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Rolf Kindmann
Henning Uphoff
FE-RAHMEN
SYSTEMBERECHNUNGEN FÜR EBENE STAB-WERKE BEI EINACHSIGER BIEGUNG UND NORMALKRAFT
Entwurf vom 05.06.2014
Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann
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Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D-44801 Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/32-22575 Fax-Nr.: +49 (0)234/32-14646 E-Mail: stahlbau@ruhr-uni-bochum.de http://www.rub.de/stahlbau
2014 Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum
Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.
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Inhaltsverzeichnis
1 Leistungsumfang 1
2 Grundlagen 2
2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 3
2.2 Berücksichtigung von Gelenken 8
2.3 Transformationsbeziehungen 8
3 Eingabe 11
3.1 Vorbemerkung 11
3.2 Berechnungsoptionen 11
3.3 Eingabe des baustatischen Systems 12
3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten 15
3.5 Vorverformungen 16
3.6 Querschnittswerte 17
3.7 Start der Berechnung 19
4 Ausgabe 20
5 Berechnungsbeispiele 22
5.1 Vorbemerkung 22
5.2 Zweigelenkrahmen 22
5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 33
Literatur 44
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1 Leistungsumfang
Das RUBSTAHL-Programm FE-Rahmen ist ein leistungsfähiges FE-Programm zur
Berechnung ebener Stäbe und Stabtragwerke. Erfasst wird die einachsige Biegung
mit Normalkraft. Neben Stäben mit konstantem Querschnitt können Stäbe mit
veränderlichen (gevouteten) Querschnitten berücksichtigt werden. Die wesentlichen
Anwendungsgebiete des Programms lassen sich wie folgt zusammenfassen:
Berechnung von Verformungen und Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie I. oder II. Ordnung
Ermittlung von positiven und negativen Eigenwerten bzw. Verzweigungslasten und den dazugehörigen Eigenformen bzw. Knickbiegelinien für das
Stabilitätsproblem Biegeknicken in der Ebene
Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit für Stäbe mit Standardquerschnitten
Berücksichtigung von Vorverformungen bzw. geometrischen Ersatzimperfektionen als Schiefstellung und als Vorkrümmung
Berücksichtigung aussteifender Konstruktionen durch Federsteifigkeiten
Berücksichtigung beliebiger Querschnittsformen
Berechnung von Auflager- und Federkräften
Das Programm bietet somit die Möglichkeit ebene Rahmensysteme zu untersuchen,
die im Stahlbau häufig zur Anwendung kommen. Neben der Ermittlung der
Schnittgrößenverläufe von bspw. statisch unbestimmten Systemen kann das
Programm verwendet werden um die Tragfähigkeit des Rahmens in der Ebene
nachzuweisen. Durch die Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen
und die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung kann mit dem
geführten Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit auch der Stabilitäts-
nachweis für das ebene Tragwerk geführt werden. Die Anwendung des Ersatz-
imperfektionsverfahrens für den Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit ebener
Rahmen stellt den Stand der Technik in Deutschland dar. Eine weiterführende
Untersuchung der räumlichen Tragwirkung der Bauteile kann dann im Anschluss z.B.
mit dem RUBSTAHL-Programm FE-STAB erfolgen.
Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch „Finite-Elemente-Methoden
im Stahlbau“ [3] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette
und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen
Hintergründe.
FE-Rahmen ist in Visual Basic programmiert. Als Programmoberfläche dient
Microsoft Excel. Das vorliegende Programmpaket 2014 der RUBSTAHL-Programme
beinhaltet eine Version von FE-Rahmen für MS-Excel 2003 und ältere
Programmversionen sowie eine Version von FE-Rahmen für MS-Excel 2007 und
jüngere Programmversionen.
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2 Grundlagen 2
2 Grundlagen
Die Tragwerksberechnung im Programm FE-Rahmen erfolgt mit der Methode der
finiten Elemente. Die betrachteten Stäbe werden in Stabelemente mit jeweils einem
Knoten pro Elementende aufgeteilt. Zur Erfassung der einachsigen Biegung mit
Normalkraft ist die Berücksichtigung von drei Verformungsgrößen pro Knoten
notwendig:
Verschiebungen u und w
Verdrehung w′
Die so abgebildete ebene Stabtheorie folgt einer klar definierten Normierung sowohl
auf Querschnitts- als auch auf Stabebene, die zur korrekten Anwendung des
Programms zu berücksichtigen ist.
Im Wesentlichen basiert das Programm FE-Rahmen auf dem RUBSTAHL-Programm
FE-STAB, welches die vollständige Stabtheorie erfasst. Auf eine vollständige Dar-
stellung der theoretischen Grundlagen wird daher an dieser Stelle verzichtet und es
wird ausschließlich auf die Aspekte eingegangen, die nur für das Programm FE-
Rahmen relevant sind. Weiterführende Informationen zu den Themengebieten
Werkstoffgesetz
Prinzip der virtuellen Arbeit
Steifigkeitsbeziehungen, Lastvektoren und Gleichgewichtsbedingungen der FE-Methode
Ermittlung der Verformungs- und Schnittgrößen, dabei insbesondere die Differenzierung zwischen Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen
Ermittlung der Eigenwerte und Eigenformen
Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [2]
sind dem Kapitel zum Programm FE-STAB [6] zu entnehmen. Die dort gezeigten
Zusammenhänge reduzieren sich entsprechend, da statt der sieben Verformungs-
größen der vollständigen Stabtheorie nur die drei Verschiebungsgrößen u, w und w′
der ebenen Stabtheorie zu berücksichtigt werden.
Der größte Unterschied zwischen FE-Rahmen und FE-STAB besteht darin, dass nicht
nur gerade Stäbe sondern ebene Stabtragwerke berechnet werden können. Es müssen
daher Transformationsbeziehungen formuliert werden, die den Zusammenhang
zwischen den lokalen Systemen der Stabelemente und dem globalen System des
Stabwerkes darstellen. Die Transformationsbeziehungen sind notwendig damit aus
lokalen Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren die Gesamtsteifigkeitsmatrix
und der globale Lastvektor assembliert werden kann. Nach dem Lösen der globalen
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2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 3
Gleichungssysteme erfolgt die Rücktransformation auf das lokale Stabelement zur
Ermittlung der Stabendschnittgrößen.
Da in FE-Rahmen nicht nur einzelne Stäbe sondern Stabwerke untersucht werden
können, ist die Berücksichtigung von Stabgelenken notwendig.
2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition
In FE-Rahmen wird die ebene Stabtheorie berücksichtigt, das heißt es können gerade
Stäbe und Stabwerke berechnet werden, die durch einachsige Biegung mit Normal-
kraft beansprucht werden. Bild 2.1 zeigt einen geraden Stab im lokalen Hauptachsen-
system. Die lokale Stabachse durch den Schwerpunkt ist dabei die x-Achse, die
lokalen Hauptachsen des Querschnitts definieren die y- und z-Achse.
Bild 2.1 Gerader Stab mit Verschiebungs- und Schnittgrößen im lokalen Hauptachsensystem
Zusätzlich zeigt Bild 2.1 die positiven Wirkungsrichtungen und Angriffspunkte der
lokalen Verschiebungsgrößen uS, vM und wM und der betrachteten Schnittgrößen N,
Vz und My. Sie werden auf den Schwerpunkt S bzw. den Schubmittelpunkt M
bezogen (y = yM, z = zM).
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2 Grundlagen 4
Da in FE-Rahmen ebene Stabwerke betrachtet werden wird in der Ebene zwischen
dem lokalem x-z-Koordinatensystem und dem globalen X-Z-Koordinatensystem
unterschieden. Bild 2.2 zeigt den Zusammenhang zwischen globalem und lokalem
Koordinatensystem. In Bild 2.3 ist die Definition der globalen und lokalen
Verschiebungsgrößen dargestellt. Es gilt weiterhin folgende Definitionen und
Bezeichnungen zu beachten:
Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte
X globale Systemkoordinate horizontal
Z globale Systemkoordinate vertikale
x lokale Stablängsrichtung
y, z lokale Hauptachsen in der Querschnittsebene
S Schwerpunkt
M Schubmittelpunkt (y = yM, z = zM)
Stabdrehwinkel
Bild 2.2 Lokales und globales Koordinatensystem am Stabelement
Verschiebungsgrößen
Su globale Verschiebung in X-Richtung
Mw globale Verschiebung in Z-Richtung
w Verdrehung um die Y-Achse (senkrecht zur X-Z Achse)
uS lokale Verschiebung in x-Richtung
wM lokale Verschiebung in z-Richtung
Mw Verdrehung um die y-Achse
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2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 5
Bild 2.3 Definition des a) globalen und b) lokalen Koordinatensystems und der zugehörigen Verschiebungsgrößen
Die Transformationsbeziehung zwischen lokalen und globalen Koordinaten lautet wie
folgt:
x cos sin X
z sin cos Z
(2.1)
Schnittgrößen
N Längskraft, Normalkraft
Vz Querkraft
My Biegemoment
Index el: Grenzschnittgrößen nach der Elastizitätstheorie
Index pl: Grenzschnittgrößen nach der Plastizitätstheorie
Index d: Bemessungswert (design)
Index k: charakteristischer Wert
Spannungen
x Normalspannungen
xz Schubspannungen
v Vergleichsspannung
Einzellasten FX, FZ und MYL wirken gemäß Bild 2.4 im globalen Koordinatensystem
in Richtung der positiven Achsen. Streckenlasten können wahlweise im lokalen oder
globalen Koordinatensystem eingegeben werden, siehe Bild 2.5.
Eiwirkungen, Lastgrößen
qx, qz Lokale Streckenlasten
qX, qZ Globale Streckenlasten
FX, FZ Globale Einzellasten
MYL Lastbiegemoment
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2 Grundlagen 6
Bild 2.4 Positive Wirkungsrichtung und Angriffspunkte der Einzellasten
Bild 2.5 Positive Wirkungsrichtungen der Streckenlasten im a) globalen und b) lokalen Koordinatensystem
Bild 2.6 zeigt die Wirkungsrichtung der Lagerbedingungen. Sie wirken
definitionsgemäß im globalen Koordinatensystem, unabhängig von der Stabneigung.
Bild 2.6 Lagerbedingungen im globalen Koordinatensystem
Weitere Informationen zur Berechnung der Querschnittskennwerte können Kapitel 3
Kindmann/Frickel [2] entnommen werden.
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2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 7
Querschnittskennwerte
A Fläche
Iy Hauptträgheitsmoment
Wy Widerstandsmoment
Sy Statisches Moment
Teilsicherheitsbeiwerte
M Beiwert für die Beanspruchbarkeit (material)
F Beiwert für die Beanspruchung (force)
Zur Anwendung der FE-Methode werden Vektoren und Matrizen formuliert.
Vektoren (Kleinbuchstaben) und Matrizen (Großbuchstaben) werden durch einen
Unterstrich gekennzeichnet. Der Index „e“ zeigt, dass es sich um Vektoren und
Matrizen für Stabelemente handelt. Vektoren und Matrizen im globalen Koordinaten-
system werden durch einen zusätzlichen „Überstrich“ kenntlich gemacht.
Matrizen und Vektoren s Schnittgrößenvektor
K Steifigkeitsmatrix
G geometrische Steifigkeitsmatrix
v Verformungsgrößenvektor
p Lastgrößenvektor
Die Berechnung der Verformungen und Schnittgrößen in FE-Rahmen erfolgt auf
Grundlage der Elastizitätstheorie. Es gilt das Hookesche Gesetz, d.h. es wird
linearelastisches Werkstoffverhalten angenommen. Beim Nachweis der plastischen
Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren wird linearelastisch-
idealplastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt. Näheres kann den Erläuterungen
zu FE-STAB [6] entnommen werden.
Werkstoffkennwerte
E Elastizitätsmodul
G Schubmodul
Querkontraktionszahl, Poissonsche Zahl
fy Streckgrenze
fu Zugfestigkeit
u Bruchdehnung
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2 Grundlagen 8
2.2 Berücksichtigung von Gelenken
Da in FE-Rahmen ganze Stabwerke berechnet werden können, ist es notwendig, dass
Gelenke für alle drei Lastgrößen N, Vz und My im System angeordnet werden
können. Die Gelenke werden über eine Reduktion der Elementsteifigkeitsmatrix in
der Berechnung mit der finite Elemente Methode berücksichtigt. Hierbei wird die
konjugierte Verformungsgröße aus der Matrix eliminiert und die jeweilige Zeile der
Gelenkschnittkraft als Bestimmungsgleichung für die zugehörige Verformungsgröße
verwendet. Der Ablauf entspricht der Kondensation nach Schwarz [7]. Auf eine
nähere Betrachtung der nummerischen Abläufe wird an dieser Stelle verzichtet.
2.3 Transformationsbeziehungen
In FE-Rahmen werden anders als in FE-STAB Stabwerke und nicht einzelne gerade
Stäbe berücksichtigt. Die Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren der einzelnen
Stäbe müssen daher zunächst vom lokalen Koordinatensystem der Stabelemente in
das globale Koordinatensystem der X-Z-Ebene transformiert werden, bevor die
Gesamtsteifigkeitsmatrix und der globale Lastvektor aufgestellt werden kann. Für die
Transformation muss der Stabdrehwinkel gemäß Bild 2.7 bekannt sein, der die
Drehung in die X-Z-Ebene beschreibt.
Bild 2.7 Lage der Stäbe im globalen Koordinatensystem
Die Beziehungen zwischen den lokalen und globalen Knotenverformungen sind in
Tabelle 2.1 aufgeführt.
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2.3 Transformationsbeziehungen 9
Tabelle 2.1 Transformationsbeziehung zwischen dem lokalen Verformungsvektor v und dem globalen v
Kv T v
u cos sin 0 u
w sin cos 0 w
w 0 0 1 w
mit v Vektor der globalen Knotenverformungen
v Vektor der lokalen Knotenverformungen
Die Transformationsmatrix ist orthogonal, d.h. es gilt
1 TK KT T (2.2)
Für die Schnittgrößen-Verformungsbeziehungen je Element gilt im lokalen x-z-
Koordinatensystem
e e es K v p (2.3)
Mit der Transformationsmatrix nach Tabelle 2.2 können die lokalen Schnittgrößen-
Verformungsbeziehungen in das globale System überführt werden. Dafür ist folgende
Transformation erforderlich:
T
e eK T K T
Te ep T p
(2.4)
mit:
ep , eK : Vektoren bzw. Matrix im globalen KOS
pe, Ke: Vektoren bzw. Matrix im lokalen KOS
Tabelle 2.2 Besetzung der Transformationsmatrix T
1 2 3 4 5 6
1 cos sin
0
2 -sin cos
3 1
4
0
cos sin
5 -sin cos
6 1
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2 Grundlagen 10
Entsprechendes gilt für die Anteile der Theorie II. Ordnung:
T
e eG T G T
Te 0,e e 0,ep p T p p (2.5)
mit:
eG : globale geometrische Elementsteifigkeitsmatrix
e 0,ep p : globale Vektoren der Lastgrößen infolge von Lasten am Stabelement und Vorverformungen
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3.1 Vorbemerkung 11
3 Eingabe
3.1 Vorbemerkung
Als Programmoberfläche dient MS-Excel. Im Tabellenblatt „Eingabe“ erfolgt die
Eingabe sämtlicher Berechnungsparameter. Bei Eingabe von Querschnittswerten
werden automatisch weitere Tabellenblätter geöffnet. Als Maßeinheit der Eingabe-
werte müssen kN und cm verwendet werden.
3.2 Berechnungsoptionen
Bild 3.1 zeigt einen Teil des Eingabeblattes von FE-Rahmen. In den ersten Zeilen
„Projekt“ und „Kommentar“ besteht die Möglichkeit die durchgeführte Berechnung
kurz zu beschreiben.
Bild 3.1 Eingabemaske FE-Rahmen: Berechnungsoptionen
Theorie
Die Tragwerksberechnung erfolgt wahlweise nach Theorie I. oder II. Ordnung.
Entsprechend sind in das Feld eine „1“ oder eine „2“ einzutragen. Wird eine Zahl
größer als 2 eingegeben, erfolgt die Berechnung mehrfach (n-1 mal). Bei einer
Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgt keine Ausgabe der Schnittgrößen und
Verformungen wenn der Eigenwert überschritten ist, d.h. cr < 1. Programmintern
erfolgt keine Begrenzung der Verformungen. Diese sind vom Benutzer zu
kontrollieren.
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3 Eingabe 12
Werkstoffkennwerte und Teilsicherheitsbeiwerte
Die Kennwerte Elastizitätsmodul E, Schubmodul G, Streckgrenze fy,k des
verwendeten Werkstoffes sowie der für die Nachweisführung maßgebende
Teilsicherheitsbeiwert für die Beanspruchbarkeit M werden vom Anwender
vorgegeben. Sie sind konstant für das gesamte Stabwerk. Der Bemessungswert der
Streckgrenze ergibt sich zu:
fy,d = fy,k / M (3.1)
Der Elastizitätsmodul E und der Schubmodul G sind für die Berechnung nach
Theorie II. Ordnung gemäß DIN EN 1993-1-1 [1] nicht durch den Teilsicherheits-
beiwert abzumindern.
Verzweigungslastfaktor cr und höhere positive und negative Eigenwerte
Die Ermittlung des Eigenwertes cr erfolgt ausschließlich bei einer
Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung. Ist die Option „cr berechnen“
gewählt, erfolgt die Berechnung automatisch nach Theorie II. Ordnung. Ebenfalls
erfolgt bei einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung stets die Überprüfung der
Bedingung cr > 1. Neben dem 1. Positiven Eigenwert des Systems, dem
Verzweigungslastfaktor cr, kann jeder weitere positive und negative Eigenwert des
Systems bestimmt werden, auch wenn dieser kleiner als 1 ist. Die maximale Anzahl
der Iterationsschritte sowie die Genauigkeit für die Bestimmung des Eigenwertes
können festgelegt werden. In den meisten Fällen sind ca. 25 Iterationsschritte bei
einer Genauigkeit von 10-4 ausreichend. Ist die Anzahl der gewählten Iterations-
schritte zu gering oder wird kein Eigenwert gefunden, erfolgt eine Fehlermeldung des
Programms. Für cr < 1 und negative Eigenwerte folgt keine Ausgabe der Schnitt-
größen und Verformungen.
Zusätzlich zum Eigenwert kann die zugehörige Eigenform, bzw. Knickbiegelinie,
ausgegeben werden. Dazu muss die Option „cr berechnen“ gewählt sein.
Eine Ausgabe der verwendeten Steifigkeitsmatrizen ist ebenfalls möglich. Die
Ausgabe sollte aber nur bei der Verwendung von maximal 30 Stabelementen
erfolgen.
3.3 Eingabe des baustatischen Systems
Die Eingabe des baustatischen Systems erfolgt in den in Bild 3.2 dargestellten
Tabellen. Zunächst sind Stabknoten und die globalen Lagerbedingungen zu
definieren. Zwischen den Stabknoten werden Stäbe mit konstanten oder ver-
änderlichen Querschnitten angeordnet. An Stabenden können Gelenke angeordnet
werden. Außerdem ist es möglich für einzelne Stäbe Streckenfedern zu definieren.
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3.3 Eingabe des baustatischen Systems 13
Bild 3.2 Eingabemaske FE-Rahmen: Systemeingabe
Knotenkoordinaten und globale Lagerbedingungen
Zunächst sind die Stabanfangs- bzw. endknoten des Stabwerks zu definieren. Es
können maximal 20 Knoten definiert werden. Die Anordnung der Knoten in der X-Z-
Ebene erfolgt durch Eingabe der globalen X-Ordinate (von links nach rechts positiv)
und der globalen Z-Ordinate (von oben nach unten positiv).
Jeder Knoten besitzt drei freie Verformungsgrößen im globalen Koordinatensystem:
die Verschiebung in Richtung der X- und Z-Achse sowie die Verdrehung um die Y-
Achse. Zur Berücksichtigung der globalen Lagerbedingungen können diese wahl-
weise als frei beweglich oder gesperrt definiert werden. Neben den Knoten-
verformungen können auch die Verformungen des gesamten Stabes gesperrt werden.
Außerdem ist es möglich Punktfedern korrespondierend zu den Verformungs-
richtungen bzw. der Verdrehung in den Knoten anzuordnen.
Die Eingabe der Lagerbedingungen bzw. der Punktfedern erfolgt durch die Eingabe
von Kennzahlen in der vierten bis sechsten Zeile der dafür vorgesehenen Tabelle. Die
zu verwendenden Kennzahlen sind in Tabelle 3.1 aufgeführt.
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3 Eingabe 14
Tabelle 3.1 Kennzahlen zur Festlegung der Lagerungsbedingungen
Kennzahl Lagerungsbedingung
-1 festes Lager
-2 in der 1. Spalte festes Lager in allen Knoten, Verformungsgröße im gesamten Stab behindert
0 bzw. leere Zelle kein Lager und keine Punktfeder, Verformungsgröße unbehindert
>0 Punktfeder, Federsteifigkeit entspricht dem angegebenen Zahlenwert
Stababschnitte und Gelenke
Mithilfe der definierten Knoten erfolgt die Eingabe der Stababschnitte. Dafür werden
die Knoten entweder als Stabanfangsknoten („Knoten a“) oder Stabendknoten
(„Knoten b“) des jeweiligen Stabes festgelegt. Die Einteilung des Stabes in finite
Elemente kann für jeden Stab einzeln gewählt werden. Eine Auswertung der
Schnittgrößen, Verformungen und Querschnittstragfähigkeit erfolgt nur in den Stab-
bzw. Elementknoten. Ebenfalls ist zu beachten, dass abschnittsweise Gleichstrecken-
lasten und Vorverformungen zwischen Stab- bzw. Elementknoten anzuordnen sind.
Weiterhin ist bei Stabilitätsberechnungen (Biegeknicken) und Berechnungen zur
Tragfähigkeit darauf zu achten, dass eine ausreichend große Anzahl von finiten
Elementen gewählt wird. Beispielsweise solle beim Biegeknicken die Elementanzahl
so festgelegt werden, dass die Stabkennzahl der Elemente ε = N EI 1l ist.
Den Stabknoten wird jeweils ein Querschnitt aus der Tabelle „Querschnittswerte“
zugeordnet, s. Kapitel 3.6. Handelt es sich um einen Stab mit konstantem Querschnitt
ist in Zelle „Q Anfang“ und „Q Ende“ dieselbe Querschnittsnummer einzutragen. Es
ist auch möglich Stäbe mit abschnittsweise veränderlichen Querschnitten (Vouten) zu
berücksichtigen, solange es sich um Typ2- oder Typ3-Querschnitte handelt. Die
jeweilige Querschnittsnummer ist dann dem Stabanfang bzw. -ende zuzuordnen.
Programmintern erfolgt die Berechnung der Querschnittswerte je Element auf Basis
des Blechmittellinienmodells. Dies kann dazu führen, dass sich im Vergleich zum
Walzprofil leicht geänderte Querschnittswerte ergeben.
An den Stabknoten können durch die Eingabe der Kennzahl „-8“ Gelenke ent-
sprechend den freizusetzenden Verformungsgrößen u, w bzw. w′ angeordnet werden.
Wenn in die entsprechenden Zellen Zahlen > 0 eingetragen werden, werden diese als
Steifigkeiten von Gelenkfedern angesetzt. So können beispielsweise nachgiebige
Rahmeneckausbildungen im Programm berücksichtigt werden. Je Knoten dürfe bei i
Stäben maximal (i-1) Gelenke angeordnet werden. Die Berücksichtigung der Gelenke
im Programm erfolgt durch Kondensation, siehe Kapitel 2.2.
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3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten 15
Streckenfedern
Kontinuierlich wirkende Aussteifungen können in Form von Streckenwegfedern cw
berücksichtigt werden. Die Streckenwegfeder cw wirkt im Schubmittelpunkt M in
Richtung der Verschiebungsgröße w im lokalen Koordinatensystem, also quer zur
Stabachse. Die Steifigkeiten der Streckenfeder sind als Bemessungswerte einzugeben.
Durch die Verwendung von Streckenfedern können beispielsweise elastische
gebettete Stäbe modelliert werden.
3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten
Einzellasten Fx, Fz und Einzellastmomente MyL können in jedem Stabendknoten
angeordnet werden. Hierfür sind die Nummern der vorher definierten Knoten zu
verwenden. Die Lasten wirken definitionsgemäß im Schwerpunkt S bzw. im
Schubmittelpunkt M, so dass keine zusätzlichen Beanspruchungen infolge ex-
zentrischen Lastangriffs auftreten. Die Einzellasten wirken entsprechend dem
globalen X-Z-Koordinatensystem. Die Einzellastmomente werden als richtungstreue
Vektoren aufgefasst, so dass Verdrehungen keinen Einfluss auf die Einzelmomente
haben.
Bild 3.3 Eingabemaske FE-Rahmen: Knotenlasten und Gleichstreckenlasten
An den Stäben können abschnittsweise konstante Streckenlasten qx und qz wirken.
Die Streckenlasten können wahlweise im lokalen x-z- oder im globalen X-Z-
Koordinatensystem eingegeben werden. Entsprechend ist die Kennzahl „0“ für das
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3 Eingabe 16
globale und die Kennzahl „1“ für das lokale Koordinatensystem einzutragen. Last-
angriffspunkte sind definitionsgemäß der Schwerpunkt S für die Last qx und der
Schubmittelpunkt für die Last qz, so dass keine zusätzlichen Beanspruchungen durch
Lastexzentrizität entstehen.
Die Abschnitte der Gleichstreckenlasten sind zwischen Stab- bzw. Elementknoten an-
zuordnen, s. Kapitel 3.3. Außerdem dürfen sich Abschnitte von Gleichstreckenlasten
nicht überlappen, so dass pro Stababschnitt und pro Streckenlast nur eine Eingabe
zulässig ist. Wirkt eine Streckenlast über die gesamte Stablänge, kann vereinfacht „e“
in das Eingabefeld „bis x“ eingetragen werden.
3.5 Vorverformungen
Zur Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen werden bei bau-
praktischen Berechnungen nach Theorie II. Ordnung Vorverformungen angesetzt. In
FE-Rahmen können abschnittsweise
Geraden
Geraden + quadratische Parabeln
Geraden + Sinushalbwellen
für die Vorverformungsfunktion w0(x) eingegeben werden. Die Art der Vorver-
formung wird durch die Eingabe der entsprechenden Kennzahl definiert.
Bild 3.4 Eingabe von Vorverformungen
Die Vorverformung kann abschnittsweise pro Stab definiert werden. Die Indices
kennzeichnen den Anfang (A), das Ende (E) und die Mitte (M) der Stababschnitte.
Wie bei Streckenlasten müssen Anfang und Ende der Vorverformungen entweder auf
einem Element- oder Stabknoten liegen. Pro Stababschnitt ist nur die Eingabe einer
Vorverformung zulässig, d.h. geradlinige und gekrümmte Vorverformungen müssen
in einem Zug eingegeben werden, s. Bild 3.4. Außerdem dürfen sich Vorver-
formungen angrenzender Stababschnitte nicht überlappen. Wirkt eine Vorverformung
über die gesamte Stablänge kann dies durch die Eingabe von „e“ im Feld „bis x“
vorgegeben werden, s. Bild 3.5.
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3.6 Querschnittswerte 17
Bild 3.5 Eingabemaske FE-Rahmen: Vorverformungen
Die Wirkungsrichtung der Vorverformung entspricht der Verschiebungsgröße w im
lokalen x-z-Koordinatensystem auf Stabebene.
3.6 Querschnittswerte
FE-Rahmen beinhaltet 3 Möglichkeiten, Querschnitte zu wählen:
Typ1: beliebige Querschnittswerte
Typ2: Zwei- und Dreiblechquerschnitte
Typ3: Walzprofile
Nach Wahl des zu verwenden Querschnittstyps durch Klicke auf den entsprechenden
Button, öffnen sich weitere Tabellenblätter zur Eingabe der Querschnittswerte. Ein
separater Eintrag in die Tabelle „Querschnittswerte“ ist nicht notwendig, s. Bild 3.6.
Bei Typ1-Querschnitten handelt es sich um beliebige Querschnitte. Die für die
Berechnung notwendigen Querschnittswerte werden separat eingegeben und müssen
vorher berechnet werden. Bei den Querschnittswerten handelt es sich um die
Querschnittswerte im y-z-Hauptachsensystem. Bezugspunkte im Querschnitt sind der
Schwerpunkt S sowie der Schubmittelpunkt M. Die eingetragenen Querschnittswerte
müssen den Querschnittswerten des Hauptachsensystems entsprechen. Ein Nachweis
der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren (TSV)
nach Kindmann/Frickel [2] kann verfahrensbedingt nicht erfolgen, da nicht alle dafür
notwendigen Querschnittsparameter bekannt sind.
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3 Eingabe 18
Bild 3.6 Eingabemaske FE-Rahmen: Querschnittswerte
Die Wahl eines Typ2-Querschnittes ermöglicht die Eingabe eines Zwei- bzw.
Dreiblechquerschnittes. Die Querschnittswerte werden automatisch im Hauptachsen-
system berechnet. Zur Eingabe des Querschnitts werden die Abmessungen der Bleche
und Abstände zueinander auf Grundlage des Blechmittellinienmodells eingegeben.
Die Flansche sind horizontal und orthogonal zum senkrechten Steg angeordnet. Das
Bezugs-Koordinatensystem der Eingabe befindet sich in Stegmitte. Es ist darauf zu
achten, dass keine Diskontinuitäten zwischen den Einzelblechen entstehen. Es erfolgt
eine Untersuchung der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV.
Bei der Wahl von Typ3-Querschnitten können gewalzte oder gleichartig geschweißte
Querschnitte ausgewählt werden. Das Programm beinhaltet eine umfangreiche
Datenbank mit Querschnittswerten von Standardwalzprofilen. Im Programm sind
folgende Profilreihen vorhanden:
IPE, IPEo, IPEv, IPEa, HEAA, HEA, HEB, HEM, HL, HD, HP, UAP, UPE,
gleichschenklige und ungleichschenklige Winkel sowie kreisförmige,
quadratische und rechteckige Hohlprofile
Es besteht außerdem die Möglichkeit I-, U- und L-Profile sowie kreisförmige
Hohlprofile frei zu definieren, in dem die wichtigsten Querschnittsabmessungen
eingegeben werden. Setzt man die Ausrundungsradien dabei zu Null, können so auch
geschweißte Profile erfasst werden. Für Querschnitte vom Typ3 erfolgt eine
Untersuchung der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV.
Die Systemberechnung erfolgt in FE-Rahmen ausschließlich in der x-z-Ebene. Dabei
wird grundsätzlich das Hauptträgheitsmoment verwendet. Bei der Wahl der
Querschnitte ist darauf zu achten dass bei bestimmten Querschnittsformen, z.B. bei
L- oder U-Querschnitten, Zusatzbeanspruchungen infolge geneigter Hauptachsen
oder Exzentrizitäten auftreten können. Es erfolgt ausschließlich eine Berechnung der
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3.7 Start der Berechnung 19
Schnittgrößen N, My und Vz, so dass eine Bemessung nur für diese Schnittgrößen
erfolgen kann. Der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV
erfolgt ebenfalls ausschließlich für diese drei Schnittgrößen.
3.7 Start der Berechnung
Durch den Button „System berechnen“ wird die Berechnung gestartet. Das Programm
überprüft zunächst ob bei den Eingabewerten Unstimmigkeiten auftreten. Für
ausgewählte Eingabefehler erfolgt eine Fehlermeldung und ein Hinweis auf die
mögliche Fehlerquelle.
Das eingegebene baustatische System kann in einer Systemgrafik dargestellt werden.
Neben der Systemgeometrie werden die Lasten und ihre Wirkungsrichtung angezeigt.
Zusätzlich ist es möglich die getätigte Eingabe zu speichern. Mit dem Button
„Eingabe speichern“ wird das Eingabeblatt separat gespeichert (Datei-Endung *.est)
und kann später wieder geladen und verwendet werden. Es ist daher nicht notwendig
für jede Berechnung das Excel-Programm FE-Rahmen selbst zu speichern.
Die weiteren Buttons in der Eingabeoberfläche dienen zur Navigation im Programm.
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4 Ausgabe 20
4 Ausgabe
Nach erfolgter Berechnung werden die Ergebnisse in verschiedenen Tabellenblättern
ausgegeben.
Tabellenblatt Ausgabe
Im Tabellenblatt „Ausgabe“ werden die Eingabe sowie die wesentlichen Ergebnisse
der Berechnung dargestellt, so dass es möglich ist die durchgeführte Berechnung
eindeutig nachzuvollziehen. Im Aufbau ähnelt es stark dem Tabellenblatt „Eingabe“.
Es ist so formatiert, dass die Ausgabe der Ergebnisse ohne weitere Skalierung auf
drei Seiten des Formats DIN-A4 möglich ist.
Neben den Eingabewerten des Systems werden die ermittelten Auflagerkräfte
ausgegeben. Erfolgt eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgt die Ausgabe
des zu ermittelnden Eigenwertes cr. Bei der Verwendung von Typ2- bzw. Typ3-
Querschnitten werden die maximale Querschnittsausnutzung sowie der Verlauf der
Querschnittsausnutzung über die Stablängen gemäß TSV angezeigt.
Zusätzlich wird das baustatische System grafisch ausgegeben.
Tabellenblatt Schnittgrößen
Im Tabellenblatt „Schnittgrößen“ werden die in den Knoten ermittelten Schnittgrößen
in tabellarischer und grafischer ausgegeben. Es wird unterschieden zwischen
Nachweisschnittgrößen und Gleichgewichtsschnittgrößen, s. Kapitel 2.4.3 FE-STAB
[6]. Die Nachweisschnittgrößen dienen zur Ermittlung von Spannungen oder zur
Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit. Sie wirken entsprechend der verformten
Stabachse. Die Gleichgewichtsschnittgrößen beziehen sich auf die unverformte
Stabachse und resultieren direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen der finiten
Elemente Methode. Erfolgt die Berechnung nach Theorie I. Ordnung entsprechen die
Nachweisschnittgrößen den Gleichgewichtsschnittgrößen.
Bei Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1) werden keine Schnittgrößen
ausgegeben.
Tabellenblatt Verformungen
Im Tabellenblatt „Verformungen“ werden die berechneten Knotenverformungen und
im globalen Koordinatensystem tabellarisch ausgegeben. Zusätzlich erfolgt eine
grafische Darstellung der ebenen Verschiebungsfigur des Systems. Das Blatt enthält
auch die Verläufe der angesetzten Vorverformungen w0(x).
Bei Überschreitung des Eigenwertes (cr < 1) werden keine Verformungen
ausgegeben.
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3.7 Start der Berechnung 21
Tabellenblatt Eigen
Das Tabellenblatt „Eigen“ enthält Angaben über den errechneten Wert sowie die
iterative Ermittlung des Eigenwertes cr. Es werden das Intervall, in dem der
Eigenwert mit der gewählten Genauigkeit liegt, und der Verlauf der iterativen
Eigenwertermittlung angezeigt. Zusätzlich wird die zugehörige Eigenform w(x) in
grafischer Form ausgegeben.
Die Ermittlung und Ausgabe des Eigenwertes und der korrespondierenden Eigenform
erfolgt nur, wenn diese Option im Eingabeblatt ausgewählt wird.
Tabellenblatt Info
Im Tabellenblatt „Info“ kann bei Verwendung von Typ2- und Typ3-Querschnitten
die Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit in jedem Knoten abgelesen werden.
Die Ermittlung der Ausnutzung der Querschnitte erfolgt für die berechneten
Nachweisschnittgrößen mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel
[2]. Es handelt sich dabei um einen Nachweis der plastischen Querschnittstrag-
fähigkeit. Das TSV kann verfahrensbedingt nur auf Typ2- und Typ3-Querschnitte
angewendet werden. Zusätzlich werden die Knotenwerte der Vorverformungen und
der Eigenform tabellarisch ausgegeben. Außerdem können die Intervalle der
iterativen Eigenwertermittlung abgelesen werden.
Zusätzlich werden die benötigten Rechenzeiten ausgegeben.
Tabellenblatt Federkräfte
Dem Tabellenblatt „Federkräfte“ können die von den Streckenfedern cw auf-
genommenen Federkräfte entnommen werden.
Tabellenblatt Q-Typ1, Q-Typ2, Q-Typ3
In den Tabellenblättern „Q-Typ1“ bis „Q-Typ2“ sind umfangreiche Informationen zu
den Querschnittswerten des gewählten Querschnitts aufgeführt.
Tabellenblatt K-Matrix, G-Matrix
In den Tabellenblättern „K-Matrix“ und „G-Matrix“ befinden sich die Zahlenwerte
der Steifigkeitsmatrix K, der geometrischen Steifigkeitsmatrix G und die
Lastvektoren nach Theorie I. und II. Ordnung, sofern diese Option im Eingabeblatt
ausgewählt wurde. Die Ausgabe ist auf maximal 30 Stabelemente beschränkt. Eine
größere Anzahl an Elementen sollte daher nicht gewählt werden, falls eine Ausgabe
gewünscht ist.
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5 Berechnungsbeispiele 22
5 Berechnungsbeispiele
5.1 Vorbemerkung
In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang sowie die theoretischen
Grundlagen des Programms FE-Rahmen erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen
eine detaillierte Beschreibung der Eingabe von System- und Berechnungsparametern
sowie eine Beschreibung der wichtigsten Aspekte der Ausgabe der Ergebnisse. Zur
Veranschaulichung von FE-Rahmen werden in diesem Kapitel 2 Berechnungs-
beispiele gezeigt:
Tragfähigkeitsnachweis eines ebenen Zweigelenkrahmens
Tragfähigkeitsnachweis und Stabilitätsuntersuchung eines ebenen einhüftigen Rahmens mit Pendelstütze
Bei beiden Systemen handelt es sich seitlich verschiebliche Rahmen mit gelenkigen
Fußpunkten und zumindest einem biegesteifen Riegel-Stützen-Anschluss. Seitlich
verschiebliche Rahmen mit gelenkigen Fußpunkten stellen eine häufige Konstruktion
im Stahlbau dar. Der biegesteife Riegel-Stützen-Anschluss ermöglicht neben dem
Lastabtrag vertikaler Lasten auch die Aufnahme horizontaler Lasten.
Die gezeigten Beispiele sollen den Umfang des Programms zeigen und die Eingabe
von baustatischen Systemen in FE-Rahmen verdeutlichen. Der Fokus liegt dabei auf
der Berechnung und Nachweisführung mit FE-Rahmen. Da die Beispiele dem Buch
„Stahlbau - Teil 1“ [4] entnommen sind, sind dort weitere Informationen zu den
Berechnungsbeispielen zu finden.
Die Ergebnisse der Berechnungen befinden sich auf den Tabellenblättern, die in
Kapitel 4 erläutert wurden. Zur Begrenzung des Umfangs werden hier nur
ausgewählte Teile der Ausgabe wiedergegeben.
5.2 Zweigelenkrahmen
In Bild 5.1 ist das baustatische System des untersuchten Zweigelenkrahmens dar-
gestellt. Der Zweigelenkrahmen wird in der Ebene untersucht und mittels Ersatz-
imperfektionsverfahrens wird der Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit geführt.
Hierzu werden Ersatzimperfektionen angesetzt, die Schnittgrößen nach Theorie II.
Ordnung bestimmt und anschließend die Querschnittstragfähigkeit nachgewiesen.
Das Berechnungsbeispiel ist Kapitel 2.10.10.2 [4] entnommen. Weitere Einzelheiten
sind dort zu finden.
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5.2 Zweigelenkrahmen 23
Bild 5.1 Baustatisches System des Zweigelenkrahmens
Es wird folgende Lastfallkombination untersucht, die aus Eigengewicht, Schnee- und
Windlasten resultiert:
qv = 31,5 kN/m
qh1 = 2,0 kN/m
qh2 = 1,3 kN/m
Die zu berücksichtigenden Imperfektionen werden gemäß [1] als Stützenschief-
stellung angesetzt. Der Wert für die Schiefstellung ergibt sich zu 0 = 1/200 ∙ h ∙ m
= 1/283 mit h = 0,816 und m = 0,866. Zur Berücksichtigung der Schiefstellung als
Vorverformung in FE-Rahmen wird die Kopfpunktverschiebung w0 der Stiele
berechnet:
w0 = 600/283 = 2,12 cm
Die Berechnung des Rahmensystems mit FE-Rahmen nach Theorie II. Ordnung
ergibt einen relativ großen Verzweigungslastfaktor (1. positiven Eigenwert) von
cr = 10,95. Der Einfluss der Theorie II. Ordnung ist daher als gering anzusehen, s.
Kapitel 7.1 [4].
Der mit den Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung geführte Nachweis der
Querschnittstragfähigkeit ergibt mit einer Ausnutzung von 101,5 % eine leichte
Überschreitung im Riegel in der rechten Rahmenecke.
Gemäß DIN EN 1993-1-1 [1] kann der Einfluss der Querkraft vernachlässigt werden
wenn gilt VEd < 0,5 ∙ Vpl,Rd. Diese Bedingung ist an der Stelle der Überschreitung ein-
gehalten: 195,65 kN < 0,5 ∙ 558,1 kN. Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit
kann somit mit der Interaktionsbedingung für einachsige Biegung und Normalkraft
erfolgen, s. Tabelle 5.1.
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5 Berechnungsbeispiele 24
Tabelle 5.1 N-My-Interaktionen für doppeltsymmetrische I-Querschnitte gemäß Tabelle 5.2a [4]
Baupraktisch genaue Bedingungen (Walzprofile: 99,89 bis 100,24%)
0 NEd Nw,Rd = tw · hw · fy,Rd: 2Ed
y,Ed pl,y,Rdw y,Rd
NM M
4 t f
Nw,Rd < NEd Npl,Rd: pl,Rd Edy,Ed pl,Rd Edy,Rd
N NhM N N
2 4 b f
Hinweis: Für NEd und My,Ed stets Absolutwerte einsetzen.
Da das Riegelprofil HEA 320 der Stahlgüte S 235 mindestens der Querschnittsklasse
2 zugeordnet werden kann, s. Tabelle 2.14 [4], kann mit der N-My-Interaktion der
Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit geführt werden.
N = 48,90 kN < 0,90 31,0 2 1,55 23,5 1,1 = 536,4 kN
2
y
38260 50,6M = 33474 kNcm < = 34749 kNcm
1,1 4 0,90 23,5 1,1
Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ist damit erfüllt.
Durch die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung unter
Berücksichtigung der geometrischen Ersatzimperfektionen und dem damit geführten
Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ist die Stabilität des Rahmens in der Ebene
ausreichend erfasst. Ergänzende Stabilitätsnachweise mit Abminderungsfaktoren sind
nicht erforderlich. Allerdings wird das Biegeknicken senkrecht zur Ebene und das
Biegedrillknicken an dieser Stelle nicht untersucht. Für die Nachweise der
räumlichen Stabilität des Rahmens und seiner Bauteile sind weitere Nachweise zu
führen. Diese können beispielsweise mit dem RUBSTAHL-Programm FE-STAB
geführt werden. Hinweise zum weiteren Vorgehen können den Abschnitten 11.5.4
und 11.5.5 [4] entnommen werden.
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5.2 Zweigelenkrahmen 25
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5 Berechnungsbeispiele 26
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5.2 Zweigelenkrahmen 27
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5 Berechnungsbeispiele 28
Anmerkung: Die Werte der Schnittgrößen wurden manuell eingefügt.
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5.2 Zweigelenkrahmen 29
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5 Berechnungsbeispiele 30
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5.2 Zweigelenkrahmen 31
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5 Berechnungsbeispiele 32
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5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 33
5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze
Das Beispiel zeigt die Berechnung eines einhüftigen Rahmens mit Pendelstütze in der
Rahmenebene. Das statische System mit den gewählten Querschnitten und den
Belastungen ist in Bild 5.2 dargestellt. Die gewählten Querschnitte können gemäß
2.14 [4] mindestens der Querschnittsklasse 2 zugeordnet werden. Weitere Einzel-
heiten zu dem Beispiel können Kapitel 2.10.10.3 [4] entnommen werden.
Bild 5.2 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze
Durch das Gelenk zwischen der Pendelstütze und dem einhüftigem Rahmen entstehen
zwei Teilsysteme, die unabhängig voneinander ausknicken. Die Bauteile sind in
unterschiedlicher Intensität stabilitätsgefährdet. Es müssen daher beide Teilsysteme
separat bezüglich Biegeknicken untersucht werden.
Verzweigungslastfaktoren und Knickbiegelinien
Eine Berechnung des Systems nach Theorie II. Ordnung ergibt den kleinsten
positiven Eigenwert cr = 3,39. Die zugehörige Eigenform zeigt ein Knicken des
Rahmens und die Pendelstütze bleibt gerade. Der zweite positive Eigenwert liefert
cr = 6,92 und die zugehörige Eigenform zeigt das Knicken der Pendelstütze. Der ein-
hüftige Rahmen verformt sich dabei nicht.
Einhüftiger Rahmen
Zum Berechnung des Rahmens werden die in Bild 5.2 dargestellten Vorverdrehungen
als geometrische Ersatzimperfektionen des Rahmens angesetzt. Mit den ermittelten
Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung wird der Querschnittsnachweis geführt. Der
Nachweis mit dem Teilschnittgrößenverfahren zeigt eine maximale Auslastung des
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5 Berechnungsbeispiele 34
Rahmens von 97,8 % in der Mitte des Rahmenriegels. Es liegt somit eine aus-
reichende Tragfähigkeit des Rahmens vor.
Pendelstütze
Die Pendelstütze kann direkt in FE-Rahmen mit dem Ersatzimperfektionsverfahren
nachgewiesen werden, so dass auf eine separate Ermittlung von Abminderungs-
faktoren verzichtet werden kann. Für den Stabilitätsfall Biegeknicken um die starke
Achse und den Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV wird
gemäß Tabelle 7.1 [4] eine parabelförmige Vorkrümmung w0 = L/250 = 400/250 =
1,60 cm in Feldmitte der Stütze angesetzt. Der so geführte Nachweis zeigt eine
ausreichende Tragfähigkeit der Pendelstütze.
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5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 35
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5 Berechnungsbeispiele 36
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5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 37
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5 Berechnungsbeispiele 38
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5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 39
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5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 41
Anmerkung: Die Werte der Schnittgrößen wurden manuell eingefügt.
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5 Berechnungsbeispiele 42
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5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 43
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Literatur
[1] DIN EN 1993-1-1 (12/10), Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den
Hochbau; nationaler Anhang (12/10)
[2] Kindmann, R.; Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002
[3] Kindmann, R., Kraus, M.: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2007
[4] Kindmann, R., Krüger, U.: Stahlbau - Teil 1: Grundlagen, 5. Auflage. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2013
[5] Kindmann, R., Laumann, J., Kraus, M.: Computerorientierte Berechnungen und Tragsicherheitsnachweise im Stahlbau. Veröffentlichung des Lehrstuhls
für Stahl- und Verbundbau, Ruhr-Universität Bochum, Bochum 2005
[6] Kindmann, R., Uphoff, H.: Berechnungen mit den RUBSTAHL-Programmen. FE-STAB, Tragfähigkeit und Stabilität von Stäben bei zweiachsiger Biegung
mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion. Veröffentlichung des Lehrstuhls für
Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum 2014
[7] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente, 3. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1991
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