1 streuung an einem molekül der streufaktor (formfaktor) ergibt sich aus der fourier transformation...
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1
Streuung an einem MolekülDer Streufaktor (Formfaktor) ergibt sich aus der Fourier Transformation der
Elektronendichte des streuenden Motivs
Elektronendichte: M j jj
N
r r r
1
Amplitude der gestreuten Welle:
N
jjM
N
jj
VjjjjM
jj
N
j VjjjjjM
V
N
jjM
rqiqfqF
rqiRdRqiRqF
rrR
RdRrqiRqF
rdrqirrqF
1
1
1
1
exp
expexp
exp
exp
rFTqF
2
Das Phasenproblem F q FT r r FT F q 1
Messdaten:
rqFFT
iFF
FFFI
EEEI
1
2*
2*
exp
Zentrales Problem der Strukturanalyse:
Wie findet man die Phase im Strukturfaktor?
3
Information über die Struktur des Werkstoffes
Eine wichtige Konsequenz der Beugungstheorie:
Der entscheidende Faktor bei der Beugung ist die Projektion des Positionsvektors in die Richtung des Beugungsvektors (q.r), weil sie in den Gleichungen für Strukturfaktor und Intensität auftritt. Die Beugung sieht daher nur „in die Richtung des Beugungsvektors“.
22
1
~
exp
exp
qFEqI
rqiqfqF
RdRqiRf
M
N
jjjM
Vjjjjj
4
Ungeordnete StrukturenVerschiebung der Atome aus ihren idealen Positionen
(Gleichgewichtspositionen)
1. Abnahme der Intensität der ordentlichen (Braggschen) Maxima – dieser Effekt vergrößert sich bei höheren Beugungswinkeln
2. Zunahme der diffraktierten Intensität außerhalb der ordentlichen Maxima – Zunahme der Diffusionsstreuung
0 1 2 3 4 50
20
40
60
80
100
120
140
qz
Inte
nsi
ty
Statische Verschiebung der Atome
5
Streuung an idealen Kristallen
Idealer Kristall:
Dreidimensional geordnet
Ohne Strukturfehler
Unendlich groß
Kann durch eine dreidimensionale Periodizität der Elementarzelle beschrieben werden
6
Streuung an idealen Kristallen
cnbnanT
Tczbyaxr
321
o
a
b
c
Atomlagen
Strukturfaktor und Intensität
22
1
~
exp
qFEqI
rqiqfqFN
jjj
BeugungsvektorEin Vektor im reziproken Raum:
cwbvauq
sskkq io
2
02
7
Definition der Basisvektoren im reziproken Gitter
V
bc
cba
cba
V
ca
cba
acb
V
ab
cba
ba
V
bac
d
nc
d
nb
d
na
sin
sin
sin
;;001
001
010
010
100
100
0
0
0
1
bcac
cbab
caba
ccbbaa
8
Streuung an idealen Kristallen
N
jjjjj
N
jjjjj
N
jjjjj
N
jjj
wnvnuniwzvyuxiqfqF
wnvnunwzvyuxiqfqF
cnbnanczbyaxcwbvauiqfqF
rqiqfqF
cwbvauq
cnbnanczbyaxr
1321
1321
1321
1
321
2exp2exp
2exp
2exp
exp
2
0
1
bcaccbabcaba
ccbbaa
Für (u, v, w) = (h, k, ℓ): 12exp 321 nknhni F(q) = max
9
Reziprokes Gitter und die Beugungseffekte
clbkahGq
hkl
2
a*, b*, c* … Basisvektoren des reziproken Gitters
h, k und l … ganze Zahlen (Miller Indexen)
000 100 200 300 400
001 101 201 301 401
002 102 202 302 402
003 103 203 303 403
a*
c*
_001
_101
_201
_301
_401
_002
_102
_202
_302
_402
_003
_103
_203
_303
_403
hklGq
2
Braggsche Gleichung:
10
Periodizität im direkten und im reziproken Raum
http://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/gallery.html
11
Laue-Bedingungen
N
jj
N
jj
cnbnanqirqiqfqF
TrqiqfqF
1321
1
expexp
exp
2
2
21exp 321
cq
kbq
haqcnbnanqi
css
kbssssq
hass
0
002
0
Laue-Bedingungen
cnbnanT321
12
Laue-Bedingungen
Geometrische Darstellung
css
kbss
hass
0
0
0
13
Äquivalenz der Laue-Bedingungen und der Braggschen Gleichung
hkG
ss
0 -20 -10 0 10 20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
qx (A^-1)
qz (
A^-
1)
Face centred cubic
css
kbss
hass
0
0
0Laue Bedingungen:
Laue Bedingungen im reziproken Raum:
sin2;1sin2
0
hkhk
hk
dd
Gss
Bragg Gleichung: Interferenzmaximum wird beobachtet, wenn der Beugungsvektor in einem Punkt des reziproken Gitters endet
s0 s
sin sin
2
2
1G
dhk
14
Ewald-Konstruktion
15
Ewald-Konstruktion
s0/
s/
2
s sG
s sG
d
d
hk
hkhk
hk
0
0 2 1
2
sin
sin
Elastische Röntgenstreuung (gleiche Wellenlänge oder gleiche Energie):
Änderung der Länge des Beugungsvektors:
Drehen des reziproken Gitters:
Drehen des Kristalls im Primärstrahl.
ss
0
sin20
ss
16
Streuung an idealen Kristallen
N
jjjjj zkyhxihkfhkF
1
2exp
x, y, z … Bruchkoordinaten (Atompositionen)
h, k, ℓ … Beugungsindexe (Miller Indexe)
2
1
*2
2exp
N
jj zkyhxihkfhkI
hkFhkFhkFhkI
Strukturfaktor:
Intensität:
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