deformierte - tum · e in d ire k te sm a b fi.ird ie d e fo rm a tio nis t,w e il u n a b h iin g...
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Kapitel 13
Deformierte und angeregte Kerne
L3.1 Deformierte Kerne
Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugel.rymmetrisch und nicht deformiert. Weit weg von
abgeschlossenen (d.h. bei halbgefiil lten) Schalen polarisieren jedoch die Nukleonen auBerhalb
einer Schale den Kernrumpf. Das mittlere Kernpotential ist in diesem Fall nicht mehr kugel-
symrnetrisch und die Kerne sind deformierl.
Ein MaB ftir die Deformation ist das elektrische Quadrupolmoment. Ftir eine gegebene La-
dungsverteilung p(D ist es definiert als:
I
Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /
t:lJil,:' -r:o(i)
Fiir einen Ellipsoid mit Halbachse a in z-Richtung, zwei gleichen Halbachsen b in x- und -y-
Richtung und konstanter Dichte ist es:
Wir definieren den mittleren Radius ft = (abz)t, die Differenz der Halbachsen M = a-b, sowie
den Deformationsparameter 6 = M/R. Das Quadrupolmoment ist dann in erster Niiherung:
A
Q = \zR t6
Ein direktes MaB fi.ir die Deformation ist, weil unabhiingig von der GroBe der Ladungsverter-
lung, das reduzierte Quadrupolmoment:
o4Qrea=fu=t6 (13.2)
2 - , , , ) r I tO a>b l angges t reck tQ=-Z \a - -b - )
1 .0 a<b abgep la r re r- (
485
14.1 Kerndeformationen
Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugelsymmetrisch
Kerne weit weg von abgeschlossenen Schalen sind deformiert
Maß für Deformation: Quadrupolmoment
Beispiel: Homogenes Rotationsellipsoid
z
a
b
Kapitel 13
Deformierte und angeregte Kerne
L3.1 Deformierte Kerne
Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugel.rymmetrisch und nicht deformiert. Weit weg von
abgeschlossenen (d.h. bei halbgefiil lten) Schalen polarisieren jedoch die Nukleonen auBerhalb
einer Schale den Kernrumpf. Das mittlere Kernpotential ist in diesem Fall nicht mehr kugel-
symrnetrisch und die Kerne sind deformierl.
Ein MaB ftir die Deformation ist das elektrische Quadrupolmoment. Ftir eine gegebene La-
dungsverteilung p(D ist es definiert als:
I
Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /
t:lJil,:' -r:o(i)
Fiir einen Ellipsoid mit Halbachse a in z-Richtung, zwei gleichen Halbachsen b in x- und -y-
Richtung und konstanter Dichte ist es:
Wir definieren den mittleren Radius ft = (abz)t, die Differenz der Halbachsen M = a-b, sowie
den Deformationsparameter 6 = M/R. Das Quadrupolmoment ist dann in erster Niiherung:
A
Q = \zR t6
Ein direktes MaB fi.ir die Deformation ist, weil unabhiingig von der GroBe der Ladungsverter-
lung, das reduzierte Quadrupolmoment:
o4Qrea=fu=t6 (13.2)
2 - , , , ) r I tO a>b l angges t reck tQ=-Z \a - -b - )
1 .0 a<b abgep la r re r- (
485
“prolat”
“oblat”
Kapitel 13
Deformierte und angeregte Kerne
L3.1 Deformierte Kerne
Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugel.rymmetrisch und nicht deformiert. Weit weg von
abgeschlossenen (d.h. bei halbgefiil lten) Schalen polarisieren jedoch die Nukleonen auBerhalb
einer Schale den Kernrumpf. Das mittlere Kernpotential ist in diesem Fall nicht mehr kugel-
symrnetrisch und die Kerne sind deformierl.
Ein MaB ftir die Deformation ist das elektrische Quadrupolmoment. Ftir eine gegebene La-
dungsverteilung p(D ist es definiert als:
I
Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /
t:lJil,:' -r:o(i)
Fiir einen Ellipsoid mit Halbachse a in z-Richtung, zwei gleichen Halbachsen b in x- und -y-
Richtung und konstanter Dichte ist es:
Wir definieren den mittleren Radius ft = (abz)t, die Differenz der Halbachsen M = a-b, sowie
den Deformationsparameter 6 = M/R. Das Quadrupolmoment ist dann in erster Niiherung:
A
Q = \zR t6
Ein direktes MaB fi.ir die Deformation ist, weil unabhiingig von der GroBe der Ladungsverter-
lung, das reduzierte Quadrupolmoment:
o4Qrea=fu=t6 (13.2)
2 - , , , ) r I tO a>b l angges t reck tQ=-Z \a - -b - )
1 .0 a<b abgep la r re r- (
485
mittlerer Radius
Kapitel 13
Deformierte und angeregte Kerne
L3.1 Deformierte Kerne
Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugel.rymmetrisch und nicht deformiert. Weit weg von
abgeschlossenen (d.h. bei halbgefiil lten) Schalen polarisieren jedoch die Nukleonen auBerhalb
einer Schale den Kernrumpf. Das mittlere Kernpotential ist in diesem Fall nicht mehr kugel-
symrnetrisch und die Kerne sind deformierl.
Ein MaB ftir die Deformation ist das elektrische Quadrupolmoment. Ftir eine gegebene La-
dungsverteilung p(D ist es definiert als:
I
Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /
t:lJil,:' -r:o(i)
Fiir einen Ellipsoid mit Halbachse a in z-Richtung, zwei gleichen Halbachsen b in x- und -y-
Richtung und konstanter Dichte ist es:
Wir definieren den mittleren Radius ft = (abz)t, die Differenz der Halbachsen M = a-b, sowie
den Deformationsparameter 6 = M/R. Das Quadrupolmoment ist dann in erster Niiherung:
A
Q = \zR t6
Ein direktes MaB fi.ir die Deformation ist, weil unabhiingig von der GroBe der Ladungsverter-
lung, das reduzierte Quadrupolmoment:
o4Qrea=fu=t6 (13.2)
2 - , , , ) r I tO a>b l angges t reck tQ=-Z \a - -b - )
1 .0 a<b abgep la r re r- (
485
Differenz der Halbachsen
Kapitel 13
Deformierte und angeregte Kerne
L3.1 Deformierte Kerne
Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugel.rymmetrisch und nicht deformiert. Weit weg von
abgeschlossenen (d.h. bei halbgefiil lten) Schalen polarisieren jedoch die Nukleonen auBerhalb
einer Schale den Kernrumpf. Das mittlere Kernpotential ist in diesem Fall nicht mehr kugel-
symrnetrisch und die Kerne sind deformierl.
Ein MaB ftir die Deformation ist das elektrische Quadrupolmoment. Ftir eine gegebene La-
dungsverteilung p(D ist es definiert als:
I
Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /
t:lJil,:' -r:o(i)
Fiir einen Ellipsoid mit Halbachse a in z-Richtung, zwei gleichen Halbachsen b in x- und -y-
Richtung und konstanter Dichte ist es:
Wir definieren den mittleren Radius ft = (abz)t, die Differenz der Halbachsen M = a-b, sowie
den Deformationsparameter 6 = M/R. Das Quadrupolmoment ist dann in erster Niiherung:
A
Q = \zR t6
Ein direktes MaB fi.ir die Deformation ist, weil unabhiingig von der GroBe der Ladungsverter-
lung, das reduzierte Quadrupolmoment:
o4Qrea=fu=t6 (13.2)
2 - , , , ) r I tO a>b l angges t reck tQ=-Z \a - -b - )
1 .0 a<b abgep la r re r- (
485
Deformationsparameter
Kapitel 13
Deformierte und angeregte Kerne
L3.1 Deformierte Kerne
Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugel.rymmetrisch und nicht deformiert. Weit weg von
abgeschlossenen (d.h. bei halbgefiil lten) Schalen polarisieren jedoch die Nukleonen auBerhalb
einer Schale den Kernrumpf. Das mittlere Kernpotential ist in diesem Fall nicht mehr kugel-
symrnetrisch und die Kerne sind deformierl.
Ein MaB ftir die Deformation ist das elektrische Quadrupolmoment. Ftir eine gegebene La-
dungsverteilung p(D ist es definiert als:
I
Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /
t:lJil,:' -r:o(i)
Fiir einen Ellipsoid mit Halbachse a in z-Richtung, zwei gleichen Halbachsen b in x- und -y-
Richtung und konstanter Dichte ist es:
Wir definieren den mittleren Radius ft = (abz)t, die Differenz der Halbachsen M = a-b, sowie
den Deformationsparameter 6 = M/R. Das Quadrupolmoment ist dann in erster Niiherung:
A
Q = \zR t6
Ein direktes MaB fi.ir die Deformation ist, weil unabhiingig von der GroBe der Ladungsverter-
lung, das reduzierte Quadrupolmoment:
o4Qrea=fu=t6 (13.2)
2 - , , , ) r I tO a>b l angges t reck tQ=-Z \a - -b - )
1 .0 a<b abgep la r re r- (
485
Quadrupolmoment
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
Deformationen im Schalenmodell14.1.1
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
betrachte: ein Teilchen (oder Loch) außerhalb abgeschlossener Schale
Erwartungswert des Quadrupolmoments:
2
!
4!
5
"
d3r "!
jj(#r ) r2 Y20(r̂) "jj(#r )
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
Ergebnis:
Beispiele:
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde
Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde
Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)
13.L.1 Deformationen im Schalenmodell
Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer
abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).
Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:
.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)
Es ergibt sich:
gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )
Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:
e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+
( r 3.s)
Beispiele:
. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das
Modell relativ gut:
ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2
. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.
p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2
Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:
o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.
o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.
( 13 .4 )
O(r'n Loch) = +) = einige o/a
Quadrupolmomente: empirischer Befund
kleine Kerndeformationen in der Nähe von abgeschlossenen Schalen:
! =5
4
Q
ZR2einige %
zwischen abgeschlossenen Schalen: |!|bis 0.4
große (prolate) Deformationen bei seltenen Erden (Lanthaniden).Beispiele:
Teilchen und Kerne
13.1 Deformierte Kerne
Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige
Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):
tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32
In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-
senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-
sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:
ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04
Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.
Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-
gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen
ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,
wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.
Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',
ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die
Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.
Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-
tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:
Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation
Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-
kleonen bestimmt:
- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen
gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.
- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-
stimmt.
- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich
aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.
oblat
14.1.2
große oblate Deformationen sind seltener und kommen z.B. bei Transuranen und Actiniden vor. Beispiele:
Teilchen und Kerne
13.1 Deformierte Kerne
Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige
Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):
tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32
In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-
senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-
sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:
ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04
Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.
Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-
gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen
ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,
wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.
Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',
ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die
Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.
Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-
tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:
Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation
Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-
kleonen bestimmt:
- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen
gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.
- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-
stimmt.
- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich
aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.
oblat
Qred =
Q
ZR2
reduzierte (dimensionslose) Quadrupolmomente
(PlQ
Deformierte Kerne IIIo
za (n)
0.30Q verschwindet in der Nlihe abgeschlossener
ZahIen. Abgeplattete Kerne (Q<0) sind
weniger htiufig als zigarrenformig
deformierte. Die teilweise besetzten
Protonen und Neutronenbahnen polarisieren
die Kernrtimpfe und verursachen groBe
Deformation.
Reduziertes Quadrupolmoment: QlZe <R>2
i l/ \ /l y'"." \ / \.'J'"0
Zahl der ungeraden Nukleonen
Nilsson Modell
S chalenmodell mit ax ialsymmetrischem deformierten Oszillatorpotential
*2
Hi = hvr
+ j' '[rt(^'* r')* ,,t"]+c(Ts)+ n(TT)
mit fO^ = 0u = CO AxialsYmmetrie
0r2 =r"t (1* _?6) ,,t =r.t(l-+)s
6 - (u - b)/ (n) netormationsparameter
Assymptotische Quanten zahlen des Nilsson Modells
N, Gesamte Zahl der Oszillatorquanten
L, Zahl der Oszillatorquanten in z-Richtung
A, Projektion des Bahndrehimpulses auf z-Achse
O : A + I, Projektion des Gesamtdrehimpulses auf z-Achse
Die Einteilchenzustdnde konnen durch die Angabe der Basisvektoren
[N,r'A,f)] und Angabe von Jnbezerchnet werden.
Notizen:
(Pl0
Deformierte Kerne VI
Deformationsp arameter
0.3
o
o.25
Gd ,or
tIIII
o(a
E
.q+oEL
o\F
oo
o,
0 15
o. I
o. 05
\
tkr
208I t | | | t | | t i 1 L l * ' - { f
t50 r55 160 165 t7C 175 IBO lB5 190 195 205210
Moss number A'--------+
"LL
t - o +zrz16 r | *
/ / zssPu
2359 237Np
225 ?30 235 240 245
Notizen:
Quadrupolmomente
Deformationsparameter
Mechanismen der Kerndeformation14.1.2
Teilchen und Kerne
13.1 Deformierte Kerne
Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige
Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):
tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32
In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-
senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-
sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:
ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04
Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.
Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-
gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen
ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,
wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.
Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',
ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die
Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.
Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-
tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:
Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation
Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-
kleonen bestimmt:
- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen
gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.
- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-
stimmt.
- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich
aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.
oblat
Restwechselwirkung (im Mittel attraktiv) zwischen Nukleonen in einer Schale
Regel: Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich bevorzugt in Paaren mit Gesamtdrehimpuls und Parität
Teilchen und Kerne
13.1 Deformierte Kerne
Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige
Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):
tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32
In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-
senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-
sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:
ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04
Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.
Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-
gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen
ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,
wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.
Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',
ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die
Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.
Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-
tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:
Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation
Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-
kleonen bestimmt:
- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen
gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.
- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-
stimmt.
- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich
aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.
oblat
Teilchen und Kerne
13.1 Deformierte Kerne
Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige
Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):
tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32
In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-
senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-
sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:
ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04
Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.
Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-
gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen
ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,
wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.
Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',
ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die
Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.
Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-
tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:
Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation
Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-
kleonen bestimmt:
- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen
gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.
- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-
stimmt.
- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich
aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.
oblat
Teilchen und Kerne
13.1 Deformierte Kerne
Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige
Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):
tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32
In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-
senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-
sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:
ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04
Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.
Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-
gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen
ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,
wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.
Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',
ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die
Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.
Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-
tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:
Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation
Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-
kleonen bestimmt:
- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen
gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.
- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-
stimmt.
- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich
aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.
oblat
Teilchen und Kerne
13.1 Deformierte Kerne
Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige
Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):
tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32
In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-
senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-
sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:
ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04
Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.
Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-
gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen
ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,
wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.
Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',
ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die
Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.
Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-
tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:
Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation
Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-
kleonen bestimmt:
- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen
gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.
- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-
stimmt.
- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich
aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.
oblat
Nukleonenpaare in halbgefüllten Schalen besetzen bevorzugt Orbitalemit benachbarten Bahndrehimpuls-m-Quantenzahlen:
(Pt(l
Deformierte Kerne INur Kerne in der Niihe von abgeschlossenen doppelt-magischen Schalen sind
kugelsymmetrisch und konnen mit einem Schalenmodell mit sphzirischem
P-oient-ial plus Spin-Bahn-Kopplung gut beschrieben werden (2.B. 'uO, ttO,
t'O, ''N, ' 'F). Kerne rnit halbgefiillten Schalen sind deformiert. Dies ist eine
Konsequ,enz der anziehenden Restwechselwirkung zwischen Nukleonenpaare,
die in Multipole entwickelt werden kann. Der Monopolterm fiihrt zum
sphzirischen Potentierl, der Quadrupolterm zur Polarisationsenergie und damit
zur Deformation, die hoheren Multipolterme nrr Paarungsenergie .
Paarungsenergre
Kerne gewinnen zr-rsdtzliche
Ortswellenfunktion zu Paaren
Energie, wenn sich Nukleonen mit gleicher
mit Gesamtdrehimpuls Null gruppieren:
' / . \ r
f f i l = -m2 J l+JZ
=U=Jp( t : lz
Man spricht von der Paarkraft.
Polarisationsenergie
Die Nukleonen besetzen bevorzugt benachbarte Orbitale (benachbartes m), was
bei halbgefiillten Schalen zur Polarisation des Core und damrt zur Deformation
ftihrt.
KernnurrPf
------ -----.-
Notizen:
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
14.2 Rotationszustände
Deformierte Kerne sind quantenmechanische Kreisel
charakteristische Rotations-Energiespektren
Betrachte zunächst deformierte gg-Kerne mit
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
im Grundzustand
Beispiele:
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Modell: Symmetrischer Kreiselmit Haupträgheitsmomenten
Quantenmechanik: keine kollektive Rotation um Symmetrieachse
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Kollektive Kernrotationen um Achsen senkrecht zur 3-Achse
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Hamiltonoperator der kollektiven Rotationsbewegung:
Energiespektrum des quantenmechanischen Rotators:
Eigenfunktionen: Kugelflächenfunktionen
Bei Kernen mit
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
im Grundzustand:
J = 0, 2, 4, . . .(wegen Symmetrie)
Abstand zwischen den Energien aufeinanderfolgender Rotationszustände:
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Hrot =
YJM
Teilchen und Kerne
13.2 Rotationszustdnde
Beispiel: 2lfrttr, Oeformiert mit 6 = 0.25
556.9 keV
333.2 keV
Die Energie wiichst nicht genau linear, da
das Triigheitsmoment nicht genau konstant
ist. Der Kern zeigt nicht das Verhalten des
klassischen, starren Rotators. Es gilt:
J(J + r)C _L.J -
2@(J)
162.0 keV
49.4keY
v -
Zwischen den einzelnen Zustrinden kann es Quadrupol-Ubergiinge (E2) geben, die sich mittels
1-Spektroskopie beobachten lassen. Erzeugen lassen sich die Kernrotationszustdnde durch Cou-
lombanregung. Dies hat den Vorteil, daB nur die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle
spielt und es folglich keine inneren Kemanregungen geben kann. Experimentell erreicht man
dies durch BeschuB mit Schwerionen, wobei die Schwerpunktsenergie kleiner als die Coulomb-
Bariere sein muB:
Z t Z . aE c u s (
& . " .
Hyperbelbahn
\
0, , ) /
)
Durch die Anniiherung wird ein schnell verdnderli-
ches elektrisches Feld verursacht (<J'lj ' AU)), wo-
durch Einzelanregungen bis ca. 1 MeV moglich wer-
den (entsprichtJ = 60.
Um Rekorde in Hochspin-Anregungen zu bekommen, werden auch Fusionsreaktionen benutzt,
wie beispielsweise
l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .
Ab Er,in = 200 MeV kdnnen llCa-t<erne die Coulombbarriere iiberwinden.
Teilchen und Kerne
13.2 Rotationszustdnde
Beispiel: 2lfrttr, Oeformiert mit 6 = 0.25
556.9 keV
333.2 keV
Die Energie wiichst nicht genau linear, da
das Triigheitsmoment nicht genau konstant
ist. Der Kern zeigt nicht das Verhalten des
klassischen, starren Rotators. Es gilt:
J(J + r)C _L.J -
2@(J)
162.0 keV
49.4keY
v -
Zwischen den einzelnen Zustrinden kann es Quadrupol-Ubergiinge (E2) geben, die sich mittels
1-Spektroskopie beobachten lassen. Erzeugen lassen sich die Kernrotationszustdnde durch Cou-
lombanregung. Dies hat den Vorteil, daB nur die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle
spielt und es folglich keine inneren Kemanregungen geben kann. Experimentell erreicht man
dies durch BeschuB mit Schwerionen, wobei die Schwerpunktsenergie kleiner als die Coulomb-
Bariere sein muB:
Z t Z . aE c u s (
& . " .
Hyperbelbahn
\
0, , ) /
)
Durch die Anniiherung wird ein schnell verdnderli-
ches elektrisches Feld verursacht (<J'lj ' AU)), wo-
durch Einzelanregungen bis ca. 1 MeV moglich wer-
den (entsprichtJ = 60.
Um Rekorde in Hochspin-Anregungen zu bekommen, werden auch Fusionsreaktionen benutzt,
wie beispielsweise
l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .
Ab Er,in = 200 MeV kdnnen llCa-t<erne die Coulombbarriere iiberwinden.
Beispiel:
Teilchen und Kerne
13.2 Rotationszustdnde
Beispiel: 2lfrttr, Oeformiert mit 6 = 0.25
556.9 keV
333.2 keV
Die Energie wiichst nicht genau linear, da
das Triigheitsmoment nicht genau konstant
ist. Der Kern zeigt nicht das Verhalten des
klassischen, starren Rotators. Es gilt:
J(J + r)C _L.J -
2@(J)
162.0 keV
49.4keY
v -
Zwischen den einzelnen Zustrinden kann es Quadrupol-Ubergiinge (E2) geben, die sich mittels
1-Spektroskopie beobachten lassen. Erzeugen lassen sich die Kernrotationszustdnde durch Cou-
lombanregung. Dies hat den Vorteil, daB nur die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle
spielt und es folglich keine inneren Kemanregungen geben kann. Experimentell erreicht man
dies durch BeschuB mit Schwerionen, wobei die Schwerpunktsenergie kleiner als die Coulomb-
Bariere sein muB:
Z t Z . aE c u s (
& . " .
Hyperbelbahn
\
0, , ) /
)
Durch die Anniiherung wird ein schnell verdnderli-
ches elektrisches Feld verursacht (<J'lj ' AU)), wo-
durch Einzelanregungen bis ca. 1 MeV moglich wer-
den (entsprichtJ = 60.
Um Rekorde in Hochspin-Anregungen zu bekommen, werden auch Fusionsreaktionen benutzt,
wie beispielsweise
l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .
Ab Er,in = 200 MeV kdnnen llCa-t<erne die Coulombbarriere iiberwinden.
mit Deformationsparameter
Teilchen und Kerne
13.2 Rotationszustdnde
Beispiel: 2lfrttr, Oeformiert mit 6 = 0.25
556.9 keV
333.2 keV
Die Energie wiichst nicht genau linear, da
das Triigheitsmoment nicht genau konstant
ist. Der Kern zeigt nicht das Verhalten des
klassischen, starren Rotators. Es gilt:
J(J + r)C _L.J -
2@(J)
162.0 keV
49.4keY
v -
Zwischen den einzelnen Zustrinden kann es Quadrupol-Ubergiinge (E2) geben, die sich mittels
1-Spektroskopie beobachten lassen. Erzeugen lassen sich die Kernrotationszustdnde durch Cou-
lombanregung. Dies hat den Vorteil, daB nur die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle
spielt und es folglich keine inneren Kemanregungen geben kann. Experimentell erreicht man
dies durch BeschuB mit Schwerionen, wobei die Schwerpunktsenergie kleiner als die Coulomb-
Bariere sein muB:
Z t Z . aE c u s (
& . " .
Hyperbelbahn
\
0, , ) /
)
Durch die Anniiherung wird ein schnell verdnderli-
ches elektrisches Feld verursacht (<J'lj ' AU)), wo-
durch Einzelanregungen bis ca. 1 MeV moglich wer-
den (entsprichtJ = 60.
Um Rekorde in Hochspin-Anregungen zu bekommen, werden auch Fusionsreaktionen benutzt,
wie beispielsweise
l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .
Ab Er,in = 200 MeV kdnnen llCa-t<erne die Coulombbarriere iiberwinden.
Teilchen und Kerne
13.2 Rotationszustdnde
Beispiel: 2lfrttr, Oeformiert mit 6 = 0.25
556.9 keV
333.2 keV
Die Energie wiichst nicht genau linear, da
das Triigheitsmoment nicht genau konstant
ist. Der Kern zeigt nicht das Verhalten des
klassischen, starren Rotators. Es gilt:
J(J + r)C _L.J -
2@(J)
162.0 keV
49.4keY
v -
Zwischen den einzelnen Zustrinden kann es Quadrupol-Ubergiinge (E2) geben, die sich mittels
1-Spektroskopie beobachten lassen. Erzeugen lassen sich die Kernrotationszustdnde durch Cou-
lombanregung. Dies hat den Vorteil, daB nur die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle
spielt und es folglich keine inneren Kemanregungen geben kann. Experimentell erreicht man
dies durch BeschuB mit Schwerionen, wobei die Schwerpunktsenergie kleiner als die Coulomb-
Bariere sein muB:
Z t Z . aE c u s (
& . " .
Hyperbelbahn
\
0, , ) /
)
Durch die Anniiherung wird ein schnell verdnderli-
ches elektrisches Feld verursacht (<J'lj ' AU)), wo-
durch Einzelanregungen bis ca. 1 MeV moglich wer-
den (entsprichtJ = 60.
Um Rekorde in Hochspin-Anregungen zu bekommen, werden auch Fusionsreaktionen benutzt,
wie beispielsweise
l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .
Ab Er,in = 200 MeV kdnnen llCa-t<erne die Coulombbarriere iiberwinden.
Parametrisierung mit dynamischem Trägheitsmoment
ElektromagnetischeQuadrupol (E2) -Übergänge
Experimentelle Untersuchungder Rotationsspektren durchCoulomb-Anregung mit
Teilchen und Kerne
13.2 Rotationszustdnde
Beispiel: 2lfrttr, Oeformiert mit 6 = 0.25
556.9 keV
333.2 keV
Die Energie wiichst nicht genau linear, da
das Triigheitsmoment nicht genau konstant
ist. Der Kern zeigt nicht das Verhalten des
klassischen, starren Rotators. Es gilt:
J(J + r)C _L.J -
2@(J)
162.0 keV
49.4keY
v -
Zwischen den einzelnen Zustrinden kann es Quadrupol-Ubergiinge (E2) geben, die sich mittels
1-Spektroskopie beobachten lassen. Erzeugen lassen sich die Kernrotationszustdnde durch Cou-
lombanregung. Dies hat den Vorteil, daB nur die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle
spielt und es folglich keine inneren Kemanregungen geben kann. Experimentell erreicht man
dies durch BeschuB mit Schwerionen, wobei die Schwerpunktsenergie kleiner als die Coulomb-
Bariere sein muB:
Z t Z . aE c u s (
& . " .
Hyperbelbahn
\
0, , ) /
)
Durch die Anniiherung wird ein schnell verdnderli-
ches elektrisches Feld verursacht (<J'lj ' AU)), wo-
durch Einzelanregungen bis ca. 1 MeV moglich wer-
den (entsprichtJ = 60.
Um Rekorde in Hochspin-Anregungen zu bekommen, werden auch Fusionsreaktionen benutzt,
wie beispielsweise
l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .
Ab Er,in = 200 MeV kdnnen llCa-t<erne die Coulombbarriere iiberwinden.
Zustände bis J ! 60
Teilchen und Kerne
490 Deformierte und angeregte Kerne
0/Ostarre Kuget
s I a r resE l t ipso id
, Exper iment
w i rbe t f re ieFtUss igke i t
Deformation $ r
Abb. 13.3: Triigheitsmoment defbrmierter Kerne
Abb. 13.4: Mit suprafluidem Helium gefi i l l tes Ei. Nur die Ausbeulung des Eies tr i igt zum Tri igheitsmoment bei
lRu Drehimpuls (klassisch)
R,1t
@
@ /"* = @r+n)t/ZlG*nr^= 180
Experimentell werden Jmax - 60 eneicht.
Trdgheitsmoment der Kerne: @ kann aus dem Abstand der Energreniveaus in der Rotati-
onsbande bestimmt werden.
Kerne verhalten sich wie Eierschalen. die mit einem Gemisch aus einer normalen und einer
superfluiden Komponente geftllt sind. Die superfluide Komponente der Kernmaterie wird durch
Nukleonpaare mit JP = 0* gebildet, welche nicht an der Rotation teilnehmen. Bei groBerer
Defbrmation sind mehr Nukleonen ungepaart.
@ ist innerhalb einer Rotationsbande nicht konstant sondern wiichst mit zunehmendem Dre-
himpuls (zunehmender Winkelgeschwindigkeit), da mehr und mehr Nukleonpaare mit JP = 0*
aufgebrochen werden. Bei groBen Drehimpulsen ndhert sich das Triigheitsmoment des Kerns
dem eines stanen Kdrpers.
Teilchen und Kerne
488
13.2 Rotationszustende
Deformierte und angeregte Kerne
(13 .6 )
Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-
schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden
mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur
Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande
kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.
Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,
3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne
symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten
@ r = @ z : @ + @ : .
Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-
metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:
-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia
1
d E
Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-
rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:
JU+ I \g t= t zg '
Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-
griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die
Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-
schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:
2J+3D D -LJ+2
- LJ - (13 .1)
Teilchen und Kerne
490 Deformierte und angeregte Kerne
0/Ostarre Kuget
s I a r resE l t ipso id
, Exper iment
w i rbe t f re ieFtUss igke i t
Deformation $ r
Abb. 13.3: Triigheitsmoment defbrmierter Kerne
Abb. 13.4: Mit suprafluidem Helium gefi i l l tes Ei. Nur die Ausbeulung des Eies tr i igt zum Tri igheitsmoment bei
lRu Drehimpuls (klassisch)
R,1t
@
@ /"* = @r+n)t/ZlG*nr^= 180
Experimentell werden Jmax - 60 eneicht.
Trdgheitsmoment der Kerne: @ kann aus dem Abstand der Energreniveaus in der Rotati-
onsbande bestimmt werden.
Kerne verhalten sich wie Eierschalen. die mit einem Gemisch aus einer normalen und einer
superfluiden Komponente geftllt sind. Die superfluide Komponente der Kernmaterie wird durch
Nukleonpaare mit JP = 0* gebildet, welche nicht an der Rotation teilnehmen. Bei groBerer
Defbrmation sind mehr Nukleonen ungepaart.
@ ist innerhalb einer Rotationsbande nicht konstant sondern wiichst mit zunehmendem Dre-
himpuls (zunehmender Winkelgeschwindigkeit), da mehr und mehr Nukleonpaare mit JP = 0*
aufgebrochen werden. Bei groBen Drehimpulsen ndhert sich das Triigheitsmoment des Kerns
dem eines stanen Kdrpers.
Trägheitsmomente der Kerne
Systematik des Kern-Trägheitsmoments als Funktion des Deformationsparameters
deduziert aus gemessenen
Rotationsspektren
nicht alle Nukleonen im Kern nehmen an der Rotationsbewegung aktiv teil
Erklärung: Superfluidität im Kernrumpf
superfluideKomponente
Nukleonenpaare mit
normalbei großem Drehimpuls:
! = !(J)
Aufbruch von Paaren
14.2 Kollektive Dipolschwingungen
Angeregte Zustände werden im Schalenmodell durch Teilchen-Loch-Anregungen dargestellt.
Elektromagnetische Anregungen im Schalenmodell14.2.1
Teilchen und Kerne
Kernmodelle
r ( ' )I
-'.\' - -
\i.a#
- H
Abb. 10.10: Im Kernpotential werden die Einteilchenzust6nde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt
Was haben wir nun aus dem Fermigasmodell gelernt? Nun, Volumen- und Asymmetrieterm
sind damit verstanden, ebenso die Favorisierung des Neutroneneinbaus bei schweren Kernen,
N > 2 .
10.4 Schalenmodell des Atomkerns
Empirische Hinweise deuten auf eine Schalenstruktur des Atomkerns hin, welche wir im Fol-
genclen niiher besprechen wollen. Eine Evidenz sind beispielsweise die sogenannten magischen
Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.
Kerne. bei denen die Neutronenzahl N oder die Protonenzahl Z eine magische Zahl ist, er-
weisen sich nlimlich als besonders stabil (Beispiel: o-Teilchen). Solche Kerne besitzen eine
besonders hohe Separationsenergie ftir ein einzelnes Nukleon, gleichzeitig ist die Separations-
energie fiir ein weiteres hinzugeftigtes Nukleon wesentlich kleiner. Kurzum, solche Phdnomene
sind uns aus der Physik der Elektronen in der Atomhtille bekannt: Wir wissen, daB Edelga-
se mit abgeschlossener Valenzschale sehr groBe Ionisationsenergien aufweisen, wdhrend man
bei Alkalimetallen, welche in ihrer Atomhiille gerade ein Elektron zuviel besitzen, sehr kleine
loni sationsenergien feststellt.
Ist nun Z oder N eine magische Zahl, so gibt es besonders viele stabile Kerne mit dieser
Protonen- bzw. Neutronenzahl. Beispielsweise finden wir 6 Kerne mit N = 50 bzw. 7 Kerne
mit N = 82. Von Sn (Z = 50) existieren 10 nati.irlich vorkommende Isotope.
AuBergewohnlich stabil sind cloppeltmagische Kerne, wie lHe, t[O,
]$Ca, lfiCa und 2!!lU. tn
Analogie zur Atomphysik ist man geneigt zu vermuten, magische Zahlen entsprdchen gerade
Schalenabschliissen im Kern.
Kernpotential: Die Nukleonen bewegen sich in einem mittleren (sphiirischen) Kernpotential,
in dem Einteilchenzustdnde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt werden (Abb. 10.10).
Allerdings liegt beim Kernpotential kein Analogon zum Coulombpotential einer zentralen La-
dung wie in der Atomphysik vor, das mittlere Kernpotenti al V (r) wird vielmehr selbstkonsistent
durch die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung erzeugt. Unter anderem erfuhren wir in Kap. 9
von der relativ kurzen Reichweite dieser Wechselwirkung: Wir konnen annehmen, das Kernpo-
tential ist proportional zur Nukleonendichte p(r):
v(r) x p(r) .
1s1/2
1p1/2
1p3/2
1d5/2
ProtonenNeutronen
1d3/22s1/2
Teilchen und Kerne
Kernmodelle
r ( ' )I
-'.\' - -
\i.a#
- H
Abb. 10.10: Im Kernpotential werden die Einteilchenzust6nde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt
Was haben wir nun aus dem Fermigasmodell gelernt? Nun, Volumen- und Asymmetrieterm
sind damit verstanden, ebenso die Favorisierung des Neutroneneinbaus bei schweren Kernen,
N > 2 .
10.4 Schalenmodell des Atomkerns
Empirische Hinweise deuten auf eine Schalenstruktur des Atomkerns hin, welche wir im Fol-
genclen niiher besprechen wollen. Eine Evidenz sind beispielsweise die sogenannten magischen
Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.
Kerne. bei denen die Neutronenzahl N oder die Protonenzahl Z eine magische Zahl ist, er-
weisen sich nlimlich als besonders stabil (Beispiel: o-Teilchen). Solche Kerne besitzen eine
besonders hohe Separationsenergie ftir ein einzelnes Nukleon, gleichzeitig ist die Separations-
energie fiir ein weiteres hinzugeftigtes Nukleon wesentlich kleiner. Kurzum, solche Phdnomene
sind uns aus der Physik der Elektronen in der Atomhtille bekannt: Wir wissen, daB Edelga-
se mit abgeschlossener Valenzschale sehr groBe Ionisationsenergien aufweisen, wdhrend man
bei Alkalimetallen, welche in ihrer Atomhiille gerade ein Elektron zuviel besitzen, sehr kleine
loni sationsenergien feststellt.
Ist nun Z oder N eine magische Zahl, so gibt es besonders viele stabile Kerne mit dieser
Protonen- bzw. Neutronenzahl. Beispielsweise finden wir 6 Kerne mit N = 50 bzw. 7 Kerne
mit N = 82. Von Sn (Z = 50) existieren 10 nati.irlich vorkommende Isotope.
AuBergewohnlich stabil sind cloppeltmagische Kerne, wie lHe, t[O,
]$Ca, lfiCa und 2!!lU. tn
Analogie zur Atomphysik ist man geneigt zu vermuten, magische Zahlen entsprdchen gerade
Schalenabschliissen im Kern.
Kernpotential: Die Nukleonen bewegen sich in einem mittleren (sphiirischen) Kernpotential,
in dem Einteilchenzustdnde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt werden (Abb. 10.10).
Allerdings liegt beim Kernpotential kein Analogon zum Coulombpotential einer zentralen La-
dung wie in der Atomphysik vor, das mittlere Kernpotenti al V (r) wird vielmehr selbstkonsistent
durch die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung erzeugt. Unter anderem erfuhren wir in Kap. 9
von der relativ kurzen Reichweite dieser Wechselwirkung: Wir konnen annehmen, das Kernpo-
tential ist proportional zur Nukleonendichte p(r):
v(r) x p(r) .
1s1/2
1p1/2
1p3/2
1d5/2
ProtonenNeutronen
1d3/22s1/2
Teilchen
Loch
Beispiel O: 16
Grundzustand Teilchen-Loch-Anregungszustand
Anregung durch Photon-Absorption:
Wechselwirkungs-Hamiltonoperator
Teilchen und Kerne
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell
Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption
gi l t :
f -: 4w=-
J O ' r j rO .A(7 . r )
Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen
Polarisationsvektor d des Photons:
AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '
Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:
A -
L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -
i=l M
Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI
(= :u' im Schalenmodell):
d l i , - . l, = , l H ' r l
o I n -
Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:
* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /
Dann besagt Fermis goldene Regel:
491
Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg
wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,
mit dem el.mag. Vektorpotential
Teilchen und Kerne
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell
Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption
gi l t :
f -: 4w=-
J O ' r j rO .A(7 . r )
Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen
Polarisationsvektor d des Photons:
AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '
Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:
A -
L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -
i=l M
Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI
(= :u' im Schalenmodell):
d l i , - . l, = , l H ' r l
o I n -
Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:
* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /
Dann besagt Fermis goldene Regel:
491
Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg
wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,
Stromdichte für System von punktförmigen Nukleonen:
Teilchen und Kerne
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell
Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption
gi l t :
f -: 4w=-
J O ' r j rO .A(7 . r )
Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen
Polarisationsvektor d des Photons:
AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '
Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:
A -
L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -
i=l M
Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI
(= :u' im Schalenmodell):
d l i , - . l, = , l H ' r l
o I n -
Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:
* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /
Dann besagt Fermis goldene Regel:
491
Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg
wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,
!vi i
Teilchen und Kerne
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell
Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption
gi l t :
f -: 4w=-
J O ' r j rO .A(7 . r )
Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen
Polarisationsvektor d des Photons:
AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '
Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:
A -
L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -
i=l M
Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI
(= :u' im Schalenmodell):
d l i , - . l, = , l H ' r l
o I n -
Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:
* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /
Dann besagt Fermis goldene Regel:
491
Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg
wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,
Geschwindigkeit:
Matrixelement des el.mag. Übergangs:
Teilchen und Kerne
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell
Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption
gi l t :
f -: 4w=-
J O ' r j rO .A(7 . r )
Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen
Polarisationsvektor d des Photons:
AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '
Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:
A -
L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -
i=l M
Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI
(= :u' im Schalenmodell):
d l i , - . l, = , l H ' r l
o I n -
Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:
* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /
Dann besagt Fermis goldene Regel:
491
Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg
wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,
Teilchen und Kerne
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell
Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption
gi l t :
f -: 4w=-
J O ' r j rO .A(7 . r )
Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen
Polarisationsvektor d des Photons:
AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '
Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:
A -
L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -
i=l M
Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI
(= :u' im Schalenmodell):
d l i , - . l, = , l H ' r l
o I n -
Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:
* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /
Dann besagt Fermis goldene Regel:
491
Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg
wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,
Übergangswahrscheinlichkeit / Zeit (Fermi’s Goldene Regel):
ff
!j(!r ) =A!
i=1
ei "3(!r ! !ri)!vi
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Dipolübergänge14.2.2
Teilchen und Kerne
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern
13.3 Kollektive Dipolschwingungen
13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell
Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption
gi l t :
f -: 4w=-
J O ' r j rO .A(7 . r )
Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen
Polarisationsvektor d des Photons:
AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '
Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:
A -
L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -
i=l M
Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI
(= :u' im Schalenmodell):
d l i , - . l, = , l H ' r l
o I n -
Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:
* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /
Dann besagt Fermis goldene Regel:
491
Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg
wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,
Matrixelement des el.mag. Übergangs:
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Dipolnäherung:
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Abschätzung:
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
für typische Kernradien R und Photon-Energien
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Matrixelement:
mit dem Dipoloperator
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
= !i
Präzise Definition des Dipoloperators unter Berücksichtigung der Erhaltung des Schwerpunkts (Translationsinvarianz):
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Dipoloperator
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Z
A
Effektive Ladungen
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Proton: Neutron:
Kollektive Dipolanregungen in Kernen(Dipol-Riesenresonanzen)
14.2.3
Beispiel: Dipolanregungszustände im Kern O16
Drehimpulsauswahlregeln für Dipolübergänge:
Teilchen und Kerne
494
o Das Photon fagt DrehimpulsT = 1 weg.
Deformierte und angeregte Kerne
Also l /1 - l r l=Al = 1 und [ ;
- i t =Ai = 0, 1.
Als Beispiel betrachten wir die Dipolanregungen von tlO, die in Abb. 13.6 dargestellt sind.
Man erwartet folglich, wie in Abb. 13.7 gezeigt, ein Spektrum mit fiinf scharfen Linien. Die
gemessene 1-Absorptionswahrscheinlichkeit fi ir 1!O konzentrien sich jedoch in einer (energe-
tisch hoherliegenden) Resonanz, der Dipolriesenresonaw,. Qualitativ li iBt sich diese dadurch
erkliiren, dass Protonen und Neutronen kollektive Schwingungen gegeneinander ausfijhren:
/ - /s cos trJ/
13.3.2 Kollektive Zustdnde im Schalenmodell
Zu einer genaueren Begr{indung gelangen wir, wenn wir den Kernrumpf von IlO tgefiil lte 1s 1 ,
1pr, 1pr -Schalen) und seine Dipolanregungsznstiinde (Teilchen-Loch-Zustiinde) betrachten:
lV r ) =
LU/') =
lv') =
lw) =
ly ' ) =
Dies sind die Eigenzusttinde des ungestoften-Teilchen-Schalenmodell-Hamiltonoperators
tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,
wobei hier Nz = 5 ist. Bei mittelschweren Kernen gibt es Nz = I0... 20 Teilchenlochzustdnde.
Wegen der Gruppierung der Energieniveaus in Schalen sind die Energieeigenwerte Eifast ent-
0rtet.
Die Restwechselwirkung der Nukleonen, d. h. die Konektur zum mittleren Potential, ftihrt zu
einer Teilchen-Loch-Wechselwirkung V. Diese verursacht eine Mischung der Einteilchenzu-
strlnde und es entstehen kollektive Anregungen. Dies wollen wir nun in einem schematischen
Model l verdeut l ichen.
und
Teilchen und Kerne
494
o Das Photon fagt DrehimpulsT = 1 weg.
Deformierte und angeregte Kerne
Also l /1 - l r l=Al = 1 und [ ;
- i t =Ai = 0, 1.
Als Beispiel betrachten wir die Dipolanregungen von tlO, die in Abb. 13.6 dargestellt sind.
Man erwartet folglich, wie in Abb. 13.7 gezeigt, ein Spektrum mit fiinf scharfen Linien. Die
gemessene 1-Absorptionswahrscheinlichkeit fi ir 1!O konzentrien sich jedoch in einer (energe-
tisch hoherliegenden) Resonanz, der Dipolriesenresonaw,. Qualitativ li iBt sich diese dadurch
erkliiren, dass Protonen und Neutronen kollektive Schwingungen gegeneinander ausfijhren:
/ - /s cos trJ/
13.3.2 Kollektive Zustdnde im Schalenmodell
Zu einer genaueren Begr{indung gelangen wir, wenn wir den Kernrumpf von IlO tgefiil lte 1s 1 ,
1pr, 1pr -Schalen) und seine Dipolanregungsznstiinde (Teilchen-Loch-Zustiinde) betrachten:
lV r ) =
LU/') =
lv') =
lw) =
ly ' ) =
Dies sind die Eigenzusttinde des ungestoften-Teilchen-Schalenmodell-Hamiltonoperators
tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,
wobei hier Nz = 5 ist. Bei mittelschweren Kernen gibt es Nz = I0... 20 Teilchenlochzustdnde.
Wegen der Gruppierung der Energieniveaus in Schalen sind die Energieeigenwerte Eifast ent-
0rtet.
Die Restwechselwirkung der Nukleonen, d. h. die Konektur zum mittleren Potential, ftihrt zu
einer Teilchen-Loch-Wechselwirkung V. Diese verursacht eine Mischung der Einteilchenzu-
strlnde und es entstehen kollektive Anregungen. Dies wollen wir nun in einem schematischen
Model l verdeut l ichen.
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
1d:rr
L> 112
493
Anregungsenergien IMeV] :
lD ' - - - 2s '1
f o , - f d ,j
to , - ' - tO,' r 1
l D : - 2 s '^ 2 2
l p : - l d :' r 1
i n ' ! O
1 / - . J
15.7
r7 .6
18 .5
2 r . 8
E., [MeVl
bei 1610
I P lz
lp:,2
1 ^r ) l / 2
Abb. 13.6: Dipolanregungen
Oubs
experimentel les
Spektrum von ' lO
10 15 20
Abb. 13.7: 1-Absorptionsspektrum -
25 30
theoretisch und experimentel l
q
T
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
1d:rr
L> 112
493
Anregungsenergien IMeV] :
lD ' - - - 2s '1
f o , - f d ,j
to , - ' - tO,' r 1
l D : - 2 s '^ 2 2
l p : - l d :' r 1
i n ' ! O
1 / - . J
15.7
r7 .6
18 .5
2 r . 8
E., [MeVl
bei 1610
I P lz
lp:,2
1 ^r ) l / 2
Abb. 13.6: Dipolanregungen
Oubs
experimentel les
Spektrum von ' lO
10 15 20
Abb. 13.7: 1-Absorptionsspektrum -
25 30
theoretisch und experimentel l
q
T
Teilchen und Kerne
494
o Das Photon fagt DrehimpulsT = 1 weg.
Deformierte und angeregte Kerne
Also l /1 - l r l=Al = 1 und [ ;
- i t =Ai = 0, 1.
Als Beispiel betrachten wir die Dipolanregungen von tlO, die in Abb. 13.6 dargestellt sind.
Man erwartet folglich, wie in Abb. 13.7 gezeigt, ein Spektrum mit fiinf scharfen Linien. Die
gemessene 1-Absorptionswahrscheinlichkeit fi ir 1!O konzentrien sich jedoch in einer (energe-
tisch hoherliegenden) Resonanz, der Dipolriesenresonaw,. Qualitativ li iBt sich diese dadurch
erkliiren, dass Protonen und Neutronen kollektive Schwingungen gegeneinander ausfijhren:
/ - /s cos trJ/
13.3.2 Kollektive Zustdnde im Schalenmodell
Zu einer genaueren Begr{indung gelangen wir, wenn wir den Kernrumpf von IlO tgefiil lte 1s 1 ,
1pr, 1pr -Schalen) und seine Dipolanregungsznstiinde (Teilchen-Loch-Zustiinde) betrachten:
lV r ) =
LU/') =
lv') =
lw) =
ly ' ) =
Dies sind die Eigenzusttinde des ungestoften-Teilchen-Schalenmodell-Hamiltonoperators
tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,
wobei hier Nz = 5 ist. Bei mittelschweren Kernen gibt es Nz = I0... 20 Teilchenlochzustdnde.
Wegen der Gruppierung der Energieniveaus in Schalen sind die Energieeigenwerte Eifast ent-
0rtet.
Die Restwechselwirkung der Nukleonen, d. h. die Konektur zum mittleren Potential, ftihrt zu
einer Teilchen-Loch-Wechselwirkung V. Diese verursacht eine Mischung der Einteilchenzu-
strlnde und es entstehen kollektive Anregungen. Dies wollen wir nun in einem schematischen
Model l verdeut l ichen.
Photoabsorptionsspektrum von O :16
Schalenmodell
qualitative Diskrepanz zwischen Schalenmodell und Experiment
Dipol-“Riesenresonanz”
Kollektive Dipolschwingung aller Protonen gegen alle Neutronen
! = E!
!E
Teilchen und Kerne
494
o Das Photon fagt DrehimpulsT = 1 weg.
Deformierte und angeregte Kerne
Also l /1 - l r l=Al = 1 und [ ;
- i t =Ai = 0, 1.
Als Beispiel betrachten wir die Dipolanregungen von tlO, die in Abb. 13.6 dargestellt sind.
Man erwartet folglich, wie in Abb. 13.7 gezeigt, ein Spektrum mit fiinf scharfen Linien. Die
gemessene 1-Absorptionswahrscheinlichkeit fi ir 1!O konzentrien sich jedoch in einer (energe-
tisch hoherliegenden) Resonanz, der Dipolriesenresonaw,. Qualitativ li iBt sich diese dadurch
erkliiren, dass Protonen und Neutronen kollektive Schwingungen gegeneinander ausfijhren:
/ - /s cos trJ/
13.3.2 Kollektive Zustdnde im Schalenmodell
Zu einer genaueren Begr{indung gelangen wir, wenn wir den Kernrumpf von IlO tgefiil lte 1s 1 ,
1pr, 1pr -Schalen) und seine Dipolanregungsznstiinde (Teilchen-Loch-Zustiinde) betrachten:
lV r ) =
LU/') =
lv') =
lw) =
ly ' ) =
Dies sind die Eigenzusttinde des ungestoften-Teilchen-Schalenmodell-Hamiltonoperators
tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,
wobei hier Nz = 5 ist. Bei mittelschweren Kernen gibt es Nz = I0... 20 Teilchenlochzustdnde.
Wegen der Gruppierung der Energieniveaus in Schalen sind die Energieeigenwerte Eifast ent-
0rtet.
Die Restwechselwirkung der Nukleonen, d. h. die Konektur zum mittleren Potential, ftihrt zu
einer Teilchen-Loch-Wechselwirkung V. Diese verursacht eine Mischung der Einteilchenzu-
strlnde und es entstehen kollektive Anregungen. Dies wollen wir nun in einem schematischen
Model l verdeut l ichen.
Schematisches Modell (Brown & Bolsterli)14.2.4
(Lineare Response-Theorie in der Tamm - Dancoff - Approximation)
Ausgangspunkt: Dipolanregungszustände im Schalenmodell
Beispiel O:16
H = H0 + Vrest
Schalenmodell
H0 |!i! = Ei |!i!
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
1d:rr
L> 112
493
Anregungsenergien IMeV] :
lD ' - - - 2s '1
f o , - f d ,j
to , - ' - tO,' r 1
l D : - 2 s '^ 2 2
l p : - l d :' r 1
i n ' ! O
1 / - . J
15.7
r7 .6
18 .5
2 r . 8
E., [MeVl
bei 1610
I P lz
lp:,2
1 ^r ) l / 2
Abb. 13.6: Dipolanregungen
Oubs
experimentel les
Spektrum von ' lO
10 15 20
Abb. 13.7: 1-Absorptionsspektrum -
25 30
theoretisch und experimentel l
q
T
Restwechselwirkung
Dipol-Anregungsenergien
Ei = (!p ! !h)i
hier: 5 Teilchen - Loch - Zustände mit
bei mittelschweren Kernen: 10 - 20 derartige Dipol - Zustände
JP
= 1!
JP
= 1!
Teilchen-Energien
Loch-Energien
!p
!h
Mischung der Teilchen-Loch-Zustände durch die Restwechselwirkung
H |!! = (H0 + Vrest) |!! = E |!!
Teilchen-Loch-WechselwirkungAnsatz: |!! =
!
i
ci |!i!
Säkulargleichung:
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*
_ , ) l0= EIV)
no'"',\?i,1l'J",o,o.
Im begrenzten Modellraum der ]qa) hat die Wellenfunktion lt4) die Form:
N7
V) = lc , y7 (13.9)l= l
Die S iikulargleichung lautet dann :
f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r
I V , ' Ez t -V11 | l c : l =U l r r l t l 3 . l 0 )r l\,/ \,/\ : :
" / \ : / \ . . /
Zur Vereinfachung machen wir die Annahme, dass die Restwechselwirkung fiir alle Teilchen-
Loch-Zustiinde gleich ist:
M,lV V) = Vij = Vo
Dann lautet die i - te Gleichung von (13.10):
E ic i+ Vs f . ' , = E ,
7Daraus erheilt man zundchst
r l N7
, ' - - - :o t c .' E-r , 7
und dann durch Summation iiber alle i und division durch !, c;:
t\ / . | |V ^
1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)
? E-r ,
Aus dieser Gleichung erhiilt man durch graphische Losung die neuen Energieeigenwerte Ej
(Abb. 13.S). Man sieht, daB diese benachbart zu den ungestdrten E; liegen, mit Ausnahme ei-
nes kollektiven Zustandes mit stark verschobener Energie .E.. Je nach Teilchen-Loch-Wechsel-
wirkung liegt dieser Zustand ober- oder unterhalb der Einteilchenzustbnde:
Teilchen-Loch-Wechselwirkung: kollektiver Zustand:
abstoBend Vo > 0 oberhalb der Einteilchenzustdnde
anziehend yn < 0 unterhalb der Einteilchenzustdnde
Annahme zur Vereinfachung: alle Matrixelemente der Teilchen-Loch-Wechselwirkung ungefähr gleich:
Vij = !!i|Vrest|!j" # V0
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*
_ , ) l0= EIV)
no'"',\?i,1l'J",o,o.
Im begrenzten Modellraum der ]qa) hat die Wellenfunktion lt4) die Form:
N7
V) = lc , y7 (13.9)l= l
Die S iikulargleichung lautet dann :
f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r
I V , ' Ez t -V11 | l c : l =U l r r l t l 3 . l 0 )r l\,/ \,/\ : :
" / \ : / \ . . /
Zur Vereinfachung machen wir die Annahme, dass die Restwechselwirkung fiir alle Teilchen-
Loch-Zustiinde gleich ist:
M,lV V) = Vij = Vo
Dann lautet die i - te Gleichung von (13.10):
E ic i+ Vs f . ' , = E ,
7Daraus erheilt man zundchst
r l N7
, ' - - - :o t c .' E-r , 7
und dann durch Summation iiber alle i und division durch !, c;:
t\ / . | |V ^
1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)
? E-r ,
Aus dieser Gleichung erhiilt man durch graphische Losung die neuen Energieeigenwerte Ej
(Abb. 13.S). Man sieht, daB diese benachbart zu den ungestdrten E; liegen, mit Ausnahme ei-
nes kollektiven Zustandes mit stark verschobener Energie .E.. Je nach Teilchen-Loch-Wechsel-
wirkung liegt dieser Zustand ober- oder unterhalb der Einteilchenzustbnde:
Teilchen-Loch-Wechselwirkung: kollektiver Zustand:
abstoBend Vo > 0 oberhalb der Einteilchenzustdnde
anziehend yn < 0 unterhalb der Einteilchenzustdnde
dann folgt:
j
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*
_ , ) l0= EIV)
no'"',\?i,1l'J",o,o.
Im begrenzten Modellraum der ]qa) hat die Wellenfunktion lt4) die Form:
N7
V) = lc , y7 (13.9)l= l
Die S iikulargleichung lautet dann :
f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r
I V , ' Ez t -V11 | l c : l =U l r r l t l 3 . l 0 )r l\,/ \,/\ : :
" / \ : / \ . . /
Zur Vereinfachung machen wir die Annahme, dass die Restwechselwirkung fiir alle Teilchen-
Loch-Zustiinde gleich ist:
M,lV V) = Vij = Vo
Dann lautet die i - te Gleichung von (13.10):
E ic i+ Vs f . ' , = E ,
7Daraus erheilt man zundchst
r l N7
, ' - - - :o t c .' E-r , 7
und dann durch Summation iiber alle i und division durch !, c;:
t\ / . | |V ^
1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)
? E-r ,
Aus dieser Gleichung erhiilt man durch graphische Losung die neuen Energieeigenwerte Ej
(Abb. 13.S). Man sieht, daB diese benachbart zu den ungestdrten E; liegen, mit Ausnahme ei-
nes kollektiven Zustandes mit stark verschobener Energie .E.. Je nach Teilchen-Loch-Wechsel-
wirkung liegt dieser Zustand ober- oder unterhalb der Einteilchenzustbnde:
Teilchen-Loch-Wechselwirkung: kollektiver Zustand:
abstoBend Vo > 0 oberhalb der Einteilchenzustdnde
anziehend yn < 0 unterhalb der Einteilchenzustdnde
j
bzw.
i - Summation:
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*
_ , ) l0= EIV)
no'"',\?i,1l'J",o,o.
Im begrenzten Modellraum der ]qa) hat die Wellenfunktion lt4) die Form:
N7
V) = lc , y7 (13.9)l= l
Die S iikulargleichung lautet dann :
f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r
I V , ' Ez t -V11 | l c : l =U l r r l t l 3 . l 0 )r l\,/ \,/\ : :
" / \ : / \ . . /
Zur Vereinfachung machen wir die Annahme, dass die Restwechselwirkung fiir alle Teilchen-
Loch-Zustiinde gleich ist:
M,lV V) = Vij = Vo
Dann lautet die i - te Gleichung von (13.10):
E ic i+ Vs f . ' , = E ,
7Daraus erheilt man zundchst
r l N7
, ' - - - :o t c .' E-r , 7
und dann durch Summation iiber alle i und division durch !, c;:
t\ / . | |V ^
1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)
? E-r ,
Aus dieser Gleichung erhiilt man durch graphische Losung die neuen Energieeigenwerte Ej
(Abb. 13.S). Man sieht, daB diese benachbart zu den ungestdrten E; liegen, mit Ausnahme ei-
nes kollektiven Zustandes mit stark verschobener Energie .E.. Je nach Teilchen-Loch-Wechsel-
wirkung liegt dieser Zustand ober- oder unterhalb der Einteilchenzustbnde:
Teilchen-Loch-Wechselwirkung: kollektiver Zustand:
abstoBend Vo > 0 oberhalb der Einteilchenzustdnde
anziehend yn < 0 unterhalb der Einteilchenzustdnde
i
Graphische Lösung der Säkulargleichung:
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
- 8 .
/,/
: : : . : - - - - . c - .
_ r . E 1 - - E t
Abb. 13.8: Graphische Lcisung von ( l3. l l ) und Veranschaulichung der Verschiebung der Energieniveaus (aus
lPo96 l ) .
Eine quantitative Abschiitzung mit Ei = Eo fijr alle i ergibt aus (13.11):
1 = !4+ + E, = Eo+ NTvsE,- Eo
(13.r2)
Die EnergieverschiebunE E, - Es des kollektiven Zustandes ist also proportional nr Zahl der
(fast) entarteten Zustainde. Experimentell findet man, daB die Energie der Riesenresonanz etwa
doppelt so groB wie der Schalenabstand Es ist. Zusammen mit (13.12) erhiilt man daraus:
NTVg = Es (13 .13)
Hin zu schwereren Kernen nimmt zwar die effektive Restwechselwirkung ab, dafiir nehmen
aber mehr Zustiinde an der kollektiven Bewegung teil.
Fiir den kollektiven Zustand sind die cr nahezu unabhlingig von i (wegen E1= po|.
r / ' \ t
.1., =;S, I,,'
l=1
Daraus fblgt fiir die Wellenfunktion (13.9):
l r1 l . )=* f tw>t/N. ?
"
Alle Einteilchenzustdnde tiberlagern sich also konstruktiv mit gleicher Amplitude. Bei den an-
deren Zustdnden mit Energien Ef ist ein c; groB, wrihrend die iibrigen klein sind und unter-
schiedliche Vorzeichen besitzen. Die Amplituden i.iberlagern sich destruktiv.
Abschdtzung der Dipoliibergangswahrscheinlichkeit" Die exakte Form des Dipoloperators
D haben wir schon in (13.8) bestimmt. Mit dem Konzept der effektiven Massen liisst sich die
Anregung nun so beschreiben, das die Protonen und Neutronen in verschiedene Richtungen
ausgelenkt werden, der Schwerpunkt aber in Ruhe bleibt.
Das Dipoli.ibergangsmatrixelement fiir den kollektiven Anregungszustand ist:
Teilchen und Kerne
13.3 KollektiveDipolschwingungen
#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*
_ , ) l0= EIV)
no'"',\?i,1l'J",o,o.
Im begrenzten Modellraum der ]qa) hat die Wellenfunktion lt4) die Form:
N7
V) = lc , y7 (13.9)l= l
Die S iikulargleichung lautet dann :
f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r
I V , ' Ez t -V11 | l c : l =U l r r l t l 3 . l 0 )r l\,/ \,/\ : :
" / \ : / \ . . /
Zur Vereinfachung machen wir die Annahme, dass die Restwechselwirkung fiir alle Teilchen-
Loch-Zustiinde gleich ist:
M,lV V) = Vij = Vo
Dann lautet die i - te Gleichung von (13.10):
E ic i+ Vs f . ' , = E ,
7Daraus erheilt man zundchst
r l N7
, ' - - - :o t c .' E-r , 7
und dann durch Summation iiber alle i und division durch !, c;:
t\ / . | |V ^
1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)
? E-r ,
Aus dieser Gleichung erhiilt man durch graphische Losung die neuen Energieeigenwerte Ej
(Abb. 13.S). Man sieht, daB diese benachbart zu den ungestdrten E; liegen, mit Ausnahme ei-
nes kollektiven Zustandes mit stark verschobener Energie .E.. Je nach Teilchen-Loch-Wechsel-
wirkung liegt dieser Zustand ober- oder unterhalb der Einteilchenzustbnde:
Teilchen-Loch-Wechselwirkung: kollektiver Zustand:
abstoBend Vo > 0 oberhalb der Einteilchenzustdnde
anziehend yn < 0 unterhalb der Einteilchenzustdnde
i
E
V0 > 0
kollektiver Zustand
Abschätzung: die N Teilchen-Loch-Energien sind näherungsweise entartet, d.h.
Ei = E0 für alle i = 1, . . . , N
für den kollektiven Zustand:
1 =n V0
Ec ! E0
Ec = E0 + n V0
Wellenfunktion des kollektiven Zustands:
|!c! =
!
i
c(c)i
|!i!
kohärente Überlagerung der Teilchen-Loch-Zustände
Im kollektiven Zustand wird die Summe der Dipol-Anregungsstärken aller Teilchen-Loch-Zustände konzentriert:
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Teilchen und Kerne
Deformierte und angeregte Kerne
mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).
- - / l - | \
M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/
In der Dipolniiherung gilt nun:
A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)
Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien
von hal j 20MeV ergibt sich:
Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F
Damit vereinfacht sich ff1s zu
l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i
/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |
- /
mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'
Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-
invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:
z . l . , - i
D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1
Insgesamt ergibt sich:
( r 3 .8 )
Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:
r t t N , t t Z.;-, =
,. ei," = --e
Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien
abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:
o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-
tive Paritiit")
- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"
J\
p = , n = r /
Z
A
|!!c|Dz|0"|2
=1
n
!
!
!
!
!
"
i
!!i|Dz|0"
!
!
!
!
!
2
kollektiveDipolstärke
c(c)i =
V0
Ec ! Ei
n!
j=1
cj
|!c! =1"n
n!
i=1
|!i!
Einteilchen-Dipolstärke
= n x
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 20 40 60 80 100 120 140
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
27Al(!, abs)
Ahrens(1975)LANL
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
10 15 20 25 30 35 40 45 50
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
27Al(!, xn)
Veyssiere(1974)Fultz(1966)
LANL
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
27Al(!, 1nx)
Fultz(1966)Veyssiere(1974)
LANL
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
27Al(!, 2nx)
Fultz(1966)Veyssiere(1974)
LANL
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40 60 80 100 120 140
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
40Ca(!, abs)
Ahrens(1975)LANL
0
5
10
15
20
25
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
40Ca(!, 1nx)
Veyssiere(1974)Goryachev(1968)
LANL
0
2
4
6
8
10
12
14
16
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
40Ca(!, xn)
LANL
0
20
40
60
80
100
120
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
40Ca(!, xp)
LANL
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
91Zr(!, abs)
Berman(1967)CNDC
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
91Zr(!, xn)
Berman(1967)CNDC
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
91Zr(!, n)
Berman(1967)CNDC
0
5
10
15
20
25
30
35
15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
91Zr(!, 2n)
Berman(1967)CNDC
0
50
100
150
200
250
300
350
400
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
181Ta(!, abs)
Lee(1998)JENDL
0
5
10
15
20
25
30
35
40
20 40 60 80 100 120 140
Cro
ss s
ecti
on [
mb]
E! (MeV)
181Ta(!, abs)
JENDL(GDR+QDM)GDRQDM
Lepretre(1981)
0
100
200
300
400
500
600
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
181Ta(!, xn)
Bergere(1968)JENDL
0
50
100
150
200
250
300
350
400
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
181Ta(!, n)
Lee(1998) JENDL
0
50
100
150
200
250
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
181Ta(!, 2n)
Lee(1998)JENDL
0
5
10
15
20
25
20 25 30 35 40 45 50 55 60
Cro
ss S
ecti
on (
mb)
E! (MeV)
181Ta(!, 3n)
Bergere(1968)JENDL
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 20 40 60 80 100 120 140
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
208Pb(!, abs)
Harvey(1964)x1.22Veyssiere(1970) x 0.93
Young(1972)Lepretre
LANL
0
100
200
300
400
500
600
700
800
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
208Pb(!, xn)
Veyssiere(1970)x0.93Young(1972)
LANL
0
100
200
300
400
500
600
700
800
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
208Pb(!, n)
Veyssiere(1970)x0.93Young(1972)
LANL
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5 10 15 20 25 30 35 40
Cro
ss S
ecti
on
(m
b)
E! (MeV)
208Pb(!, 2n)
Veyssiere(1970)LANL
Systematik der Dipol-Riesenresonanz in Kernen
Edip ! 77 · A!1/3
MeVResonanzenergie:
proportional zum inversen Kernradius: Edip ! R!1
491.41,FtDIPOLE MODES
*,*
20
F igu re6 -2 lPho toabso rp t i onc rosssec t i on - fo reven i so topeso fneodymium,Theexpe r t -mental data are from P' barlo'' H' Beil' R' Bergdre' A' Lepretre' an{ A" Veyssidre' \':'':::Phys.A|12,437( |g. | | ) , Ihesol idcurveslepresentLorentz ianf i tswi ththeparametersglvenin Table 6-6.
A direct test of the interpretation of the splitting of the photoresonance
line in terms of a deformation effect can be obtained by a measurement of
the dependence of the absorption cross section on the orientation of the
nuc leusw i th respec t to thed i f ec t i ono f the inc iden tpho tonbeam 'Sucha tes tof the expected photoanisotropy of r65Ho has been performed by Ambler et
at. (1965) and KellY et al' (1969)'
ra2Nd 144Nd r46Nd r48Nd l5oNd
Eo(MeV)oo(fm2)
r(MeV)
12.3 16t 1 ) )I I
. t < 1J . J J , L
14.9364.4
1 5 . 0
) . J
t4;726"7.2
14.83 l6
Toble 6_6 parameters for the dipore resonance in even neodymium lsotopes'
The table gives the parameters for the Lorentzian resonance curves drawn in
Fig. 6-21. The cross ,.ttio" for l5t"ld has been fitted to the sum of two
resonance functions.
1 R n' " " N d
1 t + 1 6
E , ( M e V )
Dipol-Riesenresonanz in deformierten Kernen
Beispiel: Wirkungsquerschnitte für Photoabsorption in Neodymium - Isotopen
deformiert
sphärisch
E>
dip ! E<
dip =
!R
R
Aufspaltung der Dipol-Resonanzmißt dieKerndeformation
Summenregel für Dipol-Photoabsorption14.2.5
Wirkungsquerschnitt für die Dipol-Photoabsorption:
!dip(") = #e2!
f
(Ef ! E0)|"f |Dz|0#|2$(" ! Ef + E0)
Dipolsummenregel:
mit dem Hamilton-Operator: H = T + V =
A!
i=1
p2i
2M+
!
i<j
Vij
!0|[Dz, [T, Dz]]|0" =NZ
AMes gilt:
!!
0
d! "dip(!) =#e2
2!0|[Dz, [H, Dz]]|0"
!!
0
d! "dip(!) =#e2
2M
NZ
A(1 + $)
! = !0|[Dz, [V, Dz]]|0"
= ! (1 + !)
! ! 60MeVmbNZ
A
Thomas - Reiche - Kuhn Summenregel
T H E P H O T O N U C L E A R S U M R U L E
PHOTONUTLTAR TROSS SEIIION ]
313
{ -at a t a
{ -t l
. . o l
3
b
2 5
+ ++ + + +
t:Y+:6oMev *oY,
f" aro,o(r): (1+ R)>.
f arou,l t) : (1+ r)x.
TRK SUMRULE
Pb
0 50 100 150 200 250MASS NUI4BER
Frc. 8.13. Total photonuclear cross-sections integrated up to the pion production
threshold, in units of the Thomas-Reiche-Kuhn sum rule 2 :60 MeV ' mb
.\ZlA.The data are from Ahrens et al. (1975), Lepr!tre er a/. (1981), andAhrens (1985).
more detail. Integrated photonuclear cross-sections up to the pion
production threshold o) : mr have been experimentally determined for a
series of nuclei throughout the period table. They are displayed in Fig.
8.13 in units of the classical TRK sum
so that
(8 .123 )
(8 .124)
The empirical r ranges typically between about 0.5 and 1.2; it becomes
k:0.76 for heavy nuclei. We wish now to discuss the relation of r to the
theoretical dipole sum rule (8.118) and (8.120)
(8.12s)
In fact it is legitimate to identify the integrated total cross-section
approximately with the corresponding E1 integral in the long-wavelength
limit rmt tma
i darcro@t):
Jo da.ro6'(ro). (8.126)
This is so because the basic photoabsorption mechanism above the giant
Io
I e
tr'.
Empirisches zur Photonuklearen Dipol - Summenregel
!
1
Ladungsaustausch istwichtig ( ist groß)!
p
pn
n
!±. .
Mesonische(insbesondere pionische) Austauschströme
! = !0|[Dz, [V, Dz]]|0"Maß für Austauschströme undgeschwindigkeitsabhängige Kräfte
14.3 Weitere Typen kollektiver Anregungen
Monopolschwingungen14.3.1
Kompressionsschwingungen der Kerne:
(JP = 0+)
Periodische Änderung des Kernradius R(t) ohne Änderung der Form
Quadrupolvibrationen14.3.2
Kollektive Formschwingungen der Kerne
Operator: O2! ! r2Y2!(r̂)
(JP = 2+)
R(t) = R0 ei!t
Messung derKompressibilitätvon Kernen
im Schalenmodell: Teilchen-Loch-Anregungen über 2 Schalen
s ↔ d, p ↔ f , etc.
Oktupolvibrationen14.3.3
O3! ! r3Y3!(r̂)
(JP = 3!)
Kollektive Formschwingungenmit Oktupoldeformation
Operator:
Beispiele: niedrigliegende J
P= 3
! in 16O,
40Ca,
208Pb
Gamow-Teller - Resonanzen14.3.4
Kollektive Spin-Isospin - Anregungen(mit Spin-Flip und Ladungsaustausch)
OGT ! !" #±Operator:
sensitiv auf die spin-isospin-abhängige Teilchen-Loch-Wechselwirkung
n p
V!" =!
i<j
G(!rij)!"i · !"j !#i · !#j
G A M O W _ T E L L E R S T A T E S
Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*
in a heavy nucleus with ,I'":0'.
where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a
schematic separable interaction of the form
V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)
The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,
since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.
Consider now the following unperturbed particle-hole states
with , / ' : L+
la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)
where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led
Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an
occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0
has been chosen for convenience, so that only the z-components of the
spin operators in eqn (10.23) contribute.
These states satisfv
H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)
381
with
with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-
tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant
matrix elements of the interaction Vo, have the form
<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,
D* - (pl o,r * ln) .
The Schrodinger equation
(H - E) l \P) :0
is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)
(r0.26)
(r0.2'7)
( 10.28)
(r0.29)lv) :>c* ls) ,
Gamow - Teller (GT) Zustände im Schalenmodell
OGT |0+! = |[pj! " n!1j!! ]J
P = 1+!
Proton-Teilchen
Neutron-Loch
Kollektive GT- Resonanz nach “Einschalten” der Wechselwirkung
G A M O W _ T E L L E R S T A T E S
Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*
in a heavy nucleus with ,I'":0'.
where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a
schematic separable interaction of the form
V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)
The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,
since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.
Consider now the following unperturbed particle-hole states
with , / ' : L+
la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)
where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led
Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an
occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0
has been chosen for convenience, so that only the z-components of the
spin operators in eqn (10.23) contribute.
These states satisfv
H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)
381
with
with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-
tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant
matrix elements of the interaction Vo, have the form
<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,
D* - (pl o,r * ln) .
The Schrodinger equation
(H - E) l \P) :0
is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)
(r0.26)
(r0.2'7)
( 10.28)
(r0.29)lv) :>c* ls) ,
G A M O W _ T E L L E R S T A T E S
Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*
in a heavy nucleus with ,I'":0'.
where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a
schematic separable interaction of the form
V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)
The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,
since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.
Consider now the following unperturbed particle-hole states
with , / ' : L+
la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)
where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led
Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an
occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0
has been chosen for convenience, so that only the z-components of the
spin operators in eqn (10.23) contribute.
These states satisfv
H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)
381
with
with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-
tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant
matrix elements of the interaction Vo, have the form
<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,
D* - (pl o,r * ln) .
The Schrodinger equation
(H - E) l \P) :0
is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)
(r0.26)
(r0.2'7)
( 10.28)
(r0.29)lv) :>c* ls) ,
G A M O W _ T E L L E R S T A T E S
Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*
in a heavy nucleus with ,I'":0'.
where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a
schematic separable interaction of the form
V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)
The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,
since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.
Consider now the following unperturbed particle-hole states
with , / ' : L+
la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)
where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led
Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an
occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0
has been chosen for convenience, so that only the z-components of the
spin operators in eqn (10.23) contribute.
These states satisfv
H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)
381
with
with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-
tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant
matrix elements of the interaction Vo, have the form
<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,
D* - (pl o,r * ln) .
The Schrodinger equation
(H - E) l \P) :0
is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)
(r0.26)
(r0.2'7)
( 10.28)
(r0.29)lv) :>c* ls) ,
H = H0 + V!"
Schalenmodellzustände:
Spin-Isospin - abhängiger Teil der Restwechselwirkung:
3 8 2 S P I N - I S O S P I N E X C I T A T I O N S
so that one obtains the secular equation (neglecting exchange terms)
(E - e")c* :2) .Do2 ,uOE.B
This immediately leads to the following dispersion equation for the
eisenvalues E
(10.31)
It can be solved graphically as shown in Fig. 10.8. One sees that with
increasing repulsive coupling strength ,1, > 0, one state (the GT re-
sonance) has its energy E61 moved upwards, whereas all the other states
remain close to their unperturbed positions. The position of 861
compared to the unperturbed energies e. is then a measure of ,1. When ,t
is strong enough to separate Eot completely from the eo these energies
can be replaced by a single average energy eo. In this limit, eqn (10.31)
reduces to
1_ \2 lD .12
1-+E- t i l
(10.30)
( 10.32)
-l
Consider tou thc r
particle-hole states rrc
w i t h e n e r g i e s e - 7 \ l c \
resonance is locat. 'd u
interaction t1..ng1l r. tf
This schematic dct
problem. However. rn P
interaction is the onc t
5.9.4 wi th i ts sPin- t ro 'P
1 , , - t r . r
A similar but mtlre c,rn
1980) reproduces thc ( i
U
Wi th M* :0 .8 .11 rh rs c r .
In summary. the Ptrrtttrthe nuclear spin-r r .x1
(repuls ive) g ' oLr tarned
has a strong lmpact ()n
pion condensat i0n ln nt
10.5 A-isobar erciteti
At energl t ransfcr . , t f
to a spin-isospin .icg'cr
L(1232). This sub;cct
p ion- and photon-rndu
nucleonic spin-isttsprn t
correspondence in \--.
S*T*, as the\ app.ar
eqns (2 .2 .1 ) and (1 .5 - : t
An examplc' c'rf a u
charge exchangc' tcdCt l r
ana logous to t hc (P . n )
Gamow-Tel ler excr tat r
Ecr - es:2)"2 p"f :zL(N - Z)
where the last step parallels the one which leads to eqn (10.18). The
energy shift of the GT state is determined by the coherent action of all
the diagonal matrix elements of Vo,. In the same limit, this state is
coherently excited by the Gamow*Teller operator and exhausts the GT
sum rule.
Frc. 10.8. Graphic solution of the dispersion equation (10.31). Note that a
collective Gamow-Teller state develops at an energy Eot much larger than the
unperturbed energies tr,2.. as I becomes large.
GAIIOW_TELLER DISPIRSION EOUATION
I 1 / ^
I t., l
\i\ili
2F- -- l i
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so that one obtains the secular equation (neglecting exchange terms)
(E - e")c* :2) .Do2 ,uOE.B
This immediately leads to the following dispersion equation for the
eisenvalues E
(10.31)
It can be solved graphically as shown in Fig. 10.8. One sees that with
increasing repulsive coupling strength ,1, > 0, one state (the GT re-
sonance) has its energy E61 moved upwards, whereas all the other states
remain close to their unperturbed positions. The position of 861
compared to the unperturbed energies e. is then a measure of ,1. When ,t
is strong enough to separate Eot completely from the eo these energies
can be replaced by a single average energy eo. In this limit, eqn (10.31)
reduces to
1_ \2 lD .12
1-+E- t i l
(10.30)
( 10.32)
-l
Consider tou thc r
particle-hole states rrc
w i t h e n e r g i e s e - 7 \ l c \
resonance is locat. 'd u
interaction t1..ng1l r. tf
This schematic dct
problem. However. rn P
interaction is the onc t
5.9.4 wi th i ts sPin- t ro 'P
1 , , - t r . r
A similar but mtlre c,rn
1980) reproduces thc ( i
U
Wi th M* :0 .8 .11 rh rs c r .
In summary. the Ptrrtttrthe nuclear spin-r r .x1
(repuls ive) g ' oLr tarned
has a strong lmpact ()n
pion condensat i0n ln nt
10.5 A-isobar erciteti
At energl t ransfcr . , t f
to a spin-isospin .icg'cr
L(1232). This sub;cct
p ion- and photon-rndu
nucleonic spin-isttsprn t
correspondence in \--.
S*T*, as the\ app.ar
eqns (2 .2 .1 ) and (1 .5 - : t
An examplc' c'rf a u
charge exchangc' tcdCt l r
ana logous to t hc (P . n )
Gamow-Tel ler excr tat r
Ecr - es:2)"2 p"f :zL(N - Z)
where the last step parallels the one which leads to eqn (10.18). The
energy shift of the GT state is determined by the coherent action of all
the diagonal matrix elements of Vo,. In the same limit, this state is
coherently excited by the Gamow*Teller operator and exhausts the GT
sum rule.
Frc. 10.8. Graphic solution of the dispersion equation (10.31). Note that a
collective Gamow-Teller state develops at an energy Eot much larger than the
unperturbed energies tr,2.. as I becomes large.
GAIIOW_TELLER DISPIRSION EOUATION
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I t., l
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2F- -- l i
kollektiverGT - Zustand
3 8 2 S P I N - I S O S P I N E X C I T A T I O N S
so that one obtains the secular equation (neglecting exchange terms)
(E - e")c* :2) .Do2 ,uOE.B
This immediately leads to the following dispersion equation for the
eisenvalues E
(10.31)
It can be solved graphically as shown in Fig. 10.8. One sees that with
increasing repulsive coupling strength ,1, > 0, one state (the GT re-
sonance) has its energy E61 moved upwards, whereas all the other states
remain close to their unperturbed positions. The position of 861
compared to the unperturbed energies e. is then a measure of ,1. When ,t
is strong enough to separate Eot completely from the eo these energies
can be replaced by a single average energy eo. In this limit, eqn (10.31)
reduces to
1_ \2 lD .12
1-+E- t i l
(10.30)
( 10.32)
-l
Consider tou thc r
particle-hole states rrc
w i t h e n e r g i e s e - 7 \ l c \
resonance is locat. 'd u
interaction t1..ng1l r. tf
This schematic dct
problem. However. rn P
interaction is the onc t
5.9.4 wi th i ts sPin- t ro 'P
1 , , - t r . r
A similar but mtlre c,rn
1980) reproduces thc ( i
U
Wi th M* :0 .8 .11 rh rs c r .
In summary. the Ptrrtttrthe nuclear spin-r r .x1
(repuls ive) g ' oLr tarned
has a strong lmpact ()n
pion condensat i0n ln nt
10.5 A-isobar erciteti
At energl t ransfcr . , t f
to a spin-isospin .icg'cr
L(1232). This sub;cct
p ion- and photon-rndu
nucleonic spin-isttsprn t
correspondence in \--.
S*T*, as the\ app.ar
eqns (2 .2 .1 ) and (1 .5 - : t
An examplc' c'rf a u
charge exchangc' tcdCt l r
ana logous to t hc (P . n )
Gamow-Tel ler excr tat r
Ecr - es:2)"2 p"f :zL(N - Z)
where the last step parallels the one which leads to eqn (10.18). The
energy shift of the GT state is determined by the coherent action of all
the diagonal matrix elements of Vo,. In the same limit, this state is
coherently excited by the Gamow*Teller operator and exhausts the GT
sum rule.
Frc. 10.8. Graphic solution of the dispersion equation (10.31). Note that a
collective Gamow-Teller state develops at an energy Eot much larger than the
unperturbed energies tr,2.. as I becomes large.
GAIIOW_TELLER DISPIRSION EOUATION
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I t., l
\i\ili
2F- -- l i
G A M O W _ T E L L E R S T A T E S
Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*
in a heavy nucleus with ,I'":0'.
where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a
schematic separable interaction of the form
V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)
The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,
since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.
Consider now the following unperturbed particle-hole states
with , / ' : L+
la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)
where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led
Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an
occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0
has been chosen for convenience, so that only the z-components of the
spin operators in eqn (10.23) contribute.
These states satisfv
H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)
381
with
with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-
tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant
matrix elements of the interaction Vo, have the form
<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,
D* - (pl o,r * ln) .
The Schrodinger equation
(H - E) l \P) :0
is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)
(r0.26)
(r0.2'7)
( 10.28)
(r0.29)lv) :>c* ls) ,
G A M O W _ T E L L E R S T A T E S
Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*
in a heavy nucleus with ,I'":0'.
where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a
schematic separable interaction of the form
V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)
The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,
since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.
Consider now the following unperturbed particle-hole states
with , / ' : L+
la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)
where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led
Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an
occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0
has been chosen for convenience, so that only the z-components of the
spin operators in eqn (10.23) contribute.
These states satisfv
H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)
381
with
with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-
tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant
matrix elements of the interaction Vo, have the form
<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,
D* - (pl o,r * ln) .
The Schrodinger equation
(H - E) l \P) :0
is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)
(r0.26)
(r0.2'7)
( 10.28)
(r0.29)lv) :>c* ls) ,
G A M O W _ T E L L E R S T A T E S
Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*
in a heavy nucleus with ,I'":0'.
where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a
schematic separable interaction of the form
V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)
The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,
since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.
Consider now the following unperturbed particle-hole states
with , / ' : L+
la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)
where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led
Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an
occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0
has been chosen for convenience, so that only the z-components of the
spin operators in eqn (10.23) contribute.
These states satisfv
H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)
381
with
with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-
tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant
matrix elements of the interaction Vo, have the form
<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,
D* - (pl o,r * ln) .
The Schrodinger equation
(H - E) l \P) :0
is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)
(r0.26)
(r0.2'7)
( 10.28)
(r0.29)lv) :>c* ls) ,
Diagonalisierung der spin-isospin - abhängigen Restwechselwirkung:
mit nahezu entarteten Schalenmodell GT-Zuständen:
3 7 8 S P I N _ I S O S P I N E X C I T A T I O N S
We note that the distortions of the in- and outgoing waves are
mainly determined by the spin-isospin averaged NN-amplitude To.
It is of practical significance that this amplitude has a minimum in
the range Ep:200-qO0MeV as can be seen in Fig. 10.1. The distortion
effects are therefore minimized in this energy range. In addition the ratio
lZ,"(q: qll||@:0)12 is large as seen in Fig. 10'2, so that the Gamow-
Teller transitions dominate by far over the Fermi transitions.
10.4.2 Systematics of Gamow-Teller strength distributions
The giant Gamow-Teller resonance. Zero-degree neutron spectra from
(p, n) reactions on heavy nuclei shown in Fig. 10.5 reveal a prominent
resonance structure. This systematic feature corresponds to the excitation
of a highly collective spin-isospin mode referred to as the 'giant'
Gamow-Teller (GT) resonance.[t] Its properties are closely associated
with nuclear spin-isospin correlations: its position and strength provides
strong constraints on the effective spin-isospin interaction in nuclei. It is
this particular aspect and its consequences for nuclear pion physics that
will be emphasized now.
Consider the GT excitation strength
states, as measured for example in the
( ; .
At the same time. ctrn:
appears in the studr t ' f t
I
The difference I1;, = I
obtained using the clt'sur
sL ( I I
-
This derivation assumc.
tors are given in tcrm.
(10. 17) is model- indcp*-r
nuclear wave function
In heavy nuclc t * '
converting protons tntrr
principle. The quantrn I
the relation
applies directly' to thc .t
As a consequence. thc
integrated over u l l hn.r
neutrons par t ic ipat inu rn
N : Z nuc le i , as i l l us t ru t
Quenching of the arid
finds from Fig. 1{) 6 th
integrated up to 3(l \tc\
(10.18) . This resul t c . r :
effective axial vector c,,
9 .6 .4 we a re a l r c l d r f i
medium renormal izc thc
Gamow-Teller ope rat.,r
one-body ax ia l currcnt r
A ' ( q = l t ; ' - - l
Let us assume that thc n
The Gamow-Teller sum rule.(10.14) summed over all final
(p, n) reaction
x* : )B*(GT)=>f f
140 160 180 200 1/*0 160 180 200
t" ( l4ev)
Frc. 10.5. Neutron t ime-of-f l ight spectra at 0:0" for the (p, n) reaction on
various nuclear targets. A common scale is used for the dif ferent nuclei. (From
Gaarde et al. 1987.)
l<tr ! o7r-t i ) t i ) l . (ro.rs)
Ct ^
d
E )
d
Anregung von Gamow-Teller Resonanzen mit (p,n)Ladungsaustausch
.p n
n p
Gamow - Teller (GT) Summenregel
!± =!
f±
"
"
"
"
"
!f±|A
!
i=1
!"i #±(i)|0"
"
"
"
"
"
2
Summierte GT - Anregungsstärken
ΣGT = Σ+ ! Σ!
= "0|A!
i=1
!"2i [#
!(i), #+(i)] |0# = !3 "0|
A!
i=1
!3(i)|0#
!GT = 3 (N ! Z)
.1. Ahrens et al. f Photonuclear dispersion relatiott
101 102 10r 101
o il'4eVl
I - ig . . t . 5 , r . a . l ig . l . i ' o r deutc r ium.
Fig. 4. Same
l l
61a/Atmbl
1 0
0
as f ig. 2, for r2C
(a )- L
1\\I\ -t / \\ l \\ /
)fr{. ^ / ----i
100 200 300 400 500 600
u il'4eVl
(a ) ove rv i ew o fa l l da ta ; ( b ) t he l ( 1231 ) r esonance reg ion
in (b) corresponds to the fu l l l ine in f ig. l .
The fu l l l ine
14.4 Höhere Energien
Bei Anregungsenergien von mehreren 100 MeV beginnen dieinneren Freiheitsgrade der Nukleonen relevant zu werden
Beispiel: Wirkungsquerschnitte für Photoabsorption an KernenJ. Ahrens et al. f Photonuclear dispersion relation
3.0
0 . ^ / A
lmbl
2.0
(a ;
208 Pb
t t -
- rn1m1u IMeV ]
i
0 100 200 300 400 500 600
o [4eV]
Fig. 6. Same as f ig. .1, for t " tPb.
l-states in nuclei is reflected in the reduced slope of Re F".r as compared with
Re FyN ?t a - oro. The occurrence of the zero of Re {.r at c.l. : 321 + 5 Mev turns
out to be a universal feature for all nuclei. This supports the evidence that the ;1
mass does not change much in a nuclear environment: the average potential experien-
ced by a A in the nucleus is of a similar strength as the one felt by a nucleon.
5. Sum rule considerations
The previous statements about Re F""(r) are further sharpened by examining
the quantity
z1 ( ru ) : 2n2 lA e F, o(r.ru)l
N ( r o ) - a r x ( a )
a - - a c t
10
05
1.0
10s101102
ui
'lr
D{
a
of
c's
F
It
h
d
\
ri
Re F"n.(a.,s)
- l
, ; P I du,t- - S r
- R
Ao( 8 )
Dipol-Riesenresonanz
Delta(1232)
Dipol-Riesenresonanz
Delta(1232)
Dominante Resonanzen:
Elektrische Dipol-Riesenresonanz
Magnetische Anregung der (1232)-Resonanz im Kern
(E1)
(M1) !
!!
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