§2.1 kinematik des massenpunktes 1. koordinatensysteme: z x y mp kartesische koordinaten mp kugel...
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§2.1 Kinematik des Massenpunktes1. Koordinatensysteme:
zyx
rZ
x
y
MP
Kartesische Koordinaten
r
rMP
Kugel (Polar) Koordinaten
r
zr
MP
Zylinder Koordinaten
z
tv
zyx
r y
0
0
???
r
???
r
0
)cos()sin(
ztt
r
t
rr
0
0
0
0
ztr
Bsp:
Geradlinige Bewegung|| Y-Achse:
Kreis um z-Achse:
Schraube:
tvztt
r
z0
)cos()sin(
???
r
r 0
tz0 vz t
r
Gaub 1E1 WS14/15
dttvtr )()(
dttatv )()(
Bahnkurve
Momentangeschwindigkeit tangential zur Bahnkurve
Beschleunigung
Bsp.: Gleichförmige geradlinige Bewegung .constv
dtvtr
)(
Bsp.: konstant beschleunigte Bewegung .consta
dtatv
)(
dtvtatr 0)(
r (t)
)(tr
)()( trtv )(tv
x
zy
)()( tvta
)(ta
)(tr
0rtv
0vta
002
21 rtvta
Gaub 2E1 WS14/15
Bsp.: Freier Fall
a 00 g
;
000
0v ;
hr 0
0
0
z(t) 12gt2 h
vz (t) g t
Auftreffen bei z=0 nach
t 2h
g
Endgeschwindigkeit:
vmax 2 g h
z
h
t
-v
v g t
Bsp.: Schiefe Ebene:
15
g
at gsin g4
Gaub 3E1 WS14/15
Bsp.: Schräger Wurf:
htvgt
tvtr
z
ox
02
21
0)(
x
z
h
v0z
xv0
v 0
Waagrechter Wurf:
v0z 0 Senkrechter Wurf:
v0x 0
t x
v0x
Scheitel bei:
dzdx
0
xs v0x v0z
gmax für 45°
xw aus
z(xw ) 0
z(x) 12
gvox
2 x 2 v0z
v0x
x h
g
vox2 xs
v0z
v0x
0
cos() v0 sin() v0
g
v0
2
2gsin (2)
Gaub 4E1 WS14/15
Bewegung mit nicht konstanter Beschleunigung
Bsp.: Kreisbewegung
0
)sin()cos(
tRtR
r
0
)cos()sin(
tRtR
v
0
)sin()cos(
2
2
tRtR
a
v dsdtWinkelgeschwindigkeit
d
ds Rd
v (t)
v (t t)
R
y
r
ra 2 reR 2
Rddt
R
Gaub 5E1 WS14/15
Zentripetalbeschleunigung
Allgemeine krummlinige Bewegung
v ändert Richtung und Betrag
z
x
yp
dtvda
an
at Bsp.: 0na Geraden (z.B. senkrechter Wurf)
a t 0 z.B. Konstante Kreisbahn
Koordinatensystem so wählen, dass
ˆ e n
ˆ e tund in
ˆ x ˆ y -Ebene liegen
dvdt
e t vd ˆ e tdt nt aa
Approximation der Bahn durch Kreisbögen
ds d
ddt
dds
dsdt
dds
v 1
v
nt evedtdva ˆˆ
2
Vergleich konstante Bewegung
2
d
Gaub 6E1 WS14/15
0sincos
ˆ
te
0
cos
sin
ˆdtddtd
dted t
;
0
)2
sin(
)2
cos(
ˆ
ne
dˆ e tdt
ddt
ˆ e n
nn edtdva
a dvdt
ˆ e t vddt
e n dvdt
ˆ e t v2
ˆ e n
0cossin
ˆ e t
x
y
p
ˆ e n
Gaub 7E1 WS14/15
Zur Herleitung der Normalbeschleunigung
Newton‘s Mechanics
Brahe Kepler
Gallilei Bacon
Descartes Leibnitz
Stellar Orbits
Gravity
F = pddt
Actio = Reactio
Leibniz
Galilei
Gaub 8E1 WS14/15
Kräfte: Beschreibung von Wechselwirkungen
F
Ist ein Vektor zerlegbar; superponierbar
I. Newtonsches Axiom
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.
Def: Impuls
Def: kräftefrei
vmp
0 iF
Bsp.:AuflageF
GF
Der Impuls eines freien Teilchens ist konstant
Gaub9E1 WS14/15
II. Newtonsche Axiom
Die Ursache einer Impulsänderung ist eine Kraft
dtpdF
vdtdm
dtvdmF
Falls m = const. amF
Masseneinheit: 21s
mkgF
Gaub 10E1 WS14/15
III. Newtonsches AxiomActio = Reactio
Wenn ein Körper A auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A
ba FF
Def.:Isoliertes System(abgeschlossenes)
Keine Wechselwirkung mit der Aussenwelt
Bsp.: BA (Wagen oder Skateboards)
ba FF
const 0dtpd
dtpd ba
ba FF
Gaub 11E1 WS14/15
Molecular Dynamics Calculations
Solving Newton‘s equation for every atom in pico second intervals
2
= const
Fi = Fi jj=1
ji
N( x ,x )
= m d x /dtFi ii22
j
i
Fi j
Fi
S.Cui, J.Yu, F. Kühner, K.Schulten, H.E. Gaub JACS (2007), Vol 129, p 14710-
Gaub 12E1 WS14/15
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