1 vier/fünf-farben-satz 1. geschichte des vier-farben- satzes 2. induktionsbeweis 3....

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Vier/Fünf-Farben-Vier/Fünf-Farben-SatzSatz

1. Geschichte des Vier-Farben-1. Geschichte des Vier-Farben-SatzesSatzes

2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis3. Fünf-Farben-Satz3. Fünf-Farben-Satz

3.1 Graphendefinition3.1 Graphendefinition3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung3.3 Beweis3.3 Beweis

Gliederung:

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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz

1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes

1842 erste Vermutung durch Francis Guthrie

1879 erster „Beweis“ durch Alfred Kempe, 11 Jahre später wurde dieser wiederlegt

1890 fehlerfreier Beweis für den Fünf-Farben-Satz durch Percy Heawood

Die erste „Beweise“ lieferten die Grundlage für den späteren Endbeweis.

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1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes

1977 erster fehlerfreie Beweis durch Ken Appel und Wolfgang Haken (Computerbeweis!)

Erstes großes mathematisches Problem, welches mit Hilfe eines Computers gelöst wurde.

Von einigen Mathematikern nicht anerkannt!

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1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes

„Ein guter Beweis liest sich wie ein Gedicht, dieser sieht aus wie ein Telefonbuch!“

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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz

2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis

... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“

Vermutung: Eine bestimmte Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen

5.Peano-Axiom (Induktionsaxiom):

„Ist K eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften, dass 0 (bzw. 1) in K liegt und für jedes Element k von K auch k+1 in K liegt, dann ist k gleich N.“

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2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis

... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“

Induktionsanfang: Überprüfen der Gültigkeit für n=0 (n=1)

Induktionsannahme: Aussage gilt für n=k

Induktionsschritt: folgt aus der Annahme, dass die Aussage ebenfalls für n=k+1 gilt, dann gilt sie für alle Nn

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1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz

2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis

... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“

Beispiel: Gaußsche Summenformel

Behauptung:

n

i

nni

1 2

)1(

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2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis

... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“

n

i

nni

1 2

)1(

Induktionsanfang:

Gilt die Gaußsche Summenformel für n=1?

Induktionsannahme:

Gaußsche Summenformel gilt für n=k

2

)11(11

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2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis

... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“

Induktionsschritt: Folgt aus der Induktionsannahme das die Summenformel auch für n=k+1 gilt?

)1(1

1

1

kiik

i

k

i

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2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis

... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“

)1(2

)1(1

1

kkk

ik

i

Aus der Induktionsannahme folgt:

2

2*)1(

12

*)1(

kk

kk

11

1.Geschichte1.Geschichte 2.Induktion2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz

2. Induktionsbeweis2. Induktionsbeweis

... oder „der Schluss von n auf n+1“... oder „der Schluss von n auf n+1“

2

)1)1((*)1(2

)2(*)1(

kk

kk

12

1.Geschichte 2.Induktion1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz3.Fünf-Farben-Satz

3.1 Graphendefinition3.1 Graphendefinition

Paar der endlichen Mengen E und V V: Menge der im Graph enthaltenen KnotenE: Menge der Kanten des Graphen

Es gilt: und ØEVØVVE :

Planarer Graph: Graph, der sich in der Ebene darstellen lässt, ohne dass sich die Kanten schneiden

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3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung

Umformulierung des Problems: - Karte wird als Graph betrachtet. - Ecken sind Länder, - Kanten sind zwischen den Ecken zweier

benachbarter Länder

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3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung

fk 32

Eulersche Polyederformel:

kf3

2

33

22

kekkekfe

ke 36

63 ek

2 kfe

ebener Graph mit e Ecken hat höchstens 3e-6 Kanten

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3.2 Vorbereitung3.2 Vorbereitung

e

kd

2

Durchschnittsgrad: durchschnittliche Anzahl der Kanten an einer Ecke

663

22

e

e

e

kd

d<6 mindestens eine Ecke mit 5 oder weniger Kanten

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3.3 Beweis3.3 Beweis

G sei ein ebener Graph mit e > 5 Nachbarecken

G enthält v mit Ecken

Es sei G’ = G ohne v und ohne die an v angrenzenden Kanten

G’ ebener Graph mit e-1 Ecken (nach Induktionsvoraussetzung fünffärbbar)

G’ sei fünfgefärbt

5e

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3.3 Beweis3.3 Beweis

Fall1: an v angrenzende Kanten v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt

Fall 2: an v angrenzende Kanten =5 Fall 2a: an v angrenzende Ecken in weniger als 5 verschiedenen Farben

gefärbt. v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt

Fall 2b: an v angrenzende Ecken in 5 verschiedenen Farben gefärbt

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3.3 Beweis3.3 Beweis

Fall 2b

Umfärben:Wir betrachten: r und b Versuch r blau zu färben um v rot zu färbenblaue an r grenzende Ecken werden rot gefärbt. Rote an diese Ecken werden blau gefärbt usw.

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3.3 Beweis3.3 Beweis

Rot-Blau-Weg:wenn b mit r über den rot-blau-weg verbunden ist, ist das Umfärben hoffnungslos

Orange-Grün-Weg vorhanden?? fünffärbbar

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Vielen Dank für Ihre/Eure Aufmerksamkeit!

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Quellen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Ebener_Graphhttp://de.wikipedia.org/wiki/Graph_%28Graphentheorie%29http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=568http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Peano-Axiomehttp://de.wikipedia.org/wiki/Induktionsbeweis#Die_Idee