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7 Schaltwerke und Automaten Folie 1

Grundlagen der Technischen Informatik 1 Version: WS07/08

7. Schaltwerke und Automaten 7.1 Allgemeine Begriffe Bekannt:

1) Schaltnetze: Verknüpfung mehrerer Eingangsvariablen ohne Rückkopplung des Ergebnisses

2) Flipflops: Speicherfähigkeit durch Ausnutzung von Signalverzögerungen

3) Aufbau von Zählern aus Flipflops und Schaltnetzen

Neu: Bei einem Schaltwerk sind die Ausgänge von früheren Zuständen abhängig, d.h. es handelt sich um eine logische Schaltung, die sequentiell verschiedene Zustände durchläuft.

Schematische Darstellung von Schaltwerken über:

• verzögerungsfreies Schaltnetz und

• zusammengefasste Verzögerungen / Rückkopplung.

Variante I:

SchaltnetzVerzöge-rungs-einheit

X

SY

Rückkopplung

X = Xn = {X1n,X2

n,....Xmn } = Eingangsvektor mit den entspre-

chenden Variablen S = Sn = {S1

n,S2n,....Sr

n } = Zustandsvektor mit den entsprech-enden Variablen

Y = Yn = {Y1n,Y2

n,....Yln } = Ausgangsvektor mit den entspre-

chenden Variablen

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Variante II:

Y muss nicht identisch mit den rückgekoppelten Signalen sein:

Schalt-netz

Verzöge-rungsein-heit

X

S

E

Y

Verzöge-rung

zusätzlich E = En = {E1n,E2

n,...Ekn } = Erregungsvektor mit den

entsprechenden Variablen

Variante III:

Verzögerung von E nach Y hat keinen prinzipiellen Einfluss auf die Funktion des Schaltwerks, daher:

Schalt-netz

X

S

E X S=g( , )

Y X S=f( , )

Verzöge-rung

gf

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Funktionsgleichungen:

Y = f(X,S)

E = g(X,S)

Funktionsweise:

1 Änderung von X0 → X1 ⇒ Änderung von Y0 → Y1 und Änderung von E0 → E1

2 Änderung von E0 → E1 ⇒ Änderung von Y1 → Y2 und Änderung von E1 → E2

3 Iteration von 2. bis: Änderung von Ei → Ei+1 ⇒ Änderung von Yi+1 → Yi+2

und Stabilitätsbedingung Ei+1 = Ei

Alle Zwischenschritte nach 2. sind instabil, d.h. sie werden nur kurzzeitig durchlaufen.

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Analyse eines Schaltwerks auf stabile Zustände:

• Auftrennen der Verzögerung und

• Vergleich von S und E in vollständiger Funktionstabelle.

Beispiel:

X Y

1

>1

>1 1

Y2

Umzeichnen:

X

S

Y

1 >1

>1 1

Y2

Y

E

E

E

1

2

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E = f(X,S)

Y = E

Eingänge Ausgänge X S1 S2 E1 E2

n =1 0 0 0 1 0 n =2 0 0 1 0 0 n =3 0 1 0 1 0 n =4 0 1 1 0 0 n =5 1 0 0 0 1 n =6 1 0 1 0 1 n =7 1 1 0 0 0 n =8 1 1 1 0 0

1221 SXE SXE +=+=

Ergebnis:

• Schaltwerk mit 2 stabilen Zuständen (D-FF, hier ohne Takteingang)

• Änderung von x bewirkt Umschalten von 3 → 6 bzw. 6 → 3 über zwei Zwischenzustände ((7,5) und (2,1))

In der Praxis werden Verzögerungen meist (selbst) durch Flipflops realisiert, daher im Folgenden immer

τ = FF (Flipflop in unterschiedlichen Varianten möglich!)

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7.2 Asynchrone Schaltwerke

Schalt-netz

Xn

Sn En

Yny1

y2yn

s1

s2s2

s4

e1

e3e4

e5

x1x2xn

Xn, Yn, En, Sn: Vektoren zum Zeitpunkt n

Definition: Ein Schaltwerk heißt asynchron, wenn die Zeitpunkte der Änderungen von Yn und Sn ausschließlich von Änderungen von X sowie internen Laufzeiten abhängen und folglich beliebig auf der Zeitachse verteilt sein können.

Vorteile:

- unmittelbare Reaktion auf Eingangsänderungen

- sehr schnelle Arbeitsweise möglich

Nachteile:

- Entwurf aufwendig + Untersuchung / Wahl der Zwischenzustände + unterschiedlich lange Zyklen

- Unerwünschte Wirkung auf nachfolgende Schaltung durch Zwischenzustände möglich

⇒ Bedeutung gering

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7.3 Synchrone Schaltwerke

E

Xn

Sn

Yn

Zn

Definition: Ein Schaltwerk heißt synchron, wenn Änderungen des Zustandvektors (und u.U. Ergebnisvektors) nur zu ausgezeichneten Zeitpunkten möglich sind, die von einem Taktsignal bestimmt sind. Der Takt ist kein Eingangssignal! (Verzögerungseinheit: Zustandsregister)

⇒ Einschwingvorgänge über mehrere instabile Zwischen-zustände sind unmöglich: Alle Si nehmen ihre neuen Werte zur selben Zeit an und behalten sie mindestens für eine Taktperiode.

⇒ - Übergänge erfolgen stets von stabilen in stabile Zustände,

- Zustands- und Ergebnisvektoren reagieren um eine Taktdauer verzögert auf Änderungen am Eingang,

- Werteänderungen erfolgen stets in gleichen Zeitabständen und sind immer eindeutig,

- Änderungen im Eingangsvektor dürfen zu beliebigen Zeitpunkten und auf beliebig vielen Leitungen erfolgen (außer während set-up und hold-Zeit).

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7.4 Autonome Schaltwerke

ESn

Yn

g1

g2

f

Definition: Ein Schaltwerk wird autonom genannt, wenn

sein Verhalten nicht über Eingangsvariablen von außen beeinflussbar ist. Die Eigengesetzlichkeit des Schaltnetzes bestimmt das Verhalten:

Yn = f(Sn) Ausgangsfunktion

Sn+1 = g1(En) Übergangsfunktion

En = g2(Sn) Erregungsfunktion

Anwendung: Steuerung unverändert ablaufender Prozesse

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7.5 Beschreibungsformen (Impulsplan, Boole'sche Funktionen)

7.5.1 Zustandstabelle

Abgeleitet aus den Funktionsgleichungen ergibt sich:

Zustand Xn Sn En Sn+1 Yn Zn 1 2 3 . . .

Xn

Sn

Yn

Z n

En

g1

g2

f1f2

Yn = f1 (X

n,Sn) Sn+1 = g1(E

n) En = g2(X

n,Sn) Zn+1 = f2(Y

n)

Sonderfälle:

1) Yn = Zn ohne Ergebnisregister 2) Yn = Sn Zähler 3) kein Xn: autonomes Schaltwerk

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Beispiel:

X1

S

1

1Y

EE1

2

>1

&

&

TSQ

RQ

g1

g2

f

X2

g1 folgt aus charakteristischer Gleichung des SR-FF:

Zustandstabelle:

X1n X2

n Sn E1n E2

n Sn+1 Yn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0

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Verwendung der Zustandstabelle bei der

a) Analyse von Schaltwerken:

gegeben: Schaltplan

gesucht: Zustandstabelle oder Funktionsgleichungen

b) Synthese von Schaltwerken:

gegeben: Aufgabenstellung (Eingabe, Ausgabe)

• als verbale Formulierung

• als Funktionsgleichung

• als Wertetabelle

gesucht: Schaltplan

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7.5.2 Zustandsgraph

Begriffe:

Beispiel: SR-Flipflop

0 1

10/1

01/0

0x/0 x0/1S R Q

X Y

n n n

n n

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7.6 Minimierung der Schaltwerkszustände (nach Hoffmann und Mealy)

Regel:

Erforderliche Anzahl Flipflops: [ld z], z: Anzahl der Zustände

Beispiel:

3 4 5

1 0 7

1/0

1/0

1/0

1/0

1/0

1/0

0/1

0/1

0/10/10/10/10/1

1/0

1/0

2 6

0/0

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Also kann der Zustandsgraph vereinfacht werden zu:

4 5

2

0 7

1/0

1/0

0/1

0/1

0/1

1/0

0/1

0/0

...

...

Zn Zn+1 Yn Yn

X=0 X=1 X=0 X=10 0 1 0 0 0 1 3 7 V 1 0 2 6 0 1 1 0 3 1 4 1 1 0 4 5 0 0 1 0 5 2 0 1 1 0 6 2 0 1 1 0 7 5 0 0 1 0

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Zn Zn+1 Yn Yn+1 X=0 X=1 X=0 X=10 0 1 0 0 0 1 3 4/2 V 1 0 2 5 0 1 1 0 3 1 4/2 1 1 0 4 5 0 1 1 0 5 2 0 1 1 0

Minimierter Zustandsgraph:

3 5

2

1 0

1/0

0/1

0/10/1

1/0

0/1

0/0

1/01/0

1/0

2. Regel: Weitere Minimierung kann durch Gruppenbildung von Zuständen mit gleichem Folgeausgangsvektor Yn+1 und Vergleich der Gruppen erfolgen.

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7.7 Automaten Zur Synthese synchroner Schaltwerke eignen sich besonders die Methoden der Automatentheorie. Dies ist lediglich eine formalere Betrachtungsweise der Schaltwerke.

Ein Automat sei definiert durch

• X: Eingabemenge

• Y: Ausgabemenge

• Z: Zustandsmenge

• zwei Abbildungen (g,f) mit f =̂ Ausgabefunktion g =̂ Übergangsfunktion

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7.7.1 Mealy-Automat

Ein Mealy-Automat ist definiert durch seine

Ausgabefunktion Yn = f(Xn,Zn) sowie

Übergangsfunktion Zn+1 = g(Xn,Zn)

g

Y

Spei-cher

f

Spei-cher

f,gX n

Zn Zn+1

Y nZn+1

ZZn

n

XX

n

n

TT

7.7.2 Moore-Automat

Ein Moore-Automat ist definiert durch seine

Ausgabefunktion Yn = h(Zn)

Übergangsfunktion Zn+1 = g(Xn,Zn)

gSpei-cher h Y

Zn+1Zn

Xn

T

andere Schreibweise:

Yn = h(Zn+1) ergibt durch Einsetzen von Zn+1: Yn = h(g(Xn,Zn))

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7.7.3 Gegenüberstellung Mealy- und Moore-Automat

In einem stabilen Zustand können in einem

• Mealy-Automaten verschiedene Ausgangsvektoren

• Moore-Automaten nur ein Ausgangsvektor auftreten.

Mealy- und Moore-Automat können ineinander überführt werden.

Yn = Zn: keine Ausgabefunktion vorhanden ⇒ Medwedjew-Automat

Übliche Darstellungsform: Automatentafel (kompaktere Darstel-lung der Tabellen aus Kap. 9.6):

Eingangswerte

BelegungX n

Z n

Belegung Z n+1/ Yn

(=g/f)

Vorzustände

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7.8 Synthese von Schaltwerken Die Synthese allgemeiner Schaltwerke erfolgt schrittweise:

1. Problemanalyse

2. Zustandsdefinition und Zustandsgraph

3. Aufstellen der Zustandstabelle

4. Minimierung der Zustände (auf < [ld z])

5. Kodierung der Zustände (willkürlich, aber geschickt; binär)

6. Wahl des Flipflop-Typs und Aufstellen der Gleichungen (Aufwandsabschätzung durch mehrere Versuche und Vergleich)

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Beispiel „Aufstehen“ Szenario:

• Studierende(r) stellt den Wecker auf 6 Uhr morgens • An Werktagen wird aufgestanden und der Wecker

abgeschaltet • An Wochenenden bleibt man liegen und stellt den Wecker

auf 10 Uhr • Erst dann wird auf gestanden

Skizze des Automaten:

Automat Wecker klingelt (WE)

Wochenende (WO)

Wach (WA)

Schlummerfunktion bis 10 Uhr (SF)

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Ausgabe mit Zuständen assoziiert:

schlaf. bis 6 wach 6 auf

Wecker st. schlaf. bis 10 wach 10

Wecker

Wecker

Wecker

Wochenende

Wochenende

wach = 0Schlumerfkt. = 0

wach = 1Schlumerfkt. = 0

wach = 1Schlumerfkt. = 0

wach = 1Schlumerfkt. = 1

wach = 0Schlumerfkt. = 0

wach = 1Schlumerfkt. = 0

Wecker

• Zustände zeigen Aktionen • Nicht beachtete Eingabewerte werden nicht eingetragen • unbedingte Übergänge sind nicht beschriftet

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Ausgabe mit Kanten assoziiert:

wach = 0Schlumerfkt. = 0

Wecker

wach = 1Schlumerfkt. = 0

schlaf. bis 6

Wecker gest.

Wochenende

wach = 1

Schlumerfkt. =

1

wach = 0Schlumerfkt. = 0

wach = 1Schlumerfkt. = 0

wach 6 auf

schlaf. bis 10 wach 10

Wecker

Wecker

Wecker

Wochenende

wach = 1Schlumerfkt. = 0

wach = 1Schlumerfkt. = 0

wach = 1Schlumerfkt. = 0

• Zustände repräsentieren Ereignisse zwischen Aktionen • Zustände müssen möglicherweise umbenannt werden

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d daufd dwach10d 1schlaf10d 0schlaf10d dSchlumerfkt.0 dwach61 dwach6d 1schlaf6d 0schlaf6

WO WE

FolgezuständeEingängeZustände

Zustandstabelle

d d1 1 1

d d1 1 0

aufd dauf 1 0 1

aufd dwach10 1 0 0

wach10d 1schlaf10 0 1 1

schlaf10d 0schlaf10 0 1 1

schlaf10d dSchlumerfkt. 0 1 0

auf0 dwach6 0 0 1

Schlumerfkt.1 dwach6 0 0 1

wach6d 1schlaf6 0 0 0

schlaf6d 0schlaf6 0 0 0

FolgezuständeQ2´ Q1´ Q0´

EingängeWO WE

ZuständeQ2 Q1 Q0

Binäre Zustandscodierung, binäre Zustandstabelle

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d d d d d dd d dd d1 1 1

d d d d d dd d dd d1 1 0

d 0 0 d d 01 0 1d d1 0 1

d 0 0 d 1 d1 0 1d d1 0 0

1 d d 1 d 11 0 0d 10 1 1

0 d d 0 d 00 1 1d 00 1 1

0 d d 0 1 d0 1 1d d0 1 0

1 d 0 d d 01 0 10 d0 0 1

0 d 1 d d 10 1 01 d0 0 1

0 d 0 d 1 d0 0 1d 10 0 0

0 d 0 d 0 d0 0 0d 00 0 0

Flip-Flop-AnsteuerungJ2 K2 J1 K1 J0 K0

FolgezuständeQ2´ Q1´ Q0´

EingängeWO WE

ZuständeQ2 Q1 Q0

JK- Flip- Flops und deren Ansteuerung

d d1 1 1

d d1 1 0

1 0auf 1 0 1

1 0wach10 1 0 0

0 0schlaf10 0 1 1

1 1Schlumerfkt. 0 1 0

1 0wach6 0 0 1

0 1schlaf6 0 0 0

AusgabeWA = wach SF = Schlumerfkt.

ZuständeQ2 Q1 Q0

Ausgabefunktionen in Abhängigkeit vom Zustand

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01

01012

120

021

01012

QQSFQQQQQWA

WEQQJWOQQJ

WEQQWOQQJ

⋅=

⋅+⋅+=

++=

⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

WEQWOQQKWEQQK

0K

1220

011

2

⋅+⋅⋅=

⋅⋅=

=

Gleichungen

Schaltbild des Automaten:

(aus: Franz J. Hauck, Vorlesung Technische Informatik 1, SS02, Verteilte Systeme, Universität Ulm)

SF

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Sonderfälle:

a) Zählerentwurf

Bis hierher Schaltwerke mit fest verdrahteter Funktion, weitere Möglichkeit:

b) Rückgekoppeltes Schieberegister

Schaltnetz

F

D Parallelesladen :Programmieren

i

i

<

festgelegte Sequenz, abhängig vom geladenen Wort Fi=f(Di)

aber: nur für einfache Steuerungen, da begrenzte Programmierbarkeit, da Schaltnetz starr ist.

c) ROM oder PLA als programmierbare Schaltnetze mit

Rückkopplung über Register

Größtmögliche Freiheit im Entwurf! (siehe nächstes Kapitel!)