2hjmi2 - sfs.uni-tuebingen.degjaeger/lehre/ss19/simulations/juni_21.pdf · hausaufgaben (abgabe: in...
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Simulation
2hJmi2
Hausaufgabensind auf der letzten
Seite
Poisson-Prozes.sn?EEs.---xxxx-f
0 t Zeit
Xi ~ exp (d)
PC Ntt ) = n ) = e-" t 4¥
"
,n = o
, ni . .
.
Erlang-verteilung-lsamma-verle.tn ng )
Sn = X,+ Xzt . . . + Xn
D
1--5O t t t b
F- Tp = i. a( h - t ) Ereignisse
P ( ts Sn < t t b ) = fs ! H . D
P ( Ntt ) = n - 1) . did = fs„CH . #
die - " t FEI = fsnlt )-
simulctiaeinerErlang-RVSn-Xn-Xzt.intXn
X = Log ( w )
Sn = - Flog ( Un ) - I Log ( Vz) . . .
Log (a) + Log (b) = Log ( a. b)
Sn = - ¥ . Log ( Ui Ui --
- Un )D
' II.F- Csu) = ¥ ; Var Csu ) = Jz
ß
Ihsnranee Disk Model-
Exkurs-
:
T .Gewinn Wahrscheinlichkeit
1- × ¥- y
E- 0
× - a e-" I you be
- bit
Satz : P ( XL Y ) =Inat b
Beweis :
• dt
PUK ) =/ Platt 7- t ) Pitt• 0=5[ 1- e-
at] . be
- btdt0
= Übe- btdt - Jb e-
ate- btdt
00
= T - Gb { ca + b) e-la + b) tat
0=1- Eu -
- ETF -
- Inga
2 .Minimum
min ( Xs , _ .
. . , Xn) = yFft ) : = P ( Hst )
= 1 - P ( H > t )
= 1 - P ( X ist n Xz > t . . - Xn > t )( stochastisch unabhängig )
= 1- Pcxn > t ) PCXZ > t ) . . .
o Put )
Exponentin verteilte ZV er
[ : ÷ .
> = 1 - Edit . e- dit. .
. e-tut
= 1 - e- Edi . t
d. h . Minimum ist auch exp - verteilt .
Der
3. Viele parallele Prozesse
- Y = min ( minus in ) ,min ( Zr , . . . , Zm))
- -
µ N
Y v expln.pt m . d)
- P ( min ( Xn , Xn ) < min ( Zn , " ,Zm ) )
h . µ= -
n . µ + mir
-
„
Gewinner"
bei 3 parallelen Prozessen
PCX gewinnt ) =A-
Axt drytdez
warum ?
- Versicherungs teilnehmer melden Schaden
→ Poisson prozess mit Rate N
→ Schadens höhe Y ~ E
- Neue Versicherungs teilnehmer
→ Poisson prozess mit Rate V
- Versicherungs teilnehmer Beitrags -
dauer
Der exp ( µ )
- Jeder Teilnehmer bezaht Prämiemit der Rate c pro Zeiteinheit
- Start der Simulation
ho : # Versicherungs teilnehme
ao DO : Anfangskapital- Problem : Ist a so für eine Zeitspanne
für T ?
N s N µ Ereignis sequenz
-0NUN an .
- Xz X , 74 Zeit
XsMarkov - Eigenschaft
13beachten !
1- ! } 3 parallele|
nie-7 Prozesse
,
o o er --# - a a .
- N -Xi Kitt
Xin EXP ( ytn.p-n.de )
PCN ) = Neuer KundeV-tn.p-n.it
Pls ) = SchadenVth - µ + n - R
PLK ) =
Kündigung✓ th.p-n.de
Simulation
Anfangsbedingungt = O
a = do : Startkapitalh = ho : Kunden bei t :O
tz = X : Erstes Ereignis
I : T ( Indikator )
White tz ET
a > at nie . ( tr - t )t = TE
Computer PCN ),PLS )
,PCK )
Generale Draw from { N , S ,K }
N : n > htt
K : h = n - r
S : Generale YIf Y > a
1=0 ; Terminale nen .
Elsen
a. = a- Y .
Geredet ; tritt × .
End
Outcomes : 1=0 ( pleite ) a < o
1=7 : Gewinn = a- ao D
Hausaufgaben ( Abgabe : in 2 Wochen)
I. Simuliere Erlang verteilungn = 10
, µ =I30
Z . X,Y
,Z sind exponentiell
2- Wen mit den Raten der = % ,
Ay = % und 12=2%0 °
a) Bestimme ( analytisch ) derErwartungswertvon :X, y ,
2 und S = min ( X , Y , 2) .
b) Wie groß ist die Wk,dass X
das Minimum ist ?
3 .Schreibe ein Script ,
um
das Risk insurance Model
Zu simulieren.
a) Wähle „ plausible" Parameter Werte
und bestimme E d. h .
die Risiko rate .
b) Wähle „ plausible" Parameter ,
sodass TI > 90% und
bestimme dazu der er -
-
warteten Gewinne > ä - ao
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