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Universität Koblenz-Landau, Campus Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Institut für Mathematik Wintersemester 2012/13 Erstbetreuer: Prof. Dr. Jürgen Roth Zweitbetreuer: Prof. Dr. Engelbert Niehaus
Master-Thesis im Fach Mathematik
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Verfasser: Martin Dexheimer Studiengang: Master of Education Studienfächer: Mathematik, Politikwissenschaft Fachsemester: 4. Fachsemester Matrikelnummer: 208 220 088 Postalische Adresse: Godramsteiner Str. 1, 76829 Landau (Pfalz) Telefonnummern: 06341 – 936 141, 0178 – 76 222 66 E-Mail-Adresse: dexh1536@uni-landau.de Datum der Abgabe: 12.03.2012
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Bezeugung der Autorenschaft
Hiermit bestätige ich, dass die vorliegende Arbeit von mir selbstständig verfasst wurde und
ich keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel – insbesondere keine im Quellen-
verzeichnis nicht benannten Internet-Quellen – benutzt habe und die Arbeit von mir vorher
nicht in einem anderen Prüfungsverfahren eingereicht wurde. Die eingereichte schriftliche
Fassung entspricht der auf dem elektronischen Speichermedium (CD-ROM).
Landau, den 12.03.2012 ___________________________________
(Unterschrift des Autors)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ............................................................................................................................ 1
Einleitung ......................................................................................................................... 3
1. Das Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ im Fokus außerschulischer Lernorte ........... 6
1.1 Der außerschulische Lernort „Mathematik-Labor“ ................................................................. 6
1.2 Gestaltung von Laborstationen im Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“.............................. 7
1.2.1 Konzeptionelle Grundausrichtung .......................................................................................... 7
1.2.2 Schriftliche Arbeitsmaterialien ............................................................................................... 9
1.2.3 Computerwerkzeuge und gegenständliche Modelle ........................................................... 10
1.3 Das Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ im Fokus mathematikdidaktischer Forschung ... 11
2. Die Laborstation „Strahlensätze“ und ihre Wirksamkeit ........................................... 14
2.1 Der Jakobsstab ...................................................................................................................... 14
2.2 Konzeptionelle Gestaltung der Station „Strahlensätze“ ....................................................... 18
2.3 Design der Pilotstudie ........................................................................................................... 26
2.4 Ergebnisse einer Pilotstudie zur Wirksamkeit der Station „Strahlensätze“ .......................... 32
3. Optimierung der Station „Strahlensätze“ und Weiterentwicklung zur Station
„Jakobsstab & Co.“ .................................................................................................... 39
3.1 Maßnahmen zur Optimierung ............................................................................................... 39
3.2 Konzeptionelle Gestaltung der Station „Jakobsstab & Co.“ .................................................. 43
4. Projektverlauf und Design zur Untersuchung der Wirksamkeit der Laborstation
„Jakobsstab & Co.“ ................................................................................................... 52
4.1 Projekt- und Untersuchungsverlauf ...................................................................................... 52
4.2 Erläuterungen zu den Online-Fragebögen ............................................................................ 54
4.3 Kriterien zur Beurteilung der Wirksamkeit der Laborstation „Jakobsstab & Co.“ ................ 60
5. Ergebnisse der Untersuchung zur Wirksamkeit der Station „Jakobsstab & Co.“ ......... 61
5.1 Passive Beobachtungen während des Projekts ..................................................................... 61
5.2 Ergebnisse der Online-Befragungen ...................................................................................... 63
6. Fazit und Ausblick .................................................................................................... 71
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Abbildungsverzeichnis .................................................................................................... 74
Tabellenverzeichnis ........................................................................................................ 76
Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 77
Anlagen .......................................................................................................................... 82
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 1
Vorwort
Mathematik wird von Schülerinnen und Schülern allzu oft als formal und zu wenig mit der
eigenen Lebenswelt verknüpft wahrgenommen, sodass viele den Mathematikunterricht eher
konsumieren, als sich aktiv mit Mathematik zu beschäftigen. So sehe ich es als zukünftiger
Mathematiklehrer als wichtiges Ziel meines Unterrichts, dass meine Schülerinnen und
Schüler Mathematik als nützliches Werkzeug zum Verstehen und Modellieren von
Phänomenen unseres Alltags erleben und durch geeignete Lernumgebungen in die Lage
versetzt werden, selbstständig Mathematik betreiben zu können.
In den vergangenen nunmehr zweieinhalb Jahren konnte ich als wissenschaftliche Hilfskraft
am Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ der Universität Landau immer wieder
Laborstationen, die schülerorientierte Selbstlernumgebungen darstellen, erproben, die
genau diese Ziele verfolgen. Dies soll durch eine Kombination aus dem Untersuchen und
Nutzen gegenständlicher Modelle, der systematischen Manipulation von
Computersimulation sowie zielführender Papier-und-Bleistiftaufgaben gelingen.
So sehe ich es nun als besonderen Höhepunkt zum Ende meines Studiums an, dass ich zu
weiten Teilen selbstständig eine existierende Laborstation zum Thema „Strahlensätze“ an
ihren bisherigen Schwachstellen optimieren, sie mit zwei Schulklassen erproben und
umfassend evaluieren konnte, um der Frage nach ihrer Wirksamkeit nachgehen zu können.
Dieses Projekt stellte für mich eine Herausforderung bei der Gestaltung, Organisation,
Durchführung und Evaluation schülerorientierter Selbstlernumgebungen dar und prägt
damit wesentlich das Ende meiner universitären Lehramtsausbildung.
Ein solches Projekt sowie die daraus entstandene Master-Thesis kann jedoch nur dann
gelingen, wenn man sich – wie in meinem Falle – auf die Unterstützung von Personen aus
dem direkten Umfeld verlassen kann. So möchte ich nicht vergessen, ihnen meinen Dank
auszusprechen.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 2
Ich möchte mich hiermit herzlich bei Herrn Jacob, der das Projekt von Beginn an begeistert
unterstützte und als Fachleiter Mathematik am Gymnasium Weierhof federführend
organisierte, bei den weiteren, am Projekt beteiligten Lehrkräften - Frau Karl, Herr
Sternberger und Herr Dr. Hennes – sowie dem Schulleiter Herrn Bugiel für die direkte Zusage
zur Durchführung des Projekts bedanken. Weiter bin ich allen Schülerinnen und Schülern der
neunten Jahrgangsstufe des Gymnasiums Weierhof am Donnersberg für die bereitwillige
Teilnahme an den Befragungen und der Bearbeitung der Laborstation zu Dank verpflichtet.
Auch dem Team des Mathematik-Labors „Mathe ist mehr“ möchte ich herzlich für die
vielfältigen Anregungen und Rückmeldungen zu den von mir erstellten Materialien danken,
allen voran bei Jürgen Roth, der mich als Leiter des Mathematik-Labors und
geschäftsführendem Leiter des Instituts für Mathematik seit meiner Mitarbeit im
Mathematik-Labor stetig fördert, mir viele Gelegenheiten gibt, meine Ideen und Konzepte
frei und selbstständig umzusetzen (wie z.B. dieses Projekt) sowie mir stets schnelle und
umfassende Unterstützung anbietet. Nicht zuletzt danke ich meiner Familie und meiner
Freundin für das Korrekturlesen und die wertvollen Rückmeldungen zur Überarbeitung
dieser Arbeit.
Landau, im März 2013 Martin Dexheimer
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 3
Einleitung
Außerschulische Lernstandorte sind aus der heutigen didaktischen Diskussion nicht mehr
wegzudenken. Hierbei nehmen Schülerlabore in den Didaktiken der MINT-Fächer eine
besondere Rolle ein. Deshalb erscheint es nicht verwunderlich, dass ihre Anzahl in den
vergangenen Jahren deutlich zugenommen hat.
Ziel der Labore ist es, den Schülerinnen und Schülern1 die Möglichkeit zu geben, sich
eigenständig mit mathematischen und/oder naturwissenschaftlichen Phänomenen zu
beschäftigen und damit die Motivation sowie das Interesse in diesen Fächern zu steigern.
Hierdurch soll nachhaltig ein positiver Einfluss auf die Einstellung gegenüber und auf die
Kenntnisse in diesen Fächern bewirkt werden. Doch gerade gemessen an den mit den
Laboren verknüpften Erwartungen sowie dem hohen personellen, ideellen und finanziellen
Aufwand für ihren Betrieb, müssen die Labore einer kritischen Überprüfung ihres Einflusses
auf die angestrebten Ziele gegenüberstehen. Denn alleine der Besuch eines Labors stellt
noch nicht per se einen didaktischen Mehrwert dar2.
Das Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ der Universität Koblenz-Landau (Campus Landau)
ist ein Schülerlabor, das sich hierbei den besonderen Fokus gesetzt hat, Stationen zu
entwickeln, die einen direkten Bezug zu den Inhalten des Mathematik-Lehrplans der
Sekundarstufen haben und sich damit ohne Schwierigkeiten in den Schulunterricht
integrieren lassen.
Im Sommersemester 2011 entwickelte eine Gruppe von Studierenden im Rahmen des
„Didaktischen Seminars“ unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. Jürgen Roth eine Laborstation
zum Thema Strahlensätze, wobei sich die Schüler die Strahlensätze mithilfe eines
Jakobsstabs erarbeiten konnten. Dahinter steckt die Überzeugung, dass „[nur] ein
Unterricht, welcher den Schülern Gelegenheit gibt, geometrische Sätze und deren
1 Im Folgenden sind mit „Schüler“ sowohl Schülerinnen als auch Schüler gemeint. Auf eine Differenzierung der
Geschlechter wird zugunsten des besseren Leseflusses verzichtet. Dies gilt auch für sämtliche weitere geschlechtsspezifischen Personenbezeichungen. 2 vgl. hierzu z.B. die Ergebnisse von Scharfenberg (Scharfenberg 2005: 199), bei denen festgestellt werden
konnte, dass durchaus (zunächst nicht weiter untersuchte) Einflussfaktoren bei der Experimentalarbeit auftreten, die sich sogar negativ auf die Nachhaltigkeit des erworbenen Wissens auswirken (können).
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 4
Allgemeingültigkeit weitgehend selber zu entdecken, […] der Forderung nach integrierter
Kenntnis geometrischer Zusammenhänge Rechnung [trägt].“3
Um verschiedenen Fragen, die mit dieser Überzeugung und somit der Wirksamkeit der
Station verbunden sind, nachzugehen, wurde sie im Rahmen einer ersten Phase des Projekts
„SiMaL“ 4 mittels einer Pilotstudie evaluiert. Hierbei wurde festgestellt, dass mehrere
Einflussfaktoren dazu beigetragen haben, dass der Wirkungsgrad (wenn aufgrund diverser
Schwierigkeiten während der Pilotstudie überhaupt von einer solchen gesprochen werden
kann) hinter den Erwartungen zurückblieb. Jedoch konnte hierdurch offengelegt werden, an
welchen Stellen sich Möglichkeiten zur Optimierung bieten.
Im Rahmen dieser Arbeit wurde die Laborstation, basierend auf den Erkenntnissen der
Pilotstudie, in weiten Teilen überarbeitet, um einen höheren Grad an Wirksamkeit zu
erreichen. Entstanden ist hierbei die Station „Jakobsstab & Co.“. Sie wurde anschließend, in
einer zweiten Phase des Projekts „SiMaL“ von zwei neunten Gymnasialklassen bearbeitet,
während zwei Kontrollklassen den unbeeinflussten Schulunterricht zum Thema
„Strahlensatz“ wahrgenommen haben. Alle vier Klassen wurden mit einem Vor-, Nach- und
Follow-up-Test mittels dreier Online-Fragebögen testiert. Daraus sollen Rückschlüsse auf die
Wirksamkeit der Station und ihrer Inhalte analysiert werden, auch wenn dies in Anbetracht
der Rahmenbedingungen einer solchen Qualifikationsarbeit nur eingeschränkt möglich ist
und auch Schmidt u.a. bereits festgestellt haben, dass „eine Evaluation der Wirkung von
Schülerlaborbesuchen ein außerordentlich komplexes Unterfangen darstellt.“5
In vorliegender Arbeit sollen einführend (in Kapitel 1) das Mathematik-Labor, die Konzeption
von Laborstationen und die mit dem Labor verbundenen mathematikdidaktischen
Forschungsfragen vorgestellt werden. In Kapitel 2 wird dann die Laborstation
„Strahlensätze“ beschrieben und die Ergebnisse der Pilotstudie zu dieser Station präsentiert.
Die Optimierungsmaßnahmen, die sich aus der Pilotstudie ableiten ließen, sowie die
Weiterentwicklung der Station „Strahlensätze“ zur Station „Jakobsstab & Co.“ werden in
Kapitel 3 vorgestellt. In Kapitel 4 werden anschließend neben dem Untersuchungsdesign die 3 Holland 1996: 8.
4 Genauere Informationen zum Projekt folgen im weiteren Verlauf dieser Arbeit.
5 Schmidt u.a. 2011: 362.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 5
Kriterien zur Feststellung der Wirksamkeit der Station „Jakobsstab & Co.“ dargestellt, bevor
in Kapitel 5 die Ergebnisse der Untersuchung präsentiert und interpretiert werden. Im
letzten Kapitel wird abschließend ein Fazit zur Station und zur Untersuchung gezogen, das
nicht nur die in dieser Arbeit gewonnenen Erkenntnisse reflektiert und weitere
Optimierungsoptionen aufzeigt, sondern auch sich daraus ableitende Fragen für die weitere
Entwicklungsarbeit des Mathematik-Labors „Mathe ist mehr“ deutlich macht.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 6
1. Das Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ im Fokus außerschulischer
Lernorte
1.1 Der außerschulische Lernort „Mathematik-Labor“
Ein Schülerlabor ist ein außerschulischer Lernort, an dem es Schülern ermöglicht werden
soll, durch geeignete, authentische Lernumgebungen meist naturwissenschaftlich-
technische Phänomene zu erforschen. Des Weiteren soll die selbstständige,
problemorientierte Auseinandersetzung mit diesen Phänomenen einen neuen Zugang zu
den Fachwissenschaften schaffen 6 . Mittlerweile gibt es rund 200 7 Schülerlabore in
Deutschland, wovon die meisten einer Universität oder Forschungseinrichtung angegliedert
sind. Der Anteil an mathematischen, außerschulischen Lernorten und Schülerlaboren ist im
Vergleich zu Angeboten aus der Chemie, Physik, Biologie und Technik deutlich geringer8.
Weiter wurde und wird an vielen Schülerlaborstandorten primär das Ziel verfolgt, langfristig
einen positiven Effekt auf die Motivation und das Interesse in den entsprechenden
Fachbereichen zu bewirken, um insbesondere auch die Zahl der Studierenden dieser Fächer
in der Zukunft zu erhöhen, was meist eher eine Förderung begabter und interessierter
Schüler als eine „Breitenförderung“ darstellt. Dadurch erfährt die an die Lehrpläne
angepasste Kompetenzorientierung jedoch in vielen Fällen eine geringere Beachtung. Dies
stellt im Anblick der meist knapp bemessenen Unterrichtzeit, im Vergleich zum Umfang der
Lehrplaninhalte, ein deutliches Problem, insbesondere in Bezug auf einen nachhaltigen
Lernzuwachs der Schüler durch die Laborarbeit, dar9.
Das Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ ist ein mathematisches Schülerlabor, das eine
Einrichtung der Universität Koblenz-Landau am Campus Landau (unter der Leitung von Herrn
Prof. Dr. Jürgen Roth) ist. Es hat einen klaren Fokus darauf, den Schülern Möglichkeiten zum
6 vgl. Euler 2010: 799 f.
7 Beim Bundesverband der Schülerlabore e.V. sind derzeit 314 außerschulische Lernorte registriert, worunter
sich 190 reine Schülerlabore befinden. Statistiken hierzu sind verfügbar unter: http://www.lernort-labor.de/data.php?tl=12 (letzter Aufruf: 25.02.2013). 8 Unter den 314 außerschulischen Lernorten, die beim Bundesverband der Schülerlabore e.V. registriert sind,
befinden sich lediglich 36 mathematische Angebote (zum Vergleich Angebote aus anderen Fachrichtungen: Chemie: 136, Physik: 125, Biologie: 104, Technik: 83; Doppelnennungen waren möglich). Statistiken hierzu sind verfügbar unter: http://www.lernort-labor.de/data.php?tl=12 (letzter Aufruf: 25.02.2013). 9 vgl. Schmidt u.a. 2011: 368.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 7
Entdecken mathematischer Phänomene und Zusammenhänge durch experimentelle
Zugänge zu schaffen, die eine „vertiefte Auseinandersetzung“ 10 mit Mathematik
ermöglichen. Das Labor bietet in Anbetracht des dargestellten Problems verschiedene
Stationen für ganze Schulklassen11, die je einen Lehrplaninhalt behandeln und stets durch
eine Kombination aus dem Umgang mit gegenständlichen Modellen, der sinnstiftenden
Nutzung von Computerwerkzeugen sowie dem Ausfüllen von Laborprotokollen als
Selbstlernumgebungen zur Durchdringung mathematischer Sachverhalte und Phänomene
gestaltet wurden12.
1.2 Gestaltung von Laborstationen im Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“
Da dem Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ und seinen Laborstationen ein spezielles, in
dieser Form besonderes Konzept zur Erforschung mathematischer Phänomene und
Erarbeitung mathematischer Inhalte zugrunde liegt, das auch bei der Gestaltung und
Optimierung der in dieser Arbeit vorgestellten Laborstation umgesetzt wurde, soll dieses in
diesem Unterkapitel vorgestellt werden.
1.2.1 Konzeptionelle Grundausrichtung
Alle Laborstationen des Mathematik-Labors „Mathe ist mehr“ beruhen auf der
methodischen Grundausrichtung, dass Schüler in Vierergruppen selbstständig und in weiten
Teilen eigenverantwortlich an mathematischen Phänomenen und deren fachlichen
Hintergrund arbeiten. Dennoch sind sie in ihrer Arbeit nicht völlig frei; sie werden durch die
Stationsarbeit mit verschiedenen Heften geleitet. Man könnte somit von „gelenktem
Entdeckungslernen“13 als Erarbeitungsform im Mathematik-Labor sprechen. Dadurch wird
die Offenheit, die an vielen Schülerlaborstandorten ein entscheidendes Kriterium14 für die
eigenständige Erforschung durch die Schüler angesehen wird, durch Vorstrukturierungen
10
Vollrath/Roth 2012: 150. 11
Daneben werden auch Laborstationen für Kleingruppen angeboten, die weitere, nicht direkt an den Lehrplan angeknüpfte mathematische Themen behandeln. Da diese Art von Station im weiteren Verlauf dieser Arbeit keine Rolle spielt, wird an dieser Stelle nicht weiter darauf eingegangen. Weitere Informationen unter: http://www.dms.uni-landau.de/mathelabor/sites/stationen.html (letzter Aufruf: 25.02.2013). 12
vgl. Vollrath/Roth 2012: 148-150. 13
Holland 1996: 138. 14
Jedoch wird auch hier oft die fehlende Offenheit beim Experimentieren kritisiert. Insbesondere das eigenständige Finden eines passenden Experiments zur Überprüfung einer Hypothese (was beim Experimentieren ein wesentliches Merkmal darstellt) wird oft vorgegeben und somit eben nicht frei von den Schülern gesucht. Vgl. hierzu z.B. Engeln 2004: 39 - 44.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 8
und Arbeitsmaterialien deutlich zugunsten einer Kompetenzorientierung eingeschränkt.
Diese konzeptionelle Entscheidung trägt den in Untersuchungen 15 zu Schülerlaboren
festgestellten Tatsache Rechnung, dass ein zu hoher Grad an Offenheit beim Erforschen
eines Phänomens nur einen geringen Effekt auf den inhaltlichen Lernzuwachs hat (meist
auch nur bei leistungsstärkeren Schülern, leistungsschwächere Schüler sind mit der Situation
überfordert und können das Phänomen fachlich nicht vollständig erfassen), was sich negativ
auf die Bereitschaft von Schulen und Lehrern auswirkt, Unterrichtszeit für einen
Laborbesuch aufzuwenden, der wenig dem inhaltlichen Fortlauf des Mathematikunterrichts
dienlich ist. Deshalb kann und sollte eine Vorstrukturierung mithilfe von durch die Station
leitenden Arbeitsmaterialien erfolgen, die es insbesondere auch leistungsschwächeren
Schülern ermöglicht, einen Lernzuwachs zu erreichen. Das Mathematik-Labor „Mathe ist
mehr“ hat sich somit zum Ziel gesetzt, eine möglichst gewinnbringende Kombination
zwischen Offenheit in der Exploration und Anleitung im Arbeitsverlauf zu erreichen.
Auch die Hinweise aus der Untersuchung von Guderian16, dass eine gelungene Einbindung
des Laborbesuchs in den Schulunterricht einen positiven Effekt auf die Wirksamkeit der
Laborarbeit haben kann (durch einen geringen, jedoch messbaren Einfluss auf die
langfristige Steigerung des Interesses der Schüler), werden bei der konzeptionellen
Ausgestaltung beachtet. Deshalb wird ein intensiver Kontakt zu den Lehrkräften und der
Schule angestrebt, der nach Möglichkeit eine intensive Vor- und Nachbereitung des
Laborbesuchs sowohl inhaltlich als auch organisatorisch sicherstellen soll. Dies
gewährleistet, dass der Laborbesuch von den Schülern nicht losgelöst als Schulausflug
(ähnlich einem Museumsbesuch), sondern eher als Bestandteil einer Unterrichtsreihe, der
relevant für den weiteren Unterrichtsverlauf ist, wahrgenommen wird. Weiter bestehen die
Laborstationen aus drei Teilen (zu je einer Doppelstunde), sodass die Integration einer
Laborstation in die schulspezifische Stundentafel organisatorisch einfacher möglich ist.
15
vgl. dazu im Folgenden: v. Aufschnaiter u.a. 2007: 134, 137ff., Engeln 2004: 47 sowie Dähnhardt u.a. 2009: 34f. In Dähnhardt u.a. 2009 wird hierbei von einem Kontinuum zwischen Anleitung und Selbstständigkeit gesprochen, das auch an einigen Stellen im weiteren Verlauf dieser Arbeit verwendet wird. 16
vgl. Guderian 2007: ii und 168, sowie Klaes 2008: 264f.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 9
1.2.2 Schriftliche Arbeitsmaterialien
Während der Laborarbeit erhalten die Schüler ein umfangreiches Repertoire an schriftlichen
Arbeitsmaterialien. Dazu gehören drei Arbeitshefte pro Schüler, drei Hilfehefte sowie ein
Gruppenergebnisheft je Vierergruppe.
Durch jeden der drei Stationsteile leitet ein Arbeitsheft, das jeder Schüler als Leitfaden für
die Erkundung erhält und als Laborprotokoll nutzen soll. Hierzu dienen vorstrukturierte
Arbeitsaufträge und Leitfragen. Bei den Arbeitsaufträgen wird darauf geachtet, dass der
explorative Charakter des Schülerlabors erhalten bleibt. So steht das Vermuten meist zu
Beginn der Exploration bevor die Hypothese überprüft wird, deren Ergebnis beschrieben und
letztlich ausgewertet oder verallgemeinert wird. Die Aufgabenstruktur ist damit so gestaltet,
dass ein Erleben „authentischer Prozesse“17 ermöglicht wird. Hierdurch soll gewährleistet
werden, dass ein authentisches Bild18 der mathematischen Erkenntnisgewinnung geschaffen
bzw. bestärkt wird. Hinzu kommt allerdings, dass Simulationen und gegenständliche Modelle
als Experimentier- und Argumentationswerkzeuge stärker im Fokus stehen. Da eine zu hohe
Komplexität und ein zu hohes Anforderungsniveau einen negativen Einfluss auf den
Erlebensprozess der Schüler hat19, wird stets versucht, das Anforderungsniveau durch eine
stärkere Anleitung in den Aufgabenstellungen an die Fähigkeiten der Schüler besser
anzupassen und die Materialien so vorzustrukturieren, dass die Komplexität reduziert wird.
Um der Heterogenität der Schülergruppen bei gleichzeitiger Eigenständigkeit der Schüler
gerecht zu werden, gibt es zu jedem Arbeitsheft ein Hilfeheft, das gestufte Hilfen zu vielen
Arbeitsaufträgen anbietet. Dieses Hilfeheft kann bei Bedarf genutzt werden 20 . Die
wichtigsten Ergebnisse der Gruppenarbeit werden in einem weiteren Heft, dem Heft
„Gruppenergebnisse“, notiert, das einmal pro Gruppe vorliegt. Dieses wird gemeinsam
ausgefüllt und über alle drei Stationsteile hinweg genutzt. Es stellt eine Zusammenfassung
der wichtigsten Ergebnisse (diese können in manchen Fällen auch Erarbeitungswege sein)
dar und dient den Schülern im Anschluss an die Stationsarbeit, diese nochmals prägnant
nachzuvollziehen.
17
vgl. Büchter/Leuders 2005: 73 – 88. 18
vgl. ebd: 114f. 19
vgl. v. Aufschneider u.a. 2007: 139. 20
An dieser Stelle sei allerdings darauf hingewiesen, dass Untersuchungen aus dem TechLab der Universität Hannover zeigen, dass das Angebot geeigneter Hilfen eher geringe Nutzung erfährt. Eine höhere Nutzung kann dadurch erreicht werden, dass Schüler gerade an Anfangsproblemen die Hilfen als wirklich hilfreich erfahren. Vgl. hierzu: v. Aufschneider u.a. 2007: 138.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 10
1.2.3 Computerwerkzeuge und gegenständliche Modelle
Für die schülerorientierte Erkundung sind, neben den verschiedenen Heften, zwei weitere
Arbeitsmaterialien von großer Bedeutung: Computersimulationen (bzw. Computer-
werkzeuge allgemein) und gegenständliche Modelle21. Durch ihren Einsatz soll gewährleistet
werden, dass die Schüler mittels unterschiedlicher Zugänge zum mathematischen
Sachverhalt angesprochen werden. Gleichzeitig wird hierdurch für methodische
Abwechslung gesorgt. Computerwerkzeuge, wie dynamische Geometriesysteme,
Tabellenkalkulationsprogramme und Computer-Algebra-Systeme, sollen systematische
Variationen erlauben und die Schüler darin befähigen, mathematische Sachverhalte zu
überprüfen und sich diese gründlich zu erarbeiten 22 . Dazu werden in aller Regel
Computersimulationen (meist vorgefertigte dynamische Arbeitsblätter, die durch den
Zugmodus die Variation bzw. Manipulation von Aufgabenparametern erlauben) mit einem
dynamischen Geometriesystem erstellt, mithilfe derer nicht nur eine Visualisierung
geschaffen sondern insbesondere auch experimentiert, verallgemeinert, argumentiert
und/oder ein Modell durch einen simulativen Zugang näher beleuchtet werden soll23.
Gegenständliche Modelle sollen es weiter ermöglichen, mathematische Phänomene für die
Schüler erlebbar zu machen und mathematische Sachverhalte mit ihrer eigenen Lebenswelt
zu verknüpfen. Sie bieten einen enaktiven Zugang sowie viele Möglichkeiten zur Exploration
und motivieren24 die Schüler meist bei ihrer Erkundung.
21
vgl. im Folgenden: Vollrath/Roth 2012: 146 sowie die Informationsbroschüre „Informationen zum Laborbesuch“ des Mathematik-Labors „Mathe ist mehr“, verfügbar unter: http://www.dms.uni-landau.de/mathelabor/sites/dokumente/InfoLaborbesuch.pdf (letzter Aufruf: 26.02.2013). 22
vgl. auch Winter 2003: 8 – 13. 23
vgl. auch Gawlick 2003: 15f. 24
Jedoch bleibt zu beachten, dass Schülerexperimente (und hierzu kann der experimentelle Umgang mit Modellen aufgefasst werden) nicht per se für Schüler motivierend sind, sondern vielfältige Faktoren der Exploration die Motivation beeinflussen. Vgl. hierzu: Engeln 2004: 43.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 11
1.3 Das Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ im Fokus mathematikdidaktischer
Forschung25
Wie sich in den bisherigen Ausführungen angedeutet hat, sind mit dem außerschulischen
Lernort „Mathematik-Labor“ Erwartungen verbunden, die es empirisch zu untersuchen gilt.
So kann nicht erwartet werden, dass sich durch einen Laborbesuch per se ein didaktischer
Mehrwert ergibt, sondern es gilt zu untersuchen, welche Faktoren optimiert werden
müssen, um eine möglichst hohe Wirksamkeit zu erzielen und somit den mit dem Labor
verbundenen Ansprüchen gerecht zu werden.
Hierbei stellen sich im Wesentlichen sechs zentrale Forschungsfragen26:
a) Forschungsfragen bezogen auf die Leistungsentwicklung der Schüler
Inwieweit ist es möglich, die Laborarbeit so zu gestalten, dass eine
nachhaltige „Vermittlung“ mathematischer Inhalte möglich ist? Kann somit
ein Beitrag für langfristig erworbenes mathematisches Wissen geleistet
werden?
Lassen sich durch die selbstständige Beschäftigung in einer Laborstation die
für die Mathematik unabdingbaren Kompetenzen, wie mathematisches
Argumentieren und Begründen, stärken? Leistet die Laborarbeit hierfür einen
nachhaltigen Beitrag? Haben die Schüler wirklich „Mathematik betrieben“
und sie nicht etwa nur „konsumiert“?
b) Forschungsfragen bezogen auf individuelle Einstellungen
Gelingt es, dass die Schüler während der Exploration und der intensiven
Beschäftigung mit mathematischen Zusammenhängen ihre Fähigkeiten in
Mathematik als nützliche Werkzeuge zur Bewältigung realer Probleme
erleben und sich dadurch nachhaltig die Einstellung zum Fach verändert?
Wirkt sich die eigenständige, forschende bzw. experimentierende
Beschäftigung mit Mathematik durch die schülerorientierte Gestaltung der
25
vgl. im Folgenden Dexheimer 2012: 193f. 26
vgl. im Folgenden: Appell; Roth; Weigand 2008 sowie Dexheimer 2012: 193f. Hinweis: Die Auflistung der Forschungsfragen stellt nicht den Anspruch auf Vollständigkeit. Weitere Forschungsfragen lassen sich z.B. in der Projektbeschreibung zum Projekt „SiMaL“ finden, die verfügbar ist unter: http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/einrichtungen/campusschule/Medienordner/simal-projekt-campusschule.pdf (letzter Aufruf: 03.03.2013).
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 12
Lernumgebung Mathematik-Labor langfristig positiv auf die Motivation für
Mathematik aus?
c) Forschungsfragen bezogen auf die Optimierung der Lernumgebung Mathematik-
Labor
Welche Faktoren sind bei der Gestaltung einer Laborstation sowie der
konzeptionellen Struktur der Laborarbeit entscheidend und lassen sich
optimieren, um einen Laborbesuch möglichst gewinnbringend (insbesondere
in Bezug auf Leistungs-, Kompetenz- und Motivationsentwicklung) zu
gestalten?
Wie gelingt es, das Mathematik-Labor sinnvoll und effektiv in den
Schulunterricht einzubinden, sodass der Laborbesuch nicht als reiner
„Ausflug“ wahrgenommen wird und möglichst nicht durch das Lernen
störende Faktoren (insb. organisatorischer Art) beeinträchtigt wird? Wie kann
eine solche, gelungene Schnittstelle zwischen Schulunterricht und Labor-
besuch aussehen?
Weiter wird am Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ der Universität Landau bereits jetzt
oder in naher Zukunft an weiteren Forschungsfragen geforscht, wie z.B.:
Wie und unter welchen Faktoren lässt sich die Güte von Eintragungen in ein
Laborprotokoll bzw. die Darstellung von Erkundungsprozessen und –ergebnissen
feststellen? Lässt sich damit eine Protokollier- bzw. Darstellungskompetenz
bewerten?
Leistet die Vernetzung der verschiedenen Medien (insb. durch Vernetzung des
„[aktiv-]experimentellen Umgang[s] mit gegenständlichen Modellen und [der]
systematische[n] Variation in Computersimulationen“27 sowie dem Mathematisieren
mithilfe von Papier- und Bleistiftaufträgen) einen didaktischen Mehrwert? Inwiefern
leistet insbesondere die Verbindung zwischen Modell und Simulation einen Beitrag
dafür, dass mathematische Sachverhalte von den Schülern besser erfasst und
durchdrungen werden können?
27
Roth 2012b: 6.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 13
Die Auflistung der Forschungsfragen zeigt, dass viele positive Effekte, die man spontan mit
dem eigenständigen, experimentellen Arbeiten im Mathematik-Labor verbinden könnte,
zunächst noch weiter untersucht werden müssen. Hierzu bedient sich das Mathematik-Labor
„Mathe ist mehr“ einem umfassenden Repertoire an Untersuchungsinstrumenten, unter
anderem:
- Vor-, Nach- und ggf. Follow-up-Tests
- Video-Analysen und passive Beobachtung der Arbeitsprozesse
- Auswertung der Laborprotokolle (Arbeits- sowie Gruppenergebnishefte)
- Lehrerinterviews bzw. -fragebögen
Auch in der Untersuchung der Wirksamkeit einer Laborstation spielen die oben genannten
Fragestellungen eine entscheidende Rolle, auf die in den folgenden Kapiteln anhand der
untersuchten Laborstationen insbesondere mithilfe der durchgeführten Online-Fragebögen
(Vor-, Nach- und Follow-up-Test) näher eingegangen wird. Hierbei wird auch deutlich
werden, welche Schwierigkeiten hierbei entstehen können.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
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2. Die Laborstation „Strahlensätze“ und ihre Wirksamkeit
Im Sommersemester 2011 entwickelten eine Gruppe von Mathematik-Studierenden im
Rahmen des „Didaktischen Seminars“ 28 der Universität Landau die Laborstation
„Strahlensätze“29, die das Ziel verfolgte, Schülern der neunten Jahrgangsstufe eine Lernum-
gebung zu gestalten, mit der es ihnen möglich ist, sich die Strahlensätze eigenständig zu
erarbeiten und sie bei den Messungen im Gelände als nützliches und interessantes,
mathematisches Werkzeug zu erfahren. Hierbei entschieden sich die Studierenden dafür, ein
spezielles, historisches Messinstrument als gegenständliches Modell zu nutzen: den
Jakobsstab.
2.1 Der Jakobsstab
Der Jakobsstab ist ein historisches
Messinstrument, mit dem sowohl Winkel als
auch Höhen bzw. Längen ermittelt werden
können. Er diente insbesondere in der
Schifffahrt des 13. – 17. Jahrhunderts als
hilfreiches, geometrisches Messwerkzeug30. Es
erscheint auch deshalb als sehr interessant für
das Erleben „experimenteller Geometrie“31, da
es eine einfache Grundkonstruktion besitzt.
Nichts desto trotz gilt es, das Messinstrument
sehr genau unter die Lupe zu nehmen, um möglichst exakte Messergebnisse zu generieren. 28
Hierbei handelt es sich um ein Seminar im Masterstudiengang Mathematik für die Lehrämter Realschule plus und Gymnasium der Universität Koblenz-Landau am Campus Landau. Durchführender Dozent war Herr Prof. Dr. Jürgen Roth. 29
Im Folgenden wird oft auf die Arbeits- und Hilfehefte sowie Simulationen oder den Film zur Station verwiesen. All die genannten Materialien zur Station „Strahlensätze“ finden sich auf der Homepage zur Station unter http://www.dms.uni-landau.de/mathelabor/simulationen/strahlensaetze/index.html (letzter Aufruf: 28.02.2013) sowie auf der CD-Rom zu dieser Arbeit. Die Arbeitshefte befinden sich zusätzlich als Printversion im Anhang dieser Arbeit. Ein Gruppenergebnisheft war zum Entwicklungszeitpunkt dieser Station noch nicht Bestandteil des Stationsmaterials, insofern liegt kein solches Heft vor. 30
Für weitere Informationen zum Jakobsstab sei auf Krüger 2010 verwiesen. 31
Unter experimenteller Geometrie ist die enaktive Beschäftigung mit Geometrie gemeint, die z.B. von erkenntnisorientierte Leitfragen geprägt ist und somit einen experimentellen Charakter erhält. Hierunter kann man von Schülern eigenständig geplante und durchgeführte Messungen im Gelände fassen. Ziel der experimentellen Geometrie ist das Aktivieren von Lernprozessen durch die konkrete Erfahrung geometrischer Zusammenhänge. Vgl. Lambert 2010: 140 – 144.
Abbildung 1: Messung mit dem Jakobsstab (Bildquelle: Arbeitsheft 1, S. 2)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 15
Im Folgenden soll zur Präsentation des Jakobsstabs das Modell dienen, das eigens für die
Laborstation von den Studierenden entwickelt und von einem Schreiner hergestellt wurde
(Abb. 2). Der Jakobsstab besteht aus einem Längs- und einem Querstab. Auf dem Längsstab
ist (für die Höhenmessung) eine Zentimeterskala angebracht, um feststellen zu können, wie
weit der Querstab vom Auge entfernt ist, mit dem ein Objekt angepeilt wird. Der Querstab
kann im rechten Winkel zum Längsstab aufgesteckt werden und dient dazu, ihn mit dem
fixierten Objekt zur Deckung zu bringen. Bei dem durch die Studierenden entwickelten
Modell des Jakobsstabs wurde darauf geachtet, dass mögliche Fehlerquellen und
Messungenauigkeiten bereits durch die Konstruktion vermieden bzw. reduziert wurden und
dabei ein möglichst sinnvoller Kompromiss zwischen Universalität bei der Verwendung
(sodass möglichst unterschiedlich hohe Objekte gemessen werden können) und einer
praktischen Handhabung (sodass die Maße des Stabes so gewählt sind, dass er noch „gut in
der Hand liegt“) eingegangen wurde.
Abbildung 2: Genutztes Modell des Jakobsstabs (Bildquelle: Arbeitsheft 2, S.4)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 16
Deshalb besitzt die genutzte Jakobsstabskonstruktion sowie die mit ihm durchgeführte
Messung folgende Besonderheiten:
Da es für die messende Person sehr schwierig ist, den Querstab während der
Messung parallel zum zu messenden Objekt (bzw. den Längsstab parallel zum
Erdboden) zu halten und hierdurch eine große Ungenauigkeit bei der Messung
entsteht, wurde entschieden, zusätzlich ein Senklot und ein Guckloch anzubringen,
um die Handhabung zu vereinfachen und die Messgenauigkeit zu erhöhen. Diese
Optimierungen sind nicht originär und lassen sich bei historischen Modellen des
Jakobsstabs nicht finden.
Eine weitere Besonderheit besteht in der universelleren Nutzung des Querstabes:
Dieser hat auf beiden Seiten unterschiedliche Längen (5 cm und 10 cm) und kann mit
beiden Seiten nach oben auf dem Längsstab angebracht werden. Dadurch ist es
möglich, unterschiedlich hohe Objekte einfacher mit dem Querstab zur Deckung
bringen. Bei der historischen Höhenmessung wurde meist ein auf beiden Seiten
gleichlanger Querstab verwendet.
Damit verbunden entstehen deutliche Unterschiede in der Messung: Bei der
originären Höhenmessung wurde versucht, das Objekt mit der vollen Länge des
Querstabes anzupeilen (vgl. Abb. 3 auf der nachfolgenden Seite). In diesem Fall
entsteht aber nur dann eine korrekte Messung, wenn sich das Auge in Höhe der
halben Turmhöhe befindet. In allen anderen Fällen (und dies ist bei einer Vielzahl der
Objekte, insbesondere bei Gebäuden und Türmen der Fall) muss der Jakobsstab so
gehalten werden, dass der Querstab nicht mehr parallel zum Objekt steht. Hierdurch
ist die Voraussetzung der Strahlensätze verletzt (da die die Strahlen schneidenden
Geraden nicht parallel zueinander sind) und somit entstehen deutliche Messfehler.
Bei der Messung mit dem Jakobsstab während der Laborarbeit (vgl. Abb. 4 auf der
nachfolgenden Seite) soll nur der obere Teil des aufgesteckten Querstabes für die
Peilung genutzt werden. Damit kann die Höhe eines Objektes ab der Höhe, in der sich
das peilende Auge befindet (diese Höhe soll vereinfacht „Augenhöhe“ genannt
werden), ermittelt werden, die anschließend (um die Gesamthöhe des Turms zu
berechnen) wieder addiert werden muss. Bei der in Abb. 4 skizzierten Messung kann
man durch Ablesen der Entfernung l des Auges vom Querstab, der Kenntnis über die
„Höhe“ q des Querstabes und das Messen der Entfernung d zwischen der messenden
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 17
Person und dem zu messenden Objekt die Teilhöhe h des Objektes berechnen. In der
Strahlensatzfigur entsprechen d und l den Abschnitten auf einem der Strahlen der
Strahlensatzfigur und h und q den Abschnitten auf den die Strahlen schneidenden
parallelen Geraden. Zur Berechnung von h ergibt sich aus dem zweiten Strahlensatz
durch algebraische Umformung der Verhältnisgleichung:
, was jedoch
lediglich der Turmhöhe ab „Augenhöhe“ entspricht. Um die Gesamthöhe g des Turms
zu ermitteln, muss noch die Augenhöhe a addiert werden: .
Abbildung 3: Historische Messung mit dem Jakobsstab (Bildquelle: Krüger 2010: 188, Grafik wurde jedoch verändert)
Abbildung 4: Skizze einer Messung mit dem Jakobsstab im Rahmen der Laborarbeit (Bildquelle: Roth 2012a: 3)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 18
2.2 Konzeptionelle Gestaltung der Station „Strahlensätze“
Bei der konzeptionellen Ausgestaltung der Station „Strahlensätze“ war von Beginn an klar,
dass der Jakobsstab als „Leitmotiv“ die gesamte Station prägen und die durch die Schüler
geplante und in Eigenverantwortung durchgeführte Messung mit ihm im Zentrum stehen
soll. Hierdurch wird eine höhere Motivation für die eigenständige Erarbeitung der
Strahlensätze angestrebt.
Als Lernvoraussetzung wird hierfür die sichere Beherrschung von Standard-Schulaufgaben zu
den Themen „Ähnlichkeit“, „zentrische Streckung“ und „Lösen von Bruchgleichungen“
gesehen, die die Schüler vor Beginn der Laborerkundung im Schulunterricht erworben haben
sollten.
Das Konzept der Station soll in folgendem Schaubild (Abb. 5) verdeutlicht werden:
Abbildung 5: Aufbau der Station "Strahlensätze"
Station "Strahlensätze" - Teil 3
Ziele: Kenntnisse zum zweiten Strahlensatz auf ein weiteres Experiment übertragen, den ersten Strahlensatz erarbeiten
Aufgabe 8: Messen mit dem Zollstock Aufgabe 9: Schattenwurf
Station "Strahlensätze" - Teil 2
Ziele: Voraussetzungen des zweiten Strahlensatzes erkunden, Kenntnisse auf Jakobsstabmessung übertragen, Jakobsstabmessung planen, durchführen und reflektieren
Aufgabe 5: Festigung des zweiten Strahlensatzes
Aufgabe 6: Messen mit dem Jakobsstab
Aufgabe 7: Weitere Anwendungen des
Jakobsstabes
Station "Strahlensätze" - Teil 1
Ziele: Motivationale Einstimmung, Reaktivierung des Vorwissens und erster Zugang zum 2. Strahlensatz
Film zum Jakobsstab
Aufgabe 1: Ähnlichkeit
Aufgabe 2: Zentrische Streckung
Aufgabe 3: Wie funktioniert der
Jakobsstab?
Aufgabe 4: Der zweite
Strahlensatz
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 19
Der erste Teil der Station verfolgt das Ziel, die Schüler für die Beschäftigung mit dem
Jakobsstab zu motivieren, ihre Vorkenntnisse zu reaktivieren und diese für einen ersten
Zugang zur Messung mit dem Jakobsstab und zum zweiten Strahlensatz zu nutzen. Als
Einstieg wird zunächst ein von den Studierenden produziertes Video gezeigt, in dem ein
„Meister“ seinen „Schüler“ einen Turm mithilfe des Jakobsstabes vermessen lässt, ohne dass
zunächst der mathematische Hintergrund erläutert wird. Es soll bei den Schülern die Frage
wecken, wie es möglich ist, durch ein Messgerät, das lediglich aus zwei Holzstäben besteht,
ein durchaus hohes Objekt zu vermessen, ohne dort direkt das Maßband anzulegen. Dieser
Impuls soll die intrinsische Motivation der Schüler für die Erkundung der Laborstation
wecken.
Anschließend sollen in den
Aufgaben 1 und 2 die Kenntnisse
zur Ähnlichkeit und der zentrischen
Streckung reaktiviert werden. Dazu
steht den Schülern in Aufgabe 1
Simulation 132(vgl. Abb. 6) mit ent-
sprechenden Arbeitsaufträgen zur
Verfügung, bei der die Schüler
zueinander ähnliche Dreiecke
erkennen und korrekt sortieren
sollen. Hierbei werden auch die
wichtigsten Eigenschaften bei
ähnlichen Dreiecken (u.a. dass die Verhältnisse sich entsprechender Seiten in ähnlichen
Dreiecken gleich ist, da diese Eigenschaft für die Strahlensätze bedeutend ist) aufgefrischt.
32
Alle dynamischen Arbeitsblätter und Simulationen der Stationen „Strahlensätze“ und „Jakobsstab & Co.“ wurden mit dem dynamischen Mathematiksystem GeoGebra gestaltet, das unter geogebra.org frei verfügbar ist und sind sowohl auf den entsprechenden Stationshomepages als auch auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom verfügbar.
Abbildung 6: Simulation 1 zur Auffrischung der Vorkenntnisse zur Ähnlichkeit von Dreiecken (Bildquelle: Roth 2012a: 2)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 20
In Aufgabe 2 haben sie dann die
Möglichkeit, mithilfe von Simula-
tion 2 (vgl. Abb. 7) zentrische
Streckungen dynamisch nachzu-
vollziehen. Auch hier werden die
wichtigsten Eigenschaften (insb.
in Bezug auf die Gleichheit der
Verhältnisse sich entsprechen-
der Seitenlängen in der Aus-
gangs- und Bildfigur) wieder-
holt.
In Aufgabe 3 können die Schüler
durch Simulation 3 entweder
über die Ähnlichkeit von
Dreiecken (vgl. Abb. 8) oder die
zentrische Streckung (vgl. Abb. 9)
einen ersten Zugang zur
Messung mit dem Jakobsstab
erhalten und ihre vorher wieder
aufgefrischten Kenntnisse über
die Verhältnisse sich entsprech-
ender Seiten für eine erste
Höhenberechnung nutzen.
Abbildung 7: Simulation 2 zur Auffrischung der Vorkenntnisse zur zentrischen Streckung (Bildquelle: Roth 2012a: 2)
Abbildung 8: Simulation 3 als erster Zugang zur Jakobsstabmessung mittels der Ähnlichkeit von Dreiecken (Bildquelle: Roth 2012a: 3)
Abbildung 9: Simulation 3 als erster Zugang zur Jakobsstabmessung mittels der zentrischen Streckung (Bildquelle: Roth 2012a: 3)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 21
In Aufgabe 4 werden
dann die Überlegungen,
die bei der vorherigen
Simulation zur Messung
mit dem Jakobsstab
genutzt wurden, zum
zweiten Strahlensatz ver-
allgemeinert. Allerdings
liegt zunächst der Fokus
darauf, den zweiten
Strahlensatz für eine
vorgegebene Strahlensatzfigur in Form der bekannten Verhältnisgleichung zu ermitteln. Die
Untersuchung, unter welcher Bedingung der Strahlensatz gilt, folgt im zweiten Teil der
Station. In Simulation 4 (vgl. Abb. 10) können die Schüler die Aussage des zweiten
Strahlensatzes dynamisch überprüfen (in dem sich die parallelen Geraden verschieben
lassen, ohne ihre Parallelität zu verletzen, und sich der Winkel zwischen den Strahlen
beliebig verändern lässt) und somit auf eine universale Strahlensatzfigur verallgemeinern.
Mit Teil 2 der Station „Strahlensätze“ werden die Ziele verfolgt, dass sich die Schüler die
Bedingungen, unter denen der zweite Strahlensatz gilt bzw. nicht gilt, erarbeiten (und sie
damit den Strahlensatz erst an dieser Stelle voll erfassen), sie ihre Kenntnisse zum zweiten
Strahlensatz auf die Messung mit dem Jakobsstab übertragen und die Messung im Gelände
planen (ein besonderes Augenmerk wird hierbei auf die korrekte Haltung des Jakobsstabs
gelegt), durchführen und reflektieren.
Abbildung 10: Simulation 4 zur Verallgemeinerung des zweiten Strahlensatzes auf alle Strahlensatzfiguren (Bildquelle: Roth 2012a: 4)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 22
Zunächst wird der zweite
Strahlensatz in Aufgabe 5
wieder ins Gedächtnis der
Schüler gerufen, bevor sie
mithilfe von Simulation 5 (vgl.
Abb. 11) die Bedingung unter-
suchen können, unter welcher
der Strahlensatz gilt. Hierzu
haben sie die Möglichkeit,
sowohl die Parallelität der
beiden die Strahlen schnei-
denden Geraden zu manipulieren als auch den Winkel zwischen den beiden Strahlen zu
variieren, um festzustellen, dass lediglich die Parallelität der beiden, die Strahlen
schneidenden Geraden entscheidend für die Gültigkeit des Strahlensatzes ist. Die
Variationsmöglichkeit des genannten Innenwinkels ist deshalb so relevant, da die Schüler bei
der späteren Messung die falsche Schlussfolgerung ziehen könnten, der Strahlensatz gelte
generell nur, wenn der „untere“ Strahl horizontal und die parallelen Geraden stets im
rechten Winkel zu ihm stehen. Um diese Fehlvorstellung zu vermeiden, ist es entscheidend,
dass die Schüler diese Simulation ausgiebig erkunden.
In Aufgabe 6 folgt
dann das „Herz-
stück“ der Station:
Die Planung, Durch-
führung und Reflex-
ion einer Messung
mit dem Jakobsstab.
Zunächst können die
Schüler sich mit dem
Messinstrument ver-
traut machen und
Abbildung 11: Simulation 5 zur Überprüfung der Voraussetzungen des zweiten Strahlensatzes (Bildquelle: Roth 2012a: 4)
Abbildung 12: Simulation 6 zur korrekten Durchführung einer Messung mit dem Jakobsstab (Bildquelle: Roth 2012a: 5)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 23
das Modell händisch erkunden. In Simulation 6 (vgl. Abb. 12) können sie anschließend
erproben, wie man den Jakobsstab halten muss, um eine korrekte Messung durchzuführen
(hier sollte insbesondere festgestellt werden, dass der Querstab parallel zum zu messenden
Objekt bzw. der Längsstab parallel zum Erdboden33 gehalten wird und die Spitze des zu
messenden Objekts korrekt angepeilt wird, so dass es gerade vollständig vom Querstab
verdeckt wird).
Nachdem die Schüler in einer kurzen
Aufgabe, bei der die Messwerte einer
Messung mit dem Jakobsstab angegeben
sind, die Höhe eines Objektes errechnet
haben, dürfen sie - ausgestattet mit
Maßband und Jakobsstab - je nach
Wetterlage einen Baum im Freien (vgl. Abb.
13) oder einen Türrahmen im Gebäude des
Mathematiklabors vermessen. Anschließend
können die Schüler die Höhe des gemessenen Objekts berechnen und ihre Messung
insbesondere auf Schwierigkeiten, mögliche Fehlerquellen und Messungenauigkeiten hin
reflektieren. Bei dieser Aufgabe wird neben der Messung im Gelände auch darauf Wert
gelegt, dass die Schüler weitere Erfahrungen mit Schätzungen und Fehlerquellen in realen
Messsituationen (entgegen der zumeist penibel korrekt beschriebenen Schulbuchaufgabe
mit nur einem exakten Ergebnis) machen.
In einer siebten und im zweiten Teil der Station eher optionalen Aufgabe können die Schüler
ihre Erfahrungen und Kenntnisse zum Jakobsstab und dem zweiten Strahlensatz vertiefen.
33
Hierbei wird zunächst von Idealbedingungen für die Messung ausgegangen, sodass z.B. keine Messung am Hang stattfindet.
Abbildung 13: Messung mit dem Jakobsstabmodell der Stationen "Strahlensätze" und "Jakobsstab & Co." (Bildquelle: Roth 2012a: 4)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 24
Die Ziele des dritten Stationsteils sind, dass die Schüler ihre Kenntnisse zum zweiten
Strahlensatz und ihre Erfahrungen mit dessen Nutzung in realen Messsituationen auf eine
Messung mit einem Zollstock übertragen und anschließend den noch fehlenden ersten
Strahlensatz erarbeiten.
Da für die Messung mit dem Jakobsstab eben ein solcher benötigt wird und somit eine
Messung zu Hause für die Schüler nicht möglich ist, wurde beschlossen, in Aufgabe 8 eine
weitere Messung durchzuführen, die auf haushaltsübliche Maßbänder und Zollstöcke
zurückgreift. Dabei soll die Entfernung eines Gebäudes bestimmt werden, das nicht
unmittelbar erreichbar ist und somit der Abstand nicht direkt, sondern nur mithilfe der
Kenntnisse über den zweiten Strahlensatz ermittelt werden kann (vgl. Abb. 14 und Abb. 15).
Abbildung 15: Skizze zur Messung der Entfernung zu einem Gebäude mithilfe eines Zollstocks und dem zweiten Strahlensatz (Bildquelle: Arbeitsheft 3 zur Station "Strahlensätze", S.4)
Abbildung 14: Entfernungsmessung mit dem Zollstock (Bildquelle: Arbeitsheft 3 zur Station "Strahlensätze", S. 4)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 25
Abbildung 16: Simulation 7 mit einer Mathematisierung der Problemstellung zum Schattenwurf (Bildquelle: Roth 2012a: 6)
Abbildung 17:Simulation 7 mit einer Mathematisierung der Problemstellung zum Schattenwurf (Bildquelle: Roth 2012a: 6)
In Aufgabe 9 können sich die Schüler den ersten Strahlensatz erarbeiten, indem sie die
Vorgehensweise bei der Erarbeitung des zweiten Strahlensatzes erneut anwenden. Hierbei
werden sie von Simulation 7 (vgl. Abb. 16 und 17) unterstützt, die die Schüler vor das
Problem stellt, dass die Höhe eines Baumes b lediglich durch Kenntnis der eigenen
Körpergröße a, des dazugehörigen Schattens c sowie des Baumschattens d ermittelt werden
soll. Eine entsprechende Übungsaufgabe, bei der mit konkreten Werten die Baumhöhe b
berechnet wird, rundet die Station ab.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 26
2.3 Design der Pilotstudie34
Die Laborstation „Strahlensätze“ wurde im Oktober und November 2011 von vier Klassen
der Konrad-Adenauer-Realschule plus in Landau (diese sollen im Folgenden vereinfacht
Laborklassen genannt werden) in je drei Doppelstunden über drei Wochen lang erprobt.
Eingebettet war diese Erkundung in das Projekt „SiMaL“35 („Strahlensätze im Mathematik-
Labor“), bei dem zum ersten Mal der Versuch gewagt wurde, sowohl eine große
Schüleranzahl in die Laborarbeit einzuschließen als auch eine umfassende Evaluation einer
solchen Station durchzuführen, mit der einigen der bereits genannten Forschungsfragen
nachgegangen werden soll. So fanden Videoaufzeichnungen, Analysen der Laborprotokolle,
Lehrerinterviews sowie vor der Laborerkundung ein Online-Vortest und im Anschluss an die
Exploration ein Online-Nachtest36 statt. Ein Follow-up-Test fand nicht statt. Als Kontroll-
klassen haben im Zeitraum November 2011 bis Januar 2012 drei neunte Klassen des Käthe-
Kollwitz-Gymnasiums in Neustadt an der Weinstraße am Vor- und Nachtest teilgenommen.
Zwischen den beiden Tests lag je eine gewöhnliche Unterrichtsreihe im Umfang von 6
Unterrichtsstunden zum Thema „Strahlensätze“, jedoch konnte der Schulunterricht nicht
erfasst werden, sodass keine genaue Aussage zu den Inhalten und dem exakten Umfang der
entsprechenden Reihe gemacht werden kann.
Ziel des Vortests ist es, herauszufinden, ob die Schüler die für die Erarbeitung der
Strahlensätze notwendigen Vorkenntnisse beherrschen, um so eine größtmögliche
Wirksamkeit und Schüleraktivierung zu erreichen37. Ziel des Nachtests ist die Feststellung,
welche Kenntnisse und Kompetenzen die Schüler bei der Erarbeitung der Strahlensätze
erworben haben und wie denjenigen Schülern, die die Laborstation bearbeitet haben,
selbige gefallen hat.
34
vgl. im Folgenden: Dexheimer 2012: 194f. 35
Weitere Informationen zum Projekt unter http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/einrichtungen/campus-schule/Medienordner/simal-projekt-campusschule.pdf (letzter Aufruf: 03.03.2013). 36
Alle Online-Befragungen wurden mit dem frei-verfügbaren Online-Umfrage-Tool „limesurvey“ erstellt sowie die Daten mit selbigem erhoben. Weitere Informationen unter: http://www.limesurvey.org/ (letzter Aufruf: 09.03.2013). Für die Umfragen zum Projekt „SiMaL“ wurde die limesurvey-Installation auf den Servern des Methodenzentrums der Universität Landau verwendet, somit gilt ein besonderer Dank dem Methodenzentrum sowie seinem geschäftsführenden Leiter Herrn Dr. Walter Schreiber. 37
vgl. Wittmann 2009: 15.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 27
Sowohl der Vor- als auch der Nachtest wurde für eine Bearbeitungszeit von rund 20 Minuten
angelegt und war bei den Laborklassen (LK) und den Kontrollklassen (KK) identisch.
Der Vortest38 ist wie folgt aufgebaut:
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Personen-
merkmale
2 X39 X - Klassenzuordnung
- Generierung des Teilnehmercodes
38
Eine Übersicht über alle Items aller vorgestellten Online-Fragebögen befindet sich als Printversion im Anhang dieser Arbeit. 39
Das Symbol „X“ steht für die Testierung der Items in den entsprechenden Klassen, bei einem fehlenden „X“ wurden die Items nicht getestet. Bei manchen Itemgruppen taucht außerdem das Symbol „(X)“ auf, falls leichte Unterschiede bei den Items sowohl in den LK als auch KK existieren, wie z.B. zusätzliche Fragen zur Laborarbeit, die nur von Schülern der LK beantwortet werden können und sollen. Die Unterschiede werden dann in der Spalte „Hinweise“ genauer erläutert.
Vortest (u.a. Vorwissen: Ähnlichkeit, zentrische Streckung, Bruchgleichungen.)
Mathematik- Labor, Station
„Strahlensätze“
4 Klassen (Laborklassen) der Campusschule (Konrad-Adenauer-Realschule in
Landau)
„Unveränderter“ Schulunterricht,
Thema Strahlensätze
3 Klassen (Kontrollklassen) des Käthe-Kollwitz-
Gymnasiums Neustadt a.d.W.
Nachtest (u.a. identische Items Vorwissen, Test zu den Strahlensätzen)
20 min
6
Unter-richts-
stunden
20 min
Abbildung 18: Untersuchungsverlauf der Pilotstudie zur Station "Strahlensätze"
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 28
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Vorwissen
zentrische
Streckung
2 X X schulbuchähnliche Aufgaben zum
Verständnis und zur Anwendung, davon
erfordert ein Item mathematisches
Begründen
Vorwissen
Ähnlichkeit
240 X X schulbuchähnliche Aufgaben zum
Verständnis und zur Anwendung, davon
erfordert ein Item mathematisches
Begründen
Vorwissen
Bruch-
gleichungen
2 X X schulbuchähnliche Aufgaben zur Lösung
von Bruchgleichungen (mit konkreten
Zahlwerten und Variablen)
Persönliche
Einschätz-
ungen
2 X X - Einschätzung der Mathematikleistung
- Einschätzungen des Interesses an den
Themen zentrische Streckung,
Ähnlichkeit und Bruchgleichungen
Tabelle 1:Übersicht über den Aufbau des Vortest zur Station "Strahlensätze"
Der Nachtest ist wie folgt aufgebaut:
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Personen-
merkmale
2 X X - Klassenzuordnung
- Generierung des Teilnehmercodes
Vorwissen
zentrische
Streckung
1 X X identisch mit einem Item des Vortests
Vorwissen
Ähnlichkeit
1 X X schulbuchähnliche Aufgabe zum
Verständnis und zur Anwendung
40
Ein Item hiervon war inhaltlich nicht eindeutig und somit irreführend formuliert. Dieses wurde nicht ausgewertet und wird im weiteren Verlauf nicht weiter betrachtet.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 29
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Vorwissen
Bruch-
gleichungen
1 X X identisch mit einem Item des Vortests
Kenntnisse
zu den
Strahlen-
sätzen
5 X X - schulbuchähnliche Aufgaben zum
Verständnis und zur Anwendung der
Strahlensätze
- ein Item prüft, ob die argumentative
Herleitung des zweiten Strahlensatzes
durch Kenntnisse über die zentrische
Streckung oder ähnliche Dreiecke
beherrscht wird
Messung mit
dem
Jakobsstab
141 X Aufgabe, die Logik (mentale
Vorstellungskraft) und Kenntnisse über
den Jakobsstab erfordern
persönliche
Einschätz-
ungen
3 X (X) - Einschätzung der Mathematikleistung
- Einschätzungen des Interesses am Thema
Strahlensätze (LK und KK) und der
Messung mit dem Jakobsstab (nur LK)
- Lernerfolg beim Thema Strahlensätze
Nutzung des
Hilfehefts
2 X Rückmeldung, ob die Hilfen genutzt
wurden und warum (bzw. warum nicht)
41
Dieses Item wird im weiteren Verlauf nicht weiter betrachtet, da es keinen Aufschluss über erworbene Fähigkeiten durch die Laborarbeit, sondern eher über logisches Denken und mentale Vorstellungskraft der Schüler gibt.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 30
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Beurteilung
Laborstation
5 X Möglichkeit,
- positives Feedback abzugeben
- negatives Feedback abzugeben
- Verbesserungsvorschlägen mitzuteilen
- die Laborarbeit mit dem Schulunterricht
zu vergleichen
- die Laborstation zu benoten
Feedback
zum Merk-
blatt42
2 X Rückmeldung, ob das Merkblatt genutzt
wurde und ob es hilfreich war bzw. warum
es nicht genutzt wurde
Sonstiges 1 X X Möglichkeit der individuellen
Rückmeldung (z.B. zur Befragung)
Tabelle 2: Übersicht über den Aufbau des Nachtests zur Station "Strahlensätze"
Abbildung 19: Beispiel für ein Testitem (Bildquelle: Screenshot der Originalansicht im Online-Fragebogen)
42
Am Ende der Laborarbeit wurde ein Merkblatt mit den wichtigsten Erkenntnissen zu den Strahlensätzen an die Schüler verteilt, da es zu diesem Zeitpunkt noch kein Heft „Gruppenergebnisse“ gab. Da dieses mitunter eine unübliche Grafik zu den Strahlensätzen enthielt, die das Mathematik-Labor-Team entwickelt hat und die Nützlichkeit und Verständlichkeit für die Schüler testen wollte, wurde hierzu dieses Item getestet.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 31
Für die Bewertung der Fähigkeiten der Schüler im Vortest wurde jeder der drei
Vorwissensbereiche als eine Itemgruppe aufgefasst. Die Auswertung der Items innerhalb der
Itemgruppen erfolgte in den meisten Fällen dichotom43. Die Bewertung einer Itemgruppe
ergibt sich jeweils aus dem arithmetischen Mittel der in den dazugehörigen Items erreichten
Bewertung. Anschließend wurde pro Schüler ein arithmetisches Mittel aus den erreichten
Werten in den drei Itemgruppen zum Vorwissen gebildet, was eine Gesamtbewertung des
Vortests für jeden Schüler darstellt.
Um den Einfluss von Störvariablen möglichst gering zu halten, fand vor dem Vergleich der
Nachtestergebnisse der Labor- und Kontrollklassen eine Parallelisierung statt, indem
„matched samples“44 gebildet wurden. Hierbei wurden Schülerpaare mit je einem Schüler
aus einer Labor- und einem einer Kontrollklasse gebildet, die dasselbe Ergebnis in den drei
Itemgruppen des Vortests erhielten. Spaltet man diese Paare nun so auf, dass alle Schüler
aus einer der Laborklassen eine Gruppe bilden und alle aus einer der Kontrollklassen zu einer
weiteren Gruppe, so erhält man zwei Gruppen mit möglichst ähnlichen Voraussetzungen
und Eigenschaften: die Laborgruppe (im Folgenden abkürzend LG genannt) und die
Kontrollgruppe45 (im Folgenden abkürzend KG genannt).
Auf dieser Grundlage konnten dann die Ergebnisse des Nachtests dieser beiden Gruppen (LG
und KG) verglichen werden, wobei mit möglichst geringen Störvariablen aufgrund der
ähnlichen Voraussetzungen bzw. Eigenschaften in den beiden Gruppen zu rechnen ist.
Die Auswertung des Nachtests erfolgte ebenfalls dichotom.
43
Bei einer dichotomen Auswertung wird eine korrekte Antwort mit dem Wert 1, eine auch nur geringfügig, teilweise oder völlig falsche Antwort mit dem Wert 0 bewertet. Im Falle von Multiple-Choice-Fragen bedeutet dies, dass alle korrekten Antworten ausgewählt und alle falschen nicht ausgewählt sein müssen. Bei offenen Aufgaben wurde (insbesondere im Falle mehrstufiger Argumentationsprozesse) von diesem Verfahren abweichend auch der Wert 0,5 vergeben, falls ein Argumentationsprozess zwar unvollständig bzw. nicht vollständig korrekt ist, aber dennoch Ansätze eines korrekten Argumentationsprozesses erkennbar sind. 44
Beim „Matching“ bzw. „Bilden von matched samples“ wird versucht, Paare mit einer Person der untersuchten Gruppe und einer Person aus einer Kontrollgruppe zu bilden, wobei die beiden Personen pro Paar ähnliche (im Idealfall identische) Eigenschaften aufweisen. 45
An dieser Stelle sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass nun ein deutlicher Unterschied zwischen Laborklasse (LK) und Laborgruppe (LG) sowie Kontrollklasse (KK) und Kontrollgruppe (KG) besteht. Während mit LK und KK alle befragten Schüler gemeint sind, werden unter LG und KG nur noch diejenigen Schüler verstanden, die beim Matching als matched samples gefunden wurden. Hierdurch sind LG und KG gleichmächtig und aufgrund ähnlicher Voraussetzungen besser vergleichbar.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 32
2.4 Ergebnisse einer Pilotstudie zur Wirksamkeit der Station „Strahlensätze“46
Aufgrund der in Kapitel 2.3 beschriebenen Gestaltung der Fragebögen, die vorwiegend
mathematische Leistung im Sinne einer Bearbeitung von Aufgaben, die eher mathematische
Kenntnisse und ihre Anwendung erfordern als mathematisches Begründen und
Argumentieren, sollte zunächst eine Aussage darüber gemacht werden, ob es Schülern der
Laborgruppe in gleichem Maß gelingt, ihre Vorkenntnisse während der Erkundung so
einzubringen, dass sie die Strahlensätze und ihre Anwendung ebenso gut wie die Schüler der
Kontrollgruppe beherrschen. Es wurde somit nicht erwartet, weiter Aufschluss darüber zu
erhalten, inwieweit „Mathematik betrieben“ und der Themenkomplex Strahlensätze
durchdrungen wurde, da dies der gestaltete Fragebogen nicht leisten konnte. Weiter sollten
vor allem Rückmeldungen dazu gesammelt werden, wie den Schülern die Laborstation
gefallen hat. Da die Laborstation zum ersten Mal erkundet wurde und die Fragebögen zum
ersten Mal Bestandteil einer Untersuchung am Mathematik-Labor „Mathe ist mehr“ waren,
erhoffte man sich weiter, Informationen darüber zu erhalten, wie sich die Laborstation (zur
Steigerung des mathematikdidaktischen Mehrwerts) sowie das Untersuchungsdesign
optimieren lassen.
Insgesamt haben 107 Schüler der Laborklassen und 73 Schüler der Kontrollklassen am
Vortest teilgenommen. Aus diesen Teilnehmern konnte (unter denjenigen Schülern, die an
beiden Tests teilgenommen haben) 53 matched samples gefunden werden47. Beim Nachtest
haben 108 Schüler der Laborklassen und 83 Schüler der Kontrollklassen teilgenommen.
Bei der Auswertung der Itemgruppe zum Themengebiet „Strahlensätze“ zeigte sich, dass die
Laborgruppe mit einem Mittelwert von 0,29 trotz der Parallelisierung deutlich schlechter
abgeschnitten hat als die Kontrollgruppe, die einen Mittelwert von 0,53 erzielte. Dies lässt
aber zunächst nicht per se den Schluss zu, dass die Laborstation ihr Ziel, den Schülern eine
Lernumgebung zu gestalten, mit der sie sich die Strahlensätze in einem gleichwertigen
Umfang wie in den Kontrollklassen erarbeiten können, verfehlt hat. Das schlechte
46
vgl. im Folgenden: Dexheimer 2012: 195f. Alle Daten wurden mit Microsoft Excel ausgewertet. Die Auswertungstabellen sind auf der CD-Rom zu dieser Arbeit verfügbar und können beim Autor in elektronischer Form angefordert werden. Alle Kontaktinformationen des Autors sind auf dem Deckblatt dieser Arbeit zu finden. 47
In dem Falle, dass mehrere Personen einer Gruppe zu einer Person aus der anderen Gruppe passen, hat ein Zufallsmechanismus, der mit Microsoft Excel erstellt wurde, entschieden.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 33
Abschneiden der Laborgruppe in Bezug auf die „Mathematikleistung“ im Gebiet
Strahlensätze sollte mit Vorsicht und unter Berücksichtigung der zwei folgenden
entscheidenden Faktoren und Schwierigkeiten bei der Untersuchung interpretiert werden:
1) Von Beginn an wiesen die Laborklassen deutlich größere Lücken in Bereichen des
Vorwissens auf (48,6% der Schüler konnte keine einzige Frage zum Vorwissen korrekt
beantworten, vgl. Abb. 20), während die Kontrollklassen eine relativ gleichmäßige
Leistungsverteilung aufwiesen. Diese Erkenntnis lässt vermuten, dass das Vorwissen
im Vorfeld nicht so intensiv gefestigt wurde, wie es zum erfolgreichen Erarbeiten der
Strahlensätze innerhalb der Station notwendig gewesen wäre. Auch dass die
Laborgruppe und Kontrollgruppe aus pragmatischen Gründen aus unterschiedlichen
Schulformen stammen, stellte sich bereits an dieser Stelle für einen aussagekräftigen
Vergleich als problematisch heraus. Somit ergab sich auch das nicht unwesentliche
Problem, dass nach der Parallelisierung die Ergebnisse von 74 Schülern nicht mehr
untersucht werden konnten, da sich durch die sehr unterschiedliche Verteilung in
den Labor- und Kontrollklassen kein passendes Sample finden ließ.
Abbildung 20: Anteil der Schüler nach erzieltem Ergebnis (Mittelwert über die Itemgruppen) im Vortest
48,6
28,0
10,3 10,3
1,9 0,9
19,2 20,5 21,9 24,7
12,3
1,4
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
0 0,167 0,333 0,5 0,667 0,833 1
%
Gesamtbewertung des Vortests
Laborklassen (n=107)
Kontrollklassen (n=73)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 34
2) Weiter bestand das Problem, dass bei den Laborklassen leider keine Übungs- und
Vertiefungsphasen zwischen den Besuchsterminen stattgefunden haben und die
Laborstation zu wenige Übungsaufgaben (die vergleichbar mit gewöhnlichen
Übungsaufgaben und den im Nachtest geforderten Aufgaben) aufweist. Zwar wurde
der Unterricht in den Kontrollklassen nicht erfasst, dennoch ist davon auszugehen,
dass hier einige Zeit auf die Übung genau solcher Aufgaben aufgewendet werden
konnte. Dies zeigt zum einen, dass eine stärkere Einbindung der Laborarbeit in den
Unterricht vonnöten ist (sodass dort genügend Zeit zur Übung des im Mathematik-
Labor Erarbeiteten bleibt) und dass die Station selbst zu wenige Möglichkeiten bietet,
das Erarbeitete zu üben und zu festigen. Auch diese Tatsache macht es sehr
schwierig, die Ergebnisse im Nachtest von Laborgruppe und Kontrollgruppe ohne
weiteres zu vergleichen.
Aufgrund der beschriebenen Probleme bei der Untersuchung erscheint es nicht angemessen,
belegbare Aussagen über die Wirksamkeit der Laborstation bezüglich der Leistungs-
entwicklung der untersuchten Schüler zu treffen. Jedoch konnten durch die offenen Fragen
zum Gefallen der Station wertvolle Erkenntnisse zur Gestaltungsoptimierung gewonnen
werden. Hierzu wurden die offenen Antworten der Schüler geclustert und lassen sich nach
ihrer Häufigkeit in den beiden nachfolgenden Balkendiagrammen ablesen (vgl. Abb. 21 und
22).
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 35
Abbildung 21: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als positiv wahrgenommen wurden (Die Zuordnung einer Aussage zu mehreren Clustern war möglich.)
Die von den Schülern als positiv empfundenen Bestandteile der Laborstation bzw. der Arbeit
im Mathematik-Labor allgemein zeigen, dass die konzeptionelle Ausgestaltung und
Zielsetzung des Mathematik-Labors zu weiten Teilen auch von den Schülern bestätigt und
mitgetragen wird. So empfindet ein deutlicher Anteil der 108 im Nachtest befragten Schüler
die Gruppenarbeit (Sozialform, Häufigkeit: 48), das Messen mit dem Jakobsstab (Praxisanteil,
Häufigkeit: 43) und den Einsatz des Videos und der Simulationen (Medieneinsatz, Häufigkeit:
24) als positiv. Immerhin sechs Schüler erwähnen auch, dass ihnen die eigenständige
Beschäftigung mit den Strahlensätzen und der Messung mit dem Jakobsstab gut gefallen hat.
Dies zeigt, dass die Gestaltung in diesen Punkten keiner großen Änderung bedarf und
deshalb daran festgehalten werden sollte.
4
5
6
9
11
24
43
48
0 10 20 30 40 50
alles gefallen
Abwechslung
eigenständige Beschäftigung
Sonstiges
Unterstützung/Hilfe
Medieneinsatz
Praxisanteil
Sozialform
Was hat dir an der Laborstation gut gefallen? (n=108)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 36
Schüler haben hierzu beispielsweise folgendes geschrieben48:
„Im Mathematik-Labor konnte man die Aufgaben ausprobieren an richtigen
Gegenständen und ich fande man hat sie dadurch besser verstanden.“
„… ich finde es schöner das Wissen in Gruppen miteinander auszutauschen weil wir
eher auf einem geistlichen Niveau sind als mit unserem Lehrer, was die arbeit auch für
ihn erleichtern würde.“
„Das Lernen im Mathematik-Labor hat mir gezeigt das man mit etwas Praxis und
mehreren Hilfestellungen das Thema doch gut erlernen kann und verstehen kann.“
Abbildung 22: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als eher negativ wahrgenommen wurden (Die Zuordnung einer Aussage zu mehreren Clustern war möglich.)
Die Aussagen der Schüler dazu, was ihnen weniger gut an der Laborstation und –arbeit
gefallen hat, decken sich auch mit meinen passiven Beobachtungen: Die Schüler waren mit
den Aufgaben überfordert. Dies lag vor allem daran, dass die Art der Aufgabenstellung
häufig (trotz der eingeschränkten Offenheit) noch zu offen war, um den eigenständigen
Lernprozess in angemessener Art zu unterstützen. Weitere Vorstrukturierungen hätten das
von den Schülern wahrgenommene Anforderungsniveau und die Stofffülle reduziert. Auch
48
Die Kommentare der Schüler werden ohne Korrektur wiedergegeben. Alle Kommentare lassen sich in der Microsoft Excel-Tabelle zur Auswertung des Nachtests auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom finden.
5
8
9
13
14
15
16
27
0 10 20 30 40 50
mangelndes Teamwork
Stofffülle
Erhebungsinstrumente
fehlende Unterstützung/Hilfe
Sonstiges
langweilig (insb. Film)
Anforderungsniveau zu hoch
nichts
Was hat dir nicht oder weniger gut gefallen? (n=108)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 37
das fehlende Feedback bzw. Rückmeldungen von Betreuern zur Bearbeitung49 sollte ernst
genommen werden, wodurch Handlungsbedarf bei der Gestaltung entsteht. Den Schülern
sollten somit zusätzliche Möglichkeiten geboten werden, bei wichtigen Ergebnissen ein
Feedback durch die anwesenden Betreuer einzuholen. Bei der genannten Kritik, die
Laborstation sei langweilig, ist zu beachten, dass der Einsatz des Jakobsstabs bei
leistungsschwächeren Gruppen erst beim dritten Laborbesuch erfolgte, sodass das Leitmotiv
die Motivation bei vielen Papier- und Bleistiftaufgaben sowie Simulationen nicht bis dahin
aufrecht halten konnte. Diese Erkenntnisse decken sich auch mit den
Verbesserungsvorschlägen, die die Schüler gemacht haben (Abb. 23).
Abbildung 23: Häufigkeit von Verbesserungsvorschlägen, um die Laborstation oder –arbeit für die Schüler ansprechender
zu gestalten (Die Zuordnung einer Aussage zu mehreren Clustern war möglich.)
Hier wurde vor allem ein besseres Feedback (insb. sind hiermit persönliche Hilfen und
Rückmeldungen von Betreuern gemeint, ob Aufgaben korrekt bearbeitet wurden), ein
höherer Praxisanteil (wobei dies auch auf den zu späten Einsatz des Jakobsstabs
49
Zu beachten ist an dieser Stelle jedoch, dass einige Schüler die Betreuung auch als sehr gut empfunden haben, da deutlich mehr Ansprechpartner als im gewöhnlichen Schulunterricht anwesend waren und Unterstützung angeboten haben. vgl. hierzu Abb. 21.
6
7
9
12
20
30
0 10 20 30 40 50
Stofffülle reduzieren
Anforderungsniveau verringern
mehr Praxis
Sonstiges
bessere Unterstützung/Feedback
keine Vorschläge
Verbesserungsvorschläge
(n=108)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 38
zurückzuführen ist und somit als Wunsch nach einem früheren Modelleinsatz verstanden
werden kann) sowie die Reduzierung des Anforderungsniveau und der Stofffülle gewünscht.
Trotz der kritischen Anmerkungen der Schüler hat die Laborstation bei der Möglichkeit einer
Vergabe von Schulnoten durch die Schüler immerhin eine Note von 2,43 (arithmetisches
Mittel, es konnten nur „ganze“ Schulnoten vergeben werden) erzielt (vgl. Säulendiagramm in
Abb. 24).
Abbildung 24: Verteilung an durch die Schüler vergebenen Schulnoten für das Gefallen der Laborstation
Zwar konnte die Pilotstudie keine brauchbare Aussage über die Wirksamkeit der
Laborstation in Bezug auf die Leistungsentwicklung der Schüler geben, umso mehr konnte
sie jedoch Aufschluss über die Möglichkeiten zur Optimierung der Laborstation geben. Einige
dieser Optimierungsschritte habe ich im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt und die Station
„Strahlensätze“ mit den Erkenntnissen aus dieser Pilotstudie zur Station „Jakobsstab & Co.“
weiterentwickelt. Diese soll im nachfolgenden Kapitel vorgestellt werden.
29
37
21
12
6 3
sehr gut gut eher gut eher nicht gut nicht gut gar nicht
Wie hat dir die Laborstation insgesamt gefallen? (n = 108)
𝒙 ̅ = 2,43
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 39
3. Optimierung der Station „Strahlensätze“ und Weiterentwicklung zur
Station „Jakobsstab & Co.“
Die Pilotstudie zur Station „Strahlensätze“ sowie die Erfahrungen, die während der ersten
Phase50 des Projekts „SiMaL“ gesammelt werden konnten, waren für das Team des
Mathematik-Labors sehr aufschlussreich und gaben ihm die Möglichkeit, einen umfassenden
Katalog an Möglichkeiten zur Optimierung der Lernumgebung Mathematik-Labor zu
erstellen und einige konzeptionelle Änderungen zu beschließen. Diese werden in der
vorliegenden Arbeit jedoch nicht vollständig dargestellt. Nur diejenigen
Optimierungsmaßnahmen, die einen direkten Einfluss auf die realisierten Veränderungen an
der Station „Strahlensätze“ und dem dazugehörigen Untersuchungsdesign hatten, sollen im
Folgenden erläutert werden.
3.1 Maßnahmen zur Optimierung
Es fanden im Rahmen dieser Arbeit Optimierungsmaßnahmen auf drei Ebenen statt: auf
Ebene der Laborstation als Lernumgebung für die Schüler, auf Ebene der Einbindung der
Laborstation in den Schulunterricht und auf Ebene des Untersuchungsdesigns.
1) Optimierungsmaßnahmen auf Ebene der Laborstation
Die von den Schülern geforderte, frühere und intensivere Einbindung des
gegenständlichen Modells Jakobsstab in die Laborstation wurde so
umgesetzt, dass er durchgängig von Beginn an die Laborarbeit prägt und
damit auch den Namen der Station „Strahlensätze“ zu „Jakobsstab & Co.“
abgeändert wurde. Hierzu wurde jedoch auf die „Auffrischung“ des
Vorwissens verzichtet, da die bisherigen Aufgaben 1 und 2 zur Ähnlichkeit und
zentrischen Streckung auch nicht dazu dienten, gegebenenfalls fehlendes
Wissen zu ergänzen, sondern lediglich eine Wiederholung bereits
bestehender Fähigkeiten darstellen. Da sie in dieser Form für die Erarbeitung
der Strahlensätze keinen wirklichen Mehrwert bieten und die Integration des
Jakobsstabs in die Laborarbeit verzögern, wurde hierauf verzichtet.
50
Die bisherigen Ausführungen sollen als erste Phase des Projekts „SiMaL“ bezeichnet werden, da mit der in diesem Kapitel vorgestellten Optimierung eine zweite Phase des Projekts beginnt.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 40
Um den Schülern mehr Möglichkeiten zu geben, sich ein Feedback bei den
Betreuern einholen zu können, wurde vom Team des Mathematik-Labors
entschieden, ein Heft „Gruppenergebnisse“ zu ergänzen 51 , in dem die
wichtigsten Ergebnisse der Gruppenarbeit eingetragen werden sollen. In
diesem Heft wird zusätzlich nach jeder wichtigen Etappe des Lernprozesses
die Aufforderung erfolgen, sich gegenseitig das bisher Gelernte zu erklären,
sodass jeder in der Lage ist, es zu erläutern, und anschließend einen Betreuer
zu holen, dem man dies erklärt oder nochmals Nachfragen stellen kann. Nur
wenn alle Inhalte bis zu dieser Etappe verstanden sind, darf an der
Laborstation weitergearbeitet werden.
Weiter wurden die Arbeitshefte stets durch optionale Aufgaben am Ende
ergänzt, um zum einen zu ermöglichen, dass schnellere und langsamere
Gruppen möglichst zeitgleich zum nächsten Teil der Station wechseln können
und zum anderen, dass weitere, bisher viel zu gering vorhandene Übungs-
und Vertiefungsphasen integriert werden.
Da die Schule, an der die Station „Jakobsstab & Co.“ für die zweite Phase des
Projekts „SiMaL“ durchgeführt und evaluiert wurde ein rheinland-pfälzisches
G8-Gymnasium ist und somit das Thema „zentrische Streckung“ nicht mehr
im Unterricht behandelt, aber auch da die Erfahrung aus der ersten Phase des
Projekts SiMaL gezeigt hat, dass die Schüler immer dann, wenn ihnen beide
Zugangsmöglichkeiten zur Verfügung standen eher hin- und hergewechselt
sind und sich nicht bewusst für einen der beiden Zugänge entschieden haben,
wurden in allen Aufgaben und Simulation nur noch der Zugang über das
Thema „Ähnlichkeit“ eröffnet. Dies stellt auch in den Augen des Autors aus
pragmatischen Gründen leider eine deutliche Einschränkung in der Offenheit
und beim Erkennen der Zusammenhänge zwischen der Ähnlichkeit, der
zentrischen Streckung und den Strahlensätzen dar.
Da die Laborstation „Jakobsstab & Co.“ sich auch zum Ziel gesetzt hat, den
ersten Strahlensatz früher in die Laborarbeit zu integrieren (viele Schüler der
51
Zwar wurde in der Beschreibung der konzeptionellen Ausrichtung des Mathematik-Labors in Kapitel 1 das Heft „Gruppenergebnisse“ bereits aufgeführt, dieses war jedoch vor der Auswertung der Pilotstudie noch nicht Bestandteil der schriftlichen Arbeitsmaterialien. Jedoch wurde in Kapitel 1 bereits der aktuelle Stand der konzeptionellen Ausrichtung des Mathematik-Labors beschrieben.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 41
ersten Phase des Projekts „SiMaL“ sind nicht bis zur Erarbeitung des ersten
Strahlensatzes gekommen) und damit sicherzustellen, dass beide
Strahlensätze erarbeitet werden, wurde das Kürzen der Aufgaben 1 und 2
zum Vorwissen auch dazu genutzt, anschließend an die Messung mit dem
Jakobsstab die Erarbeitung des ersten Strahlensatzes mittels der Aufgabe zum
Schattenwurf bereits im zweiten Teil der Station zu behandeln. Weiter wurde
statt Aufgabe 8 (Messung mit dem Zollstock, die nochmals unter Verwendung
des zweiten Strahlensatzes erfolgt) eine Aufgabe zum Daumensprung
eingefügt, die zum einen ebenfalls mit haushaltsüblichen Werkzeugen
durchführbar ist und zum anderen Kenntnisse zum ersten Strahlensatz und
der X-Figur erfordern. (Hierdurch kommt im Namen der Station auch die
Ergänzung „& Co.“ zustande.) Somit ist es gelungen, auch einen „neuen“
mathematischen Inhalt (nämlich die X-Figur) in die Station zu integrieren.
2) Optimierungsmaßnahmen auf Ebene der Einbindung der Laborstation in den
Schulunterricht
Entscheidend für die Wirksamkeit einer Laborstation ist das Schaffen einer
gelungenen Schnittstelle zwischen Schule und Mathematik-Labor. Durch die
Erfahrungen aus der ersten Phase des Projekts „SiMaL“ wurde klar, dass trotz
eines regen Austauschs den beteiligten Lehrkräften nicht deutlich genug war,
was sie im Mathematik-Labor erwartet, wie sie den Besuch gelungen vor- und
nachbereiten und den Mathematikunterricht zwischen den Besuchen für die
Laborarbeit sinnvoll nutzen. Deshalb wurde ein umfassendes Dokument
entworfen, das das Konzept des Mathematik-Labors ausführlich erläutert, die
Lernziele, die vor Beginn der Laborarbeit erreicht werden sollen, explizit
auflistet und deren Relevanz deutlich macht52 sowie Hinweise zur Einbindung
des Besuchs in den Schulunterricht gibt. Weiter wurde ein intensiver, wie
persönlicher Kontakt mit allen an der Evaluation der Station „Jakobsstab &
Co.“ beteiligten Lehrkräften gepflegt, der nicht nur den Ablauf, sondern auch
Dialoge über die mögliche Vor- und Nachbereitung umfasste. 52
Auch dies wurde vom Team des Mathematik-Labors beschlossen, verbunden mit der Hoffnung, dass dann das entsprechende Vorwissen zur erfolgreichen Bearbeitung der Laborstation bei Beginn vorhanden ist. Diese Informationsbroschüre findet sich ebenfalls auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 42
Eine Besonderheit ergab sich auf der Grundlage, dass das Gymnasium
Weierhof am Donnersberg53, das sich für die Untersuchungen im Rahmen der
zweiten Phase des Projekts SiMaL zur Verfügung gestellt hat, geographisch
weit vom Mathematik-Labor in Landau entfernt ist, sodass ich die Materialien
mit an die Schule genommen habe und so die Laborarbeit in der gewohnten
Umgebung an der Schule stattgefunden hat.
3) Optimierungsmaßnahmen auf Ebene des Untersuchungsdesigns
Bei der Auswahl der Labor- und Kontrollklassen sollte bereits vorab darauf
geachtet werden, dass die Gruppen möglichst identische Voraussetzungen
mitbringen. Zumindest sollten die Klassen von derselben Schulform, im
Idealfall von derselben Schule oder sogar von derselben Lehrkraft unterrichtet
worden sein. In der später dargestellten Untersuchung ist es gelungen, vier
Klassen des genannten Gymnasiums für die Evaluation zu gewinnen, wovon
sich zwei als Labor- und zwei als Kontrollklassen zur Verfügung stellen.
Bei der Gestaltung der Fragebögen sollten prinzipiell mehr Items geprüft
werden, es sollte nicht nur eine reine Überprüfung von Wissen und dessen
Anwendung sein, sondern auch Aufgaben getestet werden, die
Problemlösekompetenzen in beschriebenen Anwendungssituationen
erfordern. Zusätzlich sollten mehr identische Items in Vor- und Nachtest
verfügbar sein. All diese Punkte wurden bei der Gestaltung der Online-
Fragebögen54 für die zweite Phase des Projekts „SiMaL“ beachtet.
Die bisherigen Vor- und Nachtests konnten keine Aussage über nachhaltige
Effekte machen. Deswegen sollen die Laborstationen in Zukunft zusätzlich mit
einem Follow-up-Test evaluiert werden. Gerade hier verspricht man sich
nachhaltigere Wissensbestände, insbesondere durch den Bezug zum
genutzten gegenständlichen Modell. Im Falle der Untersuchung zu dieser
Arbeit wurden alle vier Klassen vier Monate nach der Laborerkundung erneut
befragt. Hierbei wurden die Items des Nachtests erneut testiert.
53
Weitere Informationen zum Gymnasium unter: http://www.weierhof.org/ (letzter Aufruf: 11.03.2013) 54
Im Einzelnen zeigen dies die Printversionen der Fragebögen auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom und die Übersichten über die einzelnen Items der Online-Fragebögen im Anhang dieser Arbeit.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 43
Die aufgeführten Optimierungsmaßnahmen zeigen, dass etliche Veränderungen an der
Station durchgeführt wurden, die einen positiven Einfluss auf die Wirksamkeit erwarten
lassen. Dass es dennoch weiteren, deutlichen Optimierungsbedarf gibt und auch bei dieser
Untersuchung einige, durchaus unerwartete Probleme aufgetaucht sind, wird sich im
weiteren Verlauf zeigen. Dennoch ist, wie sich im weiteren Verlauf zeigen wird, mit diesem
umfassenden Maßnahmenkatalog eine deutliche Optimierung der Laborstation und ihrer
Evaluation gelungen.
3.2 Konzeptionelle Gestaltung der Station „Jakobsstab & Co.“55
Bei der konzeptionellen Ausgestaltung der Station „Jakobsstab & Co.“ sollte der Jakobsstab
stärker als zuvor im Zentrum der Station stehen. Sowohl die Messung mit dem Jakobsstab als
auch die Messung mit dem Daumensprung sollen die Schüler für die Beschäftigung mit den
Strahlensätzen motivieren. Der Aufbau der Station sollte weiter sicherstellen, dass selbst bei
Zeitproblemen am Ende der Station beide Strahlensätze ausgiebig erarbeitet wurden und die
X-Figur auf ihre Eigenschaften untersucht wurde. Leider war zu Beginn klar, dass langsamere
Gruppen ggf. nicht bis zur Messung mit dem Daumensprung kommen würden. Dies ist zwar
weniger erfreulich, da dieser in der Station eine zum Jakobsstab zusätzlich wichtige Rolle
spielt, wäre aber akzeptabel, solange alle Schüler am Ende der Station denselben
Kenntnisstand erwerben konnten.
Als Lernvoraussetzung für die Bearbeitung der Station werden die sichere Beherrschung von
Standard-Schulaufgaben zu den Themen „Ähnlichkeit“ und „Lösen von Bruchgleichungen“
gesehen (die zentrische Streckung musste wie beschrieben nicht mehr beherrscht werden),
die die Schüler vor Beginn der Laborerkundung im Schulunterricht erworben haben sollten.
Viele Bestandteile der Station „Strahlensätze“, wie z.B. die Simulationen sowie die komplette
Aufgabe zur Messung mit dem Jakobsstab, konnten (meist in geringer Veränderung)
übernommen werden. Komplett neu wurden die Aufgaben zum Daumensprung und der X-
Figur sowie sämtliche Lernkontrollen im Gruppenergebnisheft entwickelt.
Das Konzept der Station soll in folgendem Schaubild (Abb. 25) verdeutlicht werden.
55
Die Arbeitshefte sowie das Gruppenergebnisheft befinden sich als Printversion im Anhang dieser Arbeit sowie als digitale Version auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 44
-
Abbildung 25: Aufbau der Station "Jakobsstab & Co."
Station "Jakobsstab & Co." - Teil 3
Ziele: Kenntnisse über die Strahlensätze auf die X-Figur übertragen, eine Messung mit dem Daumensprung planen, durchführen und reflektieren
Aufgabe 8: Daumensprung
und X-Figur
Gruppen-ergebnis: Die X-
Figur
Aufgabe 9: Messung mit
dem Daumensprung
Gruppen-ergebnis:
Messen mit dem Daumen-
sprung
Aufgabe 10: Übungen (optional)
Station "Jakobsstab & Co." - Teil 2
Ziele: Jakobsstabmessung planen, durchführen und reflektieren, den ersten Strahlensatz erarbeiten und anwenden
Aufgabe 5: Messen mit
dem Jakobsstab
Gruppenergeb-nis: Messungen
mit dem Jakobsstab
durchführen
Aufgabe 6: Schattenwurf
und erster Strahlensatz
Gruppenergeb-nis: Der erste Strahlensatz
Aufgabe 7: Übungen (optional)
Station "Jakobsstab & Co." - Teil 1
Ziele: Motivationale Einstimmung, den Jakobsstab untersuchen und ähnliche Dreiecke in seiner Kontruktion finden, Erarbeitung des zweiten Strahlensatzes, Kenntnisse über ihn
auf die Jakobsstabmessung übertragen
Film zum Jakobsstab
Aufgabe 1: Den
Jakobsstab entdecken
Aufgabe 2: Wie funk-
tioniert der Jakobsstab
Aufgabe 3: Der zweite
Strahlensatz
Gruppen-ergebnis:
Der zweite Strahlensatz
Aufgabe 4: Übungen (optional)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 45
Direkt nach dem Einstiegsvideo, das auch in
dieser Station zum Einsatz kommt,
bekommt jede Gruppe zur Bearbeitung von
Aufgabe 1 einen Jakobsstab sowie zwei
Dreiecke aus Pappe (vgl. Abb. 26), die sich
so in den Jakobsstab legen lassen, dass es
den Schülern ermöglicht werden soll,
modellhaft ähnliche Dreiecke im Jakobsstab
wiederzufinden. Nachdem sie eine erste kurze Information zum Jakobsstab und dem in der
Station genutzten Modell erhalten haben, sollen sie Aussagen über das Verhältnis sich
entsprechender Seitenlängen in den beiden Dreiecken erkunden. Hiermit haben sie bereits
sehr schnell56 für diesen speziellen Fall den zweiten Strahlensatz erarbeitet, ohne dass dieser
zum jetzigen Zeitpunkt bereits als solcher benannt wird. Dies soll erst nach einer genaueren
Erkundung, in welchen Fällen der Strahlensatz gilt, und somit nach einer allgemeinen
Formulierung seiner Aussage erfolgen.
In Aufgabe 2 können sie ihre
bisherigen Erkenntnisse auf
eine modellierte, aber der
realen Messung ähnlichere
Situation übertragen. Hierbei
hilft ihnen Simulation 157, bei
der sie die beiden ähnlichen
Dreiecke, die auch bei der
realen Messung betrachtet
werden, erkennen sollen.
56
Dies liegt daran, dass die Aufgaben gerade zu Beginn noch stark geleitet und vorstrukturiert sind. Jedoch können dadurch die oft eintretenden Anfangsschwierigkeiten aufgrund einer zu großen Offenheit deutlich reduziert werden. 57
Diese Simulation entspricht im Wesentlichen der Simulation 3 der Station „Strahlensätze“, jedoch aus beschrieben Gründen ohne die Möglichkeit des Zugangs über die zentrische Streckung. Weiter wurden etliche Fehler in der Simulation behoben, wie z.B. dass die Kontrollmöglichkeit viele korrekte Lösungen als falsche gekennzeichnet hat, was einen gravierenden Fehler darstellt und für Schüler verwirrend und frustrierend sein kann.
Abbildung 26: Materialabbildung mit Jakobsstab und den ähnlichen Dreiecken aus Pappe zu Aufgabe 1 (Bildquelle: Arbeitsheft zur Station "Jakobsstab & Co." - Teil 1, S. 2)
Abbildung 27: Simulation 1 der Station "Jakobsstab & Co." (Bildquelle: Screenshot der online verfügbaren Simulation)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 46
Anschließend sollen die Schüler mithilfe der in der Simulation gefundenen ähnlichen
Dreiecke sowie vorgegebener Messwerte einer Messung mit dem Jakobsstab eine erste
Berechnung der Höhe eines Turms durchführen.
Erst in Aufgabe 3 verallgemeinern die Schüler ihre erworbenen Kenntnisse. Sie sollen nun –
losgelöst von der spezifischen Anwendungssituation – die Eigenschaften einer
Strahlensatzfigur benennen und den zweiten Strahlensatz für eine allgemeine
Strahlensatzfigur formulieren. Hierzu steht ihnen Simulation 2 zur Verfügung, die der
Simulation 4 aus der Station „Strahlensätze“ entspricht, bei der die Schüler die
Voraussetzung für den zweiten Strahlensatz ermitteln können.
Ihre Ergebnisse können sie dann in das für diese Station entwickelte Heft
„Gruppenergebnisse“ eintragen. Nachdem sie die Ergebnisse nochmals gemeinsam
besprochen und sichergestellt haben, dass jeder in der Gruppe die Aussage und Anwendung
des zweiten Strahlensatzes verstanden hat, können sie einen Betreuer zur Kontrolle bzw. zur
Klärung noch offener Fragen rufen. Hierzu werden die Schüler regelmäßig nach jedem
Eintrag im Heft „Gruppenergebnisse“ mit einem auch deutlich hervorgehobenen Auftrag
(siehe Abb. 28) aufgefordert, da dies nach dem Beschluss der Optimierungsmaßnahmen ein
wesentliches Element der Laborarbeit ist.
Zur Sicherheit: Besprecht eure letzten Ergebnisse, sodass jeder von euch alle Inhalte verstanden hat. Holt im Anschluss eine Laborbetreuerin/einen Laborbetreuer hinzu, der/dem ihr eure Ergebnisse erklärt. (Achtung: Jeder von euch sollte hierzu in der Lage sein!) Erst dann solltet ihr weiterarbeiten!
Abbildung 28: Auftrag zur Lernkontrolle an entscheidenden Ergebnissen im Heft "Gruppenergebnisse"
Abgerundet wird der erste Teil der Station mit zwei optionalen Übungsaufgaben: eine
schulbuchähnliche Aufgabe zum zweiten Strahlensatz sowie eine erneute Aufgabe zu einer
Jakobsstabmessung, bei der jedoch unter Angabe der sonstigen, hierzu notwendigen Werte
nicht die Turmhöhe, sondern den Abstand des Messenden zum Turm gesucht ist. Die
optionalen Aufgaben wurden ebenfalls neu ergänzt, um dem Übungs- und Vertiefungsdefizit
sowie dem unterschiedlichen Arbeitstempo der Gruppen gerecht zu werden.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 47
Teil 2 der Station verfolgt die Ziele, dass die Messung mit dem Jakobsstab geplant,
durchgeführt, reflektiert und der erste Strahlensatz erarbeitet wird.
In Aufgabe 5, die im Wesentlichen Aufgabe 6 der Station „Strahlensätze“ entspricht, werden
die Schüler mithilfe von Simulation 358 zunächst für mögliche Messfehler (insbesondere
durch eine falsche Haltung des Jakobsstabs) sensibilisiert, bevor sie anschließend je nach
Wetterlage entweder ihr Schulgebäude vom Schulhof aus oder die Höhe der Türrahmen der
schuleigenen Pausenhalle vermessen. Die Messung aus der Station „Strahlensätze“ wurde
also nur insofern verändert, als dass die Messobjekte an die örtlichen Begebenheiten
angepasst wurden59. Bevor die Messung durchgeführt wird, werden die Schüler erneut
aufgefordert, ihre Planung zur Messung mithilfe einer Skizze im Heft Gruppenergebnisse
mathematisiert festzuhalten.
Abbildung 29: Skizze im Heft "Gruppenergebnisse" zur Mathematisierung der Messung mit dem Jakobsstab (Bildquelle: Heft "Gruppenergebnisse" zur Station "Jakobsstab & Co.", S. 4)
Anschließend an die Messung mit abschließender Reflektion folgt Aufgabe 6, die der
Aufgabe 9 der Station „Strahlensätze“ entspricht, bei der die Schüler unter Nutzung von
Simulation 460 den ersten Strahlensatz am Beispiel des Schattenwurfs erarbeiten können. Die
Aussage des ersten Strahlensatzes wird nach dessen Erarbeitung im Heft Gruppenergebnisse
festgehalten.
58
Diese Simulation ist identisch mit Simulation 6 der Station „Strahlensätze“. 59
Die Station wird jedoch nach Abschluss des Projekts wieder an die örtlichen Begebenheiten am Mathematik-Labor auf dem Campusgelände angepasst. 60
Entspricht Simulation 7 der Station „Strahlensätze“, jedoch mit geringer Fehlerkorrektur und Anpassung an den ausschließlichen Zugang über die Ähnlichkeit von Dreiecken.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 48
Den zweiten Teil der Station abschließend haben die Schüler wieder die Möglichkeit (je
nachdem, wie weit sie am zweiten Labortag gekommen sind) unter Aufgabe 7 drei optionale
Übungs- und Vertiefungsaufgaben zu bearbeiten. Zwei der drei Aufgaben erfordern eine
vertiefende Auseinandersetzung mit weiteren Anwendungen des Jakobsstabs, eine ist
ähnlich einer anwendungsbezogenen Schulbuchaufgabe zum ersten Strahlensatz.
Der dritte Teil der Station widmet sich vollständig dem
Daumensprung61 und bietet den Schülern damit eine zweite
Gelegenheit, Mathematik im Gelände zu betreiben. Ziel ist
somit, den ersten Strahlensatz auf eine Messung mit dem
Daumensprung (und somit auf die X-Figur) zu übertragen und
die Messung zu planen, durchzuführen und zu reflektieren.
Mit Aufgabe 8 wird den Schülern die Möglichkeit geboten,
zunächst das Phänomen des „springenden Daumens“ logisch zu
erklären und dann mathematisch anhand einer Skizze aus der
Vogelperspektive (vgl. Abb. 31) zu erkunden.
Abbildung 31: Skizze zum Daumensprung aus der Vogelperspektive (Bildquelle: Arbeitsheft zur Station "Jakobsstab & Co." - Teil 3, S. 2)
61
Eine erste Idee zur Gestaltung gab hierbei Leuders 2001: 115.
Abbildung 30: Foto zum Daumensprung auf der Stationshomepage (Bildquelle: http://www.dms.uni-landau.de/mathelabor/stationen/jakobsstab/sites/bilder/Daumensprung2.jpg, letzter Aufruf: 11.03.2013)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 49
Außerdem werden sie dafür sensibilisiert, dass der Daumensprung nicht nur mit
ausgestrecktem, sondern auch angewinkeltem Arm (sodass der Daumen näher an die Nase
herangeführt wird) durchführbar ist, da diese Methode bei der späteren Messung genutzt
wird, um das relativ lange Schulgebäude komplett mit einem Daumensprung abzudecken62.
Um die Messsituation weiter zu mathematisieren, steht den Schülern Simulation 5 (vgl. Abb.
32) zur Verfügung, in der nach erfolgreicher Positionierung des „Daumens“ (sodass das
komplette Messobjekt abgedeckt ist) die in der Messung genutzte X-Figur eingeblendet
werden kann. Danach wird angeregt, dass die Schüler durch ihre geometrischen Fähigkeiten
die X-Figur in die bisher von ihnen erarbeitete Strahlensatzfigur transformieren und damit
die Gültigkeit beider Strahlensätze auf die X-Figur argumentativ beweisen können.
Abbildung 32: Simulation zur Erkundung der X-Figur bei einer Messung mit dem Daumensprung (Bildquelle: Screenshot der online verfügbaren Simulation)
62
Es wurde diese Methode des Daumensprungs ausgewählt, um nicht mehrere Daumensprünge mit ausgestrecktem Arm hintereinander durchführen zu müssen.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 50
Diese Transformation (180°-Drehung des Dreiecks, das sich in der X-Figur zwischen den
beiden Augen und dem Daumen aufspannt) kann durch einen Schieberegler in der
Simulation nachvollzogen werden (vgl. Abb. 33). Dies soll leistungsstärkeren Schüler zur
Verifikation ihrer Argumentation dienen und für leistungsschwächere Schüler eine Hilfe beim
Entwickeln einer mathematischen Begründung darstellen.
Abbildung 33: Möglichkeit der Transformation der X-Figur in die bekannte Strahlensatzfigur in Simulation 5 (Bildquelle: Screenshot der online verfügbaren Simulation)
In Aufgabe 9 können die Schüler die Messung der Entfernung zweier Schulgebäude aus dem
zweiten Stock (sodass das Entfernungsmessen auf dem Boden nicht möglich ist) mit dem
Daumensprung durchführen. Hierzu können sie unter Nutzung von Simulation 6 ihre
Messung planen und alle zu messenden Strecken nochmals herausarbeiten. Dazu wurde die
Messsituation erneut verfeinert und eine Sichtlinie zwischen Nase und dem entfernten
Gebäude hergestellt63.
63
Um die direkte Entfernung zu bestimmen (und nicht etwa die Entfernung zwischen der messenden Person und einer Ecke des Schulgebäudes), war dies notwendig.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 51
Sobald die Messung korrekt geplant ist, können die Schüler die Messung mit Zollstock und
Geodreieck durchführen und anschließend auf mögliche Schwierigkeiten, Fehlerquellen und
Messungenauigkeiten hin reflektieren.
Die Vorgehensweise bei der Messung können die Schüler dann in einer Skizze zur
Messsituation (vgl. Abb. 34) im Heft Gruppenergebnisse festhalten, ebenso wie ihre
Erfahrungen und Reflektionen zum Daumensprung.
Abbildung 34: Skizze zur Messsituation beim Daumensprung im Heft Gruppenergebnisse (Bildquelle: Heft "Gruppenergebnisse" der Station "Jakobsstab & Co.", S. 7)
Auch der dritte Teil der Station endet
mit einer optionalen Übungsaufgabe.
So bietet Aufgabe 10 die Möglichkeit,
die Kenntnisse zur X-Figur in einer
Anwendungsaufgabe (wobei die
Breite eines Sees durch Maßangaben
in der Umgebung des Sees bestimmt
werden soll, vgl. Abb. 35) unter
Beweis zu stellen und sie damit zu
festigen und zu vertiefen.
Abbildung 35: Abbildung zur gestellten optionalen Übung (Aufgabe 10) (Bildquelle: Arbeitsheft 3 der Station "Jakobsstab & Co." - Teil 3, S. 8)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 52
4. Projektverlauf und Design zur Untersuchung der Wirksamkeit der
Laborstation „Jakobsstab & Co.“
Um zu prüfen, inwieweit es gelungen ist, eine Optimierung zugunsten einer Erhöhung der
Wirksamkeit der Laborstation zu erreichen, wurde das Projekt „SiMaL“ um eine zweite
Evaluationsphase im Rahmen dieser Arbeit erweitert. In diesem Kapitel wird der
Untersuchungsverlauf dieser zweiten Phase beschrieben sowie auf Optimierungen in den
Online-Fragebögen und mögliche Kriterien für die Wirksamkeit der Laborstation
eingegangen.
4.1 Projekt- und Untersuchungsverlauf
Um dem in Kapitel 2 beschriebenen Problem, dass Labor- und Kontrollklassen (im Folgenden
wieder mit LK bzw. KK abgekürzt) zu unterschiedliche Voraussetzungen (insbesondere durch
die Zugehörigkeit zu unterschiedlichen Schulformen) für einen fundierten späteren Vergleich
aufwiesen, von vornherein entgegenzuwirken, ist es gelungen, das Gymnasium Weierhof am
Donnersberg mit einer kompletten neunten Jahrgangsstufe für das Projekt zu gewinnen,
wovon sich zwei Klassen als Laborklassen und zwei als Kontrollklassen zur Verfügung stellten.
Im selben Zeitraum fanden in allen vier Klassen jeweils Vor-, Nach- und Follow-up-Test statt
und in der Zeit, in der die Laborklassen an der Station „Jakobsstab & Co.“ arbeiteten, wurden
in den Kontrollklassen die Strahlensätze behandelt. Hierdurch sollten ideale Bedingungen für
die Untersuchung geschaffen werden. Alle Tests und Arbeiten an der Station wurden direkt
in den Computersälen und dem Gelände des Gymnasiums durchgeführt und die Termine an
die Stundenpläne der neunten Klassen angepasst. So ergibt sich auch, dass nicht immer in
Doppelstunden an der Laborstation gearbeitet, sondern auch die Einzelstunden hierzu
verwendet wurden64. Die Zeiträume für die Online-Befragungen sowie die Erarbeitung der
Strahlensätze ergibt sich aus dem nachfolgenden Ablaufdiagramm (Abb. 36).
64
Leider war es aufgrund eines anstehenden Berufspraktikums der Schüler sowie der anschließenden Herbstferien nicht möglich, die Arbeiten an der Laborstation in drei Wochen jeweils in der verfügbaren Doppelstunde durchzuführen und die Einzelstunden für Übungen zu den Strahlensätzen zu nutzen.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 53
Vortest (u.a. zum Vorwissen: Ähnlichkeit, Lösen von Bruchgleichungen)
06.09. – 10.09.12 (20 min)
07.09. – 18.09.12 (6 Unter-
richts-stunden)
17.09. – 21.09.12 (20 min)
07.02. – 23.02.13 (20 min)
Intensive Vorbereitungen wurden bereits im April 2012 vorgenommen, als ein erster Besuch
und eine umfassende Aufklärung über das Projekt (insb. über den Ablauf,
Lernvoraussetzungen und –ziele) und die dazugehörige Untersuchung stattfanden. Im
August 2012 wurden die Elternbriefe65 und eine Informationsbroschüre66 an alle am Projekt
beteiligten Lehrkräfte versendet, um die Details zum Projekt mitzuteilen. Eine Woche vor
Beginn des Projekts fand ein erneuter Besuch an dem Gymnasium statt, um die vereinbarten
Termine endgültig festzusetzen und die nutzbaren PC-Räume zu begehen sowie letzte
65
In den Elternbriefen wurden die Eltern über das Projekt aufgeklärt und hatten die Möglichkeit der Befragung sowie der Film- bzw. Videoaufnahme ihrer Kinder zuzustimmen oder diese abzulehnen. 66
Die Informationsbroschüre ist ebenfalls auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom enthalten.
Mathematik-Labor,
Station „Jakobsstab & Co.“
(zwei Laborklassen, 2 x 90 und 2 x 45Minuten)
Unveränderter Schulunterricht,
Thema Strahlensätze
(zwei Kontrollklassen, 6 x 45 Minuten)
Nachtest (u.a. identische Items aus dem Vortest, Test zu den Strahlensätzen)
Follow-up Test (u.a. identische Items aus dem Nachtest)
Abbildung 36: Ablaufdiagramm zur zweiten Phase des Projekts "SiMaL"
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 54
Fragen zum Projekt zu klären. Durch diesen intensiven Austausch sollte die Einbindung des
Projekts bereits im Vorfeld positiv beeinflusst werden.
Auch die bei den Optimierungsmaßnahmen vorgesehene Ergänzung des Untersuchungs-
designs um einen Follow-up-Test konnte umgesetzt werden.
Zur Untersuchung der Wirksamkeit der Laborstation sollen innerhalb dieser Arbeit die
Online-Befragungen der Schüler sowie passive Beobachtungen ausgewertet werden.
Ebenfalls von Interesse könnten die Video-Aufzeichnungen einer Laborgruppe sowie die
Auswertung der Arbeits- und Gruppenergebnishefte sein, was jedoch den Rahmen dieser
Arbeit sprengen würde, sodass dies leider bislang nicht erfolgt ist. Dennoch sollte eine solche
Auswertung nachgeholt werden, um eine umfassendere Aussage treffen zu können. Alle
Daten hierzu liegen vor.
4.2 Erläuterungen zu den Online-Fragebögen67
Nachdem mit der ersten Phase des Projekts klar wurde, dass bei den Fragebögen zum einen
zu wenige Items zum Vorwissen und den Strahlensätzen vorhanden sind und zum anderen
ein Item fehlt, bei dem Problemlösefähigkeiten in realen Messsituationen mithilfe der
Strahlensätze getestet werden kann, wurden die Online-Fragebögen um neue Items
erweitert.
Der Vortest ist wie folgt aufgebaut:
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Personen-
merkmale
3 X X - Geschlecht
- Klassenzuordnung
- Generierung des Teilnehmercodes
67
Eine komplette Übersicht über die Items aller vorgestellten Fragebögen befindet sich im Anhang.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 55
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Vorwissen
Ähnlichkeit
668 X X schulbuchähnliche Aufgaben zum
Verständnis und zur Anwendung, davon
erfordern 3 Items mathematisches
Begründen; ein Item hat einen direkten
Bezug zur späteren Laborarbeit (vgl. Abb.
37)
Vorwissen
Bruch-
gleichungen
3 X X schulbuchähnliche Aufgaben zur Lösung
von Bruchgleichungen (mit konkreten
Zahlwerten und Variablen)
Persönliche
Einschätz-
ungen
3 X X - Einschätzung der Mathematikleistung
- Einschätzungen des Interesses und des
Spaßes an den Themen Ähnlichkeit und
Bruchgleichungen
Tabelle 3: Übersicht über den Aufbau des Vortests zur Station "Jakobsstab & Co."
Abbildung 37: Item der Itemgruppe "Vorwissen Ähnlichkeit" mit direktem Bezug zur bevorstehenden Laborarbeit (Bildquelle: Screenshot der Originalansicht im Online-Fragebogen)
68
Es wurde auch der Versuch unternommen, eine Aufgabe zum „Vorwissen Ähnlichkeit“ so zu gestalten, dass diese nur mithilfe einer verfügbaren Simulation zu lösen war (hierbei konnten vier Dreiecke durch die Möglichkeit des Verschiebens und Drehens auf Ähnlichkeit überprüft werden). Leider gab es diesbezüglich in der Untersuchung technische Probleme, sodass das entsprechende Item nicht weiter betrachtet werden konnte.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 56
Der Nachtest ist wie folgt aufgebaut:
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Personen-
merkmale
2 X X - Klassenzuordnung
- Generierung des Teilnehmercodes
Vorwissen
Ähnlichkeit
2 X X identisch mit zwei Items des Vortests
Vorwissen
Bruch-
gleichungen
2 X X identisch mit zwei Items des Vortests
Kenntnisse
zu den
Strahlen-
sätzen
5 X X - schulbuchähnliche Aufgaben zum
Verständnis und zur Anwendung der
Strahlensätze
- ein Item prüft, ob die argumentative
Herleitung des zweiten Strahlensatzes
durch Kenntnisse über ähnliche Dreiecke
beherrscht wird
Reale Mess-
situation
1 X X siehe Abb. 38
persönliche
Einschätz-
ungen
4 X (X) - Einschätzung der Mathematikleistung
- Einschätzungen des Interesses und des
Spaßes am Thema Strahlensätze (LK und
KK) und den Messungen mit dem
Jakobsstab und dem Daumensprung (nur
LK)
- Lernerfolg beim Thema Strahlensätze
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 57
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Beurteilung
Laborstation
5 X Möglichkeit,
- positives Feedback abzugeben
- negatives Feedback abzugeben
- Verbesserungsvorschlägen mitzuteilen
- die Laborarbeit mit dem Schulunterricht
zu vergleichen
- die Laborstation zu benoten
Sonstiges 1 X X Möglichkeit der individuellen
Rückmeldung (z.B. zur Befragung)
Tabelle 4: Übersicht über den Aufbau des Nachtests zur Station "Jakobsstab & Co."
Hierbei ist insbesondere das Item zur Problemlösekompetenz in einer Anwendungssituation
(Abb. 38) interessant, da erwartet wird, dass die Schüler der Laborklassen hier durch die
Arbeit an der Laborstation messbare Kompetenzen erworben haben.
Abbildung 38: Item zur Problemlösekompetenz in realen Messsituationen unter Zuhilfenahme der Strahlensätze (Bildquelle: Screenshot der Originalansicht im Online-Fragebogen)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 58
Der Follow-up-Test ist in den inhaltlichen Fragen komplett identisch mit dem Nachtest, um
festzustellen, ob durchaus langfristige Effekte bei der Leistungsmessung erkennbar sind und
ob die Schüler der Laborklassen auch nach vier Monaten noch deutliche Erinnerungen an die
Station und ihre Inhalte haben.
Der Follow-up-Test ist wie folgt aufgebaut:
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Personen-
merkmale
2 X X - Klassenzuordnung
- Generierung des Teilnehmercodes
Rückblick
auf vergang-
ene Themen
bzw. die La-
borarbeit
2 X (X) - Erinnerung an Laborstation (nur LK)
- Erinnerung an die Themen
„Ähnlichkeit/Ähnliche Dreiecke“,
„Bruchgleichungen“ und „Strahlensätze“
(LK und KK)
- Erinnerung an reale Messungen mit dem
Jakobsstab und Daumensprung (nur LK)
- Einschätzung und Begründung des
Nutzens durch die Bearbeitung der
Laborstation (nur LK)
Vorwissen
Ähnlichkeit
2 X X identisch mit zwei Items des Vortests
Vorwissen
Bruch-
gleichungen
2 X X identisch mit zwei Items des Vortests
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 59
Itemgruppe Anzahl
Items
In LK
getestet
In KK
getestet
Hinweise
Kenntnisse
zu den
Strahlen-
sätzen
5 X X - schulbuchähnliche Aufgaben zum
Verständnis und zur Anwendung der
Strahlensätze
- ein Item prüft, ob die argumentative
Herleitung des zweiten Strahlensatzes
durch Kenntnisse über ähnliche Dreiecke
beherrscht wird
Reale Mess-
situation
1 X X siehe Abb. 38
persönliche
Einschätz-
ungen
1 X X - Einschätzung der Mathematikleistung
Sonstiges 1 X X Möglichkeit der individuellen
Rückmeldung (z.B. zur Befragung)
Tabelle 5: Übersicht über den Aufbau des Follow-up-Tests zur Station "Jakobsstab & Co."
Die Auswertung der Fragebögen erfolgte analog zu der Auswertung in der ersten Phase des
Projekts: Zunächst wurden die Ergebnisse des Vortests ausgewertet und matched samples
gebildet. Anschließend wurden sowohl im Nach- als auch Follow-up-Test die Ergebnisse der
durch das Matching gebildeten Labor- und Kontrollgruppe verglichen.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 60
4.3 Kriterien zur Beurteilung der Wirksamkeit der Laborstation „Jakobsstab &
Co.“
Um eine fundierte, methodisch breit abgesicherte Aussage über die Wirksamkeit der
Laborstation „Jakobsstab & Co.“ machen zu können, wäre es neben passiver Beobachtungen
und des vorgestellten Untersuchungsdesigns mit Vor-, Nach- und Follow-up-Test notwendig,
eine deutlich größere Schüleranzahl zu untersuchen, alle schriftlichen Unterlagen der
Schüler zu analysieren, umfassende Lehrer- und Schülerinterviews zu führen sowie
gegebenenfalls länger andauernde Interventionen (z.B. durch Erarbeitung mehrerer
Stationen des Mathematik-Labors) durchzuführen. Dies ist in einer solchen Arbeit jedoch
nicht zu leisten. Dennoch könnte aus der Auswertung der Online-Befragungen sowie durch
die passiven Beobachtungen folgenden Fragen, die direkten Einfluss auf die Wirksamkeit
einer Laborstation haben, nachgegangen werden:
Haben die unternommenen Optimierungsmaßnahmen an der Ausgestaltung der
Laborstation dazu beigetragen, dass die Schüler der Labor- und Kontrollgruppe (also
bei gleicher Leistung im Bereich der Vorwissensgebiete) eine gleiche Leistung beim
Themengebiet „Strahlensätze“ aufweisen und die Laborstation somit eine ebenso
gute „Vermittlung der Inhalte“ sicherstellt wie der Schulunterricht?
Bewirkt die Erarbeitung der Strahlensätze anhand realer Messsituationen, dass
Schüler der Laborgruppe besser dazu in der Lage sind, anwendungsbezogene
Aufgaben zu lösen und deren Lösung argumentativ zu stützen?
Ist es gelungen, die Verbesserungsvorschläge der Schüler aus der Pilotstudie
umzusetzen bzw. die Kritikpunkte zu entschärfen und dadurch eine bessere
Bewertung der Station zu erzielen?
Diese Fragen können mithilfe der vorliegenden Daten zum Teil beantwortet werden. Im
folgenden Kapitel erfolgt die Darstellung und Interpretation der Ergebnisse, womit einige der
hier aufgeführten Fragen für die untersuchten Gruppen beantwortet werden sollen.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 61
5. Ergebnisse der Untersuchung zur Wirksamkeit der Station „Jakobsstab
& Co.“
In diesem Kapitel werden sowohl die passiven Beobachtungen während des Projekts als
auch die Ergebnisse der Online-Befragungen dargestellt und interpretiert. Sie sollen dabei
insbesondere Aufschluss über die in Kapitel 4.3 dargestellten Fragen bezüglich der
Wirksamkeit der Station geben.
5.1 Passive Beobachtungen während des Projekts
Während des Projekts konnte ich vielfältige Eindrücke der Laborarbeit und vielerlei
Erkenntnisse durch passive Beobachtungen darüber gewinnen, ob es gelungen ist, die
Laborstation so zu optimieren, dass die Schüler dazu in der Lage sind, sich die Inhalte
selbstständig zu erarbeiten, und sie dabei weder überfordert werden noch der intrinsische
Entdeckergeist der Schüler durch zu strikte Anleitung zu weit eingeschränkt wurde. Hierbei
möchte ich mich auf die wesentlichsten Beobachtungen konzentrieren.
Insgesamt lässt sich sagen, dass die Schüler mit den Arbeitsmaterialien gut umgehen
konnten und bereits beim zweiten Besuch sehr sicher und selbstständig mit diesen
arbeiteten. Jedoch ist bei leistungsstärkeren Gruppen zu beobachten gewesen, dass die
durch die stärkere Anleitung oft kleinschrittige Vorgehensweise die Schüler bei der Arbeit
eher in ihrem Arbeitsfluss gehindert hat. Diese hatten in einem durch mehrere
Arbeitsaufträge aufgeteilten Argumentations- oder Erarbeitungsprozess bereits mit dem
ersten Arbeitsauftrag weitsichtiger geantwortet als gedacht, sodass die weiteren Aufgaben
oft unnötig waren und die Schüler vor die Frage stellten, was sie denn nun hier antworten
sollen, da sie den Aufträgen bereits voraus waren. Nichts desto trotz haben auch sie sich
schwer getan, mathematische Argumentationen oder verbale Erklärungen zu verfassen (dies
wurde von ihnen oft als „unnötig“ erachtet und nicht als mathematische Kompetenz
wahrgenommen). Dahingegen hatten die schwächeren Gruppen von der stärkeren Anleitung
in den Arbeitsaufträgen profitiert und konnten viele Aufgaben selbstständig erarbeiten.
Ihnen konnte man aber auch nicht gänzlich die Unsicherheit bei der Korrektheit ihrer
eigenen Erarbeitungen nehmen: So waren sie sich stets unsicher und machten von den
Lernkontrollen in den Gruppenergebnisheften (dafür jedoch weniger von den Hilfeheften)
regen Gebrauch. Diese Beobachtungen zeigen, dass das Kontinuum zwischen Offenheit und
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 62
Anleitung zwar in die richtige Richtung optimiert wurde, aber eventuell etwas „über das Ziel
hinausgeschossen ist“, sodass sich leistungsstärkere Schüler an einigen Stellen durch die
erhöhte Anleitung in den Aufgabenstellungen zu stark genötigt sahen, bereits Verstandenes
zu kleinschrittig wiedergeben zu müssen.
Dass der Jakobsstab direkt zu Beginn an alle Gruppen verteilt und mithilfe der Pappdreiecke
erkundet wurde, stellte sich als gelungener Einstieg heraus. Auch die Reduktion auf den
ausschließlichen Zugang über die Ähnlichkeit, insbesondere in der ersten Simulation, war
effizient. Die Vorbereitungen für die Messung mit dem Jakobsstab gelangen meist
selbstständig und mit nur geringen Korrekturen der Betreuer.
Bei den Messungen zeigten sich die
Schüler motiviert und gleichzeitig sehr
gewissenhaft und korrekt. So lag die
beste Messung des Schulgebäudes nur
15 cm neben der Originalhöhe, die der
Architekt mit 13,11 m angegeben
hatte. Diese Erkenntnis, dass sie mit
einem doch solch einfachen
Messinstrument so exakte Werte
erreichen konnten, war für einige
Schüler erstaunlich. Motivierend war
für die Schüler zusätzlich der Besuch
der Presse, die über das Projekt berichtete69.
Die zweite Messung (Daumensprung) stellte sich wider Erwarten für die Schüler als weniger
interessant als die Jakobsstabmessung dar, was wahrscheinlich am fehlenden Modelleinsatz
liegt (hier zeigte der Jakobsstab als unbekanntes Modell eine motivierendere Wirkung).
Dennoch waren die Schüler am Daumensprung interessiert und konnten ihn – aufgrund des
direkten Lebensweltbezugs – mathematisch gut erfassen. Einige Gruppen waren etwas
langsamer und hätten es nicht durch die eigene Erarbeitung geschafft, noch zur Messung mit
69
Der vollständige Artikel zum Projekt (erschienen am 24.09.2012 im Lokalteil „Donnersberger Rundschau“ der Zeitung „Die Rheinpfalz“) befindet sich als digitale Anlage auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom.
Abbildung 39: Messung der Schulgebäudehöhe am Gymnasium Weierhof am Donnersberg mit dem Jakobsstab (Bildquelle: Lokalteil "Donnersberger Rundschau" der Zeitung "Die Rheinpfalz" vom 24.09.2012, Photo: Foto Stepan, Kirchheimbolanden)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 63
dem Daumensprung zu kommen, sodass diese Gruppen eine persönliche Instruktion
erhalten haben, um wenigstens mit der Daumensprungmessung ein noch interessantes
Stationsende erleben zu können. Insgesamt zeigte sich die Station inhaltlich recht stark
gefüllt, sodass selbst die leistungsstarken Gruppen lediglich die Pflichtteile der Station
erledigt haben, die optionalen Aufgaben wurden von keinem der Schüler bearbeitet. Somit
wurde von den am Projekt beteiligten Lehrkräften zurecht kritisch angemerkt, dass die
Übungsphasen zu kurz kamen, sodass im gemeinsamen Gespräch dringend angeraten
wurde, diese direkt nach der Laborarbeit durchzuführen und diese anzuknüpfen.
Insgesamt zeigten sowohl die passiven Beobachtungen als auch die mündliche Rückmeldung
der Lehrkräfte, dass die Laborstation von den Schülern positiv und interessiert angenommen
wurde und ihnen die eigenständige Arbeit gefallen hat, auch wenn sie die Selbständigkeit
und die Arbeit mit Modellen und Simulationen in dieser Form durchaus gefordert hat. Diese
passiven Beobachtungen lassen sich auch durch Ergebnisse der Online-Befragungen stützen.
5.2 Ergebnisse der Online-Befragungen70
Nach Abschluss der zweiten Phase des Projekts konnte eine umfassende Auswertung der
drei Online-Befragungen durchgeführt werden. Bei der Auswertung des Online-Vortests
zeigten sich deutlich weniger Schwierigkeiten beim Bilden von matched samples, da alle
Klassen ähnliche Lernvoraussetzungen aufwiesen. Am Vortest nahmen 42 Schüler der
Laborklassen und 48 Schüler der Kontrollklassen teil Beim anschließenden Matching ergaben
sich 28 matched samples, die wieder jeweils ein identisches Ergebnis beim Vorwissen im
Vortest erzielten und somit ähnliche, vergleichbare Lernvoraussetzungen mitbrachten. Die
beiden hierdurch entstandenen Gruppen sollen im Folgenden wieder als Labor- (LG) und
Kontrollgruppe (KG) bezeichnet werden. Wichtig zu beachten ist aber somit auch, dass eine
sehr geringe Zahl71 an untersuchten Personen im weiteren Verlauf für die Beurteilung der
Wirksamkeit der Laborstation herangezogen wird. Alle in diesem Kapitel getroffenen
70
Alle Daten wurden mit Microsoft Excel ausgewertet. Die Auswertungstabellen sind auf der CD-Rom zu dieser Arbeit verfügbar und können beim Autor in elektronischer Form angefordert werden. Alle Kontaktinformationen des Autors sind auf dem Deckblatt dieser Arbeit zu finden. 71
Dies liegt zum einen an einer geringeren Teilnehmeranzahl bei den Befragungen verglichen mit der ersten Phase des Projekts als auch daran, dass in zweiten Phase mit dem Follow-up-Test eine zusätzliche Begrenzung der potentiell für das Matching zur Verfügung stehenden Teilnehmern (da nur diejenigen hierfür geeignet sind, die an allen drei Befragungen teilgenommen haben) geschaffen wurde.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 64
Aussagen sind somit zunächst nur für die untersuchten Gruppen gültig und sollten nur mit
höchster Vorsicht auf eine allgemeine Wirksamkeit der Station bezogen werden.
Am Nachtest 41 Schüler der Labor- und 48 Schüler der Kontrollklassen, am Follow-up-Test 36
Schüler der Labor- und 48 Schüler der Kontrollklassen teilgenommen. Vergleicht man die
erzielten Ergebnisse der Labor- und Kontrollgruppe beim Thema „Strahlensätze“, so lässt
sich feststellen, dass die Laborgruppe sowohl im Nach- als auch Follow-up-Test geringfügig
bessere Ergebnisse (Mittelwert über alle Items der Itemgruppe „Strahlensätze“ in beiden
Tests: 0,443) erzielte (vgl. hierzu Abb. 40) als bei der Kontrollgruppe (Mittelwert im
Nachtest: 0,348, im Follow-up-Test: 0,422). Dies lässt den Schluss zu, dass die Optimierung
der Laborstation soweit gelungen ist, als dass in den beiden untersuchten Gruppen das
Thema „Strahlensätze“ ähnlich wirksam erarbeitet wurde und somit der Lernzuwachs
innerhalb der Laborstation dem im gewöhnlichen Unterricht nicht nachsteht. Nichts desto
trotz liegen die Ergebnisse dennoch unterhalb eines, aus Sicht einer Lehrkraft,
wünschenswerten Kenntnisstands.
Abbildung 40: Erzielte Mittelwerte der Labor- und Kontrollgruppe bei den Items der Itemgruppe "Strahlensätze" in Nach- und Follow-up-Test
Nachtest Follow-up-Test
Laborgruppe 0,443 0,443
Kontrollgruppe 0,348 0,422
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Erzi
elte
r M
itte
lwer
t
Itemgruppe "Strahlensätze" (je Gruppe n = 28)
Laborgruppe
Kontrollgruppe
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 65
Ähnliche Ergebnisse zeigen sich auch beim Item zur Problemlösekompetenz in einer realen
Messsituation72. Hier erzielte die Laborgruppe einen Wert von 0,261 (in Nach- und Follow-
up-Test), während die Kontrollgruppe mit 0,065 (Nachtest) und 0,174 (Follow-up-Test)
niedrigere Werte erzielte (vgl. Abb. 41). Auch wenn dies deutlich unter den Erwartungen der
mit der Station verbundenen Ziele liegt, zeigt dies dennoch, dass sich die Laborgruppe in
diesem Projekt eine höhere Kompetenz im mathematischen Problemlösen und Begründen in
Anwendungssituationen aneignen konnte als die Kontrollgruppe.
Abbildung 41: Erzielte Werte der Labor- und Kontrollgruppe beim Item "Reale Messsituation" in Nach- und Follow-up-Test
72 Dieses Item bestand nur aus folgender Aufgabe: „Stelle dir folgende Situation vor: Eine Taschenlampe liegt
auf dem Boden deines verdunkelten Klassensaals. Du stehst aufrecht in einer gewissen Entfernung zur Taschenlampe und wirst von ihr angestrahlt, sodass du einen sehr hohen Schatten an die Wand wirfst. Beschreibe, wie du vorgehen würdest, um die Höhe des Schattens zu bestimmen. Dir steht für die Ermittlung der Höhe lediglich ein Maßband zur Verfügung!“ Hierbei war abweichend von der sonst durchgeführten dichotomen Auswertung eine Abstufung (0,5) in der Bewertung statt. Der Wert 0 wurde vergeben, falls die Argumentation falsch, unzureichend oder nicht vorhanden war. Der Wert 0,5 wurde erzielt, falls eine erste Stufe des Argumentationsprozesses (z.B. durch Identifizierung der zu messenden Strecken) erreicht wurde. Eine Bewertung von 1 konnte nur erreicht werden, wenn der Argumentationsprozess vollständig ist und damit klar beschrieben wurde, welche Strecken gemessen werden müssen und wie sich die gesuchte Länge hieraus berechnen lässt.
Nachtest Follow-up-Test
Laborgruppe 0,261 0,261
Kontrollgruppe 0,065 0,174
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Erzi
elte
r W
ert
Item "Reale Messsituation" (je Gruppe n = 28)
Laborgruppe
Kontrollgruppe
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 66
Beachtenswert erscheint auch, dass die Laborgruppe bei Nach- und Follow-up-Test sowohl in
der Itemgruppe „Strahlensätze“ als auch beim Item „Reale Messsituation“ ein konstantes
Ergebnis erzielt, was bedeutet, dass es gelungen ist, eine Lernumgebung zu erstellen, die
auch langfristig (über vier Monate hinweg) die ausgebildeten Kompetenzen bewahrt. Jedoch
hat die Kontrollgruppe im selben Zeitraum sogar eine Verbesserung ihrer Werte erzielt, was
sich eigentlich nur durch eine möglicherweise erfolgte Wiederholung oder
Fortführung/Vertiefung des Themengebiets „Strahlensätze“ aufgrund der schlechten
Ergebnisse im Nachtest begründen lässt73.
Dass sich die Schüler der Laborgruppe auch noch vier Monate nach Erarbeitung besser an
das Themengebiet „Strahlensätze“ erinnern können als die Schüler der Kontrollgruppe,
zeigen auch die Selbsteinschätzungen der Schüler im Follow-up-Test: Auf einer 6-Punkte-
Ordinalskala von 1 (sehr gut) bis 6 (gar nicht mehr) konnten sich die Schüler der Laborklassen
ihrer Einschätzung nach mit einem Mittelwert von 2,722 eher gut bis gut an die Inhalte
erinnern, während sich ihre Mitschüler der Kontrollklassen mit einem Mittelwert von 3,563
eher schlecht bis eher gut an die Strahlensätze erinnern konnten.
73
Leider wurde der Unterricht zwischen Nach- und Follow-up-Test nicht erfasst.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 67
Die Rückmeldungen der Schüler aus den Laborklassen zum positiven und negativen Erleben
der Laborstation sind ebenfalls aufschlussreich und bestätigen zu weiten Teilen die in Kapitel
5.1 beschriebenen passiven Beobachtungen. So ist es trotz der Veränderungen gelungen, die
positiven Eigenschaften der ersten Phase des Projekts, insbesondere die positive
Wahrnehmung der Gruppenarbeit und des Praxisanteils, zu erhalten (vgl. Abb. 42).
Abbildung 42: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als positiv wahrgenommen wurden (Die Zuordnung einer Aussage zu mehreren Clustern war möglich.)
Ebenfalls erfreulich ist die Tatsache, dass die Schüler insbesondere auch die eigenständige
Beschäftigung mit Mathematik und somit das „Mathematik Betreiben“ als positiv erlebt
haben. So schreibt beispielsweise ein Schüler74, dass es ihm gut gefallen hat, „Das es nicht
immer einen Lehrer gab, der einem über die Schulter geckuckt hat, sondern das man auch die
Chance hatte selbst auf ein Ergebnis zu kommen, ohne das es wie im Unterricht einer einem
vorsagt.“ Ein weiterer Schüler schrieb hierzu: „Ich fand gut das wir einiges selbst
ausprobieren konnten. und dadurch mehr verstanden haben weil wir es eben ausprobiert
haben. Ich fand man konnte es besser Verstehen.“
74
Die Kommentare der Schüler werden ohne Korrektur wiedergegeben. Alle Kommentare lassen sich in der Microsoft Excel-Tabelle zur Auswertung des Nachtests auf der dieser Arbeit beiliegenden CD-Rom finden.
1
1
1
2
3
4
10
14
15
0 10 20 30 40 50
alles gefallen
Abwechslung
Unterstützung/Hilfe
Sonstiges
Medieneinsatz
alternative Zugangsweise
eigenständige Beschäftigung
Praxisanteil
Sozialform
Was hat dir an der Laborstation gut gefallen? (n=41)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 68
Bei der negativen Kritik an der Laborstation (vgl. Abb. 43) fällt auf, dass Stofffülle,
Zeitprobleme sowie ein zu hohes Anforderungsniveau nicht mehr genannt werden. Dies
könnte zum einen an einer zielführenden, stärker gelenkten Vorgehensweise bei
Aufgabenstellungen als bei der Erstfassung der Station liegen, aber natürlich auch an einer
leistungsstärkeren Lerngruppe im Vergleich zur ersten Phase des Projekts.
Abbildung 43: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als negativ wahrgenommen wurden (Die Zuordnung einer Aussage zu mehreren Clustern war möglich.)
Dennoch kann nicht behauptet werden, dass die Veränderungen an den Aufgabenstellungen
rein positiv zu werten sind. So wird nun von einer nicht unerheblichen Zahl von Schülern
(immerhin 5 von 41) beschrieben, dass ihnen die Aufgaben doppelt oder „komisch
formuliert“ vorkommen. Es ist somit davon auszugehen, dass bei einer weiteren
Optimierung die stärkere Anleitung in den Arbeitsaufträgen und die damit an einigen Stellen
entstandenen kleinschrittigeren Aufgaben wieder mehr geöffnet werden können, um eine
gefühlte Dopplung von Arbeitsaufträgen zu vermeiden (da die Schüler in vielen Fällen
deutlich früher als erwartet einen mehrschrittigen Prozess überblickten und diesen direkt
verfassten, sodass die nachfolgenden Aufgabenschritte für sie überflüssig waren und ihnen
dadurch als Dopplungen vorkamen).
3
3
3
3
4
4
4
5
5
6
0 10 20 30 40 50
mangelndes Teamwork/Arbeitsbereitschaft
Daumensprung
Sozialform
nichts gelernt
Thema
Sonstiges
Unsicherheit
fehlende Unterstützung/Hilfe
Aufgabenstellungen doppelt/seltsam
nichts
Was hat dir nicht oder weniger gut gefallen? (n=41)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 69
Weiter ist es offensichtlich noch nicht in ausreichendem Maße (insbesondere durch die
Einführung der Möglichkeit im Heft „Gruppenergebnisse“, sich Feedback bei den Betreuern
und Lehrkräften einzuholen) geglückt, den Schülern genügend Sicherheit bei der
„Korrektheit“ ihrer Erarbeitungen zu geben und zufriedenstellende Möglichkeiten der
Unterstützung anzubieten. Aus Sicht des Gestalters der Station sticht weniger erfreulich ins
Auge, dass immerhin 3 der 41 Schüler den Daumensprung als weniger gelungen empfinden.
Jedoch könnte dies unter Umständen auch an der Zeitnot, die in langsameren Gruppen am
Ende herrschte, liegen, sodass es in diesen Gruppen nicht mehr möglich war, diesen ohne
Instruktion selbstständig zu erarbeiten, was dem Grundgedanken des Labors widerspricht.
Weiter könnte eine mögliche Begründung hierfür sein, dass ein deutlicher Modelleinsatz,
wie dies bei der Jakobsstabmessung der Fall war, beim Daumensprung fehlt.
Auch in dieser Phase des Projekts spiegeln sich die negativen Kritikpunkte in den
Verbesserungsvorschlägen (vgl. Abb. 44) wider. So werden als solche insbesondere mehr
Feedback- und Unterstützungsmöglichkeiten, ein höherer Praxisanteil sowie zielführendere
Aufgabenstellungen (durch Veränderungen zugunsten einer Öffnung und Verknappung)
gefordert, was mit Blick auf die passiven Beobachtungen durchaus berechtigt (nach wie vor)
kritisiert wurde und daher weiterhin optimierungsfähige Ansatzpunkte darstellen.
Abbildung 44: Häufigkeit von Verbesserungsvorschlägen, um die Laborstation oder –arbeit für die Schüler ansprechender zu gestalten (Die Zuordnung einer Aussage zu mehreren Clustern war möglich.)
2
4
6
6
9
10
0 10 20 30 40 50
kleinere Gruppen
Sonstiges
Aufgabenstellungen zielführender
mehr Praxis
bessere Unterstützung/Feedback
keine Vorschläge
Verbesserungsvorschläge (n=41)
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 70
Die negative Kritik schlägt sich auch deutlicher als in der ersten Phase des Projekts in der
Gesamtbewertung der Station durch die Schüler nieder: Während sie vor den
Optimierungsmaßnahmen noch mit einer Durchschnittsnote von 2,43 bewertet wurde, fiel
diese nun auf eine Note von 2,88 ab (vgl. Abb. 45).
Abbildung 45: Verteilung an durch die Schüler vergebenen Schulnoten für das Gefallen der Laborstation
Da die Bewertung der Laborstation aber vielfältige sowie subjektive Wahrnehmungen
miteinschließt, sollte die geringfügig schlechtere Bewertung nicht ausschließlich auf die
Optimierungsmaßnahmen zurückgeführt werden. Zum Beispiel kann der Ausflug an die
Universität und die Unterstützung durch viele Studierende im Mathematik-Labor bei der
Bewertung in der ersten Phase einen positiven Einfluss auf die Bewertung gehabt haben,
was bei der zweiten Phase nicht erfüllt war.
5
16
9
4 4 3
sehr gut gut eher gut eher nicht gut nicht gut gar nicht
Beurteilung der Laborstation (n=41)
�̅� = 2,88
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 71
6. Fazit und Ausblick
Die beiden Phasen des Projekts waren wegweisend für die Arbeit des Mathematik-Labors,
aber auch aufschlussreich für die Gestaltung, Optimierung und Evaluation von
schülerorientierten Selbstlernumgebungen.
So konnte gezeigt werden, wie mit einem Modell des Jakobsstabs kombiniert mit auf dem
Erarbeitungsweg unterstützende und zielführende Aufgaben und Simulationen eine
Lernumgebung geschaffen werden konnte, mit der sich Schüler selbstständig, aktiv-
experimentell und auf eine möglichst interessante Art die Strahlensätze erarbeiten können.
Jedoch musste sich dieses Konzept in der Realität an der Wirksamkeit im Vergleich zum
gewöhnlichen Schulunterricht messen lassen. Hierbei wurde in der ersten Phase deutlich,
dass die Schüler die eigenständige Arbeit in den Gruppen sowie den Praxisanteil durchaus als
positiv und motivierend empfanden, sich daraus aber solange kein didaktischer Mehrwert
ergibt, solange die Wirksamkeit der Laborarbeit nicht mindestens das Niveau der
Wirksamkeit durch die Erarbeitung im gewöhnlichen Schulunterricht erreicht. Nach der
Pilotstudie zur Station „Strahlensätze“ wurde klar, dass es sowohl an der Laborstation selbst,
aber auch am Untersuchungsdesign und der Einbindung des Laborbesuchs in den
Schulunterricht einigen Optimierungsbedarf gab.
Etliche der Optimierungsmaßnahmen wurde im Rahmen dieser Arbeit umgesetzt. Hierbei
entstand die Station „Jakobsstab & Co.“, die den Jakobsstab und die Messung mit ihm als
mathematisches Phänomen in das Zentrum der Station rückte. Weiter wurde auch durch die
Einführung des Gruppenarbeitshefts eine neue Unterstützungsoption für die Schüler
geschaffen und die Offenheit der Aufgaben, die in der Pilotphase zu deutlichen
Schwierigkeiten führte, reduziert. Mit der Neugestaltung der Station und dem
Untersuchungsdesign, das durch einen Follow-up-Test sowie neue und mehr Items im Vor-
und Nachtest ergänzt wurde und bei dem sowohl Labor- als auch Kontrollgruppen von
derselben Schule stammten, wurde die Wirksamkeit erneut evaluiert.
Hierbei zeigte sich, dass es gelungen ist, die Laborstation so zu optimieren, dass die Schüler
sich die Strahlensätze in diesem Projekt in vergleichbar sicherer Weise selbstständig
erarbeiten konnten, wie dies im parallelen Schulunterricht möglich war. Weiter konnte
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 72
mithilfe des Follow-up-Tests belegt werden, dass die Laborstation sogar langfristiges Wissen
und nachhaltige Kompetenzen bei den untersuchten Schülern ausbilden konnte, die über
vier Monate stabil blieben.
Nichts desto trotz kann auch nicht davon gesprochen werden, dass bei der
Weiterentwicklung der Station „Strahlensätze“ zur Station „Jakobsstab & Co.“ die
Optimierungsmaßnahmen so umgesetzt wurden, dass eine Laborstation geschaffen wurde,
die zunächst keinen weiteren Optimierungsbedarf aufweist. Insbesondere eine Unsicherheit
bei der Erarbeitung durch nicht ausreichende Feedbackmöglichkeiten, der Wunsch nach
einem höheren Praxisanteil sowie das Kontinuum zwischen Offenheit/Selbstständigkeit und
Anleitung bei den Aufgabenstellungen, das in der vorliegenden Station für die untersuchten
Lerngruppen zu weit in Richtung Anleitung verändert wurde, weisen etliche weitere
Optimierungsoptionen auf.
Insgesamt zeigte diese Arbeit jedoch nicht nur die Optimierungsmöglichkeiten für die Station
„Jakobsstab & Co.“ auf, sondern lässt Rückschlüsse auf die konzeptionelle Gestaltung und
Evaluation von Laborstationen des Mathematik-Labors zu. So hat sich das beschriebene
Untersuchungsdesign in diesem Projekt durchaus bewährt, um festzustellen, ob durch eine
Laborstation Wissen und Kompetenzen in ähnlichem Umfang aufgebaut werden können, wie
dies im Unterricht möglich ist. Zusätzlich sollten jedoch stets auch die Laborprotokolle
ausgewertet, Videoaufzeichnungen einer Gruppenarbeit analysiert und Lehrer- wie
Schülerinterviews geführt werden, um eine umfassende Aussage zur Wirksamkeit treffen zu
können. Weiter wurde klar, dass die konzeptionelle Gestaltung von Laborstationen des
Mathematik-Labors bereits auf dem richtigen Weg zu den mit ihm verbundenen Intentionen
ist und dies bei den Schülern durchaus positive Erlebnisse mit Mathematik und
mathematischen Phänomenen schafft.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
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Sieht man aber genauer auf die Ausgestaltung einer solchen Station, so hat dieses Projekt
nochmals deutlich gemacht, dass das Team des Mathematik-Labors nach wie vor zwei
konzeptionelle Schwierigkeiten gestellt wird:
1) Wie gelingt eine ausgeglichene Balance zwischen Offenheit in der Exploration und
der Zielführung in der Aufgabenstellung?
2) Wie kann man den Schülern ein umfassenderes Unterstützungsangebot
bereitstellen, ohne den Charakter der selbstständigen Erarbeitung zu gefährden?
Die eingeschlagene Zielrichtung bei der konzeptionellen Ausgestaltung des Mathematik-
Labors „Mathe ist mehr“ nach dem Pilotprojekt hat sich als richtiger Weg erwiesen. Nun gilt
es jedoch stetig daran zu arbeiten, die Laborstationen, gemessen an ihrer Wirksamkeit, zu
optimieren. Dies wird jedoch aufgrund der Vielzahl an Einflüssen auf die Wirksamkeit ein
arbeitsintensiver, jedoch vor allem (mathematik-)didaktisch erkenntnisreicher Weg werden.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 74
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Messung mit dem Jakobsstab ............................................................................ 14
Abbildung 2: Genutztes Modell des Jakobsstabs .................................................................... 15
Abbildung 3: Historische Messung mit dem Jakobsstab ......................................................... 17
Abbildung 4: Skizze einer Messung mit dem Jakobsstab im Rahmen der Laborarbeit ........... 17
Abbildung 5: Aufbau der Station "Strahlensätze" ................................................................... 18
Abbildung 6: Simulation 1 zur Auffrischung der Vorkenntnisse zur Ähnlichkeit von Dreiecken
.................................................................................................................................................. 19
Abbildung 7: Simulation 2 zur Auffrischung der Vorkenntnisse zur zentrischen Streckung ... 20
Abbildung 8: Simulation 3 als erster Zugang zur Jakobsstabmessung mittels der Ähnlichkeit
von Dreiecken ........................................................................................................................... 20
Abbildung 9: Simulation 3 als erster Zugang zur Jakobsstabmessung mittels der zentrischen
Streckung .................................................................................................................................. 20
Abbildung 10: Simulation 4 zur Verallgemeinerung des zweiten Strahlensatzes auf alle
Strahlensatzfiguren .................................................................................................................. 21
Abbildung 11: Simulation 5 zur Überprüfung der Voraussetzungen des zweiten
Strahlensatzes .......................................................................................................................... 22
Abbildung 12: Simulation 6 zur korrekten Durchführung einer Messung mit dem Jakobsstab
.................................................................................................................................................. 22
Abbildung 13: Messung mit dem Jakobsstabmodell der Stationen "Strahlensätze" und
"Jakobsstab & Co." ................................................................................................................... 23
Abbildung 14: Entfernungsmessung mit dem Zollstock .......................................................... 24
Abbildung 15: Skizze zur Messung der Entfernung zu einem Gebäude mithilfe eines
Zollstocks und dem zweiten Strahlensatz ................................................................................ 24
Abbildung 16:Simulation 7 mit einer Mathematisierung der Problemstellung zum
Schattenwurf ............................................................................................................................ 25
Abbildung 17: Simulation 7 mit einer Mathematisierung der Problemstellung zum
Schattenwurf ............................................................................................................................ 25
Abbildung 18: Untersuchungsverlauf der Pilotstudie zur Station "Strahlensätze" ................. 27
Abbildung 19: Beispiel für ein Testitem ................................................................................... 30
Abbildung 20: Anteil der Schüler nach erzieltem Ergebnis (Mittelwert über die Itemgruppen)
im Vortest ................................................................................................................................. 33
Abbildung 21: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als positiv
wahrgenommen wurden .......................................................................................................... 35
Abbildung 22: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als eher
negativ wahrgenommen wurden ............................................................................................. 36
Abbildung 23: Häufigkeit von Verbesserungsvorschlägen, um die Laborstation oder –arbeit
für die Schüler ansprechender zu gestalten ............................................................................ 37
Abbildung 24: Verteilung an durch die Schüler vergebenen Schulnoten für das Gefallen der
Laborstation ............................................................................................................................. 38
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 75
Abbildung 25: Aufbau der Station "Jakobsstab & Co." ............................................................ 44
Abbildung 26: Materialabbildung mit Jakobsstab und den ähnlichen Dreiecken aus Pappe zu
Aufgabe 1 ................................................................................................................................. 45
Abbildung 27: Simulation 1 der Station "Jakobsstab & Co." ................................................... 45
Abbildung 28: Auftrag zur Lernkontrolle an entscheidenden Ergebnissen im Heft
"Gruppenergebnisse" ............................................................................................................... 46
Abbildung 29: Skizze im Heft "Gruppenergebnisse" zur Mathematisierung der Messung mit
dem Jakobsstab ........................................................................................................................ 47
Abbildung 30: Foto zum Daumensprung auf der Stationshomepage ..................................... 48
Abbildung 31: Skizze zum Daumensprung aus der Vogelperspektive ..................................... 48
Abbildung 32: Simulation zur Erkundung der X-Figur bei einer Messung mit dem
Daumensprung ......................................................................................................................... 49
Abbildung 33: Möglichkeit der Transformation der X-Figur in die bekannte Strahlensatzfigur
in Simulation 5 .......................................................................................................................... 50
Abbildung 34: Skizze zur Messsituation beim Daumensprung im Heft Gruppenergebnisse .. 51
Abbildung 35: Abbildung zur gestellten optionalen Übung (Aufgabe 10) .............................. 51
Abbildung 36: Ablaufdiagramm zur zweiten Phase des Projekts "SiMaL" .............................. 53
Abbildung 37: Item der Itemgruppe "Vorwissen Ähnlichkeit" mit direktem Bezug zur
bevorstehenden Laborarbeit ................................................................................................... 55
Abbildung 38: Item zur Problemlösekompetenz in realen Messsituationen unter
Zuhilfenahme der Strahlensätze .............................................................................................. 57
Abbildung 39: Messung der Schulgebäudehöhe am Gymnasium Weierhof am Donnersberg
mit dem Jakobsstab .................................................................................................................. 62
Abbildung 40: Erzielte Mittelwerte der Labor- und Kontrollgruppe bei den Items der
Itemgruppe "Strahlensätze" in Nach- und Follow-up-Test ...................................................... 64
Abbildung 41: Erzielte Werte der Labor- und Kontrollgruppe beim Item "Reale
Messsituation" in Nach- und Follow-up-Test ........................................................................... 65
Abbildung 42: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als positiv
wahrgenommen wurden .......................................................................................................... 67
Abbildung 43: Häufigkeit von Eigenschaften der Laborstation oder –arbeit, die als negativ
wahrgenommen wurden .......................................................................................................... 68
Abbildung 44: Häufigkeit von Verbesserungsvorschlägen, um die Laborstation oder –arbeit
für die Schüler ansprechender zu gestalten ............................................................................ 69
Abbildung 45: Verteilung an durch die Schüler vergebenen Schulnoten für das Gefallen der
Laborstation ............................................................................................................................. 70
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
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Tabellenverzeichnis
Tabelle 1:Übersicht über den Aufbau des Vortest zur Station "Strahlensätze" ...................... 28
Tabelle 2: Übersicht über den Aufbau des Nachtests zur Station "Strahlensätze" ................. 30
Tabelle 3: Übersicht über den Aufbau des Vortests zur Station "Jakobsstab & Co." .............. 55
Tabelle 4: Übersicht über den Aufbau des Nachtests zur Station "Jakobsstab & Co." ........... 57
Tabelle 5: Übersicht über den Aufbau des Follow-up-Tests zur Station "Jakobsstab & Co." .. 59
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
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Weitere, zum Überblick verwendete Literatur
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Kompetenzen, Kompetenzmodelle, Kompetenzentwicklung. Gesellschaft für Didaktik der
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Sekundarstufe I. Methodische Grundlagen, Testkonstruktion und Testentwicklung.
Hildesheim/Berlin: Franzbecker.
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II. 5. Auflage. Berlin: Cornelsen Scriptor.
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Berlin: Cornelsen Scriptor.
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Spektrum Akademischer Verlag.
Empirische Untersuchung zur Wirksamkeit einer optimierten Station des Mathematik-Labors
Seite 82
Anlagen
1) Arbeitshefte der Station „Strahlensätze“
2) Arbeitshefte und Gruppenergebnisheft der Station „Jakobsstab & Co.“
3) Übersicht über die einzelnen Items des Vor- und Nachtests zur Station
„Strahlensätze“
4) Übersicht über die einzelnen Items des Vor-, Nach- und Follow-up-Tests zur Station
„Jakobsstab & Co.“
5) CD-Rom
Inhalte:
a. Arbeits- und Hilfehefte sowie Simulationen zur Station „Strahlensätze“
b. Vollständige Homepage zur Station „Strahlensätze“
c. Erhobene Daten, Parallelisierung der untersuchten Gruppen und Auswertung
der Befragungen in Form von Excel-Tabellen
d. Arbeits- und Hilfehefte, Heft Gruppenergebnisse und Simulationen zur Station
„Jakobsstab & Co.“
e. Vollständige Homepage zur Station „Jakobsstab & Co.“
f. Zeitungsartikel der Zeitung „Die Rheinpfalz“ zum Projekt „SiMaL“ am
Gymnasium Weierhof
g. Erhobene Daten, Parallelisierung der untersuchten Gruppen und Auswertung
der Befragungen in Form von Excel
h. Master-Thesis mit Anlagen in digitaler Form
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