2.6.1 definition und darstellung 2.6.2 ausspähen von ......• auf dem weg von u nach v durch t...

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

2.6 Graphen

2.6.1 Definition und Darstellung 2.6.2 Ausspähen von Graphen 2.6.3 Minimal spannende Bäume 2.6.4 Kürzeste Pfade 2.6.5 Maximaler Fluss

1

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

2.6.3 Minimal spannende Bäume

2.6.3.1 Generischer Algorithmus 2.6.3.2 Prims Algorithmus 2.6.3.3 Kruskals Algorithmus

2

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Minimal Spannende Bäume

•  Gegeben sei ein zusammenhängender, ungerichteter, gewichteter Graph G=(V,E) mit Gewichtsfunktion w:E→R.

•  Gesucht ist ein Spannbaum S⊆E der minimiert, der sogenannte MST.

3

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Minimal Spannende Bäume

4

5

1

7

3

Kein Baum!

5

1

7

3

Nicht spannend!

5

1

7

3

Nicht minimal!

5

1

7

3

MST

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Greedy-Strategie: Füge nach und nach Kanten zu einer anfangs leeren Kantenmenge A hinzu, und zwar unter Beachtung der folgenden Invariante: •  A ist Teilmenge eines MST (∗)

5

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Sei A eine Menge von Kanten, die die Invariante (∗) erfüllt. Eine Kante e heißt sicher für A, falls A∪{e} ebenfalls die Invariante (∗) erfüllt.

6

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  GENERICMST( G, w ) A ← ∅ while A ist kein MST do suche eine sichere Kante e für A A ←A ∪{e} return A

7

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Ein Schnitt eines ungerichteten Graphen G=(V,E) ist eine Menge S⊆V

•  Eine Kante (u,v) kreuzt den Schnitt S falls einer ihrer Endpunkte in S und der andere Endpunkt in V−S liegt.

8

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

9

kreuzende Kanten

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Ein Schnitt respektiert A, falls keine Kante aus A den Schnitt kreuzt.

•  Eine kreuzende Kante heißt leicht, falls ihr Gewicht minimal unter allen kreuzenden Kanten ist.

10

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

11

leichte Kante

3 9

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Satz: A erfülle die Invariante (∗). S sei ein Schnitt der A respektiert und (u,v) eine leichte Kante, die S kreuzt. Dann ist (u,v) sicher für A.

12

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Sei T ein MST der A enthält, aber nicht (u,v)

13

u

x

y

v

A T

Würde er (u,v) enthalten, so wären wir schon fertig!

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Sei T ein MST der A enthält, aber nicht (u,v) •  Auf dem Weg von u nach v durch T gibt es eine

Kante (x,y) die den Schnitt kreuzt

14

u

x

y

v

A T

Der Weg existiert, da T ein spannend ist. Er ist eindeutig, da T ein Baum ist.

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Sei T ein MST der A enthält, aber nicht (u,v) •  Auf dem Weg von u nach v durch T gibt es eine

Kante (x,y) die den Schnitt kreuzt •  T’ = T − {(x,y)} ∪ {(u,v)} ist ein MST, denn

w(T’) = w(T) − w(x,y) + w(u,v) ≤ w(T)

15

u

x

y

v

A T’

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Generischer Algorithmus

•  Sei T ein MST der A enthält, aber nicht (u,v) •  Auf dem Weg von u nach v durch T gibt es eine

Kante (x,y) die den Schnitt kreuzt •  T’ = T − {(x,y)} ∪ {(u,v)} ist ein MST •  Wegen A ⊆ T und (x,y) ∉ A folgt A ∪ {(u,v)} ⊆ T’,

also ist (u,v) sicher für A

16

u

x

y

v

A∪{(u,v)} T’

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

2.6.3 Minimal spannende Bäume

2.6.3.1 Generischer Algorithmus 2.6.3.2 Prims Algorithmus 2.6.3.3 Kruskals Algorithmus

17

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

•  Die Kanten in A bilden einen Baum. Jeder Knoten u erhält einen Zeiger p[u] auf seinen Vater im MST.

•  Der A respektierende Schnitt S ist gegeben durch S = { u : (u,v) ∈ A }

18

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

•  Knoten u außerhalb von S erhalten einen Schlüssel, der das minimale Gewicht einer Kante angibt, die u mit S verbindet (∞∞ falls es solch eine Kante nicht gibt)

19

3

∞

3

9 S

V−S

5

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

20

∞

0 ∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

21

4

0 ∞

8

∞

∞

∞

∞

∞

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

22

4

0 ∞

8

8

∞

∞

∞

∞

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

23

4

0 2

8

8

7

∞

∞

4

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

24

4

0 2

7

8

7

6

∞

4

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

25

4

0 2

7

8

7

2

10

4

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

26

4

0 2

1

8

7

2

10

4

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

27

4

0 2

1

8

7

2

10

4

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

28

4

0 2

1

8

7

2

9

4

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

29

4

0 2

1

8

7

2

9

4

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

30

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

31

O(V)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

32

O(V) Heap Aufbau!

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

33

V Läufe

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

34

O(log V)

Entfernen eines Elements aus dem Heap

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

35

O(E)

Durchläufe insgesamt

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

36

O(log V)

Heap muss aktualisiert werden

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

37

O(V×log V + E×log V)

O(V)

•  PRIM(G,w,r) for each u ∈ V do key[u] ← ∞ p[u] ← NIL key[r] ← 0 Q ← V while Q not empty do u ← ExtractMinimum(Q) for each v ∈ Adj[u] do if v ∈ Q and w(u,v) < key[v] then p[v] ← u key[v] ← w(u,v)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

•  Nach der Ausführung von Prim(G,w,r) ist der MST gegeben durch A = { (u,p[u]) : u ∈ V − {r} }

•  Implementierung von Prims Algorithmus z.B. mit binärem Heap

38

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Prims Algorithmus

•  Implementiert man Prims Algorithmus mittels eines binären Heaps, so ist der Aufwand

O(E×log V) •  Implementiert man Prims Algorithmus

mittels eines Fibonacci-Heaps, so ist der Aufwand

O(E+V×log V)

39

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

2.6.3 Minimal spannende Bäume

2.6.3.1 Generischer Algorithmus 2.6.3.2 Prims Algorithmus 2.6.3.3 Kruskals Algorithmus

40

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

•  Die Kanten in A bilden einen Wald. Jeder Knoten u in A erhält einen Zeiger p[u] auf seinen Vater im MST.

•  Der A respektierende Schnitt S ist gegeben durch S = { u : (u,v) ∈ A }

•  In jedem Schritt wird die Kante mit kleinstem Gewicht gesucht, die zwei Bäume aus A verbindet. Diese Kante wird zu A hinzugefügt.

41

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

42

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

43

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

44

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

45

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

46

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

47

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

48

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

49

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

50

4

8 7

9 14

10

2

7 6

1

2

8

11 4

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

•  Kruskal(G,w) A ← ∅ for all v ∈ V do MakeSet(v) sort E into non-decreasing order for each (u,v) ∈ E do if Find(u) ≠ Find(v) then A ← A ∪ {(u,v)} Union(u,v) return A

51

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

•  Kruskal(G,w) A ← ∅ for all v ∈ V do MakeSet(v) sort E into non-decreasing order for each (u,v) ∈ E do if Find(u) ≠ Find(v) then A ← A ∪ {(u,v)} Union(u,v) return A

52

O(E×log E)

V × MakeSet()

O(E) × Find(), Union()

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

•  Aufwand – Sortieren: O(E×log E) = O(E×log V) – Union-Find •  V × MakeSet() •  O(E) × FindSet(), Union() ➡ O((V+E)×a(V)) = O(E×logV)

➡ Gesamtaufwand: O(E×log V)

53

E < V2 → log E = O(log V)

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

•  Aufwand – Sortieren: O(E×log E) = O(E×log V) – Union-Find •  V × MakeSet() •  O(E) × FindSet(), Union() ➡ O((V+E)×a(V)) = O(E×logV)

➡ Gesamtaufwand: O(E×log V)

54

E > V−1 und a(V) = O(log V)

Aufwand für Union-Find

Datenstrukturen und Algorithmen Prof. Dr. Leif Kobbelt, Thomas Ströder, Fabian Emmes, Sven Middelberg, Michael Kremer

Kruskals Algorithmus

•  Aufwand – Sortieren: O(E×log E) = O(E×log V) – Union-Find •  V × MakeSet() •  O(E) × FindSet(), Union() ➡ O((V+E)×a(V)) = O(E×logV)

➡ Gesamtaufwand: O(E×log V)

55