105 ppt taylor - walser-h-m.ch€¦ · 14 sichere extremalstelle: stationäre stelle mit...
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Modul 105 Taylor
2
Sind wir auf dem Maximum?
x
y
ab
globalesMaximum
lokalesMinimum
globaleMaximalstelle
lokaleMinimalstelle
y = f x( )
3
x
y
a
b
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Monotonie-Intervalle zwischen den Extremalstellen
y = f x( )
4
Stationäre Stellen:
! f x0( ) = 0
Extrema
x
y
5
Stationäre Stellen:
! f x0( ) = 0
Konstante Funktion
x
y
6
Stationäre Stellen:
! f x0( ) = 0
Terrassenpunkt
x
y
7
Auf der Suche nach Extremstellen:
8
Auf der Suche nach Extremstellen:
Randextrema
9
Auf der Suche nach Extremstellen:
(Relative) Randextrema
10
Auf der Suche nach Extremstellen:
Spitze, nicht differenzierbar
11
Auf der Suche nach Extremstellen:
Sprungstelle, nicht differenzierbar
12
Auf der Suche nach Extremstellen:
Klassischer Fall: Stationäre Stelle
13
Auf der Suche nach Extremstellen:
Vorsicht: Stationäre Stelle als Terrassenpunkt
14
Sichere Extremalstelle:Stationäre Stelle mit Vorzeichenwechsel der Ableitung
x
y
a b!f < 0f fallend
!f > 0f wachsend
!f x0( ) = 0f stationär
y = f x( )
15
Zweite Ableitung
x
y
a bx
y
a b
positiverDrehsinn
negativerDrehsinn
!f nimmt ab,daher ist !!f < 0
!f wächst,daher ist !!f > 0
16
Zweite Ableitung
x
y
a bx
y
a b
positiverDrehsinn
negativerDrehsinn
!f nimmt ab,daher ist !!f < 0
!f wächst,daher ist !!f > 0
17
x
y
a b
positiverDrehsinn
Zweite Ableitung
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
!f wächst,daher ist !!f > 0
18
Zweite Ableitung
Umkehrung gilt nicht!
x
y
a b
positiverDrehsinn
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
!f wächst,daher ist !!f > 0
19
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum Umkehrung gilt nicht!
20
Umkehrung gilt nicht!
f x( ) = x4
!f x( ) = 4x3 " !f 0( ) = 0
!!f x( ) = 12x2 " !!f 0( ) = 0
Minimum bei x = 0, aber !!f 0( ) = 0
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
21
f x( ) = x4
!f x( ) = 4x3 " !f 0( ) = 0
!!f x( ) = 12x2 " !!f 0( ) = 0
Minimum bei x = 0, aber !!f 0( ) = 0
Umkehrung gilt nicht!
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
22
f x( ) = x4
!f x( ) = 4x3 " !f 0( ) = 0
!!f x( ) = 12x2 " !!f 0( ) = 0
Minimum bei x = 0, aber !!f 0( ) = 0
Umkehrung gilt nicht!
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
23
Umkehrung gilt nicht!
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
f x( ) = x4
!f x( ) = 4x3 " !f 0( ) = 0
!!f x( ) = 12x2 " !!f 0( ) = 0
Minimum bei x = 0, aber !!f 0( ) = 0
24
f x( ) = x4
!f x( ) = 4x3 " !f 0( ) = 0
!!f x( ) = 12x2 " !!f 0( ) = 0
Minimum bei x = 0, aber !!f 0( ) = 0
Vergleich mitStandardparabel
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
y = x2
25
Zweite Ableitung
x
y
a bx
y
a b
positiverDrehsinn
negativerDrehsinn
!f nimmt ab,daher ist !!f < 0
!f wächst,daher ist !!f > 0
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
26
x
y
a bx
y
a b
positiverDrehsinn
negativerDrehsinn
!f nimmt ab,daher ist !!f < 0
!f wächst,daher ist !!f > 0
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) > 0
"
#$$
%$$
& Minimum
!f x0( ) = 0
UND
!!f x0( ) < 0
"
#$$
%$$
& Maximum
Zweite Ableitung
27
Taylorpolynome und Taylorreihen
Brook Taylor1685 - 1731
Idee:Lineare Approximationverallgemeinern
28
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation durch Konstante
One size fits all.
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
29
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Lineare Approximation (Tangente)
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
30
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Quadratische Approximation (tangentiale Parabel)
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
31
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation dritten Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
32
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation vierten Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
33
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation fünften Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
34
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation sechsten Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
35
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation siebten Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
36
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation achten Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
37
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation neunten Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
38
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation zehnten Grades
Entwicklung an der Stelle x0 = ! 12
39
f x( ) ! f x0( )
f x( ) ! f x0( ) + "f x0( ) x # x0( )
f x( ) ! f x0( ) + "f x0( ) x # x0( ) + ?( ) x # x0( )2
Formales
(Grobe) Approximation durch Konstante
40
f x( ) ! f x0( )
f x( ) ! f x0( ) + "f x0( ) x # x0( )
f x( ) ! f x0( ) + "f x0( ) x # x0( ) + ?( ) x # x0( )2
Formales
(Grobe) Approximation durch Konstante
Lineare Approximation
41
Formales
(Grobe) Approximation durch Konstante
Lineare Approximation
Was passt hier?
f x( ) ! f x0( )
f x( ) ! f x0( ) + "f x0( ) x # x0( )
f x( ) ! f x0( ) + "f x0( ) x # x0( ) + ?( ) x # x0( )2
42
p x( ) = a0!
f x0( )+ a1
!
"f x0( )x # x0( ) + a2
!?
x # x0( )2 + a3!?
x # x0( )3 + $ $ $ + an!?
x # x0( )n
Was passt hier?
43
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
44
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
45
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
46
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
47
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
48
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
49
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
VorsichtFaktor
50
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
51
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
52
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
53ak = 1
2!3!4! !!! !k fk( ) x0( )Allgemein:
p x( ) = a0 + a1 x ! x0( ) + a2 x ! x0( )2 + a3 x ! x0( )3 + " " " + an x ! x0( )np x0( ) = a0 = f x0( ) (hatten wir schon)
#p x( ) = a1 + 2a2 x ! x0( ) + 3a3 x ! x0( )2 + " " " + nan x ! x0( )n!1
#p x0( ) = a1 = #f x0( ) (hatten wir schon)
##p x( ) = 2a2 + 2 " 3a3 x ! x0( ) + " " " + n !1( )nan x ! x0( )n!2
##p x0( ) = 2a2 =!
##f x0( ) (aus Systemgründen) $ a2 = 12 ##f x0( )
###p x( ) = 2 " 3a3 + " " " + n ! 2( ) n !1( )nan x ! x0( )n!3
###p x0( ) = 2 " 3a3=!
###f x0( ) (aus Systemgründen) $ a3 = 12"3 ###f x0( )
54
ak = 12!3!4! !!! !k f
k( ) x0( )
ak = 11!2!3!4! !!! !k f
k( ) x0( )
ak = 1k! f
k( ) x0( )
k-te Ableitung
55
ak = 12!3!4! !!! !k f
k( ) x0( )
ak = 11!2!3!4! !!! !k f
k( ) x0( )
ak = 1k! f
k( ) x0( )
k-te Ableitung
56
k-te Ableitung
1! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! ! ! k = k! "k - Fakultät"( )
ak = 12!3!4! !!! !k f
k( ) x0( )
ak = 11!2!3!4! !!! !k f
k( ) x0( )
ak = 1k! f
k( ) x0( )
57
1! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! ! ! k = k! "k - Fakultät"( )0! = 1
1! = 1
2! = 1•2 = 2
3! = 1•2•3 = 6
4! = 1•2•3•4 = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
•4
•5
•6
•7
•3
•2
•1
58
1! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! ! ! k = k! "k - Fakultät"( )0! = 1
1! = 1
2! = 1•2 = 2
3! = 1•2•3 = 6
4! = 1•2•3•4 = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
•4
•5
•6
•7
•3
•2
•1
59
1! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! ! ! k = k! "k - Fakultät"( )0! = 1
1! = 1
2! = 1•2 = 2
3! = 1•2•3 = 6
4! = 1•2•3•4 = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
•4
•5
•6
•7
•3
•2
•1
60
1! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! ! ! k = k! "k - Fakultät"( )0! = 1
1! = 1
2! = 1•2 = 2
3! = 1•2•3 = 6
4! = 1•2•3•4 = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
•4
•5
•6
•7
•3
•2
•1
61
1! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! ! ! k = k! "k - Fakultät"( )0! = 1
1! = 1
2! = 1•2 = 2
3! = 1•2•3 = 6
4! = 1•2•3•4 = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
•4
•5
•6
•7
•3
•2
•1
62
1! 2 ! 3 ! 4 ! ! ! ! ! k = k! "k - Fakultät"( )0! = 1
1! = 1
2! = 1•2 = 2
3! = 1•2•3 = 6
4! = 1•2•3•4 = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
•4
•5
•6
•7
•3
•2
•1
63
ak = 1k! f
k( ) x0( )
p x( ) = f x0( ) + !f x0( ) x " x0( ) + 12 !!f x0( ) x " x0( )2 ++ 13! !!!f x0( ) x " x0( )3 + # # #+ 1
n! fn( ) x0( ) x " x0( )n
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n$ x " x0( )k
f x( ) % 1k! f
k( ) x0( )k=0
n$ x " x0( )k
64
ak = 1k! f
k( ) x0( )
p x( ) = f x0( ) + !f x0( ) x " x0( ) + 12 !!f x0( ) x " x0( )2 ++ 13! !!!f x0( ) x " x0( )3 + # # #+ 1
n! fn( ) x0( ) x " x0( )n
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n$ x " x0( )k
f x( ) % 1k! f
k( ) x0( )k=0
n$ x " x0( )k
Taylorpolynom n-ten Grades an der Stelle x0
65
ak = 1k! f
k( ) x0( )
p x( ) = f x0( ) + !f x0( ) x " x0( ) + 12 !!f x0( ) x " x0( )2 ++ 13! !!!f x0( ) x " x0( )3 + # # #+ 1
n! fn( ) x0( ) x " x0( )n
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n$ x " x0( )k
f x( ) % 1k! f
k( ) x0( )k=0
n$ x " x0( )k
66
Taylorreihe
1k! f
k( ) x0( )k=0
!" x # x0( )k
Der kleineUnterschied
67
Examples, examples, examples
68
Examples, examples, examples
f x( ) = 11!x
Taylorpolynom an der Stelle x0 = 0
69
Examples, examples, examples
f x( ) = 11!x
Taylorpolynom an der Stelle x0 = 0
70
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
71
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
72
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
73
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
InnereAbleitung
74
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
InnereAbleitung
75
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
InnereAbleitung
76
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
InnereAbleitung
77
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
InnereAbleitung
78
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
InnereAbleitung
79
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
80
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = 11!x = 1! x( )!1 f 0( ) = 1
"f x( ) = !1 1! x( )!2 !1( ) = 1! x( )!2 "f 0( ) = 1
""f x( ) = !2 1! x( )!3 !1( ) = 2 1! x( )!3 ""f 0( ) = 2
"""f x( ) = !3 #2 1! x( )!4 !1( ) = 2 # 3 1! x( )!4 """f 0( ) = 2 # 3
allgemein
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
81
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n" x ! x0( )k = 1
k! k!k=0
n" x ! 0( )k = xk
k=0
n"
p x( ) = xk
k=0
n" = 1+ x + x2 + x3 +!+ xn
82
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n" x ! x0( )k = 1
k! k!k=0
n" x ! 0( )k = xk
k=0
n"
p x( ) = xk
k=0
n" = 1+ x + x2 + x3 +!+ xn
83
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n" x ! x0( )k = 1
k! k!k=0
n" x ! 0( )k = xk
k=0
n"
p x( ) = xk
k=0
n" = 1+ x + x2 + x3 +!+ xn
84
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n" x ! x0( )k = 1
k! k!k=0
n" x ! 0( )k = xk
k=0
n"
p x( ) = xk
k=0
n" = 1+ x + x2 + x3 +!+ xn
85
f k( ) x( ) = k! 1! x( )!k!1 f k( ) 0( ) = k!
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n" x ! x0( )k = 1
k! k!k=0
n" x ! 0( )k = xk
k=0
n"
p x( ) = xk
k=0
n" = 1+ x + x2 + x3 +!+ xn
86
f x( ) = 11!x
87
f x( ) = 11!x
p0 x( ) = 1
88
f x( ) = 11!x p1 x( ) = 1+ x
89
f x( ) = 11!x
p2 x( ) = 1+ x + x2
90
f x( ) = 11!x
p3 x( ) = 1+ x + x2 + x3
91
f x( ) = 11!x
p4 x( ) = 1+ x + x2 + x3 + x4
92
f x( ) = 11!x
p x( ) = xk
k=0
n" = 1+ x + x2 + x3 +!+ xn
f x( ) = 11!x # 1+ x + x2 + x3 +!+ xn
Erinnerung: 1+ q + q2 + $ $ $ = 11!q
93
Examples, examples, examples
f x( ) = ln x( )Taylorreihe an der Stelle x0 = 1
Warum nicht 0?
94
Examples, examples, examples
f x( ) = ln x( )Taylorreihe an der Stelle x0 = 1
Warum nicht 0?
95
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
96
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
97
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
98
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
99
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
100
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
101
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
102
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
103
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
104
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
105
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f x( ) = ln x( )!f x( ) = 1
x = x"1
!!f x( ) = "1( )x"2
!!!f x( ) = "1( ) "2( )x"3
f 4( ) x( ) = "1( ) "2( ) "3( )x"4
#
#
#
#
#
f 1( ) = 0
!f 1( ) = 1
!!f 1( ) = "1
!!!f 1( ) = "1( ) "2( ) = 2!
f 4( ) 1( ) = "1( ) "2( ) "3( ) = "3!
allgemein: f k( ) 1( ) = "1( )k"1
alternierendesVorzeichen
!"# $# k "1( )!
106
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f k( ) 1( ) = !1( )k!1 k !1( )!ak = 1
k! fk( ) x0( )
"#$
%$&
ak = 1k !1( )k!1 für k > 0
a0 = 0 weil f 1( ) = ln 1( ) = 0
'($
)$
ln x( ) = x !1( ) ! 12 x !1( )2 + 1
3 x !1( )3 ! 14 x !1( )4 ± * * * = !1( )k!1 1
k x !1( )kk=1
+,
107
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f k( ) 1( ) = !1( )k!1 k !1( )!ak = 1
k! fk( ) x0( )
"#$
%$&
ak = 1k !1( )k!1 für k > 0
a0 = 0 weil f 1( ) = ln 1( ) = 0
'($
)$
ln x( ) = x !1( ) ! 12 x !1( )2 + 1
3 x !1( )3 ! 14 x !1( )4 ± * * * = !1( )k!1 1
k x !1( )kk=1
+,
108
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f k( ) 1( ) = !1( )k!1 k !1( )!ak = 1
k! fk( ) x0( )
"#$
%$&
ak = 1k !1( )k!1 für k > 0
a0 = 0 weil f 1( ) = ln 1( ) = 0
'($
)$
ln x( ) = x !1( ) ! 12 x !1( )2 + 1
3 x !1( )3 ! 14 x !1( )4 ± * * * = !1( )k!1 1
k x !1( )kk=1
+,
109
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f k( ) 1( ) = !1( )k!1 k !1( )!ak = 1
k! fk( ) x0( )
"#$
%$&
ak = 1k !1( )k!1 für k > 0
a0 = 0 weil f 1( ) = ln 1( ) = 0
'($
)$
ln x( ) = x !1( ) ! 12 x !1( )2 + 1
3 x !1( )3 ! 14 x !1( )4 ± * * * = !1( )k!1 1
k x !1( )kk=1
+,
110
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f k( ) 1( ) = !1( )k!1 k !1( )!ak = 1
k! fk( ) x0( )
"#$
%$&
ak = 1k !1( )k!1 für k > 0
a0 = 0 weil f 1( ) = ln 1( ) = 0
'($
)$
ln x( ) = x !1( ) ! 12 x !1( )2 + 1
3 x !1( )3 ! 14 x !1( )4 ± * * * = !1( )k!1 1
k x !1( )kk=1
+,
111
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
f k( ) 1( ) = !1( )k!1 k !1( )!ak = 1
k! fk( ) x0( )
"#$
%$&
ak = 1k !1( )k!1 für k > 0
a0 = 0 weil f 1( ) = ln 1( ) = 0
'($
)$
ln x( ) = x !1( ) ! 12 x !1( )2 + 1
3 x !1( )3 ! 14 x !1( )4 ± * * * = !1( )k!1 1
k x !1( )kk=1
+,
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
112
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
113
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
114
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
115
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
116
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
117
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
118
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
119
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
120
CAS
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
121
CAS
Entwicklung an der Stelle x0 = 1
ln x( ) ! x "1( ) " 12 x "1( )2 + 13 x "1( )3 " 14 x "1( )4 + 15 x "1( )5 " 16 x "1( )6 ± # # #
122
Examples, examples, examples
f x( ) = ex
Taylorpolynom an der Stelle x0 = 0
123
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = ex f 0( ) = 1
!f x( ) = ex !f 0( ) = 1
!!f x( ) = ex !!f 0( ) = 1
!!!f x( ) = ex !!!f 0( ) = 1
allgemein
f k( ) x( ) = ex f k( ) 0( ) = 1
124
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = ex f 0( ) = 1
!f x( ) = ex !f 0( ) = 1
!!f x( ) = ex !!f 0( ) = 1
!!!f x( ) = ex !!!f 0( ) = 1
allgemein
f k( ) x( ) = ex f k( ) 0( ) = 1
125
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = ex f 0( ) = 1
!f x( ) = ex !f 0( ) = 1
!!f x( ) = ex !!f 0( ) = 1
!!!f x( ) = ex !!!f 0( ) = 1
allgemein
f k( ) x( ) = ex f k( ) 0( ) = 1
126
f k( ) x( ) = ex f k( ) 0( ) = 1
p x( ) = 1k! f
k( ) x0( )k=0
n! x " x0( )k = 1
k!k=0
n! x " 0( )k = 1
k! xk
k=0
n!
p x( ) = 1k! x
k
k=0
n! = 1+ x + 12 x
2 + 16 x3 +!+ 1
n! xn
ex # 1+ x + 12 x2 + 16 x
3 +!+ 1n! x
n
127
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation durch Konstante
ex ! 1+ x + 12 x
2 + 16 x3 +!+ 1
n! xn
128
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Lineare Approximation (Tangente)
ex ! 1+ x + 12 x
2 + 16 x3 +!+ 1
n! xn
129
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Quadratische Approximation (tangentiale Parabel)
ex ! 1+ x + 12 x
2 + 16 x3 +!+ 1
n! xn
130
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation dritten Grades
ex ! 1+ x + 12 x
2 + 16 x3 +!+ 1
n! xn
131
Beispiel : Exponenzialfunktion y = f x( ) = ex
Approximation vierten Grades
ex ! 1+ x + 12 x
2 + 16 x3 + 1
24 x4 "!+ 1
n! xn
132
ex = 1+ x + 12 x
2 + 13! x
3 + 14! x
4 + ! !! = 1k! x
k
k=0
"#
Für x = 1 folgt:
e = 1+1+ 12 + 1
3! +14! + ! ! !
e = 1k!
k=0
"#
Taylor-Reihe
133
ex = 1+ x + 12 x
2 + 13! x
3 + 14! x
4 + ! !! = 1k! x
k
k=0
"#
Für x = 1 folgt:
e = 1+1+ 12 + 1
3! +14! + ! ! !
e = 1k!
k=0
"#
Taylor-Reihe
134
Formel von Euler
e = 1+1+ 12 +13! +
14! + ! ! !
e = 1k!
k=0
"#
Leonhard Euler1707 - 1783
135
Formel von Euler e = 1+1+ 12 +13! +
14! + ! !! = 1
k!k=0
"#
k k ! 1/k ! Summe0 1 1 1.00000000001 1 1 2.00000000002 2 0.5 2.50000000003 6 0.166666667 2.66666666674 24 0.041666667 2.70833333335 120 0.008333333 2.71666666676 720 0.001388889 2.71805555567 5040 0.000198413 2.71825396838 40320 2.48016E-05 2.71827876989 362880 2.75573E-06 2.718281525610 3628800 2.75573E-07 2.718281801111 39916800 2.50521E-08 2.718281826212 479001600 2.08768E-09 2.718281828313 6227020800 1.6059E-10 2.718281828414 87178291200 1.14707E-11 2.7182818285
136
Examples, examples, examples
f x( ) = sin x( )Taylorreihe an der Stelle x0 = 0
137
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
138
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
139
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
140
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
141
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
142
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
Jetzt fängt eswieder von vorne an.
143
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
144
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
145
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
146
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
147
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
148
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
f x( ) = sin x( )!f x( ) = cos x( )!!f x( ) = " sin x( )!!!f x( ) = " cos x( )
f 4( ) x( ) = sin x( )
#
#
#
#
#
f 0( ) = 0
!f 0( ) = 1
!!f 0( ) = 0
!!!f 0( ) = "1
f 4( ) 0( ) = 0
allgemein: f k( ) 0( ) =0 falls k gerade
1 falls k : 4 Rest 1 ergibt
"1 falls k : 4 Rest 3 ergibt
$
%&&
'&&
sin x( ) = x ! 13! x
3 + 15! x
5 ! 17! x
7 ± " " "
149
sin x( ) = x ! 13! x
3 + 15! x
5 ! 17! x
7 ± " "" = !1( )k 12k+1( )! x
2k+1
k=0
#$
150
sin x( ) = x ! 13! x
3 + 15! x
5 ! 17! x
7 ± " "" = !1( )k 12k+1( )! x
2k+1
k=0
#$ ?
151
sin x( ) = x ! 13! x
3 + 15! x
5 ! 17! x
7 ± " "" = !1( )k 12k+1( )! x
2k+1
k=0
#$
Hinkendes VorzeichenAlternierendes Vorzeichen
?
152
sin x( ) = x ! 13! x
3 + 15! x
5 ! 17! x
7 ± " "" = !1( )k 12k+1( )! x
2k+1
k=0
#$
Nur ungerade ExponentenFakultäten von ungeraden Zahlen
153
sin x( ) = x ! 13! x
3 + 15! x
5 ! 17! x
7 ± " "" = !1( )k 12k+1( )! x
2k+1
k=0
#$
Nur ungerade ExponentenSinus ist eine ungerade Funktion
154
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
! 2!!!!2!
155
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
! 2!!!!2!
156
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
! 2!!!!2!
157
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
! 2!!!!2!
158
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
! 2!!!!2!
159
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
! 2!!!!2!
160
Entwicklung bis zum Grad 39
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
! 2!!!!2!
161
Entwicklung bis zum Grad 15
CAS
sin x( ) ! x " 13! x
3 + 15! x
5 " 17! x
7 + 19! x
9 ! # # #
162
Examples, examples, examples
f x( ) = cos x( )Taylorreihe an der Stelle x0 = 0
Analog sin(x)
163
cos x( ) = 1! 12 x2 + 1
4! x4 ! 1
6! x6 ± " " " = !1( )k 1
2k( )! x2k
k=0
#$
164
cos x( ) = 1! 12 x2 + 1
4! x4 ! 1
6! x6 ± " " " = !1( )k 1
2k( )! x2k
k=0
#$
Alternierendes Vorzeichen
165
cos x( ) = 1! 12 x2 + 1
4! x4 ! 1
6! x6 ± " " " = !1( )k 1
2k( )! x2k
k=0
#$
Nur gerade ExponentenKosinus ist eine gerade Funktion
1 = x0
166
cos x( ) ! 1" 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 + 1
8! x8 ! # # #
! 2!!!!2!
167
cos x( ) ! 1" 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 + 1
8! x8 ! # # #
! 2!!!!2!
168
cos x( ) ! 1" 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 + 1
8! x8 ! # # #
! 2!!!!2!
169
cos x( ) ! 1" 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 + 1
8! x8 ! # # #
! 2!!!!2!
170
cos x( ) ! 1" 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 + 1
8! x8 ! # # #
! 2!!!!2!
171
cos x( ) ! 1" 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 + 1
8! x8 ! # # #
! 2!!!!2!
172
Vergleich
ex = 1 + x + 12 x2 + 1
3! x3 + 1
4! x4 + 1
5! x5 + 1
6! x6 + ! ! !
cos x( ) = 1 " 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 ± ! ! !
sin x( ) = x " 13! x
3 + 15! x
5 ! ! ! !
Was ist der Link?
Problem mit Minuszeichen
173
!Erinnerung
174
Erinnerung
i so, dass i2 = !1
Menge der komplexen Zahlen
! = a + ib a,b "", i2 = !1{ }
175
i0 = 1
i1 = i
i2 = !1
i3 = !i
i4 = 1
i5 = i
Potenzen von i
176
i0 = 1
i1 = i
i2 = !1
i3 = !i
i4 = 1
i5 = i
Potenzen von i
Gemäß Definition
177
i0 = 1
i1 = i
i2 = !1
i3 = !i
i4 = 1
i5 = i
Potenzen von i
Gemäß Definition
178
i0 = 1
i1 = i
i2 = !1
i3 = !i
i4 = 1
i5 = i
Potenzen von i
Periodisches VerhaltenPeriodenlänge 4
179
Potenzen von i
i0 = 1
i1 = i
i2 = !1
i3 = !i
i4 = 1
i5 = i
180
Vergleich
eix = 1 + ix + 12 ix( )2 + 1
3! ix( )3 + 14! ix( )4 + 1
5! ix( )5 + 16! ix( )6 + ! ! !
eix = 1 + ix " 12 x2 " i 13! x
3 + 14! x
4 + i 15! x5 " 1
6! x6 !
cos x( ) = 1 " 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 ± ! ! !
i sin x( ) = ix " i 13! x3 + i 15! x
5 ! ! ! !
181
Vergleich
eix = 1 + ix + 12 ix( )2 + 1
3! ix( )3 + 14! ix( )4 + 1
5! ix( )5 + 16! ix( )6 + ! ! !
eix = 1 + ix " 12 x2 " i 13! x
3 + 14! x
4 + i 15! x5 " 1
6! x6 !
cos x( ) = 1 " 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 ± ! ! !
i sin x( ) = ix " i 13! x3 + i 15! x
5 ! ! ! !
182
Vergleich
eix = 1 + ix + 12 ix( )2 + 1
3! ix( )3 + 14! ix( )4 + 1
5! ix( )5 + 16! ix( )6 + ! ! !
eix = 1 + ix " 12 x2 " i 13! x
3 + 14! x
4 + i 15! x5 " 1
6! x6 !
cos x( ) = 1 " 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 ± ! ! !
i sin x( ) = ix " i 13! x3 + i 15! x
5 ! ! ! !
Hurra hurradie Vorzeichen sind da!
183
Faktor idazu tun
Faktor idazu tun
Faktor idazu tun
Faktor idazu tun
Vergleich
eix = 1 + ix + 12 ix( )2 + 1
3! ix( )3 + 14! ix( )4 + 1
5! ix( )5 + 16! ix( )6 + ! ! !
eix = 1 + ix " 12 x2 " i 13! x
3 + 14! x
4 + i 15! x5 " 1
6! x6 !
cos x( ) = 1 " 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 ± ! ! !
i sin x( ) = ix " i 13! x3 + i 15! x
5 ! ! ! !
184
eix = cos x( ) + i sin x( )
Formel von Euler
Vergleich
eix = 1 + ix + 12 ix( )2 + 1
3! ix( )3 + 14! ix( )4 + 1
5! ix( )5 + 16! ix( )6 + ! ! !
eix = 1 + ix " 12 x2 " i 13! x
3 + 14! x
4 + i 15! x5 " 1
6! x6 !
cos x( ) = 1 " 12 x2 + 1
4! x4 " 1
6! x6 ± ! ! !
i sin x( ) = ix " i 13! x3 + i 15! x
5 ! ! ! !
185
Sonderfall: x = 2!
e2!i = cos 2!( )1
!"# $# + i sin 2!( )0
!"# $#
e2!i = 1
eix = cos x( ) + i sin x( )
Formel von Euler
186
eix = cos x( ) + i sin x( )
Formel von Euler
Sonderfall: x = 2!
e2!i = cos 2!( )1
!"# $# + i sin 2!( )0
!"# $#
e2!i = 1
187
eix = cos x( ) + i sin x( )
Formel von Euler
Sonderfall: x = 2!
e2!i = cos 2!( )1
!"# $# + i sin 2!( )0
!"# $#
e2!i = 1
188
e2! i = 1
Die schönste Formel
Eulersche Zahl
Bezeichnung von EulerBezeichnung von Eulerpopularisiert.
Sachverhalt von Euler
189
Die Geometrie der Sache
190
Realteil
Imaginärteil
|z| (Betra
g)
φ = arg(z)
z = 4 + 3i
191
tan arg z( )( ) = tan !( ) = Im z( )Re z( )
z = Re z( )( )2 + Im z( )( )2 = z z
Argument und Betrag„Polarkoordinaten“
Re z( ) = z cos !( )Im z( ) = z sin !( )
192
Re z( ) = z cos !( ) Im z( ) = z sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( )
Euler: ei! = cos !( ) + i sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( ) = z ei!
z = z ei!
193
Re z( ) = z cos !( ) Im z( ) = z sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( )
Euler: ei! = cos !( ) + i sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( ) = z ei!
z = z ei!
194
Re z( ) = z cos !( ) Im z( ) = z sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( )
Euler: ei! = cos !( ) + i sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( ) = z ei!
z = z ei!
195
Re z( ) = z cos !( ) Im z( ) = z sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( )
Euler: ei! = cos !( ) + i sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( ) = z ei!
z = z ei!
196
Re z( ) = z cos !( ) Im z( ) = z sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( )
Euler: ei! = cos !( ) + i sin !( )
z = Re z( ) + i Im z( ) = z cos !( ) + i sin !( )( ) = z ei!
z = z ei!
197
Realteil
Imaginärteil
|z| (Betra
g)
φ = arg(z)
z = 4 + 3i z = z ei!
198
Realteil
Imaginärteil
|z| (Betra
g)
φ = arg(z)
z = z ei!
Polarkoordinaten
199
Multiplikation
z = z ei! w = w ei"
zw = z ei! w ei" = z w ei !+"( )
Andererseits:
zw = zw ei arg zw( )
Vergleich:zw = z w
arg zw( ) = arg z( ) + arg w( )
200
z = z ei! w = w ei"
zw = z ei! w ei" = z w ei !+"( )
Andererseits:
zw = zw ei arg zw( )
Vergleich:zw = z w
arg zw( ) = arg z( ) + arg w( )
Multiplikation
201
z = z ei! w = w ei"
zw = z ei! w ei" = z w ei !+"( )
Andererseits:
zw = zw ei arg zw( )
Vergleich:zw = z w
arg zw( ) = arg z( ) + arg w( )
Multiplikation
202
z = z ei! w = w ei"
zw = z ei! w ei" = z w ei !+"( )
Andererseits:
zw = zw ei arg zw( )
Vergleich:zw = z w
arg zw( ) = arg z( ) + arg w( )
Multiplikation
203
Multiplikation
zw = z w
arg zw( ) = arg z( ) + arg w( )
Der Betrag des Produktes ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren.
Das Argument des Produktes ist gleich der Summe der Argumente der Faktoren
Division
zw = z
w
arg zw( ) = arg z( ) ! arg w( )
204
Multiplikation
zw = z w
arg zw( ) = arg z( ) + arg w( )
Der Betrag des Produktes ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren.
Das Argument des Produktes ist gleich der Summe der Argumente der Faktoren
Beispiel: !1= ei!
!1( ) !1( ) = ei!ei! = ei!+i! = e2!i = 1
205
Multiplikation
zw = z w
arg zw( ) = arg z( ) + arg w( )
Der Betrag des Produktes ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren.
Das Argument des Produktes ist gleich der Summe der Argumente der Faktoren
Beispiel: !1= ei!
!1( ) !1( ) = ei!ei! = ei!+i! = e2!i = 1
206
z = 3+ 2i w = 2 + 5i! zw = "4 +19i
z = 13, w = 29
und zw = 377 = 13 29
arg z( ) = arctan 23( ) # 0.588 # 33.69°
arg w( ) = arctan 52( ) #1.190 # 68.20°
und
arg zw( ) = arctan 19"4( ) + $ #1.778 #101.89°
zw = – 4 + 19i
w = 2 + 5i
z = 3 + 2i
Beispiel:
207
z = 3+ 2i w = 2 + 5i! zw = "4 +19i
z = 13, w = 29
und zw = 377 = 13 29
arg z( ) = arctan 23( ) # 0.588 # 33.69°
arg w( ) = arctan 52( ) #1.190 # 68.20°
und
arg zw( ) = arctan 19"4( ) + $ #1.778 #101.89°
zw = – 4 + 19i
w = 2 + 5i
z = 3 + 2i
Beispiel:
208
z = 3+ 2i w = 2 + 5i! zw = "4 +19i
z = 13, w = 29
und zw = 377 = 13 29
arg z( ) = arctan 23( ) # 0.588 # 33.69°
arg w( ) = arctan 52( ) #1.190 # 68.20°
und
arg zw( ) = arctan 19"4( ) + $ #1.778 #101.89°
zw = – 4 + 19i
w = 2 + 5i
z = 3 + 2i
Beispiel:
209
zw = – 4 + 19i
w = 2 + 5i
z = 3 + 2i
z = 3+ 2i w = 2 + 5i! zw = "4 +19i
z = 13, w = 29
und zw = 377 = 13 29
arg z( ) = arctan 23( ) # 0.588 # 33.69°
arg w( ) = arctan 52( ) #1.190 # 68.20°
und
arg zw( ) = arctan 19"4( ) + $ #1.778 #101.89°
Beispiel:
210
Drehstreckung mit
w = 2 + 5i
zw = – 4 + 19i
w = 2 + 5i
z = 3 + 2i
Faktor:
w = 29 ! 5.39
Drehwinkel:
arg w( ) = arctan 52( ) ! 1.190 ! 68.20°
Beispiel:
211
Drehstreckung mit
w = 2 + 5i
210-1-2-3-4-5
7
6
5
4
3
2
1
0
Beispiel:
212
Potenzen und Wurzeln
zn = z n
arg zn( ) = narg z( )
zn = zn
arg zn( ) = 1n arg z( )
213
Einheitswurzeln
zn =1 ! zn "1= 0
Lösungen?
214
Einheitswurzeln
zn =1 ! zn "1= 0
Lösungen?
Reelle Lösungen :
±1 falls n gerade+1 falls n ungerade
215
Einheitswurzeln
z2 !1= 0 Lösungen !1,1{ }
z4 !1= 0 Lösungen i,!1,!i, 1{ }
216
Einheitswurzeln
1
z2 !1= 0 Lösungen !1,1{ }
z4 !1= 0 Lösungen i,!1,!i, 1{ }
217
Einheitswurzeln
Lösungsmenge = ! 12 + i 3
2 ,! 12 ! i 3
2 , 1{ }
z3 !1 = 0
z3 !1 = z !1( ) z2 + z +1( ) = 0 " z3 = 1
z2 + z +1 = 0 " z1,2 =!1± !3
2 = ! 12 ± i32
Nummer 3
218
Einheitswurzeln
Lösungsmenge = ! 12 + i 3
2 ,! 12 ! i 3
2 , 1{ }
z3 !1 = 0
z3 !1 = z !1( ) z2 + z +1( ) = 0 " z3 = 1
z2 + z +1 = 0 " z1,2 =!1± !3
2 = ! 12 ± i32
219
Einheitswurzeln
Lösungsmenge = ! 12 + i 3
2 , ! 12 ! i 3
2 , 1{ }
z3 !1 = 0
z3 !1 = z !1( ) z2 + z +1( ) = 0 " z3 = 1
z2 + z +1 = 0 " z1,2 =!1± !3
2 = ! 12 ± i32
220
Einheitswurzeln
z3 !1 = 0 Lösungsmenge = ! 12 + i 3
2 , ! 12 ! i 3
2 , 1{ }
1
1
–1
–1
221
Einheitswurzeln
Argumente: 2!3 ,
4!3 , 0{ }
1
1
–1
–1
1
1
–1
–1
z1
z2
z3
z3 !1 = 0 Lösungsmenge = ! 12 + i 3
2 , ! 12 ! i 3
2 , 1{ }
222
Einheitswurzeln
zn = 1
Lösungen:
zk = eik 2!n = cos k 2!n( ) + isin k 2!n( ), k " 1,2, ... ,n{ }
223
Einheitswurzeln
Kontrolle:
zkn = eik
2!n"
#$%&'n= ei2k! = ei2!( )k = 1k = 1
zn = 1
Lösungen:
zk = eik 2!n = cos k 2!n( ) + isin k 2!n( ), k " 1,2, ... ,n{ }
224
Einheitswurzeln
Regelmäßiges n-EckEine Ecke bei 1
zn = 1
Lösungen:
zk = eik 2!n = cos k 2!n( ) + isin k 2!n( ), k " 1,2, ... ,n{ }
225
z5 = 32
Lösungen:
zk = 2eik 2!5 = 2 cos k 2!5( ) + isin k 2!5( )( ), k " 1,2, ... ,5{ }
Beispiel
226
Beispiel
z5 = 32
Lösungen:
zk = 2eik 2!5 = 2 cos k 2!5( ) + isin k 2!5( )( ), k " 1,2, ... ,5{ }
227
Beispiel
Regelmäßiges 5-EckEine Ecke bei 2
z5 = 32
Lösungen:
zk = 2eik 2!5 = 2 cos k 2!5( ) + isin k 2!5( )( ), k " 1,2, ... ,5{ }
Lösungsmenge =
= z1 = 2ei2!5 , z2 = 2e
i2 2!5 , z3 = 2ei32!5 , z4 = 2e
i4 2!5 , z5 = 2ei5 2!5"
#$
%&'
228
Beispiel
Regelmäßiges 5-EckEine Ecke bei 2
z5 = 32
Lösungen:
zk = 2eik 2!5 = 2 cos k 2!5( ) + isin k 2!5( )( ), k " 1,2, ... ,5{ }x
y
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
229
Beispiel
Eine reelle Lösung, zwei Paare konjugiert komplexer Lösungen
z5 = 32
Lösungen:
zk = 2eik 2!5 = 2 cos k 2!5( ) + isin k 2!5( )( ), k " 1,2, ... ,5{ }x
y
1
1
z1
z2
z3
z4
z5
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