dynamische kartellstabilität bei differenzierten gütern
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8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
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Brandenburgische Technische
Universität Cottbus - Senftenberg
Bachelorarbeit
Dynamische Kartellstabilität beidiff erenzierten Gütern
Autor, Matrikelnummer,Studiengang:
Peter Lehe
2829253Betriebswirtschaftslehre
Betreuer:
Dipl. Vw. Sören C. Schwuchow
Prof. Dr. Athanassios Pitsoulis
Cottbus, den 27. Oktober 2013
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8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
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INHALTSVERZEICHNIS I
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis II
Tabellenverzeichnis III
Symbolverzeichnis IV
1 Einleitung 1
2 Heterogene Güter 2
2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol . . . . . . . . . . 4
2.2 Bertrand-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Cournot-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Oligopol . . . . . . . . . . 11
2.5 Bertrand-Oligopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Cournot-Oligopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Monopole auf getrennten Märkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Kartelle 21
3.1 Mengenkartelle im Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Preiskartelle im Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Aussicht 35
5 Fazit 36
Quellenverzeichnis VI
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ABBILDUNGSVERZEICHNIS II
Abbildungsverzeichnis
1 Preisreaktionsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Mengenreaktionsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Gewinnmaximaler Preis und Konkurrentenverhalten . . . . . . . . . 13
4 Preisreaktionsfunktion eines Oligopolisten . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Nashgleichgewicht im diff erenzierten Preiswettbewerb . . . . . . . . 14
6 Gewinnmaximale Menge und Konkurrentenverhalten . . . . . . . . 17
7 Mengenreaktionsfunktion eines Oligopolisten . . . . . . . . . . . . . 18
8 Nashgleichgewicht im diff erenzierten Mengenwettbewerb . . . . . . 189 Symmetrisches Cournot-Kartell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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TABELLENVERZEICHNIS III
Tabellenverzeichnis
1 Auswirkung von steigendenden γ und n auf den Wettbewerb . . . . 202 Auszahlungsmatrix im Cournot-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Auszahlungsmatrix im Bertrand-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . 33
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SYMBOLVERZEICHNIS IV
Symbolverzeichnis
Variablen und Parameter
U Nutzenfunktion
α Niveauparameter
β Steigungsparamter
γ Maß für die Substituierbarkeit von Gütern
Q aggregierte Marktnachfrage
q Nachfrage
p Preis
Π Gewinn
E Erlös
C Kosten
c Grenzkosten
n Anzahl Firmen am Markt
δ Diskontfaktor
i Diskontzinssatz
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SYMBOLVERZEICHNIS V
Indizies
i Firma i
j Firma j
R Reaktion
W Wettbewerb
B Bertrand-Wettbewerb
C Cournot-Wettbewerb
M Monopol
k Kartell
ch „cheater“ – betrügende Firma
v „victim“ – betrogene Firma
cc „collectively cheat“ – gegenseitiger Betrug
t Zeitpunkt
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1 Einleitung 1
1 Einleitung
Jede Handlung eines menschlichen Individuums unterliegt der persönlichen Nut-zenmaximierung. Von der Annahme ausgehend, dass dieser Nutzen vollständig in
Geldeinheiten ausgedrückt werden kann, ist das oberste Ziel eines Unternehmens
die Gewinnmaximierung. Demzufolge ist jedes Unternehmen bemüht auf seinem
Markt die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination anzubieten. Diese ist je-
doch von einer Vielzahl verschiedener Kenngrößen abhängig, welche bereits größ-
tenteils und ausführlich in anerkannten Arbeiten von Ökonomen und Mathema-
tikern betrachtet wurden. Zu den wichtigsten Einflussfaktoren zählen hier nebender Art des Wettbewerbs, der Art der angebotenen Güter auf dem Markt und de-
ren Substitutionsbeziehungen auch die Zahl der Marktteilnehmer und besonders
deren Auswirkungen auf kooperatives Verhalten der Anbieter. Doch auch für den
Nutzen, den die Nachfrager aus dem Konsum verschiedener Produkte genießen,
gibt es unterschiedliche Ansätze. Hierbei unterstellen beispielsweise Dixit (1979)
und Shubik (1980) den Kunden einen Nutzen, der sich mathematisch mittels einer
konkaven quadratischen Funktion darstellen lässt.Wenn sich nun rechtlich selbstständige, voneinander unabhängige Unternehmen
entschließen gemeinsam mit dem verbleibenden Markt zu konkurrieren, also mit-
tels Kartellverträgen oder kollusivem Verhalten kooperieren, führt dies zu höheren
Gewinnen für die an der Absprache beteiligten Mitglieder im Vergleich zu den
Gewinnen, die sie im Wettbewerb erzielt hätten. Es ist nun zu prüfen, wie sich die
genannten Einflussgrößen auf die Stabilität einer solchen Absprache im dynami-
schen Wettbewerb auswirken.
Diese Arbeit greift Shubiks (1980) Ansatz auf und vergleicht fortführende Ausar-
beitungen mit den Ergebnissen anderer Autoren, deren Modelle ebenfalls durch die
Vorüberlegungen Antoine-Augustin Cournots, Joseph Bertrands und John Nas-
hs geprägt sind. Dafür wird zuerst der Spezialfall des Duopols im heterogenen
Mengen- und Preiswettbewerb untersucht. Unterschiede zu Ausarbeitungen von
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2 Heterogene Güter 2
Deneckere (1983/1984), Singh&Vives (1984), Majerus (1988) oder Rothschild (1992)
bestehen unter anderem in der Annahme, dass Unternehmen nicht entscheiden
können, über welchen Aktionsparameter sie am Markt konkurrieren. Weiterhin
gilt die Produktdiff erenzierung als endogene Größe, wodurch produktpolitische
Maßnahmen als Werkzeuge für die Stabilisierung kollusiven Verhaltens betrachtet
werden können. Im Anschluss wird zu einer erneuten Analyse der dynamischen
Kartellstabilität bei diff erenzierten Gütern auf einem Markt mit mehreren Anbie-
tern angeregt.
2 Heterogene Güter
Der deutsche Süßwarenproduzent Haribo GmbH & Co. KG ist heute der größte
Hersteller von Fruchtgummi und Lakritzeartikeln weltweit.1 Einer seiner Konkur-
renten ist die Mars GmbH, welche zu den führenden Anbietern von Schokorie-
geln und Schoko-Bites zählt.2 Zwar produzieren beide Firmen das Gut Süßware ,
doch unterscheiden sich die jeweiligen Produkte in Merkmalen, die Einfluss auf
die Zahlungsbereitschaft potentieller Nachfrager haben. Je geringer der Unter-
schied zwischen den angebotenen Produkten ist, desto mehr werden sie aus Sicht
der Konsumenten als Substitute wahrgenommen. Im Falle homogener Güter wä-
ren die Produkte der Firmen perfekte Substitute, d.h. das Angebot beider Firmen
wäre identisch. Die Käufer präferieren so die Ware mit dem geringsten Preis. Da
jedoch auf den meisten Märkten, wie auch auf dem Süßwarenmarkt, die angebote-
nen Produkte nicht völlig identisch sind, kann der Fall homogener Güter eher als
eine vereinfachte Darstellung der Marktsituation aufgefasst werden.
In einem heterogenen Markt gibt es zwei Arten, wie Produkte voneinander dif-
ferenziert werden können. „Falls die Eigenschaften verschiedener Güter von den
Konsumenten unterschiedlich beurteilt werden, spricht man von horizontaler Pro-
1Vgl. [LB09].2[Bun13].
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2 Heterogene Güter 3
duktdiff erenzierung.“3 Diese Unterscheidung unterliegt subjektiven Kriterien, wes-
halb der Eindruck von Merkmalen, wie beispielsweise des Designs, nicht einheitlich
ist. Auch Markennamen und deren Bekanntheitsgrad haben diesbezüglich einen
Einfluss auf das Kaufverhalten. Ein Beispiel für eine solche Diff erenzierung liefert
der Energiemarkt, auf dem Versorgungsunternehmen mit dem Gut Strom konkur-
rieren. Der Endverbraucher kann durch die alleinige Nutzung dieses Gutes keinen
Unterschied zwischen den angebotenen Substituten feststellen. Aus diesem Grund
verwenden Firmen produktpolitische Maßnahmen, wie z.B. Werbung, um ihr An-
gebot von anderen abzuheben. „Gelber Strom“ ist hierbei ein Merkmal, dass die
Yello Strom GmbH ihrem Produkt verleiht, damit Kunden durch Assoziationen
auf der Gefühlsebene das Gut Strom horizontal diff erenzieren.
Die vertikale Produktdiff erenzierung bezeichnet hingegen qualitative Unterschie-
de der Produkte. Es gilt für rational handelnde Konsumenten die Annahme, dass
sie immer die höhere Qualität bevorzugen, weshalb die niedrige Qualität nicht
nachgefragt wird, falls beide Produkte zum selben Preis angeboten werden.4 Doch
auch Unterschiede in der Qualität werden von Käufern in der Realität verschieden
wahrgenommen. So gibt es Branchen, in denen minderwertige Eigenschaften eines
Produktes bevorzugt werden, um sich beispielsweise einer gesellschaftlichen Grup-
pierung zugehörig zu fühlen. Häckner (1994) erklärt, dass allein eine unterschied-
liche Annahme der Art der Produktdiff erenzierung zu komplett gegensätzlichen
Ergebnissen bzgl. kooperativem Verhalten der Anbieter führen können. Weiter-
hin bemerkt er die Schwierigkeit beide Betrachtungsweisen gemeinsam in einem
Modell darzustellen. Aus diesen Gründen beschränkt sich diese Arbeit auf die An-
nahme, dass die Konsumenten die angebotenen Produkte horizontal diff erenzieren
und auch qualitative Unterschiede nur dem subjektiven Empfinden unterliegen.
3[Bes07], S. 18.4Vgl. [Bes07], S. 17.
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2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol 4
2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol
Im Folgenden gilt die Annahme, dass die Präferenzen der Konsumenten durch ei-
ne konkave quadratische Nutzenfunktion dargestellt werden können. So verringert
sich der Nutzenzuwachs mit jeder weiteren konsumierten Einheit, bis der maxima-
le Nutzen erreicht wird. Die Zahlungsbereitschaft der Nachfrager kann in einem
Duopol demzufolge dargestellt werden durch:
U = α
β Q − 1
2β Q2 − (q 1 − q 2)
2
2β (1 + γ ) −
2ÿi=1
q i pi, (1)
wobei q i die Nachfrage- und pi die Preisabsatzfunktion der Firma i = 1, 2 sind
und Q =2q
i=1q i die aggregierte Nachfrage auf dem Markt bezeichnet.5 Die Varia-
ble γ ∈ [0, ∞) ist ein Maß für die Substituierbarkeit der produzierten Güter. Fürγ = 0 sind die Güter unabhängig voneinander. Hierbei sind beide Unternehmen
Monopolisten auf getrennten Märkten und teilen sich im Fall identischer Kos-
tenstrukturen den gesamten Markt zu gleichen Teilen auf. Je größer γ ist, desto
mehr werden die Güter von den Konsumenten als Substitute wahrgenommen. Für
γ → ∞ sind die Produkte perfekte Substitute, weshalb der Konsument keinenNutzenverlust erleidet, wenn sich die Menge der konsumierten Güter q 1 von der
Menge q 2 unterscheidet. Je unterschiedlicher die angebotenen Produkte von den
Nachfragern wahrgenommen werden, desto kleiner ist der Parameter γ und desto
größer ist der negative Einfluss von unausgewogenen Warenkörben auf den Nut-
zen. Angenommen die Nachfrage nach den preisgleichen heterogenen Gütern q 1
und q 2 wäre gleich stark; wenn der Konsum einer weiteren Einheit q 1 den selben
Nutzenzuwachs bringt, wie der einer Einheit q 2, ist der Nachfrager immer bestrebt
von jedem Produkt auf dem Markt die gleiche Anzahl zu erlangen.
Die Frage nach der maximalen Zahlungsbereitschaft der Kunden bezüglich der
5Es gelten α,β > 0, wobei a := αβ
den Prohibitivpreis und b := 1β
den Steigungsparameterder Nutzenfunktion darstellen.
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2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol 5
nachgefragten Mengen liefert durch Auflösung des Gleichungssystems
∂ U ∂ q1∂ U ∂ q2
= 00
nach q i und pi die Nachfragefunktionen
q i = 1
2
Aα − β
31 +
γ
2
4 pi +
βγ
2 p j
B (2)
und die Preisabsatzfunktionen
pi = α
β − 1
β Q − q i − q j
β (1 + γ ) (3)
für die Firma i = 1, 2 (wobei j ”= i). Erhöht eine Firma den Preis ihres Produktes,so steigt die Nachfrage nach dem Konkurrenzprodukt, weshalb der eigene Ab-
satz sinkt. Wenn der langfristige Aktionsparameter eines Unternehmens hingegen
die Menge ist, hat eine Erhöhung des Absatzes einen positiven Einfluss auf den
Preis des anderen Gutes. In dieser Betrachtung handelt es sich also um Substitu-te. Die Situation komplementärer Güter kann durch eine andere Parametrisierung
der quadratischen Nutzenfunktion, wie der von Dixit (1979), betrachtet werden.6
Im Fall unabhängiger Güter (γ = 0) besteht kein direkter Zusammenhang zwi-
schen den Produkten. Vergleichbare Ergebnisse für den Preis- und Mengenwettbe-
werb im heterogenen Duopol liefern bereits Rothschild (1992/1997) und Lamber-
tini&Svend (1998).7 Im Sinne der monetären Nutzenmaximierung eines jeden am
Markt etablierten Unternehmens maximieren die Anbieter ihre Gewinne unter Be-
rücksichtigung der darauf folgenden Reaktionen der Konkurrenzunternehmen. Je
nach Wettbewerbsart konkurrieren die Unternehmen über den Verkaufspreis oder
die angebotene Menge. Räumliche Präferenzen von Konsumenten werden hierbei
6Vgl. [Den83], [Den84] und [SV84].7Beide Autoren verwenden eine Darstellung der Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen von
Shubik (1980), in der sie die Parameter α = β = 1 setzen.
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2.2 Bertrand-Duopol 6
nicht berücksichtigt. Es wird im Weiteren angenommen, dass die miteinander kon-
kurrierenden Unternehmen identische lineare Kostenstrukturen haben, wobei die
Fixkosten außer acht gelassen werden. Für die Kosten von Firma i = 1, 2 gilt
demzufolge C i = c · q i mit konstanten Grenzkosten von c.
2.2 Bertrand-Duopol
Im Bertrand Wettbewerb konkurrieren die Unternehmen am Markt über die Preis-
setzung miteinander. Die Gewinnmaximierung erfolgt also über die Festlegung des
Preises unter Berücksichtigung des antizipierten Verhaltens der anderen Wettbe-werber. Im Fall homogener Güter sind die angebotenen Produkte identisch, wes-
halb der Konsument sich für die preisgünstigere Alternative entscheidet. Ein sta-
biles Gleichgewicht stellt sich demnach im homogenen Bertrand Wettbewerb für
Firmen mit identischen Kostenstrukturen nur ein, wenn beide Unternehmen ihre
Produkte je zu Grenzkosten anbieten. Der Gewinn Πi jeder einzelnen Firma wäre
gleich null (Bertrand-Paradoxon).
Da heterogene Güter von den Konsumenten im Vergleich verschieden wahrgenom-men werden, bilden sie keine perfekten Substitute. Im Allgemeinen führt der Kon-
sum einer weiteren Einheit q i nicht zum selben Nutzenniveau, wie der Konsum einer
weiteren Einheit q j (i ”= j). Die Strategie einer Firma, die Konkurrenz marginalim Preis zu unterbieten und so allein die gesamte Marktnachfrage zu befriedigen,
scheitert an der fälschlichen Annahme, dass die Konsumenten ihr Kaufverhalten
lediglich nach dem Kriterium „niedrigster Preis“ auswählen. Sobald sich die Pro-
dukte subjektiv im Wert γ ∈ (0, ∞) voneinander unterscheiden, gibt es einenAnreiz den Warenkorb vielfältig zu gestalten. Das Nash-Gleichgewicht im Preis-
wettbewerb mit diff erenzierten Gütern liegt also abhängig vom Grad der Sub-
stituierbarkeit γ oberhalb der Grenzkosten c, weshalb die Unternehmen positive
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2.2 Bertrand-Duopol 7
Gewinne
Πi = pi · q i − c · q i = ( pi − c)q i (4)
generieren. Eine Begründung aus Unternehmersicht ist die mit der Heterogenität
steigende monopolistische Marktmacht. Durch das Einsetzen der Nachfragefunkti-
on (2) und Ableiten der Gewinnfunktion (4) nach den Preisen, ergeben sich aus der
Erfüllung der notwendigen Bedingung für ein Maximum die Preis-Reaktionsfunk-
tionen
pRi ( p j) = 2(α + cβ ) + cβγ
2β (2 + γ ) +
γ
2(2 + γ ) · p j (5)
als Reaktion der Firma i auf den antizipierten Preis von Firma j. Der Preis ist
hier ein Aktionsparameter mit positiver Neigung, weshalb er auch als strategi-
sches Komplement bezeichnet wird, denn wenn ein Unternehmen den Preis auf
seine angebotenen Güter erhöht, ist es für andere Unternehmen in diesem Markt
lohnenswert ebenfalls ihre Preise zu erhöhen und umgekehrt. Hierbei fällt auf,dass eine Preisänderung einen umso größeren Einfluss auf die Preise der anderen
Produkte des Marktes hat, desto ähnlicher sich die Güter sind.
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2.2 Bertrand-Duopol 8
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Abbildung 1: Preisreaktionsfunktionen
Der Punkt, in dem sich die Reaktionsfunktionen schneiden, stellt ein Nash-Gleichge-
wicht dar. „Ein Nash Gleichgewicht ist eine Situation, in der beide Anbieter opti-
mal auf den Output des anderen reagieren, sodass einseitige Verbesserungen nicht
mehr möglich sind.“8 Im Bertrand-Nash-Gleichgewicht bieten Firmen mit identi-
schen Kostenstrukturen den selben Preis
pB
= c + 2(α − cβ )β (4 + γ )
(6)
an. Die Funktion pB
(γ ) ist streng monoton fallend mit steigendem Grad der Homo-
genität und nimmt demzufolge ihren größten Wert, den Monopolpreis auf getrenn-
ten Märkten, für γ = 0 an. Für homogene Güter konvergiert der Bertrand-Preis
wie erwartet gegen die Grenzkosten.
Die sich im Gleichgewicht einstellende Produktionsmenge q B
und der aus der Preis-
8[PW06], S. 129.
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2.3 Cournot-Duopol 9
Mengen-Kombination ( pB
, q B
) entstehende Gewinn ΠB
beider Firmen lauten
q B = (α
−cβ )(2 + γ )
2(4 + γ ) (7)
ΠB
= (α − cβ )2
β ·
2 + γ
(4 + γ )2. (8)
2.3 Cournot-Duopol
Bei dem von Joseph Bertrand kritisierten Cournot Wettbewerb handelt es sich
um eine Wettbewerbsart, in der die Unternehmen über die produzierte Menge
miteinander konkurrieren. Da es jedoch Märkte gibt, in denen es realistischer ist
die Menge als langfristigen Aktionsparameter anzusehen, eignet sich das Bertrand
Modell nicht für die Allgemeinheit. „Beispielsweise ist beim Wettbewerb auf dem
Rohölmarkt wohl Mengenwettbewerb angemessen. Die Förderung und vor allem
der Transport nach, beispielsweise, Rotterdam nehmen soviel Zeit in Anspruch,
dass die Unternehmen nur über die zu liefernde Menge entscheiden können.“ 9
Demnach wählen die Unternehmen zuerst die Menge, die sie produzieren undabsetzen wollen, in Abhängigkeit der Menge der Konkurrenz. Sie reagieren auf
die antizipierten Entscheidungen der restlichen Marktteilnehmer. Die Mengen-
Reaktionsfunktion
q Ri (q j) = (α − cβ )(1 + γ )
2(2 + γ ) − γ
2(2 + γ ) · q j (9)
der Firma i ergibt sich aus der Erfüllung der notwendigen Bedingung für ein Ma-
ximum der Gewinnfunktion (4), nachdem für den Preis pi die Preisabsatzfunktion
(3) eingesetzt wurde. Wenn ein Unternehmen seinen Output erhöht, ist es für die
Konkurrenz lohnenswert ihren Output zu veringern und umgekehrt. „Aktionspa-
rameter mit negativ geneigten Reaktionsfunktionen nennt man auch strategische
9[PW06], S. 126.
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2.3 Cournot-Duopol 10
Substitute.“10 Je größer der Grad der Substituierbarkeit zwischen den Gütern ist,
desto stärker wird eine Firma auf die Outputänderung seiner Konkurrenz reagie-
ren.
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Abbildung 2: Mengenreaktionsfunktionen
Im Cournot-Gleichgewicht bieten Firmen mit identischen Kostenstrukturen die
selbe Menge
q C
= (α − cβ )(1 + γ )
4 + 3γ (10)
an. Die Funktion q C
(γ ) ist streng monoton wachsend mit steigendem Grad der
Homogenität und nimmt ihren kleinsten Wert q C
= α−cβ4
in dem Fall eines Mo-
nopols auf getrennten Märkten (γ = 0) an. Falls die produzierten Güter vollstän-
dige Substitute darstellen (γ → ∞), steigt die Menge der produzierten Güter imCournot-Gleichgewicht auf ihren größten Wert q
C = α−cβ
3 , der bei rational han-
delnden Marktteilnehmern zu erwarten ist.
Der sich im Gleichgewicht einstellende Preis pC
und der aus der Preis-Mengen-
10[PW06], S. 129.
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2.4 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Oligopol 11
Kombination ( pC
, q C
) entstehende Gewinn ΠC
beider Firmen lauten
pC = c + (α
−cβ )(2 + γ )
β (4 + 3γ ) (11)
ΠC
= (α − cβ )2
β ·
(1 + γ )(2 + γ )
(4 + 3γ )2 . (12)
2.4 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Oligopol
Als Oligopol wird die Marktform bezeichnet, in der viele Nachfrager mehreren
Anbietern gegenüberstehen. Jede der n Firmen mit identischen Kostenstrukturen
bietet nicht identische Produkte an, welche sich alle im selben Parameter γ bezüg-
lich ihrer Substituierbarkeit voneinander unterscheiden. Zur Vereinfachung wird
angenommen, dass die Substituierbarkeit der Produkte symmetrisch ist, also dass
hierbei das Maß der Produktdiff erenzierung zwischen zwei beliebigen Produkten
den selben messbaren Wert γ annimmt. Wie auch im Duopol Fall gilt die Annahme,
dass die Präferenzen der Konsumenten einer quadratischen Nutzenfunktion glei-
chen. Eine verallgemeinerte Darstellung der Nachfragefunktion (2) eines duopolis-tischen Marktes liefert einen Ansatz für die Nachfrage auf einem oligopolistischen
Markt:
q i = 1
n (α − β [ pi + γ ( pi − p)])
= 1
n
α − β
A1 +
(n − 1)γ n
B pi +
βγ
n
ÿ j”=i
p j
,
(13)
wobei p das arithmetische Mittel aller Preis darstellt. Der sich daraus herleitende
Ansatz Q =nqi=1
q i = α − β p liefert die Preisabsatzfunktion
pi = α
β − 1
β Q − 1
β (1 + γ )
ÿ j”=i
(q i − q j) (14)
einer jeden Firma.
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2.5 Bertrand-Oligopol 12
2.5 Bertrand-Oligopol
Wie auch im Zwei-Firmen-Modell von Bertrand konkurrieren die n Unternehmen
hier über den Verkaufspreis. Der Gewinn einer einzelnen Firma wird hierbei umso
stärker von den Aktionsparametersetzungen der restlichen Marktteilnehmer beein-
flusst, je größer die Zahl der Wettbewerber ist. Unter der Voraussetzung, dass alle
Anbieter die selbe Produktionstechnologie verwenden und alle Varianten des Gu-
tes im gleichen Maß γ voneinander verschiedene Substitute sind1∂ qi∂ pj
> 0 (i ”= j )2
,
können die Anbieter im Preiswettbewerb abhängig von der Produktdiff erenzierung
auch im reinen Wettbewerb Preise oberhalb der Stückkostengrenze festlegen. Die
Outputregel
q i + pi∂ q i
∂ pi= ∂ C i
∂ q i ¸˚˙ ˝ = c
∂ q i
∂ pi (15)
eines Oligopolisten im Preiswettbewerb leitet sich aus der Gewinnmaximierungs-
bedingung erster Ordnung her und zeigt, dass bei konstanten Grenzkosten der
gewinnmaximale Preis steigt, wenn ein Konkurrent seinen Preis erhöht. Die Preisewerden daher als strategische Komplemente bezeichnet.11
11Vgl. [Woe06], S. 146.
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2.5 Bertrand-Oligopol 13
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Abbildung 3: Gewinnmaximaler Preis und Konkurrentenverhalten
Quelle: [Woe06], S. 147
Da die Konsumenten zusätzlich wie im Duopol Fall einen Anreiz haben, ihren
Warenkorb ausgewogen zu gestalten und „ausgehend von einer symmetrischen Si-
tuation mit gleichen Preisen aller Varianten führt jetzt - anders als bei einem ho-mogenen Gut - eine Erhöhung des eigenes Preises nicht dazu, dass alle Nachfrager
sofort auf andere Anbieter wechseln.“12 Die folgenden beiden Abbildungen zeigen
eine grafische Herleitung einer Preisreaktionsfunktion aus der vorhergehenden Ab-
bildung und das aus der Schnittmenge zweier exemplarischer Reaktionsfunktionen
resultierende Preis-Nashgleichgewicht im diff erenzierten Preisoligolpol. Im Allge-
meinen ist ein Nashgleichgewicht am oligopolistischen Markt natürlich nicht nur
von den Reaktionsfunktionen zweier Marktteilnehmer abhängig. Die Abbildungenverdeutlichen hier jedoch das Marktverhalten der Anbieter, da es sich laut Vor-
aussetzung um n identische Firmen handelt, die jeweils die gewinnmaximierenden
Entscheidungen ihrer Konkurrenten antizipieren. In dieser vereinfachten Darstel-
lung des Oligopols treff en sich alle Reaktionsfunktionen in genau einem Punkt,
dem Preis-Nashgleichgewicht.
12[Woe06], S. 147.
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2.5 Bertrand-Oligopol 14
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Abbildung 4: Preisreaktionsfunktion eines Oligopolisten
Quelle: [Woe06], S. 148
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Abbildung 5: Nashgleichgewicht im diff erenzierten Preiswettbewerb
Quelle: [Woe06], S. 148
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2.5 Bertrand-Oligopol 15
Das Einsetzen der linearen Nachfragefunktion (13) in die Outputregel (15) liefert
unter der Annahme symmetrischer Preissetzung den gewinnmaximalen Preis
pB
= c + n(α − cβ )
β (2n + (n − 1)γ ) . (16)
Die daraus resultierenden produzierten Mengen einer jeden einzelnen Firma und
deren Gewinne betragen
q B
= (α − cβ )(n + (n − 1)γ )
n(2n + (n − 1)γ ) (17)
und
ΠB
= (α − cβ )2
β ·
n + (n − 1)γ (2n + (n − 1)γ )2 . (18)
Sowohl die Preisfunktion pB
(γ ), als auch die Gewinnfunktion ΠB
(γ ) sind streng
monoton fallend mit stetig anwachsender Substituierbarkeit der Produkte unter-
einander und nehmen ihren maximalen Wert für γ = 0 an. Die Kreuzableitung
des Gleichgewichtspreises nach dem Grad der Substituierbarkeit γ und der An-
zahl n der Anbieter ergibt, dass mit steigender Zahl der Unternehmen am Markt
keine allgemeingültige Aussage über den Einfluss der Produktdiff erenzierung auf
den Bertrandpreis getroff en werden kann. Instrumente wie Marketing oder In-
novationen in der Produktionstechnologie, zum Steuern von heuristischen oder
qualitativen Unterschieden zwischen den Produkten, beeinflussen den Marktpreis
also mehr oder weniger in Abhängigkeit von der Anzahl der Firmen am Markt
und der vom Konsumenten empfundenen Austauschbarkeit der Güter. Je mehr
Unternehmen miteinander konkurrieren, umso größer wird der relative Einfluss
der Produktpolitik auf den Gewinn einer jeden Firma. Diese Erkenntnis ist jedoch
weniger relevant, da sich die erwartete Nachfrage äquidistant unter den n identi-
schen Unternehmen aufteilt. Für n → ∞ würde der erwartete Gewinn eines jedenAnbieters gegen Null streben.
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2.6 Cournot-Oligopol 16
Fazit: In einem heterogenen Bertrand-Oligopol mit n identischen Firmen, deren
substitutive Produkte paarweise im selben Verhältnis verschieden sind, hat jeder
Anbieter einen Anreiz sein Produkt von denen der anderen Unternehmen zu di ff e-
renzieren. Je heterogener die Güter sind, umso größer sind auch der Verkaufspreis
und der Gewinn eines jeden Anbieters.
2.6 Cournot-Oligopol
„Im Mengenwettbewerb macht es keinen Sinn, die Konkurrenten zu unterbieten,weil man die dadurch entstehende Nachfrage gar nicht befriedigen kann. [. . . ] Da-
durch ist die Wettbewerbsintensität im Mengenwettbewerb kleiner als im Preis-
wettbewerb.“13 Die Outputregel
pi + q i∂ pi
∂ q i= ∂ C i
∂ q i ¸˚˙ ˝ = c
(19)
eines Oligopolisten im Mengenwettbewerb verdeutlicht die gewinnmaximierendeStrategie der Marktteilnehmer: Aufgrund sinkender Grenzerlöse14 produzieren die
Unternehmen nur solange, wie der Erlös einer verkauften Einheit größer ist als die
Produktionskosten dieser Einheit. Da es sich bei den verschiedenen Produkten um
strategische Substitute handelt, führt die Erhöhung der Outputmenge eines Kon-
kurrenten, was den Rückgang seines erwarteten Marktpreises bedeutet, zu einer
Verschiebung der eigenen Grenzerlösfunktion nach unten.15
13[Woe11], S. 140.14 ∂
2E ∂ q2i
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
23/53
2.6 Cournot-Oligopol 17
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Abbildung 6: Gewinnmaximale Menge und Konkurrentenverhalten
Quelle: [Woe11], S. 143
Je heterogener die Güter sind, desto geringer wirkt sich die Erhöhung der Ausbrin-
gungsmenge einer Firma auf die Grenzerlöse der anderen Firmen aus. Der Grund
ist auch hier die verstärkte Marktmacht, die sich aus der schwächeren Substituier-
barkeit ergibt und den Organisationen einen gewissen monopolistischen Spielraum
bietet. Die Mengen-Reaktionsfunktion eines jeden Unternehmens auf einen beliebi-
gen Konkurrenten lässt sich grafisch aus der vorhergehenden Abbildung herleiten.
Auch hier repräsentieren zwei Firmen die Gesamtheit der Anbieter, da alle n Ge-
sellschaften bis auf ihre produzierten Erzeugnisse als identisch zu betrachten sind
und jede der Reaktionsfunktionen abhängig ist von den restlichen Konkurrenten.
Alle Reaktionsfunktionen schneiden sich aus diesem Grund im n−
dimensionalen
Raum in genau einem Punkt, dem Mengen-Nashgleichgewicht.
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
24/53
2.6 Cournot-Oligopol 18
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Abbildung 7: Mengenreaktionsfunktion eines Oligopolisten
Quelle: [Woe11], S. 144
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Abbildung 8: Nashgleichgewicht im diff erenzierten Mengenwettbewerb
Quelle: [Woe11], S. 145
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
25/53
2.7 Monopole auf getrennten Märkten 19
Die sich im Gleichgewicht einstellende produzierte Cournotmenge und die daraus
resultierenden Preise und Gewinne eines jeden Unternehmens betragen
q C
= (α − cβ )(1 + γ )
2n + (n + 1)γ (20)
pC
= c + (α − cβ )(n + γ )β (2n + (n + 1)γ )
(21)
ΠC
= (α − cβ )2
β ·
(1 + γ )(n + γ )
(2n + (n + 1)γ )2. (22)
Zwar nimmt die Mengenfunktion q C (γ ) mit stetig anwachsender Substituierbarkeit
zu, doch überwiegt hierbei der Preisverfall, sodass die Gewinnfunktion ΠC
(γ ) wie
im Bertrandwettbewerb streng monoton fallend verläuft. Auch hier strebt der Ge-
winn eines jeden Produzenten gegen Null für hinreichend viele Anbieter am Markt.
Fazit: In einem heterogenen Cournot-Oligopol mit n identischen Firmen, deren
substitutive Produkte paarweise im selben Verhältnis verschieden sind, hat jeder
Anbieter einen Anreiz sein Produkt von denen der anderen Unternehmen zu dif-
ferenzieren. Je heterogener die Güter sind, umso stärker gleicht der Wettbewerb
einer monopolistischen Konkurrenz, was zur Folge hat, dass die Gewinne eines
jeden Anbieters steigen.
2.7 Monopole auf getrennten Märkten
Ein Spezialfall für die beiden zuvor behandelten Wettbewerbsarten stellt sich ein,wenn der Grad der Substituierbarkeit γ = 0 beträgt. In diesem Fall sind alle Pro-
dukte vollkommen unabhängig voneinander, weshalb die Unternehmen wie Mo-
nopolisten auf getrennten Märkten agieren können. Einem Anbieter ist es in der
Realität jedoch nicht möglich sein Produkt vollständig von den Konkurrenzpro-
dukten zu diff erenzieren, sodass diese Betrachtung eine theoretische Überlegung
bleibt und lediglich späteren Erkenntnissen dient.
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
26/53
2.7 Monopole auf getrennten Märkten 20
Ob die Unternehmen zuerst die Outputmenge, die verkauft oder produziert werden
soll, oder zuerst den Preis für ihre Produkte festlegen, ist dabei ohne Belang.
Jedoch ist zu beachten, dass keine der Firmen ein wirklicher Monopolist ist. Sie
teilen sich deshalb den Markt zu gleichen Teilen auf, denn das den Kunden zur
Verfügung stehende Budget für Konsumgüter bleibt unabhängig von der Zahl der
Anbieter konstant. So bieten die Unternehmen bei identischen Kostenstrukturen
ihre Produkte zwar zum selben Preis
pM
= c + α − cβ
2β (23)
wie in einem Monopol an, doch verteilen sich im Oligopol die abgesetzten Mengen
und die sich so durch die ( pM
, q M
)-Kombination ergebenden Gewinne
q M
= α − cβ
2n(24)
ΠM
= (α − cβ )2
4nβ (25)
gleich unter den Wettbewerbern.
Anmerkung: Der Einfluss steigender Substituierbarkeit unter den angebotenen
Gütern und steigender Anzahl der Oligopolisten am Markt auf die Preise, Mengen
und Gewinne einer jeden Firma im Bertrand- und Cournotwettbewerb wird in fol-
gender Übersicht kurz zusammengefasst und es gilt für alle γ ∈ [0 , ∞):
pB
q B
ΠB
pC
q C
ΠC
∂ ∂γ
− + − − + −∂ ∂ n
− − − − − −Tabelle 1: Auswirkung von steigendenden γ und n auf den Wettbewerb
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
27/53
3 Kartelle 21
pB
(γ ) ∈ (c , pM
] pC
(γ ) ∈1
c + α−cββ(n+1)
, pM
È
q B(γ ) ∈ [q M , 2q M ) q C (γ ) ∈ Ëq M , α−cβn+1 2Π
B(γ ) ∈ (0 , Π
M ] Π
C (γ ) ∈
1(α−cβ)2
β(n+1)2 , Π
M
È
3 Kartelle
„Kartelle sind durch vertragliche Vereinbarungen zwischen rechtlich und in vielen
Belangen auch wirtschaftlich selbstständig bleibenden Unternehmen geschaff ene
Verbände, die durch Verminderung des Wettbewerbs für gleichartige, in Konkur-
renz stehende Erzeugnisse und Leistungen die Marktlage zu beeinflussen und den
Wirtschaftserfolg der an der Vereinbarung beteiligten Unternehmungen zu sichern
oder zu erhöhen trachten.“16
Solche vertraglichen Vereinbarungen implizieren die Legalität und die rechtliche
Verbindlichkeit dieser Abmachungen, weshalb Unternehmen bei Nichteinhaltung
mit juristischen Konsequenzen zu rechnen haben. Da ein Kartell durch seinen Zu-
sammenschluss den eigenen Gewinn auf Kosten der sozialen Wohlfahrt erhöht und
somit den Wettbewerb einschränkt, sind im Allgemeinen solche Bündnisse gesetz-
lich verboten. Das hindert Unternehmen jedoch nicht daran dennoch mündliche
oder stille Absprachen zu treff en. Solch ein aufeinander abgestimmtes Verhalten
unterhalb der Vertragsschwelle wird im Allgemeinen als kollusive Absprache be-
zeichnet. Die Motivation hierbei ist die selbe, wie bei einem expliziten Kartell:
Der Gesamtgewinn der beteiligten Unternehmen soll maximiert werden, wodurch
jedes Mitglied einen höheren Gewinn generieren kann als im Wettbewerb. Ein
Beispiel liefert das bis Februar 2008 existierende Süßwarenkartell, an dem elf Süß-
warenhersteller beteiligt waren. Um auf gestiegene Rohstoff preise zu reagieren,
entschieden sich die Firmen anstatt einer unternehmerischen Lösung dazu, den
Wettbewerb untereinander auszuschalten. Höhere Produktionskosten wurden so16[May59], S. 22.
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
28/53
3 Kartelle 22
mit einer Preissteigerung von 15-25% kompensiert und auf den Konsumenten um-
gewälzt.17
In einem Markt mit n Anbietern besteht im Fall eines vollständigen Kartells unter
Einhaltung des Kartellvertrages bzw. der kollusiven Absprache kein Unterschied,
ob die Unternehmen ihren gemeinsamen Gewinn über die angebotene Menge oder
den Absatzpreis maximieren. Die Auflösung des Gleichungssystems
3∂ (Π1+···+Πn)
∂ q1, . . . , ∂ (Π1+···+Πn)
∂ qn 4T
=
30, . . . , 04T
nach den Mengen q 1, . . . , q n oder des Gleichungssystems
3∂ (Π1+···+Πn)
∂ p1, . . . , ∂ (Π1+···+Πn)
∂ pn
4T =
30, . . . , 0
4T
nach den Preisen p1, . . . , pn ergibt die Preis-Mengen-Kombination ( pk, Qk) eines
Kartells. Die sich hieraus ergebende Lösung „ist bei konstanten Stückkosten iden-
tisch mit dem Monopol-Gleichgewicht des kostengünstigsten Anbieters“.18
Bei un-terschiedlichen Stückkosten der einzelnen Kartellmitglieder produziert allein das
Unternehmen mit den geringsten Stückkosten.19 Unter der Annahme identischer
Kostenstrukturen befriedigen die Unternehmen die erwartete Marktnachfrage zu
gleichen Teilen und produzieren die selbe Ausbringungsmenge
q k = q M
= α − cβ
2n . (26)
17Vgl. [Bun13].18[PW06], S. 164.19Diese Erkenntnis setzt voraus, dass es keine Kapazitätsschranken bei der Produktion gibt.
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
29/53
3.1 Mengenkartelle im Duopol 23
Der sich im Markt einstellende Preis und die Gewinne der Firmen lauten
pk = pM = c + α
−cβ
2β (27)
Πk = Π
M =
(α − cβ )24nβ
. (28)
Im Fall eines vollständigen Kartells stellt sich auf einem oligopolistischen Markt,
unabhängig von der Produktdiff erenzierung und unabhängig vom vorliegenden
Wettbewerb, die optimale Preis-Mengen-Kombination eines monopolistischen Mark-
tes ein. So können sich die Firmen die Marktnachfrage gleichmäßig aufteilen unddieselben Gewinne generieren, wie im Fall getrennter Märkte. Wenn die Güter also
unabhängig voneinander sind (γ = 0), besteht für die Anbieter kein ökonomischer
Anreiz ein Kartell zu schließen, bzw. würde es für ein bestehendes Kartell keinen
Anreiz geben vom kooperativen Verhalten abzuweichen.
3.1 Mengenkartelle im Duopol
Konkurrierende Unternehmen haben also prinzipiell einen Anreiz sich kollusiv zu
verhalten, da sie so ihre Gewinne im Vergleich zum Wettbewerb erhöhen.20 Bei
genauer Betrachtung der folgenden Abbildung ist jedoch zu erkennen, dass die
Gerade der Kartelllösungen bis auf die Randpunkte keine der Reaktionsfunktionen
schneidet.20Es gelten die Ungleichungen Πk > Π
C > Π
B (∀γ > 0).
-
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3.1 Mengenkartelle im Duopol 24
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Abbildung 9: Symmetrisches Cournot-Kartell
Quelle: [PW06], S. 165
Da ein Bruch der Kartellabsprachen keine gesetzlichen Sanktionen nach sich zieht,
welche den Gewinn der von der kollusiven Absprache abweichenden Firma negativ
beeinflussen würde, besteht für beide Anbieter ein Anreiz den Verhandlungspartner
zu betrügen. „Analytisch kann man sich den Anreiz zum Kartellbetrug anhand der
Optimalitätsbedingungen [. . . ] verdeutlichen.“21
∂ Π(Q)
∂ q i=
∂ p(Q)
∂ q i(q i + q j) + p(Q) − c != 0
∂ p(Q)
∂ q iq i + p(Q) − c ¸ ˚˙ ˝
Grenzgewinn bei einseitiger Mengenerhöhung
= −∂ p(Q)∂ q i
q j > 0
Da eine marginale Erhöhung der Ausbringungsmenge q i zur Senkung des Markt-
preises führt, ist der Grenzgewinn bei einseitiger Mengenerhöhung positiv. Beide
Unternehmen haben also einen Anreiz eine höhere Menge als die vereinbarte Kar-
tellmenge q k anzubieten.
21[PW06], S. 165.
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
31/53
3.1 Mengenkartelle im Duopol 25
Wenn Unternehmen i überlegt die Absprachen mit seinem Partner zu brechen,
maximiert es seinen Gewinn unter der Annahme, dass Unternehmen j sich an die
Absprache hält, also einen Output q j = q k = α−cβ4 produziert. Das Einsetzen der
antizipierten Menge q j in die Reaktionsfunktion (9) von Unternehmen i liefert die
Menge
q chC
= (α − cβ )(4 + 3γ )
8(2 + γ ) (29)
und damit einhergehend den zugehörigen Marktpreis und den Gewinn
pchC
= c + (α − cβ )(4 + 3γ )
8β (1 + γ ) (30)
ΠchC
= (α − cβ )2
64β ·
(4 + 3γ )2
(1 + γ )(2 + γ ). (31)
Dieses Ergebnis unterscheidet sich von Rothschilds (1992) Ausarbeitung, wird je-
doch von Lambertini&Svend (1998) bestätigt. Der Marktpreis im Mengenwett-
bewerb bestimmt sich in Abhängigkeit von den Mengen der auf dem Markt ge-handelten Güter. Da Unternehmen i seine Ausbringungsmenge höher ansetzt als
vereinbart, liegt der Stückpreis pchC
wie erwartet unter dem Kartellpreis, jedoch
aber über dem Marktpreis des Nash-Gleichgewichts in einem nicht-kooperativen
Mengenwettbewerb. In Folge dessen haben die Konsumenten nun die Möglichkeit
eine größere Menge des Gutes i zu einem noch geringeren Preis zu kaufen als im
Vergleich zum Gut von Firma j , deren Stückpreis und Gewinn in diesem Szenario
pvC
= c + (α − cβ )
8β ·
4(1 + γ )(2 + γ ) − γ 2(1 + γ )(2 + γ )
(32)
und
ΠvC
= (α − cβ )2
32β ·
4(1 + γ )(2 + γ ) − γ 2(1 + γ )(2 + γ )
(33)
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
32/53
3.1 Mengenkartelle im Duopol 26
betragen. Da die angebotenen Güter auf dem Markt Substitute sind, hat die Er-
höhung des Outputs der einen Firma einen negativen Eff ekt auf den eigenen Preis
und somit auch auf das Angebot der Konkurrenz. Wenn nun beide Unternehmen
einen Anreiz haben von der vereinbarten Absprache abzuweichen, ergibt sich noch
ein weiteres Szenario, in dem beide die Menge q chC
produzieren. Hier stellt sich für
jedes Unternehmen der Stückpreis
pccC
= c + (α − cβ )(γ + 4)
4β (γ + 2) (34)
ein. Der sich aus der Preis-Mengen-Kombination ( pccC , q chC ) ergebende Gewinn lautet
ΠccC
= (α − cβ )2(3γ + 4)(γ + 4)
32β (γ + 2)2 . (35)
Wegen ΠC
> ΠccC
stellt diese Situation jedoch im Vergleich zum Wettbewerb eine
Verschlechterung für beide Firmen dar, weshalb hier der Konkurrenzkampf bevor-
zugt wird. Eine Darstellung aller betrachteten Szenarien in einer Auszahlungsma-
trix liefert folgendes Gefangenendilemma:22
2 k k1
k Πk, Πk ΠvC
, ΠchC
k ΠchC
, ΠvC
ΠC
, ΠC
Tabelle 2: Auszahlungsmatrix im Cournot-Duopolk - Kooperation, k - Betrug
Die dominante Strategie beider Unternehmen besteht also darin den Kooperations-
partner zu betrügen. Bei einem einmaligen Spiel werden demnach Unternehmen
ihren Konkurrenten keine Kooperation anbieten, weshalb es sich hierbei nicht um
22Hierbei gelten folgende Ungleichungen: ΠchC > Πk > Π
C > Πcc
C > Πv
C (∀γ > 0).
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
33/53
3.1 Mengenkartelle im Duopol 27
ein Nash-Gleichgewicht handelt. In der Realität ist jedoch davon auszugehen, dass
die Unternehmen in mehreren aufeinander folgenden Perioden aktiv auf dem Markt
agieren. Es ist also meistens nicht rational die Unternehmensstrategie durch einma-
liges Verhalten am Markt zu definieren. Viel mehr sind zukünftige Entscheidungen
als Reaktionen des wirtschaftlichen Auftretens der restlichen Marktteilnehmer zu
betrachten. Das macht es den Unternehmen möglich strategische Interaktionen in
Form von Drohung und Vergeltung in ihr Verhalten mit einzubeziehen.
Im vorliegenden dynamischen Spiel stellt die Handlungsalternative sc = (ΠC
, ΠC
)
ein Nash-Gleichgewicht dar. In einem endlich wiederholten Spiel muss „in der
letzten Periode [. . . ] zweifellos sc gespielt werden, unabhängig davon, ob vorher
irgendwelche Abweichungen erfolgten oder nicht.“23 Da das Verhalten also in der
vorletzten Periode nicht mehr bestraft werden kann, wird auch hier sc gespielt.
Dieser Gedanke kann induktiv bis zur Anfangsperiode fortgesetzt werden. In ei-
nem endlich wiederholten Spiel kommt es demzufolge nicht zu einer Kooperation.
Bei einem Spiel mit unendlichem Zeithorizont kann es jedoch durchaus attraktiv
für die einzelnen Unternehmen sein sich kooperativ zu verhalten, da ihnen so wei-
tere Vergeltungsstrategien zur Verfügung stehen. Die Erfüllung der Ungleichung
2 · Πk > ΠchC
+ ΠvC
für alle γ ”= 0 verhindert, dass die Firmen durch wechselsei-tiges Ausbeuten einen Vorteil gegenüber kollusivem Verhalten erlangen, weshalb
bevorzugt eine Kartelllösung angestrebt wird.24 Im weiteren Verlauf wird eine Be-
strafungsstrategie von Friedman (1971) betrachtet, die auch unter dem Namen
Trigger-Strategie bekannt ist. Bei einem von der Vereinbarung abweichenden Ver-
halten wird demnach sofort und dauerhaft die Rückkehr zum Nash-Gleichgewicht
sc ausgelöst.25 Die Stabilität kollusiver Absprachen ist also abhängig vom Wert der
Gewinne aller zukünftigen Perioden diskontiert zum aktuellen Zeitpunkt. Je größer
die Gewichtung zukünftiger Gewinne, desto größer ist auch die Wahrscheinlichkeit,
dass Kooperation ein Gleichgewicht darstellt, weil Πk > ΠW
. In einem Spiel mit un-
23[HI09] S. 132.24Vgl. [AR05], S. 9.25Vgl. [HI09], S. 132.
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
34/53
3.1 Mengenkartelle im Duopol 28
endlich vielen identischen Perioden, in denen es jeweils nur ein Nash-Gleichgewicht
sc gibt, nennt man ein Kartell oder eine kollusive Absprache „stabil“, falls es für
die beteiligten Unternehmen reizvoller ist zu kooperieren als sich abweichend zu
verhalten, also falls die Ungleichung
∞ÿt=0
δ t · Πk ≥ Πch +
∞ÿt=1
δ t · ΠW
gilt, wobei δ t = 11+itden Diskontfaktor und it den Diskontzins in Periode t dar-
stellen.26 Der Zinssatz kann zum Beispiel als Inflationsrate oder Gewinnanteil an
eingesetztem Geld für Investitionen interpretiert werden. Je größer i ist, desto
weniger sind zukünftige Gewinne heute wert, was die Kaufkraft schmälert. Ab ei-
nem hinreichend großen Diskontzins ist es lohnenswerter sofortige höhere Gewinne
Πch > Πk zu generieren und dafür in zukünftigen Perioden geringere Einkünf-
te ΠW
< Πk in Kauf zu nehmen. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist eine
kollusive Absprache stabil, falls der zugrunde liegende Diskontfaktor δ die Unglei-
chung
δ ≥ Πch − Πk
Πch − ΠW
(36)
erfüllt. Speziell in einem heterogenen Cournot-Duopol lautet die Ungleichung
δ ≥ δ C
(γ ) := (3γ + 4)2
γ 2 + 16 (γ + 1) (γ + 2) γ ∈ [0, ∞). (37)
Hierbei ist zu erkennen, dass die Stabilität einzig vom Grad der Substituierbarkeit
γ beeinflusst wird und unabhängig von den Parametern α und β ist.
Damit kooperatives Verhalten ein Nash-Gleichgewicht darstellt, darf der Diskont-
faktor δ die kritische Grenze δ C
(γ ) ∈Ë12
, 917
2 nicht unterschreiten. Je kleiner der
Funktionswert von δ C
(γ ) ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit bei zufälliger
26Da zukünftige Zinssätze it ungewiss sind, ist es effizient it = i zu schätzen. Es gilt daherδ t = δ .
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
35/53
3.1 Mengenkartelle im Duopol 29
Wahl des δ , dass die kollusive Absprache eingehalten wird. Da die Funktion auf dem
gesamten Definitionsbereich streng monoton wächst, ist ein Mengenkartell ohne
jegliche rechtliche Bindung an die Einhaltung der festgehaltenen Vereinbarungen
umso stabiler, je schlechter sich die produzierten Güter miteinander substituieren
lassen. Aus δ = 11+i
folgt, dass ein derartiges Bündnis zweier Unternehmen resistent
gegenüber abweichendem Verhalten ist, falls der Diskontzinssatz i ≤ 8(γ +1)(γ +2)(4+3γ )2
ist.
Demzufolge ist kollusives Verhalten unabhängig von jeglicher Produktdiff erenzie-
rung stabil, falls i ≤ 89 und instabil, falls i > 1 ist. Diese Ergebnisse sind äquivalent
zu denen Deneckeres (1983), obwohl dieser eine andere Parametrisierung der qua-
dratischen Nutzenfunktion eines repräsentativen Konsumenten wählt als Shubik
(1980). Die Setzung γ = − 2α1+α
bestätigt diesen Zusammenhang.27 Diese Substitu-
tion bietet den Vorteil auch komplementäre Güter zu betrachten und das Maß der
Produktdiff erenzierung γ zu normieren.
Fazit: Je homogener die gehandelten Substitute in einem heterogenen Cournot-
wettbewerb sind, desto instabiler ist die wirtschaftliche Kooperation. Der Grad der
Substituierbarkeit γ hat hierbei einen „relativ kleinen“ Einfluss auf die Einhaltung
kollusiver Absprachen, da er nur für einen Diskontzins i ∈189
, 1È die rationale Ent-
scheidung der Unternehmen beeinflusst. In der realen Wirtschaft gibt es aber kaum
Anlagemöglichkeiten, die risikolos eine Rendite von mehr als 88,89% versprechen,
weshalb davon auszugehen ist, dass gewinnmaximierende Absprachen zwischen zwei
Unternehmen eingehalten werden.
Anmerkung 1: Wenn die Unternehmen als Bestrafung für abweichendes Ver-
halten Trigger-Strategie spielen, ist die Stabilität des Kartells unabhängig vom
Zeitpunkt des antizipierten Ausbruchs. Denn sei τ ∈ {1, 2, . . . } Zeitpunkt des Aus-27Deneckere (1983) betrachtet substitutive Güter für α ∈ [−1, 0) und komplementäre Güter
für α ∈ (0, 1].
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
36/53
3.2 Preiskartelle im Duopol 30
bruchs aus dem Kartell, ist dieses stabil, falls
∞ÿt=0
δ t · Πk ≥τ −1ÿt=0
δ t · Πk + δ τ · Πch +
∞ÿt=τ +1
δ t · ΠW .
Unabhängig vom Zeitpunkt des Ausbruchs τ folgt für ein stabiles Kartell die Un-
gleichung δ ≥ Πch−ΠkΠch−Π
W
.
Anmerkung 2: Die Trigger-Strategie von Friedman (1971) wird häufig für die Un-
tersuchung von Kartellstabilität verwendet. Die Ergebnisse von Abreu (1986) und
Axelrod (2005) besagen jedoch, dass es auch e ffi zientere Bestrafungsmethoden geben
kann. Auch Farrell&Maskin (1989) zeigen, dass es für die betrogenen Unternehmen
rentabel sein kann nachzuverhandeln. Dennoch stellt diese Bestrafungsmethode ein
teilspielperfektes Gleichgewicht eines Superspiels mit unendlichem Zeithorizont dar
und liefert daher wichtige Informationen, die es ermöglichen das Marktverhalten
zu analysieren.
3.2 Preiskartelle im Duopol
Im Fall eines Preiskartells besteht ebenfalls ein Anreiz den Kooperationspartner
zu betrügen.
∂ Π( pi)
∂ pi= Q( pi) + ( pi − c)∂ Q
∂ pi
!= 0
q i + ( pi − c)∂ q i∂ pi ¸ ˚˙ ˝
Grenzgewinn bei einseitiger Preiserhöhung
= −A
q j + ( pi − c)∂ q j∂ pi
B < 0
Das Umstellen der notwendigen Optimalitätsbedingung für ein Extremum nach
dem Grenzgewinn von Firma i ergibt, dass der Gewinn bei marginaler einseitiger
Preiserhöhung sinkt. Im Umkehrschluss folgt aus einer marginalen Preissenkung
ein positiver Grenzgewinn.
Wenn Unternehmen i nun annimmt, dass Unternehmen j am vereinbarten Kar-
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
37/53
3.2 Preiskartelle im Duopol 31
tellpreis pk = c + α−cβ2β
festhält, kann es seinen Gewinn durch eine Preissenkung in
Abhängigkeit von γ maximieren. Hierbei ist zu beachten, dass die Absatzmenge
der loyalen Firma q j ≥ 0 ist, wie Rothschild (1997) die Ausführungen von Roth-schild (1992) ergänzt. Das Einsetzen des antizipierten Preises p j in die Reaktions-
funktion (5) von Unternehmen i liefert den Abweichungspreis für die betrügende
Firma, falls die loyale Firma eine positive Menge absetzt. Diese Bedingung ist
für γ ∈Ë0 , 2(1 +
√ 3)2
erfüllt.28 Wie schon Lambertini&Svend (1998) bemerkt,
korrespondiert dieser Grenzwert mit dem Deneckeres (1983), welcher das Maß der
Produktdiff erenzierung α für Substitute auf (
−1 , 0) normiert. Hier produziert das
loyale Unternehmen eine positive Menge für alle α ∈ (−0, 73 , 0]. Das Gleichge-wicht für alle homogeneren Variationen der Produkte bei abweichendem Verhalten
ergibt sich direkt aus den Gleichungen (2) und (3) unter Berücksichtigung der zu-
sätzlichen Bedingung q j = 0. Die von der kollusiven Absprache abweichende Firma
maximiert ihren Gewinn demzufolge durch die Preissetzung
pchB =
c + α − cβ
4β ·
4 + γ
2 + γ für γ ∈ I 1
c + α − cβ
2β ·
γ − 2γ
für γ ∈ I 2. (38)
28Im weiteren Verlauf bezeichnen die Intervalle I 1 =#
0 , 2(1 +√
3)"
und I 2 =#
2(1 +√
3) , ∞"eine disjunkte Zerlegung des Definitionsbereiches von γ .
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
38/53
3.2 Preiskartelle im Duopol 32
Die daraus resultierende produzierte Menge und der sich ergebende Gewinn lauten
q chB
=
α−
cβ
16 · (4 + γ ) für γ ∈ I 1
α − cβ 2
· 1 + γ
γ für γ ∈ I 2
(39)
ΠchB
=
(α − cβ )264β
· (4 + γ )2
2 + γ für γ ∈ I 1
(α − cβ )24β
· (1 + γ ) (γ − 2)
γ 2 für γ ∈ I 2
. (40)
Die Funktion ΠchB
ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig und streng mono-
ton wachsend. Ihren kleinsten Wert nimmt sie für γ = 0 an. Da die Güter in diesem
Fall vollkommen unabhängig voneinander sind und weder der Anreiz besteht ein
Kartell zu schließen, noch von bereits getroff ener kollusiver Absprache abzuwei-
chen, entspricht dieser Gewinn dem Kartellgewinn. Bei vollkommenen Substituten
unterbietet die betrügende Firma ihren Konkurrenten marginal im Preis und kann
so approximativ die gesamte Marktnachfrage auf sich ziehen.
Wie auch bei abweichendem Verhalten im Mengenkartell konsumieren die Nach-
frager eine größere Menge des Gutes i zu einem geringeren Preis als im Vergleich
zur betrogenen Firma j, deren Absatzmenge und Gewinn
q vB =
α − cβ 16
· 8 + 4γ − γ 2
2 + γ für γ ∈ I 1
0 für γ ∈ I 2(41)
ΠvB
=
(α − cβ )232β
· 8 + 4γ − γ 2
2 + γ für γ ∈ I 1
0 für γ ∈ I 2(42)
-
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3.2 Preiskartelle im Duopol 33
betragen. Da nun beide Unternehmen einen Anreiz haben, sich auf Kosten ihres
Kooperationspartners einen Vorteil zu verschaff en, verbleit das Szenario, in dem
beide Firmen ihre Produkte zum Preis pchB anbieten. Jeder Anbieter produziert so
die Menge
q ccB
=
α − cβ 8
· 4 + 3γ
2 + γ für γ ∈ I 1
α − cβ 4
· 2 + γ
γ für γ ∈ I 2
(43)
und generiert den Gewinn
ΠccB
=
(α − cβ )232β
· (4 + γ ) (4 + 3γ )
(2 + γ )2 für γ ∈ I 1
(α − cβ )28β
· γ 2 − 4
γ 2 für γ ∈ I 2
. (44)
Es gilt zwar ΠccB
> ΠB
, jedoch führt die Frage nach der besten Reaktion auf beidsei-
tiges Abweichen von der vereinbarten Strategie zum Nashgleichgewicht im Bert-
randwettbewerb. Wie auch im Cournot-Duopol besteht die dominante Strategie
beider Unternehmen im folgenden Gefangenendilemma darin, den Kooperations-
partner zu betrügen.29
2 k k1
k Πk, Πk ΠvB
, ΠchB
k ΠchB
, ΠvB
ΠB
, ΠB
Tabelle 3: Auszahlungsmatrix im Bertrand-Duopolk - Kooperation, k - Betrug
Auch hier ist wegen 2 · Πk > ΠchB
+ ΠvB
für alle γ > 0 ein Vorteil aus wech-
29Hierbei gelten folgende Ungleichungen: ΠchB > Πk > Πcc
B > Π
B > Πv
B (∀γ > 0).
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
40/53
3.2 Preiskartelle im Duopol 34
selseitigem Ausbeuten ausgeschlossen. Kollusive Absprache unter der Annahme
von Friedmans (1971) Trigger-Strategie kann nur stabil sein, falls im wiederholten
Spiel ein unendlicher Zeithorizont vorliegt. Das Einsetzen der Gewinnfunktionen
(8), (28) und (40) in das Folk-Theorem (36) liefert speziell in einem heterogenen
Bertrand-Duopol die Ungleichung
δ ≥ δ B
(γ ) :=
(4 + γ )2
γ 2 + 16γ + 32 für γ ∈ I 1
(4 + γ )2 (γ 2 − 2γ − 4)2 (γ 4 + 3γ 3
−2γ 2
−32γ
−32)
für γ ∈ I 2(45)
für eine stabile Koalition. Die Beständigkeit gewinnmaximierender Absprachen
zwischen den Anbietern nimmt mit dem Grad der Substituierbarkeit
γ ∈Ë0 , 4
3
12 +
√ 1022
ab und ist für γ ∈143
12 +
√ 102
, ∞2
streng monoton
wachsend. So ergibt sich für δ B
(γ ) der kompakte WertebereichË12
, 0, 6098È. Auch
Deneckere (1983) zeigt, dass ein moderater Homogenitätsgrad zwischen den Gü-
tern eine besonders hohe Gewichtung zukünftiger Gewinne erfordert, um kollusive
Absprachen resistent gegenüber äußeren Einflüssen zu halten. Am stabilsten istein solches Kartell für sehr ähnliche oder vollkommen verschiedene Produkte. Aus
δ = 11+i
ergibt sich als kritische Obergrenze für den Diskontzins eines widerstands-
fähigen Kartells
iB
=
8 (2 + γ )
(4 + γ )2 für γ ∈ I 1
γ 4
(4 + γ )2 (γ 2 − 2γ − 4)für γ
∈I 2
.
Somit ist kollusives Verhalten stabil für i < 1625
und instabil für i > 1.
Fazit: Je gemäßigter der Grad der Substituierbarkeit zwischen den gehandelten
Gütern in einem heterogenen Bertrandwettbewerb ist, desto instabiler wird die
wirtschaftliche Kooperation. γ hat hierbei einen „relativ kleinen“ Einfluss auf die
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
41/53
4 Aussicht 35
Einhaltung kollusiver Absprachen, da er nur für einen Diskontzins i ∈Ë1625
, 1È
die
rationale Entscheidung der Unternehmen beeinflusst. Da eine Inflationsrate oder
ein Investitionszinssatz von 64% in einer stabilen Marktwirtschaft als eher unrea-
listisch betrachtet wird, ist von der Annahme auszugehen, dass gewinnmaximieren-
de Absprachen zwischen zwei Unternehmen eingehalten werden.
4 Aussicht
„In einem Markt mit mehr als 2 Firmen ist jedoch nicht klar, ob alle Firmen dem
Kartell beitreten werden. Da das Kartell den Output reduziert, erhöht sich die
verbleibende Nachfrage für die Anbieter, die nicht dem Kartell angehören.“30 In
einem oligopolistischen Markt kann also der Anreiz, mit einem bestehenden Kar-
tell zu konkurrieren, größer sein als diesem beizutreten. Aus diesem Grund sind
im Allgemeinen nicht alle Unternehmen eines Marktes an kollusiven Absprachen
beteiligt. Anders als bei allumfassenden Kartellen, wie im Zwei-Firmen-Fall, un-
terscheidet sich die Kartellsituation von einem Anbietermonopol. Die Frage nach
einem stabilen Kartell bezieht sich demzufolge in erster Linie auf die optimale An-
zahl der Mitglieder, die an wettbewerbseinschränkenden Vereinbarungen beteiligt
sind. Eine solche Gemeinschaft von Unternehmen hat seine stabile Größe erreicht,
wenn genau zwei Bedingungen erfüllt sind. Zum einen darf für kein Mitglied der
Anreiz bestehen, von der kollusiven Absprache abzuweichen und gegen das Kar-
tell zu konkurrieren. Zum anderen darf es für einen Außenseiter nicht attraktiv
sein, dem Kartell beizutreten. Das Kartell heißt dann intern und extern stabil.
Diese minimale und maximale Anzahl an Kartellmitgliedern ist abhängig von der
Menge der Anbieter und von der Diff erenzierung der Güter, weshalb sich ein In-
tervall für den Kartellgewinn in Abhängigkeit von n und γ ergibt. Die darauf
folgende Untersuchung des Folk-Theorems (36) liefert andere Ergebnisse als die
von beispielsweise Majerus (1988), welcher im Oligopol von einem allumfassenden
30[Bes07], S.137.
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
42/53
5 Fazit 36
Kartell ausgeht. Doch bereits Hirt (1999) zeigt, dass Kartelle in einem heterogenen
Bertrand-Oligopol meist nicht alle Anbieter an der kollusiven Absprache teilneh-
men lassen. Es verbleibt zu untersuchen, ob die Wirkung produktpolitischer Maß-
nahmen auf die Diff erenzierung von Gütern mit steigender Anzahl an Firmen einen
wachsenden oder fallenden Einfluss auf Kartellstabilität hat. Eine weitreichendere
Verallgemeinerung stellt die Untersuchung asymmetrischer Grade der Substituier-
barkeit γ ij dar. So ist es möglich verschiedene Märkte gemeinsam zu betrachten
oder das Marktverhalten von Mehrproduktunternehmen zu untersuchen. Auch das
Einbeziehen statistischer Elemente in Nachfrage- und Kostenstrukturen trägt zu
einer Annäherung an die Realität bei.
5 Fazit
Die Untersuchung von Superspielen im heterogenen Preis- und Mengenwettbe-
werb mit zwei Firmen weist für die Anbieter einen starken Anreiz auf, sich an
kollusive Vereinbarungen zu halten. In beiden Wettbewerbsarten gilt, dass Kartel-
le stabil sind, wenn horizontal diff erenzierte Substitute einen hinreichend hohen
Heterogenitätsgrad besitzen. Unabhängig von einer wirtschaftlichen Kooperation
generieren Wettbewerber umso größere Gewinne, desto verschiedener und innova-
tiver ihre Produkte sind. So dienen produktpolitische Maßnahmen zur Stärkung
der wirtschaftlichen Position am Markt auch der Festigung kollusiver Absprachen.
Hierbei ist zu bemerken, dass die Diff erenzierung von Produkten nur bis zu einem
gewissen Grad vorgenommen werden kann. Die Homogenisierung der Güter ist im
Vergleich wesentlich leichter und preiswerter.
Nur im Preiswettbewerb begünstigt auch starke Homogenität ein stabiles Kartell.
Hier ist es im Sinne einer illegalen Kooperation zwar effizienter seine Produkte
denen der Konkurrenz anzugleichen, jedoch deutet ein solches Verhalten auf eine
wettbewerbseinschränkende Motivation hin. Doch auch bei moderater Homogeni-
tät ist im Bertrand-Duopol kollusives Verhalten stabil, wenn auch am instabilsten
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
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5 Fazit 37
im Vergleich zu den Fällen sehr starker und sehr schwacher Substitute. Es liegt
die Vermutung nahe, dass sich für mehrere Unternehmen am Markt ein ähnliches
Ergebnis einstellen wird. Hirt (1999) zeigt sogar, dass in weiten Bereichen des Ho-
mogenitätsgrades bei hinreichend vielen Anbietern kein einziges stabiles Kartell
nachgewiesen werden kann.
Zudem wird eine Kartellbildung in der Realität auch noch durch Unsicherheiten
erschwert, die sich aus einem unvollkommenen Markt ergeben. So folgen aus fehlen-
der Markttransparenz beispielsweise verzögerte Reaktionen der Wettbewerber auf
abweichendes Verhalten, was es für Kooperationspartner noch attraktiver macht
kollusive Absprachen zu brechen. Des Weiteren agiert ein Kartell im allgemeinen
nicht als Marktführer. Würden die Außenseiter-Firmen erst auf den Kartellvertrag
reagieren, ist es wahrscheinlich, dass auch Wettbewerbsbehörden von der wirt-
schaftlichen Kooperation erfahren und Strafen gegen die beteiligten Unternehmen
verhängen. Ein Anreiz zur Aufdeckung oder Vorbeugung von kollusiven Abspra-
chen stellt die Kronzeugenreglung des Bundeskartellamtes dar. Hiernach werden
Unternehmen für die Anzeige von Kartellen, an denen sie selbst beteiligt sind,
mit bis zu vollständiger Straff reiheit belohnt. So entgingen im Jahr 2008 die Mars
GmbH und die Alfred Ritter GmbH & Co. KG einer Beteiligung am 60 Mio. Eu-
ro Bußgeld, welches gegen neun weitere Süßwaren Hersteller verhängt wurde. Mit
dieser 1996 eingeführten Regelung konnte ein wirksamer Anreiz für Unternehmen
geschaff en werden, aus einem Kartell auszutreten und ihre Kooperationspartner
in Superspielen zu betrügen. Es verbleibt jedoch zu untersuchen, ob nicht gerade
das Wissen um eine Absolution die Hemmschwelle für Unternehmen herabsetzt,
sich kollusiv zu verhalten. So können für eine gewisse Zeit Kartellgewinne generiert
werden, bevor eine betrügende Firma straff rei zum Wettbewerb zurückkehrt.
-
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44/53
QUELLENVERZEICHNIS VI
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-
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Anhang A
1 %{2 M A T LA B - P R O G R A M M I E R C O D E
3
4 N ac h fr a ge - u n d P r e i s a bs a t z f u n kt i o n e n i m D u o po l
5 V ar ia bl en a b c g p 1 p 2 q1 q 2 i ni ti al is ie re n
6 F un k ti o n U d e fi n ie r en
7 U p ar ti el l a bl ei te n n ac h q 1 u nd q 2
8 G l e i c h un g s s y s te m n a ch ( q 1 , q 2 ) l \ " o s en
9 G l e i c h un g s s y s te m n a ch ( p 1 , p 2 ) l \ " o s en
10 E rg e b n is : N a ch f r ag e - u n d P r e i s a b sa t z f u n kt i o n e n b e i de r F i r me n
11
12 %}
13 syms a b c g p1 p2 q1 q2 ;
14 U = a / b * ( q 1 + q 2 ) - 1 / ( 2 * b ) * ( q 1 + q 2 ) ^ 2 - ( q 1 - q 2 ) ^ 2 / ( 2 * b * ( 1 + g ) ) - q 1 * p 1 - q 2 * p 2 ;
15 L G S = s o lv e ( d i f f ( U , q 1 ) == 0 , d i f f ( U , q 2 ) == 0 , q 1 , q 2 ) ;
16 q 1 = L G S . q 1 ;
17 q 2 = L G S . q 2 ;
18 p r e t t y ( q 1 ) , p r e t t y ( q 2 ) ,
19 syms a b c g p1 p2 q1 q2 ;
20 U = a / b * ( q 1 + q 2 ) - 1 / ( 2 * b ) * ( q 1 + q 2 ) ^ 2 - ( q 1 - q 2 ) ^ 2 / ( 2 * b * ( 1 + g ) ) - q 1 * p 1 - q 2 * p 2 ;
21 L G S = s o lv e ( d i f f ( U , q 1 ) == 0 , d i f f ( U , q 2 ) == 0 , p 1 , p 2 ) ;
22 p 1 = L G S . p 1 ;
23 p 2 = L G S . p 2 ;
24 p r e t t y ( p 1 ) , p r e t t y ( p 2 )
25
26 %{
27 B e r t ra n d - N a s h g l e i c h ge w i c h t i m D u o po l
28 V ar ia bl en a b c g p 1 p 2 q1 i ni ti al i si er en
29 N a c h f r ag e f u n k ti o n q 1 d e f i ni e r e n
30 G e w i n n fu n k t i on P i 1 d e f i ni e r e n
31 q 1 i n P i1 e i ns e tz e n
32 P i1 n ac h p 1 a b le i te n
33 p 2 d u rc h p 1 e rs et ze n , G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h p 1 u m st e ll e n
-
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34 p 1 = p2 i n q 1 e i ns e tz e n
35 p 1 = p2 i n P i1 e i ns e tz e n
36 E r g eb n i s : B e r tr a n dp r e is , - m e ng e , - g e w in n37 ( \ " A q u i va l e n t e V o r g e he n s w e is e i m O l i g op o l m i t n P r ei s - M e ng e n -
K o m b i n a t i o n e n )
38
39 %}
40 syms a b c g p1 p2 q1 ;
41 q 1 = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 1 + b * g /2 * p 2 ) ;
42 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;
43 p B = s i m p li f y ( s o l v e ( s u bs ( d i f f ( P i1 , p 1 ) , p2 , p 1 ) = = 0 , p 1 ) ) ;
44 q B = s i m p li f y ( s u b s ( q1 , { p 1 , p 2 } , { p B , p B } ) ) ;
45 P i B = s i m pl i f y ( s u bs ( P i 1 , { p 1 , p 2 } , { pB , p B } ) ) ;
46 p r e t t y ( p B ) , p r e t t y ( q B ) , p r e t t y ( P i B )
47
48 %{
49 C o u rn o t - N a s h g l e i c hg e w i c h t i m D u o po l
50 V ar ia bl en a b c g p 1 q 1 q2 i ni ti al i si er en
51 P re i s a b s at z f u n k ti o n p 1 d e f i ni e r e n
52 G e w i n n fu n k t i on P i 1 d e f i ni e r e n
53 p 1 i n P i1 e i ns e tz e n
54 P i1 n ac h q 1 a b le i te n
55 q 2 d u rc h q 1 e rs et ze n , G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h q 1 u m st e ll e n
56 q 1 = q2 i n p 1 e i ns e tz e n
57 q 1 = q2 i n P i1 e i ns e tz e n
58 E r g eb n i s : C o u rn o t pr e i s , - m en g e , - g e w i nn
59 ( \ " A q u i va l e n t e V o r g e he n s w e is e i m O l i g op o l m i t n P r ei s - M e ng e n -
K o m b i n a t i o n e n )
60
61 %}
62 syms a b c g p1 q1 q2 ;
63 p 1 = a / b - 1/ b * ( q 1 + q 2 ) - ( q1 - q 2 ) / ( b * ( 1 + g ) ) ;
64 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;
65 q C = s i m p li f y ( s o l v e ( s u bs ( d i f f ( P i1 , q 1 ) , q2 , q 1 ) = = 0 , q 1 ) ) ;
66 p C = s i m p li f y ( s u b s ( p1 , { q 1 , q 2 } , { q C , q C } ) ) ;
-
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67 P i C = s i m pl i f y ( s u bs ( P i 1 , { q 1 , q 2 } , { qC , q C } ) ) ;
68 p r e t t y ( q C ) , p r e t t y ( p C ) , p r e t t y ( P i C )
69
70 %{
71 A b w e i ch e n d e s V e r h al t e n i m M e n g e nk a r t e ll ( D u o p o l )
72 V ar ia bl en a b c g p 1 p 2 q1 q 2 i ni ti al is ie re n
73 q 2 = K a r t e l l m e n g e
74 P re i s a b s at z f u n k ti o n p 1 d e f i ni e r e n
75 P re i s a b s at z f u n k ti o n p 2 d e f i ni e r e n
76 G e w i n n fu n k t i on P i 1 d e f i ni e r e n
77 p 1 i n P i1 e i ns e tz e n
78 P i1 n ac h q 1 a b le i te n
79 G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h q 1 u m st e ll e n
80 q1 i n p 1 e in se tz en
81 q 1 i n P i1 e i ns e tz e n
82 E r g e b n i s : C o u r no t a b w ei c h u n gs p r e i s , - m en g e , - g e wi n n ,
C o u r n o t v i c t i m p r e i s , - g e w i n n
83
84 %}
85 syms a b c g p1 p2 q1 q2 ;
86 q 2 = ( a - c * b ) / 4 ;
87 p 1 = a / b - 1/ b * ( q 1 + q 2 ) - ( q1 - q 2 ) / ( b * ( 1 + g ) ) ;
88 p 2 = a / b - 1/ b * ( q 1 + q 2 ) - ( q2 - q 1 ) / ( b * ( 1 + g ) ) ;
89 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;
90 q c C = s i m pl i f y ( s o l ve ( d i f f ( P i1 , q 1 ) = =0 , q 1 ) ) ;
91 p c C = s i m p l i f y ( s u b s ( p 1 , q 1 , q c C ) ) ;
92 P i c C = s i m p l i f y ( s u b s ( P i 1 , q 1 , q c C ) ) ;
93 p v C = s i m p l i f y ( s u b s ( p 2 , q 1 , q c C ) ) ;
94 P i v C = s i m p l i f y ( ( p v C - c ) * q 2 ) ;
95 p r e tt y ( q c C ) , p r e t ty ( p c C ) , p r e t ty ( P i c C ) , p r e t ty ( p v C ) , p r e t t y ( P i vC )
96
97 %{
98 A b w e i ch e n d e s V e r h al t e n i m P r e i sk a r t e ll ( D u o p ol )
99 V ar ia bl en a b c g p 1 p 2 q1 q 2 i ni ti al is ie re n
100 N a c h f r ag e f u n k ti o n q 1 d e f i ni e r e n
-
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50/53
101 N a c h f r ag e f u n k ti o n q 2 d e f i ni e r e n
102 G e w i n n fu n k t i on P i 1 d e f i ni e r e n
103 q 1 i n P i1 e i ns e tz e n104 P i1 n ac h p 1 a b le i te n
105 G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h p 1 u m st e ll e n
106 p1 i n q 1 e in se tz en
107 p 1 i n P i1 e i ns e tz e n
108 E r g e bn i s : B e r t r an d a b w ei c h u n gs p r e i s , - m e ng e , - g e w in n
109
110 %}
111 syms a b c g p1 p2 q1 q2 ;
112 p 2 = c + ( a - c * b ) / ( 2 * b )
113 q 1 = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 1 + b * g /2 * p 2 ) ;
114 q 2 = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 2 + b * g /2 * p 1 ) ;
115 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;
116 p c B = s i m pl i f y ( s o l ve ( d i f f ( P i1 , p 1 ) = =0 , p 1 ) ) ;
117 q c B = s i m p l i f y ( s u b s ( q 1 , p 1 , p c B ) ) ;
118 P i c B = s i m p l i f y ( s u b s ( P i 1 , p 1 , p c B ) ) ;
119 q v B = s i m p l i f y ( s u b s ( q 2 , p 1 , p c B ) ) ;
120 P i v B = s i m p l i f y ( ( p 2 - c ) * q v B ) ;
121 p r e tt y ( p c B ) , p r e t ty ( q c B ) , p r e t ty ( P i c B ) , p r e t ty ( q v B ) , p r e t t y ( P i vB )
122
123 %{
124 Ab w ei c he n de s V e rh a lt e n i m P r ei s ka r te l l ( D u op o l ) , f al l s q 2 =0
125 V ar ia bl en a b c g p 1 p 2 q1 q 2 i ni ti al is ie re n
126 P re i s a b s at z f u n k ti o n p 2 d e f i ni e r e n
127 q 2 = 0 s e t ze n
128 G l e i c h un g s s y s te m n a ch ( q 1 , p 1 ) l \ " o s en
129 E r g e bn i s : B e r t r an d a b w ei c h u n gs p r e i s , - m e ng e , - g e w in n .
B e r t r a n d v i c t i m m e n g e , - g e w i n n
130
131 %}
132 syms a b c g p1 p2 q1 q2 ;
133 p 2 = c + ( a - c * b) / ( 2 * b ) ;
134 q 2 = 0 ;
-
8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern
51/53
135 L S = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 1 + b * g /2 * p 2 ) ;
136 R S = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 2 + b * g /2 * p 1 ) ;
137 L G S = s o lv e ( L S = = q1 , R S = = q 2 , q 1 , p 1 ) ;138 q c B = s i m p l i f y ( L G S . q 1 ) ;
139 p c B = s i m p l i f y ( L G S . p 1 ) ;
140 P i c B = s i m p l i f y ( ( p c B - c ) * q c B ) ;
141 p r e t t y ( q c B ) , p r e t t y ( p c B ) , p r e t t y ( P i c B )
Anhang B
Preisabsatzfunktion im Oligopol
q i = 1
n (α − β [ pi + γ ( pi − p)]) = 1
n
α − β
A1 +
(n − 1)γ n
B pi +
βγ
n
ÿ j”=i
p j
j ∈ {1, . . . , n} , j ”= i :
q i − q j = 1n
β ( p j − pi) + n − 1
n βγ ( p j − pi) + βγ
n ( p j − pi)
¸ ˚˙ ˝ βγ ( pj− pi)
= 1
nβ (1 + γ ) ( p j − pi)
=⇒ pi − p j = n (q j − q i)β (1 + γ )
=⇒ pi = 1n
nÿ
i=1
pi +ÿ j”=i
( pi − p j) = α
β − 1
β Q − 1
β (1 + γ )
ÿ j”=i
(q i − q j)
-
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Trigger-Strategie
Sei τ ∈
{1, 2, . . . } Zeitpunkt des Ausbruchs aus dem Kartell, ist dieses stabil, falls∞ÿt=0
δ t · Πk ≥τ −1ÿt=0
δ t · Πk + δ τ · Πch +∞ÿ
t=τ +1
δ t · ΠW
Πk
1
1 − δ ≥ Πk
1 − δ τ 1 − δ + δ
τ · Πch + ΠW δ τ +1
1 − δ Πk ≥ Πk(1 − δ τ ) + δ τ Πch − δ τ +1Πch + ΠW δ τ +1
0 ≥ δ τ 1Πch − Πk
2− δ τ +1
1Πch − ΠW
2
δ ≥ Πch
− Πk
Πch − ΠW
-
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Selbstständigkeitserklärung
Der Verfasser erklärt, dass er die vorliegende Arbeit selbstständig, ohne fremde
Hilfe und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt
hat. Die aus fremden Quellen (einschließlich elektronischer Quellen) direkt oder
indirekt übernommenen Gedanken sind ausnahmslos als solche kenntlich gemacht.Die Arbeit ist in gleicher oder ähnlicher Form oder auszugsweise im Rahmen einer
anderen Prüfung
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