einführung in die physik - lmu münchen · definition des impulses als „bewegungszustand“...
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Übung : Montags 13:15 bis 14 Uhr, Butenandt-HSVorlesung: Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Tutorials: Montags 16:00 bis 17:30, B00.019, C3003, D0001
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/wise_07_08/pph/Web-Seite zur Vorlesung :
für Pharmazeuten und Biologen (PPh)Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik
Einführung in die Physik
Impuls
Drehimpuls und Drehmoment
Starrer Körper
- Schwerpunkt und Trägheitsmoment- Hebelgesetz, Drehmoment,
Vorlesung Physik für Pharmazeuten : PPh - 04
Definition des Impulses als „Bewegungszustand“ (Newton)
Exakte Formulierung des 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Änderung des Bewegungszustands ist eine Kraft. Sie ist definiert als die Ableitung des Impulses nach der Zeit
( ) amdtdmm
dtd
dtd
⋅=⋅=⋅== vvpF
pFdtd
=
vp ⋅= m
Kraftstoß=ImpulsänderungpddtF rr=⋅
Impuls
aF ⋅= mfür m=const.
Beweis :
[Tafel 1a]
v
v'
mit F = m a und F(z) = ?
Aufprall Tennisball an einer Wand
[Tafel 1b]
bisher: Massepunkt im äusseren Kraftfeld: gleichförmig beschleunigte Bewegung, Kreisbahn, Kraft, Energie.
Jetzt: Stoß
Impuls und KraftstoßExperiment
[Tafel 2]
In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls konstant
constm ii =⋅∑ v
Impulserhaltungssatz
m1
m2
m2
m1
v1v2
Aus dem Wechselwirkungssatz (Actio=Reactio) folgt: Die Kräfte auf Wagen 1 und Wagen 2 sind zu jedem Zeitpunkt gleich groß aber entgegengerichtet.
02211 =⋅+⋅ vv mm
Keine äußeren Kräfte, d.h. der Gesamtimpuls ist konstant
Anwendungsbsp. Impulserhaltungssatz
"Inverses" SkateboardExperiment
v1v2
22112211 vvvv ′+′=+ mmmmvorher nachher
Impulserhaltung
Weiters Bsp: Der zentrale Stoß (1D)-Impulsbilanz
[Tafel 3a]
Nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel von 90°ein.
Kollision von zwei Billardkugeln (im Zeitlupenverfahren gefilmt)
aus Dransfeld et al.
Beispiel: Elastische Proton-Proton Streuung (3D)
[Tafel 3b]
90°
v1 v2
Impulserhaltungvvv ′+=+ )( 212211 mmmm
vorher nachher
v1’ =v2’=v’
Energie nach dem Stoß :2
11
21
1221
2)(2vv m
mmmmmEnach +
=′+=
Energie vor dem StoßBetrachte Spezialfall v2=0
21
1
2vmEvor =
Der zentrale, maximal inelastische Stoß
[Tafel 4, Experiment]
auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
CABBCA K +⎯→⎯+
CABBCA pppp rrrr+=+
chemkinkin
kinkin
ECEABEBCEAE
∆++=+
)()()()(
Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Chemische Reaktionen :
Energiebilanz für endotherme und exotherme Reaktionen
Drehimpuls
cr
br
av
bacrrr
×=
„Rechte-Hand-Regel“
Kreuzprodukt
v r
vv
v
ω
m
„Korkenzieherregel“
vv
v r
v
ω
rrrr
×= ωv
„Rechte-Hand-Regel“
Beispiel Bahngeschwindigkeit
Definition Drehimpuls (L)
v r
vv
v
ω
m
: Winkelgeschwindigkeit: Bahnvektor: Masse
vmrL ×=
Der Drehimpuls hat die Einheit kg·m2/s
v
ω
m v r
Definition Drehimpuls
rvvv ×= ωv
v r
vv
v
ω
vrrvmrL ×=
Drehimpuls als Vektor
L
[Tafel 5]
Erhaltung des Drehimpulses
Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments (M)bleibt der Drehimpuls konstant.
constLM =⇒=rr
0Drehimpuls-
Erhaltungssatz
[Experiment: Drehstuhl]
Der Drehimpuls ist auch bei nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten.
Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt
Drehmoment= Hebelarm *Kraft
][NmFlM ×=
F
l : Länge des Hebels
Drehpunkt
Kraft senkrecht auf Hebel
Kraft wirkt unter beliebigem Winkel
F
l
Dα
F ⋅ sin(α )α )sin(. α⋅⋅=⋅= FlFlM senkr
Definition Drehmoment M
Mechanisches Gleichgewicht
F1
l1
DF2
l2
Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußerer Kräfte und die Summe aller Drehmomente Null ist.
(Hebelgesetz)
F1 ⋅ l1 = F2 ⋅ l2
„Kraft mal Kraftarm=Last mal Lastarm“
Anwendungen des Hebelgesetzes: Brechstange, Schere, Schubkarre, Getriebe, Gliedmaßen, Baukran ...
Experiment: Balkenwaage
FrMvvv
×=
)sin(α⋅⋅= FrMvvv
Rechte-Hand-Regel
Das Drehmoment (M) alsVektorprodukt
Eigenschaften :
rM vv⊥
FMvv
⊥
Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!rFFr vvvv ×−=×
Es trägt nur die Projektion auf die Senkrechte bei
Grundgleichung der rotierenden Bewegung
(analog zu dp/dt=Fa)
FrMdtLd rrrr
×==
vrrvmrL ×=
Erhaltungsgrößen für Punktmassen-Systeme
„Abgeschlossenes System“ : * Keine äußeren Kräfte * nur WW-Kräfte* Inertialsystem
In einem abgeschlossenen System gilt :
Der Gesamtimpuls ist erhalten.
Die Gesamtenergie ist erhalten. (einschließlich der Wärme in nicht konservativen Systemen)
Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten.
Schwerpunkt
extS F
dtrdM =2
2
eGesamtmassmM i∑=
tSchwerpunkm
rmr
i
iis ∑
∑ ⋅=
Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.
(Schwerpunktsatz)
Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext : Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereinigt wäreund die Summe aller äußeren Kräfte auf ihn wirkt.
Def.
rs
m1
m2
m3
-Kräfte, die am Schwerpunkt angreifen, wirken auf einen ausgedehnten Körper, wie Kräfte auf einen Massepunkt.
Schwerpunkt=„Gravitationszentrum“
Aussagen über den Schwerpunkt
gMlgml gesSPii ⋅=⋅∑
Ein Körper, der am Schwerpunkt aufgehängt wird, erfährt im Schwerefeld kein Drehmoment.
Die Summe aller Drehmomente =Drehmoment der ges. Masse im Schwerpunkt
[Experiment Schwerpunktsbrett]
Motivation Trägheitsmoment (I)
Achse
2i
ii rmI ⋅= ∑
Einzelne Massenpunkte
ωω ⋅=⋅=×= ImrmrL 2v„Drehimpuls“ = „Drehträgheit“ mal “Drehgeschwindigkeit“
Motivation : Das Trägheitsmoment ist die „träge Masse“ der Drehbewegung
Definition : Trägheitsmoment I
„Drehkraft“ = „Drehträgheit“ mal “Drehbeschleunigung“dtdIMdtdL ω⋅== /
einer kontinuierlicher Massenverteilung
I = mi ⋅ ri2
i∑ ⇒ r2∫ dm
Achse
dmr
Trägheitsmoment
Dynamik starrer Körper
Wurfparabel eines starren Körpers
• Schwerpunkt beschreibt Wurfparabel
• Rotation um den Schwerpunkt:
M aSchwerpunkt =Fa
ωrr
IL =
Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunkts und die Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. Der freie starre Körper hat sechs Freiheitsgrade der Bewegung.
Jedes einzelne Masse-Elementbesitzt die kinetische Energie
222
22rmm ω=v
Gesamtenergie:mi
2ri
2
i∑ ω 2 =
12
miri2
i∑ ⋅ω 2 =
I2
ω2
Rotationsenergie eines starren Körpers
ERot =I2
ω2
Rotationsenergie
Translation Rotation
Ort Winkel
Geschwindigkeit Winkelgeschw.
Beschleunigung Winkelbeschl.
Masse Trägheitsmoment
Kraft Drehmoment
Impuls Drehimpuls
Kinetische Energie Rotationsenergie
v r
vv
v a
m
v F = m ⋅
v a =
dv p dt
vvv ⋅= mp2
2v⋅
m
ϕ
v ω
v α
I = mi∑ ri2
v M = I ⋅
v α =
dv L
dt v L = I ⋅
v ω
I2
⋅ω 2
Analogien zwischen Translations- und Rotationsbewegungen
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