12.05.20 1. stabsysteme - prof. dr. johannes wandingerprof. dr. wandinger 4. tragwerke tm 2 4.1-3...
Post on 19-Feb-2021
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-1
12.05.20
1. Stabsysteme
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-2
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
● Längenänderung eines Stabs:– Die Verschiebungen der Stab-
knoten können in eine Kompo-nente u parallel zur Stabachse und eine Komponente v senk-recht zur Stabachse aufgeteilt werden.
– Für kleine Verschiebungen gilt:● Geometrische Überlegungen
dürfen an der unverformten Struktur durchgeführt werden.
x
1
2
ϕu
1
u2
v1
v2
x
y
y
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-3
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
● Die Verschiebungen senkrecht zur Stabachse beschreiben eine Drehung, bei der sich die Länge des Stabs nicht ändert.
● Nur die Verschiebungen paral-lel zur Stabachse führen zu ei-ner Längenänderung des Stabs:
– Für die Verschiebung parallel zur Stabachse gilt:
v1
v2
1 2
ϕϕ
uk
vk
uk
x
Δ L=ū2−ū1
ūk=uk cos(ϕ)+vk sin (ϕ) , k=1, 2
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-4
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
– Damit gilt für die Längenänderung:
– Die Längenänderung setzt sich zusammen aus● einer Längenänderung ΔLN infolge der Normalkraft,● einer Längenänderung ΔLT infolge einer Temperaturänderung,● einer Anfangsverlängerung ΔL0 infolge einer Fertigungsunge-
nauigkeit:
● Für ΔL0 > 0 ist der Stab zu lang und für ΔL0 < 0 zu kurz.
Δ L= (u2−u1 ) cos(ϕ)+ (v2−v1 ) sin(ϕ)
Δ L=Δ LN+Δ LT+Δ L0
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-5
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
● Stabgleichungen:– Für einen Stab mit konstanter Dehnsteifigkeit EA gilt:
– Auflösen nach der Normalkraft ergibt:
Δ L=L ( NE A +αT ΔT )+Δ L 0
N =E A( Δ LL −Δ L0L −αT ΔT )
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-6
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
● Beispiel:– Gegeben:
● Länge a, Winkel α● Dehnsteifigkeit EA● Kraft F
– Gesucht:● Verschiebungen uC und vC von
Punkt Ca
αA
B
C
F
ϕ
x
y
EA
EA
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-7
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
– Stabkräfte:
– Längenänderungen:
α
F
NAC
NBC
x
y
C∑ F y=0 : N BC sin (α)−F=0
→ N BC=F
sin (α)
∑ F x=0 : −N AC−N BC cos(α)=0→ N AC=−N BC cos(α)=−F cot (α)
uA=uB=0vA=vB=0ϕ=−α } →
Δ LAC=uCΔ LBC=uC cos(ϕ)+vC sin (ϕ)
=uC cos(α)−vC sin (α)
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-8
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
– Stabgleichungen:
– Für die Verschiebungen folgt:
uC=Δ LAC=−F aE A cot (α)
vC=1
sin (α) (uC cos(α)−Δ LBC )=−F aE A (cot2(α)+ 1sin2(α)cos(α))
=− F aE Acos3(α)+1
sin2 (α)cos(α)
Δ LAC=N AC aE A =−
F aE A cot (α)
Δ LBC=N BCE A
acos(α)=
F aE A sin(α)cos(α)
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-9
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
● Beispiel: Fachwerk– Gegeben:
● Länge a● Kraft F● Temperaturänderung ΔTAB● Anfangsverlängerung ΔL0DE● Dehnsteifigkeit EA● Wärmeausdehnungskoeffizient αT
– Gesucht:● Verschiebungen der Knoten B, C und E
aa
a
A B C
D E
F
x
y
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-10
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
– Stabkräfte (z. B. mit Knotenpunktverfahren):
C
FNBC
NCE
NDE
NCE
NBE N
BC
NBE
NAB
E
B
NBD
N CE=√2 FN BC=−F
N BE=−N CE√2 =−F
N DE=N CE√2 =F
N BD=−√2 N BE=√2 FN AB=N BC−
N BD√2 =−2 F
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-11
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
– Verschiebungen:● Stab AB:
● Stab DB:
● Stab DE:
uB=Δ LAB=a( N ABE A +αT ΔT AB)=a (αT ΔT AB− 2 FE A )√22 (uB−vB )=Δ LBD=√2 a
N BDE A =
2 F aE A
→ vB=uB−2√2 F a
E A =a (αT ΔT AB−2 (1+√2 ) FE A )
uE=Δ LDE=a ( N DEE A + Δ L0 DEa )=a( FE A +Δ L0 DEa )
(ϕ=−45°)
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-12
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
● Stab BE:
● Stab BC:
● Stab EC:
vE−vB=Δ LBE=N BE aE A =−
F aE A
→ vE=vB−F aE A=a(αT ΔT AB−(3+2√2 ) FE A )
uC−uB=Δ LBC=N BC aE A =−
F aE A
→ uC=uB−F aE A=a (αT ΔT AB− 3 FE A )
√22 (uC−uE−vC+vE )=Δ LCE=
√2 a N CEE A =
2 F aE A
(ϕ=−45 °)
(ϕ=90 ° )
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-13
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
uC−uE+vE−2√2 F a
E A =vC
→ vC=a(2αT ΔT AB−Δ L0 DEa −( 7+4√2 ) FE A )● Bei ebenen Fachwerken gilt:
– Es gibt zwei Verschiebungskomponenten pro Knoten und damit insgesamt 2K Verschiebungskomponenten.
– Davon sind L Verschiebungskomponenten an den Lagern null.
– Zur Ermittlung der 2K – L unbekannten Verschiebungskom-ponenten stehen S Stabgleichungen zur Verfügung.
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-14
12.05.20
1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme
– Bei statisch bestimmten Fachwerken gilt:
– Alle unbekannten Verschiebungskomponenten können aus den Stabgleichungen bestimmt werden.
– Dabei empfiehlt es sich, nach Möglichkeit Stäbe zu betrach-ten, bei denen die Verschiebungen an einem Knoten bereits bekannt sind.
2 K=L+S → 2 K−L=S
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-15
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
● Beispiel: Abgestufter Stab– Gegeben:
● Abmessung a● Dehnsteifigkeiten EA1
und EA2● Anfangsverlängerung
ΔL0 von Stab BC– Gesucht:
● Stabkräfte
a 2a
EA1 EA2 , ΔL0A B C
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-16
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
– Gleichgewicht:
– Kinematik:
a 2a
A B CB
N N N N
Δ L=Δ LAB+Δ LBC=0
N AB=N BC=N
N AB aE A1
+2 a N BC
E A2+Δ L0=0 →
aE ( 1A1 + 2A2 )N=−Δ L0
→ N=−Δ L0
aE
1/A1+2 /A2=−
Δ L0a
E A1 A2A2+2 A1
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-17
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
● Bei statisch unbestimmten Stabsystemen gilt:– Die Gleichgewichtsbedingungen allein reichen nicht aus,
um die Stabkräfte zu ermitteln.– Zusätzlich müssen die kinematischen Beziehungen ver-
wendet werden.– Fertigungsungenauigkeiten und Temperaturlasten führen zu
Stabkräften.
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-18
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
● Beispiel: Fachwerk– Gegeben:
● Abmessung a● Dehnsteifigkeit EA● Wärmeausdehungskoef-
fizient αT● Kraft F● Temperaturlast ΔT im
Stab BE
– Gesucht:● Verschiebung von Punkt
B● Stabkräfte
aaF
a
A C
B
D E
ΔT
x
y
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-19
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
– Gleichgewicht am Knoten B:
– Stabgleichungen:● Stab AB:
● Stab BC:
FN
ABN
BC
NBD
NBE
B
y
x
∑ F x=0 : N BC−N AB+ √22 ( N BE−N BD )=0
∑ F y=0 : −F−√22 ( N BD+N BE )=0
uB=Δ LAB=a N ABE A → N AB=E A
uBa
−uB=Δ LBC=a N BCE A → N BC=−E A
uBa
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-20
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
● Stab DB:
● Stab BE:
– Einsetzen der Stabgleichungen in die Gleichgewichtsbedin-gungen:
√22 (uB+vB )=Δ LBD=
√2 a N BDE A → N BD=E A
uB+vB2 a
√22 (−uB+vB )=Δ LBE=√2 a ( N BEE A +αT ΔT )
→ N BE=−E A( uB−vB2 a +αT ΔT )
∑ F x=0 : E Aa [−2 uB−√22 ( uB−vB2 +aαT ΔT + uB+vB2 )]=0
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-21
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
→ −√22 aαT ΔT=(2+ √22 )uB → uB=−√2 a αT ΔT4+√2
∑ F y=0 : −F−√22E Aa ( uB+vB2 − uB−v B2 −a αT ΔT )=0
→ √22 E AαT ΔT−F=√22
E Aa v B
→ vB=aαT ΔT−√2F aE A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-22
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
– Stabkräfte:
N AB=E AuBa =−
√2 E AαT ΔT4+√2 , N BC=−E A
uBa =
√2 E AαT ΔT4+√2
N BD=E AuB+vB
2 a =E A2 (1− √24+√2 )αT ΔT −√22 F
=2 E AαT ΔT
4+√2 −√22 F
N BE=−E A( uB−v B2 a +αT ΔT )=E A( 12 √24+√2 −12 )αT ΔT −√22 F=−
2 E AαT ΔT4+√2 −
√22 F
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-23
12.05.20
1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme
● Statisch unbestimmte Fachwerke:
– Die Stabkräfte können nicht unabhängig von den Verschie-bungen bestimmt werden.
Unbekannt: Gleichungen:Lagerkräfte: L Gleichgewicht am
Knoten:2K
Stabkräfte: S Stabgleichungen: S
Verschiebungen: 2K - L
Gesamt: 2K + S 2K + S
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-24
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
● Bauteile, deren Verformungen klein sind im Vergleich zu den Verformungen der übrigen Bauteile, aus denen ein Tragwerk zusammengesetzt ist, können als starre Körper betrachtet werden.
● Kinematik des starren Körpers:– Die Bewegung eines starren Körpers setzt sich aus einer
Translation und einer Rotation zusammen.– Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass der Winkel, um den
sich der starre Körper dreht, so klein ist, dass Kreisbögen durch die Tangente ersetzt werden dürfen.
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-25
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Bei einer kleinen Drehung um einen festen Punkt A gilt:
α
α
r
AB
PC
δP v
P
uP
vB
uC
xA
xP
yA
yP
x
y
ϕϕϕ
x P−xA=r cos(α)yP−yA=r sin (α)
δP=r tan (ϕ)≈r ϕuP=−δP sin (α)
=−r ϕ sin (α)=−( yP−yA ) ϕ=uC
vP=δP cos(α)=r ϕ cos(α)=( xP−x A ) ϕ=vB
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-26
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Wenn sich der Punkt A selbst verschiebt, so muss die Ver-schiebung von Punkt A addiert werden.
– Damit gilt allgemein:
uP = uA− ( yP−yA ) ϕvP = vA+ ( x P−xA ) ϕ
P uP
vP
uA
vA
x
y
ϕ A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-27
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
● Beispiel 1:– Gegeben:
● Abmessung a● Dehnsteifigkeit EA des
Stabs CD● Kraft F
– Gesucht:● Stabkraft NCD● Kräfte im Lager A● Verschiebungen uB und vB
von Punkt B
AB
C
Da
4a
2a
2a starr
EA
F
x
y
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-28
12.05.20
AB
C
4a
2a
2a starr F
x
y
AyA
x
NCD
✄
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Gleichgewicht am starren Körper:
∑ F x=0 : Ax=0
∑ M A=0 :−2 a N CD−4 a F=0
→ N CD=−2 F
∑ F y=0 : −Ay−N CD−F=0
→ Ay=−N CD−F=F Zugkräfte zeigen vom starren Körper weg.
Zugkräfte zeigen vom starren Körper weg.
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-29
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Stabgleichung:
– Kinematik:
vC=Δ LCD=N CD aE A =−
2 F aE A
uA=v A=0
vC=2 aϕ=−2 F aE A
uB=0
vB=4 a ϕ=−4 F aE A
A
B
C
4a
2a
2a starr
x
yv
C
vB
ϕ
→ ϕ=− FE A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-30
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-31
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
● Beispiel 2:– Gegeben:
● Abmessung a● Dehnsteifigkeit EA der Stä-
be BC und DE● Kraft F
– Gesucht:● Stabkräfte NBC und NDE● Verschiebungen uF und vF
von Punkt F
A B
C
D
a 2a
2a starr
EA
F
x
y
2a a
a
EA
E
F
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-32
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Gleichgewicht am starren Körper:
– Die Kräftegleichgewichte liefern zwei weitere Glei-chungen mit zwei weite-ren Unbekannten.
– Das System ist statisch unbestimmt.
A B
2a
2a
starr
F
x
y
2a
E
F
Ax
Ay
NBC
NDE
45°✄
∑ M A=0 :2√2 a N DE−2 a N BC−4 a F=0→ √2 N DE−N BC=2 F
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-33
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Kinematik:
A
B
2a
2a
starr
x
y
2a
E
F
vB
δE
45°
vF
uF
ϕ
δE=2 √2 a ϕ
uA=v A=0
vB=2 a ϕ
uF=−2 a ϕ
vF=4 a ϕ
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-34
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Stabgleichungen:
– Mit den kinematischen Beziehungen folgt:
– Einsetzen in das Momentengleichgewicht ergibt:
δE=−Δ LDE=−√2 a N DE
E A , vB=Δ LBC=a N BCE A
N DE=−E A√2 a δE=−2 E Aϕ , N BC=
E Aa vB=2 E A ϕ
E A (−2 √2−2 ) ϕ=2 F → ϕ=− 1√2+1F
E A=−(√2−1 )F
E A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-35
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Damit gilt für die Stabkräfte:
– Für die Verschiebung von Punkt F folgt:
– Aus den übrigen beiden Gleichgewichtsbedingungen kön-nen die Lagerkräfte im Punkt A ermittelt werden.
N DE=2 (√2−1 ) F , N BC=−2 (√2−1 ) F
uF=2 (√2−1 )F aE A , vF=−4 (√2−1 )
F aE A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-36
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-37
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
● Beispiel 3:– Gegeben:
● Abmessung a● Dehnsteifigkeit EA aller
Stäbe● Kraft F
– Gesucht:● Stabkräfte● Verschiebungen uF und
vF von Punkt F
A B
C
2a
2a starr
EA
F
x
y
4a
EA
E
F
a EA
EA
D
G H
a
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-38
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Gleichgewicht am starren Körper:
– Das System ist statisch unbestimmt.
2a
A B
C
2a starr
F
x
y
4a FNCD
NAE
NAG
NBH
∑ F x=0 : −N CD−N AE=0
∑ F y=0 :−N AG−N BH−F=0
∑ M A=0 :−2 a N BH−4 a F +2 a N CD=0
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-39
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Kinematik:
– Stabgleichungen: 2aA B
C
2a starr
x
y
4aFuC
uA
vA vB
vF
uF
ϕ
vB=vA+2 a ϕuC=uA−2 a ϕuF=uA−2 aϕvF=vA+4 a ϕ
uA=Δ LAE=N AE aE A
vA=Δ LAG=N AG aE A
vB=Δ LBH=N BH aE A
uC=Δ LCD=N CD aE A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-40
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Mit der Kinematik folgt aus den Stabgleichungen:
– Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen ergibt:
N AE=E Aa uA , N AG=
E Aa v A
N BH=E Aa (vA+2 a ϕ ) , N CD=
E Aa (uA−2 a ϕ )
∑ F x=0 : −E Aa (uA−2 a ϕ+uA )=0
∑ F y=0 : − E Aa (vA+vA+2 a ϕ )=F
∑ M A=0 : 2 E A (−vA−2 a ϕ+uA−2 a ϕ )=4 a F
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-41
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Daraus folgt:
– Auflösen ergibt:
2 uA −2 a ϕ = 0 (1)2 vA +2 a ϕ = −
F aE A (2)
uA −v A −4 aϕ =2 F aE A (3)
(1) → uA=a ϕ , (2) → v A=−12
F aE A−a ϕ
in (3): (1+1−4 ) aϕ= F aE A (2−12 ) → ϕ=−34 FE A(1) → uA=−
34
F aE A , (2) → vA=−( 12− 34 ) F aE A =14 F aE A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-42
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
– Damit gilt für die Stabkräfte:
– Für die Verschiebung von Punkt F folgt:
N AE=−34 F , N AG=
14 F
N BH=( 14 −32 )F=−54 F , N CD=(−34 + 32 )F=34 F
uF=(−34 + 32 ) F aE A= 34 F aE A , vF=( 14 −3) F aE A=−114 F aE A
-
Prof. Dr. Wandinger 4. Tragwerke TM 2 4.1-43
12.05.20
1.3 Stabsysteme mit starren Körpern
top related