diskrete mathematik i wintersemester 2007 a. may
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Diskrete Mathematik I
Wintersemester 2007
A. May
Literatur
Vorlesung richtet sich nach A. Steger: Diskrete Strukturen
Band 1: Kombinatorik-Graphentheorie- AlgebraSpringer Verlag
T. Schickinger, A. Steger: Band 2: Wahrscheinlichkeitstheorie
Zusätzliche Literatur: Cormen, Leiserson, Rivest: Introduction to Algorithms, MIT Press T. Ihringer: Diskrete Mathematik, Teubner Verlag B. Korte, J. Vygen: Kombinatorische Optimierung, Springer
Organisatorisches Vorlesung 4+2 SWS (9 CP)
Di. 10-12, HNC 30 Mi. 12-14, HZO 50
Übungen Tutor: Nikolas List, Korrektor: Christian Weiers Di. 8-10, ND 5/99 und Mi. 8-10, NA 2/99 Beginn: Di. 23. Oktober Abgaben: Mo. 18:00 Uhr, Kasten im 02-Flur Bonussystem: 50% = 1 Notenstufe
75 %= 2 Notenstufen Gruppenabgaben bis zu 4 Personen Korrektur: 2 von 4 Aufgaben (zufällig)
Inhalte der Vorlesung
Kombinatorik: Abzählprobleme Graphen: Traversierung, Eigenschaften Zahlentheorie: Modulare und Polynomarithmetik Komplexität: Algorithmik, Laufzeitanalyse Wahrscheinlichkeit: Diskrete Verteilungen
Was bedeutet diskret? Intuitiv: Alles, was man mit Computern exakt
darstellen kann. Gegenteil von analog Probleminstanzen sind aus Menge mit endlicher
Kardinalität
Notationen für Mengen
N: natürliche Zahlen ohne Null N0: natürliche Zahlen mit Null Z: ganze Zahlen Zn: {0, 1, …, n-1} [n]: {1, 2, …, n} Q: rationale Zahlen R: reelle Zahlen
Operationen auf Mengen Vereinigung A [ B:={ x | x 2 A oder x 2 B} Schnittmenge A Å B:={ x | x 2 A und x 2 B} Differenz A n B:= { x | x 2 A und x B} Symmetrische Differenz A 4 B:= (A n B) [ (B n A)
Kartesisches Produkt A £ B:={ (a,b) | a 2 A und b 2 B} Potenzmenge P(M):={ N | N µ M}Bsp: M={rot, blau}, P(M)={ ;, {rot}, {blau}, {rot, blau} }
BA
Relationen zwischen MengenDef:Eine Relation zwischen A und B ist eine Teilmenge R µ A £ B.
Falls A=B, spricht man von einer Relation auf A.
Eigenschaften von Relationen auf einer Menge: Reflexiv: 8 a 2 A: (a,a) 2 R Symmetrisch: 8 a,b 2 A: (a,b) 2 R ) (b,a) 2 R Antisymmetrisch: 8 a,b 2 A: (a,b) 2 R Æ (b,a) 2 R ) a=b Transitiv: 8 a,b,c 2 A: (a,b) 2 R Æ (b,c) 2 R ) (a,c) 2 R
R1:={(a,b) 2 N2| a teilt b}: r, a, t (partielle Ordnung)
R2:={(a,b) 2 Z2 | (a mod 3) = (b mod 3)}: r, s, t (Äquivalenzrelation)
R3:={(a,b) 2 Z2 | a teilt b}: r, t (Quasiordnung)
Graphische Darstellung
Bsp: R:={(a,b) 2 [8]2 | (a mod 3)=(b mod 3), a·b}
1 4 7
5
63
2 8
Abbildungen/Funktionen
Def: Eine Abbildung/Funktion ist eine Relation Rµ A £ B mit:8 a 2 A: |{b 2 B | (a,b) 2 R}| = 1.
Schreibweise:f: A ! B a f(a)
Urbild: f-1(b):= {a 2 A | f(a) = b}
Definieren für A‘µ A, B‘ µ B: f(A‘) = [a 2 A‘ {f(a)}f(B‘) = [b 2 B‘ f-1(b)
a1
a2
a3
b1
b2
b3
Eigenschaften von Funktionen f injektiv , 8 b 2 B: |f-1(b)| · 1 f surjektiv , 8 b 2 B: |f-1(b)| ¸ 1 f bijektiv , f injektiv und f surjektiv
Def (Isomorphismus): R1 µ A12, R2 µ A2
2 isomorph ,
9 bijektives f: A1 ! A2: 8 (a,b) 2 A12: (a,b) 2 R1 , (f(a), f(b)) 2 R2.
a1
a2
a3
b1
b2
13
2
x
y z
Indirekter Beweis/WiderspruchsbeweisSatz: Sei n 2 N. Dann gilt:
n2 gerade ) n gerade.
Beweis:Kontraposition: (A ) B) , (:B ) :A)
Genügt zu zeigen: n ungerade ) n2 ungerade.
n ungerade ) n=2k+1, k 2 N0
) n2=4k2+4k+1) n2 ungerade
Induktionsbeweis
Satz: Jede Zahl n ¸ 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen.
Beweis durch Induktion über n:
(IV) Induktionsverankerung: n=2 prim. (IA) Induktionsannahme: Satz ist korrekt für alle Zahlen · n. (IS) Induktionsschritt n! n+1:
Fallunterscheidung: n+1 prim, d.h. n+1 ist Produkt von Primzahlen. n+1 zusammengesetzt, d.h. n+1 = a*b mit 1< a,b · n.
Wende Induktionsannahme auf a und b an.
Widerspruchsbeweis
Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Annahme: 9 endlich viele Primzahlen p1, …, pn, n beliebig,aber fest
Setze m = 1+ni=1 pi.
) m=1 mod pi für i=1,…,n
) pi teilt m nicht (wegen pi ¸ 2).
) m pi, i=1,…,n und m ist prim.) Es existieren mindestens n+1 viele Primzahlen. (Widerspruch: Nach Annahme existieren nur n Primzahlen.)
InduktionsbeweisSatz: Jedes Schachbrett mit Seitenlänge 2k lässt sich
durch 3-Felder große L-Teile so kacheln, dass die rechte obere Ecke frei bleibt.
Beweis durch Induktion über k: IV (k=1):
IA: Satz sei korrekt bis k. IS (k ! k+1): 2k+1
2k
2k
Landau Notation – Groß-Oh
Def: f(n) = O(g(n)) , 9 c, n0 2 N 8 n ¸ n0: |f(n)| · c*|g(n)|
Alternativ: f(n) = O(g(n)) , limn ! 1 sup |f(n)|/|g(n)| < 1
Beispiele: 3n2 + n + 2 = O(n2) 3n2 + n + 2 = O(n3 log n) n
i=1 i = O(n2) d
i=1 aini = O(nd) n
i=1 1/i = O(log n) log2 n = O(loge n)
Groß-Omega
Def: f(n) = (g(n)) , 9 c, n0 2 N 8 n ¸ n0: |f(n)| ¸ c*|g(n)|
Alternativ: f(n) = O(g(n)) , limn ! 1 sup |f(n)|/|g(n)| > 0
Beispiele: 3n2 + n + 2 = (n2) 3n2 + n + 2 = (n log n) n
i=1 i = (n2) d
i=1 aini = (nd) n
i=1 1/i = (log n) log2 n = (loge n)
Theta, Klein-Oh, Klein-Omega
f(n) = (g(n)) , f(n) = O(g(n)) und f(n) = (g(n)) d
i=1 aini = (nd) log2 n = (loge n)
f(n) = o(g(n)) , 8 c 9 n0 2 N 8 n ¸ n0: |f(n)| < c*|g(n)|
Alternativ: f(n) = o(g(n)) , limn ! 1 |f(n)|/|g(n)| = 0 n=o(n2) 10n2/loglogn = o(n2)
f(n) = (g(n)) , 8 c 9 n0 2 N 8 n ¸ n0: |f(n)| > c*|g(n)|
Alternativ: f(n) = o(g(n)) , limn ! 1 |f(n)|/|g(n)| ! 1 n2=(n) 10n2 loglogn = (n2)
Zusammenfassung
Operationen auf Mengen A [ B, A Å B, A £ B, A n B, P(A)
Relationen, Abbildungen/Funktionen Reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv Injektiv, surjektiv, bijektiv
Beweistechniken: Indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis Induktionsbeweis
Landau-Notation O, , , o,
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