1 wahrscheinlichkeits- rechnung ii viel drumherum
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1
Wahrscheinlichkeits-rechnung II
Viel Drumherum
2
Der Plan
Eine ausführliche WiederholungEin Steilkurs in KombinatorikPaketlösungenEin Ausblick
Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden
3
Der Start: Würfeln
Würfeln mit einem „fairen“ Würfel
Problem 1: Einmal würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,eine 6 zu würfeln?
Problem 2: Zweimal würfeln: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln?
4
Fachsprache
Zufallsexperiment:Einmal würfeln
Ergebnismenge M: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Zufälliges Ereignis: A = {6}
Wahrscheinlichkeit: P(A) =1/6
5
Fachsprache
Zufallsexperiment: Zweimal würfeln
Ergebnismenge M: {(1,1), (1,2), , (6,5), (6,6)}
Zufälliges Ereignis: B = {(1,6), (2,6),…, (6,6), (6,5),.., (6,2), (6,1)}
Wahrscheinlichkeit: P(B) =11/36
6
Weitere Bezeichnungen
Gegenereignis zu A:
Anzahl der Elementeeiner Menge X: |X|, z.B.
|A| = 1
|B| = 12
A, z.B. {6} = {1, 2, 3, 4, 5}
5P(A) = 1 - P(A) =
6
7
Pascal
1623 – 1662
Theologe, Philosoph,Mathematiker, Physiker
Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen
8
Pierre de Fermat
1601 – 1665
First Class Mathematiker, ein Superstar
Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es
keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie
Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen
9
Jakob Bernoulli
1654 - 1705
Äusserst vielseitigerMathematiker, Gesetz der großen Zahlen
1713: Ars conjectandi:
„Wahrscheinlichkeit als messbarer Grad der Gewissheit“
10
Pierre Simon Laplace
1749 – 1827
Physiker und Mathematiker
Mechanik, Kosmologie
1812: Théorie analytique des probabilités
11
Laplace-Wahrscheinlichkeiten
günstig für A | A |P(A) = ,
Gesamtzahl | M |
ein einfaches und plausibles Konzept!
12
Voraussetzungen:
„Faire Würfel“
Man kann schmerzfrei dividieren, also M ist endlich
Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!
13
Laplace-WahrscheinlichkeitenEinfaches KonzeptStrikte Voraussetzungen
Probleme:Wie ermittelt man |M|?Wie ermittelt man |A|?
Da fängt der Ärger an!
14
Kombinatorik: Die Wissenschaft der Anzahlen
Ziel: Bestimmung der Anzahl von
– Anordnungen oder Auswahlen– mit oder ohne Wiederholung– mit oder ohne Reihenfolge
15
Kombinatorische Probleme 1
(P1): 10 LäuferZ = Anzahl der Reihenfolgen
(P2): 10 Läufer, 5 D, 2 F, 2 B, 1 SZ = Anzahl der
Reihenfolgen, nationale Variante
16
Kombinatorische Probleme 2
(P3): 10 Läufer, olympischZ = Anzahl der Reihenfolgen
(P4): WortproblemZ = Anzahl der Wörter der Länge 4 über dem deutschen Alphabet
17
Kombinatorische Probleme 3
(P5): 6 aus 49Z = Anzahl der
Möglichkeiten
(P6): Obstproblem: 6 Sorten, Auswahl von 4 Früchten
Z = Anzahl der Auswahlen
18
Klassifikation
Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name
(P1) ja nein nein Permutation
(P2) ja ja nein Permutation mit W
(P3) ja nein ja Variation
(P4) ja ja ja Variation mit W
(P5) nein nein ja Kombination
(P6) nein ja ja Kombination mit W
19
Vollständige Klassifikation
Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name
(P1) ja nein nein Permutation
(P2) ja ja nein Permutation mit W
(P3) ja nein ja Variation
(P4) ja ja ja Variation mit W
(P5) nein nein ja Kombination
(P6) nein ja ja Kombination mit W
nein nein nein (Anzahl 1)
nein ja nein (Anzahl 1)
20
Kombinatorische Probleme 4
(Q1): 10 CentZ = Anzahl der
Darstellungen
(Q2): Eulers Rencontre-Problem
21
Permutationen
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Platz
P10 = 10 ·9 ·8 ·7 ·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1
=10! = 3 628 800
22
Exkurs: Fakultäten
1! =12!=1·2=1!·2 =23!=1·2·3=2!·3 =64!=3! ·4 =245!=4! ·5 =1207!= ?
(n+1)!=n! ·(n+1)
23
Fakultäten:
100! = 93326215443944152681 69923885626670049071 59682643816214685929 63895217599993229915 60894146397615651828 62536979208272237582 51185210916864000000 000000000000000000
24
Fakultäten• 1000! =
• 402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
25
Fakultäten
0! = 1
Rainer Roos an Richard Kunz (1957):Warum gilt 0! = 1?
Antwort: Dazu musst du Mathematik studieren.
26
Die Antwort:
n -t
0
0 -t -t
0 0
x -t
0
n! = t e dt
0! = t e dt = e dt = 1
x! = t e dt = (x+1)
27
n=3: Der Integrand
28
Gamma-Funktion
29
Gamma-Funktion
30
James Stirling
1692 – 1770,Schotte,
wichtige Beiträgezur Analysis.
nn
n! 2πne
31
Permutation mit Wiederholung
(5,2,2,1)10
(3,2)5
Läuferbeispiel:
Anzahl = P
Formelherleitung für P
32
Eine Tabelle der Permutationen: Z = 10
1 a a a b b
2 a a b a b
3 a a b b a
4 a b a a b
5 a b a b a
6 a b b a a
7 b a a a b
8 b a a b a
9 b a b a a
10 b b a a a
33
Herleitung der Formel
a1 a2 a3 b1 b2 a1 a2 a3 b2 b1
a1 a3 a2 b1 b2 a1 a3 a2 b2 b1
a2 a1 a3 b1 b2 a2 a1 a3 b2 b1
a2 a3 a1 b1 b2 a2 a3 a1 b2 b1
a3 a1 a2 b1 b2 a3 a1 a2 b2 b1
a3 a2 a1 b1 b2 a3 a2 a1 b2 b1
34
Herleiten einer Formel
a1 a2 b1 a3 b2 a1 a2 b2 a3 b1
a1 a3 b1 a2 b2 a1 a3 b2 a2 b1
a2 a1 b1 a3 b2 a2 a1 b2 a3 b1
a2 a3 b1 a1 b2 a2 a3 b2 a1 b1
a3 a1 b1 a2 b2 a3 a1 b2 a2 b1
a3 a2 b1 a1 b2 a3 a2 b2 a1 b1
35
Herleiten einer Formel
5
5
5
P = 5! = 120
Identifizieren der a
P 5! = =20
3! 3!
Identifizieren der b
P 5! = =10
3! 2! 3! 2!
36
Analog:
(5,2,2,1)10
10!P 7560
5! 2! 2! 1!
37
Allgemein:
1 2 k(n ,n ,..,n )n
1 2 k
1 2 k
(1,1,1,..,1)n
(n)n
n!P , wobei
n ! n ! n !
n n ..... n = n;
speziell:
n!P n!
1! 1! 1!n!
P = 1n!
38
Variationen, ganz einfach
(P3) Z = 10·9·8
(P4) Z = 26·26·26·26 = 264
39
Variationen, ganz einfach
(3)10
(4) 426
(P3):
10! 10!V =10 (10-1) (10-2) =10 9 8 = =
(10-3)! 7!
(P4):
Vw =26
40
Variationen, allgemein
(k)n
(k) kn
n Objekte, Auswahl von k
n!V =n (n-1) (n-2) .. (n-k+1) =
(n-k)!
Vw =n
41
Lotto: Kombinationen
Gesucht: Anzahl der Auslosungen bei 6 aus 49.
Allgemein: Gegeben: n Objekte, Auswahl von k
(ohne Wiederholung)Gesucht: Anzahl der Auswahlen
42
Bezeichnungen
49 = Anzahl der Möglichkeiten, aus 49 Zahlen
6
6 ohne Reihenfolge auszuwählen
n = Anzahl der Möglichkeiten, aus n Dingen
k
k ohne Reihenfolge auszuwählen
43
Berechnung 1:
(6)49V = 49 48 47 46 45 44
Aufheben der Reihenfolge
49 49 48 47 46 45 44 = = 13 983 816
6 6!
44
Berechnung 2:
Codierung von Auszahlungen durchNullen und Einsen mit 49 Fächern:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… Fächer0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Code
4, 6, 10 wurden gezogen, die anderennicht.
45
Berechnung 2:
(6,43)49
49 49! P =
6 6! 43!
46
Insgesamt:
49 49 48 47 46 45 44 = =
6 6!
49! = 13 983 816
6! 43!
47
Allgemein:
n n (n-1) (n-2) .... (n-k+1) n! = =
k k! k! (n-k)!
Binomialkoeffizienten
48
Eigenschaften
49 49 =
6 43
49 48 48 = +
6 5 6
49
Einige Beispiele
10 10 9 8 7 10 9 8 7210
7?
3
8?
6
4 4! 1 2 3 4
11 11 11 11 10 9 11 10 9165
8 11 8 3 3! 1 2 3
50
Pascalsches Dreieck
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5
1
51
Pascalsches Dreieck
0 1
0
1 1 1 1
0 1
2 2 2 1 2 1
0 1 2
3 3 1 3
0 1
3 3 3 1
2 3
4 4 4 4 41 4 6 4 1
0 1 2 3 4
52
Pascalsches Dreieck
48 4848. Zeile:
5 6
4949. Zeile:
6
53
Binomische Formeln:
3 3 0 2 1 1 2 0 3
3 0 2 1 1 2 0 3
3 0 1 2
(a + b) = 1 a b + 3 a b + 3 a b + 1 a b
3 3 3 3 = a b + a b + a b + a b
0 1 2 3
3 3 3 3(1 + x) = x + x + x +
0 1 2 3
3
nn i
i=0
x
n(1 + x) = x
i
54
Pascals Glanztat
nn i
i=0
i
i=
?
0
n(1 + x) = x
i
(1 α
+ x) = x , i
α
55
Problem:
Was bedeutet , ?i
Beispiel:
10 10 (10-1) (10-2) = = 120
3 3!
1 1 11 ( -1) ( -2) 12 2 2 = = 23! 16
3
1 ( 1) (-1-1) (-1-2) = = -1
3
α
3!
α
56
Binomische Reihe
α i
i=0
-1 i
i=0
2 3
α(1 x) = x , |x| < 1
i
Beispiel:
-11(1 x) = = x =
i1+x
1 - x + x x ....
57
Lottoproblem:
6 aus 49 (ohne Zusatzzahl)
A4 = {4 Richtige, 2 Falsche}
P(A4) = ?
Allgemein:Ai = {i Richtige, 6-i Falsche}
P(Ai) = ?
58
Lösung des Lottoproblems
44
4
4
|A |P(A ) =
| M|
49| M| = Anzahl aller Auslosungen =
6
6 43A = |{4 Richtige, 2 Falsche}| =
4 2
6 43
4 2P(A ) =
49
6
59
Lösung des Lottoproblems
ii
i
i
|A |P(A ) =
| M|
49| M| = Anzahl aller Auslosungen =
6
6 43A = |{i Richtige, 6-i Falsche}| =
i 6-i
6 43
i 6-iP(A ) =
49
6
60
Lottoproblem
i P(Ai)
0 0,44
1 0,41
2 0,13
3 0,02
4 0,001
5 0,000 02
6 0,000 000 07
61
Lotto
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
62
Offene Fragen
Mittlere Anzahl der Richtigen?
Verallgemeinerungen?
63
Verallgemeinerung:
Situation:N (49) Objekte, M (6) mit der Eigenschaft E;n (6) Objekte werden zufällig ausgewählt.
Ai = {i Objekte mit E, n-i nicht mit E}
64
Verallgemeinerung:
P(Ai) : H(N,M,n)-Verteilung
Hypergeometrische Verteilung
Lotto: H(49,6,6)-Verteilung
Viele Anwendungen, z.B. in der Qualitätskontrolle, bei
Wahlprognosen
65
H(N,M,n)
i
i
6 49-6
i 6-iP(A ) = (Lotto, H(49,6,6))
49
6
M N-M
i n-iP(A ) =
N
n
66
H(50,20,10), H(200,80,40)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
1 11 21 31 41
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
1 11 21 31 41
67
H(400,160,80) H(400,80,80)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
1 11 21 31 41 51
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
1 11 21 31 41 51
68
Vermutungen und Probleme
Glockenkurve!
Wie berechnet manBinomialkoeffizienten bei großen Zahlen?
69
400 über 200
102952500135414432972975880320401986757210925381077648234849059575923332372651958598336595518976492951564048597506774120
70
2000 über 800 • 67723379455480036725996296611787011514962208
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Das Problem (P6)
6 Fruchtsorten
Auswahl von 4, mit möglicherWiederholung, ohne Reihenfolge
Z = Anzahl der Auswahlen
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Die Lösung von (P6)
Apfel Birne Orange Banane Kiwi Melone
O O O O
Code
O O O O
73
Lösung von (P6)
(5,4)11
(n-1,k)n-1+k
99! 9 8 7 6Z = P = = = = 126
45! 4! 1 2 3 4
Allgemein: n Sorten, k werden ausgewählt:
n-1+k(n-1+k)!Z = P = =
k(n-1)! k!
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Das Problem (Q1)
Z = Anzahl der Darstellungen von 10 Cent
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Lösung: Brute Force
Keine Tricks:Man notiert alle Möglichkeiten und zählt sie.Wichtig: Systematik
Buchhalter: ListenKünstler: Bäume
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Buchhalterlösung: Z =11
10 5 5 5 2 2 1 5 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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Künstlerlösung: Baum, Z=11
78
Prolog-Lösung
a([W],X,A):-X>0,!,XX=X-W,a([W],XX,A).
a([_],0,1):-!.
a([_],X,0):-X<0,!.
a([K|R],X,A):-a(R,X,AA), XX=X-K,XX>=0,!, a([K|R],XX,AAA),
A=AA+AAA.
a([K|R],X,A):-XX=X-K,XX<0,!, a(R,X,A).
79
(Q2): Sexparty
n Ehepaare
En =
Anzahl der heterosexuellen Paarbildungen, bei denen kein Paar zusammenbleibt
Ein wichtiges Problem!
80
(Q2): Sexparty
Wichtig bei Sortierproblemen
Nicht ganz einfach
Problem hätte einen eigenen Vortragverdient
81
(Q2): Sexparty: Lösung
1
2
n+1 n n-1
n
Eulers Lösung:
E = 0
E = 1
E = n (E E )
Formel :
n!E = round( )
e
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Der weitere Plan
Kennzahlen für VerteilungenGesetz der großen ZahlenNormalverteilung
Bestimmung vonWahrscheinlichkeiten
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Haben Sie noch Fragen?
84
LiteraturtippsVon Randow: Das Ziegenproblemrororo 2004 7,90 €
Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeitrororo 2002 Vergriffen
Basieux: Die Welt als Rouletterororo 1995 8,50 €
Büchter/Henn Elementare StochastikSpringer 2005 24,95 €
Szekely: ParadoxaHarri Deutsch 2001 24,80 €
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Wenn Sie mehr wissen wollen
www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen.
Geschichte der Mathematik:http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/
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