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Kernlehrplanfür die Gesamtschule – Sekundarstufe Iin Nordrhein-Westfalen
Mathematik
ISBN 3–89314–741–1
Heft 3106
Herausgegeben vomMinisterium für Schule, Jugend und Kinder
des Landes Nordrhein-WestfalenVölklinger Straße 49, 40221 Düsseldorf
Copyright by Ritterbach Verlag GmbH, Frechen
Druck und Verlag: Ritterbach VerlagRudolf-Diesel-Straße 5–7, 50226 Frechen
Telefon (0 22 34) 18 66-0, Fax (0 22 34) 18 66 90www.ritterbach.de
1. Auflage 2004
VorwortIn Nordrhein-Westfalen erhalten die Schulen zunehmend mehr Selbstständigkeit.Sie übernehmen mehr Selbstverantwortung für die Qualität ihrer Arbeit und die er-reichten Ergebnisse. Sie brauchen dabei klare Orientierungen darüber, was vonihnen erwartet wird. Dieser Orientierung sollen Bildungsstandards dienen. Sie be-schreiben, welche Lernergebnisse am Ende eines Bildungsabschnittes an der ein-zelnen Schule und im Land erreicht sein müssen.
Die Kultusministerkonferenz hat solche Bildungsstandards für das Ende der Se-kundarstufe I (mittlerer Schulabschluss) beschlossen. Sie sind für alle Länder ver-bindlich. Die neuen Kernlehrpläne für Deutsch, Mathematik und Englisch für dieSchulformen Gesamtschule, Gymnasium, Hauptschule und Realschule sowie fürFranzösisch ab Klasse 5 und Latein ab Klasse 5 für das Gymnasium nehmen dieseBildungsstandards auf und setzen sie für Nordrhein-Westfalen um. Sie bestimmendie erwarteten Lernergebnisse für den Hauptschulabschluss nach Klasse 10, denmittleren Schulabschluss (Fachoberschulreife) und am Gymnasium den Übergangin die Klasse 11 und beschreiben die Zwischenstufen, die am Ende der Klassen 6und 8 erreicht sein sollen. Sie bestimmen die für alle Schülerinnen und Schüler gel-tenden Ansprüche und berücksichtigen gleichzeitig die Besonderheiten der einzel-nen Schulformen und Bildungsgänge.
Die Lernstandserhebungen, die wir zum Herbst 2004 zum ersten Mal in der Klasse4 der Grundschule und in der Klasse 9 in den Schulformen der Sekundarstufe Idurchführen, orientieren sich an den in den Kernlehrplänen enthaltenen Kompetenz-erwartungen. Die Lernstandserhebungen dienen dazu, den Erfolg der eigenen Ar-beit an allgemein gültigen Kriterien zu messen und Informationen für eine ziel-orientierte Weiterentwicklung bereitzustellen. Sie dienen aber vor allem dazu, denLern- und Förderbedarf in den Klassen zu ermitteln und auf dieser Basis alle Schü-lerinnen und Schüler gezielt zu fördern. Die Ausweitung der Stundentafeln für dieSekundarstufe I aller Schulformen, die die Landesregierung im Zusammenhang mitder Schulzeitverkürzung ab 2005 vornehmen wird, schafft hierzu gute Vorausset-zungen. Die in den Kernlehrplänen enthaltenen Bildungsstandards sind dabei Be-zugspunkte der Überprüfung der Lernergebnisse und der gezielten Förderung. DieAbschlussprüfungen mit landeseinheitlichen Prüfungsaufgaben für die schriftlichePrüfung am Ende der Klasse 10 orientieren sich an den Anforderungen der Kern-lehrpläne am Ende der Sekundarstufe I.
Bei allen notwendigen Bemühungen um eine Standardsicherung im Bereich der inden Kernlehrplänen beschriebenen fachlichen Kompetenzen muss im Blick bleiben,dass der Auftrag der Schule über die Sicherung solcher Kernkompetenzen hinaus-geht: Schule soll Hilfen zur Entwicklung einer mündigen und sozial verantwortlichenPersönlichkeit geben, auf eine erfolgreiche Tätigkeit in der Berufs- und Arbeitsweltvorbereiten und eine kulturelle Teilhabe und die Mitgestaltung einer demokratischenGesellschaft anbahnen.
Ute SchäferMinisterin für Schule, Jugend und Kinderdes Landes Nordrhein-Westfalen
Auszug aus dem Amtsblatt des Ministeriums für Schule, Jugend und Kinder
des Landes Nordrhein-WestfalenNr. 10/04
Sekundarstufe I – Richtlinien und Lehrpläne
RdErl. d. Ministeriums für Schule, Jugend und Kinder
v. 27. 9. 2004 – 521 – 6.08.01.13 – 18890
Für die Hauptschulen, Realschulen und die Sekundarstufe I der Gesamtschulen inNordrhein-Westfalen werden hiermit Kernlehrpläne für die Fächer Deutsch, Englischund Mathematik gemäß § 1 SchVG (BASS 1 – 2) festgesetzt.
Für die Sekundarstufe I der Gymnasien werden hiermit Kernlehrpläne für die FächerDeutsch, Englisch, Mathematik, Französisch ab Klasse 5 und Latein ab Klasse 5gemäß § 1 SchVG (BASS 1 – 2) festgesetzt.
Sie treten zum 1. August 2005 für die Klassen 5, 7 und 9 in Kraft. Vom 1. August2006 an gelten die Kernlehrpläne für alle Klassen der Sekundarstufe I.
Soweit die Klassen 5 bis 10 Teil eines achtjährigen Bildungsgangs bis zum Abitursind, gelten die Kernlehrpläne für die Klassen 5 und 6 in der vorliegenden Form. Fürdie Klassen 7 bis 10 der achtjährigen Bildungsgänge werden die Kernlehrplänerechtzeitig angepasst.
Die Richtlinien für alle Schulformen der Sekundarstufe I gelten unverändert fort.
Die Veröffentlichung der Kernlehrpläne erfolgt in der Schriftenreihe „Schule in NRW“(Anlage 1).
Die vom Verlag übersandten Hefte sind in die Schulbibliothek einzustellen und dortauch für die Mitwirkungsberechtigten zur Einsichtnahme bzw. zur Ausleihe verfüg-bar zu halten.
Zu den genannten Zeitpunkten treten die bisher gültigen Lehrpläne (Anlage 2)außer Kraft.
Anlage 1
Folgende Kernlehrpläne treten mit Wirkung vom 1. 8. 2005 in Kraft:
Heft Kernlehrplan
Hauptschule
3201 Deutsch
3205 Englisch
3203 Mathematik
Realschule
3315 Deutsch
3303 Englisch
3302 Mathematik
Gesamtschule
3107 Deutsch
3102 Englisch
3106 Mathematik
Gymnasium
3409 Deutsch
3417 Englisch
3401 Mathematik
3427 Französisch ab Klasse 5
3428 Latein ab Klasse 5
Anlage 2
Folgende Lehrpläne treten zu den im RdErl. genannten Zeitpunkten außer Kraft:
1. Hauptschule Fach DeutschRdErl. v. 30. 3. 1989 (BASS 15 – 22 Nr. 1)
2. Hauptschule Fach EnglischRdErl. v. 30. 3. 1989 (BASS 15 – 22 Nr. 5)
3. Hauptschule Fach MathematikRdErl. v. 30. 3. 1989 (BASS 15 – 22 Nr. 3)
4. Realschule Fach DeutschRdErl. v. 20. 8. 1993 (BASS 15 – 23 Nr. 15)
5. Realschule Fach EnglischRdErl. v. 20. 8. 1993 (BASS 15 – 23 Nr. 3)
6. Realschule Fach MathematikRdErl. v. 20. 8. 1993 (BASS 15 – 23 Nr. 2)
7. Gesamtschule Fach DeutschRdErl. v. 27. 11. 1998 (BASS 15 – 24 Nr. 7)
8. Gesamtschule Fach EnglischRdErl. v. 27. 11. 1998 (BASS 15 – 24 Nr. 2)
9. Gesamtschule Fach MathematikRdErl. v. 27. 11. 1998 (BASS 15 – 24 Nr. 6)
10. Gymnasium Fach DeutschRdErl. v. 8. 2. 1993 (BASS 15 – 25 Nr. 9)
11. Gymnasium Fach EnglischRdErl. v. 8. 2. 1993 (BASS 15 – 25 Nr. 17)
12. Gymnasium Fach MathematikRdErl. v. 8. 2. 1993 (BASS 15 – 25 Nr. 1)
InhaltSeite
Vorbemerkung: Kernlehrpläne als neue Form derUnterrichtsvorgaben 9
1 Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts 11
2 Anforderungen am Ende der Sekundarstufe l 13
3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10 17
3.1 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 18
3.2 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 8 22
3.3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 27
3.4 Überblick über die Jahrgangsstufen 32
4 Muster- und Modellaufgaben 34
4.1 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 6 34
4.2 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 8 38
4.3 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 10 43
5 Leistungsfeststellung 50
Vorbemerkung: Kernlehrpläne als neue Form der Unterrichts-vorgabenKernlehrpläne sind ein wichtiges Element eines zeitgemäßen und umfassendenGesamtkonzepts für die Entwicklung und Sicherung der Qualität schulischer Arbeit.Sie sind im Zusammenhang zu sehen mit den Lernstandserhebungen, die in Nord-rhein-Westfalen 2004 zum ersten Mal in den Klassen 9 der Sekundarstufe I durch-geführt werden, und mit den landeseinheitlichen Abschlussprüfungen am Ende derKlasse 10 ab 2007.
Kernlehrpläne
� sind standardorientierte Lehrpläne, in denen die erwarteten Lernergebnisse alsverbindliche Bildungsstandards im Mittelpunkt stehen.
� beschreiben die erwarteten Lernergebnisse in der Form von fachbezogenen Kom-petenzen, die fachdidaktisch begründeten Kompetenzbereichen zugeordnet sind.
� zeigen, in welchen Stufungen diese Kompetenzen im Unterricht der Klassen 5 bis10 erreicht werden können, indem sie die erwarteten Kompetenzen am Ende derKlassen 6, 8 und 10 bezeichnen.
� beschränken sich dabei auf wesentliche Kenntnisse und Fähigkeiten und die mitihnen verbundenen Inhalte und Themen, die für den weiteren Bildungsweg un-verzichtbar sind und die den Lehrerinnen und Lehrern aus ihrer bisherigen Un-terrichtspraxis im Wesentlichen bekannt sind.
� bestimmen durch die Ausweisung von verbindlichen Erwartungen die Bezugs-punkte für die Überprüfung der Lernergebnisse und der erreichten Leistungs-stände in der schulischen Leistungsbewertung, den Lernstandserhebungen undden Abschlussprüfungen mit zentral gestellten Aufgaben für die schriftlichen Prü-fungen.
� schaffen so die Voraussetzungen, um definierte Anspruchsniveaus an der Ein-zelschule und im Land zu sichern.
Indem Kernlehrpläne sich auf die zentralen Kompetenzen beschränken, geben sieden Schulen die Möglichkeit, sich auf diese zu konzentrieren und ihre Beherr-schung zu sichern. Die Schulen können dabei entstehenden Freiräume zur Vertie-fung und Erweiterung der behandelten Unterrichtsinhalte und damit zu einer inhalt-lichen und thematischen Profilbildung nutzen.
Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz sind auf den mittleren Schulab-schluss bezogen und insofern schulformübergreifend angelegt, um für den gleichenAbschluss ein einheitliches Mindestniveau zu sichern. Die Kernlehrpläne greifen diein den KMK-Standards enthaltenen schulformübergreifenden Ansprüche auf undberücksichtigen gleichzeitig die Besonderheiten der einzelnen Schulformen und Bil-dungsgänge. Diesen wird in der Beschreibung der Standards und in der Art des me-thodischen Zugriffs Rechnung getragen. Beispielhafte Aufgabenstellungen im Bil-dungsserver learn-line verdeutlichen die konkreten, zum Teil unterschiedlichenKompetenzerwartungen (www.learn-line.nrw.de/angebote/kernlehrplaene).
Die bisherigen Richtlinien der Schulformen bleiben bis auf weiteres in Kraft. Sie be-schreiben die Aufgaben und Ziele der Schulformen in der Sekundarstufe I und ent-
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halten auch die spezifischen Hinweise zum Lehren und Lernen in diesen Schul-formen.
Die vorgelegten Kernlehrpläne und die in ihnen enthaltenen Standards stellen einenEinstieg in eine längerfristige Entwicklung dar. Die in den Kernlehrplänen enthalte-nen Kompetenzbeschreibungen beziehen sich wie die in den Bildungsstandards derKMK vorerst auf ein mittleres Anspruchsniveau (Regelstandards). Perspektivischsollen sowohl für die KMK-Bildungsstandards wie für die Bildungsstandards in denKernlehrplänen Kompetenzstufen auf der Basis empirisch und fachdidaktisch ge-klärter Kompetenzstufenmodelle ausgewiesen werden. Auf dieser Basis könnendann das angestrebte Mindestniveau (Mindeststandards), der Regelfall und ein Ex-zellenzniveau ausgewiesen werden. Die Kultusministerkonferenz hat dazu ein wis-senschaftliches Institut gegründet, das solche Kompetenzstufen im Laufe dernächsten Jahre entwickeln wird. Die landeseigenen Lernstandserhebungen werdenhierzu ebenfalls Hinweise geben.
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1 Aufgaben und Ziele des MathematikunterrichtsSchülerinnen und Schüler sollen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I
� Erscheinungen aus Natur, Gesellschaft und Kultur mit Hilfe der Mathematik wahr-nehmen und verstehen (Mathematik als Anwendung)
� mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache,Symbolen und Bildern, als geistige Schöpfungen verstehen und weiterentwickeln(Mathematik als Struktur)
� in der Auseinandersetzung mit mathematischen Fragestellungen auch überfachli-che Kompetenzen erwerben und einsetzen (Mathematik als kreatives und intel-lektuelles Handlungsfeld).
Hierbei erkennen sie, dass Mathematik eine historisch gewachsene Kulturleistungdarstellt. Zugleich erleben sie Mathematik als intellektuelle Herausforderung und alsMöglichkeit zur individuellen Selbstentfaltung und gesellschaftlichen Teilhabe. Sieentwickeln personale und soziale Kompetenzen, indem sie lernen,
� gemeinsam mit anderen mathematisches Wissen zu entwickeln und Probleme zulösen (Kooperationsfähigkeit als Voraussetzung für gesellschaftliche Mitgestal-tung).
� Verantwortung für das eigene Lernen zu übernehmen und bewusst Lernstrate-gien einzusetzen (selbstgesteuertes Lernen als Voraussetzung für lebenslangesLernen).
Mathematische Grundbildung umfasst die Fähigkeit, die Rolle zu erkennen, dieMathematik in der Welt spielt, mathematisches Wissen funktional, flexibel und mitEinsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einzusetzen undbegründete mathematische Urteile abzugeben. Sie beinhaltet insbesondere dieKompetenz des problemlösenden Arbeitens in inner- und außermathematischenKontexten. Grundlegend dafür ist die Fähigkeit, komplexe Probleme zu strukturierensowie reale Probleme in geeigneter Weise mathematisch zu beschreiben, also Mo-delle zu bilden und zu nutzen. Ebenso gehört zur mathematischen Grundbildung dieFähigkeit, mit anderen über mathematische Fragestellungen zu kommunizieren,d.h. eigene Ideen zu präsentieren und zu begründen sowie die Argumente andereraufzunehmen.
Diese Kompetenzen bilden sich bei der aktiven Auseinandersetzung mit konkretenFragestellungen aus den Kernbereichen des Faches Mathematik heraus: Die Ma-thematik erfasst ebene und räumliche Gebilde mit Mitteln der Geometrie. Für die Operationen mit Zahlen in der Arithmetik hat die Mathematik die Formelsprache derAlgebra entwickelt, mit der sich Gesetzmäßigkeiten des Zahlenrechnens darstellenund flexibel nutzen lassen. Zu den Leistungen der Mathematik gehört ferner, dasssie sowohl systematische Abhängigkeiten von Zahlen und Größen mit dem Begriffder Funktion, aber auch zufällige Ereignisse mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeitbeschreiben kann.
Mathematische Grundbildung zeigt sich also im Zusammenspiel von Kompetenzen,die sich auf mathematische Prozesse beziehen und solchen, die auf mathematischeInhalte ausgerichtet sind. Prozessbezogene Kompetenzen, wie z.B. das Problemlö-
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sen oder das Modellieren werden immer nur bei der Beschäftigung mit konkretenLerninhalten, also unter Nutzung inhaltsbezogener Kompetenzen erworben undweiterentwickelt.
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Die hier genannten Bereiche mathematischer Kompetenzen werden im Folgendenkonkretisiert durch eine Beschreibung von Anforderungen am Ende der Sekundar-stufe I (Kapitel 2) sowie durch eine Darstellung von Kompetenzerwartungen amEnde der jeweiligen Jahrgangsstufen (Kapitel 3). Diese Kernkompetenzen sollenSchülerinnen und Schüler nachhaltig und nachweislich erworben haben.
Die inhaltliche und methodische Gestaltung eines Unterrichts, in dem Schülerin-nen und Schüler eine solche mathematische Grundbildung erwerben können, ist alsGesamtaufgabe aufzufassen. Inhalte und Methoden des Unterrichts sind engaufeinander bezogen. Eine einseitig kleinschrittige Methodik, die entlang einervorgegebenen Stoffsystematik eine Engführung der Lernenden betreibt, ist nicht ge-eignet, junge Menschen verständnisorientiert in mathematisches Denken einzu-führen. Der Unterricht soll Schülerinnen und Schüler bei der Auseinandersetzungmit Mathematik unterstützen. Er soll hierzu eine breite Palette unterschiedlichsterUnterrichtsformen aufweisen, die von einer lehrerbezogenen Wissensvermittlungbis hin zu einer selbstständigen Erarbeitung neuer Inhalte reicht. Zudem darf er sichnicht auf die nachvollziehende Anwendung von Verfahren und Kalkülen beschrän-ken, sondern muss in komplexen Problemkontexten entdeckendes und nacherfin-dendes Lernen ermöglichen. Er sollte inner- und außermathematische Fra-gestellungen vernetzen und sich dabei an zentralen mathematischen Ideen (Zahl,Messen, räumliches Strukturieren, Algorithmus, Zufall) orientieren. Dieses Vorge-hen erlaubt es auch, sich im Unterricht auf Wesentliches zu konzentrieren, ausge-wählte Inhalte zu vertiefen und nach dem Prinzip der integrierenden Wiederholungbereits erworbene Kenntnisse und Fähigkeiten zu festigen und zu vertiefen.
fachbezogene Kompetenzen
prozessbezogene Kompetenzen inhaltsbezogene Kompetenzen
Argumentieren/Kommunizieren
kommunizieren, präsen-tieren und argumentieren
Arithmetik/ Algebra
mit Zahlen und Symbolenumgehen
Problemlösen Probleme erfassen, er-kunden und lösen Funktionen
Beziehungen und Verände-rung beschreiben und erkun-den
Modellieren Modelle erstellen und nut-zen Geometrie
ebene und räumliche Struktu-ren nach Maß und Form er-fassen
Werkzeuge Medien und Werkzeugeverwenden Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten
2 Anforderungen am Ende der Sekundarstufe IFür das Ende der Sekundarstufe I werden im Folgenden die Kompetenzen ausge-wiesen, die alle Schülerinnen und Schüler erworben haben, die mit Erfolg am Ma-thematikunterricht teilgenommen haben. Die Schülerinnen und Schüler sollen in derLage sein, diese Kompetenzen für ihre persönliche Lebensgestaltung, für ihren wei-teren Bildungsweg und für ihr berufliches Leben zu nutzen.
Diese für den Mathematikunterricht in Nordrhein-Westfalen verbindlichen Kompe-tenzen werden in enger Anlehnung an die Bildungsstandards der KMK auf der An-forderungsebene des mittleren Schulabschlusses (Fachoberschulreife) be-schrieben. Hierdurch soll die Vergleichbarkeit der fachlichen Anforderungen für die-sen Abschluss in allen Schulformen der Sekundarstufe I gesichert werden.
Zum Erwerb des Qualifikationsvermerks für den Eintritt in die gymnasiale Oberstufeist Folgendes festzustellen: Der Mathematikunterricht an Gesamtschulen ermöglichtSchülerinnen und Schülern im oberen Leistungsbereich die Fortsetzung des Bil-dungsganges in der Sekundarstufe II auch bis zum Abitur. Die für den mittlerenSchulabschluss (Fachoberschulreife) geforderten Kompetenzen sind in unter-schiedlichem Umfang und auf unterschiedlichem Niveau erreichbar. Von Schülerin-nen und Schülern, die den Qualifikationsvermerk für den Eintritt in die gymnasialeOberstufe erwerben, wird erwartet, dass sie die Kompetenzen auf einem höherenNiveau erreichen. Es gibt allerdings für den Qualifikationsvermerk keine curriculare,inhaltliche Definition. Der Vermerk wird vielmehr auf Grund des Notenbildes in derVersetzungskonferenz vergeben. Entsprechende fachliche Kompetenzen werdendaher auch nicht gesondert ausgewiesen.
An der Gesamtschule erwerben Schülerinnen und Schüler auch den Hauptschul-abschluss nach Klasse 10. Im Vergleich zu dem unten aufgeführten Kompetenz-profil für den mittleren Schulabschluss (Fachoberschulreife) sind die Anforderungenan diese Schülerinnen und Schüler in Umfang und Anforderungshöhe insgesamt ge-ringer.
Diejenigen Schülerinnen und Schüler, die den Hauptschulabschluss mit Vollen-dung der Vollzeitschulpflicht erwerben, können dabei schon aufgrund der kürzerenUnterrichtszeit nur Teile der in Kap. 3 detaillierter beschriebenen Kompetenzen er-reichen.
Die Schülerinnen und Schüler, die an der Gesamtschule im Jahrgang 10 den Grund-kurs besucht haben, verfügen über die im Folgenden nicht kursiv gesetzten Kom-petenzen. Die kursiv-fett gesetzten Textpassagen beschreiben die Kompetenzen,die im Erweiterungskurs zusätzlich erreicht werden müssen.
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Argumentieren/Kommunizierenkommunizieren, präsentieren und argumentieren
Schülerinnen und Schüler teilen mathematische Sachverhalte zutreffend und ver-ständlich mit und nutzen sie als Begründung für Behauptungen und Schlussfolge-rungen.
� Sie entnehmen mathematische Informationen aus Texten, Bildern und Tabellen(Lesekompetenz), analysieren und beurteilen die Aussagen.
� Sie erläutern mathematische Einsichten und Lösungswege mit eigenen Wortenund geeigneten Fachbegriffen und präsentieren Überlegungen in kurzen, vorbe-reiteten Beiträgen sowie Problembearbeitungen in vorbereiteten Vorträgen.
� Sie vernetzen Begriffe, indem sie Beziehungen zwischen Begriffen auch aus ver-schiedenen Bereichen herstellen, Beispiele angeben und Ober- und Unterbegriffezuordnen.
� Sie nutzen verschiedene Arten des Begründens und Überprüfens (Plausibilität,Beispiele, Argumentationsketten).
� Sie vergleichen Lösungswege und Darstellungen, überprüfen und bewertenProblembearbeitungen.
ProblemlösenProbleme erfassen, erkunden und lösen
Schülerinnen und Schüler strukturieren und lösen inner- oder außermathematischeProblemsituationen, in denen ein Lösungsweg nicht unmittelbar erkennbar ist bzw.bei denen nicht unmittelbar auf erlernte Verfahren zurückgegriffen werden kann.
� Sie geben inner- und außermathematische Problemstellungen mit eigenen Wor-ten wieder, erkunden sie, stellen Vermutungen auf und zerlegen Probleme inTeilprobleme.
� Sie nutzen verschiedene Darstellungsformen, mathematische Verfahren und nut-zen Problemlösestrategien wie Überschlagen, Beispiele finden, systematischesProbieren, Schlussfolgern, Zurückführen auf Bekanntes und Verallgemeinern.
� Sie überprüfen und bewerten Lösungswege und Ergebnisse, auch die Möglich-keit mehrerer Lösungen.
ModellierenModelle erstellen und nutzen
Schülerinnen und Schüler nutzen Mathematik als Werkzeug zum Erfassen von Phä-nomenen der realen Welt.
� Sie übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle (Terme, Gleichungen,Funktionen, Figuren, Diagramme, Tabellen, Zufallsversuche) und ordnen mathe-matischen Modellen passende Realsituationen zu.
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� Sie überprüfen und interpretieren die im mathematischen Modell gewonnene Lö-sung in der jeweiligen realen Situation, bewerten und verändern gegebenenfallsihren Lösungsweg oder das Modell.
WerkzeugeMedien und Werkzeuge verwenden
Schülerinnen und Schüler setzen klassische mathematische Werkzeuge und elek-tronische Werkzeuge und Medien situationsangemessen ein (Medienkompetenz).
� Sie verwenden Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen, genauen Zeichnenund Konstruieren.
� Sie nutzen Bücher und das Internet zur Informationsbeschaffung, dokumentiereneigene Arbeitsschritte in schriftlicher Form und verwenden unter anderem Tafel,Folien und Plakate zur Ergebnispräsentation.
� Sie setzen situationsangemessen den Taschenrechner ein und nutzenGeometriesoftware, Tabellenkalkulation und Funktionenplotter zum Erkunden in-ner- und außermathematischer Zusammenhänge.
Arithmetik/Algebramit Zahlen und Symbolen umgehen
Schülerinnen und Schüler besitzen einen Begriff von Zahlen, Größen und ihren Dar-stellungen, operieren sicher mit ihnen und verwenden die Symbolsprache derMathematik sachgerecht.
� Sie verwenden Zahlen je nach Situation in unterschiedlichen Darstellungsformen(als Bruch, Dezimalzahl, Prozentzahl und in Zehnerpotenzschreibweise), ordnenund vergleichen sie.
� Sie rechnen mit rationalen und irrationalen Zahlen, nutzen Rechengesetze undsystematisches Zählen.
� Sie arbeiten in Anwendungszusammenhängen sachgerecht mit Zahlen, Größenund Variablen und führen Schätzungen und Näherungsrechnungen durch.
� Sie lösen lineare Gleichungen und Gleichungssysteme, quadratische undeinfache exponentielle Gleichungen rechnerisch, grafisch oder durch Probie-ren.
FunktionenBeziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden
Schülerinnen und Schüler besitzen ein grundlegendes Verständnis von funktionalerAbhängigkeit und nutzen ihre Kenntnisse zum Erfassen und Beschreiben von Bezie-hungen und Veränderungen in Mathematik und Umwelt.
� Sie stellen funktionale Zusammenhänge, insbesondere lineare, quadratische,exponentielle Funktionen, Sinusfunktion, in sprachlicher Form, in Tabellen, alsGrafen und in Termen dar und interpretieren sie situationsgerecht.
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� Sie identifizieren proportionale und antiproportionale Funktionen, wenden Drei-satz, Prozentrechnung und Zinsrechnung an und rechnen mit Maßstäben.
� Sie grenzen lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum an Beispielenvoneinander ab.
Geometrieebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen
Schülerinnen und Schüler erfassen Formen der Ebene und des Raumes und ihreBeziehungen in mathematischen Zusammenhängen sowie in der beobachtetenWirklichkeit und charakterisieren sie anhand ihrer grundlegenden Eigenschaften.
� Sie beschreiben ebene Figuren (Vielecke, Kreise) und Körper (Prismen, Zylinder,Kugeln, Kegel, Pyramiden), Lagebeziehungen und grundlegende Symmetrien mitangemessenen Fachbegriffen und identifizieren sie in ihrer Umwelt.
� Sie zeichnen und konstruieren ebene geometrische Figuren (auch imKoordinatensystem), skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Körpern undstellen Körpermodelle her.
� Sie schätzen und bestimmen Winkel, Längen, Flächeninhalte, Oberflächen undVolumina.
� Sie berechnen Größen und begründen Eigenschaften von Figuren mit Hilfe vonSymmetrie, einfachen Winkelsätzen, Kongruenz, Ähnlichkeit, trigonometri-schen Beziehungen, dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras.
Stochastikmit Daten und Zufall arbeiten
Schülerinnen und Schüler erheben statistische Daten und werten sie aus. Sie be-schreiben und beurteilen zufällige Ereignisse mit mathematischen Mitteln.
� Sie planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden der Erfassung undDarstellung von Daten (Säulen- und Kreisdiagramme, Boxplots) und bewertenDarstellungen kritisch.
� Sie bestimmen relative Häufigkeiten, Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Median)und Streumaße (Spannweite, Quartil) und interpretieren diese.
� Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Laplace-Regel, Baumdia-grammen und Pfadregeln, nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrschein-lichkeiten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten.
Die schuleigenen Lehrpläne und die Evaluation von Unterricht und Unterrichts-ergebnissen sind an den oben stehenden Kompetenzprofilen auszurichten.
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3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10
Im Folgenden werden Kompetenzen benannt, die Schülerinnen und Schüler amEnde der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10 nachhaltig und nachweislich erworben habensollen. Sie legen die Art der fachlichen Anforderungen fest. Die Anforderungshöheund der Komplexitätsgrad der fachlichen Anforderungen sind sowohl im Unterrichtals auch in der Leistungsbewertung altersgemäß und mit Bezug auf die Anforderun-gen der Schulform zu konkretisieren. Kapitel 4 erläutert die Anforderungen an aus-gewählten Muster- und Modellaufgaben.
Die hier benannten Kompetenzen gliedern sich nach den Bereichen des Faches undbeschreiben dessen Kern. Sie bauen auf den in der Grundschule erworbenen Kom-petenzen auf und machen eine Progression über die Jahrgangsstufen hinweg deut-lich. Der Unterricht ist nicht allein auf den Erwerb dieser Kernkompetenzen be-schränkt, sondern soll es Schülerinnen und Schülern ermöglichen, auf vielfältigeWeise darüber hinausgehende Kompetenzen zu erwerben, weiterzuentwickeln undzu nutzen.
Kompetenzen werden im Unterricht nicht einzeln und isoliert erworben, sondern inwechselnden und miteinander verknüpften Kontexten. Der Unterricht muss dazuvielfältige, die Jahrgangsstufen durchziehende Lerngelegenheiten anbieten. Einethematisch-inhaltliche Reihenfolge innerhalb der Jahrgangsstufen ist durch denKernlehrplan nicht festgeschrieben.
Der Kernlehrplan bildet damit einerseits die verpflichtende Grundlage für die Überar-beitung der schuleigenen Lehrpläne. Andererseits eröffnet er Lehrerinnen und Leh-rern weitgehende Freiheiten für die inhaltliche, thematische und methodische Ge-staltung von Unterrichtsabläufen. Sie können Schwerpunkte setzen, thematischeVertiefungen und Erweiterungen vornehmen und dabei die Bedingungen der eige-nen Schule und der jeweiligen Lerngruppe berücksichtigen.
Im Folgenden werden die fachbezogenen Kompetenzen getrennt nach prozess-bezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzen ausgewiesen. Die prozessbezoge-nen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern jedoch immer nur in derAuseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Umgekehrt könnensich inhaltsbezogene Kompetenzen nur entfalten, wenn Schülerinnen und Schülerprozessbezogene Kompetenzen aktivieren können. Mathematische Grundbildungzeigt sich in der flexiblen und vernetzten Nutzung dieser prozessbezogenen undinhaltsbezogenen Kompetenzen. Beide Bereiche müssen somit Gegenstand desUnterrichts und der Leistungsbewertung sein.
Zusätzliche Kompetenzen für den Erweiterungskurs werden im Folgendenkursiv-fett gedruckt.
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4 Muster- und Modellaufgaben Die folgenden Muster- und Modellaufgaben veranschaulichen und konkretisierendie in Kapitel 3 ausgeführten Kompetenzerwartungen durch Aufgabenbeispiele fürdie Jahrgangsstufen, an denen sich Art, Höhe und Umfang der Kompetenzerwar-tungen ablesen lassen.
Für den Mathematikunterricht stellen die Muster- und Modellaufgaben insbesondereBeispielprobleme dar, die Schülerinnen und Schüler auf der Grundlage der am Endeder jeweiligen Jahrgangsstufe erworbenen Kompetenzen lösen können. Die Aufga-ben zeigen an komplexen und offenen Ausgangssituationen auf, wie Schülerinnenund Schüler über unterschiedliche prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompe-tenzen verfügen und diese kombinieren müssen, um in inner- und außermathema-tischen Situationen mathematikbezogene Fragen zu lösen, zu reflektieren und zubewerten.
Diese Aufgaben können im Unterricht eingesetzt werden, um im Laufe der jeweili-gen Jahrgangsstufen Lerngelegenheiten zu bieten, anregende Fragen aufzuwerfenoder um neue Begriffe und Verfahren zu erarbeiten. Am Ende der jeweiligen Jahr-gangsstufe (oder später) können sie dazu dienen, festzustellen, ob und auf welchemNiveau Schülerinnen und Schüler die der jeweiligen Aufgabe zugeordnetenKompetenzerwartungen erfüllen. Zu diesem Zweck decken die Aufgaben jeweils einbreites Spektrum über alle Kompetenzbereiche hinweg ab.
4.1 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 6
Aufgabe 1 – Würfelspiel
Ein Spiel mit einem Würfel hat folgende Regel:
Man darf so lange mit einem Würfel würfeln, bis eine Zahl zum zweiten Mal er-scheint, also z.B. 1 – 3 – 4 – 3 – Stopp! Man darf sich dann so viele Punkte auf-schreiben, wie man Würfe geschafft hat, in diesem Beispiel also vier Punkte. Führtdas Spiel viele Male durch.
a) Es liegt folgender Spielverlauf vor: 2 – 1 – 5. Bei welcher Zahl wäre das Spielmit dem nächsten Wurf beendet?
b) Wie viele Punkte kannst du mindestens oder höchstens in einem Spiel errei-chen?
c) Wie viele verschiedene Spielverläufe gibt es, bei denen du drei Punkte be-kommst?
d) Du willst wissen, wie viele Punkte du im Durchschnitt in einem Spiel erhältst.Wie würdest du vorgehen?
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe
Bei dieser Aufgabe geht es nicht um den Wahrscheinlichkeitsbegriff (obwohlgrundlegende Einsichten vorbereitet werden), sondern um das Erheben von Daten,das systematische Zählen und das Argumentieren. Schülerinnen und Schüler müs-
34
sen bei diesem Problem die Gelegenheit haben, das Spiel konkret durchzuführenund eine Reihe von Spielverläufen aufzuzeichnen. Der Übergang von einer Teilauf-gabe zur nächsten wird – je nach Lerngruppe – nach unterschiedlicher Spieldauererfolgen.
a) Die Schülerinnen und Schüler sichern ihre Kenntnisse der Spielregeln.
b) Die Schülerinnen und Schüler entwickeln auf der Grundlage von BeispielenEinsichten in das Problem und argumentieren, um ihre Aussagen zu stützen.
c) Die Schülerinnen und Schüler beginnen mit einer Sammlung von Spielverläu-fen und entwickeln dabei systematische Verfahren des Abzählens.
d) Die Schülerinnen und Schüler nutzen bei diesem Problem die erstengrundlegenden Begriffe und Verfahren der beschreibenden Stochastik.
Variation der Aufgabenstellung
Vereinfachung der Aufgabe: Durch eine Änderung der Spielregeln kann die Aufga-benstellung vereinfacht werden: Das Spiel ist beendet, wenn die erste Zahlnochmals gewürfelt wird.
Fortführung der Aufgabe: Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, ei-gene weitere Spielregeln aufzustellen, teilen diese Spielregeln der Klasse mit, spie-len nach den neuen Regeln und formulieren weitere Aufgaben.
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
35
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Arithmetik/Algebra
Stochastik
Schülerinnen und Schüler
� nutzen intuitiv verschiedene Arten des Begründens (Be-schreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegun-gen, Angeben von Beispielen oder Gegenbeispielen)
� präsentieren Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen
� wenden die Problemlösestrategien „Beispiele finden“,„Überprüfen durch Probieren“ an
� bestimmen Anzahlen auf systematische Weise
� erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten zu-sammen
� bestimmen relative Häufigkeiten, arithmetisches Mittelund Median
Aufgabe 2 – Entfernungen
Eine Schulklasse macht einen Ausflugmit dem Zug nach Bielefeld. Sie will denTierpark Olderdissen besuchen.
a) Bestimme anhand des Stadtplansvon Bielefeld die Entfernung (Luftli-nie) zwischen dem Hauptbahnhof(S35) und dem Parkplatz am Tier-park Olderdissen (S33).
b) Franz kennt sich in Bielefeld nichtaus. Beschreibe einen einfach zuerklärenden Fußweg und bestimmedessen Länge.
c) Sarah behauptet: „Ich kenne einenWeg, der nur 2,9 km lang ist.“
Hinweis: Die nebenstehende Grafik ist hier zuDokumentationszwecken verkleinert darge-stellt, der angegebene Maßstab ist in dieserAbbildung nicht korrekt. Die Schülerinnen undSchüler arbeiten mit einem Plan ihres Schulorts. Die Angaben der Aufgabenstellungen sind entsprechend zu formulieren.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe
a) Die Schülerinnen und Schüler finden die Orte in der Karte und berechnen de-ren Abstand mit Hilfe der Maßstabsangabe.
b) Die Schülerinnen und Schüler ermitteln in der Karte einen einfachen Weg undnutzen Verfahren zur Bestimmung der Weglänge, z.B. Messen und Addierenvon Streckenlängen, Anlegen eines Fadens, Auslegen mit festen Maßlängen(Hölzchen etc.), Benutzen eines Zirkels.
c) Die Schülerinnen und Schüler überprüfen die Aussage, indem sie möglichstkurze Wege suchen, deren Länge ermitteln und vergleichen und die Wahl ih-res Weges begründen.
Die Teilaufgaben a) – c) haben steigendes Anspruchsniveau und können auch unab-hängig voneinander bearbeitet werden.
36
Quelle: ADAC Städteatlas NRW, 95/96
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
37
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Modellbildung
Werkzeug
Arithmetik/Algebra
Funktionen
Geometrie
Schülerinnen und Schüler
� erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regelnund Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fach-begriffen
� sprechen über eigene und vorgegebene Lösungswege,Ergebnisse und Darstellungen, finden, erklären und korri-gieren Fehler
� präsentieren Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen
� nutzen intuitiv verschiedene Arten des Begründens (Be-schreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegun-gen, Angeben von Beispielen oder Gegenbeispielen)
� nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren(Messen, Rechnen, Schließen) zum Lösen von anschau-lichen Alltagsproblemen
� wenden die Problemlösestrategien „Beispiele finden“,„Überprüfen durch Probieren“ an
� deuten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Pro-blemstellung
� übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathemati-sche Modelle (Terme, Figuren, Diagramme)
� nutzen Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen und ge-nauen Zeichnen
� stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einhei-ten dar
� ordnen und vergleichen Zahlen und runden natürlicheZahlen und Dezimalzahlen
� nutzen gängige Maßstabsverhältnisse
� schätzen und bestimmen Längen, Winkel, Umfänge vonVielecken, Flächeninhalte von Rechtecken sowie Ober-fläche und Volumina von Quadern
4.2 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 8
Aufgabe 1 – Aufteilung von Urlaubskosten
38
Die Familien Meier und Müller haben im August 2003 ihren 14-tägigen Urlaub ge-meinsam in einer Ferienwohnung an der Ostsee verbracht. Familie Meier bestehtaus zwei Erwachsenen und einem Sohn, Familie Müller besteht aus dem alleinerziehenden Herrn Müller und seiner Tochter. Beide Kinder sind 10 Jahre alt. FürVerpflegung und gemeinsame Ausflugsfahrten im PKW der Familie Meier sind 960Euro angefallen. Herr Meier schlägt vor, dass jede Familie die Hälfte der Gesamt-kosten bezahlen soll. Herr Müller findet diesen Vorschlag nicht gerecht.
a) Welche Argumente könnten Herr Meier und Herr Müller für ihre unterschiedli-chen Standpunkte vorbringen?
b) (Fassung für den E-Kurs)Welche Aufteilung könnte Herr Müller vorschlagen? Überlegt euch mindestenseinen weiteren Vorschlag. Berechnet für jeden der Vorschläge die Kosten fürjede Familie.
b) (Fassung für den G-Kurs)Welche Aufteilung könnte Herr Müller vorschlagen? Berechnet die Kosten fürjede Familie.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Die Aufgabe eignet sich insbesondere für Gruppenarbeit. Durch Ergänzungen in derAufgabenformulierung kann die Form der Präsentation der Ergebnisse (u. a. ist ein
Rollenspiel denkbar) variiert werden, so dass auch weitere Kompetenzen erfassbarsind. Diese auf einem realen Kontext basierende Aufgabe lässt vielfältige Lösungs-wege (Dreisatz, Brüche, ...) zu. Je nach gewähltem Lösungsweg werden daher diefolgenden Kompetenzen angesprochen.
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
39
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Modellieren
Arithmetik/Algebra
Funktionen
Schülerinnen und Schüler
� ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellun-gen (Text, Bild, Tabelle, Graf), strukturieren und bewer-ten sie
� arbeiten bei der Lösung von Problemen im Team
� präsentieren Lösungswege in kurzen, vorbereitetenBeiträgen
� geben inner- und außermathematische Problemstellun-gen in eigenen Worten wieder und entnehmen ihnen dierelevanten Größen
� überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehre-rer Lösungen oder Lösungswege
� übersetzen einfache Realsituationen in mathematischeModelle (Zuordnungen, lineare Funktionen, Gleichun-gen, Zufallsversuche)
� wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen undGrößen an, nutzen Strategien für Rechenvorteile, Techni-ken des Überschlagens und die Probe als Rechenkon-trolle
� wenden die Eigenschaften von proportionalen, antipropor-tionalen und linearen Zuordnungen sowie einfache Drei-satzverfahren zur Lösung außer- und innermathemati-scher Problemstellungen an
Aufgabe 2 – Diagonalen im regelmäßigen Neuneck
Die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte eines Vielecks wirdDiagonale genannt.
Die folgende Figur zeigt ein regelmäßiges Neuneck mit sämtlichen Diagonalen:
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Lehrer Lämpel hat in seiner Klasse die Aufgabe gestellt, die Diagonalenanzahl zubestimmen. Er hat pfiffige Schülerinnen und Schüler. Er findet in ihren Heften fol-gende Eintragungen:
Anna: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 – 9 = 27Birgit: 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 27Hans: 6 • 9 : 2 = 27
Alle drei haben die Aufgabe richtig gelöst, aber leider keine Erläuterungen zu ihrenRechnungen angegeben.
Gib zu mindestens einer der von Anna, Birgit und Hans aufgeschriebenen Lösungeneine ausführliche Begründung an.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Das Verfahren des Anzählens führt zur Frage, wie dieses Verfahren systematisiertwerden kann und damit zu den von Anna, Birgit und Hans angegebenen Lösungen.
Die verschiedenen Lösungsstrategien sollen von den Schülerinnen und Schülernnachvollzogen und begründet werden.
Die Schülerinnen und Schüler können aufgefordert werden, Aufgaben selbst zu fin-den, die mit ähnlicher Strategie gelöst werden können, z.B. wie viele Spiele werdenin der Hinrunde der Fußball-Bundesliga ausgetragen?
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
41
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Arithmetik/Algebra
Schülerinnen und Schüler
� erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfah-ren (Konstruktionen, Rechenverfahren, Algorithmen) miteigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen
� vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentatio-nen und Darstellungen
� überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibili-tätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen
� bestimmen Anzahlen auf systematische Weise
Aufgabe 3 – Auch Kopieren will gelernt sein
Jonas hat ein Rechteck der Länge 10 cm und der Breite 4cm auf ein DIN-A4-Blatt gezeichnet. Anschließend fertigter von diesem Blatt eine vergrößerte Kopie (Einstellungdes Kopierers 125 %) an. Er misst die Länge und Breitenach – alles wie erwartet!
a) Wie lang sind die Seitenlängen auf der vergrößertenKopie? Berechne und überprüfe dein Ergebnis am Kopierer.
Kathrin macht Jonas ein Angebot: „Wenn du dein vergrößertes Rechteck mit demKopierer wieder auf die ursprüngliche Größe bringen kannst, lade ich dich zum Eisein.“ Nach einigen vergeudeten Kopien hat es Jonas noch nicht geschafft. Kann ihmdie Mathematik weiterhelfen?
b) Wie muss Jonas den Kopierer einstellen, um die Vergrößerung wieder in dieOriginalgröße (Länge 10 cm, Breite 4 cm) zu bekommen? Formuliere und be-gründe zunächst deine Vermutung.
c) Überprüfe deine Vermutung durch eine Rechnung. Probiere am Kopierer aus,ob deine berechnete Prozentzahl für die Verkleinerung zum Erfolg führt.
d) Beschreibe mit eigenen Worten, warum sich die Ergebnisse möglicherweiseunterscheiden.
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Bei dieser Aufgabe geht es um eine Veränderung des Grundwertes. Den Schülerin-nen und Schülern muss deutlich werden, dass eine Erhöhung um x Prozent nicht
durch eine Verminderung um x Prozent ausgeglichen werden kann. Sie haben beidiesem Beispiel Gelegenheit, ihre Vermutungen und Berechnungen handelnd amKopierer überprüfen zu können:
a) Die Seitenlängen der Vergrößerung werden berechnet. Durch Anfertigen einervergrößerten Kopie können die berechneten Werte empirisch überprüft wer-den. Die Vergrößerung des Rechtecks kann auf Folie der Klasse zur Verfügunggestellt oder von den Schülerinnen und Schülern selbst erstellt werden.
b) Vermutungen und Begründungen sollten im Unterricht gesammelt werden. DieSchülerinnen und Schüler entwickeln in dieser Unterrichtsphase Einsicht indas Problem und argumentieren intuitiv, um ihre Aussagen zu belegen.
c) Als mögliche Hilfestellung und als Lösungsansatz für die Schülerinnen undSchüler bietet sich der Vergleich der Seitenlängen aus Original und Vergröße-rung an. Durch Erstellen einer verkleinerten Kopie auf einem Kopierer solltedas berechnete Ergebnis empirisch überprüft werden.
d) Die Schülerinnen und Schüler können darüber reflektieren, warum Jonas zu-nächst eine nicht maßstäbliche Verkleinerung erstellt hat, d. h. wie eine spon-tan gefundene Lösung aussehen könnte. Der Vergleich mit der richtigen Lö-sung bei der Aufgabe gibt Anlass, über die Bedeutung des Grundwertes undseiner Veränderung bei dieser und auch bei anderen Aufgaben zu diskutieren.
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
42
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Arithmetik/Algebra
Funktionen
Schülerinnen und Schüler
� erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren(Konstruktionen, Rechenverfahren, Algorithmen) mit ei-genen Worten und geeigneten Fachbegriffen
� vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentatio-nen und Darstellungen
� nutzen mathematisches Wissen für Begründungen, auchin mehrschrittigen Argumentationen
� untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Fi-guren und stellen Vermutungen auf
� nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skiz-zen, Gleichungen) zur Problemlösung
� überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibili-tätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen
� deuten Dezimalzahlen und Prozentzahlen als andereDarstellungsform für Brüche und stellen sie an der Zah-lengerade dar, führen Umwandlungen zwischen Bruch,Dezimalzahl und Prozentzahl durch
� berechnen Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert inRealsituationen (auch Zinsrechnung)
4.3 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 10
Aufgabe 1 – Immer weniger Menschen in Deutschland!
Jedes Jahr nimmt die Gesamtzahl der in Deutschland lebenden Menschen ab. Leb-ten 1990 noch etwa 83 Millionen Menschen in Deutschland, so waren es im Jahre2000 nur noch 80,5 Millionen Menschen.
1. Zur Prognose der Einwohnerzahl Deutschlands im Jahre 2100 überlegen sichHarri und Betti folgende Lösungsansätze:
Harri:
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a) Zu welcher Lösung werden Harri und Betti gelangen?
b) Erläutere den Unterschied zwischen Harris und Bettis Lösungsansätzen. Wel-che der beiden Lösungen erscheint dir realistischer? Auf welche Bevölke-rungszahlen kommen Harri und Betti für das Jahr 2400?
Ergänzende Aufgaben für den E-Kurs
2. Stelle die Ansätze von Harri und Betti durch Funktionsterme dar und zeichne diezugehörigen Grafen.
3. Zu welchen Antworten gelangen Harri bzw. Betti bei den folgenden Fragen?
a) Wann werden nur noch 50 Millionen Menschen in Deutschland leben?
b) Wann werden nur noch halb so viele Menschen wie 1990 in Deutschland le-ben?
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Bei dieser Aufgabe geht es um die Frage der realistischen Anwendung linearer oderexponentieller Modelle. Die Bearbeitung von Aufgabenteil 1 erfordert, dass dieSchüler und Schülerinnen die Grundeigenschaften linearen Wachstums (gleicherSummand bei gleicher Zeitspanne) bzw. exponentiellen Wachstums (gleicher Fak-tor bei gleicher Zeitspanne) gegeneinander abgrenzen.
1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100
83,0 80,5 78,1 75,7 73,4 71,2
1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100
83,0 80,5 78,0 75,5 73,0
Betti:
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
44
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Modellieren
Werkzeuge
Funktionen
Schülerinnen und Schüler
� erläutern mathematische Zusammenhänge und Ein-sichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mitgeeigneten Fachbegriffen
� vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentatio-nen und Darstellungen
� überprüfen und bewerten Problembearbeitungen
� nutzen mathematisches Wissen und mathematischeSymbole für Begründungen und Argumentationsket-ten
� überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssig-keit
� übersetzen Realsituationen, insbesondere exponenti-elle Wachstumsprozesse, in mathematische Modelle(Tabellen, Grafen, Terme)
� vergleichen und bewerten verschiedene mathemati-sche Modelle für eine Realsituation
� nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation,Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkundenund Lösen mathematischer Probleme
� stellen Funktionen (lineare, quadratische (G-Kurs: nurf(x)=ax2) exponentielle, Sinusfunktion) mit eigenenWorten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar,wechseln zwischen diesen Darstellungen und benen-nen ihre Vor- und Nachteile
� grenzen lineares, quadratisches und exponentiellesWachstum an Beispielen gegeneinander ab
� wenden lineare, quadratische (G-Kurs: nur f(x)=ax2) undexponentielle Funktionen zur Lösung außer- undinnermathematischer Problemstellungen an
Aufgabe 2 – Body-Mass-Index
Im Heft 12/2002 der Stiftung Warentest finden sich folgende Informationen zum BMI:
45
a) i) Bestimme den BMI einer 1,90 m großen Person mit einem Körpergewicht von80 kg.
ii) In welchem Bereich sollte das Körpergewicht einer 1,83 m großen Person lie-gen.
b) Till Eugenspiegel hat in dem obigen Artikel einen Fehler entdeckt. Wie immer sitztihm der Schalk im Nacken, und er schreibt folgenden Brief an die Stiftung Waren-test:
„Liebe Stiftung Warentest
ich bin 1,85 m groß und wiege 70 kg. Nach Ihrer Formel habe ich einen BMI von38 kg/m2. Ich habe aber nicht das Gefühl,dass ich an Fettsucht leide. Mit der Bitte umErklärung verbleibe ich mit freundlichenGrüßen.“
Schreibe im Auftrag der Stiftung Warentest ei-nen kurzen Antwortbrief an Till.
Folgende Aufgabenteile c) – e) gelten für denE-Kurs
c) In welchem Bereich sollte das Körpergewichteines 60 cm großen Säuglings liegen? Ver-gleiche dein Ergebnis mit den Informationendes nebenstehenden Somatogramms, das injedem Kinder-Untersuchungsheft – auch indeinem! – zu finden ist. Beurteile aufgrunddeines Vergleichs die Gültigkeit der im obigenZeitungsartikel aufgestellten Regeln. (Hinweis: Die Grafik ist zu Dokumentations-zwecken nur verkleinert dargestellt)
46
d) Vor der Einführung des BMI gab es folgende Regeln:
Das Normalgewicht (in kg) einer Person entspricht der um 100 vermindertenKörpergröße (in cm). Das Idealgewicht beträgt 90 % des Normalgewichts.
Welches Idealgewicht ergibt sich daraus für eine 1,83 m große Person?
e) In einem Artikel des Mindener Tageblatts vom 8.2.2003 findet sich folgender Satz:
„Als fettsüchtig gelten Kinder, deren Gewicht etwa 20 Prozent über dem Alters-gruppendurchschnitt liegt.“
Philipp Pfiffig meint dazu: „Wenn sich alle Kinder einig wären, könnten sie nachHerzenslust schlemmen, und trotzdem gäbe es keine fettsüchtigen Kinder.“
Was meinst du dazu?
Folgender Aufgabenteil gilt für den G-Kurs
c) i) Vor der Einführung des BMI gab es folgende Regeln:
Das Normalgewicht (in kg) einer Person entspricht der um 100 vermindertenKörpergröße (in cm). Das Idealgewicht beträgt 90 % des Normalgewichts.Welches Idealgewicht ergibt sich daraus für eine 1,83 m große Person?
ii) Zu welchem Normalgewicht würde die in i) aufgestellte Regel bei einem 60 cmgroßen Säugling führen? Beurteile aufgrund deines Ergebnisses die Gültigkeitder Regel zur Ermittlung des Normalgewichts.
Hinweis zum Einsatz der Aufgabe
Die Aufgabe erfordert gegebenenfalls ein zusätzliches Eingehen auf die Problema-tik ungeeigneter Ernährung oder falscher Einschätzung des eigenen Gewichtes.
Die im Aufgabenteil c) erforderlichen Überlegungen zum Geltungsbereich derModellierung sind bei der Grundkurs-Variante aufgrund des absurden Ergebnisses(negatives Normalgewicht) nicht schwierig. Bei der E-Kurs-Variante müssen zusätz-liche Informationen aus einer recht komplexen grafischen Darstellung gewonnenwerden.
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
47
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Modellieren
Arithmetik/Algebra
Funktionen
Schülerinnen und Schüler
� ziehen Informationen aus einfachen authentischen Texten(z.B. Zeitungsberichten) und mathematischen Darstel-lungen, analysieren und beurteilen die Aussagen
� überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitäts-überlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen
� überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenenLösungen an der Realsituation und verändern ggf. dasModell
� übersetzen Realsituationen, insbesondere exponenti-elle Wachstumsprozesse, in mathematische Modelle(Tabellen, Grafen, Terme)
� deuten Dezimalzahlen und Prozentzahlen als andereDarstellungsform für Brüche und stellen sie an der Zah-lengerade dar, führen Umwandlungen zwischen Bruch,Dezimalzahl und Prozentzahl durch
� berechnen Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert inRealsituationen (auch Zinsrechnung)
Aufgabe 3 – Heißluftballon
Wie viel LiterLuft sind (un-gefähr) in die-sem Heißluft-ballon?
Quelle: Wilfried Herget „Ein Bild sagt mehr als tausend Worte“, http://blk.mat.uni-bayreuth.de/
48
Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:
Diese Aufgabe ist gänzlich offen, ohne Vorgaben an die Vorgehensweise der Schü-lerinnen und Schüler, gestellt. Ziel ist die Bestimmung eines groben Nähe-rungswertes für das Volumen des Ballons und die Entwicklung geeigneter Methodenhierfür. Dies kann z. B. erfolgen über:
� die Zerlegung des Ballonkörpers in eine Halbkugel und einen Kegel; „maßstäbli-che Abschätzungen und Berechnung“ von Radius und Höhe, Bewertung der„Genauigkeit“ des Ergebnisses
� die Annäherung des Ballonkörpers durch eine Kugel
� die Annäherung des Ballonkörpers durch einen Würfel.
Um einen Maßstab zu gewinnen kann die geschätzte Körpergröße einer abgebilde-ten Person herangezogen werden.
Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)
49
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Modellieren
Geometrie
Schülerinnen und Schüler
� ziehen Informationen aus einfachen authentischen Texten(z.B. Zeitungsberichten) und mathematischen Darstel-lungen, analysieren und beurteilen die Aussagen
� zerlegen Probleme in Teilprobleme
� vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategienund bewerten sie
� übersetzen Realsituationen, insbesondere exponenti-elle Wachstumsprozesse, in mathematische Modelle(Tabellen, Grafen, Terme)
� schätzen und bestimmen Umfänge und Flächeninhaltevon Kreisen und zusammengesetzten Flächen sowieOberflächen und Volumina von Zylindern, Pyramiden, Ke-geln und Kugeln
5 LeistungsfeststellungDie rechtlich verbindlichen Hinweise zur Leistungsfeststellung sowie zu Verfahrens-vorschriften sind in der Allgemeinen Schulordnung dargestellt (ASchO §§ 21-25).Diese Regelungen werden ab 1. 8. 2005 durch die entsprechenden Vorschriften desin den parlamentarischen Beratungen befindlichen Schulgesetzes (§ 47) abgelöst.
Die Leistungsfeststellung bezieht sich auf die im Zusammenhang mit dem Unterrichterworbenen Kompetenzen und setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler hin-reichend Gelegenheit hatten, die in Kapitel 3 ausgewiesenen Kompetenzen zu er-werben.
Erfolgreiches Lernen ist kumulativ. Entsprechend sind die Kompetenzerwartungenin den Bereichen des Faches jeweils in ansteigender Progression und Komplexitätformuliert. Dies bedingt, dass Unterricht und Lernerfolgsüberprüfungen daraufausgerichtet sein müssen, Schülerinnen und Schülern Gelegenheit zu geben,grundlegende Kompetenzen, die sie in den vorangegangenen Jahren erworben ha-ben, wiederholt und in wechselnden Kontexten anzuwenden. Für Lehrerinnen undLehrer sind die Ergebnisse der Lernerfolgsüberprüfungen Anlass, die Zielsetzungenund die Methoden ihres Unterrichts zu überprüfen und ggf. zu modifizieren. Für dieSchülerinnen und Schüler sollen sie eine Hilfe für weiteres Lernen darstellen.
Die Leistungsfeststellung ist daher so anzulegen, dass sie den Lernenden auch Er-kenntnisse über die individuelle Lernentwicklung ermöglicht. Die Beurteilung vonLeistungen soll demnach mit der Diagnose des erreichten Lernstandes und individu-ellen Hinweisen für das Weiterlernen verbunden werden. Wichtig für den weiterenLernfortschritt ist es, bereits erreichte Kompetenzen herauszustellen und die Ler-nenden zum Weiterlernen zu ermutigen. Dazu gehören auch Hinweise zu Erfolg ver-sprechenden individuellen Lernstrategien. Den Eltern sollten im Rahmen der Lern-und Förderempfehlungen Wege aufgezeigt werden, wie sie das Lernen ihrer Kinderunterstützen können.
Im Sinne der Orientierung an Standards sind grundsätzlich alle in Kapitel 3 des Lehr-plans ausgewiesenen Bereiche („Argumentieren/Kommunizieren“, „Problemlösen“,„Modellieren“, „Werkzeuge“, „Arithmetik/Algebra“, „Funktionen“, „Geometrie“ und„Stochastik“) bei der Leistungsbewertung angemessen zu berücksichtigen. Dabeikommt den prozessbezogenen Kompetenzen der gleiche Stellenwert zu wie deninhaltsbezogenen Kompetenzen.
Schriftliche Arbeiten (Klassenarbeiten) dienen der schriftlichen Überprüfung derLernergebnisse einer vorausgegangenen Unterrichtssequenz. Sie sind so anzule-gen, dass die Schülerinnen und Schüler Sachkenntnisse und Fähigkeiten nachwei-sen können. Sie bedürfen angemessener Vorbereitung und verlangen klar ver-ständliche Aufgabenstellungen.
Die Aufgabenstellungen sollen die Vielfalt der im Unterricht erworbenen Kompeten-zen und Arbeitsweisen widerspiegeln. So ist es empfehlenswert, einen Teil der Auf-gaben dem reproduktiven oder operativen Bereich zu entnehmen. Darüber hinaussollten Schülerinnen und Schüler zunehmend Aufgaben bearbeiten, bei denen esum Begründungen, Darstellung von Zusammenhängen, Interpretationen und kriti-sche Reflexionen geht. Hierbei sind besonders die in Kapitel 3 konkret formulierten
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prozessbezogenen Kompetenzen zu berücksichtigen. Es sind ebenfalls Aufgabeneinzubeziehen, bei denen nicht von vornherein eine eindeutige Lösung feststeht,sondern bei denen Schülerinnen und Schüler individuelle Lösungs- oderGestaltungsideen einbringen können. Beispiele hierzu finden sich in Kapitel 4.
Es ist auch erwünscht, Schülerinnen und Schüler bei der Auswahl der Aufgabenty-pen für eine Klassenarbeit angemessen zu beteiligen und so deren Fähigkeit zurEinschätzung der von ihnen erworbenen Kompetenzen zu stärken.
Der Bewertungsbereich „Sonstige Leistungen“ erfasst die Qualität und Kontinuitätder Beiträge, die die Schülerinnen und Schüler im Unterricht einbringen. DieseBeiträge sollen unterschiedliche mündliche und schriftliche Formen in enger Bin-dung an die Aufgabenstellung und das Anspruchsniveau der jeweiligen Unterrichts-einheit umfassen. Gemeinsam ist diesen Formen, dass sie in der Regel einen län-geren, abgegrenzten, zusammenhängenden Unterrichtsbeitrag einer einzelnenSchülerin, eines einzelnen Schülers bzw. einer Gruppe von Schülerinnen undSchülern darstellen.
Zu „Sonstigen Leistungen“ zählen beispielsweise
� Beiträge zum Unterrichtsgespräch in Form von Lösungsvorschlägen, das Aufzei-gen von Zusammenhängen und Widersprüchen, Plausibilitätsbetrachtungen oderdas Bewerten von Ergebnissen
� kooperative Leistungen im Rahmen von Gruppenarbeit (Anstrengungsbereit-schaft, Teamfähigkeit, Zuverlässigkeit)
� im Unterricht eingeforderte Leistungsnachweise, z. B. vorgetragene Hausaufga-ben oder Protokolle einer Einzel- oder Gruppenarbeitsphase, angemessene Füh-rung eines Heftes oder eines Lerntagebuchs
� kurze, schriftliche Überprüfungen.
Die Fachlehrerin bzw. der Fachlehrer kann neben diesen Bewertungsformen auchalternative Formen, wie Portfolios oder langfristig vorzubereitende größere schriftli-che Hausarbeiten über eine mathematikbezogene Fragestellung einsetzen. DieDurchführung und die Bewertungskriterien müssen den Schülerinnen und Schülernim Voraus transparent gemacht werden. Es ist zu empfehlen, ihnen die Anforderun-gen und Kriterien an Beispielen zu verdeutlichen.
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