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Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Analysis zu Beginn Q11
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Grundwissen Beispiele
Bruchrechnen
Zum Kürzen von Brüchen benötigt man oft die
3. Binomische Formel!
Rechnen mit Brüchen:
Addition & Subtraktion:
Brüche können nur addiert bzw. subtrahiert werden,
wenn der Nenner gleich ist. Ist dies nicht der Fall, so
muss durch Erweitern (oder Kürzen) ein gemeinsamer
Nenner gebildet werden
Multiplikation:
Brüche werden multipliziert, in dem man Zähler mit
Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert
Division:
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit
seinem Kehrbruch multipliziert.
Bsp: Erweitert mit 7:
𝑥 − 1
5=
(𝑥 − 1) ∙ 7
5 ∙ 7=
7𝑥 − 7
35
Bsp: Kürzen: 14𝑎
49𝑎2=
2 ∙ 7 ∙ 𝑎
7 ∙ 7 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎=
2
7𝑎
Achtung: (2 + 𝑎)
7𝑎≠
2
7 "𝐵𝑒𝑖 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑑 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛
𝑘ü𝑟𝑧𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛“ Bsp: 3. Binomische Formel im Nenner:
2𝑥 − 4
𝑥2 − 4=
2 ∙ (𝑥 − 2)
(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)=
2
𝑥 + 2
Bsp:
5
𝑎+
1
2=
5∙2
𝑎∙2+
1∙𝑎
2∙𝑎=
10
2𝑎+
𝑎
2𝑎=
10+𝑎
2𝑎
Bsp:
7𝑥
2∙
5
𝑥=
7𝑥∙5
2∙𝑥=
35𝑥
2𝑥=
35
2
Bsp:
7
5∶
3
8=
7
5∙
8
3
Termumformungen
Bsp:
−(12𝑥 + 13 − 7𝑎) = −12𝑥 − 13 + 7𝑎
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Lösung von Gleichungen
Wichtig: Gehe beim Lösen von Gleichungen immer
schrittweise vor. Die meisten Fehler passieren, wenn
man versucht mehrere Schritte auf einmal
auszuführen!
Beachte: Beim Wurzelziehen erhält man zwei
Lösungen!
Gleichungen mit x² und x lassen sich entweder
mit Hilfe der binomischen Formeln lösen:
oder mit der quadratischen Lösungsformel:
(Mitternachtsformel)
Bruchgleichungen
Bsp 1:
2𝑥 + 3 = 27 │ −3
2𝑥 = 24 │ : 2
𝑥 = 12
Bsp 2:
1 + 2𝑥2 = 9 │ −1
2𝑥2 = 8 │ : 2
𝑥2 = 4 │ √
𝑥1 = 2 kurz: 𝑥 = ±2
𝑥2 = −2
Bsp 3:
𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 9 1. binom. Formel
(𝑥 + 2)2 = 9 │ √
𝑥 + 2 = ±3 │ −2
𝑥1 = 1
𝑥2 = −5
Bsp 4:
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Lineare Gleichungssysteme
Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten
Logarithmus
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Funktionen
Definition:
Arten von Funktionen:
• Lineare Funktionen
• Allgemeine quadratische Funktionen
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• Ganzrationale Funktionen
d.h. lineare und quadratische Funktionen sind spezielle ganzrationale Funktionen
• Gebrochenrationale Funktionen
• Sinus- und Kosinusfunktion
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• Exponentialfunktion
Untersuchung von Funktionen
• Definitionsmenge Alle x-Werte, für die die Funktion definiert ist, d.h. die man ohne Widerspruch in die Funktion „einsetzten kann.“
• Nullstellen 𝒇(𝒙) = 𝟎
• Symmetrie Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse:
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) Punktsymmetrie zum Ursprung
−𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)
Bsp: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 𝐷𝑓 = ℝ
𝑔(𝑥) =2
𝑥−3 𝐷𝑔 = ℝ\{3}
ℎ(𝑥) = √𝑥 + 1 𝐷ℎ = [1; +∞[ Bsp: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 0 = 3𝑥 − 2 │+2 2 = 3𝑥 │:3
𝑥 =2
3
Achsensymmetrie Punktsymmetrie bzgl. der y-Achse zum Ursprung
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Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte)
Konvergenz: Nähern sich die Funktionswerte f(x) für 𝑥 → ±∞ einer Zahl a beliebig genau, so heißt a Grenzwert (Limes) der Funktion f. Divergenz: Wachsen dir Funktionswerte f(x) für 𝑥 →±∞ unbegrenzt nach −∞ oder +∞ so sagt man, die Funktion divergiert bestimmt.
Bsp:
Bsp:
Polynomdivision
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