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Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie I - Teil IV: Die atmosphärischen Zustandsvariablen

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Gliederung der Vorlesung 0 Allgemeines I Einführung II Zusammensetzung und Aufbau der Atmosphäre III Strahlung IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen V Thermodynamik der Atmosphäre ----------------------------------------------------- VI Dynamik der Atmosphäre VII Atmosphärische Grenzschicht VIII Synoptische Meteorologie

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IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen IV.1 Luftdruck IV.2 Windgeschwindigkeit IV.3 Temperatur IV.4 Feuchte

4

IV.3 Temperatur 1.  Thermodynamische Systeme und Hauptsätze 2.  Thermodynamische Potenziale und spezifische Wärmen 3.  Vertikalbewegungen 4.  Temperaturmessung

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IV.3.1 Thermodynamische Systeme und Hauptsätze •  Bei Luftvolumina interessiert uns meteorologisch (meist) nicht das einzelne

Molekül, dessen Position und Geschwindigkeit; wir interessieren uns nur für deren statistischen Eigenschaften.

•  Druck, Temperatur und Dichte sind solche statistischen Eigenschaften, die man aus der Anzahldichte und den Zuständen der einzelnen Moleküle (Impuls, kinetische Energie, Rotationsenergie etc.) ableiten kann.

•  Ein Luftvolumen, für das wir diese statistischen Eigenschaften bestimmen können, nennen wir thermodynamisches System, und die statistischen Eigenschaften, die seinen Zustand beschreiben - wie p, T, V und n, oder die eng mit T verknüpfte innere Energie u = cvT - nennen wir thermodynamische Zustandsgrößen.

•  Thermodynamische Zustandsgrößen sind i.a. abhängig voneinander (siehe Gasgleichung pV=nRT).

•  Ein thermodynamisches System ist im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn alle Zustandsgrößen mit der Zeit konstant bleiben.

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Die Temperatur ist die thermodynamische Zustandsgröße, welche den Wärmezustand eines thermodynamischen Systems kennzeichnet.

Hieraus folgt – oder dies folgt aus der Erfahrung:

Sind zwei thermodynamische Systeme miteinander in Kontakt, so streben sie die gleiche Temperaturen an, die dann im thermodynamischen Gleichgewicht erreicht wird.

0-ter Hauptsatz der Thermodynamik

Der Zustand eines thermodynamischen Systems sei durch k unabhängige thermodynamische Zustandsgrößen eindeutig bestimmt. Ø  Dann ist sein Zustand ein Punkt in einem

Raum, aufgespannt durch diese Zustands-größen – genannt der Zustandsraum.

Für Luft als ideales Gas gilt k=3, denn die ideale Gasgleichung lautet denn durch jeweils 3 Zustandsgrößen ist jede andere Zustandsgröße festgelegt. Bei n=const (Masse bleibt konstant) gilt T=T(p,V), d.h. der Zustand kann dann als 2-dimensionaler Raum (p,V) visualisiert werden (siehe Abbildung). V

p

T(n=const,p,V)

Thermodynamische Zustandsgrößen und Zustandsraum Dann gilt für die Temperatur T als

weitere Zustandsvariable:

...was man auf weitere Zustands-variablen erweitern kann, z.B. auf u=cvT (innere Energie) oder h=cpT (Enthalpie).

ΔT = dT = 0beliebiger

geschlossenerWeg im

Zustandsraum

!∫entlang eines

beliebigengeschlossenen

Weges im Zustandsraum

∑

T = T (n, p,V ) = pV nR* ,

dT ( p,V )!∫ =

∂∂p∂∂V

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

T ⋅dp

dV

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

!∫ =!∇T ⋅d!s !∫

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Zustandsgrößen und vollständiges Differenzial

Da die Temperatur als Zustandsvariable (bei n=const) vollständig durch ihre Abhängigkeit von p und V beschreibbar ist, folgt weiter (Kettenregel):

0 = dT!∫ = dT ( p,V )!∫ = ∂T∂pdp + ∂T

∂VdV

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟!∫

p

V

dV

dp

Der Nabla-Operator ist hier auf die Ableitung nach den unabhängigen thermodynamischen Zustandsva-riablen p und V als Koordinaten verallgemeinert worden:

Die ursprünglichen Raumkoordi-naten (x, y, z) sind durch Koordinaten, die den Zustand eines Systems (p,V) - und seinen Weg im Zustandsraum ds –beschreiben, ersetzt worden.

d!s

Der Ausdruck dT ( p,V ) = ∂T∂pdp + ∂T

∂VdV

beschreibt die Änderung einer Zustandsvariablenin Abhängigkeit von einem vollständigen Satz voneinander unabhängigen Zustandsvariablen.Der Ausdruck heisst vollständiges Differenzialund gilt so nur für Zustandsvariablen.

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Ausdehnungsarbeit eines Gases

Dehnt sich ein Luftvolumen aus (und verschiebt dabei angrenzende Luft bei dem an der Grenzfläche herrschenden Druck p), so leistet die Luft Arbeit.

V → V + ΔV

Betrachte nun sehr kleine Volumenänderungen (ΔV→dV): A → δA = pdV Wichtig: Wir benutzen hier δA (anstatt dA) als infinitesimales Inkrement. Das d ist vollständigen Differenzialen vorbehalten, und damit Zustandsgrößen wie der Temperatur. Wir werden im Folgenden sehen, dass die an/von einem thermodynami-schen System geleistete Arbeit keine Zustandsgröße ist – denn sie hängt vom Weg des Systems im Zustandsraum ab.

Betrachte das Integral

pdVV

V +ΔV

∫ = KraftQ

QdxdV!

V

V +ΔV

∫ = Kraft dx = A Arbeitx

x+Δx

∫Q (Quer-schnitt)

Δs (Weg)

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Geleistete Arbeit ist keine Zustandsvariable eines thermodynamischen Systems

δA∫ = pdV∫ = pdV1

2

∫p2 (V2−V1)

+ pdV2

3

∫0

+ pdV

3

4

∫p1(V1−V2 )

+ pdV4

1

∫0

δA∫ = ( p2 − p1)(V2 −V1) > 0

Über den geschlossenen Weg im Zustandsraum verändert sich alsodie Arbeit A; das Gas leistet netto Arbeit in diesem "Kreisprozess".

δ A!∫ ≠ 0 , damit ist die geleistete Arbeit A

keine Zustandgröße eines idealen Gases.

2

VV1 V2

p2

p1

p

3

1

4

Denn: Betrachte die Arbeit entlang eines geschlossenen Weges im Zustandsraum eines idealen Gases, aufgespannt durch die Zustandsvariablen p und V:

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Quelle der Ausdehnungsarbeit und Auswirkung auf die Temperatur

Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre Richtung; ihre kinetische Energie (m/2 v²) bleibt dabei konstant und damit auch die Temperatur im Volumen. Bewegt sich die Wand aber durch den Druck der Moleküle nach rechts, so haben die reflektierten Moleküle eine geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist, nimmt die Temperatur im Volumen ab.

Die Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt also zur Abnahme der Temperatur des Gases.

Die kinetische Energie der Moleküle ist also eine interne Energie des Gases. Bei der Ausdehnung eines idealen Gases wird diese interne Energie für die Ausdehnungsarbeit aufgewendet. (→ Erster Hauptsatz der Wärmelehre)

Dehnt sich ein Luftvolumen gegen angrenzende Luft aus, so wird sie den Impuls der Moleküle dieser Luft verändern auf Kosten der kinetischen Energie der eigenen Moleküle.

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1. Hauptsatz der Thermodynamik

allgemein dU = δQ - δA oder du = δq - δaideales Gas CvdT = δQ − pdV

(spezifisch) cvdT = δq − pd 1ρ

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = δq − pdα

•  Führt man einem idealen Gas die Wärmemenge ΔQ zu, so kann das Gas diese in Ausdehnungsarbeit ΔA und eine Form der internen Energie – die innere Energie U – umwandeln: ΔQ = ΔA + ΔU = p ΔV + ΔU

•  Die innere Energie U eines idealen Gases ist nur von der Tempe-

ratur abhängig (U=U(T)) und damit auch eine Zustandsvariable; es gilt U=CvT mit Cv der Wärmekapazität des Gases bei konstantem Volumen ([Cv]=J/K).

•  Wir führen massenspezifische Größen ein, also Q→q=Q/m, A→a=A/m, U→u=U/m, Cv→cv=Cv/m=718 J/(kgK) für Luft mit m Masse, und betrachten infinitesimal kleine Änderungen:

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Adiabatische und diabatische Zustandsänderungen

•  Eine Zustandsänderung eines thermodynamischen Systems wird als adiabatisch bezeichnet, wenn keine Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also δQ=0 oder δq=0 .

•  Dann gilt offensichtlich δQ=0=pdV + cpdT oder dT/dV = -p/cp

•  Erfolgt die Zustandsänderung mit Wärmezu- oder -abfuhr, so spricht man von diabatischen Zustandsänderungen.

Carnot-Kreislauf •  Der Carnot-Kreisprozess ist ein idealisierter geschlossener

Zustandsweg eines idealen Gases im p-V-Zustandsraum, bei dem aus Wärme (genauer: Wärmedifferenz) Arbeit geleistet wird. Hier lässt sich die Bedeutung des 1. H.S. der Thermodynamik gut demonstrieren.

•  Beim Carnot-Kreislauf wird dem System –  (1→2) zunächst bei höherer (konstanter) Temperatur Wärme zugeführt,

wobei es sich ausdehnt und den Druck erniedrigt (isotherme Ausdehnung), -  (2→3) dann lässt man es sich – nun ohne

Wärmezufuhr (adiabatisch) auf Kosten der inneren Energie – weiter ausdehnen, wobei es weiter seinen Druck aber eben auch seine Tem-peratur erniedrigt (adiabatische Ausdehnung),

-  (3→4) dann komprimiert man bei dieser niedri-geren (konstanten) Temperatur das Volumen und führt entsprechend Wärme ab (isotherme Kompression), dabei wird der Druck erhöht,

-  (4→1) und schließlich komprimiert man adiabatisch unter Temperaturerhöhung zum Ausgangspunkt (adia- batische Kompression). 14

Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const), siehe Gasgleichung

Tw

Tk

15

pdVQTdU −= δ)( 1→ 2 isotherme Expansion (warm)dU(T ) ≡ 0 (da U nur von T abhängt) 0 = δQ − pdV

>0⇒ δQ > 0

Wärmezufuhr

!

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const), siehe Gasgleichung

Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

Tw

Tk

Formalisierung Carnot-Kreislauf (a)

δQ = pdV =pV=nR*T!

nR *TwV

dV

δQ = ΔQ12 = nR*Tw

1

2

∫ dVV1

2

∫ = nR *Tw dlnV1

2

∫

= nR *Tw (lnV2 − lnV1) = nR*Tw ln

V2

V1

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Formalisierung Carnot-Kreislauf (b)

pdVQTdU −= δ)(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

CvdT = −pdV =Gasgleichung

! − ρRTdV = −mVRTdV

→dTT

= −Rcv

dVV

, d lnT = −Rcvd lnV

→ lnTkTw

= −Rcv

lnV3

V2

, TkTw

=V3

V2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−Rcv

→ TkV3

Rcv =TwV2

Rcv

Tw

Tk

2→ 3 adiabatische Expansion (großes V )δQ ≡ 0 (abgeschlossenes System)dU(T ) = − pdV

>0⇒ dU < 0 also Temperaturabnahme

!

Arbeitsleistung pdV des Systemsauf Kosten der inneren Energie U

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Formalisierung Carnot-Kreislauf (c)

pdVQTdU −= δ)(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

δQ = pdV =pV =nR*T!

nR*TkV

dV

δQ = ΔQ34 = nR*Tk

3

4

∫dVV3

4

∫ = nR*Tk d lnV3

4

∫

= nR*Tk lnV4

V3= −nR*Tk ln

V3V4

Tw

Tk

3→ 4 isotherme Kompression (kalt)dU(T ) ≡ 0 (da U nur von T abhängt) 0 = δQ − pdV

<0⇒ δQ < 0

Wärmeabfuhr

!

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Formalisierung Carnot-Kreislauf (d)

pdVQTdU −= δ)(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

TkV4

Rcv =TwV1

Rcv

zusammen mit TkV3

Rcv =TwV2

Rcv folgt

⇒ V2

V1

=V3

V4

Tk

Tw

4→1 adiabatische Kompression (kleines V )δQ ≡ 0 (abgeschlossenes System)dU(T ) = − pdV

<0⇒dU>0

Temperaturzunahme

!

Arbeitsleistung − pdV am Systemerhöht innere Energie U

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Carnot-Kreislauf

pdVQTdU −= δ)(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

Folgerung 1 :

dU(T )!∫ ≡ 0 da U Zustandsvariable

δQ!∫≠0!

= ΔQ12 + ΔQ34 ≡ δA!∫≠0!

> 0

d.h. dem System wird netto

Wärme zugeführt (ΔQ12 > ΔQ34 ),

womit es Ausdehnungsarbeit leistet.Tw

Tk

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Carnot-Kreislauf

pdVQTdU −= δ)(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

differenzTemperatur die größer je größer umso ,

Wärmegesteckte hineinArbeitgeleistete

tmaschine Wärmekrafder adWirkungsgr

1

1ln

ln1

1

2

1*

4

3*

12

34

12

3412

<

−=−=

ΔΔ

−=Δ

Δ+Δ=

=

w

k

w

k

TT

VVTnR

VVTnR

QQ

QQQ

η

:2 Folgerung

21

Carnot-Kreislauf

pdVQTdU −= δ)(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

Anmerkung: der Carnot-Kreislauf ist eine Ideali- sierung, denn es wird angenommen, dass das System immer im thermischen Gleichgewicht ist,

was die Änderungen reversibel macht.

Es gilt: ηCarnot

reversibel! > ηreal

irreversibel! und dS ≥ δQirrev

TD.h. in einem abgeschlossenen System (δQ = 0) bleibt die Entropie konstant oder nimmt zu.

Tw

Tk

Folgerung 3 :Definition der Entropie

δQ!∫ = ΔQ12 + ΔQ34 = nR* Tw ln

V2V1

−Tk lnV3V4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= nR* lnV2V1Tw −Tk( ) ≠ 0

aber δQT!∫ =

ΔQ12Tw

+ΔQ34Tk

≡ 0

⇒Entropie S, dS = δQT

ist eine Zustandsvariable

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Carnot-Kreislauf

pdVQTdU −= δ)(

p

V

1

4

3

2

Isothermen (T=const)

Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

Folgerung 4 :2. Hauptsatz der Themodynamik:Es gibt keine Wärmekraftmaschine, die einen höheren Wirkungsgrad hat als die Carnot'sche. Insbesondere folgt: Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgesetzt werden.

Tw

Tk

Folgerung 5 :Die Atmosphäre funktioniert wieeine Wärmekraftmaschine: Unterhohem Druck wird Wärme zugeführt(am Boden durch Wärmeflüsse), unter niedrigem Druck (oben, durch Ausstrahlung) wieder abgeführt.

Folgerung 6 :Neue Formulierung des 1.HS:du(T ) =Tds− pdα

Hadley-Zirkulation im p-V-Diagramm Die Hadley-Zirkulation ist ein modifizierter Carnot-Kreislauf und kann in einem im p-V-Diagramm dargestellt werden:

– Dabei fließt Luft am Boden von den Hochdruckgebieten der Subtropen zu der tropischen Tiefdruckrinne und erwärmt sich dabei durch Wärmeauf- nahme vom Untergrund leicht.

– Dort steigt sie adiabatisch auf, – und fließt dann zurück unter

leichter Druckzunahme und Temperaturabnahme (durch Abstrahlung in das Weltall) zu den Subtropen,

– wo sie wieder adiabatisch zum Boden sinkt.

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adiabatisches Aufsteigen in der ITCZ

adiabatisches Absteigen in den Subtropen

Strahlungsabkühlung und leichtes Absinken im Gegenpassat

Erwärmung und Druckabnahme in den Passaten

•  Wir fassen die Luft als ein thermodynamisches System auf, das durch beliebige drei (zwei wenn die Menge, d.h. Anzahl der Mole konstant gehalten wird) seiner Zustandsvariablen n, p, T, ρ, s, u eindeutig bestimmt ist.

•  Für ein ideales Gas, wie die Erdatmosphäre gilt der 1. Hauptsatz wie folgt:

•  Für adiabatische Zustandsänderungen gilt (δq=0):

cvdT=du

Änderung der inneren Energie

! = δqzugeführte

Wärmemenge

! − p dα

Änderung des spezifischen Volumensα= 1

ρ!

von Gasgeleistete Ausdehnungs-

arbeit

! "# $# =

bei reversiblen

Änderungen!T ds

Änderung der

spezifischenEntropieds=δq

T

! − pdα

Das Wichtigste

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cvdT = − pdα

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Übungen zu IV.3.1

1.  Schreibe mit Hilfe der Gasgleichung den Druck als vollständiges Differential von T und ρ (n=const); also dp=xdT+ydρ (d.h. bestimme x und y).

2.  Schreibe das spezifische Volumen α als Differenzial von Temperatur und Druck (n=const).

3.  Was ist der Wirkungsgrad der Hadley-Zirkulation unter der Annahme, dass sie als Carnot-Kreislauf betrachtet werden kann?

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Zusatzübungen zu IV.3.2 1.  Schreibe den Druck als totales Differential von

Temperatur, Volumen und Anzahl der Mole n. 2.  Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf

(Folgerung 1) insgesamt Wärme zugefügt wird. 3.  Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf das

Linienintegral über δQ/T bei irreversiblen Prozessen nicht verschwindet (Folgerung 3).