil der N(0,1)-Vt: z=±1,96

KI [171,19 ≤ µ ≤ 175,65] t-VtKI [171,23 ≤ µ ≤ 175,61] N(0,1)-Vt

28

Statistische Tests

• Fragen: – Besteht ein Zusammenhang zw. dem

Geschlecht und dem Rauchverhalten?– Ist der Ausschussanteil kleiner als 5%?– Ist die mittlere Länge eines Werkstücks, das

von zwei verschiedenen Maschinen hergestellt wird, gleich?

– Soll ein neues Medikament zugelassen werden?– Stammen Daten aus einer N-Vt

Grundgesamtheit?– …

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Statistische Tests

• Deskriptive Analyse der Daten– Lage- und Streuungsmassen– Kontingenztafeln – Korrelationsmaße– Verteilungsdiagramme– …

• Statistischer Test, um eine theoretisch abgesicherte Entscheidung zu treffen.

30

Statistische Tests

Einführung:

• Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen)

• Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen.

• Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

31

Statistische Tests

Einführung:• Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die

Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. • Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines

zufälligen Vorgangs.• Daher: Entscheidungen nicht immer richtig• Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen

Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

32

Statistische Tests: Hypothesen

Hypothesen:

• Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit

• 2 Arten von Hypothesen:– Parameterhypothesen, Überprüfung durch

Parametertests– Verteilungshypothesen, Überprüfung durch

Verteilungstests

33

Statistische Tests: Hypothesen

Formulierung von Hypothesen:

• Nullhypothese H0 (Ausgangshypothese)

• Alternativhypothese H1 (Gegenhypothese)

34

Statistische Tests: Hypothesen

Bsp.• Anteile:

– H0: Ausschussanteil = 10%

– H1: Ausschussanteil > 10%

• Mittelwerte: – H0: Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm

– H1: Mittlere Länge eines Werkstücks 5cm

• Gruppenvergleich: – H0: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich

– H1: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

35

Statistische Tests

• Entscheidung für H0 oder H1 basiert auf einer Stichprobe x1,…,xn

• Wahrscheinlichkeitsaussage ob H0 zutrifft oder nicht.

• Frage: H0 ablehnen (verwerfen) oder H0 nicht ablehnen?

36

Statistische Tests

Mögliche Fehlentscheidungen:

• Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H0 korrekt ist wird H0 abgelehnt

• Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H0 falsch ist wird H0 nicht abgelehnt.

37

Statistische Tests

• Fehlentscheidungen

Trifft zu

EntscheidungH0 H1

H0Richtige

EntscheidungFehler 2. Art (β -Fehler)

H1Fehler 1. Art

(α-Fehler)Richtige

Entscheidung

38

Statistische Tests

Problem bei Fehlentscheidungen:

• Falsche Entscheidung

• Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

39

Statistische Tests

• Signifikanzniveau eines Tests α:– Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu

machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

40

Statistische Tests

• Trifft H0 zu und entscheidet man sich für H1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt).

• Trifft H1 zu und entscheidet man sich für H0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

41

Statistische TestsFehler 1. Art und Fehler 2. Art

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

x

f(x)

N(0,1) N(3,1)

Fehler 1. Art

Fehler 2. Art

µ0=0 µ1=3

42

Statistische Tests

• D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H1 abgesichert.

• Bei Entscheidung für H1: – H1 ist richtig, – H1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit

Wahrscheinlichkeit ≤ α.

• Daher: Formuliere H0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

43

Statistische Tests

• Bsp. Medikamententest H0: Medikament ist nicht wirksam gegen H1: Medikament wirkt. – Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man

glaubt aber dass es wirkt– Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man

glaubt aber dass es unwirksam ist.

Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

44

Statistische Tests

• Arten von Hypothesen:

• Einseitige Hypothesen– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0

– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0

• Zweiseitige Hypothesen– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0

• Verteilungshypothesen:– H0: bestimmten Vt. gegen H1: nicht diese Vt.

45

Statistische Tests

• Arten von Testproblemen:– Einseitige Testprobleme

• Tests für einseitige Hypothesen

– Zweiseitige Testprobleme• Tests für zweiseitige Hypothesen

– Anpassungstests• Test für Verteilungshypothesen

46

Statistische Tests

• Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist.

• Test zum Niveau α:– g(θ) ≤ α für alle θ H0

– g(θ) ≥ α für alle θ H1

– Ist θ H1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.

– Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

47

Statistische TestsGütefunktion (einseitiger Test)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

499 499,5 500 500,5 501 501,5 502

µ

g(µ

)

µ0=500

48

Statistische TestsOperationscharaktersitik OC Kurve (einseitiger Test)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

499,5 500 500,5 501 501,5 502

µ

Feh

ler

2.A

rt =

1-g

(µ)

µ0=500

49

Statistische Tests

• Trennschärfe eines Tests:– Steilheit der OC Kurve 1-g(θ)– Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser

die Trennschärfe.

50

Statistische TestsOperationscharaktersitik OC Kurve (einseitiger Test),

unterschiedliche Stichprobengrößen n (n=9, n=100, n=10000)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

499,5 500 500,5 501 501,5 502

µ

Feh

ler

2.A

rt =

1-g

(µ)

µ0=500

51

Statistische Tests

• Vorgehensweise bei statistischen Tests (I):– Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des

Signifikanzniveaus– Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und

Bestimmung der Testverteilung unter H0.– Bestimmung des kritischen Bereichs– Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik)– Entscheidung und Interpretation

52

Statistische Tests

• Vorgehensweise bei statistischen Tests (II):– Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des

Signifikanzniveaus– Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und

Bestimmung der Testverteilung unter H0.– Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik)– Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik– Entscheidung und Interpretation

53

Statistische Tests

• p-Wert– Anstatt den kritischen Bereich bzw. die

kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des „p-Wertes“.

– p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte.

– Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α.

– Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn p-Wert < α

54

Statistische Tests

• Einseitige Tests (I)– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05

– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des

kritischen Werts (c)

– T > c, lehne H0 ab

– T ≤ c, lehne H0 nicht ab

55

Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

Dic

hte

de

r T

es

tve

rte

ilun

g

1-α = 0,95

α = 0,05

Kritischer BereichH0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

56

Statistische Tests

• Einseitige Tests (II)– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05

– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes

– p < α, lehne H0 ab

– p ≥ α, lehne H0 nicht ab

57

Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

Dic

hte

der

Tes

tver

teil

un

g

1-α = 0,95

α = 0,05

Kritischer BereichH0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

Prüfgröße=1,64 p-Wert=0,05

58

Statistische Tests

• Einseitige Tests (I)– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05

– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des

kritischen Werts (c)

– T < c, lehne H0 ab

– T ≥ c, lehne H0 nicht ab

59

Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

Dic

hte

de

r T

es

tve

rte

ilun

g

1-α = 0,95

α = 0,05

Kritischer BereichH0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

60

Statistische Tests

• Einseitige Tests (II)– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05

– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes

– p < α, lehne H0 ab

– p ≥ α, lehne H0 nicht ab

61

Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

Dic

hte

der

Tes

tver

teil

un

g

1-α = 0,95

α = 0,05

Kritischer BereichH0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

Prüfgröße=-1,64 p-Wert=0,05

62

Statistische Tests

• Zweiseitige Tests (I)– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05

– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der

kritischen Werte (cu und co)

– T < cu oder T > co, lehne H0 ab

– cu ≤ T ≤ co, lehne H0 nicht ab

63

Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

Dic

hte

de

r T

es

tve

rte

ilun

g

1-α = 0,95

α/2 = 0,025

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: co

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

α/2 = 0,025

Kritischer Wert: cu

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Statistische Tests

• Zweiseitige Tests (II)– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05

– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes

– p < α, lehne H0 ab

– p ≥ α, lehne H0 nicht ab

65

Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

Dic

hte

der

Tes

tver

teil

un

g

1-α = 0,95

α/2 = 0,025

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: co

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

α/2 = 0,025

Kritischer Wert: cu

Prüfgröße= -1,96, +1,96 p-Wert=0,05

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Statistische Tests

• Kritischer Wert: Wert auf der Achse

• p-Wert: Fläche unter der Dichte

• Entscheidung: – Lehne H0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen

Bereich

– Lehen H0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α

67

χ² Unabhängigkeitstest

Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest

• Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale voneinander unabhängig sind.

• Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten voneinander unabhängig?

68

χ² Unabhängigkeitstest

Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest

• H0: die beiden Merkmale sind voneinander unabhängig.

• H1: die beiden Merkmale sind nicht voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig

• Festlegen des Signifikanzniveaus α.

69

χ² Unabhängigkeitstest

• Kontingenztafel:– Absolute Häufigkeiten der

Merkmalsausprägungen

A \ B b1 ... bs ∑

a1 h11 … h1s h1.

: : : :

ar hr1 … hrs hr.

∑ h.1 ... h.s h.. = n

70

χ² Unabhängigkeitstest

• Bsp. 4-Felder Tafel:– Absolute Häufigkeiten der

Merkmalsausprägungen

Raucher Nichtraucherweiblich 9 32 41männlich 5 27 32

14 59 73

71

χ² Unabhängigkeitstest

Prüfgröße und Testverteilung:

• Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho).

• Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten?

• Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

72

χ² Unabhängigkeitstest

• Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten

• Interpretation der relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten

• Dann: unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten

o oi je h h

h =n

73

χ² Unabhängigkeitstest

• Bsp. Geschlecht - Rauchverhalteno oi je h h

h =n

ho

Geschlecht j nw 9 32 41m 5 27 32

14 59 73

Raucher

he

Geschlecht j nw 7,9 33,1 41m 6,1 25,9 32

14 59 73

Raucher

74

χ² Unabhängigkeitstest

• Teststatistik χ²:– Abweichung der beobachteten Häufigkeiten

von den erwartete Häufigkeiten

2o er sij ij2

ei=1 j=1 ij

h hχ =

h

75

χ² Unabhängigkeitstest

Verteilung der Teststatistik χ²:

• χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

76

χ² Unabhängigkeitstest

Kritischer Bereich:

• Signifikanzniveau α

• Kritischer Wert: α-Quantil der χ²(r-1)·(s-1) Verteilung

• Lehne H0 ab, wenn gilt:

Wert der Teststatistik > kritischer Wert

77

χ² Unabhängigkeitstest

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ²

• Verteilung der Teststatistik: χ²1

Chi-Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad

2o e2 2ij ij2

ei=1 j=1 ij

h hχ = 0,5

h

78

χ² Unabhängigkeitstest

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten:

• Kritischer Wert: 0,05-Quantil der χ²1 Vt. = 3,84

• Entscheidung:

(I) Teststatistik = 0,5 < 3,84 = kritischer Wert. Also: Lehne H0 nicht ab.

(II) p-Wert = 0,496 > 0,05. Also: Lehne H0 nicht ab.

• Interpretation: Geschlecht und Rauchverhalten sind voneinander unabhängig.

79

χ² Homogenitätstest

Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest

• Betrachte zwei Gruppen bzw. Stichproben.

• Teste, ob die Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.

80

χ² Homogenitätstest

Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest

• H0: die beiden Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit.

• H1: die beiden Stichproben stammen nicht aus der gleichen Grundgesamtheit.

• Festlegen des Signifikanzniveaus α.

81

χ² Homogenitätstest

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten

• H0: Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt überein.

• H1: Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt nicht überein.

82

χ² Homogenitätstest

Prüfgröße und Testverteilung:

• Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter H0 (gleiche Grundgesamtheit) erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho).

• Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten?

• Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

83

χ² Homogenitätstest

• Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiteno oi je h h

h =n

84

χ² Homogenitätstest

• Teststatistik χ²:– Abweichung beobachteten Häufigkeiten und

erwartete Häufigkeiten

• Verteilung der Teststatistik χ²:

χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

2o er sij ij2

ei=1 j=1 ij

h hχ =

h

85

χ² Homogenitätstest

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten:• Teststatistik χ² = 0,5• Verteilung der Teststatistik: χ²1 • Entscheidung:

– (I) χ² = 0,5 < 3,84. Lehne H0 nicht ab. – (II) p-Wert = 0,496 > 0,05. Lehne H0 nicht ab.

• Interpretation: die beiden Gruppen (Männer, Frauen) stammen aus der gleichen Grundgesamtheit, sie sind homogen.

86

χ² Tests

χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:

• Teststatistik und Testverteilung sind gleich

• Nullhypothese und Interpretation sind verschieden. – Test auf Unabhängigkeit (die Merkmale sind

unabhängig voneinander)– Test auf Homogenität (die Stichproben

stammen aus der gleichen Grundgesamtheit).

87

χ² Tests

χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:

• Für die Approximation durch die χ²-Vt. sollten die erwarteten Häufigkeiten jeder Zelle 5 sein und keine der Zellen sollte unbesetzt sein.

• Sind die Voraussetzungen verletzt, kann man einen exakten Test durchführen

(siehe Hartung S. 414ff)

88

Anpassungstests

Test einer Verteilungshypothese – Nichtparametrische Testverfahren

• Betrachtet Unterschied zw. Stichproben-Vt. und theoretischer Verteilung.

• „Anpassungstest“ weil die Güte der Anpassung einer theoretischen Vt. an eine empirische Vt. überprüft wird.

89

Anpassungstests

χ² Anpassungstest:

• H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung.

• Vorgehensweise: – Bestimme die unter H0 zu erwartenden

Häufigkeiten he und vergleiche sie mit den beobachteten Häufigkeiten ho.

– Abweichung groß – Entscheidung gegen H0, Abweichung klein – Entscheidung für H0.

90

Anpassungstests

χ² Anpassungstest:

• Teststatistik:

k ... Anzahl der Merkmalsausprägungen (diskrete Merkmale) bzw. Anzahl der Klassen (stetigen Merkmalen)

• Testverteilung: χ²v verteilt mit v=n-1

• Es gilt wieder: he sollten 5 sein.

k

1iei

2ei

oi2

h

)h(hχ

91

Anpassungstests

χ² Anpassungstest:

• Entscheidung: – Bestimmung des kritischen Bereichs,

χ² > kritischer Wert, lehne H0 ab

– Bestimmung des p-Wertes,

p-Wert < α lehne H0 ab

92

Anpassungstest

• Bsp. χ² Anpassungstest:– H0: Augenfarbe ist gleichverteilt

– H1: Augenfarbe ist nicht gleichverteilt

– α = 0,05

• Teststatistik: 8,583 > 5,991 (0,05 Quantil der χ²2 Verteilung) => H0 ablehnen

• p-Wert: 0,014 < 0,05 => H0 ablehnen

Merkmal ho he

1 35 242 22 243 15 24

72 72

93

Anpassungstests

Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest:

• Test zur Beurteilung der Güte der Anpassung einer erwarteten theoretischen Verteilung an eine beobachtete empirische Verteilung.

• H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung.

• Prinzip: Abweichung empirische- von der theoretische Verteilungsfunktion.

94

Anpassungstests

Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: • Prüfgröße (D):

– größte beobachtete absolute Abweichung der theoretischen von der empirischen Verteilungsfunktion.

• Testverteilung: – „Kolmogorov-Smirnov- Verteilung“, hängt nur

vom Stichproben-umfang n ab (1-α Quantile in Tabelle nachschlagen).

• Entscheidung: – D > kritischer Wert (aus Tabelle), lehne H0 ab.

95

Anteilstests

• Einstichprobentest für den Anteilswert – Hat der Anteil einen bestimmten Wert, bzw.

liegt er in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer

einzigen Stichprobe.

• Zweistichprobentest für Anteilswerte– Unterscheiden sich die Anteile zweier

unabhängiger Gruppen?– Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

96

Anteilstest - Einstichprobentest

Einstichprobentest für den Anteilswert:

• Einseitige Hypothesen: – H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0

– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0

• Zweiseitige Hypothesen: – H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0

97

Anteilstest - Einstichprobentest

Vorgehensweise:

• Teststatistik bestimmen

• Testverteilung bestimmen

• Entescheidung über Annahme oder Ablehnung von H0.

98

Anteilstest - Einstichprobentest

• Anteilswert einer Stichprobe: P = x / n

• Unter H0 ist P, wenn nθ0(1-θ0) ≥ 9, approximativ N-Vt., mit Parametern – E(P) = θ0

– Var(P) = θ0(1-θ0)/n · [(N-n)/(N-1)]• Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur wenn

n/N < 0,05.

99

Anteilstest - Einstichprobentest

Prüfgröße / Teststatistik:

• Standardisierte Zufallsvariable Z:

0

P

P-θZ=

σ

100

Anteilstest - Einstichprobentest

Testverteilung:

• Teststatistik Z ist unter H0 N(0,1) verteilt.

• Daher: Testverteilung ist die Standardnormalverteilung.

101

Anteilstest - Einstichprobentest

Kritischer Bereich:• α festlegen (z.B. α = 0,05) • Kritischer Wert: α – Quantil der N(0,1)-Vt. • Entscheidung: H0 ablehnen, wenn Teststatistik im

kritischen Bereich. p-Wert: • α festlegen (z.B. α = 0,05)• p-Wert: Niveau, bei dem der Test gerade noch die

H0 ablehnen würde. • Entscheidung: H0 ablehnen, wenn p-Wert < α

102

Anteilstest - Einstichprobentest

Bsp: Anteil der weiblichen Studenten

• Approximation durch N-Vt. zulässig, da unter H0 nθ0(1-θ0) = 18,25 ≥ 9.

• 1. Einseitige Tests:– H0: pw ≤ 0,5 gegen H1: pw > 0,5 und α=0,05

– H0: pw ≥ 0,5 gegen H1: pw < 0,5 und α=0,05

• 2. Zweiseitiger Test: – H0: pw = 0,5 gegen H1: pw 0,5 und α=0,05

103

Anteilstest - Einstichprobentest

Bsp: Anteil der weiblichen Studenten

• H0: pw 0,5 gegen H1: pw > 0,5 und α=0,05– Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σP =

0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur).– Teststatistik: Z = 1,05– Testverteilung: N(0,1) => Kritischer Wert 1,64– p-Wert: 0,1461

104

Anteilstest - Einstichprobentest

Bsp: Anteil der weiblichen Studenten

• H0: pw ≥ 0,5 gegen H1: pw < 0,5 und α=0,05– Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σP =

0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur).– Teststatistik: Z = 1,05– Testverteilung: N(0,1) => Kritischer Wert -1,64– p-Wert: 0,8539

105

Anteilstest - Einstichprobentest

Bsp: Anteil der weiblichen Studenten

• H0: pw = 0,5 gegen H1: pw 0,5 und α=0,05– Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0034 und σP =

0,0585 (ohne Endlichkeitskorrektur).– Teststatistik: Z = 1,05– Testverteilung: N(0,1) => Kritische Werte -1,96

und +1,96 – p-Wert: 0,2922

106

Anteilstest - Zweistichprobentest

Test für die Differenz zweier Anteilswerte

• Stichprobe 1: Anteil P1 = x / n1

• Grundgesamtheit 1: Anteil θ1

• Stichprobe 2: Anteil P2 = x / n2

• Grundgesamtheit 2: Anteil θ2

• H0: Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich.

H0: θ1 = θ2 (=θ) gegen H1: θ1 ≠ θ2

107

Anteilstest - Zweistichprobentest

Teststatistik:

(Unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur und wenn Voraussetzungen für eine N-Vt. erfüllt sind)

• Verteilung der Teststatistik unter H0:

Z ~ N(0,1)

1 2

1 2

1 2

(P -P )Z=

n +nθ(1-θ)

n n

108

Anteilstest - Zweistichprobentest

Entscheidung:

• Bestimmung des kritischen Bereichs. – Z > |c| lehne H0 ab

• Bestimmung des p-Wertes– p-Wert < α lehne H0 ab

• Interpretation: Wird H0 abgelehnt, dann sind die Anteile in den beiden Gruppen signifikant verschieden.

109

Test für arithmetisches Mittel

• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: – Hat das arithm. Mittel einen bestimmten Wert,

bzw. liegt es in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer

einzigen Stichprobe.

• Zweistichprobentest für das arithm. Mittel– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier

Gruppen?– Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

110

Test für arithmetisches Mittel

• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: – Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt.– Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.

111

Test für arithmetisches Mittel

• Einstichprobentest für das arithm. Mittel:

• Zweiseitige Hypothese:

H0: µ = µ0 gegen H1: µ ≠ µ0

• Festlegen des Signifikanzniveaus

112

Test für arithmetisches Mittel

• Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt.

• Unter H0 ist das arithm. Mittel der Stichprobe N-Vt. mit E=µ und Var=σ²/n

• Teststatistik:

• Testverteilung: N(0,1)n

σμX

σ

μXZ

X

113

Test für arithmetisches Mittel

• Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. Berechung des p-Wertes

• Entscheidung

• Interpretation

114

Test für arithmetisches Mittel

• Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.

• Schätzwert für unbekanntes σ²: Stichprobenvarianz s².

• Teststatistik:

• Testverteilung: tn-1

• t-Test

n

sμX

T

115

Test für arithmetisches Mittel

• Bestimmung des kritischen Bereichs: kritische Werte: α/2-Quantile der t-Vt., symmetrische Vt. daher tc

u = -tco

• Berechung des p-Wertes:

• Entscheidung:

|t| > tc, lehne H0 ab

p-Wert < α, lehne H0 ab

• Interpretation

116

Test für arithmetisches Mittel

Bsp. mittlere Körpergröße (n = 73)

• H0: µ = 170 gegen H1: µ 170, α = 0,05

• Arithm. Mittel der Stpr: 173,4

• Standardabweichung der Stichprobe: 9,5

• Teststatistik T = (173,4-170) / 9,5/73 = 3,1

• Kritische Werte: -1,96 und +1,96

• p-Wert: 0,0021

• Mittlere Körpergröße ist signifikant 170

117

Test für arithmetisches Mittel

• Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier

Grundgesamtheiten?– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier

verbundener Stichproben?

118

Test für arithmetisches Mittel

• Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen.

• Voraussetzung: – Stichproben unabhängig– Stichproben stammen aus einer N-vt.

Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig

– Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar

119

Test für arithmetisches Mittel

• Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht.

• Varianzen verschieden, σ1² σ2² :

• Teststatistik:

• Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.

2

22

1

21

21

n

S

n

S

)XX(Z

120

Test für arithmetisches Mittel

• Varianzhomogenität, σ1² = σ2² = σ²:

• Teststatistik:

wobei

• Testverteilung: T ~ tv mit v=n1+n2-2 Freiheitsgarden

21

21

21

nn

nnS

)XX(T

2nn

1)S(n1)S(nS

21

222

211

121

Test für arithmetisches Mittel

• Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.)– Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen

der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen.

• Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.

122

Test für arithmetisches Mittel

• Differenzen der Wertepaare: Di = X2i – X1i sind N-vt. mit E(Di) = µ2i - µ1i = δ und Var(Di) =σD²

• Teststatistik:

• Testverteilung: T~tv mit v=n-1

n

SδD

TD

n

1i

2iD

n

1ii )D(D

1n

1SundD

n

1X

123

Test für Varianz

• Einstichprobentest für die Varianz: – Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw.

liegt er in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer

einzigen Stichprobe.

• Zweistichprobentest für die Varianz– Unterscheiden sich die Varianzen zweier

Gruppen?– Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

124

Test für Varianz

Einstichprobentest für die Varianz:• Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt• H0: σ² = σ0² gegen H1: σ² σ0²• Teststatistik:

• Testverteilung: χ²v mit v=n-1• Entscheidung:

– χ² > χ²co oder χ² < χ²c

u, lehnen H0 ab – p-Wert < α, lehne H0 ab

2

22

σ

1)s(nχ

125

Test für Varianz

Zweistichprobentest für den Quotienen zweier Varianzen:

• Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt• H0: σ1² = σ2² gegen H1: σ1² σ2²• Teststatistik:

• Testverteilung: Fv1,v2 mit v1=n1-1 und v2=n2-1• Entscheidung:

– F > Fco oder F < Fc

u, lehnen H0 ab – p-Wert < α, lehne H0 ab

22

21

S

SF