บทที่ 2 การวิเคราะห เวกเตอร (vector ......บทท 2...
Post on 28-Jun-2020
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis)เอกสารประกอบการสอนรายวชา
PHYS 3201: ฟสกสเชงคณตศาสตร(คบ.)/คณตศาสตรสาหรบฟสกส(วท.บ.)
จกรกฤษ แกวนคม
สาขาวชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลยมหาวทยาลยราชภฏเชยงใหม
October 14, 2014
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 1 / 53
อางอง1 E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, tenth edition, Wiley, (2011)2 D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, third edition, Prentice Hall, (1999)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 2 / 53
หวขอยอย1 พชคณตเวกเตอร
บทนาการดาเนนการของเวกเตอรผลคณของสามเวกเตอรเวกเตอรตาแหนง
2 แคลคลสเชงอนพนธแกรเดยนตไดเวอรเจนซเครลอนพนธอนดบสอง
3 แคลคลสเชงปรพนธ
4 ระบบพกดโคง
5 ฟงกชนดแรกเดลตา
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 3 / 53
1. พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)
2.1 บทนาสมมตวาเราตองการระบพกด (coordinate)ของจดๆหนงในปรภม (space)
4
3A
(4, 3)
x
y
P
เวกเตอรเปนวตถเชงเรขาคณต มกใชสญลกษณเปนตวหนา เชน A หรอมลกศรดานบน เชนA จากรป เราสามารถเขยนแผนภาพเพอระบจดP ดวยรปลกศร ดงนนเวกเตอรจงถกเขยนในรป A = (4, 3)
ขนาดของเวกเตอรสามารถหาไดจากทฤษฎบทปธากอรสคอ
|A|2 = 42 + 32 = 25
หรอ |A| =√
25 = 5 เวกเตอรใดๆใน 2มต จงเขยนไดในรป
A = (Ax, Ay) (1)
Ax และ Ay จะเรยกวา องคประกอบ(component) ของเวกเตอร A ในแนวแกน xและ y ตามลาดบ และขนาดของมนกาลงสองจงหาไดจาก
|A|2 = A2x + A2
y (2)
โดยในกรณนคอ Ax = 4 และ Ay = 3
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 4 / 53
ถาหากเราม 2 จดในปรภม ซงเขยนแผนผงไดดงรป
(3, 1)
3
1
(5, 5)
5
5
B
AC
P
Q
x
y
2
4
จะไดB = (3, 1),
C = (5, 5),
A = C − B = (5, 5) − (3, 1)= (2, 4)
นนคอ เราสามารถทจะใชจดตรงปลายลกศรลบดวยจดตรงหางลกศรเพอหาองคประกอบของเวกเตอรไดเลย
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 5 / 53
x
y
z
A
Axy
AxAy
Az
เวกเตอรใน 3 มตจะมองคประกอบ 3 องคประกอบคอ
A = (Ax, Ay, Az) (3)
x
y
z
B C
A Q
P
Axy
Ax
Ay
Az
จากรปดานบน ถา B = (Bx, By, Bz),C = (Cx, Cy, Cz) เราจะไดวา
A = C − B หรอ
A = (Cx − Bx, Cy − By, Cz − Bz)จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 6 / 53
ตวอยาง 2.1จงหาองคประกอบของเวกเตอรทชจากจด (2, 4, 3) ไปยงจด (−2, 5, 3) และเวกเตอรนอยในระนาบใด จงวาดรปประกอบการอธบาย
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 7 / 53
ขนาดของเวกเตอร
จากรป ขนาดของเวกเตอร A จะแทนดวยสญลกษณ |A| ซงเปนปรมาณสเกลาร ในบางครงอาจจะแทนดวยสญลกษณ A ขนาดของเวกเตอรใดๆสามารถหาไดจากทฤษฎบทปธากอรสกลาวคอ
|A|2 = A2xy + A2
z (4)
เนองจาก A2xy = A2
x + A2y ดงนน
|A|2 = A2x + A2
y + A2z (5) x
y
z
A
Axy
AxAy
Az
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 8 / 53
ตวอยาง 2.2จด P อยทตาแหนง (3, −4, 1) และจด Q อยทตาแหนง (−1, 2 − 1) จดทงสองอยหางกนกหนวย
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 9 / 53
การเทากนของเวกเตอรถา A = (Ax, Ay, Az) และ B = (Bx, By, Bz) เปนเวกเตอรทเทากนแลว องคประกอบในแตละแกนของเวกเตอรทงสองตองเทากนดวยนนคอ Ax = Bx, Ay = By และAz = Bz นนคอเวกเตอร A และ B จะตองมขนาดเทากนและชไปในทศทางเดยวกน เราสามารถทจะเลอนเวกเตอรตวหนงไปยงทใดกไดเทาทเราตองการ เวกเตอรตวนนจะยงคงรกษาขนาดและทศทางไวเหมอนเดม เครองหมายลบ (−) ทอยดานหนาของเวกเตอรเชน −A จะแสดงถงเวกเตอรทชในทศทางตรงกนขามกบเวกเตอร A แตขนาดของเวกเตอรทงสองจะมคาเทากน ดงรป 2
B
A
A = B
Figure 1:
A
−A
Figure 2:
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 10 / 53
2.2 การดาเนนการของเวกเตอร (vector operations)การดาเนนการของเวกเตอรมดงน
(i) การรวมเวกเตอร (addition of vectors)(ii) การคณเวกเตอรดวยสเกลาร (multiplication by a scalar)(iii) ผลคณเชงสเกลารหรอผลคณแบบดอท (scalar product or dot product)(iv) ผลคณเชงเวกเตอรหรอผลคณแบบครอส (vector product or cross product)
(i) การรวมเวกเตอร
ในเชงพชคณตนน ผลรวมของเวกเตอร A และ B หาไดดงนคอ
A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz) (6)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 11 / 53
คณสมบตของการรวมกนของเวกเตอร
A + B = B + A ⇒ การสลบท (commutative)
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ การเปลยนกลม (associative)
A + 0 = 0 + A = A
A + (−A) = 0
(ii) การคณเวกเตอรดวยสเกลาร
การคณเวกเตอร A = (Ax, Ay, Az) ดวยสเกลาร c โดยท c เปนจานวนจรงบวก จะเปนผลใหเวกเตอรตวนนมขนาดเปลยนแปลง แตยงคงรกษาทศของเวกเตอรไวเหมอนเดม
cA = c (Ax, Ay, Az) = (c Ax, c Ay, c Az) (7)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 12 / 53
คณสมบตของการคณเวกเตอรดวยสเกลาร
c(A + B) = cA + cB,
(c + k)A = cA + kA,
c(kA) = (ck)A,
1A = A
เวกเตอรหนวย (unit vectors)
อกรปหนงของเวกเตอรทนยมเขยนอยางกวางขวาง นนคอ เขยนในรปเวกเตอรหนวย i, j, k ดงจะกลาวตอไปน กาหนดให A = (Ax, Ay, Az) จะได
A = Ax(1, 0, 0) + Ay(0, 1, 0) + Az(0, 0, 1)
หรอ
A = Axi + Ay j + Azk (8)
โดยทi = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) (9)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 13 / 53
x
y
z
i jk
x
y
z
P
A
Axi
Ay j
Azk
กาหนดเวกเตอร A เปนเวกเตอรใดๆ เราสามารถทจะเขยนเวกเตอรนในรปของเวกเตอรหนวย,eA กลาวคอ
A = |A|eA ⇒ eA = A|A|
(10)
โดยท |A| กคอขนาดของ A และ eA เปนเวกเตอรหนวยทชในทศเดยวกบเวกเตอร A
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 14 / 53
ตวอยาง 2.3จงหาเวกเตอรหนวยทชในทศเดยวกบเวกเตอร A = 2i + j − 2k
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 15 / 53
(iii) ผลคณเชงสเกลารหรอผลคณแบบดอท(scalar product หรอ dot-product หรอ inner product)
ในรปขององคประกอบเวกเตอร ถา A = (Ax, Ay, Az) และ B = (Bx, By, Bz) ผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร, A · B (อานวา ”เอ-ดอท-บ”) ดงกลาว นยามดงนคอ
A · B ≡ AxBx + AyBy + AzBz (11)
ในเชงเรขาคณต ถาเราทราบมมระหวางเวกเตอรA และ B เชน ถาเวกเตอรทงสองทามมกน θผลดอทของเวกเตอรทงสองเขยนไดอกรปแบบคอ
A · B = |A||B| cos θ (12)
โดยทมม 0 ≥ θ ≥ π
Bθ
A
Figure 3: การดอทเวกเตอร
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 16 / 53
จากสมการ (12) เวกเตอร A และ B จะเปนเวกเตอรทตงฉาก (orthogonal) ซงกนและกน(θ = π/2) (โดยท A, B = 0) กตอเมอผลคณเชงสเกลารของเวกเตอรทงสองจะเทากบศนย
ถา A · B = 0 ตความไดวา ⇒ A และ B ตงฉากกน
จากนยามการดอทเวกเตอร ขนาดของเวกเตอรกาลงสองใดๆสามารถหาไดจากผลดอทเวกเตอร
|A|2 = A · A = A2x + A2
y + A2z (13)
ตวอยาง 2.4จงหา dot product ของเวกเตอร A = (3, 2, −1) และเวกเตอร B = (1, −1, 0)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 17 / 53
ตวอยาง 2.5จงหามมระหวางเวกเตอรสองตว, A และ B ทชจากจดกาเนดไปยงจด (1, 0, 1) และ (0, 1, 1)ตามลาดบ
xy
z
A B
(1,0,1) (0,1,1)
θ
Figure 4: รปสาหรบตวอยาง
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 18 / 53
คณสมบตของผลคณเชงสเกลาร
A · B = B · A ⇒ สมมาตร (symmetry)
A · (B + C) = A · B + A · C ⇒ การแจกแจง (distributive)
A · A = A2 ≥ 0
โดยท A · A = 0 กตอเมอ A = 0
จากการนยาม (11) พบวาi · i = j · j = k · k = 1
และเนองจาก i, j และ k เปนเวกเตอรหนวยตงฉาก (orthonormal) กนทงสามตว ดงนน
i · j = j · k = k · i = 0
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 19 / 53
กฎของโคไซน (cosine law)ถา C เปนเวกเตอรทเกดจาก A − B ดงรป ให C ≡ |C|, A ≡ |A| และ B ≡ |B| จะได
C2 = C · C = (A − B) · (A − B)
= A · A + B · B − 2(A · B)
เนองจาก A · A = A2, B · B = B2 และA · B = AB cos θ
B
A C = A − Bθ
จะได
C2 = A2 + B2 − AB cos θ (14)
ซงเรยกวากฎของโคไซน (cosine law)Note! สงเกตวากรณทมม θ = 90◦ กฎของโคไซนลดรปเปนกฎของสามเหลยมปธากอรส
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 20 / 53
การประยกตใชผลคณเชงสเกลาร
งาน (work) ทเกดจากแรงทกระทากบวตถ เราสามารถเขยนในรปผลคณเชงสเกลารคอ
W = F · s = Fs cos θ (15)
เมอ W คองานทเกดจากแรงคงตว F กระทากบวตถใหเกดการเคลอนทเปนระยะกระจด s
F
s
θ
ตวอยาง 2.6จงหางานทเกดจากแรงคงตวขนาด 10 นวตน ลากมวล m ไปกบพน(ดงรปดานบน)จากจดกาเนดไปยงจด (2, 4, 0) โดยแรงนมมมกระทากบพน 30 องศา
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 21 / 53
Orthonormal basisพจารณาเวกเตอรหนวย {i, j, k} ซงเปนเวกเตอรทตงฉากกนทงสามตว โดยเราจะเรยกทงสามนวา orthonormal basisa ถาเรามเวกเตอรใดๆทอยในรป
v = v1i + v2j + v3k
เราจะไดวา v1 = i · v, v2 = j · v และ v3 = k · v สาหรบ orthonormal basis i, j และ kในพกดคารทเซยน จะเรยกวา standard basis
aโดยทวไปแลว orthonormal basis อาจเปนเวกเตอรหนวยอนๆทตงฉากกนทงหมด นอกเหนอจาก i, jและ k กได
ตวอยาง 2.7: เสนตรงทตงฉากกนบนระนาบจงหาสมการเสนตรง L1 ทผานจด (1, 3) บนระนาบ xy และเสนตรงนตงฉากกบเสนตรง L2ซงมสมการเสนตรงเปน x − 2y + 2 = 0
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 22 / 53
ตวอยาง 2.7 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 23 / 53
ตวอยาง 2.8จงหาเวกเตอรหนวยทตงฉากกบระนาบ 4x + 2y + 4z = −7
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 24 / 53
แบบฝกหด 2.1
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 25 / 53
(iv) ผลคณเชงเวกเตอรหรอผลคณแบบครอส
ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอรสองตวนยามดงน
A × B ≡ |A||B| sin θ n (16)
โดยขนาดของเวกเตอร |A × B|= |A||B| sin θ เมอ θ คอมมระหวางเวกเตอร A และ Bและ 0 ≤ θ ≤ π เวกเตอรหนวย n เปนเวกเตอรหนวยทชตงฉากกบระนาบของเวกเตอร Aและ B ทศของ n ถกนยามใหคลอยตามกฎมอขวา ดงรป
|A||B| sin θ n
n
A
Bθ
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 26 / 53
พนทสเหลยมดานขนานถา A และ B เปนเวกเตอรทประกอบเปนดานของสแหลยมดานขนานดงรป แลว ขนาดของA × B จะเทากบพนทของสเหลยมดานขนานนน
A
B
θB sin θ
พนทสเหลยมดานขนาน = ฐาน × สง = (A)(B sin θ) = |A × B|.
ตวอยาง 2.9จงหาพนทสเหลยมดานขนานทมดานสองดานเปนเวกเตอร A = (1, 0, 1) และB = (0, 1, 1)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 27 / 53
ตวอยาง 2.9 (ตอ)
ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอรหนวยแสดงไดดงน
i × i = j × j = k × k = 0i × j = −j × i = k
j × k = −k × j = ik × i = −i × k = j
ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอรหนวยนใชไดเฉพาะกบระบบพกดแบบมอขวา (right- handedsystem)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 28 / 53
ดงนน ผลคณเชงเวกเตอรในรปขององคประกอบเขยนไดดงนคอ
(17)A × B = (Axi + Ay j + Azk) × (Bxi + By j + Bzk)= (AyBz − AzBy )i + (AzBx − AxBz )j + (AxBy − AyBx)k
เราามารถหาคาผลคณเชงเวกเตอรสามารถคานวณไดจากดเทอรมแนนท (determinant) ของเมทรกดงน
A × B =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(18)
หรอ
A × B =
∣∣∣∣∣∣∣Ay Az
By Bz
∣∣∣∣∣∣∣ i −
∣∣∣∣∣∣∣Ax Az
Bx Bz
∣∣∣∣∣∣∣ j +
∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay
Bx By
∣∣∣∣∣∣∣ k (19)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 29 / 53
ตวอยาง 2.10จงหาเวกเตอรหนวย n ทตงฉากกบระนาบ ดงแสดงในรป
วธทา
x
y
z
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
n
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 30 / 53
ตวอยาง 2.10 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 31 / 53
2.3 ผลคณของสามเวกเตอร (Triple products)การคณกนของเวกเตอรสามตว แบงไดเปนสองชนด คอ ผลลพธเปนสเกลาร และผลลพธเปนเวกเตอร เราแยกพจารณาไดดงน
(i) ผลลพธเปนสเกลาร ผลการคณเวกเตอรจะอยในรป A · (B × C) โดยท
A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) (20)
ในรปขององคประกอบเวกเตอรสามารถหาไดจากทเทอรมแนนทของเมทรกดงน
A · (B × C) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(21)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 32 / 53
ความหมายเชงเรขาคณตคอ ขนาดของผลคณเชงสเกลารของการคณทบสามครงมคาเทากบปรมาตรทรงสเหลยมดานขนาน (parallelepiped) ทมขอบยาวเทากบขนาดของเวกเตอรทง 3 ดงรป
BC sin θn A
B
Cϕ
θ
A cos ϕ
เนองจาก |B × C| = BC sin θ ดงนนปรมาตร = (BC sin θ)︸ ︷︷ ︸
พนทฐาน
(A cos ϕ)︸ ︷︷ ︸สง
= A|B × C| cos ϕ = A · |B × C|
(ii) ผลลพธเปนเวกเตอร ผลคณนเปนปรมาณเวกเตอร อยในรป A × (B × C) โดยท
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B) (22)
เราอาจใชวธการจาสมการนงายๆวา กฎ BAC-CABจกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 33 / 53
แบบฝกหด 2.2
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 34 / 53
2.4 เวกเตอรตาแหนงและเวกเตอรระยะกระจดนอยยงเวกเตอรทชไปยงจดใดๆในปรภมเรยกวาเวกเตอรตาแหนง (position vector) มกใชสญลกษณ rซงนยามดงน
r = (x, y, z) = xi + yj + zk (23)
ขนาดของเวกเตอร r จงอยในรป
r =√
x2 + y2 + z2 (24)
ดงนน เวกเตอรหนวย r ทชทศเดยวกบเวกเตอร r สามารถหาไดจาก
r = rr
= xi + yj + zk√x2 + y2 + z2 (25)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 35 / 53
xy
z
r
ds
Figure 5: เวกเตอรระบตาแหนง
xy
z
r r + dr
dr
Figure 6: ระยะกระจดนอยยง
เวกเตอรระยะกระจดนอยยง (infinitesimal displacement vector) ทชจากจด (x, y, z) ไปยงจด(x + dx , y + dy , z + dz) คอ
dr = (dx , dy , dz) = dx i + dy j + dz k (26)
และds2 = dr · dr = dx2 + dy2 + dz2 (27)
เราเรยก ds เรยกวา line elementจกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 36 / 53
2. แคลคลสเชงอนพนธ
2.1 แกรเดยนต (Gradient)ถาให f(x) เปนฟงกชนสเกลารฟงกชนหนง อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x) เมอ xเปลยนไปเปนระยะนอยๆ x + dx จะอยในรป
df =(df
dx
)dx (28)
โดย df/dx จะบอกถงความชน (slope) ของกราฟระหวาง f(x) และ x
ในกรณท f ฟงกชนในปรภม x, y, z1 เชน f = f(x, y, z) อตราการเปลยนแปลงของฟงกชน f(x, y, z) จะอยในรป
df (x, y, z) = ∂f
∂xdx + ∂f
∂ydy + ∂f
∂zdz (29)
1เราอาจเรยก f(x, y, z) วาฟงกชนสเกลาร (scalar function) หรอ สนามสเกลาร (scalar field)จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 37 / 53
สมการ (29) สามารถถกเขยนไดอกรปคอ
df =(
∂f
∂xi + ∂f
∂yj + ∂f
∂zk
)·
(dxi + dyj + dzk
)= ∇f · dr
เมอ
∇f = ∂f
∂xi + ∂f
∂yj + ∂f
∂zk (30)
สญลกษณ ∇f เรยกวาแกรเดยนต (gradient) ของฟงกชน f หรอเราอาจเรยกสนๆวา”แกรด-เอฟ”
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 38 / 53
ตวดาเนนการ ∇ เปนตวดาเนนการเชงเวกเตอร เรยกวา ตวดาเนนการเดล (Del operator) ในพกดคารทเซยนจะอยในรป
∇ = ∂
∂xi + ∂
∂yj + ∂
∂zk (31)
สนามสเกลารในทางฟสกสเชน อณหภม, พลงงานศกยโนมถวง, ความดน เปนตน
Figure 7: ความตางของอณหภมในปรภม
V (x, y, z) = −k√
x2 + y2 + z2
Figure 8: พลงงานศกยโนมถวงในปรภม
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 39 / 53
ตวอยาง 2.11จงหาแกรเดยนตของสนามสเกลาร T (x, y, z) = x2y + z3
ตวอยาง 2.12จงหาแกรเดยนตของขนาดของเวกเตอรระบตาแหนง r =
√x2 + y2 + z2
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 40 / 53
แบบฝกหด 2.3จงหาแกรเดยนตของฟงกชนตอไปน
1 h(x, y, z) = xy2 ln z
2 g(x, y, z) = xyz + xey + y cos z
กาหนดใหเวกเตอร r = r − r′ และ r = |r − r′| โดยท r = (x, y, z) และr′ = (x′, y′, z′) จงพสจนวา
3 ∇(r2)
= 2 r4 ∇(1/r) = −r/r
แบบฝกหด 2.4
จงพสจนวาแรงโนมถวง F(r) = −GMm
r2 r ระหวางมวล M และมวลทดสอบ m มคาเทากบคาลบแกรเดยนตของพลงงานศกยโนมถวงของมวล M กลาวคอ
F = −∇V
เมอ V (r) = −GMm/r คอพลงงานศกยโนมถวงจกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 41 / 53
สาหรบระยะกระจด dr ใดๆ อตราการเปลยนแปลง df เขยนไดอกรปคอ
df = ∇f · dr = |∇f ||dr |cos θ (32)
เมอ θ คอมมระหวางเวกเตอร ∇f และ dr สมการ (32) จรงๆแลวกคอรปแบบสามมตของสมการ (28) |∇f | จงแสดงถงอตราการเปลยนแปลงของ f ซงจะมคามากสดเมอ θ = 0
แกรเดยนของพนผวใดๆจะแสดงถงเวกเตอรตงฉากกบพนผวนนในทางเรขาคณต ถาเรามฟงกชนพนผว ซงอยในรป
f(x, y, z) = c
เมอ c เปนคาคงตวคาหนง จะเปนผลให df = ∇f · dr = 0 ดงนน ∇f จะตงฉากกบ drใดๆทอยบนพนผวน
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 42 / 53
x
y
z
พนผวf(x, y, z) = c
∇f
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 43 / 53
dr
x
y
0.15
0.4
0.8
0.8
1.1
1.1
1.1
1.4
1.4
1.7
1.7
2.3
2.6
2
3
∇f
f(x, y) = c
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 44 / 53
ตวอยาง 2.13จงหาเวกเตอรหนวย n ทตงฉากกบผวกรวยทมสมการเปน z2 = 4(x2 + y2) ทจด (1, 0, 2)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 45 / 53
ตวอยาง 2.14เทอกเขาหนงมความสง h(x, y) เปนฟงกชนดงนคอ (ในหนวยเมตร)
h(x, y) = 10(2xy − 3x2 − 4y2 − 18x + 28y + 12)
1. จดสงสดของภเขาอยตรงจดใด?2. จดทสงสดอยสงกเมตร?
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 46 / 53
ตวอยาง 2.15ศกยไฟฟาของประจขวค (electric dipole) q และ −q อยในรปของฟงกชน
V (x, y, z) = q
4πϵ0
[1√
x2 + (y − 1)2 + z2 − 1√x2 + (y + 1)2 + z2
]
จงหาสนามไฟฟารวมของประจทงสองน
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 47 / 53
ตวอยาง 2.15 (ตอ)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 48 / 53
แบบฝกหด 2.5
แบบฝกหด 2.6จงหาเวกเตอรหนวยทตงฉากกบพนผวของทรงกระบอก x2 + y2 = 5 ณ จด (
√3, 1, 3)
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 49 / 53
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 50 / 53
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 51 / 53
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 52 / 53
จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 2 การวเคราะหเวกเตอร (Vector Analysis) October 14, 2014 53 / 53
top related