download - persen verlag · im vorliegenden download finden sie inklusive trainingsaufgaben für...
Post on 11-Jan-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Brigitte Penzenstadler
Ergänzungsmaterial Quadratische Funktionen 9/10Aufgaben für den inklusiven Unterricht ergänzend zum Mathetraining in 3 Kompetenzstufen Band 2
Downloadauszug aus dem Originaltitel:
DOWNLOADB
erg
ed
orf
er
Un
terr
ich
tsid
een
Brigitte Penzenstadler
Berg
ed
orf
er
Un
terr
ich
tsid
een
9. ⁄ 1
0. K
lass
e
Band 2: Geometrie, Lineare Funktionen und Gleichungen, Quadratische Funktionen und Gleichungen, Stochastik
Mathetraining Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht
Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Vorwort
1
Liebe Kolleginnen und Kollegen,
sicher rechnen zu können, gehört zu den elementaren Fähigkeiten. Im Mathematikunterricht der 9./10. Jahrgangsstufe wird auf den Grundlagen der 7./8. Klasse aufgebaut und die Basis für den weiteren schulischen und beruflichen Erfolg aller Schüler1 gelegt.
Daher ist es wichtig, elementare mathematische Kompetenzen zu schulen, denn nicht alle Schü-ler bringen die gleichen Grundvoraussetzungen mit.
Dieser Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht zum Titel „Mathetraining in 3 Kompetenz-stufen – 9./10. Klasse“ (Band 2) wurde bewusst überschaubar gehalten. Die Arbeitsblätter eig-nen sich sowohl als separate Trainingseinheiten für Schüler mit Unterstützungsbedarf, als auch als Einstieg oder Warming-up für leistungsstärkere Heranwachsende.
Um so gut wie möglich allen Bedürfnissen in einem heterogenen Klassenverband gerecht zu werden, bietet der Titel „Mathetraining in 3 Kompetenzstufen – 9./10. Klasse“ (Band 2) dazu pas-sende ergänzende Übungen in drei unterschiedlichen Schwierigkeitsstufen an.
1 Grundsätzliches
Im vorliegenden Download finden Sie inklusive Trainingsaufgaben für den Themenbereich Quadratische Funktionen. Die kleinschrittigen, abwechslungsreichen und anschaulichen Kopiervorlagen bieten den leistungsschwächeren Schülern – evtl. auch mit sonderpädagogi-schem Förderbedarf – die Möglichkeit, bessere Ergebnisse zu erzielen.
Durch kontinuierliches und in der Regel konkret-handlungsorientiertes Üben werden die mathematischen Fertigkeiten sukzessive gefestigt und verbessert. Die wechselnden Aufgaben-formen sind übersichtlich strukturiert und lassen sich sofort einsetzen. Somit ist eine gezielte individuelle Förderung von lernschwachen Schülern auch im inklusiven Klassenverband ohne großen Mehraufwand von Seiten der Lehrkraft möglich.
Die Kopiervorlagen sind lehrwerksunabhängig und lassen sich weitgehend selbstständig bearbeiten. Zudem tragen spielerische Aktivitäten dazu bei, Spaß am Umgang mit der Mathe-matik zu vermitteln und die Leistungsbereitschaft zu fördern.
2 Didaktische und methodische Kommentare
Die vorliegenden Materialien wurden so konzipiert, dass die Schüler dort abgeholt werden kön-nen, wo sie gerade stehen. Die bisher in der Schule und in der Alltagswelt gemachten mathema-tischen Erfahrungen werden aufgegriffen, geübt, vertieft und erweitert.
Im Vordergrund steht dabei ein anwendungs- und teilweise handlungsorientierter Unterricht. Ziel ist es, den Schülern Einsicht in mathematisches Handeln zu vermitteln und eigenständig sinnvolle Rechenstrategien zu entwickeln. Dies gelingt besonders gut, wenn das Ausprobie-ren, Tätigwerden und Entdecken im Mittelpunkt stehen.
Für rechenschwächere Schüler ist es wichtig, dass alle mathematischen Inhalte zu Beginn konkret dargestellt werden. Dies erfolgt beispielsweise durch das Bauen von geometrischen Körpermodellen oder das Legen der Kombinationen von Speisenfolgen.
Das konkrete Handeln wird anschließend von mentalen Operationen abgelöst, indem zum Beispiel die Öffnungsrichtung von Parabeln oder der Unterschied von Grund- und Mantelfläche in Gedanken erkannt wird. Gerade lernschwächere Schüler befinden sich lange in diesen eben
1 Wir sprechen hier wegen der besseren Lesbarkeit von Schülern in der verallgemeinernden Form. Selbstver-ständlich sind auch alle Schülerinnen gemeint.
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Vorwort
2
beschriebenen Phasen. Die Zeit dafür muss ihnen aber unbedingt gegeben werden, da sich zu schnelles Abstrahieren als kontraproduktiv erweist. Außerdem vermittelt die kleinschrittige Vor-gehensweise den Heranwachsenden Erfolgserlebnisse und motiviert sie ungemein.
Wurde das konkrete und mentale Operieren hinreichend gefestigt, kann die visuelle Unterstüt-zung weggelassen werden. Es folgen nun Übungen, die ausschließlich vorstellungsmäßig, ohne visuelle und handlungsorientierte Unterstützung, zu absolvieren sind und das Automatisieren der mathematischen Fähigkeiten in den Mittelpunkt stellen.
Auch der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben steigert sich sukzessive. Die Arbeitsblätter sind klar und übersichtlich strukturiert. Unnötige Informationen, die von den eigentlichen Aufgaben-stellungen ablenken, wurden weggelassen.
Sämtliche Arbeitsblätter sind fett gedruckt und mit Symbolen versehen, damit sich die Lernen-den leichter zurechtzufinden.
Die Symbole bedeuten:
schau genau und konzentriere dich
notiere / schreibe auf
werde tätig
schneide aus
arbeite mit einem Partner zusammen, besprich dich mit ihm
Wichtig ist es, beim Üben mehrere Wahrnehmungskanäle (visuell, handelnd, akustisch) und die emotionale Komponente durch spielerischen Umgang mit der Mathematik zu nutzen. Auch wechselnde Sozialformen wie die individualisierte Einzelarbeit oder themenzentrier-tes Arbeiten mit dem Partner oder der Gruppe finden im inklusiven Unterricht ihre Berechti-gung. Um stetige individuelle Förderung zu ermöglichen, ist es notwendig, offene Arbeitswei-sen wie Wochenplanarbeit, Freiarbeit oder Stationenlernen einzuüben, aber auch Phasen der regelmäßigen Wiederholung, des Übens und des Zeitlassens einzuplanen.Eine zeitnahe Kontrolle und Rückmeldung an die Schüler stärken deren Sicherheit und Ver-trauen in das eigene Leistungsvermögen.Lösungsblätter zu allen Aufgaben im Anschluss erleichtern zudem die Kontrolle, die auch von den Schülern selbst übernommen werden kann, und unterstützen Sie als Lehrkraft bei Ihrer täg-lichen Unterrichtsvorbereitung.
3 Angestrebte mathematische Kompetenzen in den einzelnen Bereichen
Mithilfe der Arbeitsblätter werden grundlegende mathematische Kompetenzen bei den Schülern der 9./10. Jahrgangsstufe angestrebt. Die Aufgabenformate sind so konzipiert, dass die Heran-wachsenden bei deren Bearbeitung unter Beweis stellen, ob sie die nachfolgend beschriebenen Kompetenzen erworben haben. Dabei darf jedoch die Abstimmung auf die individuellen Bedürf-nisse und Fähigkeiten der einzelnen Schüler nicht außer Acht gelassen werden.
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Vorwort
3
Quadratische Funktionen und Gleichungen
# 1., 2. und 3. binomische Formel vervollständigen
# binomische Formeln erkennen # nach oben geöffnete Normalparabel mithil-fe einer Parabelschablone einzeichnen
# nach unten geöffnete Normalparabel mithil-fe einer Parabelschablone einzeichnen
# Öffnungsrichtung einer Normalparabel an-hand der Wertetabelle bzw. des Graphen bestimmen
# Scheitelpunkt einer gezeichneten Normal-parabel ablesen
# Scheitelpunkt und die dazugehörige Schei-telpunktgleichung erkennen und verbinden
# quadratische Gleichungen mithilfe der Lösungsformel lösen
# Funktionsgleichung von Parabeln anhand einer schrittweisen Anleitung ermitteln
# Schnittpunkt zweier Funktionen bestimmen
Weitere, dreifach differenzierte Aufgaben finden Sie im Band „Mathetraining in 3 Kompetenz-stufen – 9./10. Klasse“ (Band 2).
Ich wünsche Ihnen viel Erfolg beim Training der mathematischen Kompetenzen Ihrer Schüler.
Brigitte Penzenstadler
6Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2
© Persen Verlag
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
448
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
1. binomische Formel
Vervollständige die 1. binomische Formel.
1. (c + d)2 =
2. (f + g)2 =
3. (x + y)2 =
4. (w + z)2 =
5. (l + m)2 =
6. (r + s)2 =
7. (h + i)2 =
8. e2 + 2ef + f2 =
9. g2 + 2gh + h2 =
10. y2 + 2yz + z2 =
11. w2 + 2wx + x2 =
12. s2 + 2st + t2 =
13. u2 + 2uv + v2 =
14. q2 + 2qr + r2 =
Merke: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
549
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
2. binomische Formel
Vervollständige die 2. binomische Formel.
1. (c – d)2 =
2. (f – g)2 =
3. (x – y)2 =
4. (w – z)2 =
5. (l – m)2 =
6. (r – s)2 =
7. (h – i)2 =
8. e2 – 2ef + f2 =
9. g2 – 2gh + h2 =
10. y2 – 2yz + z2 =
11. w2 – 2wx + x2 =
12. s2 – 2st + t2 =
13. u2 – 2uv + v2 =
14. q2 – 2qr + r2 =
Merke: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
650
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
3. binomische Formel
Vervollständige die 3. binomische Formel.
1. (x + y) (x – y) =
2. (c + d) (c – d) =
3. (e + f) (e – f) =
4. (w + z) (w – z) =
5. (h + i) (h – i) =
6. (k + l) (k – l) =
7. (n + o) (n – o) =
8. r2 – s2 =
9. t2 – u2 =
10. p2 – m2 =
11. a2 – c2 =
12. m2 – n2 =
13. p2 – q2 =
14. b2 – c2 =
Merke: (a + b) · (a – b) = a2 – b2
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
751
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Binomische Formeln erkennen
Um welche binomische Formel handelt es sich? Notiere.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
x2 – y2 = (x + y) (x – y)
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(c + d) (c – d) = c2 – d2
(c + d)2 = c2 + 2cd + d2
f2 + 2fg + g2 = (f + g)2
f2 – g2 = (f + g) (f – g)
l2 – 2lm + m2 = (l – m)2 =
(l + m)2 = l2 + 2lm + m2
(h – i)2 = h2 – 2hi + i2
Merke: 1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
852
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Nach oben geöffnete Normalparabel
Zeichne die Werte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Koordinaten mithilfe einer Parabelschablone.
y =x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
Merke: Normalparabel nach oben geöffnet: y = x2 Eine Normalparabel hat den Scheitelpunkt S (0|0).
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
953
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Nach unten geöffnete Normalparabel
Zeichne die Werte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Koordinaten mithilfe einer Parabelschablone.
y = -x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
Merke: Normalparabel nach unten geöffnet: y = -x2 Eine Normalparabel hat den Scheitelpunkt S (0|0).
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
1054
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Öffnung einer Normalparabel bestimmen
Ist die Normalparabel nach oben oder unten geöffnet? Notiere.
y = x2
x -1 0 1
y 1 0 1
x -1 0 1
y -1 0 -1 y = -x2
Merke: Normalparabel nach unten geöffnet: y = -x2 Normalparabel nach oben geöffnet: y = x2
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
1155
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Scheitelpunkt einer Normalparabel ablesen
Wie lautet der Scheitelpunkt der Parabel? Notiere ihn.
Merke: Ist die Normalparabel entlang der x-Achse um xs-Einheiten und entlang der y-Achse um ys-Einheiten verschoben, lautet die Scheitel-punktgleichung: y = ( x – xs)2 + ys
Man kann hier den Scheitelpunkt der Parabel sofort ablesen: S (xs|ys)
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
1256
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Scheitelpunkt und Scheitelpunktgleichung verbinden
Beispiele: y = (x – 1)2 + 1 S (1|1)
y = (x + 1)2 – 1 S (-1|-1)
Verbinde die Scheitelpunktgleichung mit dem Scheitelpunkt der Parabel.
Merke: Scheitelpunktgleichung: y = ( x – xs)2 + ys. Man kann hier den Scheitelpunkt der Parabel sofort ablesen: S (xs|ys)
y = (x – 2)2 + 1
y = (x – 4)2 – 1
y = (x + 4)2 – 1
y = (x + 2)2 + 1
y = (x – 3)2 – 2
y = (x – 1)2 – 4
y = (x + 3)2 + 2
y = (x – 1)2 + 4
y = (x – 2)2 – 3
S (4|-1)
S (-2|1)
S (2|1)
S (-4|-1)
S (-3|2)
S (3|-2)
S (2|-3)
S (1|-4)
S (1|4) y = (x + 2)2 + 3
S (-2|3)
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
1357
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Quadratische Gleichungen lösen
Beispiel: x2 + 4x + 3 = 0 p = 4; q = 3
x1/2 = - 42
± ( )4 –2
2
3
x1/2 = -2 ± 1 x1/2 = -2 ± 1 x1 = -1; x2 = -3
Löse die quadratischen Gleichungen mithilfe der Lösungsformel wie im Beispiel.
x2 + 5x + 6 = 0 x2 + 8x + 7 = 0
x2 + 6x + 8 = 0 x2 + 6x + 5 = 0
Lösungen: -1 -1 -2 -2 -3 -4 -5 -7
Lösungsformel: x1/2 = p p- ± – q2 2
2
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
1458
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln I
Ermittle die Funktionsgleichung mithilfe der obigen Vorgehensweise. A (0|3); B (3|3)
Lösung: y = x2 – 3x + 3
A (1|4) und B (–2|1) liegen auf einer nach oben geöffneten Parabel. Die Funktionsgleichung wird folgendermaßen ermittelt: y = x2 + px + q 4 = 12 + 1p + q Setze die Koordinaten des ersten Punktes 3 = p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = 3 – p ein und löse nach q auf. 1 = (-2)2 – 2p + q Setze die Koordinaten des zweiten Punktes 1 = 4 – 2p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = -3 + 2p ein und löse nach q auf. -3 + 2p = 3 – p Setze beide Gleichungen gleich (q = q) 2p = 6 – p und berechne p. p = 2 q = 3 – 2 Setze p in eine der beiden Gleichungen ein q = 1 und berechne q. y = x2 + 2x + 1 Setze die beiden Werte für p und q in die Funktionsgleichung ein.
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
1559
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln II
Ermittle die Funktionsgleichung mithilfe der obigen Vorgehensweise. A (3|10); B (8|5)
Lösung: x2 – 12x + 37
A (1|4) und B (-2|1) liegen auf einer nach oben geöffneten Parabel. Die Funktionsgleichung wird folgendermaßen ermittelt: y = x2 + px + q 4 = 12 + 1p + q Setze die Koordinaten des ersten Punktes 3 = p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = 3 – p ein und löse nach q auf. 1 = (-2)2 – 2p + q Setze die Koordinaten des zweiten Punktes 1 = 4 – 2p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = –3 + 2p ein und löse nach q auf. -3 + 2p = 3 – p Setze beide Gleichungen gleich (q = q) 2p = 6 – p und berechne p. p = 2 q = 3 – 2 Setze p in eine der beiden Gleichungen ein q = 1 und berechne q. y = x2 + 2x + 1 Setze die beiden Werte für p und q in die Funktionsgleichung ein.
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Quadratische Funktionen und Gleichungen
1660
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag
Schnittpunkte von Funktionen bestimmen Beispiel: y1 = x2 ∧ y2 = x2 – 4x + 5
y1 = y2 Setze beide Gleichungen gleich. x2 = x2 – 4x + 5 |–x2 0 = –4x + 5 Berechne x. 4x = 5 |: 4 x = 1,25 y1 = x2 Setze in eine der beiden Gleichungen den y = 1,252 berechneten x-Wert ein. y = 1,5625 Berechne y. S (1,25|1,56) Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts S (x|y).
Berechne den Schnittpunkt mithilfe der obigen Beschreibung.
y1 = x2 + 2x – 1 ∧ y2 = x2 – 4x + 5
Lösung: S (1|2)
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Lösungen
17
47
Line
are
Funk
tion
en u
nd G
leic
hung
en
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g Line
are
Glei
chun
gssy
stem
e m
it d
em
Glei
chse
tzun
gsve
rfah
ren
löse
n Be
ispi
el:
I)
y =
3,5x
– 2
II)
y
= 11
– 3
x
I) =
II)
bei
de
Gle
ich
un
gen
gle
ich
setz
en
3,5x
– 2
= 1
1 –
3x
6,
5x =
13
erst
e V
ari
ab
le b
erec
hn
en
x
= 2
in II
) y =
11
– 3
· 2
ber
ech
net
e V
ari
ab
le in
ein
e d
er b
eid
en
Gle
ich
un
gen
ein
setz
en
y =
11 –
6
zwei
te V
ari
ab
le b
erec
hn
en
y =
5 L
(2|5
) L
ösu
ng
smen
ge
bes
tim
men
Lö
se d
as
Gle
ich
un
gss
yste
m w
ie o
ben
bes
chri
eben
.
I)
y =
4x –
21
II)
y
= x
+ 6
I)
y =
3x +
1
II)
y
= 12
x –
7
Lösu
ngen
:
(9
|15)
(2|7
)
I) =
II)
4x –
21
= x
+ 6
3x =
27
| : 3
x =
9
in II
) y =
9 +
6
y =
15
L (9
|15)
I) =
II)
3x +
1 =
12x
– 1
7
18 =
9 x
| : 9
x =
2
in I)
y =
3 ·
2 +
1
y =
6 +
1
y =
7
L (2
|7)
48
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
1. b
inom
isch
e Fo
rmel
Ver
volls
tän
dig
e d
ie 1
. bin
om
isch
e Fo
rmel
.
1.
(c
+ d
)2 =
2.
(f +
g)2 =
3.
(x +
y)2 =
4.
(w +
z)2 =
5.
(l +
m)2 =
6.
(r +
s)2 =
7.
(h +
i)2 =
8.
e2 + 2
ef +
f2 =
9.
g2 + 2
gh +
h2 =
10. y
2 + 2
yz +
z2 =
11. w
2 + 2
wx
+ x2 =
12. s
2 + 2
st +
t2 =
13.
u2 + 2
uv +
v2 =
14.
q2 + 2
qr +
r2 =
Mer
ke:
(a +
b)2 =
a2 +
2ab
+ b
2
c2 + 2
cd
+ d 2
f 2 +
2 fg
+ g
2
x 2 +
2 x
y +
y 2
w 2 +
2 w
z +
z 2
l 2 +
2 lm
+ m
2
r 2 +
2 r
s +
s2
h2 + 2
hi +
i 2
(e +
f)2
(g +
h)2
(y +
z)2
(w +
x)2
(s +
t)2
(u +
v)2
(q +
r)2
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Lösungen
18
49
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
2. b
inom
isch
e Fo
rmel
Ver
volls
tän
dig
e d
ie 2
. bin
om
isch
e Fo
rmel
.
1.
(c
– d
)2 =
2.
(f –
g)2 =
3.
(x –
y)2 =
4.
(w –
z)2 =
5.
(l –
m)2 =
6.
(r –
s)2 =
7.
(h –
i)2 =
8.
e2 – 2
ef +
f2 =
9.
g2 – 2
gh +
h2 =
10. y
2 – 2
yz +
z2 =
11. w
2 – 2
wx
+ x2 =
12. s
2 – 2
st +
t2 =
13. u
2 – 2
uv +
v2 =
14. q
2 – 2
qr +
r2 =
Mer
ke:
(a –
b)2 =
a2 –
2ab
+ b
2
c 2 –
2 c
d +
d 2
f 2 –
2 fg
+ g
2
x 2 –
2 x
y +
y 2
w 2 –
2 w
z +
z 2
l 2 –
2 lm
+ m
2
r 2 –
2 r
s +
s 2
h 2 –
2 h
i + i 2
(e –
f)2
(g –
h)2
(y –
z)2
(w –
x)2
(s –
t)2
(u –
v)2
(q –
r)2
50
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
3. b
inom
isch
e Fo
rmel
Ver
volls
tän
dig
e d
ie 3
. bin
om
isch
e Fo
rmel
.
1.
(x
+ y
) (x
– y)
=
2.
(c +
d) (
c –
d) =
3.
(e +
f) (e
– f)
=
4.
(w +
z) (
w –
z) =
5.
(h +
i) (h
– i)
=
6.
(k +
l) (k
– l)
=
7.
(n +
o) (
n –
o) =
8.
r2 – s
2 =
9.
t2 – u
2 =
10.
p2 – m
2 =
11.
a2 – c
2 =
12.
m2 –
n2 =
13.
p2 – q
2 =
14.
b2 – c
2 =
Mer
ke:
(a +
b) ·
(a –
b) =
a2 –
b2
x 2 –
y 2
c 2 –
d 2
e 2 –
f 2
w 2 –
z 2
h 2 –
i 2
k 2 –
l 2
n 2 –
o 2
(r +
s) (
r –
s)
(t +
u) (
t – u
)
(p +
m) (
p –
m)
(a +
c) (
a –
c)
(m +
n) (
m –
n)
(p +
q) (
p –
q)
(b +
c) (
b –
c)
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Lösungen
19
51
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Bino
mis
che
Form
eln
erke
nnen
Um
wel
che
bin
om
isch
e Fo
rmel
ha
nd
elt e
s si
ch?
No
tier
e.
(x
+ y
)2 = x
2 + 2
xy +
y2
x2 –
y2 =
(x +
y) (
x –
y)
(x
– y
)2 = x
2 – 2
xy +
y2
(c
+ d
) (c
– d)
= c
2 – d
2
(c
+ d
)2 = c
2 + 2
cd +
d2
f2 +
2fg
+ g
2 = (f
+ g
)2
f2 –
g2 =
(f +
g) (
f – g
)
l2 –
2lm
+ m
2 = (l
– m
)2 =
(l
+ m
)2 = l2 +
2lm
+ m
2
(h
– i)
2 = h
2 – 2
hi +
i2
Mer
ke:
1. b
inom
isch
e Fo
rmel
: (a
+ b)
2 = a
2 + 2
ab +
b2
2. b
inom
isch
e Fo
rmel
: (a
– b)
2 = a
2 – 2
ab +
b2
3. b
inom
isch
e Fo
rmel
: (a
+ b)
· (a
– b
) = a
2 – b
2
1. b
inom
isch
e Fo
rmel
3. b
inom
isch
e Fo
rmel
2. b
inom
isch
e Fo
rme l
3. b
inom
isch
e Fo
rmel
1. b
inom
isch
e Fo
rme l
1. b
inom
isch
e Fo
rmel
3. b
inom
isch
e Fo
rmel
2. b
inom
isch
e Fo
rme l
1. b
inom
isch
e Fo
rmel
2. b
inom
isch
e Fo
rmel
52
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Nac
h ob
en g
eöff
nete
Nor
mal
para
bel
Zeic
hn
e d
ie W
erte
in d
as
Ko
ord
ina
ten
syst
em e
in. V
erb
ind
e d
ie
Ko
ord
ina
ten
mit
hilf
e ei
ner
Pa
rab
elsc
ha
blo
ne.
y
=x2
x
-3
-2
-1
0 1
2 3
y 9
4 1
0 1
4 9
Mer
ke:
Nor
mal
para
bel n
ach
oben
geö
ffne
t: y
= x
2 Ei
ne N
orm
alpa
rabe
l hat
den
Sch
eite
lpun
kt
S (0
|0).
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Lösungen
20
53
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g Nac
h un
ten
geöf
fnet
e N
orm
alpa
rabe
l
Zeic
hn
e d
ie W
erte
in d
as
Ko
ord
ina
ten
syst
em e
in. V
erb
ind
e d
ie
Ko
ord
ina
ten
mit
hilf
e ei
ner
Pa
rab
elsc
ha
blo
ne.
y
= -x
2
x
-3
-2
-1
0 1
2 3
y -9
-4
-1
0
-1
-4
-9
Mer
ke:
Nor
mal
para
bel n
ach
unte
n ge
öffn
et:
y =
-x2
Eine
Nor
mal
para
bel h
at d
en S
chei
telp
unkt
S
(0|0
).
54
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Öff
nung
ein
er N
orm
alpa
rabe
l bes
tim
men
Ist d
ie N
orm
alp
ara
bel
na
ch o
ben
od
er u
nte
n g
eöff
net
? N
oti
ere.
y
= x2
x
-1
0 1
y 1
0 1
x -1
0
1
y -1
0
-1
y =
-x2
Mer
ke:
Nor
mal
para
bel n
ach
unte
n ge
öffn
et:
y =
-x2
Nor
mal
para
bel n
ach
oben
geö
ffne
t: y
= x
2
nach
obe
n ge
öffn
ete
Nor
mal
para
bel
nach
obe
n ge
öffn
ete
Nor
mal
para
bel
nach
unt
en g
eöffn
ete
Nor
mal
para
bel
nach
unt
en g
eöffn
ete
Nor
mal
para
bel
nach
unt
en g
eöffn
ete
Nor
mal
para
bel
nach
obe
n ge
öffn
ete
Nor
mal
para
bel
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Lösungen
21
55
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Sche
itel
punk
t ein
er N
orm
alpa
rabe
l abl
esen
Wie
lau
tet d
er S
chei
telp
un
kt d
er P
ara
bel
? N
oti
ere
ihn
.
Mer
ke:
Ist d
ie N
orm
alpa
rabe
l ent
lang
der
x-A
chse
um
xs-
Einh
eite
n un
d en
tlan
g de
r y-A
chse
um
y s
-Ein
heit
en v
ersc
hobe
n, la
utet
die
Sch
eite
l-pu
nktg
leic
hung
: y =
( x
– x s
)2 + y
s
Man
kan
n hi
er d
en S
chei
telp
unkt
der
Par
abel
so
fort
abl
esen
: S (x
s|ys)
S (-
1|1)
S
(2|2
)
S (0
|5)
S (2
|-4)
56
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Sche
itel
punk
t und
Sc
heit
elpu
nktg
leic
hung
ver
bind
en
Beis
piel
e:
y =
(x –
1)2 +
1
S
(1|1
)
y =
(x +
1)2 –
1
S
(-1|
-1)
Ver
bin
de
die
Sch
eite
lpu
nkt
gle
ich
un
g m
it d
em S
chei
telp
un
kt d
er
Pa
rab
el.
Mer
ke:
Sche
itel
punk
tgle
ichu
ng: y
= (
x –
x s)2 +
ys.
Man
kan
n hi
er d
en S
chei
telp
unkt
der
Par
abel
so
fort
abl
esen
: S (x
s|ys)
y =
(x –
2)2 +
1
y =
(x –
4)2 –
1
y =
(x +
4)2 –
1
y =
(x +
2)2 +
1
y =
(x –
3)2 –
2
y =
(x –
1)2 –
4
y =
(x +
3)2 +
2
y =
(x –
1)2 +
4
y =
(x –
2)2 –
3
S (4
|-1)
S (-
2|1)
S (2
|1)
S (-
4|-1
)
S (-
3|2)
S (3
|-2)
S (2
|-3)
S (1
|-4)
S (1
|4)
y =
(x +
2)2 +
3
S (-
2|3)
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Lösungen
22
57
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Qua
drat
isch
e Gl
eich
unge
n lö
sen
Beis
piel
: x2 +
4x
+ 3
= 0
p
= 4;
q =
3
x 1/2 =
-4 2
±
()4–
2
2
3
x 1/2 =
-2 ±
1
x 1/
2 = -2
± 1
x 1 =
-1; x
2 = -3
Lö
se d
ie q
ua
dra
tisc
hen
Gle
ich
un
gen
mit
hilf
e d
er L
ösu
ng
sfo
rmel
wie
im
Bei
spie
l.
x2 +
5x
+ 6
= 0
x2 + 8
x +
7 =
0
x2 +
6x
+ 8
= 0
x2 + 6
x +
5 =
0
Lösu
ngen
:
-1
-1
-2
-
2
-3
-4
-5
-
7
Lösu
ngsf
orm
el:
x 1/2
=
pp
- ±
–
q2
2
2
p =
5; q
= 6
x 1/2 =
-2,5
± 0
,5
x 1 = -3
x 2 = -2
x 1/2 =
-5 2
±
()5–
62
2
p =
8 ; q
= 7
x 1/2 =
-4 ±
3
x 1 = -7
x 2 = -1
x 1/2 =
-8 2
±
()8–
72
2
p =
6 ; q
= 8
x 1/2 =
-3 ±
1
x 1 = -4
x 2 = -2
x 1/2 =
-6 2
±
()6–
82
2
p =
6 ; q
= 5
x 1/2 =
-3 ±
2
x 1 = -5
x 2 = -1
x 1/2 =
-6 2
±
()6–
52
2
58
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Funk
tion
sgle
ichu
ngen
von
Pa
rabe
ln e
rmit
teln
I
Erm
ittl
e d
ie F
un
ktio
nsg
leic
hu
ng
mit
hilf
e d
er o
big
en V
org
ehen
swei
se.
A (0
|3);
B (3
|3)
Lö
sung
: y
= x
2 – 3
x +
3
A (1
|4) u
nd B
(–2|
1) li
egen
auf
ein
er n
ach
oben
geö
ffne
ten
Para
bel.
D
ie F
unkt
ions
glei
chun
g w
ird
folg
ende
rmaß
en e
rmit
telt
: y
= x2 +
px
+ q
4 =
12 + 1
p +
q Se
tze
die
Koo
rdin
aten
des
ers
ten
Punk
tes
3
= p
+ q
in d
ie N
orm
alfo
rm d
er F
unkt
ions
glei
chun
g
q =
3 –
p ei
n un
d lö
se n
ach
q au
f. 1
= (-
2)2 –
2p
+ q
Setz
e di
e K
oord
inat
en d
es z
wei
ten
Punk
tes
1
= 4
– 2p
+ q
in
die
Nor
mal
form
der
Fun
ktio
nsgl
eich
ung
q
= -3
+ 2
p ei
n un
d lö
se n
ach
q au
f. -3
+ 2
p =
3 –
p Se
tze
beid
e Gl
eich
unge
n gl
eich
(q =
q)
2p =
6 –
p
und
bere
chne
p.
p =
2 q
= 3
– 2
Setz
e p
in e
ine
der b
eide
n Gl
eich
unge
n ei
n q
= 1
und
bere
chne
q.
y =
x2 + 2
x +
1 Se
tze
die
beid
en W
erte
für p
und
q in
die
Funk
tion
sgle
ichu
ng e
in.
y =
x2 + p
x +
q 3
= 02 +
0p
+ q
q =
3
3 =
32 + 3
p +
q -6
– 3
p =
q q
= q
3 =
-6 –
3p
9 =
-3p
p =
-3
q =
-6 –
3p
q =
-6 –
3 (-
3)
q =
3 y
= x2 –
3x
+3
Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag
Lösungen
23
59
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Funk
tion
sgle
ichu
ngen
von
Pa
rabe
ln e
rmit
teln
II
Erm
ittl
e d
ie F
un
ktio
nsg
leic
hu
ng
mit
hilf
e d
er o
big
en V
org
ehen
swei
se.
A (3
|10)
; B (8
|5)
Lösu
ng:
x2 –
12x
+ 3
7
A (1
|4) u
nd B
(-2|
1) li
egen
auf
ein
er n
ach
oben
geö
ffne
ten
Para
bel.
D
ie F
unkt
ions
glei
chun
g w
ird
folg
ende
rmaß
en e
rmit
telt
: y
= x2 +
px
+ q
4 =
12 + 1
p +
q Se
tze
die
Koo
rdin
aten
des
ers
ten
Punk
tes
3
= p
+ q
in d
ie N
orm
alfo
rm d
er F
unkt
ions
glei
chun
g
q =
3 –
p ei
n un
d lö
se n
ach
q au
f. 1
= (-
2)2 –
2p
+ q
Setz
e di
e K
oord
inat
en d
es z
wei
ten
Punk
tes
1
= 4
– 2p
+ q
in
die
Nor
mal
form
der
Fun
ktio
nsgl
eich
ung
q
= –3
+ 2
p ei
n un
d lö
se n
ach
q au
f. -3
+ 2
p =
3 –
p Se
tze
beid
e Gl
eich
unge
n gl
eich
(q =
q)
2p =
6 –
p
und
bere
chne
p.
p =
2 q
= 3
– 2
Setz
e p
in e
ine
der b
eide
n Gl
eich
unge
n ei
n q
= 1
und
bere
chne
q.
y =
x2 + 2
x +
1 Se
tze
die
beid
en W
erte
für p
und
q in
die
Funk
tion
sgle
ichu
ng e
in.
y =
x2 + p
x +
q 10
= 3
2 + 3
p +
q
q =
1 –
3p
5 =
82 + 8
p +
q
-59
– 8
p =
q
q =
q
1 –
3p =
-59
– 8p
60 =
-5p
p =
-12
q =
1 –
3 (-
12)
q =
1 +
36
q =
37
y =
x2 – 1
2x +
37
60
Qua
drat
isch
e Fu
nkti
onen
und
Gle
ichu
ngen
Brig
itte
Pen
zens
tadl
er: M
athe
trai
ning
– E
rgän
zung
sban
d fü
r de
n in
klus
iven
Unt
erric
ht –
Ban
d 2
© P
erse
n V
erla
g
Schn
ittp
unkt
e vo
n Fu
nkti
onen
bes
tim
men
Be
ispi
el:
y 1 = x
2 ∧
y 2 = x
2 – 4
x +
5 y 1 =
y2
Set
ze b
eid
e G
leic
hu
ng
en g
leic
h.
x2 = x
2 – 4
x +
5 |–
x2 0
= –4
x +
5 B
erec
hn
e x.
4x
= 5
|:
4 x
= 1,
25
y 1 = x
2 S
etze
in e
ine
der
bei
den
Gle
ich
un
gen
den
y
= 1,
252
ber
ech
net
en x
-Wer
t ein
. y
= 1,
5625
B
erec
hn
e y.
S
(1,2
5|1,
56)
Bes
tim
me
die
Ko
ord
ina
ten
des
Sch
nit
tpu
nkt
s S
(x|y
).
Ber
ech
ne
den
Sch
nit
tpu
nkt
mit
hilf
e d
er o
big
en B
esch
reib
un
g.
y 1 = x
2 + 2
x –
1
∧ y 2 =
x2 –
4x
+ 5
Lösu
ng:
S (1
|2)
y 1 = y
2
x2 + 2
x –
1 =
x2 – 4
x +
5
2x –
1 =
-4x
+ 5
6x –
1 =
5
6x =
6
x =
1
y =
12 + 2
· 1
– 1
y =
1 +
2 –
1
y =
2
S (1
|2)
Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit.
Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de
© 2018 Persen Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage GmbHAlle Rechte vorbehalten.
Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags.
Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprüft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus.
Covergrafik: Oliver Wetterauer Piktogramme: Stift: Marion El-Khalafawi; Ausrufeichen, Partner, Schere: Julia Flasche; Hand: Barbara Gerth; Augen: Alex KellySatz: Typographie & Computer, Krefeld
Bestellnr.: 20094DA3
www.persen.de
top related