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Bachelorarbeit
Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen
Permanentmagnet-Synchronmotor
Verfasser
Jens Wurster Studiengang Fahrzeugelektronik
Matrikelnummer: 3101345 WS 2011/12
Erstgutachter
Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Jens Wurster
Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-
Synchronmotor
Bachelorarbeit eingereicht im Rahmen der Bachelorprüfung für den Studiengang
Fahrzeugelektronik der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Hochschule
Ulm.
Erstgutachter: Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger
Zweitgutachter: Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Schroer
Bearbeitungszeitraum: 8. August 2011 bis 2. November 2011
Hochschule Ulm
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Bachelorarbeit S e i t e | i Jens Wurster
Thema der Bachelorarbeit:
Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-Synchronmotor
Stichworte:
Dead-Beat-Regler, Windup-Effekt, Störgrößenaufschaltung, feldorientierte Regelung,
Matlab/Simulink
Kurzbeschreibung:
Inhalt dieser Bachelorarbeit ist die Bewertung verschiedener Dead-Beat-Stromregler für
einen Permanentmagnet-Synchronmotor. Der Dead Beat-Regler wird mit
Stellgrößenvorgabe verwendet, die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößenvorgaben wird
minimal gehalten.
Die Realisierung und die Simulation erfolgt in Matlab/Simulink.
Title of the paper:
Design of a discrete-time current control for permanent magnet synchronous motor
Keywords:
Dead beat controller, Windup-effect, feed forward control, field-oriented control,
Matlab/Simulink
Abstract:
Contents of this bachelor thesis is the evaluation of various dead beat current controller for
permanent magnet synchronous motor. The dead beat controller is used with plant output
and the number of additional manipulated variables is kept to a minimum.
Implementation and Simulation is done in Matlab/Simulink.
Erklärung Hochschule Ulm
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Bachelorarbeit S e i t e | i i Jens Wurster
I. Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit selbstständig angefertigt habe.
Es wurden nur, die in der Arbeit ausdrücklich benannten Quellen verwendet. Wörtlich oder
sinngemäß übernommenes Gedankengut habe ich als solches kenntlich gemacht.
Ort, Datum Unterschrift: Jens Wurster
Danksagung Hochschule Ulm
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Bachelorarbeit S e i t e | i i i Jens Wurster
II. Danksagung
Hiermit möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger für die Betreuung während
meiner Abschlussarbeit bedanken. Er ermöglichte mir diese Arbeit durchzuführen und war
während der Durchführung ein sehr wichtiger Ansprechpartner für mich.
Ich möchte mich natürlich auch bei meinem Umfeld bedanken. Meiner Familie, die mich
während der Arbeit voll unterstützte und meinem Freundeskreis, der mich auch mal auf
andere Gedanken gebracht hat.
Inhaltsverzeichnis Hochschule Ulm
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Bachelorarbeit S e i t e | i v Jens Wurster
III. Inhaltsverzeichnis
I. Erklärung ............................................................................................................................ ii
II. Danksagung ....................................................................................................................... iii
III. Inhaltsverzeichnis .............................................................................................................. iv
1 Einleitung ............................................................................................................................ 1
2 Aufgabenstellung ............................................................................................................... 2
3 Theorie ............................................................................................................................... 3
3.1 MATLAB/Simulink ........................................................................................................ 3
3.1.1 MATLAB ................................................................................................................. 3
3.1.2 Simulink ................................................................................................................. 4
3.2 Elektrische Antriebsmaschinen ................................................................................... 5
3.3 Die Gleichstrommaschine ............................................................................................ 5
3.3.1 Der Aufbau ............................................................................................................. 6
3.3.2 Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine ....................................... 8
3.3.3 Drehzahl-Drehmomentverhalten ........................................................................ 13
3.3.3.1 Gleichstrom-Nebenschlussverhalten .......................................................... 13
3.3.3.2 Gleichstrom-Reihenschlussverhalten ......................................................... 14
3.4 Clarke-Park-Transformation ...................................................................................... 16
3.4.1 Die Inverse-Clarke-Park-Transformation ............................................................. 17
3.4.2 Die Clarke-Transformation .................................................................................. 18
3.4.3 Die Park Transformation ..................................................................................... 20
3.5 Der Synchronmotor ................................................................................................... 22
3.5.1 Der Aufbau ........................................................................................................... 22
3.5.2 Das Modell der Synchronmaschine ..................................................................... 24
3.5.2.1 Simulationsmodell der Synchronmaschine ................................................ 29
3.6 Zeitdiskrete Regelungen ............................................................................................ 31
3.6.1 Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge ................................................................. 31
3.6.1.1 Das Abtast- und Halteglied ......................................................................... 32
3.6.1.2 Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System ....................... 33
3.6.1.3 Stabilität zeitdiskreter Systeme .................................................................. 35
3.6.2 Die Testfunktionen im z-Bereich ......................................................................... 36
3.6.2.1 Die Sprungfunktion ..................................................................................... 36
Inhaltsverzeichnis Hochschule Ulm
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3.6.2.2 Der Dirac-Impuls ......................................................................................... 37
3.6.3 Zeitdiskrete Regler ............................................................................................... 38
3.6.3.1 Dead-Beat-Regler ........................................................................................ 39
3.6.3.2 Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe .................... 40
3.6.3.3 Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts .................... 50
3.6.3.4 Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben ....................................... 57
3.7 Raumzeigermodulation ............................................................................................. 62
3.7.1 Berechnung beliebiger Raumzeiger .................................................................... 67
3.7.1.1 Der Aussteuerungsgrad............................................................................... 68
4 Das Simulationsmodell ..................................................................................................... 69
4.1 Modelldaten .............................................................................................................. 69
4.2 Der Regelkreis ............................................................................................................ 70
4.2.1 Das Motormodell ................................................................................................. 72
4.2.1.1 Das mechanische Modell ............................................................................ 73
4.2.2 Regelung und Leistungselektronik ...................................................................... 74
4.2.2.1 Störgrößenaufschaltung ............................................................................. 78
4.2.2.2 Soll- oder Iststrom als Eingangsgröße der Störgrößenaufschaltung .......... 79
4.2.2.3 Regler Windup ............................................................................................ 80
4.3 Dimensionierung der Dead Beat Regler .................................................................... 82
4.3.1 Die Regelstrecke .................................................................................................. 82
4.3.2 Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe ....................................................... 83
4.3.2.1 Simulationsergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe ...................................... 85
4.3.2.2 Fazit ............................................................................................................. 90
4.3.3 Dead Beat Regler mit erster Stellgrößenvorgabe ............................................... 91
4.3.3.1 Simulationsergebnisse mit einer Stellgrößenvorgabe ................................ 93
4.3.3.2 Fazit ............................................................................................................. 94
4.3.4 Dead Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben ................................................ 95
4.3.4.1 Simulationsergebnisse mit zwei Stellgrößenvorgaben ............................... 97
4.3.4.2 Fazit ............................................................................................................. 99
4.3.5 Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben ............................................ 99
4.3.5.1 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben ......................... 101
4.3.5.2 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben und aktiver Pulsweitenmodulation .............................................................................. 103
4.3.5.3 Fazit ........................................................................................................... 105
4.3.6 Dead Beat Regler mit acht Stellgrößenvorgaben .............................................. 106
4.3.6.1 Simulationsergebnisse mit acht Stellgrößenvorgaben ............................. 110
Inhaltsverzeichnis Hochschule Ulm
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4.3.6.2 Dynamische Betrachtung mit aktiver Pulsweitenmodulation .................. 113
4.3.6.3 Fazit ........................................................................................................... 117
5 Gesamtfazit .................................................................................................................... 119
IV. Abbildungsverzeichnis .................................................................................................... 120
V. Tabellenverzeichnis ........................................................................................................ 124
VI. Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 125
Einleitung Hochschule Ulm
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
Bachelorarbeit S e i t e | 1 Jens Wurster
1 Einleitung
Es war im Jahr 1900, als der Pionier Ferdinand Porsche auf der Weltausstellung in Paris das
erste Hybridfahrzeug vorstellte [1]. Es hat jedoch fast hundert Jahre gedauert bis Toyota mit
dem ersten Hybrid in Serie ging. Der Verkauf des Toyota Prius begann im Dezember 1997,
vorerst nur in Japan [2]. Damit begann die Erfolgsgeschichte des Hybrids. Heutzutage sind
die Hybridtechnik oder rein elektrisch betriebene Fahrzeuge aus der Automobilwelt nicht
mehr wegzudenken, somit auch der Elektromotor als Traktionsmotor.
Mit dem Einzug der e-Mobility in die Fahrzeugtechnik hat sich das Berufsfeld des
Fahrzeugtechnik Ingenieurs verändert. Der Fokus rückt dabei zusätzlich auf die
Batterietechnik, die Leistungselektronik und elektrische Traktionsmotoren. Diese Bereiche
stellen den Ingenieur in der Automobilbranche vor neue Herausforderungen.
Bei der Batterietechnik stehen wir heute noch am Anfang. Zur Zeit sind mit rein elektrisch
betriebenen Fahrzeugen Reichweiten von ca. 100 km pro Akkuladung möglich. Bei dieser
Reichweite beginnt bei herkömmlichen Autos mit Verbrennungsmotor der rote Bereich der
Tankanzeige. Experten meinen, dass bis zum Jahr 2015 Reichweiten von ca. 200 km mit rein
elektrisch betriebenen Fahrzeugen möglich sind.
Im Automobil werden Drehfeldmotoren als Antriebsmotor verwendet. Es werden synchrone
und asynchrone Drehfeldmotoren eingesetzt. Aufgrund von Wirkungsgradvorteilen werden
vermehrt permanentmagneterregte Synchronmaschinen eingesetzt. Diese sind jedoch
aufwändiger zu regeln als Asynchron-Maschinen.
Aufgabenstellung Hochschule Ulm
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Bachelorarbeit S e i t e | 2 Jens Wurster
2 Aufgabenstellung
Der Elektromotor ist aus modernen Forschung und Lehre durch den Einzug als
Traktionsmotor in der Fahrzeugtechnik nicht mehr wegzudenken. Für den Student ist somit
der Umgang mit dieser Technologie bereits im Studium wichtig.
Im Automotive-Center der Hochschule Ulm gibt es zu Lehrzwecken einen Motorenprüfstand,
der aus zwei Elektromotoren besteht. Dabei ist die antreibende Maschine ein
Permanentmagnet-Synchronmotor mit Oberflächenmagnet Anker und die Lastmaschine ein
Asynchrondrehstrommotor. Beide Motoren arbeiten bis jetzt im ungeregelten Betrieb. Für
den Synchronmotor wird in dieser Arbeit eine zeitdiskrete Regelung entworfen. Dabei wird
als zeitdiskreter Regler der Dead-Beat Regler verwendet. Die Anzahl an zusätzlichen
Stellgrößen wird dabei so gering wie möglich gehalten.
Die Bewertung und die Simulation der einzelnen Reglerentwürfe wird in Matlab/Simulink
durchgeführt.
Ziel dieser Arbeit ist es, einen Dead-Beat Stromregler für den Synchronmotor anhand von
Simulationsergebnissen zu bewerten und die Realisierbarkeit in der Praxis zu überprüfen.
Theorie Hochschule Ulm
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Bachelorarbeit S e i t e | 3 Jens Wurster
3 Theorie
Dieses Kapitel soll dem Leser das Verständnis der Arbeit erleichtern. In den einzelnen
Theorieteilen ist immer auf weiterführende Literatur verwiesen, die einen tieferen Einblick in
den Themenbereich ermöglicht.
3.1 MATLAB/Simulink
Matlab/Simulink ist ein Computerprogramm welches von „The MathWorks“ entwickelt wird.
Die Einsatzschwerpunkte der Software liegen in der Regelungstechnik, der Mathematik und
der Signalverarbeitung.
Die Simulation des Regelungsmodells erfolgt in Simulink, die Auswertung und Initialisierung
des Modells geschieht in Matlab.
3.1.1 MATLAB
Der Name Matlab lässt sich von „MATrix LABoratory“ ableiten [3]. Matlab rechnet mit
Matrizen, welche nur aus einem Element bestehen können, beziehungsweise nur eine Zeile
oder Spalte enthalten können. Dadurch lassen sich einzelne Werte und Zeilenvektoren sowie
Spaltenvektoren darstellen. Zur Berechnung verwendet Matlab numerische
Lösungsalgorithmen. Wie aus den Hochsprachen bekannt bietet MATLAB eine Vielzahl von
Funktionen. So lässt sich beispielsweise eine Einheitsmatrix der Größe (n, n) mit dem Befehl
eye(n) erstellen.
Um Programme in MATLAB zu programmieren, gibt es sogenannte m-Files. Diese Files sind
ASCII-Dateien, welche in einem Editor bearbeitet werden. Die m-Files lassen sich mit dem
Matlab-Compiler ausführen. Die Programmiersprache, die Matlab verwendet unterscheidet
sich zum Teil von der Programmiersprache C/C++. Hierbei sei auf die ausführliche Hilfe von
Matlab verwiesen.
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3.1.2 Simulink
Bei Simulink handelt es sich um ein Simulationswerkzeug, welches auf MATLAB beruht.
Simulink ist somit eine von vielen Matlab Toolboxen.
Mit Simulink lässt sich der zeitliche Verlauf dynamischer Systeme simulieren. Es lassen sich
sowohl lineare als auch nichtlineare Vorgänge simulieren. Simulationsmodelle werden durch
Blockschaltbilder aufgebaut. Einzelne Blockschaltbilder zusammengefasst durch
Signalflusspfeile, ergeben den Signalflussplan. Auf diese Art wird in Simulink grafisch
programmiert.
Der Aufbau der Modelle erfolgt in mdl-Files. Die Blockschaltbilder sind in verschiedenen
Bibliotheken, „Librarys“ unterteilt.
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3.2 Elektrische Antriebsmaschinen
Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Ausführungen elektrischer Antriebsmaschinen.
Elektrische Maschinen lassen sich in ihre technologischen Eigenschaften unterteilen. Die
gebräuchlichsten sind [4],
Bewegungsart (rotatorisch, translatorisch),
Erregerfeld (z. B. Drehfeld, Permanentmagnet, steuerbar),
Drehmoment-Drehzahlkennlinie (z. B. Nebenschlussverhalten,
Reihenschlussverhalten),
Synchron/Asynchron.
Im Folgenden wird auf die Theorie der Gleichstrommaschine eingegangen und das
elektrische Ersatzschaltbild abgeleitet, da dieses bei der Modellbildung der
Synchronmaschine wieder erscheint.
3.3 Die Gleichstrommaschine
Die Gleichstrommaschine ist die älteste und die technisch einfachste elektrische Maschine
[5]. Bedingt durch ihren einfachen Aufbau und gute Regeleigenschaften wird die
Gleichstrommaschine heute immer noch eingesetzt, obwohl diese höhere
Wartungsintervalle als die Synchron- und Asynchronmaschine hat. Zusätzlich ist ihr
Wirkungsgrad schlechter als bei Drehfeldmaschinen.
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3.3.1 Der Aufbau
Die Gleichstrommaschine besteht aus einem feststehenden Gehäuse, dem Ständer und
einem sich drehendem Anker. Am Umfang des Ständers sind Dauermagnete oder
Erregerwicklungen angebracht, die Anzahl der Dauermagnete bzw. Erregerwicklungen
dividiert durch zwei beschreibt die Polpaarzahl einer Maschine. Der Anker der
Gleichstrommaschine wird über Kohlebürsten elektrisch verbunden. Durch die Rotation des
Ankers wird der Strom in der Ankerwicklung kommutiert.
Abbildung 3-1: Permanentmagnetiesierte Gleichstrommaschine
Abbildung 3-1 zeigt den technisch einfachsten Aufbau einer Gleichstrommaschine. Der
Erregerfluss wird von zwei Permanentmagneten geliefert und ist dadurch als konstant zu
betrachten. Die Polpaarzahl der Maschine ist eins, da diese Maschine zwei Pole hat. Die
Ankerwicklung wurde aus Darstellungsgründen durch eine einzelne Wicklung dargestellt.
Aufgrund des Ankerstroms und der daraus resultierenden Lorenzkraft dreht sich der
Motor im Uhrzeigersinn, da das Kreuzprodukt
(3.1)
einen Kraftvektor für den oberen Leiter nach rechts erzeugt und für den unteren Leiter nach
links. Die unterschiedliche Richtung der beiden Kraftvektoren folgt aus der
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entgegengesetzten Stromrichtung in den beiden Leiterstücken. Im oberen Leiterstück fließt
der Strom aus der Zeichenebene heraus und im unteren Leiterstück in die Zeichenebene
hinein. Die Kraft am Hebelarm erzeugt ein Drehmoment nach:
(3.2)
Dreht sich der Anker beginnend bei der Position, siehe (Abbildung 3-2-a), mit der
mechanischen Winkelgeschwindigkeit , so erreicht er in (Abbildung 3-2-b) die
neutrale Zone. In dieser neutralen Zone ist das Kreuzprodukt (3.2) gleich null, da der
Kraftvektor parallel zum Hebelarm ist. Im Moment des Kommutierungsvorgangs fließt
für einen kurzen Zeitraum kein Strom (Abbildung 3-2-b).
Abbildung 3-2: Eine halbe Umdrehung einer Gleichstrommaschine
Abbildung 3-2-c zeigt die Gleichstrommaschine kurz nach dem Kommutierungsvorgang. Die
Stromrichtung in der Leiterschleife wurde umgepolt, durch diese Umpolung zeigt der Vektor
in die andere Richtung und somit auch . In Abbildung 3-2-d hat die Gleichstrommaschine
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eine halbe Umdrehung zurückgelegt und befindet sich kurz vor dem nächsten
Kommutierungsvorgang.
3.3.2 Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine
Um die Vorgänge in der Gleichstrommaschine besser zu verstehen, ist die Bildung eines
mathematischen Modells notwendig. Die Darstellung als Signalfußplan und als elektrisches
Ersatzschaltbild erleichtert das Verständnis des Modells.
Das Drehmoment lässt sich als Funktion des mechanischen Winkels darstellen. Aufgrund der
Rotation des Ankers verläuft das Drehmoment für eine Leiterschleife als Cosinusfunktion, da
sich der wirkende Hebelarm des Kraftvektors nach dieser Funktion verhält.
Abbildung 3-3: Drehmoment der Gleichstrommaschine mit einer Leiterschleife
Der in Abbildung 3-3 dargestellte Graph des Drehmoments stellt den Verlauf mit
Kommutierung (durchgezogene Linie) und ohne Kommutierung (gestrichelte Linie) dar. Der
Drehmomentverlauf ist für eine Spule, die in einer Nut gewickelt ist, abgebildet. Die
Scheitelwerte der Kraft sind laut Gleichung (3.1) proportional zum Strom in den
Leiterschleifen und somit ist auch das Drehmoment proportional dazu. Wird die Anzahl an
räumlich versetzten Spulen auf zwei erhöht, ergibt sich folgender Verlauf des Drehmoments:
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Abbildung 3-4: Drehmomentverlauf einer Gleichstrommaschine mit zwei Spulen
Abbildung 3-4 zeigt das Drehmoment zweier um 90° versetzter Spulen. Zusätzlich ist das
Summendrehmoment ersichtlich. Wird die Anzahl der räumlich versetzter Spulen weiter
erhöht, so ist das Summendrehmoment als konstant zu betrachten, da die Oberwellen
mit steigender Anzahl an Spulen immer kleiner werden. Somit ist das Drehmoment
proportional zum Strom und einer Konstanten, die noch näher bestimmt werden muss.
(3.3)
Die drehmomentbildende Kraft ist abhängig von Radius , Spulenlänge und von dem B-Feld
. Da die Kraft an beiden Leiterstücken wirkt, wird der Faktor mit zwei multipliziert. Somit
spannt der Faktor (Abbildung 3-5) die Fläche der Leiterschleife auf. Die Konstante aus
Gleichung (3.3) lässt sich durch beschreiben.
Abbildung 3-5: Eine Leiterschleife im B-Feld
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Die Definition des magnetischen Fluss lautet:
(3.4)
Über die Definition (3.4) und die zuvor abgeleiteten Zusammenhänge ergibt sich die erste
Gleichung der Gleichstrommaschine. Durch die Vielzahl an räumlich versetzten
Leiterschleifen ist der Einfluss der Flussänderung durch die Rotation des Ankers
vernachlässigbar. Die Konstante kann als Erregerfluss angenommen werden, dieser Fluss
wird vom Erregerkreis erzeugt. Je nach Motorbauart ist dieser Fluss konstant oder eine
Funktion des Erregerstroms .
(3.5)
Durch die Rotation des Ankers wird in der Ankerinduktivität eine Spannung induziert. Diese
Spannung lässt sich laut Induktionsgesetz beschreiben durch:
(3.6)
Der Erregerfluss bei gleichmäßiger Rotation beschreibt die folgende Gleichung:
(3.7)
Eingesetzt in Gleichung (3.6) ergibt sich für die induzierte Spannung Folgendes:
(3.8)
Aufgrund der Vielzahl der räumlich versetzten Spulen in der Gleichstrommaschine ist die
Winkelabhängigkeit der induzierten Spannung vernachlässigbar. Somit gilt:
(3.9)
In der Ableitung der induzierten Spannung wurde bewusst auf die Kommutierung
verzichtet, da die Spannung umgepolt wird und der Betrag erst nach der Differenzierung
gebildet wird.
Wird im Ankerkreis der Ankerwiderstand und die Ankerinduktivität in das mathematische
Modell eingebunden, so ergeben sich weitere Gleichungen des Modells.
(3.10)
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(3.11)
Laut Definition gilt für die mechanische Leistung der Zusammenhang:
(3.12)
Aus Gleichung (3.10) folgt folgendes Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine:
UA
UR UL
IA
RA LA
Ui
Abbildung 3-6: Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine
Das Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine besteht aus drei Bauelementen. Der
Ankerwiderstand bildet die elektrischen Verluste im Ankerkreis ab, d. h. die
Verlustleistung lässt sich beschreiben durch:
(3.13)
Die Ankerinduktivität des Ersatzschaltbilds wird als ideal angenommen und hat bei
dynamischen Vorgängen einen nicht vernachlässigbaren Spannungsabfall. Die ideale
Spannungsquelle mit der induzierten Spannung stellt die elektromotorische Kraft (EMK)
dar und bildet den Übergang zwischen dem elektrischen und dem mechanischen System,
siehe Gleichung (3.9).
Das Ersatzschaltbild kann für den stationären Fall vereinfacht dargestellt werden.
UA
UR
IARA
Ui
Abbildung 3-7: Stationäres Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine
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Im stationären Fall gilt ., dadurch ist der Spannungsabfall an der Induktivität
nicht vorhanden. Wird die Gleichstrommaschine nicht belastet, so ist das Lastmoment
gleich null. Demnach fließt kein Ankerstrom und daraus folgt .
Eine weitere Möglichkeit das mathematische Modell darzustellen ist der Signalflussplan.
Durch Umstellen der Gleichung (3.10), (3.5), (3.9) und durch Einbeziehen der
Differenzialgleichung (3.14) für das mechanische Teilsystem, ergibt sich folgender
Signalflussplan:
(3.14)
Abbildung 3-8: Vereinfachter Signalflussplan des Gleichstrommotors
In dieser Darstellung wurde ebenfalls die Ankerinduktivität im Signalflussplan
vernachlässigt. Die Ankerspannung ist die Eingangsgröße des Systems. Die
Ausgangsgröße ist die mechanische Winkelgeschwindigkeit . Das Lastmoment
stellt die Störgröße dar. Die Laplace-Übertragungsfunktion des Motormodells lautet:
(3.15)
Das Modell einer Gleichstrommaschine beschreibt ein PT1-Verhalten mit der Zeitkonstante:
(3.16)
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Die Störübertragungsfunktion lautet:
(3.17)
Mit derselben Zeitkonstante wie Gleichung (3.15). (Index „z“ für Störübertragungsfunktion in
Gleichung (3.17) )
3.3.3 Drehzahl-Drehmomentverhalten
In Abschnitt 3.3.1 wurde die Funktion der Gleichstrommaschine anhand einer
permanentmagneterregten Gleichstrommaschine erklärt. Diese Variante wird nur bei
kleinen Leistungen eingesetzt [4]. Es gibt jedoch verschiedene Ausführungen einer
Gleichstrommaschine, die sich durch die unterschiedlichen Erregungen unterscheiden.
Im Folgenden wird auf die beiden häufigsten Typen eingegangen. Weiterführende
Informationen über andere Gleichstrommotorentypen liefern die unter ( [6], [4], [5])
genannten Bücher.
3.3.3.1 Gleichstrom-Nebenschlussverhalten
Der Erregerkreis der Gleichstrommaschine wird hierbei von einem vom Ankerstrom
unabhängigen Erregerstrom durchflossen.
M
A1
A2
E1E2
UA UE
IA IE
Abbildung 3-9: Gleichstrom-Nebenschlussmotor
Durch die Variation von und sind Drehzahlstellmethoden möglich [4]. In den meisten
Fällen gilt jedoch Bei dem verwendeten Verbraucherzählpfeilsystem in Abbildung
3-9, stellt sich für den dargestellten Nebenschlussmotor Rechtslauf ein [7]. Der Erregerfluss
ist abhängig von Erregerstrom , wie auch von der Sättigungskurve der Erreger-
induktivität.
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Abbildung 3-10: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Nebenschlussmaschine
In Abbildung 3-10 ist das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Nebenschlussmaschine bei
konstanter Ankerspannung und konstantem Erregerfluss dargestellt. Bei der
Nebenschlussmaschine existiert eine Leerlaufdrehzahl und ein Anzugsmoment im
Stillstand. Der Kennlinienverlauf der Nebenschlussmaschine ist linear.
3.3.3.2 Gleichstrom-Reihenschlussverhalten
Bei einer Reihenschlussmaschine sind Erregerwicklung und Ankerkreis in Reihe geschaltet,
dadurch fließt durch beide Wicklungen derselbe Strom.
M
A1
A2
D1D2
U
I
Abbildung 3-11: Gleichstrom-Reihenschlussmotor
Beim Reihenschlussmotor ist der Erregerfluss abhängig vom Ankerstrom . Für den
Erregerfluss gilt . In Abbildung 3-11 ist der Motor im Rechtslauf verschaltet [7].
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Abbildung 3-12: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Reihenschlussmaschine
Abbildung 3-12 zeigt das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Reihenschlussmaschine bei
konstanter Spannung . Auffallend ist, dass keine Leerlaufdrehzahl existiert. Im
Leerlauffall gilt die Bedingung . Aus Gleichung (3.9) folgt dadurch, dass
gegen null geht, sodass gegen unendlich gehen muss. Theoretisch existiert daher
keine Leerlaufdrehzahl. Der Motor geht im Leerlauffall durch. Aufgrund der Reibverluste, die
im Modell vernachlässigt wurden, erreicht der Motor eine endliche, aber sehr hohe
Leerlaufdrehzahl. Die hohen Fliehkräfte, die bei dieser Leerlaufdrehzahl vorhanden sind,
können auf den Motor zerstörend wirken. Die typische Anwendung für eine
Reihenschlussmaschine ist aufgrund des hohen Anzugmoments der Anlasser im PKW.
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3.4 Clarke-Park-Transformation
Die häufigste Anwendung der Clarke-Park-Transformation ist bei der Regelung elektrischer
Drehfeldmaschinen. Für Drehfeldmaschinen kann ein mathematisches Modell abgeleitet
werden, welches aus zwei gekoppelten Ersatzschaltbildern besteht (siehe Abschnitt 3.5.2).
Hierbei wird das dreiphasige Drehstromnetz (L1, L2, L3) in ein System mit den neuen
Bezugsgrößen des Motormodells transformiert. Bezugsgrößen werden im rotorfesten
Koordinatensystem dargestellt, wobei sich das Koordinatensystem mit der elektrischen
Winkelgeschwindigkeit des Rotors dreht. Für den Betrachter im rotorfesten
Koordinatensystem steht somit der Rotor still. Dies bietet den Vorteil, dass im stationären
Fall alle sinusförmigen Wechselgrößen zu Gleichgrößen werden.
Um aus dem dreiphasigen Drehstromnetz (L1, L2, L3) ein zweiphasiges, orthogonales System
zu bilden, wird die Clarke-Transformation angewandt. Hierbei wird aus dem dreiphasigen
Netz ein zweiphasiges Bezugssystem mit einem feststehenden Koordinatensystem. Die
Abszissenachse dieses Koordinatensystems wird mit α bezeichnet, die Ordinatenachse mit β.
Daher lautet diese Transformation manchmal auch α/β- Transformation.
In einem zweiten Schritt wird das orthogonale und feststehende Koordinatensystem α, β auf
ein mit der elektrischen Winkelgeschwindigkeit rotierendes Koordinatensystem
transformiert. Die Achsen heißen in diesem Fall d-Achse für die rotierende x-Achse und q-
Achse für die rotierende y-Achse. Diese Transformation wird als Park-Transformation
bezeichnet oder alternativ als d/q-Transformation.
Abbildung 3-13: Wirkungsplan der Clarke-Park Transformation
Abbildung 3-13 zeigt den Wirkungsplan der Clarke-Park-Transformation. Der Block Clarke-
Transformation hat die drei Ströme der Phasen L1, L2 und L3 als Eingangsgröße und die
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Größen α und β als Ausgangsvektor. Bei diesem Block kann der Eingangsvektor auf zwei
Ströme verringert werden, denn im Dreiphasennetz gilt:
(3.18)
Der Messaufwand verringert sich, da nur noch zwei der drei Ströme gemessen werden
müssen.
Der Block Park-Transformation hat als Eingangsvektor die beiden Größen α, β und zusätzlich
noch den elektrischen Winkel . Die Ausgangsgrößen der d/q-Transformation sind die
Größen d und q des rotierenden Koordinatensystems.
In dieser Arbeit wird die Clarke-Park-Transformation immer in zwei Schritten durchgeführt
und nicht, wie es in der Literatur zum Teil der Fall ist, in einem Schritt. Dadurch bleibt die
Transformation übersichtlicher. Die Clarke-Park-Transformation wird hier für Ströme
abgeleitet, da diese in der Aufgabenstellung für eine Transformation dieser physikalischen
Größe erforderlich ist. Die Transformation ist natürlich auch für Spannungen oder andere
physikalische Größen möglich.
3.4.1 Die Inverse-Clarke-Park-Transformation
Um aus den d/q-Größen die netzrelevanten Größen L1, L2 und L3 zu gewinnen, verwendet
man die Inverse-Clarke-Park-Transformation, bei der eine Transformation von den beiden
orthogonalen Größen d, q nach L1, L2, L3 stattfindet.
Abbildung 3-14: Wirkungsplan der Inversen-Clarke-Park-Transformation
Die Blockdarstellung der Inversen-Clarke-Park-Transformation ist aus Abbildung 3-14
ersichtlich. Der Block der Inversen-Park-Transformation hat als Eingangsvektor die Größen d,
q und der mechanische Winkel , die beiden Ausgangsgrößen sind α und β.
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Die Inverse-Clarke-Transformation hat als Eingangsgrößen α und β und als Ausgangsvektor
die drei Phasen des Drehstromnetzes L1, L2, L3.
3.4.2 Die Clarke-Transformation
Bei der Clarke-Transformation wird aus dem dreiphasigen Netz ein orthogonales System mit
den Ausgangsgrößen α, β gebildet.
Abbildung 3-15: Clarke Transformation
Nun müssen die Größen L1, L2 und L3 auf das neue Koordinatensystem in α/β-Koordinaten
abgebildet werden. Somit ergibt sich für die α-Richtung folgende Gleichung:
(3.19)
Und in β-Richtung:
(3.20)
Die Gleichungen (3.19) und (3.20) lassen sich über die Winkelfunktionen ,
, und darstellen:
(3.21)
(3.22)
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Gleichungen (3.21) und (3.22) lauten in Matrixschreibweise wie folgt:
(3.23)
Der Faktor in Gleichung (3.23) normiert und auf den Betrag der Eingangsgrößen.
Die Transformation mit diesem Vorfaktor nennt man Längeninvariante-Transformation. Sie
hat den Vorteil, dass die Scheitelwerte der einzelnen Ströme im stationären Fall gleich groß
sind.
Um von den Größen α und β wieder auf die Wechselspannungsgrößen L1, L2, L3 zu
gelangen, ist die Inverse-Clarke-Transformation nötig. Für die Inverse-Clarke-Transformation
ist die Inverse der Transformationsmatrix aus Gleichung (3.23) nötig. Bei dieser Matrix
handelt es sich um eine nicht quadratische Matrix, diese ist somit nicht invertierbar. Wird
die Knotengleichung (3.18) in die Matrix von Gleichung (3.23) eingebunden, erhält man
folgende quadratische Matrix:
(3.24)
Die Matrix in Gleichung (3.24) ist nun invertierbar, da die Determinante der Matrix ungleich
null ist. Somit erhält man folgende Gleichung für die Inverse-Clarke-Transformation:
(3.25)
Die Knotengleichung, die in die Matrix eingebunden wurde kann nun wieder entfernt
werden. Da die Transformationsmatrix der Clarke-Transformation durch eine Erweiterung
invertierbar ist, ist die Clarke-Transformation eindeutig umkehrbar.
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Die vereinfachte Transformationsgleichung lautet nun:
(3.26)
3.4.3 Die Park Transformation
Die Park-Transformation bildet das statorfeste α/β-Koordinatensystem auf ein rotierendes
Koordinatensystem d,q ab.
Abbildung 3-16: Die Park Transformation
In Abbildung 3-16 lässt sich der Punkt P in beiden Koordinatensystemen beschreiben.
Beschreibung in α, β:
(3.27)
(3.28)
Beschreibung in d,q:
(3.29)
(3.30)
Mit dem Additionstheoremen
(3.31)
(3.32)
lassen sich die beiden Gleichungen (3.29) und (3.30) umformen. Durch Einsetzten der
Gleichung (3.27) bzw. (3.28) erhält man:
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(3.33)
(3.34)
Durch Anpassung an die Problemstellung von Gleichungen (3.33) und (3.34), ergibt sich
folgende Transformationsgleichung in Matrixnotation für die Park-Transformation:
(3.35)
Bei der Transformationsmatrix in Gleichung (3.35) handelt es sich um eine orthogonale
Matrix. Laut [8] gilt für orthogonale Matrizen der Zusammenhang:
(3.36)
Um bei der Inversen-Park-Transformation dieselbe Transformationsmatrix wie bei der Park-
Transformation verwenden zu können, muss der elektrische Winkel mit minus eins
multipliziert werden. Aufgrund der Achsensymmetrie des Cosinus und der Punktsymmetrie
des Sinus ergibt sich für den negativen Winkel die gleiche Matrix wie nach Gleichung (3.36)
(3.37)
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3.5 Der Synchronmotor
Beim Synchronmotor dreht sich der Läufer im stationären Zustand mit der synchronen
Drehzahl des Drehfelds. Diese Drehzahl lässt sich aus der Frequenz und der Polpaarzahl
bestimmen (3.38). Im Leerlauf ist der Polradwinkel (Differenz zwischen Drehfeld und
Polrad) gleich null. Wird die Maschine mit einem Lastmoment belastet, entsteht eine
mechanische Drehwinkeldifferenz. Diese Differenz ist im motorischen Betrieb negativ und im
generatorischen positiv. Ist das Lastmoment zu groß, sodass der Polradwinkel
misst, so gerät die Maschine außer Tritt und bleibt stehen.
(3.38)
Drehstrom-Synchronmaschinen können als Motor, wie auch als Generator eingesetzt
werden. Die bekannteste Anwendung der fremderregten Synchronmaschine ist als
Generator bei der Erzeugung von Elektrizität [6]. Permanenterregte Synchronmotoren
werden vermehrt als Traktionsantrieb bei Elektro-und Hybridfahrzeugen eingesetzt.
Um bei einem Synchronmotor stufenlos die Drehzahl regeln zu können, muss laut (3.38) die
Frequenz des Netzes geändert werden. Dies geschieht mit einem leistungselektronischen
Stellglied. Wird die Synchronmaschine am Netz betrieben, so ist beim Anlaufen ein
Frequenzhochlauf von null bis zur Sollfrequenz nötig, da sonst die Maschine außer Tritt
gerät.
3.5.1 Der Aufbau
Synchronmaschinen werden in verschiedenen Bauformen ausgeführt. In dieser Arbeit wird
der Aufbau und die Funktionsweise von Permanentmagnet Synchronmaschinen abgeleitet,
da diese in der Aufgabenstellung verwendet wird. Für Informationen über die
unterschiedlichen Bauformen sei auf [6] verwiesen.
Die Synchronmaschine hat drei um 120° räumlich versetzte Spulen. Diese drei Spulen
können entweder im Stern oder im Dreieck verschalten werden. In der folgenden Erklärung
sind die Spulen 1,2,3 an die Außenleiter L1, L2, L3 angeschlossen. Die Frequenz des
Drehstromnetz und somit des Drehfelds beträgt , da es sich um eine Maschine mit
der Polpaarzahl eins handelt.
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Abbildung 3-17: Das dreiphasige Drehstromnetz mit den Strömen i1, i2 und i3
Abbildung 3-18: Das Drehfeld einer Synchronmaschine
In Abbildung 3-18 wird das Drehfeld einer Synchronmaschine zu vier ausgewählten
Zeitpunkten aus Abbildung 3-17 grafisch dargestellt. Zum Zeitpunkt ist die Summe
der Einzelflüsse ein Zeiger, der in der Waagrechten liegt und nach rechts zeigt. Zu diesem
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Zeitpunkt liefert Spule 1 keinen Flussbeitrag, da der Strom durch sie null ist. Die Summe der
Flüsse lässt sich berechnen durch:
(3.39)
Die Länge des Zeigers bleibt zu jedem Zeitpunkt gleich lang. Zum Zeitpunkt
fließt durch alle drei Spulen ein Strom, dadurch liefert jede Spule einen Flussanteil zum
Gesamtfluss. Vergleicht man die vier Teilabbildungen aus Abbildung 3-18, so lässt sich das
linksdrehende Drehfeld der Synchronmaschine erkennen.
Baut man nun in der Mitte des Synchronmotors einen Stabmagneten ein, so rotiert dieser
mit der Drehzahl des Drehfelds umher.
Abbildung 3-19: Belasteter Synchronmotor mir Drehwinkeldifferenz
Abbildung 3-19 zeigt den Synchronmotor mit dem Rotor. Der Rotor wurde durch einen
Stabmagneten angenähert. Auf Details im Rotoraufbau wird hier nicht weiter eingegangen,
es sei auf [4] und [7] verwiesen. Die belastete Synchronmaschine ist durch ihren
Polradwinkel , zwischen Drehfeld und Rotor charakterisiert.
3.5.2 Das Modell der Synchronmaschine
Der Statorstrom aus Abbildung 3-20 wird mithilfe der Clarke-Park-Transformation berechnet.
Dieser Strom lässt sich in beiden Koordinatensystemen darstellen. Das hochgestellte „S“
steht für das statorfeste Koordinatensystem, das hochgestellte „R“ für rotorfest.
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(3.40)
(3.41)
Abbildung 3-20: Der Statorstrom im statorfesten- und rotorfesten Koordinatensystem
Mithilfe der komplexen e-Funktion bildet sich folgender Zusammenhang.
(3.42)
Dieselbe Transformation lässt sich auch für den Statorfluss durchführen. Betrachtet man in
Abbildung 3-21 den Statorfluss, so ist der Permanentfluss nach Definition in Richtung der
d-Achse ausgerichtet.
Abbildung 3-21: Statorfluss im statorfesten- und im rotorfesten Koordinatensystem
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Der Statorkreis im statorfesten Koordinatensystem lässt sich durch dieses Ersatzschaltbild
ableiten.
isS
usS
Ls
Abbildung 3-22: Ersatzschaltbild des Statorkreis in erster Näherung
Aus dem Ersatzschaltbild in Abbildung 3-22 lässt sich Folgendes ablesen:
(3.43)
Wird das Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-22 durch einen Statorwiderstand erweitert, ergibt
sich Folgendes:
isS
usS
Ls Rs
uv
Abbildung 3-23: Erweitertes Ersatzschaltbild des Stators
Für den ohmschen Spannungsabfall an gilt in statorfesten Koordinaten:
(3.44)
Für die rotorfesten Koordinaten gilt dieser Zusammenhang:
(3.45)
Aus einem Vergleich von Gleichung (3.44) und (3.45) und der Tatsache, dass es sich um einen
ohmschen Spannungsabfall handelt, ergibt sich:
(3.46)
Für den Statorfluss lässt sich derselbe Zusammenhang ableiten wie in Gleichung (3.42).
(3.47)
Des Weiteren gilt die Verbindung:
(3.48)
Durch Ableiten von Gleichung (3.47) und Einsetzen von Gleichung (3.48) und (3.44) ergibt
sich:
(3.49)
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Durch Umformen von Gleichung (3.49) und unter Berücksichtigung des ohmschen
Spannungsabfalls ergibt sich die folgende Gleichung für den Statorspannungsabfall im
rotorfesten Koordinatensystem.
(3.50)
Durch Bildung von Real- und Imaginärteil von Gleichung (3.50) erhält man zwei Gleichungen.
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
Analysiert man Gleichung (2.40) und (2.41), so fällt die Kreuzkopplung der beiden Flüsse auf.
Der Fluss in d-Richtung wirkt positiv auf die Spannung und der Fluss in q-Richtung
wirkt negativ auf die Spannung .
Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich zwei Ersatzschaltbilder erstellen, die
Ähnlichkeiten zum Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine aufweisen.
id
Rsid
LdRs
Lddid/dt
-ωelΨqud
Abbildung 3-24: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für ud
iq
Rsiq
LqRs
Lqdiq/dt
ωelΨduq
Abbildung 3-25: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für uq
Vergleicht man die beiden Ersatzschaltbilder mit dem Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-6, so
lässt sich erkennen, dass die beiden Spannungen und der elektromotorischen
Kraft entsprechen. Die innere Leistung lässt sich berechnen durch:
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(3.55)
Durch Umstellen und Einsetzen der Bedingung
(3.56)
erhält man für Gleichung (3.55) folgenden Zusammenhang:
(3.57)
Der Faktor setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen. Der Faktor drei kommt daher,
da es sich beim Ersatzschaltbild um ein einphasiges Ersatzschaltbild handelt, der
Synchronmotor jedoch drei Phasen hat. Der Faktor setzt sich zusammen aus
da es
sich sowohl bei , als auch bei um Scheitelwerte handelt. Durch erfolgt die
Korrektur auf Effektivwerte.
Aus Abbildung 3-21 und den bereits abgeleiteten Zusammenhängen lassen sich noch
folgende Flussgleichungen ablesen.
(3.58)
(3.59)
Durch Einsetzen von Gleichung (3.58) und (3.59) in (3.57), erhält man die Gleichung für die
mechanische Leistung .
Verglichen mit Gleichung (3.12) erhält man für das Drehmoment folgende Gleichung:
(3.60)
Das Drehmoment aus Gleichung (3.60) setzt sich aus zwei Summanden zusammen. Der
vordere Summand ist das sogenannte Reluktanzdrehmoment und der hintere
Summand das sogenannte Hauptdrehmoment . Das Reluktanzdrehmoment resultiert
aus der magnetischen Asymmetrie des Polrades in der d- und q- Achse [4].
(3.61)
(3.62)
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Bei dem am Prüfstand verwendeten Oberflächenmagnetmotor ist der Rotor
rotationssymmetrisch aufgebaut, weshalb nicht zwischen einer Induktivität in d- und in q-
Richtung unterschieden werden muss [9].
(3.63)
Dadurch entfällt in Gleichung (3.60) das Reluktanzdrehmoment und die Momentgleichung
lässt sich vereinfacht darstellen.
(3.64)
Der Strom wird auch momentenbildender Strom genannt, da dieser für die
Drehmomentbildung verantwortlich ist.
Aus Gleichung (3.64) lässt sich noch ein weiteres Merkmal des Oberflächenmagnetmotors
ableiten. Der Strom trägt nicht zur Momentbildung bei. Gleichung (3.58) zeigt, dass nur
die Höhe des magnetischen Flusses in d-Richtung beeinflusst. Dieser Strom wird daher auch
Flussstrom genannt.
3.5.2.1 Simulationsmodell der Synchronmaschine
In diesem Abschnitt wird ein Motormodell abgeleitet, mit welchem in Matlab/Simulink der
Synchronmotor simuliert werden kann. Dieses Modell dient als Grundlage für einen späteren
Reglerentwurf. Als Grundlage für dieses Modell dienen die im Abschnitt 3.5.2 abgeleiteten
Gleichungen der Synchronmaschine.
Durch Umstellen der Gleichungen (3.53) und (3.54) wird Folgendes ersichtlich.
(3.65)
(3.66)
Aus den Gleichungen (3.65) und (3.66) und den beiden Flussgleichungen (3.58) und (3.59)
lässt sich das Motormodell der Synchronmaschine im Signalflussplan darstellen.
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Abbildung 3-26: Signalflussplan der Synchronmaschine aus Simulink
In Abbildung 3-26 ist die Kreuzkopplung erkennbar. Der Fluss multipliziert mit der
Kreisfrequenz liefert einen positiven Spannungsbeitrag zu . Der Fluss multipliziert
mit der Kreisfrequenz liefert zu einen negativen Spannungsbeitrag. Zusätzlich wird in
diesem Motormodell noch das Moment ausgerechnet, welches sich aus Gleichung (3.64)
ergibt. Die Eingangsgrößen in diesem Modell sind die beiden Spannungen und sowie
die Kreisfrequenz . Daher wird das Modell auch „spannungsgesteuertes Modell“ genannt.
Die Ausgangsgrößen sind die beiden Ströme und und zusätzlich das Hauptdrehmoment
der Synchronmaschine.
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3.6 Zeitdiskrete Regelungen
In der heutigen Zeit laufen immer mehr Regelungsalgorithmen auf einem Mikrocontroller
ab. Diese Mikrocontroller arbeiten jedoch zeitdiskret d. h. sie fragen zyklisch mit einer
bestimmten Abtastzeit die Wertinformationen an den Eingängen ab. Hierzu benötigen
diese an den Eingängen einen Analog-Digital-Wandler und an den Ausgängen einen Digital-
Analog-Wandler. Durch die A/D-Wandlung am Eingang des Mikrocontrollers entsteht aus
dem zeitdiskreten und wertkontinuierlichen Signal ein zeit- und wertdiskretes Signal. Der
Quantisierungsfehler kann wegen der großen Wortbreite vernachlässigt werden. Der
Algorithmus der auf dem Mikrocontroller abläuft kennt somit nur diskrete Eingangswerte.
Die Abtastzeit ist anwendungsabhängig. Werden schnelle Vorgänge geregelt, z. B.
Drehzahlen, so ist die Abtastzeit sehr kurz, werden jedoch langsame Vorgänge geregelt, z. B.
Füllstandsabfragen, so ist die Abtastzeit größer. Für den Synchronmotor soll eine
Stromregelung entworfen werden, das elektrische Teilsystem ist ein schnelles Teilsystem.
Das überlagerte mechanische Teilsystem ist langsamer als das elektrische. Die Faustformel
besagt, dass ein Zehntel der schnellsten Zeitkonstanten als Abtastzeit verwendet wird.
3.6.1 Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge
Wird ein kontinuierliches Zeitsignal zeitdiskret abgetastet, so ist eine mathematische
Beschreibung dieser Abtastfolge notwendig.
Abbildung 3-27: Abtastung und Abtasthalteglied
In Abbildung 3-27 links wird ein zeitkontinuierliches Signal zu diskreten Abtastpunkten
abgetastet. Bei der Abtastung entsteht eine Folge von Funktionswerten. Diese Werte lassen
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sich beschreiben durch oder
zusammenfassend als Folge:
(3.67)
Mithilfe von Dirac-Impulsen lässt sich die Folge als Summe umschreiben zu:
(3.68)
Wendet man nun zur Beschreibung im Frequenzbereich die Laplacetransformation auf
Gleichung (3.68) an, so erhält man die folgende Transformierte:
(3.69)
Zur Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge wird die z-Transformation angewandt. Durch
Definition der Substitution bzw.
erhält man die z-Transformierte der
Impulsfolgefunktion. Für weitere Informationen sei auf [10] verwiesen.
(3.70)
Die Gleichung (3.70) lautet ausgeschrieben:
(3.71)
3.6.1.1 Das Abtast- und Halteglied
Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Abtast- und Halteglied bereits erwähnt, nur noch
nicht näher erläutert und definiert. In Abbildung 3-27 rechts ist ein diskretes Zeitsignal nach
dem Abtast- und Halteglied zu erkennen. Beim Abtastglied wird zu einem bestimmten
Zeitpunkt das kontinuierliche Zeitsignal abgetastet. Das Halteglied hat hierbei die
Aufgabe, den Wert für den Zeitraum kT bis (k+1)T zu halten.
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Abbildung 3-28: Das Halteglied
In Abbildung 3-28 wird der Funktionswert der Höhe „w“ für einen Abtastzeitraum gehalten.
Im Zeitbereich lässt sich dies Ausdrücken durch:
(3.72)
Durch Anwendung der Laplacetransformation auf Gleichung (3.72) und des
Verschiebungssatz aus [10], erhält man die Laplaceübertragungsfunktion des Abtast- und
Halteglieds.
(3.73)
Wird bei Gleichung (3.73) die Expotentialfunktion ausgeklammert, erhält man
folgende Übertragungsfunktion für das Halteglied.
(3.74)
3.6.1.2 Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System
Mithilfe der z-Transformation lässt sich aus einer kontinuierlichen Systembeschreibung eine
diskrete Beschreibung ableiten. Dies wird anhand eines kurzen Beispiels verdeutlicht. Die
Differenzialgleichung des PT1-Glieds soll diskretisiert werden.
Abbildung 3-29: Blockschaltbild des PT1-Glieds
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Die Differentialgleichung des PT1-Glieds lautet:
(3.75)
Die Ableitung ist definiert durch:
(3.76)
Wird dies auf die Differentialgleichung (3.66) angewandt, so wird zum Zeitpunkt der
Funktionswert von in gespeichert, der alte Funktionswert von wird in
gespeichert. Dies geschieht über den Zeitraum . Dadurch kann die Ableitung mit Bildung
der Rückwärtsdifferenz beschrieben werden durch:
(3.77)
Wird dieser Zusammenhang (3.77) in Gleichung (3.75) eingesetzt und die Werte von
und zu dem diskreten Zeitpunkt eingefügt, so erhält man folgende Gleichung.
Umgestellt nach ergibt sich die Gleichung:
(3.78)
Die Differenzengleichung hängt somit nur noch vom aktuellen Eingangswert und vom
letzen Ausgangswert ab. Wird auf Gleichung (3.78) die z-Transformation angewandt,
ergibt sich die z-Transformierte:
(3.79)
Durch Umstellen der Gleichung (3.79) in eine Übertragungsfunktion erhält man Folgendes:
(3.80)
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Wendet man auf die Übertragungsfunktion aus Gleichung (3.80) den Anfangswertsatz aus
[11] an so erhält man den Anfangswert der diskreten Übertragungsfunkton.
(3.81)
3.6.1.3 Stabilität zeitdiskreter Systeme
Zeitdiskrete Systeme können wie kontinuierliche Systeme stabil bzw. instabil sein.
Kontinuierliche Systeme im Laplacebereich sind stabil, sobald für die Polstelle gilt:
(3.82)
Grenzstabil sind Systeme im Laplacebereich, falls gilt . Grenzstabile Systeme mit der
Polstelle bei eins haben integrierendes Verhalten. Die Polstelle im Laplacebereich setzt sich
aus einem Realteil und einem komplexen Anteil zusammen.
(3.83)
Eine Stabilitätsbedingung wird nun für die Übertragungsfunktion im z-Bereich
abgeleitet.
Es sei die i-te Polstelle im z-Bereich der Übertragungsfunktion Laut Definition der
z-Transformation gilt:
(3.84)
Setzt man nun Gleichung (3.83) in Gleichung (3.84) ein, so erhält man Folgendes:
(3.85)
Betrachtet man den Term so zeigt sich, dass sich dieser durch einen Zeiger der Länge
eins darstellen lässt:
(3.86)
Somit muss der vordere Term für die Stabilitätsbetrachtung relevant sein. Dadurch
ergibt sich:
(3.87)
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Durch eine abschnittsweise Betrachtung von Gleichung (3.87) erhält man folgenden
Zusammenhang für die Stabilität im z-Bereich. Sei folgt daraus instabil.
Sei nun folgt daraus stabil. Für grenzstabile Systeme gilt somit .
Der Stabilitätsbereich der z-Transformation lässt sich also beschreiben durch den
Einheitskreis mit Radius eins um null.
(3.88)
3.6.2 Die Testfunktionen im z-Bereich
Zur Analyse von unbekannten Systemen gibt es Testfunktionen. Die beiden wichtigsten sind
die Sprungfunktion
und der Deltaimpuls . Für diese zwei werden nun
beispielhaft die Transformationen hergeleitet.
3.6.2.1 Die Sprungfunktion
Betrachtet man die Sprungfunktion , mit ihrer Sprunghöhe eins, einmal als
kontinuierliche Zeitfunktion und einmal als diskrete Folge, so erhält man folgendes Bild,
Abbildung 3-30.
Abbildung 3-30: Die Sprungfunktion links, die Einheitsfolge rechts
Durch Anwendung der Definition der z-Transformation (3.70) gewinnt man aus den
Folgewerten eine geometrische Reihe für die gilt:
(3.89)
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3.6.2.2 Der Dirac-Impuls
Nun soll die z-Transformierte des Einzelimpulses abgeleitet werden. In Abbildung 3-31 ist der
Diracimpuls im Zeitbereich dargestellt (links) und im rechten Teil die zugehörige Folge.
Abbildung 3-31: Der Diracimpuls
Der Diracimpuls lässt sich als Zeitfunktion beschreiben durch:
(3.90)
Durch Transformieren in den Laplacebereich und durch Einsetzten der vorher definierten
Substitution erhält man Folgendes:
(3.91)
Für weitere Transformationspaare sei auf [11] verwiesen.
Tabelle 3-1: Transformationspaare
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3.6.3 Zeitdiskrete Regler
Zur Einführung zeitdiskreter Regler wird zu Beginn der Standardregelkreis definiert [12].
Abbildung 3-32: Standardregelkreis der Regelungstechnik
Aus Abbildung 3-32 können einige Eigenschaften des Regelkreises abgeleitet werden. So ist
die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises beschrieben durch:
(3.92)
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis lautet somit:
(3.93)
Die beiden Störübertragungsfunktionen der Störung z2 und z1 lassen sich beschreiben durch:
(3.94)
(3.95)
Da die Rechenregeln für Übertragungsfunktionen im z-Bereich identisch mit
Übertragungsfunktionen im Laplacebereich sind, wurde in Gleichungen (3.92) bis (3.95) auf
den Hinweis der Transformationsart verzichtet.
Beim Entwurf von digitalen Reglern kommen die aus der Regelungstechnik bekannten Regler
P-, I-, PI- und PID-Regler zur Anwendung. Diese Typen müssen jedoch in einen diskreten
Algorithmus überführt werden. Für die Besonderheiten bei dieser Diskretisierung (z. B.
Vorwärts-, Rückwärtsdifferenz, Trapezregel) sei auf [12] und [11] verwiesen.
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Bei digitalen Reglern kann im Gegensatz zu analogen Reglern das Ziel verfolgt werden, nach
einer endlichen Anzahl von Schritten den Endwert erreicht zu haben. Diese Regler werden
Kompensationsregler für endliche Einstellzeit oder auch Dead-Beat-Regler genannt.
3.6.3.1 Dead-Beat-Regler
Dead-Beat-Regler sind zeitdiskrete Regler, die die Eigenschaft haben, nach einer Anzahl von
n-Schritten bei sprungförmiger Vorgabe der Führungsgröße den Istwert auf den Sollwert
geregelt zu haben. Die Ausregelzeit lässt sich bestimmen durch,
(3.96)
wenn die Abtastzeit ist. Nach der Ausregelzeit ist somit die Regeldifferenz gleich null.
Beim Dead-Beat-Regler handelt es sich um einen Kompensationsregler, bei dem alle Pole der
Strecke kompensiert werden. Aufgrund der Kompensation ist ein Dead-Beat-Regler für
instabile Strecken ungeeignet, da sich Pole nicht exakt kompensieren lassen [12]. Bei der
Ableitung der Formeln für den Reglerentwurf sei auf den Standardregelkreis verwiesen.
Abbildung 3-33: Dead-Beat-Regelkreis
In der Strecke (Abbildung 3-33) ist die Übertragungsfunktion des Abtast- und
Halteglieds und die Übertragungsfunktion der Strecke zusammengefasst. Somit lassen
sich zeitkontinuierliche Strecken mit dem Dead-Beat-Regler regeln.
Abbildung 3-34: Abtast- und Halteglied mit Strecke im Laplacebereich
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Die zeitdiskrete Strecke lässt sich laut Abbildung 3-34 beschreiben durch:
(3.97)
Durch Einsetzen der Laplacetransformierten für das Abtast- und Halteglied aus
Gleichung(3.74) erhält man Folgendes:
(3.98)
Der Faktor entspricht im z-Bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzeitpunkt.
Somit folgt aus Gleichung (3.98) durch Umstellung Folgendes.
(3.99)
Daraus folgt:
(3.100)
Nun lässt sich aus einer kontinuierlichen Strecke die zeitdisktrete Strecke unter
Berücksichtigung des Abtast- und Halteglieds berechnen. Um die z-Transformierte mit
Transformationstabellen zu berechnen, kann eine Partialbruchzerlegung des Terms
nötig sein [11], [10].
3.6.3.2 Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe
Zur Herleitung des Dead-Beat Reglers sei auf Abbildung 3-33 verwiesen. Die
Übertragungsfunktion des Dead-Beat Reglers lässt sich beschreiben durch:
(3.101)
Die Übertragungsfunktion lässt sich somit aus der bekannten Übertragungsfunktion
und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion beschreiben.
(3.102)
Der Faktor in Gleichung (3.102) ist gleich null, da eine nicht sprungfähige Strecke
angenommen wird [13].
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Nach n-Schritten ist die Ausgangsgröße gleich der Eingangsgröße. Somit gilt bei einer
Führungsgröße von eins für :
(3.103)
Somit kann als Folge beschrieben werden:
(3.104)
Mit der z-Transformation lässt sich die Folge ausdrücken mit:
(3.105)
Die vordere Summe drückt hierbei die Ausgangswerte bis der Folge aus und die
hintere Summe beschreibt das Erreichen der Führungsgröße am Ausgang. Diese Summe lässt
sich in zwei Summen zerlegen, wenn der Index „i“ nicht bei „n“, sondern bei null wie die
vordere Summe startet.
(3.106)
Die mittlere Summe zieht hierbei den Fehler wieder ab, der durch die Erweiterung der
hinteren Summe entsteht. Zusammengefasst gilt somit:
(3.107)
Mit Sprungaufschaltung erhält man die Führungsübertragungsfunktion :
(3.108)
Durch Umstellen von Gleichung (3.108) erhält man Folgendes für :
(3.109)
Somit ist ein Polynom der Ordnung n mit negativen Potenzen. Dieses endliche
Polynom lautet ausformuliert:
(3.110)
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Da dieses Polynom stationär genau sein muss, gilt für die Summe der einzelnen
Polynomkoeffizienten:
(3.111)
Für die Stellgröße wird nun ein entsprechendes Polynom ermittelt. Für die Stellgröße
gilt nach n-Schritten:
(3.112)
Die Folge wird beschrieben durch:
(3.113)
Mit der z-Transformation lässt sich die Folge beschreiben:
(3.114)
Wird nun
gebildet, erhält man ebenfalls ein endliches Polynom:
(3.115)
(3.116)
Der Faktor ist die erste Stellgröße des Reglers.
Durch Bildung des Quotienten
erhält man eine weitere Formel für die
Übertragungsfunktion :
(3.117)
Wird nun Gleichung (3.117) durch dividiert, erhält man Folgendes:
(3.118)
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Durch Koeffizientenvergleich von Gleichung (3.102) und (3.118) und Einbeziehung von
Gleichung (3.111) erhält man folgende Gleichungen zur Bestimmung der Reglerkoeffizienten.
(3.119)
Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist in (3.110) schon abgeleitet
worden. Somit können in Gleichung (3.101) die Ergebnisse von Gleichung (3.110) und (3.118)
eingesetzt werden und man erhält Folgendes:
(3.120)
Durch Einsetzten erhält man:
(3.121)
Wird nun Gleichung (2.104) in Gleichung (2.95) eingesetzt, ergibt sich Folgendes für den
geschlossenen Regelkreis:
Aus Gleichungen (3.119) werden die Regelparameter für Gleichung (3.121) bestimmt.
Die Auslegung eines Dead-Beat-Reglers wird nachfolgend anhand von zwei Beispielen
demonstriert.
3.6.3.2.1 Beispiel 1: PT1-Strecke
Die PT1-Strecke habe folgende Übertragungsfunktion:
mit den Streckenparametern und der Abtastzeit:
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Bei der PT1-Strecke handelt es sich um eine kontinuierliche Übertragungsfunktion vom Grad
eins. Somit handelt es sich im Diskreten um eine Strecke der Ordnung eins, d. h., die
Ausregelzeit ist in diesem Fall laut Gleichung (3.96) eine Abtastzeit lang.
Durch Einsetzen der Strecke in Gleichung (3.102), erhält man im Klammerausdruck
folgenden Term
. Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich folgende Gleichung.
(3.123)
Durch Koeffizientenvergleich in Gleichung (3.123), erhält man für die gesuchten Parameter
und folgende Werte:
(3.124)
Durch Einsetzen in Gleichung (3.102) erhält man Folgendes:
(3.125)
Unter Verwendung der Transformationstabellen in [11] erhält man aus Gleichung (3.125):
(3.126)
Durch Ausmultiplizieren erhält man aus Gleichung (3.126) die Übertragungsfunktion für die
diskretisierte PT1-Strecke mit Abtast- und Halteglied.
(3.127)
Die Gleichungen (3.119) liefern folgendes Ergebnis.
(3.128)
Durch Einsetzen von Gleichungen (3.128) in die Übertragungsfunktion des Reglers (3.121)
erhält man folgende Gleichung für den Regler.
(3.129)
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Der offene Regelkreis wird durch folgende Gleichung beschrieben.
(3.130)
(3.131)
Da es sich beim Dead-Beat Regler um einen Kompensationsregler handelt, wird die Polstelle
der Streckenübertragungsfunktion gekürzt.
Beim offenen Regelkreis erkennt man das integrale Verhalten der Übertragungsfunktion. Aus
dem offenen Regelkreis lässt sich mittels Gleichung (3.93) die Übertragungsfunktion des
geschlossenen Regelkreises ableiten.
(3.132)
Daraus erkennt man, dass der Regelkreis mit einer Verspätung von einem Abtastschritt den
stationären Endwert erreicht. Dasselbe Ergebnis liefert auch Gleichung (3.122).
Die Regelgrößenfolge des geschlossenen Regelkreises ergibt sich zu:
(3.133)
Die Stellgrößenfolge lässt sich beschreiben mit:
(3.134)
Die Stellgröße des Reglers im stationären Fall ist 0,5. Dies ist aus den Streckenparametern
bereits ablesbar, da die Streckenverstärkung beträgt. Die Simulation des Regelkreises
erfolgte in Matlab/Simulink. Hierbei wurde folgender Simulationsaufbau verwendet.
Abbildung 3-35: Simulationsaufbau in Simulink
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Abbildung 3-36: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die PT1-Strecke
Abbildung 3-36 bestätigt die errechneten Ergebnisse. Im rechten Teil der Abbildung erkennt
man, dass nach einem Sprung das System innerhalb einer Abtastzeit den stationären
Endwert erreicht hat. Im linken Teil erkennt man, dass der Regler sofort auf die
Regeldifferenz reagiert und mit einer Stellgröße von 3,257 reagiert. Einen Takt später ist das
System eingeschwungen und der Regler gibt aufgrund von den Stellgrößenwert 0,5
aus.
3.6.3.2.2 Beispiel 2: I²-Strecke
In diesem Beispiel wird ein Dead-Beat-Entwurf für die I²-Strecke mit der
Übertragungsfunktion
durchgeführt. Die Streckenparameter lauten:
Bei einer Abtastzeit von:
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Durch Einsetzen der kontinuierlichen Strecke
in Gleichung (3.102) erhält man
folgenden Zwischenschritt:
(3.135)
Aus der Transformationstabelle in [11] lässt sich die z-Transformierte ablesen zu:
(3.136)
Durch Kürzen und Umstellen von Gleichung (3.136) erhält man:
(3.137)
Aus Gleichungen (3.119) folgt folgendes Ergebnis.
(3.138)
Eingesetzt in die Reglergleichung ergibt sich folgendes Ergebnis.
(3.139)
Durch Einsetzen der Streckenparameter und der Abtastzeit erhält man für Gleichung (3.139):
(3.140)
Aus Gleichung (3.140) kann man bei einem Eingangssprung auf eins die Stellgrößen des
Reglers ablesen.
(3.141)
Da der Regler der Ordnung zwei entspricht, erreicht er nach genau zwei Abtastzeiten den
Endwert, in diesem Beispiel nach . Ist das System im stationären Zustand, so muss die
Stellgröße des Reglers null sein, da sonst das I²-Verhalten der Strecke eine Änderung am
Ausgang zur Folge hätte. Der offene Regelkreis lässt sich beschreiben durch:
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(3.142)
Durch Ausmultiplizieren und Einsetzen von Bedingungen aus (3.138) erhält man:
(3.143)
Nach Kompensation der Streckennullstelle erhält man folgende abschließende Gleichung für
den offenen Regelkreis:
(3.144)
Der geschlossene Regelkreis liefert ein endliches Polynom:
(3.145)
Aus dieser Gleichung lässt sich gleich die Regelgrößenfolge des Systems ableiten:
(3.146)
Der Regelkreis wird wie in Beispiel 1 mit Matlab/Simulink simuliert. Der Simulationsaufbau
ähnelt dem in Abbildung 3-35, die Strecke und die Regelparameter sind verschieden.
Abbildung 3-37: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die I²-Strecke
Die Simulationsergebnisse (Abbildung 3-37) bestätigen, die in den Gleichungen (3.146) und
(3.141) berechneten Werte.
Bei dieser Simulation sind die großen Stellgrößen auffällig. Laut Ableitung ist das Polynom
verantwortlich für die Stellgrößen, das heißt in diesem Fall die Koeffizienten
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. Diese Stellgrößen sind im Beispiel bis auf Vorfaktoren von dem Term
abhängig. Wird also die Abtastzeit verkürzt so wirkt sich dieses quadratisch auf die
Stellgrößen aus. Um dieses Problem zu beheben, sind Dead-Beat Regler notwendig, die nicht
auf die kürzeste Einstellzeit ausgelegt sind.
Vergleicht man zum Abschluss der beiden Beispiele die Sprungantworten der Regler, erhält
man folgende Grafiken:
Abbildung 3-38: Sprungantworten der Regler. Links Reglerantwort für PT1-Strecke und Rechts Reglerantwort für I²-Strecke
In Abbildung 3-38, links erkennt man die Sprungantwort des Reglers für die PT1-Strecke. Hier
fällt das integrale Verhalten mit einem Proportionalanteil auf. Es sind Ähnlichkeiten zu einem
PI-Regler aus dem kontinuierlichen Zeitbereich zu erkennen. Im rechten Teil der Abbildung
ist die Sprungantwort des Reglers für die I²-Strecke dargestellt. Es ist die abklingende
Sprungantwort des Reglers zu erkennen. Um dieses Verhalten besser verstehen zu können,
ist eine Betrachtung der Differenzengleichung von der Reglerübertragungsfunktion (3.140)
hilfreich.
(3.147)
In Abbildung 3-38-rechts wurde die Reglerübertragungsfunktion mit einem Sprung getestet,
d. h. . Die Sprungantwort des Reglers lässt sich mit der Differenzengleichung
berechnen.
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Tabelle 3-2: Sprungantwort des Dead-Beat Reglers der I²-Strecke
Die Berechnung der Folge wurde nach vier Schritten abgebrochen. Bei der Ausgangsfolge
handelt es sich um eine unendliche Sprungantwort, die jedoch gegen null konvergiert.
Zusammenfassend lässt sich also sagen: Regler für Strecken mit integralem Verhalten haben
kein integrales Verhalten. Umgekehrt lässt sich sagen, dass Regler für Strecken ohne
integrales Verhalten ein integrales Verhalten haben.
3.6.3.3 Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts
Wie im Beispiel 2: I²-Strecke schon festgestellt wurde, können Stellgrößen, je nach Wahl der
Abtastzeit, große Werte annehmen. Bei Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten
Stellgrößenwerts lässt sich der erste Stellgrößenwert vorgeben. Dadurch lassen sich
technische Grenzen der Stellglieder, wie z. B. maximaler Strom oder maximale Spannung, bei
der Berechnung des Dead-Beat Reglers berücksichtigen.
Durch Vorgabe von Stellgrößenwerten, erhöht sich die Ordnung des Reglers und somit
auch die Ausregelzeit
(3.148)
Da sich die Ordnung des Reglers um die Anzahl der Stellgrößenvorgaben erhöht, folgt
daraus:
(3.149)
Die endlichen Polynome und enthalten ein gemeinsames Polynom ,
somit ist ein Vergleich mit der Streckenübertragungsfunktion möglich.
(3.150)
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Da es sich um eine Stellgrößenvorgabe handelt, erhöht sich die Ordnung um eins. Somit lässt
sich das Polynom beschreiben durch:
(3.151)
Die Stellgrößenvorgabe sei .
Wie bei der Ableitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe, ist ein Vergleich der
Streckenübertragungsfunktion notwendig.
(3.152)
(3.153)
Wird nun das Polynom mit betrachtet, erhält man laut Gleichung (3.150) Folgendes:
(3.154)
(3.155)
Koeffizientenvergleich zwischen Gleichung (3.155) und (3.154) liefert die Formeln für und
.
(3.156)
Wird die Gleichung (3.155) mit dem Polynom multipliziert, so erhält man:
(3.157)
Durch Koeffizientenvergleich in Gleichung (3.142) ergibt sich:
(3.158)
(3.159)
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In Gleichung (3.159) wird der Koeffizient bestimmt, dieser ist jedoch durch die
Stellgrößenvorgabe gegeben. Daraus lässt sich berechnen:
(3.160)
Zur Bestimmung der Koeffizienten und muss noch der Zusammenhang für die
Hilfsgröße abgeleitet werden. Auch bei diesem Dead-Beat Entwurf gilt Folgendes:
(3.161)
Durch Einsetzen von Bedingungen aus Gleichung (3.158) und (3.160) erhält man für
Gleichung (3.161).
(3.162)
Durch Umstellen von Gleichung (3.162) und Division durch , erhält man Folgendes für
. Zusätzlich wird in Gleichung (3.160) eingesetzt.
(3.163)
(3.164)
Nun hat man alle Grundlagen geschaffen um Gleichungen für , , und
herzuleiten.
(3.165)
(3.166)
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Die Ableitung für und erfolgt nach demselben Muster:
(3.167)
(3.168)
Nun sind alle Formeln für den Dead-Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe abgeleitet.
Abschließend werden noch weitere Zusammenhänge abgeleitet. Für den Regler gilt nun:
(3.169)
Für die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist wieder das Polynom
entscheidend.
(3.170)
Für die Stellgrößenfolge des geschlossenen Regelkreises ist das Polynom
ausschlaggebend. Wobei die erste Stellgröße gegeben ist. Die Stellgrößenvorgabe lässt
sich je nach Aufgabenstellung einstellen.
(3.171)
Die Anwendung der abgeleiteten Formeln soll anhand eines weiteren Beispiels demonstriert
werden. In diesem Beispiel soll eine Strecke mit PT1-Verhalten geregelt werden, da sich diese
Strecke beim elektrischen Modell der Synchronmaschine wiederfindet.
3.6.3.3.1 Beispiel 3: PT1-Strecke mit erster Stellgrößenvorgabe
Anhand dieses Beispiels soll die Auswirkung der ersten Stellgrößenvorgabe auf das
Regelverhalten des Gesamtsystems analysiert werden. Die Übertragungsfunktion der Strecke
ist:
Die Streckenparameter sowie die Abtastzeit lauten:
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Die erste Stellgrößenvorgabe sei .
Zuerst muss wie in Beispiel 1 die diskrete Streckenübertragungsfunktion unter
Berücksichtigung des Abtast- und Halteglieds berechnet werden. Diese Umrechnung
geschieht mit der bereits bekannten Formel (3.100). Zur besseren Übersicht wird mit
der Substitution
umgeschrieben.
(3.172)
Die und Parameter des Reglers lassen sich durch die Gleichungen (3.165) bis (3.168)
bestimmen und liefern folgende Werte:
(3.173)
(3.174)
(3.175)
(3.176)
Durch Einsetzen der und Parameter in Gleichung (3.169) erhält man:
(3.177)
Der offene Regelkreis lässt sich aus Gleichungen (3.177) und (3.172) berechnen zu:
(3.178)
Wird der Koeffizient der Streckenübertragungsfunktion in die Reglerübertragungsfunktion
multipliziert, ergibt sich:
(3.179)
Zur Kompensation der Streckenpolstelle muss der Faktor noch herausgezogen
werden.
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(3.180)
Nach der Kompensation ergibt sich die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises zu:
(3.181)
Daraus ergibt sich der geschlossene Regelkreis zu:
(3.182)
Aus Gleichung (3.182) lässt sich ablesen, dass das Polynom den Regelgrößenverlauf
bestimmt. Zusätzlich lässt sich erkennen, dass im Vergleich zu Beispiel 1 das Polynom um
eine Ordnung höher ist und somit zwei Abtastschritte braucht, bis der Regelgrößenverlauf
stationär ist, wie es durch die Reglerauslegung gefordert ist.
Aus dem geschlossenen Regelkreis lässt sich sofort die Ausgangsfolge bei einem
Eingangswert berechnen.
(3.183)
Der Regelgrößenverlauf ist abhängig vom Stellgrößenwert . Für die im Beispiel
verwendeten Streckenparameter ergibt sich folgende Ausgangsfolge in Abhängigkeit von
(3.184)
Mit dem Stellgrößenwert wird also indirekt auch die Ausgangsgröße beeinflusst. Jedoch
ist hier der Faktor zu berücksichtigen. Stell-und Ausgangsgrößenwert sind somit
voneinander abhängig, d. h., ein geforderter Ausgangsgrößenwert hat einen bestimmten
Stellgrößenwert. Ist
schwingt die Sprungantwort über. Diese Grenze entspricht der
Stellgröße des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgaben, siehe Kapitel 3.6.3.2.1. Somit
ist der Dead-Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe auf den Dead-Beat Regler ohne
Stellgrößenvorgabe zurückzuführen. Wird in Gleichung (3.182) für
eingesetzt erhält
man folgendes Ergebnis, was dem Regelgrößenverlauf in Beispiel 1 entspricht.
(3.185)
Im Folgenden soll nun der Einfluss des Stellgrößenwerts auf den nachfolgenden
Stellgrößenwert und auf den Regelgrößenverlauf betrachtet werden. Hierbei werden die
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Folgen bei unterschiedlichen mit Matlab/Simulink simuliert. Die Simulationsergebnisse
können anhand von (3.170) und (3.171) im Vorfeld ausgerechnet werden. Hierbei wird wie in
der Simulation mit einer Sprunghöhe von eins gerechnet.
Tabelle 3-3: Stellgrößen und Ausgangsgrößen bei unterschiedlichem y0
1
0,5
1
4
Abbildung 3-39: Sprungantworten bei y0=0,5
In Abbildung 3-39 wurde der Regelkreis mit einem Stellgrößenwert von simmuliert.
Im linken Teil der Abbildung ist die Stellgrößenfolge des Reglers zu sehen. Die Größe des
ersten Folgewerts ist . Durch Vergleich mit Tabelle 3-3 werden die berechneten Werte
bestätigt.
1
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Abbildung 3-40: Sprungantworten bei y0=1
In Abbildung 3-40 wurde der Regelkreis mit einer Stellgrößenvorgabe simuliert. Die
Simulationsergebnisse decken sich mit den berechneten Werten aus Tabelle 3-3.
Abbildung 3-41: Sprungantworten bei y0=4
Bei der Simulation mit ist das Überschwingen der Führungsübertragungsfunktion zu
sehen, siehe Abbildung 3-41. Aufgrund des Überschwingens muss der Regler mit einem
negativen Stellgrößenwert reagieren, sodass dieses Überschwingen ausgeregelt wird. Dieses
Verhalten ist je nach Anwendung gewollt oder ungewollt.
3.6.3.4 Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben
In diesem Abschnitt wird der Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben abgeleitet.
Dabei werden die ersten beiden Stellgrößen vorgegeben. Die Stellgrößen seien und
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Durch die Vorgabe von zwei Stellgrößen ergibt sich die Ordnung . Dadurch erhält man
aus Gleichung (3.149):
(3.186)
Die endlichen Polynome und enthalten diesmal das Polynom ,
welches die Ordnung hat, also zwei.
(3.187)
Mit:
(3.188)
Wird zuerst die Streckenübertragungsfunktion mit dem Quotienten der Polynome
gleichgestellt ergibt sich dieses:
(3.189)
Wird durch dividiert ergibt sich:
(3.190)
Koeffizientenvergleich innerhalb von Gleichung (3.190) ergibt die folgenden Formeln:
(3.191)
Das Polynom wird jetzt multipliziert:
(3.192)
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Koeffizientenvergleich innerhalb von Gleichung (3.192) ergeben folgende Gleichungen für
die Reglerkoeffizienten.
(3.193)
(3.194)
Die beiden Koeffizienten und sind indirekt durch die Stellgrößenvorgabe bestimmt. Für
den ersten Stellgrößenwert gilt:
(3.195)
Für die zweite Stellgrößenvorgabe gilt dieses:
(3.196)
Der Koeffizient ist nicht die zweite Stellgrößenvorgabe. Für die zweite Stellgrößenvorgabe
gilt laut (3.116):
(3.197)
Aus Gleichungen (3.195) und (3.196) können die beiden Koeffizienten und bestimmt
werden.
(3.198)
(3.199)
Jetzt muss noch die unbekannte Hilfsgröße bestimmt werden. Bei diesem Entwurf gilt
ebenfalls:
(3.200)
Werden die Gleichungen aus (3.193) hinzugenommen, so lässt sich die Summe umschreiben
als:
(3.201)
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Werden die Summen aus (3.201) auf denselben Startwert korrigiert, so erhält man:
(3.202)
Durch Einsetzen der Bedingung aus (3.191) erhält man Folgendes für Gleichung (3.202).
(3.203)
Wird Gleichung (3.203) durch die bekannten Zusammenhänge vereinfacht, bekommt man
folgende Gleichung:
(3.204)
Wird Gleichung (3.204) nach umgestellt erhält man diese Gleichung:
(3.205)
In Gleichung (3.205) ist nur noch eine unbekannte Hilfsgröße, diese kann jedoch durch
Gleichung (3.199) ersetzt werden. Durch Umstellen erhält man die abschließende Gleichung
für .
(3.206)
Zur Bestimmung der Reglerkoeffizienten und sind nun alle fehlenden Größen berechnet.
Nun werden zuerst die Koeffizienten bestimmt. Die beiden Koeffizienten und sind
durch die Stellgrößenvorgaben schon bestimmt. Aus Gleichung (3.194) kennt man:
Werden die bekannten Gleichungen (3.198), (3.199) und (3.191) in Gleichung (3.194)
eingesetzt, erhält man diese Gleichung:
(3.207)
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Durch Vereinfachen und Einsetzten der in Gleichung (3.206) abgeleiteten Formel für ,
erhält man diese Gleichung für
(3.208)
Für die anderen Gleichungen aus (3.194) lässt es sich wie folgt vereinfachen.
(3.209)
(3.210)
(3.211)
Die Ableitung für die Koeffizienten folgt nach demselben Schema wie die Ableitung für die
Koeffizienten. Aus diesem Grund wird darauf verzichtet und nur die fertigen Formeln
angegeben.
(3.212)
(3.213)
(3.214)
Nun sind alle Gleichungen, die für den Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben
relevant sind abgeleitet.
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3.7 Raumzeigermodulation
Dieses Kapitel soll in die Raumzeigermodulation einführen. Für tieferes Verständnis sei auf
[14] verwiesen.
Die Raumzeigermodulation ist ein Verfahren um mittels Pulswechselrichter eine dreiphasige
PWM für ein synthetisches Drehspannungssystem zu erzeugen. Dies ist die Grundlage für
eine feldorientierte Regelung von Drehfeldmaschinen. Die Modulation des Zeigers geschieht
durch Pulsweitenmodulation der Endstufen Transistoren in der Leistungselektronik.
U0
V1
V2
V3
V4 V6
V5
L1 L2 L3
U V W
Drehfeldmotor
U1,2 U3,4 U5,6
U12 U23
U31
Abbildung 3-42: Leistungselektronik und Motor
In der oberen Abbildung 3-42 ist die Leistungselektronik mit Motor zu erkennen. Die
Leistungselektronik ist an eine Gleichspannung angeschlossen. Die Elektronik besteht aus
drei Halbbrücken mit Transistoren, die als Schalter wirken. Die Transistoren werden durch
die Steuerspannungen angesteuert. Hierbei ist durch Invertieren der
Steuersignale sichergestellt, dass nie beide Transistoren in einer Halbbrücke gleichzeitig
leitend sind. Dieser Fehlerfall hätte einen Kurzschluss zur Folge. Die Schaltelemente sind in
dieser Abbildung durch Bipolare-Transistoren symbolisiert. Heutzutage werden in der
Leistungselektronik IGBT-Transistoren verwendet.
Die Leistungselektronik kann aufgrund ihres Aufbaus nur die Außenleiterspannungen
zwischen den Ausgängen L1, L2 und L3 realisieren. Ist beispielsweise und
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so ist die Spannung . Die Spannung entspricht jedoch der Außenleiter-
spannung.
Der Drehfeldmotor ist durch die drei Spulen dargestellt, diese sind im Stern verschaltet. Der
Motor ist an die Anschlüsse L1, L2, L3 der Leistungselektronik angeschlossen.
Da die Leistungshalbleiter nur als Schalter betrieben werden, können die beiden
Transistoren einer Halbbrücke durch einen Schalter angenähert werden. In Abbildung 3-43
ist diese Näherung dargestellt.
U0
L1 L2 L3
1 1 1
0 0 0
-U0 U0
0
Abbildung 3-43: Leistungselektronik durch Schalter angenähert. Beispielhaft Standardvektor u3 mit Spannungen
Die Schalterstellung ist mit logisch eins und null beschriftet. Diese Beschriftung entspricht
der Beschaltung in Abbildung 3-42. Ist in der ersten Halbbrücke das Spannungssignal
positiv, so ist Transistor V1 leitend und V2 gesperrt, dies entspricht der Schaltstellung 1. Mit
den drei Schaltern und je zwei Schaltstellungen werden 2³ Schaltzustände möglich. Die
Schaltzustände lassen sich in Standardvektoren zusammenfassen. Die Außenleiter-
spannungen ergeben sich aus Gleichung (3.215). Die Strangspannungen lassen sich aus der
Betrachtung des Ersatzschaltbild des Drehfeldmotors in Sternschaltung ableiten.
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RL2
RL1 RL3
uL2
uL3uL1
U0
Abbildung 3-44: Ersatzschalt des Drehfeldmotors in Sternschaltung. Beispielhaft für Standardvektor u3
In Abbildung 3-44 ist sind die drei Spulen des Drehfeldmotors durch drei Widerstände
abgebildet, zusätzlich ist Standartvektor geschalten. Dadurch lassen sich die einzelnen
Strangspannungen unter der Annahme das berechnen.
Tabelle 3-4: Die Standardvektoren, ihre logischen Zustände und Spannungen
L1 L2 L3
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Die Vektoren und werden als Nullvektoren bezeichnet. Diese beiden Vektoren liefern
keine Spannung am Ausgang der Leistungselektronik, d. h. . Die
Schaltfolge der Vektoren sind mit dem Graycode codiert. Diese Codierung bietet den Vorteil,
dass beim Übergang zum nächsthöheren bzw. niedrigeren Vektor nur ein Schaltvorgang
nötig ist. Das wird ausgenützt, da die Schaltverluste in den Transistoren proportional mit den
Schaltvorgängen steigen. In Abbildung 3-43 sind zusätzlich die Schaltzustände des
Standardvektors mit den Außenleiterspannungen dargestellt. Die Außenleiterspannungen
lassen sich für alle Schaltzustände ableiten. Zusätzlich gilt hierbei noch der Maschenumlauf.
(3.215)
Die Darstellung der Raumzeiger erfolgt im α/β-Koordinatensystem. Aufgrund der begrenzten
Zwischenkreisspannung lässt sich nicht jeder Raumzeiger darstellen. Die Eckpunkte des
Hexagons lassen sich aus den Strangspannungen in Tabelle 3-4 ablesen. Verbindet man die
Eckpunkte erhält man das Hexagon. Soll Beispielsweise der Raumzeiger dargestellt werden,
der sich nur in die β-Richtung erstreckt so sind die beiden Standardvektoren und zur
Bildung des Sollvektors nötig. Aufgrund der PWM können die beiden Vektoren nur die halbe
Pulsperiodendauer geschaltet sein. Geometrisch entspricht das einer Addition der
Standardvektoren mit halber Länge, dabei erreicht man den Schnittpunkt der grauen Linie
mit der β-Achse. Auf diese Art kann der Rand des Hexagons bestimmt werden und somit die
maximal mögliche Stellspannung als Funktion des Winkels, siehe Abbildung 3-45.
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Abbildung 3-45: Die Raumzeiger in α/β-Koordinaten
Die räumliche Zuordnung der Raumzeiger ist in Abbildung 3-45 ersichtlich. Die beiden
Nullvektoren wurden vernachlässigt. Die drei Standardvektoren , und sind die Basis
der Standardvektoren. Die restlichen Vektoren ergeben sich somit als Summe aus zwei
Strangspannungen. Die Spannung ergibt sich aus dem Inkreis des Hexagons. Die
Spannung , welche direkt auf der α-Achse liegt, lässt sich laut Gleichung (3.23)
beschreiben durch:
(3.216)
Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks ist bestimmt durch.
(3.217)
Durch Anpassung an die Aufgabenstellung und Einsetzen von Gleichung (3.216) in (3.217)
erhält man für den Radius des Inkreises die Formel für die maximale Spannung.
(3.218)
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ist die angelegte Gleichspannung des Wechselrichters. Die Verwendung der
Innkreisspannung bietet den Vorteil, dass sich der Algorithmus zur Berechnung der
Raumzeiger vereinfacht, da die maximale Stellspannung für jeden Winkel gleich ist. Der
maximale Stellspannungsverlust ergibt sich zu:
(3.219)
Die Standardvektoren teilen das Hexagon in sechs Sektoren auf. Sektor eins befindet sich
zwischen und , Sektor zwei befindet sich zwischen und usw. Diese Aufteilung ist
im folgenden Abschnitt (3.7.1) von Bedeutung.
3.7.1 Berechnung beliebiger Raumzeiger
Um einen rotierenden Raumzeiger mit bestimmter Länge zu erhalten, sind die sechs
Standardvektoren und die beiden Nullvektoren unzureichend. Es muss durch Addition von
drei Vektoren möglich sein, einen Raumzeiger beliebiger Länge und Winkel zu erstellen.
Hierbei wird die aus der Leistungselektronik bekannte Pulsweitenmodulation (PWM)
verwendet.
Abbildung 3-46: Raumvektor in Sektor 1
Der Sollraumvektor lässt sich auf die beiden Standardvektoren und projizieren,
siehe Abbildung 3-46. Dabei grenzen die Randvektoren den Sektor ab.
Ist die Schaltdauer mit gegeben, so lassen sich die Schaltzeiten für und berechnen
durch.
(3.220)
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(3.221)
Ist der zu modulierende Vektor kleiner als , so muss für einen gewissen Zeitraum einer
der beiden Nullvektoren geschaltet sein. Diese Zeit lässt sich berechnen aus der Formel:
(3.222)
Welcher Nullvektor geschalten wird, ist abhängig vom jeweiligen Sektor. Es wird der
Nullvektor geschaltet, bei dem die wenigsten Schaltvorgänge nötig sind. Im Sektor eins
lautet die Schaltreihenfolge, wie folgt:
(3.223)
Erfahrungen haben gezeigt, dass ein Hochschalten von nach und ein wieder
Runterschalten zu am besten ist, da Start- und Endpunkt der Modulation identisch sind.
Bei diesem Verfahren handelt es sich um ein symmetrisches Pulsmuster. Beim
symmetrischen Pulsmuster müssen jedoch die Zeiten von und halbiert werden, da
diese zweimal vorkommen.
Mit diesem Verfahren ist es nun möglich, einen rotierenden Raumzeiger mit variabler Länge
zu modulieren.
3.7.1.1 Der Aussteuerungsgrad
Der Aussteuerungsgrad der Leistungselektronik ist eine Ausgangsgröße der
Leistungselektronik. Diese gibt das Verhältnis zwischen der Zwischenkreisspannung und
der Ausgangsspannung an.
(3.224)
Der Aussteuerungsgrad ist eine Größe, die für jede der Phasen einzeln berechnet wird. Da
die Ausgangsspannung der Leistungselektronik eine Außenleiterspannung ist, ergibt sich das
Maximum des Aussteuerungsgrad laut Gleichung (3.218) zu:
(3.225)
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4 Das Simulationsmodell
Die Simulation des Regelkreises erfolgt in Matlab/Simulink. Die Motorparameter des Modells
werden in einem Skriptfile eingelesen. In dieser Datei werden die für den Reglerentwurf
notwendigen Parameter berechnet.
In diesem Abschnitt wird zuerst das Simulationsmodell aus Simulink näher erläutert. Hierbei
werden nicht alle Systeme des Regelungsmodells erläutert, sondern nur die für das
Verständnis relevanten. Danach werden verschiedene Reglerentwürfe anhand ihrer
Simulationsergebnisse bewertet.
4.1 Modelldaten
Beim simulierten Motor handelt es sich um einen Oberflächenmagnetmotor.
Tabelle 4-1: Modelldaten des Simulationsmodells
Motordaten Wert Kommentar
Polpaarzahl
Trägheitsmoment des Motors
Simulationsparameter
Zwischenkreisspannung
Abtastzeit
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4.2 Der Regelkreis
Der vollständige Regelkreis der feldorientierten Regelung besteht aus mehreren
Komponenten. Für den Regelkreis werden die beiden Stromregler als Dead-Beat Regler
implementiert. Im Folgenden gilt: Index „x“ entspricht einem Istwert und Index „w“ einem
Sollwert des Regelkreises.
Abbildung 4-1: Die Struktur der feldorientierten Regelung
Der in Abbildung 4-1 dargestellte Regelkreis zeigt die Struktur der Regelung. Der Flussregler
gibt die beiden Sollstromwerte und für die Stromregelung vor. In der Flussregelung
ist zusätzlich eine Strombegrenzung eingebaut, die den Betrag der beiden Ströme und
auf den maximal zulässigen Strombetrag begrenzt. Ist der Motor im
Ankerstellbereich, so gibt die Flussregelung einen Sollstrom vor. Überschreitet der
Motor die Nenndrehzahl , so gibt die Flussregelung einen flussschwächenden negativen
Strom vor. Die Flussregelung wurde aus einem anderen Motormodell übernommen und
angepasst. Die verwendete Reglerstruktur hat Ähnlichkeiten mit einem kaskadierten
Regelkreis. Jedoch ist die Flussregelung keine überlagerte Regelung zur Stromregelung,
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sondern eine Regelung, die aufgrund der Ausgangsspannungen der beiden Stromregler den
Sollstrom und vorgibt.
Das Motormodell ist im Block „PMSM“ (Permanentmagnet Synchron Motor) implementiert.
Das Motormodell ist als kontinuierliches Modell hinterlegt. Dieses Modell ist durch zwei
Subsysteme in ein elektrisches und ein mechanisches Modell strukturiert. Die
Synchronmaschine kann mit der Lastmaschine belastet werden. Hierbei gibt es zwei
mögliche Belastungsarten. Die Synchronmaschine kann mit einer konstanten Drehzahl oder
mit einem konstanten Moment belastet werden. Bei der Belastung mit einem Drehmoment
gibt es die Möglichkeit ein Lastprofil abzufahren. Das verwendete Motormodel wurde
komplett selbst erstellt.
Im Block „Raumzeigermodulation und Leistungselektronik“ wird anhand der Spannungen
und ein Pulsmuster erzeugt, welches die drei Halbbrücken der Leistungselektronik
ansteuert. Die Zwischenkreisspannung der Leitungselektronik ist . Dieser Block wurde
ebenfalls aus einen anderen Modell übernommen.
In Simulink wurde das Simulationsmodell in zwei große Subsysteme gegliedert. Das
Subsystem „engine“ ist das kontinuierliche Modell des Motors. Das Subsystem „control and
power electronic“ ist ein diskretes System. Der Systemtakt in diesem Modell entspricht der
PWM-Frequenz der Leistungselektronik.
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Abbildung 4-2: Das Simulationsmodell in Simulink
Das System „engine“ hat zwei Eingangsgrößen, das ist zum einen die Eingangsspannung
und zum anderen das Lastmoment an der Motorwelle. Die Ausgangsgrößen
sind der Iststrom des Motormodells und das Signal des Drehgebers
. Aus diesem Signal kann durch Ableitung die mechanische
Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden. Das Winkelsignal des
mechanischen Winkels lässt sich ebenfalls aus diesem Signal gewinnen. Die
restlichen Ausgangsgrößen sind für die Regelung nicht notwendig, jedoch zur
Simulationsüberwachung sehr hilfreich.
Das Subsystem „control and power electronic“ hat eine Motorspannung als
Ausgangsgröße und als Eingangsgrößen den Iststrom und das Drehgebersignal
.
4.2.1 Das Motormodell
Beim Motormodell handelt es sich um ein zeitkontinuierliches Modell. Das Modell ist
aufgeteilt in ein elektronischen Modell und ein mechanisches Modell. Zusätzlich sind noch
Subsysteme nötig, die die Clarke-Park-Transformation bzw. die Inverse-Clarke-Park-
Transformation durchführen. Auf das Subsystem „elektrisches Modell“ wird hier nicht mehr
weiter eingegangen, dieses wurde bereits ausführlich in Kapitel 3.5.2 behandelt.
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Abbildung 4-3: Das Simulationsmodell der Synchronmaschine
4.2.1.1 Das mechanische Modell
Im mechanischen Modell des Motors wird aus dem Motormoment , das aus dem
elektrischen Teilsystem kommt, und dem Lastmoment an der Welle die Drehzahl
berechnet. Zusätzlich wird das Drehgebersignal und der mechanische Winkel
berechnet.
Abbildung 4-4: Das mechanische Teilsystem des Motormodells
Im mechanischen Teilsystem kann zwischen den beiden unterschiedlichen Belastungsarten
des Motors gewählt werden. Steht der Schalter auf eins wie in Abbildung 4-4 so kann der
Motor mit dem Lastmoment belastet werden. In der anderen Schalterstellung dreht sich
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der Motor mit einer konstanten Drehzahl. Somit kann einmal die Belastung mit einem
bestimmten Moment simuliert werden und zum anderen die Belastung mit konstanter
Drehzahl. Diese beiden Testmodi sind wichtig für die Bewertung der implementierten Regler.
4.2.2 Regelung und Leistungselektronik
Dieses Subsystem vereint die Leistungselektronik sowie die Strom-und Flussregelung.
Bei diesem Subsystem handelt es sich bis auf das Subsystem „speed calc“ um zeitdiskrete
Systeme. In diesem Subsystem wird aus dem Drehgebersignal die
mechanische Winkelgeschwindigkeit berechnet.
Abbildung 4-5: Das innere des Subsystem „control and power electronic"
Die beiden Subsysteme „converter“ und „Control+PWM“ aus Abbildung 4-5 sind diskrete
Systeme. Das Triggersignal ist ein Ausgangssignal des Converters. Da die Leistungselektronik
mit der steigenden und der fallenden Flanke ein Ausgangssignal ausgibt, muss der Trigger
des Subsystem „Control+PWM“ auf beide Flanken reagieren. Das System „converter“
erzeugt aus den beiden Eingangssignalen und dem begrenzten
Aussteuerungsgrad das Pulsmuster der Leistungselektronik. Die
Höhe der Spannung ist abhängig von der Zwischenkreisspannung . Die
Pulsweitenmodulation kann über den Schalter „Pulsing on/off“ aktiviert werden. Das
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Subsystem „Control+PWM“ erzeugt die PWM-Zeiten für die drei Phasen.
Zusätzlich ist der begrenzte Aussteuerungsgrad eine Ausgangsgröße.
Abbildung 4-6: Das innere des Subsystem „Control+PWM"
Das Subsystem „Control+PWM“ aus Abbildung 4-5 besteht aus drei Subsystemen siehe
Abbildung 4-6. Das System „three phases“ berechnet aus der Knotengleichung (3.18) die
fehlende nicht gemessene Phase „s“. Das Subsystem „switching_times“ begrenzt den
Aussteuerungsgrad auf seinen Maximalwert und gibt bei Begrenzung einmal ein binäres
Signal und zusätzlich die Differenz aus. In diesem System
werden auch die PWM-Zeiten berechnet.
Im Innern des Blocks „motor control“ ist die Flussregelung und die Stromregelung
abgebildet.
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Abbildung 4-7: Das innere des Block „motor control"
Das innere des Subsystem „motor control“ ist in Abbildung 4-7 dargestellt. Die Flussregelung
ist hier vollständig abgebildet. Als Eingangsgröße des Flussreglers „modulation control“ dient
der Aussteuerungsgrad in α/β Koordinaten . Der Flussregler hat als Ausgangsgröße
nur den flussschwächenden Strom . Im Block „current limitation“ wird der
Stromvektor auf seinen maximal zulässigen Wert begrenzt. Der Sollstromvektor
dient als Eingangsgröße für das Subsystem „current control“.
Der Windup-Wert wird in das rotorfeste Koordinatensystem transformiert
und der Spannungswert zurückgerechnet und ist eine Eingangsgröße für
das Subsystem „current control“.
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Abbildung 4-8: Das innere des Subsystem „current control"
Das System „current control“ besteht im Inneren aus dem Subsystem „Dead Beat Control“
und der Störgrößenaufschaltung „Control“ (siehe Kapitel 3.2.2.1). Die beiden
Verzögerungsglieder sind nötig, da es sonst eine algebraische Schleife geben würde. Der
aktuelle Wert des Aussteuerungsgrad erzeugt die Signale und .
Da diese Signale erst im nächsten Zeittakt ausgewertet werden dürfen, müssen diese um
jeweils einen Zeittakt verzögert werden.
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Abbildung 4-9: Das innere des Subsystem „Dead Beat Control"
In Abbildung 4-9 sind die beiden Dead Beat Regler zu erkennen. Aus den Eingangsgrößen
und wird die Regeldifferenz gebildet. Die Eingangsgröße
wird mit dem Faktor verstärkt und mit der diskreten Übertragungsfunktion „d-plant“ bzw.
„q-plant“ in einen Strom umgeformt. Dieser Stromwert wird von der jeweiligen
Regeldifferenz abgezogen.
4.2.2.1 Störgrößenaufschaltung
Beim Motormodell in d/q-Koordinaten handelt es sich um ein MIMO-System (Multiple Input
Multiple Output). Aufgrund der Kreuzkopplung zwischen und wirkt eine Störgröße auf
die jeweilige Strecke (vergleich Gleichung (3.65) und (3.66)). Die Störgrößenaufschaltung
bietet den Vorteil, dass die d-Strecke und die q-Strecke des Motormodells getrennt
voreinander betrachtet werden können. Dies erleichtert den Reglerentwurf. Es muss also
auf die Spannung und auf die Spannung aufgeschaltet werden. Die
Aufschaltung kompensiert die Kreuzkopplung, dadurch kann diese vernachlässigt werden.
Die Störgrößenaufschaltung ist parallel zu den Dead-Beat Stromregelern, d. h., es wird auf
die Ausgangsspannung des Reglers addiert (Abbildung 4-8). Aus Abbildung 3-26 lassen sich
die Gleichung für die beiden Flüsse und ablesen.
(4.1)
(4.2)
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Werden Gleichungen (4.1) und (4.2) in den jeweiligen Summand von (3.65) und (3.66)
eingesetzt, so ergeben sich die folgenden Gleichungen:
(4.3)
(4.4)
Gleichungen (4.3) und (4.4) als Simulink Blockschaltbild ergeben folgendes Bild.
Abbildung 4-10: Störgrößenaufschaltung als Blockschaltbild
In Abbildung 4-10 ist das innere des Subsystem „Control“ aus Abbildung 4-8 dargestellt.
Nun stellt sich noch die Frage, ob der Sollstrom oder der Iststrom als Eingangsgröße für die
Ströme und verwendet wird.
4.2.2.2 Soll- oder Iststrom als Eingangsgröße der Störgrößenaufschaltung
Es gibt die Möglichkeit den Sollstrom oder den Iststrom als Eingangsgröße für die
Störgrößenaufschaltung zu wählen. Um dies praxisnah zu bestimmen, wird die
Pulsweitenmodulation der Leistungselektronik aktiviert. Betrachtet man nur die Signale
und so fällt auf, dass das Sollwertsignal glatter ist als das
Istwertsignal (vergleiche beispielsweise Abbildung 4-41 und Abbildung 4-40).
Aufgrund der PWM ist der Iststromwert mit Strom-Rippeln behaftet. Dieses würde sich auf
die Ausgangsgröße der Störgrößenaufschaltung auswirken.
Aufgrund dieser Beobachtung wird der Sollstromwert als Eingangsgröße für die
Störgrößenaufschaltung verwendet.
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4.2.2.3 Regler Windup
In der Realität ist kein Regelkreis linear. Die wohl häufigste Nichtlinearität bei Regelkreisen
ist die Stellgrößenbeschränkung, wie z.B. Ventil (offen/geschlossen), Pumpe (Stillstand/
Maximalleistung). Beim Regler Windup handelt es sich um eine Überreaktion des
Integrierers im Regler [13]. Dies geschieht, sobald die Ausgangsgröße des Reglers begrenzt
wird. Durch die Begrenzung ist das Ausgangssignal kleiner, als das eigentlich vom Regler
erzeugte Signal. Dadurch erreicht die Strecke ihren Endwert verzögert und der Regler stellt
seinen I-Anteil nach. Ein Regler Windup kann die Folge haben, dass der Regelkreis instabil
wird. Es gibt verschiedene Verfahren den Regler Windup zu verhindern. Eine Möglichkeit ist,
beim Überschreiten der Begrenzung den I-Anteil im Regler festzuhalten. Die andere
Möglichkeit ist, den Differenzwert zwischen Stellgröße vor der Begrenzung und Stellgröße
nach der Begrenzung zurückzuführen und von der Regeldifferenz abzuziehen.
Abbildung 4-11: Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup
In Abbildung 4-11 ist eine Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup dargestellt. Wird
die Stellgröße des Reglers nicht begrenzt, so ist die Differenz gleich null und es wird nichts
zurückgeführt. Ist die Stellgröße größer als die Begrenzung, so ist die Differenz ungleich null
und der Wert wird verstärkt um den Faktor zurückgeführt und abgezogen. Die Wahl des
Verstärkungsfaktors muss durch Messreihen ermittelt werden.
Im Simulationsmodell sind beide Möglichkeiten zur Beseitigung des Regler Windup
implementiert. Über das Signal kann bei geeigneter Reglerstruktur der
Integralanteil festgehalten werden. Diese Art ist bei Dead Beat Reglern mit
Stellgrößenvorgabe sehr aufwendig, da der Regler in eine Parallelstruktur zerlegt werden
muss. Über das Signal kann die in Abbildung 4-11 gezeigte Struktur mit
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einer Anpassung implementiert werden (vergleich Abbildung 4-8). Es muss zuerst noch das
Spannungssignal über die diskrete Übertragungsfunktion der d- bzw- q-
Strecke in ein Stromsignal umgewandelt werden, siehe Abbildung 4-9.
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4.3 Dimensionierung der Dead Beat Regler
In diesem Abschnitt werden die beiden Dead Beat Regler für den Strom und den Strom
bestimmt. Da die Berechnung der Dead Beat Parameter, wie sie im Theorieteil 0 beschrieben
wurde, für viele Stellgrößenvorgaben sehr aufwendig ist, wird ab einer Stellgrößenvorgabe
von drei Stellgrößen ein numerisches Verfahren zur Berechnung der Regelparameter
angewandt. Die Regelparameter werden in einem Matlab-Scriptfile berechnet. Aus den
Stellgrößenvorgaben können mithilfe der bekannten Streckenparameter die Koeffizienten
des Polynoms aus Gleichung (3.150) berechnet werden. Ist dieses Polynom bekannt,
so wird mit der Matlabfunktion conv() das fehlende Polynom über die
Polynommultiplikation zwischen den Streckenparametern und dem Polynom
berechnet.
Ziel der Reglerauslegung ist, die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößenvorgaben so gering wie
möglich zu halten. Die Analyse des Signals und die Ausgangsspannung des q-
Reglers sind dabei wichtige Größen zur Bewertung des Reglers.
4.3.1 Die Regelstrecke
Bei der zu regelnden Strecke handelt es sich um das elektrische Modell des Synchronmotors,
welches in Abschnitt 3.5.2.1 behandelt wurde. Aufgrund der Störgrößenaufschaltung kann,
wie bereits beschrieben, die Kreuzkopplung im elektrischen Modell der Synchronmaschine
vernachlässigt werden. Somit ergibt sich für die d-Stecke und die q-Strecke dieselbe
Übertragungsfunktion. Die zu entwerfenden Stromregler für die d-Strecke und q-Strecke
sind somit identisch, es muss also nur ein Regler entworfen werden. Aus Abbildung 3-26
folgt somit die Übertragungsfunktion:
(4.5)
Mit den verwendeten Modellparametern aus Tabelle 4-1 ergibt sich:
(4.6)
Die kontinuierliche Übertragungsfunktion wird mit Gleichung (3.100) in eine diskrete
Übertragungsfunktion umgerechnet. Somit ergibt sich:
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(4.7)
(4.8)
Die Übertragungsfunktion der Strecke ist somit eine Strecke erster Ordnung.
Nun werden die Pol-und Nullstellen (PST und NST) der Streckenübertragungsfunktion
berechnet.
Abbildung 4-12: Polnullstellendiagramm der Streckenübertragungsfunktion
Aus Abbildung 4-12 ist die Stabilitätsbedingung für den Dead-Beat Entwurf erfüllt, da alle
Polstellen innerhalb des Einheitskreis liegen.
4.3.2 Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe
Der Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe lässt sind anhand der in Abschnitt 3.6.3.2
abgeleiteten Formeln berechnen.
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Somit ergibt sich für den Regler folgende Struktur:
(4.9)
Tabelle 4-2: Dead Beat Parameter ohne Stellgrößenvorgabe
Parameter Formel Wert
In die Reglerübertragungsfunktion eingesetzt ergibt sich diese Übertragungsfunktion für den
Dead-Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe.
(4.10)
Das Polnullstellendiagramm des Reglers zeigt Folgendes:
Abbildung 4-13: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe
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Betrachtet man Abbildung 4-13, so liegt die Polstelle des Integrators bei 1. Vergleicht man
die beiden Polnullstellendiagramme (Abbildung 4-12 und Abbildung 4-13) miteinander, so
erkennt man, dass die Polstelle der Streckenübertragungsfunktion von der Nullstelle des
Reglers kompensiert wird und nur noch die Polstelle des Reglers vorhanden ist.
Betrachtet man in Abbildung 4-9 die Eingangsgröße und die Ausgangsgröße des Reglers, so
ist die Eingangsgröße ein Strom und die Ausgangsgröße eine Spannung. Daraus folgt, dass
die Einheit des Stellgrößenpolynoms ist. Nun ist die maximale Stellspannung der
Leistungselektronik durch Gleichung (3.218) auf begrenzt. Somit ist nach dem
ohmschen Gesetz eine maximale Eingangsgröße von zulässig. Wird dieses Maximum
überschritten, so kann die Leistungselektronik die Stellgröße nicht realisieren und das Signal
ist eins bzw. ist ungleich null.
4.3.2.1 Simulationsergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe
Der im vorherigen Abschnitt beschriebene Dead-Beat Regler wird nun in das
Simulationsmodell eingebunden und simuliert. Die Simulationsparameter für alle weiteren
Simulationen sind Folgende:
Sprung des Sollstrom auf
Sprung des Lastmoment auf
Beides geschieht zum Zeitpunkt . Die Simulationsdauer beträgt .
Zuerst wird das Anlaufverhalten des Motors anhand der Spannung betrachtet. Dabei
erkennt man den Beschleunigungsvorgang des Motors. Aus der Frequenz der Spannung
kann die Drehzahl des Motors berechnet werden. Da in Abbildung 4-14 die Frequenz
immer höher wird, nimmt auch die Drehzahl zu. Die Hüllkurve dieser Spannung beschreibt
die Stellspannung der Leistungselektronik.
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Abbildung 4-14: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die Spannung u[rst]
In Abbildung 4-14 ist ersichtlich, dass im Zeitraum bis die Spannung
die maximalzulässige Spannung überschreitet. In diesem Zeitraum ist das Signal
ungleich null und es wird ein Korrekturwert abgezogen, um ein Regler
Windup zu vermeiden. Das Maximum der Überschreitung beträgt und ist im Vergleich
zu vernachlässigbar klein, da es keinen großen Einfluss hat, ob der Motor mit
oder mit betrieben wird.
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Abbildung 4-15: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für i[dq]
Der Verlauf des Stroms ist aus Abbildung 4-15 ersichtlich. Man erkennt in dieser
Abbildung das Einsetzen der Flussregelung sehr gut. Ab dem Zeitpunkt beginnt
der Flussregler einen negativen feldschwächenden Strom vorzugeben. Zusätzlich beginnt
der Strom leicht zu schwingen, da durch die Schwächung des Flusses der Stromregler für
den q-Strom dagegen arbeiten muss. Ab dem Zeitpunkt ist der maximale Strom
erreicht und der Flussregler verringert den Strom , dadurch nimmt das
Drehmoment ab. Betrachtet man den Momentanwert der beiden Ströme zum Zeitpunkt
, so erkennt man, dass beide Ströme ihren Sollwert nicht erreichen. Der Strom
liegt leicht unterhalb dem Sollwert von , der Strom leicht oberhalb dem
Sollwert . Im stationären Fall wäre die Regeldifferenz aufgrund des I-Anteils im Regler
gleich null. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Strecke nicht in einem stationären Zustand
befindet, ergibt sich die Regelabweichung. Diese Regeldifferenz wird akzeptiert, da es sich
beim simulierten Motor um einen Traktionsantrieb handelt, der fast nie in einen stationären
Zustand gerät und dadurch immer eine kleine Regelabweichung zustande kommt.
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Abbildung 4-16: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die mechanische Leistung
In Abbildung 4-16 ist die mechanische Leistung des Motors dargestellt. Der Verlauf ist bis zur
Simulationszeit linear, da ab diesem Zeitpunkt verringert wird, siehe Abbildung
4-15. Dadurch wird das Drehmoment M des Motors und die Leistung geringer, obwohl die
Winkelgeschwindigkeit laut Abbildung 4-17 steigt.
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Abbildung 4-17: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für omega_mech
Der Beschleunigungsvorgang des Motors ist in Abbildung 4-17 ersichtlich. Bis zu Zeitpunkt
ist die Beschleunigung konstant. Ab diesem Zeitpunkt wird das Moment durch die
Verringerung des Stroms ebenfalls kleiner.
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Abbildung 4-18: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für u_limited
Betrachtet man nun das Signal (Abbildung 4-18) so fällt auf, dass dieses zum
Zeitpunkt auf den Wert eins geht, da die Leistungselektronik in die Begrenzung
gerät. Dies liegt an dem zu hohen Wert für die erste Stellgröße des Dead Beat Reglers, siehe
Tabelle 4-2. Aufgrund des Führungsgrößensprungs von null auf ergibt sich eine
theoretische Stellgröße von , dies ist bei einer maximalen Stellspannung von
nicht möglich.
4.3.2.2 Fazit
Die Simulationsergebnisse sehen plausibel aus. Der Motor beschleunigt, sobald ein Sollstrom
geregelt wird. Leider ist bereits einen Abtastschritt nach dem Führungsgrößensprung die
Leistungselektronik an ihrer Begrenzung. Deshalb ist dieser Entwurf in der Praxis nicht
realisierbar und zu verwerfen. Es muss also ein Entwurf mit mindestens einer
Stellgrößenvorgabe realisiert werden. Dabei wird versucht die Anzahl an Stellgrößen so
gering wie möglich zu halten, da diese das System verlangsamen.
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4.3.3 Dead Beat Regler mit erster Stellgrößenvorgabe
Aufgrund des Ergebnisses im vorigen Abschnitt ist ein Dead-Beat Regler mit
Stellgrößenvorgabe zu realisieren. Die Formeln für den Dead Beat Regler wurden im Kapitel
3.6.3.3 bereits hergeleitet. Nun stellt sich nur die Frage, wie groß die Stellgrößenvorgabe
sein soll.
Hierzu wird angenommen, dass die maximale Änderung der Führungsgröße dem
Statorstrom entspricht, d. h. der Motor kann nur von Stillstand auf maximalen Strom
geschaltet werden oder umgekehrt. Dadurch wird ein direktes Umschalten der
Führungsgröße von auf – ausgeschlossen, da dies beim Traktionsantrieb
nicht der Realität entspricht. Aus dem ohmschen Gesetz ergibt sich der erste
Stellgrößenwert somit zu:
(4.11)
Die restlichen Parameter des Dead Beat Reglers ergeben sich aus den Gleichungen (3.165),
(3.166), (3.167) und (3.168).
Tabelle 4-3: Dead Beat Parameter mit einer Stellgrößenvorgabe
Parameter
Formel
Wert
Aufgrund der Stellgrößenvorgabe erhöht sich die Ordnung des Reglers um eins auf zwei. Die
Übertragungsfunktion ergibt sich zu:
(4.12)
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Betrachtet man für diesen Reglerentwurf das Polnullstellendiagramm, so erhält man:
Abbildung 4-19: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit einer Stellgrößenvorgabe
Beim Polnullstellendiagramm in Abbildung 4-19 ist diesmal die Nullstelle bei
auffallend. Die Nullstelle zur Kompensation der Reglerpolstelle ist weiterhin vorhanden. Die
beiden Polstellen des Reglers liegen innerhalb des Einheitskreises, somit ist der Regler stabil.
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4.3.3.1 Simulationsergebnisse mit einer Stellgrößenvorgabe
Die Simulationsergebnisse sind ähnlich dem der Ergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe. Zur
Bewertung wird nun das Signal analysiert.
Abbildung 4-20: Simulationsergebnis des Dead Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe für u_limited
In Abbildung 4-20 ist das Signal dargestellt. Dabei ist wieder auffallend, dass zu
Beginn die Begrenzung der Leistungselektronik erreicht wird. Der genaue Zeitpunkt ist durch
Zoomen in Abbildung 4-20 ersichtlich.
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Abbildung 4-21: Simulationsergebnis von u_limited gezoomt
Betrachtet man Abbildung 4-21 so erkennt man, dass zum Zeitpunkt , d.h. zwei
Abtastschritte nach der Führungsgrößenvorgabe, das Signal auf eins geht. Daraus
ist ersichtlich, dass die erste Stellgröße klein genug ist, um die Leistungselektronik nicht in
die Begrenzung zu bekommen. Aufgrund des Verzögerungsglied ist das Signal
einen Abtastschritt hinterher. Jedoch ist die zweite Stellgröße noch zu groß und muss
ebenfalls durch eine Stellgrößenvorgabe begrenzt werden.
4.3.3.2 Fazit
Wie in Abbildung 4-21 dargestellt, ist die berechnete erste Stellgröße klein genug um die
Leistungselektronik nicht in die Begrenzung zu bekommen. An dieser berechneten Größe
kann für weitere Reglerentwürfe festgehalten werden. Der Reglerentwurf ist in der Praxis
nicht realisierbar, da die Leistungselektronik beim Anlaufvorgang noch in die Begrenzung
gerät.
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4.3.4 Dead Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben
In Abschnitt 4.3.3 wurde gezeigt, dass eine Stellgrößenvorgabe nicht ausreichend ist, deshalb
wird die Stellgrößenvorgabe auf zwei erhöht. Die Formeln für die Berechnung der
Stellgrößenvorgaben wurden im Theorieteil in Abschnitt 3.6.3.4 berechnet. Nun sind die
ersten beiden Stellgrößenvorgaben zu wählen. Für die erste Stellgrößenvorgabe wird der im
Abschnitt 4.3.3 berechnete Wert beibehalten. Da es sich bei den Stellgrößenvorgaben um
Delta Werte handelt, beschreiben alle Stellgrößenwerte eine Änderung der aktuellen
Stellgröße. Der Zweite ist durch die Analyse der Simulationsergebnisse für eine
Stellgrößenvorgabe abschätzbar.
Abbildung 4-22: Simulationsergebnis der Regeldifferenz für den q-Regler beim Dead Beat Entwurf mit einer Stellgrößenvorgabe
Betrachtet man in Abbildung 4-22 die Regeldifferenz für den Dead Beat Regler mit einer
Stellgrößenvorgabe, so lässt sich erkennen, dass der zweite Eingangswert des Dead Beat
Reglers auf gesunken ist. Um die Stellgröße nicht weiter auszureizen, wird die zweite
Stellgrößenvorgabe auf gesetzt, damit wird der Stellgrößenwert gehalten. Dadurch wird
sichergestellt, dass selbst bei maximaler Führungsgröße die Leistungselektronik nicht in die
Begrenzung gerät.
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Tabelle 4-4: Dead Beat Parameter mit zwei Stellgrößenvorgaben
Parameter Formel Wert
Die Übertragungsfunktion des Dead Beat Reglers ergibt sich somit zu:
(4.13)
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Das Polnullstellendiagramm des Dead-Beat Reglers aus Gleichung (4.13) ergibt sich zu:
Abbildung 4-23: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit zwei Stellgrößenvorgaben
Der Polnullstellenplan Abbildung 4-23 zeigt wieder die bekannte Nullstelle bei 0,926 und die
Polstelle bei 1. Zusätzlich gibt es zwei Polstellen, die konjungiert komplex sind und zwei
konjungiert komplexe Nullstellen. Da alle Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen, ist
dieser Regler stabil.
4.3.4.1 Simulationsergebnisse mit zwei Stellgrößenvorgaben
Der im vorigen Abschnitt abgeleitete Dead Beat Regler wird nun in das Simulationsmodell
eingebunden. Zur Bewertung des Entwurfs sind die Simulationsergebnisse von
und von der Stellspannung des Dead-Beat Reglers für die q-Strecke entscheidend.
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Abbildung 4-24: Simulationsergebnis von u_limited für den Dead Beat Entwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben
Betrachtet man Abbildung 4-24, so erkennt man, dass zum Zeitpunkt das Signal
zum ersten Mal auf den Wert eins springt. Vergleich man zu diesem Ergebnis die
Stellspannung in Abbildung 4-25 des Reglers für die q-Strecke, so fällt auf, dass die
Stellspannung der Leistungselektronik schon zum Zeitpunkt überschritten wird.
Hier sieht man die Verzögerung um einen Abtastschritt im Signal .
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Abbildung 4-25: Simulationsergebnis von u_q für den Dead Beat Entwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben
Für den Peak in Abbildung 4-25 zum Zeitpunkt t=0,0502 ist der hohe Wert des
Stellgrößenwerts verantwortlich.
4.3.4.2 Fazit
Mit dem Reglerentwurf für zwei Stellgrößenvorgaben gerät die Leistungselektronik in die
Begrenzung. Das heißt, dieser Entwurf ist in der Praxis nicht realisierbar. Eine Abschätzung
durch den Stellgrößenwert ergibt Folgendes:
(4.14)
Daraus folgt, dass noch fünf weitere Stellgrößenvorgaben nötig sind um ohne ein
Ansprechen des Signals den Motor betreiben zu können.
4.3.5 Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben
Für eine Anzahl an Stellgrößenvorgaben größer als zwei, wird ein numerisches Verfahren zur
Berechnung der Reglerparameter verwendet. Die ersten beiden Stellgrößenvorgaben
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werden aus dem Reglerentwurf mit zwei Stellgrößenvorgaben übernommen. Die dritte bis
siebte Stellgrößenvorgabe wird ebenfalls auf den Wert 0 gesetzt.
Tabelle 4-5: Regelparameter für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben
Parameter Wert Parameter Wert
Betrachtet man in Tabelle 4-5 die Parameter des Polynoms so fällt auf, dass der Wert
von eine kleine positive Änderung der Stellgröße bewirkt. Ist der Sollstrom ,
dann reicht diese kleine positive Änderung aus, um die Leistungselektronik in die
Begrenzung zu bekommen. Ist jedoch der Sollstrom kleiner als , so kann die
Stellgröße noch erhöht werden und die Leistungselektronik kommt nicht in die Begrenzung.
Die Übertragungsfunktion des Reglers ergibt sich zu:
(4.15)
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Setzt man die Werte aus Tabelle 4-5 in die Gleichung (4.15) ein, erhält man bei Betrachtung
der Pol- und Nullstellen folgendes Diagramm:
Abbildung 4-26: Polnullstellendiagramm für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben
Das Polnullstellendiagramm in Abbildung 4-26 hat wieder die eine bekannte Nullstelle sowie
die Polstelle bei eins. Alle Polstellen liegen innerhalb des Einheitskreises und deshalb ist
dieser Regler stabil.
4.3.5.1 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben
Der in Abschnitt 4.3.5 abgeleitete Regler wird nun in das Simulationsmodell eingebunden.
Nun werden zwei Messungen mit unterschiedlichen Simulationsparametern durchgeführt.
Zuerst wird mit den neuen Simulationsparametern simuliert. Diese sind:
Sprung des Sollstrom auf
Sprung des Lastmoment auf
Zum Zeitpunkt .
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Abbildung 4-27: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 19,09 A
In Abbildung 4-27 ist zu sehen, dass das Signal u_limited zum Zeitpunkt auf
eins springt. Daraus folgt, dass der Stellgrößenwert zu groß ist, da gilt:
(4.16)
Somit kommt die Leistungselektronik in die Begrenzung, da die Stellgröße um V zu
groß ist.
Wird mit demselben Regler die Simulation mit den Simulationsparametern aus Abschnitt
4.3.2.1 durchgeführt, so erhält man dieses Ergebnis für .
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Abbildung 4-28: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 15 A
Der Verlauf von u_limited ist in Abbildung 4-28 ersichtlich. Dabei ist zu sehen, dass bei
berechnetem Regler die Leistungselektronik bei der Sprungaufschaltung nicht in die
Begrenzung gerät.
4.3.5.2 Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben und aktiver
Pulsweitenmodulation
Bis jetzt wurden die Simulationen ohne Pulsweitenmodulation durchgeführt. Nun soll das
Simulationsergebnis mit aktiver PWM betrachtet werden. Dabei wird die Leistungselektronik
mit einer PWM-Frequenz von angesteuert, was der Abtastfrequenz der zeitdiskreten
Systeme entspricht. Die Simulationsparameter lauten hierfür:
Sprung des Sollstrom auf
Sprung des Lastmoment auf
Zum Zeitpunkt bei aktiver PWM und einer Simulationszeit von .
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Abbildung 4-29: Simulationsergebnisse für i[dq] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM aktiv
Die Simulationsergebnisse in Abbildung 4-29 zeigen den Verlauf der Ströme und sowie
den Betrag der Beiden. Da sich der Motor nicht im stationären Zustand befindet, ist die
Regelabweichung von bzw. zu erkennen. Anhand der breiten Linienstärke erkennt man
die Auswirkung der PWM-modulierten Spannung auf die Ströme, die hier mit sogenannten
Strom-Rippeln behaftet sind. Vergleicht man Abbildung 4-29 mit Abbildung 4-15, so fällt auf,
dass der Reglerentwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben langsamer ist als der ohne
Stellgrößenvorgabe. Beim Entwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben wird der Strom von
der Flussregelung ab dem Zeitpunkt geschwächt, beim Entwurf ohne
Stellgrößenvorgabe jedoch schon bei . Dies liegt zum Einen an der Stellgrößenanzahl
und zum Anderen an der größeren Regelabweichung zwischen Sollwert und Istwert der
beiden geregelten Ströme.
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Abbildung 4-30: Simulationsergebnisse für i[rst] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM aktiv
Der Verlauf des Wechselstroms ist in Abbildung 4-30 zu sehen. An der Hüllkurve kann
man den Betrag der beiden Ströme und sehr gut erkennen. Bis zum Zeitpunkt
wird der Sollstrom von gehalten, dann setzt die Flussregelung ein prägt
einen flussschwächenden negativen Strom ein. Dadurch steigt der Betrag und somit die
Amplitude des Stroms . Wie gut die Stromregler arbeiten, ist daran zu erkennen, dass
diese bis auf eine kleine Regelabweichung den Sollwert halten.
4.3.5.3 Fazit
In diesem Abschnitt ist der erste realisierbare Reglerentwurf abgeleitet worden. Dass bei
maximaler Sprungaufschaltung die Leistungselektronik kurz in die Begrenzung gelangt ist, ist
vernachlässigbar, da es sich dabei um eine Spannung von handelt, die noch
zusätzlich gestellt werden müssten. Ist der Reglerentwurf noch nicht zufriedenstellend, so
kann die Stellgrößenanzahl weiter erhöht werden, dadurch öffnen sich viele Freiheitsgrade
bei der Auslegung der acht Stellgrößenvorgaben.
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4.3.6 Dead Beat Regler mit acht Stellgrößenvorgaben
Beim Reglerentwurf mit sieben Stellgrößenvorgaben hat sich gezeigt, dass die
Leistungselektronik nur noch bei maximaler Sollstromvorgabe in die Begrenzung gerät. Um
dies zu beheben, wird die Anzahl an Stellgrößenvorgaben auf acht erhöht. Dadurch ergeben
sich viele Freiheitsgrade, die bei der Wahl der Stellgrößen berücksichtigt werden können. So
kann beispielsweise der erste Stellgrößenwert verringert und der maximale Stellgrößenwert
erst mit der zweiten oder dritten Stellgröße erreicht werden. Oder es kann bereits früher
angefangen werden die Stellgrößen wieder zu verringern um auf den Endwert zu gelangen.
Der Endwert der Stellgrößenfolge beträgt:
(4.17)
n: Ordnung der Strecke m: Anzahl an Stellgrößenvorgaben
Bei der Simulation der Regler werden zwei mögliche Varianten betrachtet. Bei Variante 1
wird die Stellgrößenfolge in zwei Schritten auf ihr Maximum erhöht. Bei Variante 2 wird die
Stellgrößenfolge näherungsweise linear abgebaut.
Tabelle 4-6: Dead Beat Parameter bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1
Parameter Wert Parameter Wert
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Die Stellgrößenfolge ergibt folgende Grafik:
Abbildung 4-31: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1
Der Stellgrößenverlauf ist in Abbildung 4-31 ersichtlich. Man erkennt wie der Maximalwert
der Stellgröße erst mit der zweiten Stellgrößenwert erreicht wird. Der Maximalwert wurde
mit einem kleinen Sicherheitsfaktor versehen und auf den Wert von verringert.
Werden die Parameter aus Tabelle 4-6 in die allgemeine Übertragungsfunktion des Dead-
Beat Reglers eingesetzt, so ergibt sich dieses Polnullstellendiagramm:
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Abbildung 4-32: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1
In Abbildung 4-32 sind die bekannten Pol- und Nullstellen wieder zu erkennen. Alle
Polstellen liegen innerhalb des Einheitskreis und deshalb ist der Regler stabil.
Für den Dead-Beat Regler aus Variante 2 ergeben sich folgende Parameter:
Tabelle 4-7: Dead Beat Parameter für acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2
Parameter Wert Parameter Wert
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Betrachtet man bei Variante 2 den grafischen Verlauf der Stellgrößenfolge erhält man:
Abbildung 4-33: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2
Der Stellgrößenverlauf in Abbildung 4-33 erreicht mit der ersten Stellgröße das Maximum
und nimmt ab der achten Stellgröße bis zum Endwert (Gleichung (4.17)) näherungsweise
linear ab.
Werden die Parameter aus Tabelle 4-7 in die Übertragungsfunktion des Dead-Beat-Reglers
eingesetzt ergibt sich das folgende Polnullstellendiagramm:
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Abbildung 4-34: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2
Im Folgenden werden Simulationsergebnisse mit unterschiedlichen Stellgrößenfolgen
verglichen.
4.3.6.1 Simulationsergebnisse mit acht Stellgrößenvorgaben
In diesem Abschnitt werden beide Varianten zueinander verglichen und Vor- bzw. Nachteile
abgeleitet.
Die Simulationsparameter sind:
Sprung des Sollstrom auf
Sprung des Lastmoment auf
Zum Zeitpunkt und einer Simulationszeit von .
Die unterschiedlichen Stellgrößenfolgen sind am besten zum Sprungzeitpunkt zu
erkennen.
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Abbildung 4-35: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1
Abbildung 4-36: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2
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Vergleicht man die Simulationsergebnisse aus Abbildung 4-35 und Abbildung 4-36
miteinander erhält man folgendes Ergebnis. Der Spannungsverlauf von ist bei Variante 2
schon zum Zeitpunkt auf den Maximalwert angestiegen. Dieser Wert wird für
sieben Abtastschritte gehalten und danach auf den Endwert abgebaut. Der
Spannungsverlauf von bei Variante 1 hat zum Zeitpunkt nur den halben
Spannungswert und einen Abtastschritt später den Maximalwert erreicht. Dieser Wert wird
wieder für sieben Abtastschritte gehalten und dann auf den Endwert verringert. Variante 2
bietet den Vorteil, dass aufgrund der höheren Stellspannung beim ersten Stellgrößenwert
der Motor schneller beschleunigt.
Abbildung 4-37: Stromverlauf der Strome is[rst] bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1
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Abbildung 4-38: Stromverlauf der Strome is[rst] bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2
Vergleicht man Abbildung 4-37 und Abbildung 4-38 kann man für den Einschaltzeitpunkt
einen wichtigen Vorteil von Variante 1 ableiten. Bei Variante 1 ist die
Stromsteilheit im Einschaltzeitpunkt geringer als bei Variante 2. Die Stromsteilheit im
Einschaltvorgang ist eine wichtige Kenngröße von Halbleiterbauteilen. Abgelesen aus den
Simulationsgraphen ergeben sich folgende Stromsteilheiten im Einschaltvorgang:
Tabelle 4-8: Stromsteilheiten für Variante 1 und Variante 2 im Intervall von t=0,05s bis t=0,0501s
Variante 1
Variante 2
4.3.6.2 Dynamische Betrachtung mit aktiver Pulsweitenmodulation
Bis jetzt wurden alle Simulationsergebnisse gestützt auf konstante Sollwerte abgeleitet. In
diesem Abschnitt werden die dynamischen Eigenschaften des Reglerentwurfs mit acht
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Stellgrößenvorgaben und Variante 1 betrachtet. Zusätzlich ist die PWM aktiv. Die
Simulationsparameter sind:
Das Lastmoment als Rechteckpulse mit einer Frequenz von bei einem Duty
Cycle von und einer Amplitude von
Der Sollstrom nach Abbildung 4-39
Die Simulationszeit beträgt .
Abbildung 4-39: Stromprofil für den Strom iq_w bei der dynamischen Betrachtung des Regelkreis
Der Sollstrom aus der Flussregelung ist in Abbildung 4-40 zu erkennen. Die Flussregelung gibt
der Stromregelung den Sollstrom aus Abbildung 4-40 vor. Betrachtet man
Abbildung 4-39 und Abbildung 4-40 so fällt auf, dass bis zum Zeitpunkt die Ströme
aus den beiden Abbildungen identisch sind. Im Zeitraum von bis
weicht der Ausgangsstrom der Flussregelung vom eigentlichen Sollstromprofil ab, da in
diesem Intervall der negative Strom betragsmäßig zu groß ist und der Flussregler
deshalb verringern muss um nicht über den maximalen Strom zu gelangen.
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Abbildung 4-40: Sollstrom i[dq]_w nach der Flussregelung bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis
Abbildung 4-41: Geregelter Iststrom i[dq]_x bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis
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Der geregelte Stromverlauf von ist in Abbildung 4-41 erkennbar. Ein Vergleich von
Abbildung 4-40 und Abbildung 4-41 zeigt, wie gut Stromregelung arbeitet. Der
Sollstromverlauf wird sehr exakt abgebildet. Die Überschwinger zu den Zeitpunkten
, und sind aufgrund der hohen Sollwertänderungen von .
Zu Zeitpunkten mit geringerer Sollwertänderungen ( und ) ist kein
Überschwingen zu erkennen.
Abbildung 4-42: Die Winkelgeschwindigkeit omega_m bei dynamischer Betrachtung
Zur dynamischen Betrachtung des Reglerentwurfs ist der Verlauf der Winkelgeschwindigkeit
von Bedeutung, siehe Abbildung 4-42. Bei der Beurteilung des Verlaufs der
Winkelgeschwindigkeit spielt nicht nur der momentbildende und somit beschleunigende
Strom eine Rolle, sondern auch das Lastmoment . So ist z. B. im Intervall von
bis der Momentbildendestrom gleich null. In diesem Zeitraum beschleunigt der
Motor aufgrund des Lastmoments, da dieses bei negativen Drehzahlen beschleunigend
wirkt.
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Abbildung 4-43: Die mechanische Leistung P bei dynamischer Betrachtung
Betrachtet man den Leistungsverlauf des Motors in Abbildung 4-43, so sind zwei Bereiche
auffallend. In diesen Bereichen ist die mechanische Leistung negativ, d. h. der Motor gibt
elektrische Leistung ab, er ist also im generatorischen Betrieb. Die Leistung ist in diesen
Bereichen negativ, da der momentbildende Strom ein anderes Vorzeichen hat als die
mechanische Winkelgeschwindigkeit (vergleich Abbildung 4-41 und Abbildung 4-42).
4.3.6.3 Fazit
Bei Dead Beat Entwurf mit acht Stellgrößenvorgaben erhöht sich der Freiheitsgrad bei der
Auslegung der Stellgrößenfolge enorm. Dadurch ist es unmöglich, alle Kombinationen
abzudecken. In diesem Abschnitt wurden beispielhaft zwei Stellgrößenfolgen betrachtet.
Dabei bietet Variante 1 den Vorteil, dass die Stromsteilheit beim ersten Stellgrößenwert
verringert werden kann. Und Variante 2 bietet den Vorteil, dass der Motor schneller
beschleunigt.
Größere Unterschiede zwischen den Simulationsergebnissen der beiden Varianten sind nicht
erkennbar.
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Die dynamische Betrachtung des Regelkreis zeigt, wie gut die beiden Stromregler arbeiten.
Die Auswahl der Variante 2 zur Messreihe war aufgrund der Erkenntnisse willkürlich.
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5 Gesamtfazit
Die Messreihen in Kapitel 4 haben gezeigt, dass eine Dead-Beat Regelung möglich ist. Bei der
Reglerdimensionierung sind jedoch Stellgrößenvorgaben zu berücksichtigen. Ab einer
Stellgrößenanzahl von sieben ist eine in der Praxis realisierbare Regelung möglich. Bei einer
Anzahl von sieben Stellgrößenvorgaben ist die Stellgrößenfolge fix gegeben. Wird die
Stellgrößenvorgabe auf acht erhöht, so eröffnen sich viele Freiheitsgrade bei der Auslegung
der Stellgrößen. Die Summe der Stellgrößen darf zu keinem Abtastschritt das Maximum
überschreiten.
Die Simulationsergebnisse der unterschiedlichen Stellgrößenfolgen bei acht Stellgrößen
ergaben keine großen Unterschiede. Die Variante 1 bietet den Vorteil, dass die
Stromsteilheit im ersten Abtastschritt verringert und somit ein Parameter aus dem
Datenblatt der Leistungselektronik berücksichtigt werden kann.
Die unterschiedlichen Dead-Beat Entwürfe sind nun am Motorenprüfstand zu bewerten.
Dabei müssen die Motorparameter des Synchronmotors, welcher am Prüfstand verwendet
wird in das Modell eingebunden werden. Die Zwischenkreisspannung ist ebenfalls
anzupassen.
Abbildungsverzeichnis Hochschule Ulm
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IV. Abbildungsverzeichnis
Abbildung 3-1: Permanentmagnetiesierte Gleichstrommaschine ............................................ 6
Abbildung 3-2: Eine halbe Umdrehung einer Gleichstrommaschine......................................... 7
Abbildung 3-3: Drehmoment der Gleichstrommaschine mit einer Leiterschleife .................... 8
Abbildung 3-4: Drehmomentverlauf einer Gleichstrommaschine mit zwei Spulen .................. 9
Abbildung 3-5: Eine Leiterschleife im B-Feld ............................................................................. 9
Abbildung 3-6: Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine ..................................................... 11
Abbildung 3-7: Stationäres Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine .................................. 11
Abbildung 3-8: Vereinfachter Signalflussplan des Gleichstrommotors ................................... 12
Abbildung 3-9: Gleichstrom-Nebenschlussmotor .................................................................... 13
Abbildung 3-10: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Nebenschlussmaschine ...................... 14
Abbildung 3-11: Gleichstrom-Reihenschlussmotor ................................................................. 14
Abbildung 3-12: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Reihenschlussmaschine ..................... 15
Abbildung 3-13: Wirkungsplan der Clarke-Park Transformation ............................................. 16
Abbildung 3-14: Wirkungsplan der Inversen-Clarke-Park-Transformation ............................. 17
Abbildung 3-15: Clarke Transformation ................................................................................... 18
Abbildung 3-16: Die Park Transformation ................................................................................ 20
Abbildung 3-17: Das dreiphasige Drehstromnetz mit den Strömen i1, i2 und i3 .................... 23
Abbildung 3-18: Das Drehfeld einer Synchronmaschine ......................................................... 23
Abbildung 3-19: Belasteter Synchronmotor mir Drehwinkeldifferenz .................................... 24
Abbildung 3-20: Der Statorstrom im statorfesten- und rotorfesten Koordinatensystem ....... 25
Abbildung 3-21: Statorfluss im statorfesten- und im rotorfesten Koordinatensystem ........... 25
Abbildung 3-22: Ersatzschaltbild des Statorkreis in erster Näherung ..................................... 26
Abbildung 3-23: Erweitertes Ersatzschaltbild des Stators ....................................................... 26
Abbildung 3-24: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für ud .............................................. 27
Abbildung 3-25: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für uq .............................................. 27
Abbildung 3-26: Signalflussplan der Synchronmaschine aus Simulink .................................... 30
Abbildung 3-27: Abtastung und Abtasthalteglied .................................................................... 31
Abbildung 3-28: Das Halteglied ................................................................................................ 33
Abbildungsverzeichnis Hochschule Ulm
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Abbildung 3-29: Blockschaltbild des PT1-Glieds ....................................................................... 33
Abbildung 3-30: Die Sprungfunktion links, die Einheitsfolge rechts ........................................ 36
Abbildung 3-31: Der Diracimpuls ............................................................................................. 37
Abbildung 3-32: Standardregelkreis der Regelungstechnik ..................................................... 38
Abbildung 3-33: Dead-Beat-Regelkreis .................................................................................... 39
Abbildung 3-34: Abtast- und Halteglied mit Strecke im Laplacebereich ................................. 39
Abbildung 3-35: Simulationsaufbau in Simulink ...................................................................... 45
Abbildung 3-36: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die PT1-Strecke ........... 46
Abbildung 3-37: Simulationsergebnisse des Dead-Beat-Entwurfs für die I²-Strecke .............. 48
Abbildung 3-38: Sprungantworten der Regler. Links Reglerantwort für PT1-Strecke und
Rechts Reglerantwort für I²-Strecke......................................................................................... 49
Abbildung 3-39: Sprungantworten bei y0=0,5.......................................................................... 56
Abbildung 3-40: Sprungantworten bei y0=1 ............................................................................. 57
Abbildung 3-41: Sprungantworten bei y0=4 ............................................................................. 57
Abbildung 3-42: Leistungselektronik und Motor ..................................................................... 62
Abbildung 3-43: Leistungselektronik durch Schalter angenähert. Beispielhaft Standardvektor
u3 mit Spannungen ................................................................................................................... 63
Abbildung 3-44: Ersatzschalt des Drehfeldmotors in Sternschaltung. Beispielhaft für
Standardvektor u3 .................................................................................................................... 64
Abbildung 3-45: Die Raumzeiger in α/β-Koordinaten .............................................................. 66
Abbildung 3-46: Raumvektor in Sektor 1 ................................................................................. 67
Abbildung 4-1: Die Struktur der feldorientierten Regelung..................................................... 70
Abbildung 4-2: Das Simulationsmodell in Simulink.................................................................. 72
Abbildung 4-3: Das Simulationsmodell der Synchronmaschine .............................................. 73
Abbildung 4-4: Das mechanische Teilsystem des Motormodells ............................................ 73
Abbildung 4-5: Das innere des Subsystem „control and power electronic" ............................ 74
Abbildung 4-6: Das innere des Subsystem „Control+PWM" .................................................... 75
Abbildung 4-7: Das innere des Block „motor control" ............................................................. 76
Abbildung 4-8: Das innere des Subsystem „current control" .................................................. 77
Abbildung 4-9: Das innere des Subsystem „Dead Beat Control" ............................................. 78
Abbildung 4-10: Störgrößenaufschaltung als Blockschaltbild.................................................. 79
Abbildung 4-11: Möglichkeit zur Beseitigung des Regler Windup ........................................... 80
Abbildungsverzeichnis Hochschule Ulm
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Abbildung 4-12: Polnullstellendiagramm der Streckenübertragungsfunktion ........................ 83
Abbildung 4-13: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe .. 84
Abbildung 4-14: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die
Spannung u[rst] ........................................................................................................................ 86
Abbildung 4-15: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für
i[dq] .......................................................................................................................................... 87
Abbildung 4-16: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für die
mechanische Leistung .............................................................................................................. 88
Abbildung 4-17: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für
omega_mech ............................................................................................................................ 89
Abbildung 4-18: Simulationsergebnis des Dead Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe für
u_limited .................................................................................................................................. 90
Abbildung 4-19: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit einer Stellgrößenvorgabe
.................................................................................................................................................. 92
Abbildung 4-20: Simulationsergebnis des Dead Beat Regler mit einer Stellgrößenvorgabe für
u_limited .................................................................................................................................. 93
Abbildung 4-21: Simulationsergebnis von u_limited gezoomt ................................................ 94
Abbildung 4-22: Simulationsergebnis der Regeldifferenz für den q-Regler beim Dead Beat
Entwurf mit einer Stellgrößenvorgabe ..................................................................................... 95
Abbildung 4-23: Polnullstellendiagramm des Dead Beat Reglers mit zwei
Stellgrößenvorgaben ................................................................................................................ 97
Abbildung 4-24: Simulationsergebnis von u_limited für den Dead Beat Entwurf mit zwei
Stellgrößenvorgaben ................................................................................................................ 98
Abbildung 4-25: Simulationsergebnis von u_q für den Dead Beat Entwurf mit zwei
Stellgrößenvorgaben ................................................................................................................ 99
Abbildung 4-26: Polnullstellendiagramm für den Dead Beat Regler mit sieben
Stellgrößenvorgaben .............................................................................................................. 101
Abbildung 4-27: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben
Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 19,09 A .................................... 102
Abbildung 4-28: Simulationsergebnis von u_limited beim Dead Beat Entwurf mit sieben
Stellgrößenvorgaben. Dabei sprang der Sollstrom iq_w auf 15 A ......................................... 103
Abbildungsverzeichnis Hochschule Ulm
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Abbildung 4-29: Simulationsergebnisse für i[dq] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM
aktiv ........................................................................................................................................ 104
Abbildung 4-30: Simulationsergebnisse für i[rst] bei sieben Stellgrößenvorgaben und PWM
aktiv ........................................................................................................................................ 105
Abbildung 4-31: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 .............. 107
Abbildung 4-32: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ..... 108
Abbildung 4-33: Stellgrößenverlauf bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 .............. 109
Abbildung 4-34: Polnullstellendiagramm bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ..... 110
Abbildung 4-35: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ..................................... 111
Abbildung 4-36: u_q bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ..................................... 111
Abbildung 4-37: Stromverlauf der Strome is[rst] bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1
................................................................................................................................................ 112
Abbildung 4-38: Stromverlauf der Strome is[rst] bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2
................................................................................................................................................ 113
Abbildung 4-39: Stromprofil für den Strom iq_w bei der dynamischen Betrachtung des
Regelkreis ............................................................................................................................... 114
Abbildung 4-40: Sollstrom i[dq]_w nach der Flussregelung bei dynamischer Betrachtung des
Regelkreis ............................................................................................................................... 115
Abbildung 4-41: Geregelter Iststrom i[dq]_x bei dynamischer Betrachtung des Regelkreis 115
Abbildung 4-42: Die Winkelgeschwindigkeit omega_m bei dynamischer Betrachtung ........ 116
Abbildung 4-43: Die mechanische Leistung P bei dynamischer Betrachtung ........................ 117
Tabellenverzeichnis Hochschule Ulm
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V. Tabellenverzeichnis
Tabelle 3-1: Transformationspaare .......................................................................................... 37
Tabelle 3-2: Sprungantwort des Dead-Beat Reglers der I²-Strecke ......................................... 50
Tabelle 3-3: Stellgrößen und Ausgangsgrößen bei unterschiedlichem y0 ............................... 56
Tabelle 3-4: Die Standardvektoren, ihre logischen Zustände und Spannungen ...................... 64
Tabelle 4-1: Modelldaten des Simulationsmodells .................................................................. 69
Tabelle 4-2: Dead Beat Parameter ohne Stellgrößenvorgabe ................................................. 84
Tabelle 4-3: Dead Beat Parameter mit einer Stellgrößenvorgabe ........................................... 91
Tabelle 4-4: Dead Beat Parameter mit zwei Stellgrößenvorgaben .......................................... 96
Tabelle 4-5: Regelparameter für den Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben ... 100
Tabelle 4-6: Dead Beat Parameter bei acht Stellgrößenvorgaben und Variante 1 ............... 106
Tabelle 4-7: Dead Beat Parameter für acht Stellgrößenvorgaben und Variante 2 ................ 108
Tabelle 4-8: Stromsteilheiten für Variante 1 und Variante 2 im Intervall von t=0,05s bis
t=0,0501s ................................................................................................................................ 113
Literaturverzeichnis Hochschule Ulm
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VI. Literaturverzeichnis
[1] Porsche. (2011) Porsche. [Online]. http://www.porsche.com/germany/aboutporsche/porschehistory/milestones/
[2] Toyota. (2011) Toyota. [Online]. http://www.toyota.de/index.tmex
[3] Ottmar Beucher, MATLAB und Simulink. Karlsruhe: Pearson Studium, 2005.
[4] Ulrich Riefenstahl, Elektrische Antriebssysteme. Magdeburg: Vieweg+Teubner, 2010.
[5] Eckhard Spring, Elektrische Maschinen. Darmstadt: Springer, 2009.
[6] Rolf Fischer, Elektrische Maschinen. Esslingen: Hanser, 2009.
[7] Peter Bastian et al., Fachkunde Elektrotechnik. Leinfelden-Echterdingen: Verlag Europa-Lehrmittel, 2004.
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[10] Thomas Frey and Martin Bossert, Signal- und Systemtheorie. Ulm: Vieweg+Teubner, 2008.
[11] Frank Dörrscheidt and Wolfgang Latzel, Grundlagen der Regelungstechnik. Stuttgart: Teubner, 1989.
[12] Holger Lutz and Wolfgang Wendt, Taschenbuch der Regelungstechnik. Esslingen: Harri Deutsch, 2007.
[13] Dierk Schröder, Elektrische Antriebe – Regelung von Antriebssystemen. München: Springer Verlag, 2008.
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