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Post on 26-Oct-2019
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Konvention
KonventionKonvention
Konvention
2Fourier-Transformation, Fourier-Reihe und DFTWas ist der Unterschied?
Fourier‐Transformation
Vorwärts‐Transformation Rückwärts‐Transformation
Auch Konvention mit umge‐kehrten Vorzeichen ist üblich.
→ 2 ,→ , → 2 Mit den Ersetzungen ergibt sich die oftmals gefundene Darstellung
Man beachte, dass hier keine Vorfaktoren vor den Integralen mehr stehen.
Stellt sicher, dass gilt.
Auch umgekehrte oder symmetrische Faktoren , sind üblich.
3Fourier-Transformation, Fourier-Reihe und DFTWas ist der Unterschied?
Fourier‐Transformation
kontinuierliche Funktion mitunendlichem Definitionsgebiet
kontinuierliche Funktion mitunendlichem Definitionsgebiet
4Fourier-Transformation, Fourier-Reihe und DFTWas ist der Unterschied?
Fourier‐Reihe für eine periodische Funktion
Fourier‐Koeffizienten Fourier‐Entwicklung
beliebiger Startpunkt der Integration
kontinuierliche, periodische Funktion unendlich viele, diskrete Koeffizienten
5Fourier-Transformation, Fourier-Reihe und DFTWas ist der Unterschied?
„Inverse“ Fourier‐Reihe für eine unendliche diskrete Reihe
kontinuierliche, periodische Funktionunendlich viele, diskrete Koeffizienten
Findet selten Verwendung, da es praktisch keine unendlich ausgedehnten diskreten Systeme gibt.
Fourier‐KoeffizientenFourier‐Entwicklung
2
6Fourier-Transformation, Fourier-Reihe und DFTWas ist der Unterschied?
Diskrete Fourier‐Transformation für eine periodische diskrete Reihe
endlich viele, diskrete Koeffizienten
Rückwärts‐TransformationVorwärts‐Transformation
0, … , 1 0,… , 1
endlich viele, diskrete Koeffizienten
Diskrete Fourier-Transformation7
0, … , 1
Es sind N Multiplikationen N‐mal durchzuführen
Aufwand der DFT skaliert mit
DFT wird zu FFT9
⁄ · ⁄
DFT des geraden Anteils DFT des ungeraden Anteils
für 0,… , 2 1 für 0,… , 2 1
· 0, … , 2 1
Was ist mit ?
0
Aufgrund der Periodizität der DFT gilt:
DFT wird zu FFT10
0,… , 2 1 ·
·
·
·
·0, … , 2 1
FFT‐Schema nach Cooley und Tukey (radix‐2 Decimation‐in‐time):
Fast-Fourier-Transformation11
·
·0, … , 2 1
FFT‐Schema nach Cooley und Tukey (radix‐2 Decimation‐in‐time):
Rekursion:
Teile und herrsche!
Rekursionsende: Array hat Länge 1 ∈für
Fast-Fourier-Transformation12
·
·0, … , 2 1
FFT‐Schema nach Cooley und Tukey (radix‐2 Decimation‐in‐time):
Komplexität des Algorithmus: log
log
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