die verbindung von arithmetik und geometrie - chance für ... · prof. dr. klaus-peter eichler die...

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Die Verbindung von Arithmetik und

Geometrie - Chance für einen

kindorientierten Mathematikunterricht

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Wer kennt es nicht

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• Schulanfänger ...

Wer kennt es nicht

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• Schulanfänger ...

• Kinder in Klasse 4, nach 3 Jahren

Mathematikunterricht ...

Wer kennt es nicht

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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

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Kernthese:

Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

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Kernthese:

Mathematische Bildung muss aus der

Kindperspektive aufgebaut sein

Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

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Kernthese:

Mathematische Bildung muss aus der

Kindperspektive aufgebaut sein

und dabei die Fachsystematik im Auge

behalten.

Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

• Ist das so selbstverständlich?

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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

• Ist das so selbstverständlich?

• einige Materialien sind Realsatire ...

• Komm mit ins Zahlenland

• Klopfen, Klingeln, Knoten fühlen

• Mit Reimen lernen

• ...

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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

• Ist das so selbstverständlich?

• einige Materialien sind Realsatire ...

• Komm mit ins Zahlenland

• Klopfen, Klingeln, Knoten fühlen

• Mit Reimen lernen

• ...

• sinnfreie Leerbücher

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Die Welt, die Mathematik und ein Kind mittendrin

• Rechenschwache Kinder fallen

nicht vom Himmel ...

• es gibt ein Problem der Passung ...

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Lernen von Mathematik ist

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• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion

Lernen von Mathematik ist

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• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion

• sozialer Prozess aus der Sache heraus

Lernen von Mathematik ist

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• Prozess aktiver eigener Sinnkonstruktion

• sozialer Prozess aus der Sache heraus

• Prozess, der einer gezielten, geleiteten

Auseinandersetzung bedarf

Lernen von Mathematik ist

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Grundvorstellungen sichern

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Vorstellung zu Zahlen

Grundvorstellungen sichern

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Vorstellung zu Zahlen

Vorstellungen zu Operationen

Grundvorstellungen sichern

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Vorstellung zu Zahlen

Vorstellungen zu Operationen

Größenvorstellungen

Grundvorstellungen sichern

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Vorstellung zu Zahlen

Vorstellungen zu Operationen

Größenvorstellungen

Geometrische Vorstellungen

Grundvorstellungen sichern

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Vorstellung zu Zahlen

Vorstellungen zu Operationen

Größenvorstellungen

Geometrische Vorstellungen

. . . Was heißt das konkret?

Grundvorstellungen sichern

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aktive eigene Sinnkonstruktion . . .

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Verstehen ermöglichen - einsehen

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25 • 36

Verstehen ermöglichen - einsehen

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25 • 36

100 • 9 = 900

Verstehen ermöglichen - einsehen

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25 • 36

100 • 9 = 900

• Ist es die Lehrerin, die hier einen !Trick“

zeigt, ihn ERLAUBT?

oder

• Kann das Kind sehen warum das stimmt?

Verstehen ermöglichen - einsehen

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3 • 8

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6 • 4

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6 • 4

„Halb so hoch ist doppelt so breit.“

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

aus: MATHEMATIKUS

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

aus: MATHEMATIKUS

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

aus: MATHEMATIKUS

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

aus: MATHEMATIKUS

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

2

1

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

aus: MATHEMATIKUS

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

3

2

1

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

aus: MATHEMATIKUS

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Zeichnen nach Regeln

1. Immer „in Fahrtrichtung“

rechts abbiegen

1. Zahlenfolge wiederholen

2. Zeichnen, bis der Startpunkt

erreicht ist, oder klar ist ...1

2

3

4

5

3

2

1

1 - 2 - 3 - 4 - 5

Beispiel: Spirolaterale

aus: MATHEMATIKUS

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

• Zunächst eine Zeichenübung

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

• Zunächst eine Zeichenübung

• Welche arithmetischen Fragen kann

man aufwerfen?

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

• Zunächst eine Zeichenübung

• Welche arithmetischen Fragen kann

man aufwerfen?

• Was kann man vermuten?

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

• Zunächst eine Zeichenübung

• Welche arithmetischen Fragen kann

man aufwerfen?

• Was kann man vermuten?

• Wie kann man diese Vermutungen

begründen?

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

• Kann man Gegebenes und Gesuchtes

vertauschen?

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

• Kann man Gegebenes und Gesuchtes

vertauschen?

• Kann man funktionale Abhängigkeiten

untersuchen?

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Spirolaterale - zur Unterrichtsgestaltung

• Kann man Gegebenes und Gesuchtes

vertauschen?

• Kann man funktionale Abhängigkeiten

untersuchen?

Probieren und notieren Sie ...

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Beispiel: Muster am Zehnerkreis

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Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung

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• Abermals: Aufgabe gelöst

Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung

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• Abermals: Aufgabe gelöst

• realisierbare Ziele?

Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung

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• Abermals: Aufgabe gelöst

• realisierbare Ziele?

• Mögliche Weiterführungen?

Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung

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• Abermals: Aufgabe gelöst

• realisierbare Ziele?

• Mögliche Weiterführungen?

• Möglichkeiten zu differenzierendem

Arbeiten?

Zehnerkreis - zur Unterrichtsgestaltung

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Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen

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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)

Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen

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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)

• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...

Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen

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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)

• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...

• Wie sieht das Muster aus, wenn nicht

addiert, sondern multipliziert wird?

Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen

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• Muster an der Uhr (Zwölferteilung!)

• Muster"an"der"Hundertertafel,"amKalender ...

• Wie sieht das Muster aus, wenn nicht

addiert, sondern multipliziert wird?

... Anlass zum Erkunden von Strukturen,

zu arithmetischen Betrachtungen

Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen

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Muster am Zehnerkreis - Weiterführungen

• Welche Sterne berührenim Zehnerkreis jede Zahl?

• Wie ist das im 12er Kreis?

• Gibt es einen Kreis, beidem alle Sterne jede Zahlberühren?

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ENAKTIVE EBENE

IKONISCHE EBENE

VERBAL-SYMB.

Ebene

NONV.-SYMB.

EbeneHier erst mal Terme, statt „fertige“Gleichungen

Ebenen des Lernens nach BRUNER

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Paul hat gesagt, dass dazu die Aufgabe 3 • 2 passt. Wie er das wohl gemeint?

Laura: „Drei mal 2 ist sechs“

I.: „kannst Du es mir zeigen?“

aktive eigene Sinnkonstruktion

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Laura: „Da hinten sind 3“ (malt die drei an)

„Und hier sind 2. Drei mal 2 ist 6“(malt vorn zwei Würfel an)

aktive eigene Sinnkonstruktion

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I.: „Kannst Du mir hier drei mal zwei legen?“

Laura: „Ja, drei mal 2 ist 6“(legt mit Würfeln)

aktive eigene Sinnkonstruktion

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aktive eigene Sinnkonstruktion

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aktive eigene Sinnkonstruktion

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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“

aktive eigene Sinnkonstruktion

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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“

Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)

aktive eigene Sinnkonstruktion

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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“

Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)

aktive eigene Sinnkonstruktion

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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“

Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)

I.: Was hast Du jetzt gelegt?

aktive eigene Sinnkonstruktion

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I.: „Ich sehe aber nur 5 Würfel“

Laura: „Eins, zwei, drei, vier, fünf“ (zögert)„Drei mal 2 ist 6“ (legt einen Würfel)

I.: Was hast Du jetzt gelegt?

Laura: „Das Mal“

aktive eigene Sinnkonstruktion

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aktive eigene Sinnkonstruktion

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20 : 2 = ____

Schreibe dazu einen passenden Text.

aktive eigene Sinnkonstruktion

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20 : 2 = ____

Schreibe dazu einen passenden Text.

20 Autos stehen auf dem Parkplatz.2 Autos fahren weg. Wie viele Autos sind noch da? (Dividiere!)

aktive eigene Sinnkonstruktion

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20 : 2 = ____

Schreibe dazu einen passenden Text.

20 Autos stehen auf dem Parkplatz.2 Autos fahren weg. Wie viele Autos sind noch da? (Dividiere!)

„Eigentlich muss ich minus rechnen, Es wird ja weniger. Aber Du wolltestdoch, dass ich teile.“

aktive eigene Sinnkonstruktion

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Unterricht wird nicht dadurch anschaulich,

dass genau die in den Sachverhalten

benutzten Dinge vorhanden sind.

Anschauung im Mathematikunterricht

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Anschauung im Mathematikunterricht

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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder

Anschauung im Mathematikunterricht

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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder

• grundlegende Erfahrungen besitzen,

Anschauung im Mathematikunterricht

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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder

• grundlegende Erfahrungen besitzen,

• prinzipielle Mittel und Methoden des

Veranschaulichens kennen und

Anschauung im Mathematikunterricht

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Unterricht wird anschaulich, wenn Kinder

• grundlegende Erfahrungen besitzen,

• prinzipielle Mittel und Methoden des

Veranschaulichens kennen und

• diese und ihre produktive Phantasie

nutzen. (vgl. rosa Elefant)

Anschauung im Mathematikunterricht

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...WÜRFEL !

Anschauung im Mathematikunterricht

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...WÜRFEL !

die Bausteine der Raumgeometrie

Anschauung im Mathematikunterricht

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Anschauung im Mathematikunterricht

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Räumliche Objekte und Prozesse

veranschaulichen

• Zahlen,

• Zahlbeziehungen und

• Operationen

Anschauung im Mathematikunterricht

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Räumliche Objekte und Prozesse

veranschaulichen

• Zahlen,

• Zahlbeziehungen und

• Operationen

Dabei permanent: Entwicklung des

räumlichen Vorstellungsvermögens

Anschauung im Mathematikunterricht

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Anschauung im Mathematikunterricht

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als Repräsentanten von Zahlen

1. Vorstellen von Objekten

4 8 9

Anschauung im Mathematikunterricht

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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von

Rechenoperationen (statisch)

1. Vorstellen von Objekten

4 8 9 4 + 6 6 + 3

Anschauung im Mathematikunterricht

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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von

Rechenoperationen (statisch)

als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)

1. Vorstellen von Objekten

2. Vorstellen von Prozessen

4 8 9 4 + 6 6 + 3

Anschauung im Mathematikunterricht

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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von

Rechenoperationen (statisch)

als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)

1. Vorstellen von Objekten

2. Vorstellen von Prozessen

4 8 9 4 + 6 6 + 3

Anschauung im Mathematikunterricht

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als Repräsentanten von Zahlen als Repräsentanten von

Rechenoperationen (statisch)

als Repräsentanten von Rechenoperationen (dynamisch)

1. Vorstellen von Objekten

2. Vorstellen von Prozessen

4 8 9 4 + 6 6 + 3

7 + 2

Anschauung im Mathematikunterricht

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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem

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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem

• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl

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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem

• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl

• So nutzen wir den Zahlenstrahl

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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem

• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl

• So nutzen wir den Zahlenstrahl

• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl(„Rechenstrich“)

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Der Zahlenstrahl - (k)ein Problem

• Vorbehalte gegen den Zahlenstrahl

• So nutzen wir den Zahlenstrahl

• Zahlenstrahl und leerer Zahlenstrahl(„Rechenstrich“)

• Konstruktion, Medium zum Austauschund zur Diagnose

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Anschauung im Mathematikunterricht

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Anschauung im Mathematikunterricht

aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)

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8

Anschauung im Mathematikunterricht

aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)

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4 8

Anschauung im Mathematikunterricht

aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)

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40 8

Anschauung im Mathematikunterricht

aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)

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40 8

Anschauung im Mathematikunterricht

aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)

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40 8

0 4 8

Anschauung im Mathematikunterricht

aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)

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Gleichgültig, wie groß die Einheit ist:4 ist immer die Mitte zwischen 0 und 8

40 8

0 4 8

Anschauung im Mathematikunterricht

aus: MATHEMATIKUS (Kl.1 - und später - Spiralen!!!)

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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“

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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“

+ 30

27 + 38

+ 8

27 47 55

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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“

+ 30

27 + 38

+ 8

27 47 55

+ 30

27 + 38

+ 8

27 57 55

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Zahlenstrahl und „Rechenstrich“

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+ 30

27 + 38

+ 8

27 57 65

Zahlenstrahl und „Rechenstrich“

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+ 30

27 + 38

+ 8

27 57 65

27 + _ = 65

27 65

Zahlenstrahl und „Rechenstrich“

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+ 30

27 + 38

+ 8

27 57 65

27 + _ = 65

27 65

20 – _ = 50

20

Zahlenstrahl und „Rechenstrich“

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Hier spielt die VeranschaulichungZahlenstrahl ihre Mächtigkeit aus:

- gebrochene Zahlen (ZV, OV)- ganze Zahlen (ZV, OV)- Proportionale Beziehungen,

Konsequenz für die Kooperation GS - Sek.

Anschauung im Mathematikunterricht

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Lege mit Würfeln Rechtecke aus.

Bei welchen Zahlen gibt es viele Möglichkeiten?

Bei welchen Zahlen kannst du Quadrate legen?

Bei welchen Zahlen werden es nur „Schlangen“?

Anschauung im Mathematikunterricht

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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Die Summe zweier ungerader Zahlen ist

stets gerade.

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Die Summe von drei aufeinanderfolgendenZahlen ist immer durch 3 teilbar.

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Die Summe von drei aufeinanderfolgendenZahlen ist immer durch 3 teilbar.

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden

Zahlen ist ...

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden

Zahlen ist ...

Die Summe von vier aufeinanderfolgenden

Zahlen ist ...

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden

Zahlen ist ...

Die Summe von vier aufeinanderfolgenden

Zahlen ist ...

Ausgehend von Handlungen können die

Kinder selbst herausfinden, was hier

und bei anderen Zahlen gilt.

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Saufz;-)Summen aufeinanderfolgender Zahlen

Gesetzmäßigkeiten - von der Arithmetik aus

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Welche Zahlen sind keine SAUFZ?

Gesetzmäßigkeiten - von der Arithmetik aus

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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Warum kann man bei Produkten mit

mehreren Faktoren die Faktoren in

beliebiger Reihenfolge multiplizieren?

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Warum kann man bei Produkten mit

mehreren Faktoren die Faktoren in

beliebiger Reihenfolge multiplizieren?

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Warum kann man bei Produkten mit

mehreren Faktoren die Faktoren in

beliebiger Reihenfolge multiplizieren?

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?

Wie viele sind es bei 100 Quadraten?

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?

Wie viele sind es bei 100 Quadraten?

1 + 2

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Rechtecke sind jeweils zu sehen?

Wie viele sind es bei 100 Quadraten?

1 + 2

1 + 2 + 3

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Quadrate sind in jeder Figur zu

sehen?

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Quadrate sind in jeder Figur zu

sehen?

Wie viele sind es im Hunderterquadrat?

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Wie viele Schnittpunkte entstehenhöchstens bei2 Geraden3 Geraden4 Geraden5 Geraden100 Geraden

Wer sieht die Regelmäßigkeit?

Anschauung: Gesetzmäßigkeiten und Muster

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

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Als Planungs- und Strukturierungshilfe:

• Ein Raster, in das Formen der Auseinandersetzung

mit Mathematik eingeordnet werden können.

• Arten von Aufgaben, die bestimmte Kompetenzen

entwickeln helfen und ein geeignetes Arbeiten mit

ihnen.

Kompetenzen laut Bildungsstandards

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

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• AB I „Reproduzieren“

Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und

das Ausführen von Routinetätigkeiten.

Kompetenzen laut Bildungsstandards

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• AB I „Reproduzieren“

Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und

das Ausführen von Routinetätigkeiten.

• AB II „Zusammenhänge herstellen“

Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen

und Nutzen von Zusammenhängen.

Kompetenzen laut Bildungsstandards

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• AB I „Reproduzieren“

Das Lösen der Aufgabe erfordert Grundwissen und

das Ausführen von Routinetätigkeiten.

• AB II „Zusammenhänge herstellen“

Das Lösen der Aufgabe erfordert das Erkennen

und Nutzen von Zusammenhängen.

• AB III „Verallgemeinern und Reflektieren“

Das Lösen der Aufgabe erfordert komplexe

Tätigkeiten wie Strukturieren, Entwickeln von

Strategien, Beurteilen und Verallgemeinern.

Kompetenzen laut Bildungsstandards

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

• Bedeutung der kleinen Würfel

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

• Bedeutung der kleinen Würfel

• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

• Bedeutung der kleinen Würfel

• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …

• Sind alle Felder gefüllt?

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

• Bedeutung der kleinen Würfel

• Lernbiografie des Kindes: z. B.: Wo liegen 7 i 8, wo 21 i 5 …

• Sind alle Felder gefüllt?

• Bedeutung des Arbeitens mit Aufgaben.

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Kompetenzen laut Bildungsstandards

Anmerkung zu Muster und Strukturen

„A pattern describes a problem which occurs over and

over in our environment, and then describes the core of

the solution to that problem.”

Christopher Alexander (1977)

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Bildungsstandards der KMK

• Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich

in der Auseinandersetzung mit Mathematik und auf die

gleiche Weise werden sie erworben

• Die angestrebten Formen der Nutzung von

Mathematik müssen daher auch regelmäßig genutzte

Formen des Mathematiklernens sein.

Kompetenzen laut Bildungsstandards

Also: Geeignetes Arbeiten mit passenden Aufgaben

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Arbeiten mit Aufgaben

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AUFGABEN

Arbeiten mit Aufgaben

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AUFGABEN

sind Aufforderungen zum Handeln

Arbeiten mit Aufgaben

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AUFGABEN

sind Aufforderungen zum Handeln

• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder

Arbeiten mit Aufgaben

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AUFGABEN

sind Aufforderungen zum Handeln

• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder

• als unbewältigbar erkennen kann.

Arbeiten mit Aufgaben

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AUFGABEN

sind Aufforderungen zum Handeln

• die das Kind mit seinem Wissen und Können bewältigen kann oder

• als unbewältigbar erkennen kann.

Was für ein konkretes Kind eine Aufgabe ist, hängt also

von diesem Kind ab, ist eine Frage der Passung!

(vgl. L. Wygotski)

Arbeiten mit Aufgaben

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Arbeiten mit Aufgaben

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Als Tätigkeit des Lehrers

Arbeiten mit Aufgaben

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Als Tätigkeit des Lehrers

• Auswahl der Aufgaben

Arbeiten mit Aufgaben

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Als Tätigkeit des Lehrers

• Auswahl der Aufgaben

• Anordnung der Aufgaben

Arbeiten mit Aufgaben

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Als Tätigkeit des Lehrers

• Auswahl der Aufgaben

• Anordnung der Aufgaben

• Stellen der Aufgaben im Unterricht

Arbeiten mit Aufgaben

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Als Tätigkeit des Lehrers

• Auswahl der Aufgaben

• Anordnung der Aufgaben

• Stellen der Aufgaben im Unterricht

• Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der

Aufgabenbearbeitung

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Als Tätigkeit des Lehrers

• Auswahl der Aufgaben

• Anordnung der Aufgaben

• Stellen der Aufgaben im Unterricht

• Ingangsetzen und Inganghalten des Prozesses der

Aufgabenbearbeitung

• Organisation der Rückbesinnung

! auf das Ergebnis

! auf den Lösungsweg

Arbeiten mit Aufgaben

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Eine Vielzahl wesensverschiedener Angebote ist

• unter realen Bedingungen kaum praktikabel,

• für leistungsschwächere Kinder eher frustrierend,

• Leistungsunterschiede zementierend.

Heterogenität der Leistungsniveaus

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Heterogenität der Leistungsniveaus

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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,

Heterogenität der Leistungsniveaus

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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,

• deren Wesen alle Kinder erfassen können,

Heterogenität der Leistungsniveaus

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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,

• deren Wesen alle Kinder erfassen können,

• die erst einmal allen offen stehen,

Heterogenität der Leistungsniveaus

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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,

• deren Wesen alle Kinder erfassen können,

• die erst einmal allen offen stehen,

• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster

Form - arbeiten können,

Heterogenität der Leistungsniveaus

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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,

• deren Wesen alle Kinder erfassen können,

• die erst einmal allen offen stehen,

• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster

Form - arbeiten können,

• in die Kinder während der Arbeit unterschiedlich

tief eindringen können,

Heterogenität der Leistungsniveaus

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Eine Alternative: Aufgaben einsetzen,

• deren Wesen alle Kinder erfassen können,

• die erst einmal allen offen stehen,

• an denen alle Kinder - und sei es in elementarster

Form - arbeiten können,

• in die Kinder während der Arbeit unterschiedlich

tief eindringen können,

• die von der Lehrerin rasch durch Variation

erschwert oder vereinfacht werden können

Heterogenität der Leistungsniveaus

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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Beispiel 1: Rechentreppen

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Beispiel 1: Rechentreppen

5 + 2 = 7

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Beispiel 1: Rechentreppen

5 + 2 = 7

2 + 7 = 9

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Beispiel 1: Rechentreppen

5 + 2 = 7

2 + 7 = 9

7 + 9 = 16

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Beispiel 1: Rechentreppen

5 + 2 = 7

2 + 7 = 9

7 + 9 = 16

Wie kann damit gearbeitet werden?

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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Entdeckungen an Rechentreppen

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Entdeckungen an Rechentreppen

Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Entdeckungen an Rechentreppen

Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...

5‘ + 2 = 7‘

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Entdeckungen an Rechentreppen

Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...

5‘ + 2 = 7‘

2 + 7‘ = 9‘

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Entdeckungen an Rechentreppen

Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...

5‘ + 2 = 7‘

2 + 7‘ = 9‘

7‘ + 9‘ = 16‘‘

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Entdeckungen an Rechentreppen

Variation der ersten Zahl, der zweiten Zahl ...

5‘ + 2 = 7‘

2 + 7‘ = 9‘

7‘ + 9‘ = 16‘‘

Funktionale Abhängigkeiten erfassen, beschreiben

und begründen.

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:

__ + __ = __

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:

__ + __ = __

__ + __ = __

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:

__ + __ = __

__ + __ = __

__ + __ = 100

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:

__ + __ = __

__ + __ = __

__ + __ = 100

Wer findet hier eine, mehrere, alle Lösungen?

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Gegebenes und Gesuchtes vertauschen:

__ + __ = __

__ + __ = __

__ + __ = 100

Wer findet hier eine, mehrere, alle Lösungen?

Diese Fragen kann die Lehrerin ohne Extrakopie o.ä.

bei Bedarf aufwerfen.

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?

__ + __ = __

__ + __ = __

__ + __ = x

Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?

__ + __ = __

__ + __ = __

__ + __ = x

Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

a + b = a + b

b + a + b = a + 2b

a + b + a + 2b = 2a + 3b

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Nebenbei: Gibt es für jede Zahl x Lösungen?

__ + __ = __

__ + __ = __

__ + __ = x

Braucht man dazu Variablen? - (Kanone auf Spatz)

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

a + b = a + b

b + a + b = a + 2b

a + b + a + 2b = 2a + 3b

Besser: Inhaltlich überlegen …

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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Deutlich wird:

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Deutlich wird:

• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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Deutlich wird:

• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.

• Es gibt nur Aufgaben mit Potenzen und

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Deutlich wird:

• Es gibt keine „guten“ Aufgaben „an sich“.

• Es gibt nur Aufgaben mit Potenzen und

• ein geeignetes Arbeiten mit diesen Aufgaben.

geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

Nicht alle Kinder kommen bei der Arbeit an

Rechentreppen zu funktionalen Betrachtungen . . .

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geeignetes Arbeiten mit Aufgaben

Nicht alle Kinder kommen bei der Arbeit an

Rechentreppen zu funktionalen Betrachtungen . . .

Also: Funktionale Betrachtungen beim Arbeiten

an weiteren Aufgabenformaten aufgreifen.

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Korrespondenz: Standards und Lernen

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8

Korrespondenz: Standards und Lernen

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8

ProzessLösungsweg

5 • 8 + 8

D (3 • 8)

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

Korrespondenz: Standards und Lernen

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8

ProzessLösungsweg

5 • 8 + 8

D (3 • 8)

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

ResultatLösung

6 • 8 = 48

Korrespondenz: Standards und Lernen

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8

ProzessLösungsweg

5 • 8 + 8

D (3 • 8)

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "

ResultatLösung

6 • 8 = 48

Korrespondenz: Standards und Lernen

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8

ProzessLösungsweg

5 • 8 + 8

D (3 • 8)

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "

ResultatLösung

6 • 8 = 48

• Fähigkeiten

• Verfahrensk.

• Gewohnheiten

• Einstellungen

Korrespondenz: Standards und Lernen

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8

ProzessLösungsweg

5 • 8 + 8

D (3 • 8)

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "

ResultatLösung

6 • 8 = 48

• Fähigkeiten

• Verfahrensk.

• Gewohnheiten

• Einstellungen

• Kenntnisse

der GAG

Korrespondenz: Standards und Lernen

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LerntätigkeitLösen der Aufgabe 6 • 8

ProzessLösungsweg

5 • 8 + 8

D (3 • 8)

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

"Verfestigung " Generalisierung " Verallgemeinerung "

ResultatLösung

6 • 8 = 48

• Fähigkeiten

• Verfahrensk.

• Gewohnheiten

• Einstellungen

• Kenntnisse

der GAG

„Inneres Bild“ vom Mathematikunterricht

Korrespondenz: Standards und Lernen

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ENAKTIVE EBENE

IKONISCHE EBENE

VERBAL-SYMB.

Ebene

NONV.-SYMB.

EbeneHier erst mal Terme, statt „fertige“Gleichungen

Ebenen des Lernens nach BRUNER

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E - I - S- verstehen- anwenden