die chaos-theorie oder warum das apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und computer einfach...
Post on 05-Apr-2015
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Die Chaos-Theorie
Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und
Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen...
Der Weg ins Chaos
Ist Fortpflanzung so einfach?
Seltsame Attraktoren
Ist unser Sonnensystem stabil?
Das Apfelmännchen stellt sich vor
Was ist Chaos?
Der Flügelschlag des Schmetterlings
Was ist Chaos?
„(...) es kann vorkommen, dass kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein zufälliges Ereignis.“
Poincaré 1899
„Theorie komplexer Systeme“: behandelt die Dynamik deterministischer Systeme und ihre Unvorhersehbarkeit (Chaos).
„Es ist eine metaphysische Doktrin, dass gleiche Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten. Ihr Nutzen aber ist gering in einer Welt wie dieser, in der gleiche Ursachen niemals wieder eintreten und nichts zum zweiten Mal geschieht.“
James Clerk Maxwell 1879
Entwicklung einer Population
Verhulst-Prozess
x1 ax0
xn an x0
+ =
Population
Population
Der Raum ist begrenzt
je mehr Kaninchen, desto geringer der Zuwachs
Population
Rückkopplung der Funktion
ar(1 xn )
xn1 rxn (1 xn )
r(xn xn2)
(Bevölkerungsbremse gegeben durch den begrenzten Raum r)
Die Gleichung ist jetzt nicht-linear.
xn1 axn
Population
Population
r<3 xn pendelt sich auf 1 Wert ein
3<r<3,449 xn pendelt zwischen 2 Werten
3,499<r<3,544 xn pendelt zwischen 4 Werten
3,544<r<3,56441 xn pendelt zwischen 8 Werten
3,56441<r<3,568757 16 Werten
3,568757<r<3,5696911 32 Werten
usw...
3,57<r Die Werte für xn sind nicht mehr vorraussagbar
Chaos
limxnn
x=Anteil der Momentanpopulation an xmax
r 1 2 3 3,6 3,8 3,82x0=0,5
x1 0,25 0,25 0,75 0,9 0,95 0,955
x2 0,1875 0,375 0,5625 0,324 0,1805 0,1641645
x3 0,15234375 0,46875 0,73828125 0,7884864 0,56209505 0,52415945
x4 0,12913513 0,49804688 0,57966614 0,60039215 0,93534798 0,95277035
x5 0,11245925 0,49999237 0,73095992 0,8637171 0,22979412 0,17189624
x6 0,09981217 0,5 0,58997255 0,42375554 0,67255738 0,54376905
x7 0,0898497 0,5 0,72571482 0,87907242 0,83685101 0,94768191
x8 0,08177673 0,5 0,59715846 0,38269477 0,51881931 0,18939906... 0,0750893 0,5 0,7216807 0,85046214 0,94865417 0,58647336
0,06945089 0,5 0,602573 0,45783464 0,18509586 0,926435410,06462747 0,5 0,71843634 0,8935995 0,57317446 0,260343850,06045076 0,5 0,6068567 0,34228597 0,92965289 0,735598040,05679646 0,5 0,71574494 0,81045463 0,24851389 0,742965410,05357063 0,5 0,61036236 0,55302452 0,709668 0,729497030,05070081 0,5 0,71346045 0,88987824 0,78294946 0,753804850,04813024 0,5 0,61330391 0,35278185 0,6457705 0,708927430,04581372 0,5 0,71148667 0,82197654 0,86925365 0,788254440,04371482 0,5 0,61582017 0,526792 0,43187661 0,637593820,04180384 0,5 0,70975707 0,89741588 0,93236498 0,882679530,04005628 0,5 0,61800592 0,33141823 0,23963 0,395585360,03845177 0,5 0,70822381 0,79768867 0,69238837 0,913352770,03697323 0,5 0,61992853 0,58097325 0,80934952 0,302312840,03560621 0,5 0,70685144 0,876396 0,58635092 0,805713590,03433841 0,5 0,62163745 0,38997378 0,92166537 0,597979760,03315928 0,5 0,705613 0,85641923 0,27435361 0,918327880,03205975 0,5 0,62316989 0,44267519 0,75651808 0,286506830,03103192 0,5 0,70448754 0,88816992 0,69995421 0,780886950,03006894 0,5 0,62455454 0,35756682 0,7980696 0,653611640,0291648 0,5 0,7034585 0,82696604 0,61238716 0,86486124
0,02831421 0,5 0,62581392 0,51513556 0,90200268 0,446467380,02751252 0,5 0,70251257 0,89917529 0,33589662 0,944052870,02675558 0,5 0,62696597 0,32637271 0,84766631 0,201761130,02603972 0,5 0,70163892 0,79147283 0,49068693 0,615224660,02536165 0,5 0,62802523 0,59415693 0,94967041 0,904282920,02471844 0,5 0,70082862 0,8680841 0,18162677 0,330641330,02410744 0,5 0,6290036 0,41225074 0,56482625 0,845433390,02352627 0,5 0,70007422 0,87228024 0,93403072 0,499181450,02297278 0,5 0,62991092 0,40106672 0,23414588 0,95499744
0,1641734
Population
2 Fixpunkte r=3
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 10 20 30 40
Reihe1
Chaos r=3,8
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 10 20 30 40
Reihe1
Population
Population
Feigenbaum-Zahl („Konstante des Chaos“):f=4,190610296620...
Bifurkationspunkt: Wert ri der Periodenverdoppelung
Population
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 20 40 60 80
Reihe1
Intermittenz r=3,82
Population
Population
Die Geburtenrate b ist gleichzusetzten mit dem Raum r.
Bifurkationsdiagramm des Feigenbaumszenarios
Intermittenz
Population
AttraktorenBeschreibung des Verhaltens eines Systems
Das Pendel im Phasenraum
gedämpft:
nulldimensionaler AttraktorIm zweidimensionalen Raum
Ort Ort
ImpulsImpuls
Attraktoren
Vakuum:
eindimensionaler Attraktorim zweidimensionalen Raum
Ort Ort
ImpulsImpuls
Attraktoren
Torus
zweidimensionalerAttraktor im dreidimensionalen Raum
seltsamer Attraktor des chaotischen Zustandes(nicht dreidimensional)
Attraktoren
Kopplung zweier Pendel
Empfindlichkeit der Systeme
0,707070; 0,414141; 0,828282; 0,656565; 0,313131; 0,626262; 0,252525; 0505050; 0,010101;
0,707170; 0,414341; 0,828682; 0,657365; 0,314731; 0,629462; 0,258924; 0,517849; 0,035698;
0,020202; 0,040404; 0,080808
0,071396; 0,142792; 0,285584
Iteration: Verdoppelung, ausschließlich Dezimalstellen
FraktaleWie lang ist die Küstenlinie Irlands?
Abhängig von der Genauigkeit der Messungkann sie sogar unendlich lang sein.
Fraktale
Selbstähnlichkeit ist in der Natur sehr häufig zu finden.
Fraktale
Idee: Mandelbrot in den 70er und 80er Jahren
Fraktal von lat.: frangere = brechen
Erzeugung durch Iteration mit dem Merkmal derSelbstähnlichkeit chaotisches System lässtsich mit fraktaler Geometrie beschreiben.
Fraktale
Das ApfelmännchenIteration eines algebraischen Ausdruckes mit komplexer Zahlen:
Z1 Z02 C
Ein Computer iteriert den Ausdruck bis zu 1000mal,prüft, ob die Zahl endlich bleibt und trägt C im Koordinaten-system auf.
endlich: C ist teil der „Mandelbrotmenge“; schwarzim Koordinatensystem
unendlich: Grau abgestuft, je nach Geschwindigkeit
Fraktale
2500-fach
Fraktale
50000-fach 833333-fach
Fraktale
833333-fach
2 702 702 702-fach
Fraktale
Bifurkationsdiagramm
Ist das Sonnensystem stabil?
• Poincaré: Erste Fragestellung zur Chaosforschung Ende 19. Jh.
• Zwei Objekte sind stabil, auch bei gravitativer Störung eines weiteren Planeten, sofern Umlaufzeiten nicht ein einfaches Verhältnis bilden(1/3, 2/3....)
• Einfaches Verhältnis: Störung wird immens verstärkt, der Planet verlässt seine Bahn
Die Entdeckung des Chaos; John Briggs, F. David Peat Metzler PhysikDeterministisches Chaos; Jahresarbeit von Jörg Stadlingerwww.wikipedia.dehttp://www.ginko.de/user/kremer/karsten/ap-gal/fract011.htm
Quellen
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