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Fluidmechanik Aerostatik __________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________ Folie 1 von 28
3 Aerostatik ........................................................................................................................................ 2 3.1 Atmosphäre der Erde.................................................................................................................. 2
3.1.1 Die Erde als Wärmekraftmaschine ....................................................................................... 2
3.1.2 Aufbau der Erdatmosphäre .................................................................................................. 8
3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe .............................................................................. 10
3.2.1 Luftdruck ............................................................................................................................. 10
3.2.2 Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement ................................................................ 11
3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA) ................................................................................ 12
3.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre ................................................................ 12
3.3.2 Definitionen der Höhe......................................................................................................... 17
Fluidmechanik Aerostatik __________________________________________________________________________________________________________
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3 Aerostatik
3.1 Atmosphäre der Erde
3.1.1 Die Erde als Wärmekraftmaschine Wärmekraftmaschine
- Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Arbeit
- Atmosphäre der Erde ist ein dynamisches System, dem in auf der sonnenzugewandten Seite
durch Absorption von Sonnenstrahlung Wärme zugeführt und auf der sonnenabgewandten
Seite Wärme durch Abstrahlung entzogen wird
Erhöhung der Komplexität
- Erdrotation Permanente Änderung der Strahlungsverhältnisse auf der Oberfläche
Wetter
- Ergebnis eines Wärmeaustauschprozesses
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-
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Sonneneinstrahlung
abgestrahlte Wärme
Meteoriten
interplanetare Raumsonden
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zuq
abq
zum
abm
Systemgrenze
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Zusammensetzung der Luft
Gas Volumenprozent Temperatur [°C] Wasserdampf [g/m³]Stickstoff N2 78,09 -20 1,0 Sauerstoff O2 20,95 -10 2,3 Argon Ar 0,93 0 4,9 Kohlendioxid CO2 0,03 (schwankt) 10 9,3 Neon Ne 0,0018 20 17,2 Helium He 0,0005 30 30 Krypton Kr 0,0001 Wasserstoff H2 0,00005 Xenon Xe 0,000008 Ozon O3 0,00001 (schwankt)
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Einfluß der Luftfeuchtigkeit
- Wasserdampfanteil in der Atmosphäre ist abhängig von Lufttemperatur und relativer Feuchte
- Insbesondere die spezifische Gaskonstante R unterliegt einem Feuchteeinfluß
p
p,R
RS
LufttrockeneLuftfeuchte
37701
Rtrockene Luft = spez. Gaskonstante (287,05 [J/kgK])
pS = Sättigungsdruck von Wasser (Dampftafel oder Magnus-Formel)
p = Luftdruck
= Relative Luftfeuchte, beschreibt das prozentuale Verhältnis zur gesättigten Luft
T [°] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
pS [Pa] 611 872 1227 1704 2337 3166 4241 5622 7375 9582 12340 15740 19920
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3.1.2 Aufbau der Erdatmosphäre
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3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe
3.2.1 Luftdruck
Inkompressible Fluide - Lineare Druckänderung mit der Höhe (Wasser)
Kompressible Fluide - Exponentielle Druckänderung mit der Höhe (Gase)
Luftdruck
- Kraft F, die eine Fläche durch die darüber befindliche Luftsäule der Höhe h erfährt
hgA
ghAA
gVA
gmAFp
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3.2.2 Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement
Kräftegleichgewicht in z-Richtung mit der Masse dm
hydrostatische Grundgleichung dzgdp
gilt für kompressible als auch für inkompressible Fluide
(p+dp)dA
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3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA)
- Normatmosphäre DIN 5450 bzw. seit 1975 DIN ISO 2535
- Basiert auf jahreszeitlich und geographisch gemittelten Meßwerten für Druck, Dichte und
Temperatur
- Normierungssystem zur Auslegung und zum Vergleich von Flugleistungen
3.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre
Berücksichtigung der unterschiedlichen Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche
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Isotherme Schichtung: .constTT Ah
A
hhh
TRg
Ah epp
0
A
hhh
TRg
Ah e
0
Bereiche mit linear veränderlicher Temperatur: AAh hhaTT
Ra
g
A
hAh T
Tpp
0
10
Rag
A
hAh T
T
Temperaturverteilung in der Standardatmosphäre (ISA) 288,15
0
216,6511
216,6520
228,6532
270,6547
270,6552
252,6561
180,6579
180,6588
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
170 190 210 230 250 270 290 310T [K]
H [k
m]
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Temperaturgradienten a und Anfangswerten ()A nach ISA zur abschnittsweisen Berechnung von
Druck, Dichte und Temperatur
Höhenintervall h [m] hA [m] TA [K] a [K/m] pA [Pa] A [kg/m³]1 -5103 - 11103 0 288.15 -6.510-3 101325 1.2250 2 11103 - 20103 11103 216.65 0.0 22632 0.3639 3 20103 - 32103 20103 216.65 +1.010-3 5475 0.0880 4 32103 - 47103 32103 228.65 +2.810-3 868 0.0132 5 47103 - 52103 47103 270.65 0.0 111 0.0014 6 52103 - 61103 52103 270.65 -2.010-3 59 0.0008 7 61103 - 79103 61103 252.65 -4.010-3 18 0.0002 8 79103 - 88103 79103 180.65 0.0 1 1.910-5
Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA
Werte der Standard-Atmosphäre (ISA) für h = 0 (MSL) Höheh [m]
TemperaturT [K]
Temperaturgradienta [K/m]
Druck p [Pa]
Dichte [kg/m³]
Schallgeschwindigkeitc [m/s]
0 288.15 -6.510-3 101325 1.2250 340
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Weitere sinnvolle Parameter für ein ISA-Atmosphärenmodell
Schallgeschwindigkeit - Temperatur- und somit höhenabhängige Schallgeschwindigkeit a für ideale Gase
TRa
vp ccR = spezifische Gaskonstante (RLuft = 287,05 [J/kgK]
v
p
cc
= Isentropenexponent (Luft = 1,4)
Machzahl - Verhältnis von Strömungs- bzw. Fluggeschwindigkeit zu Schallgeschwindigkeit
ac
keitescheindiglgSchalkeiteschwindigStrömungsgM
Wärmeleitfähigkeit
KmW
,T
T,T
,
12
513
104245106481512
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Weitere sinnvolle Parameter für ein ISA-Atmosphärenmodell
Viskosität - Näherungsweise Berechnung der dynamischen Viskosität von Luft nach Sutherland als
Funktion der Temperatur
dynamische Viskosität
sPaT
T
4.11010458.1
5.16
kinematische Viskosität
sm 2
Reynoldszahl
refref lclcRe
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3.3.2 Definitionen der Höhe
Umgangssprachliche Bezeichnung Höhe, also der Abstand eines Punktes zum Boden, erfordert im
Sinne der Fluidmechanik eine genauere Beschreibung
Möglich sind mehrere Definitionen
- geometrische Höhe
- absolute Höhe
- geopotentielle Höhe
- Druckhöhe
- Temperaturhöhe
- Dichtehöhe
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Geometrische Höhe hG - Abstand eines Punktes über dem Meeresspiegel, z.B. Höhenangaben in Landkarten
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Absolute Höhe ha - Abstand eines Punktes zum Erdmittelpunkt
- r = Erdradius (Mittlerer Äquatorradius rE = 6378 [km])
Geopotentielle Höhe h - Quadratische Änderung der Gravitation mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt
- Berücksichtigung der höhenabhängigen Erdgravitation ergibt die geopotentielle Höhe h
2
1r
rg 2E
EKEK r
mmgm
2rmmrgm EK
K
2
2
E
E
rr
rgg
222
2
smrm
rrgrg EE
E
hhr
rhE
Eg
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Druckhöhe - Zuordnung einer Höhe h zu einem Luftdruck p(h)
- Einfache Höhenmesser in Flugzeugen arbeiten in der Regel als barometrische Höhenmesser
- Messung des statischen Luftdruck außerhalb des Flugzeugs Flughöhe
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Umrechnung QFE auf QNH
Umrechnung des aktuellen Luftdrucks (QFE) auf der Flugplatzhöhe h auf den Luftdruck bezogen auf Meeresniveau (QNH)
hPahbQFEQNH aa1
mit
1902612,080665,90065,005,287
gRa
5
0,
0, 10417168,815,28825,10130065,0
a
hISA
ahISA
Tp
b
QNH [hPa] statischer Luftdruck bezogen auf Meeresniveau QFE [hPa] statischer Luftdruck auf Flugplatzhöhe h [m] Flugplatzhöhe R [J/kg] spezifische Gaskonstante von Luft bei eine relativen Feuchte von = 0 [K/m] Temperaturgradient in der Troposphäre nach ISA g [m/s2] Erdbeschleunigung auf der Höhe h = 0 pISA, h=0 [hPa] Luftdruck entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0 TISA, h=0 [K] Temperatur entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0
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Druckhöhe
- Entspricht in der Regel nicht der geometrischen Höhe
- Staffelung des Flugverkehrs nach so genannten Flugflächen (FL = flight levels)
- Alle Höhenangaben werden bei diesem Verfahren auf den Standarddruck auf Meeresniveau
(QNH) von p0 = 1013.25 [hPa] bezogen
- Umrechnung: Höhe = Flugfläche x 100 [ft]
- Beispiel: FL120 entspricht einer Höhe von 120x100 = 12000ft = 3658 [m],
sofern der reale Luftdruck auf Meeresniveau bezogen p0 = 1013.25 [hPa] beträgt
- Flugzeuge bewegen sich dadurch auf Flächen konstanten Drucks (Isobarenflächen),
nicht auf einer konstanten geometrischen Höhe
- Vorteil: Gleich bleibende relative Höhenstaffelung zueinander
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Vom Hoch ins Tief - das geht schief
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Temperaturhöhe
- Zuordnung einer Höhe zu der gemessenen statischen Lufttemperatur
- Bei Vorliegen der Standardatmosphäre ließe sich bis zu einer Höhe von 11 km eine Höhe
zuordnen
- Keine relevante praktische Anwendung
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Dichtehöhe
- Die Dichtehöhe ergibt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases aus den
gemessenen Werten für Druck und Temperatur
- Die Dichthöhe wird insbesondere zur Berechnung der Flugleistungen, insbesondere der
Startstrecke verwendet
- Näherungsformel zur Berechnung der Dichtehöhe
][1203025.1013 , ftTTQNHhh ISAhhDichte
mit
h [ft] = Platzhöhe (1 ft = 0.3048 m)
QNH [hPa] = Luftdruck bezogen auf MSL
Th = aktuelle Temperatur am Platz
Th,ISA = Temperatur am Platz bei ISA-Bedingungen
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Bsp.: Gasballon mit Heliumfüllung
geg.: DBallon = 6 m auf MSL
RHe = 2078 J/kgK
mHülle = 20 kg
mKorb = 10 kg
Die Hülle des Ballons ist vollständig flexibel
1. Berechnen Sie die Nutzlast, die der Ballon bei einem Start auf der
Höhe h = 0 unter ISA-Bedingungen heben kann
2. Welchen Durchmesser hat der Ballon in einer Höhe h = 12 km
unter ISA-Bedingungen
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Bsp.: Auslegung einer Druckzelle Die Druckkabine eines Flugzeugs soll für einen konstanten Kabineninnendruck ausgelegt werden, der einer Höhe von h = 2400 m entspricht. Die maximale Flughöhe beträgt FL400. Welcher Differenzdruck p lastet auf der Kabine
a) Bei ISA-Bedingungen? b) Bei einem Luftdruck auf MSL von p0 = 1000 hPa und einer Temperatur auf MSL von T0 = 35°C?
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