f(x)ecm+i[a.~]. - link.springer.com978-3-322-80158-6/1.pdf · uas polynom (3) heist...
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-442-
Anhang
Uber numerische Methoden.
AI: Interpolatorische Quadratur
In diesem ersten Abschnitt sol len die AusfUhrungen des Abschnittes 9.6. Uber
numerische Integration erganzt und vertieft werden. Eine prinzipielle I1!thode. numerische Integrationsverfahren zu konstruieren. besteht darin. den Integranden (stUckweise) durch geeignete Polynome zu ersetzen. diese zu integrieren und aas Resultat als Naherung fUr das gesuchte Integral zu nehmen. Urn dies genauer zu beschreiben. befassen wir uns zunachst mit der Polynom-Interpolation.
Es seien t .tI •...• t e[a.~]cR sogenannte StUtzstellen in einem Intervall [a.~]. o m Ferner sei f(x) : [a.~] .. lR eine gegebene Funktion. Gesucht ist ein Polynom
P m(x) von maximalem Grade m. welches an den m+I StUtzstellen die zugehorigen Funktionswerte (StUtzwerte) annimmt:
Nun gilt folgender Satz:
Satz Al.I: Es existiert genau ein Polynom Pm(x) von maximalem Grade m. das die Interpolationsaufgabe (1) lost. 1st ferner f(x)eCm+I[a.~]. dann existiert zu jedem
xe[a.~] eine Stelle ~(x)e[a.~] mit m n (x-tk)
(2) f(x)-Pm(x) = k=o 'f(m+I)(~(x)) . (m+l)!
Bewei s:
Wir geben ein Polynom an. das (1) erfUllt:
(3) m m x-tk
P(x):= rf.·n t="t. m j=o J k=o j k
k*j
Sei Qm(x) ein wei teres Polynom mit maximalem Grade m. das (1) erfUllt. Dann hat das Polynom Rm(x) := Pm(x)-Qm(x) ebenfalls hochstens den Grad m. besitzt aber aie m+I Nullstellen to •...• tm. Also ist Pm(x) '" Qm(x). Es bleibt noch (2) zu zeigen: FUr x = t k• k = O •...• m ist (2) trivialerweise erfUllt. Nun sei x * tk
-443-
(k = O, ... ,m) beliebig, fest gewahlt. Wir definieren die Zahl m -1
c := (f(x)-P (x))· (n(x-t k)) sowie die Funktion m 0
m F(t) := f(t)-P (t)-c.n(t-tk) .
m 0
Es ist F(t)€Cm+1[a,~1, und F(t) besitzt die m+2 Nullstellen x,to'" .,tm. Also hat F(m+1)(t) mindestens eine Nullstelle ~(x)€ [a,~l. Dies folgt durch mehrfache
Anwendung des Mittelwertsatzes (vgl. (1), Abschn. 6.3). Differenziert man nun den Ausdruck fUr F(t) m+1 mal und setzt dann t = ~(x) ein, so ergibt sich (2) .
• Uas Polynom (3) heiSt Interpolationspolynom von fIx) zu den StUtzstellen
to"'" tm·
Wir wenden uns nun den Integrationsverfahren zu, mit den en man Integrale der
Form
[3 ( 4 ) f f (x) dx =: I (f)
a
naherungsweise berechnet. Wahlt man die StUtzstellen aquidistant, spricht man
von den Newton-Cotes-Formeln, die jetzt hergeleitet werden sollen. Es sei
(Sa) tk = a+k'h, k = O,l, ... ,m; h = [3~a
FUr das Interpolationspolynom ergibt sich wegen (3):
m (5b) P (x) = L f.·l·(x)
m j=o J J
m x-t mit lj(x) = k~O tj-~k
k*j
i~un wi rd (4) approximiert durch die Quadraturfonnel
[3 m [3 m (6 ) I (f) := fP (x)dx = L f··fl.(x)dx =: h· L y.f.
m a m j=o J a J j=o J J
Zur Berechnung der Gewichte Yj benutzen wir die Substitution
x = a+h's , ° ~ s ~ m
und erhalten
-444-
(7) 1 a m m s-k
Yj = h .!Lj(X)dX = ~ k~O J=k ds, j = D, ... ,m .
k*j
Hieraus sieht man: Die Gewichte YO' ... 'Ym sind von f(x) und [a,a] unabhangige rationale Zahlen; sie sind daher in einschlagigen Formelsammlungen tabelliert. Dhne Beweis geben wir eine Formel fUr den Quadraturfehler
an: FUr f(x)eCm+2[a,a] und geeignete Zwischenstellen ~€(a,B) gilt:
hm+3 m m ( +2) ~ .Jt·n(t-j)dt·f m (~) fUr m gerade , \m+<'I' 0 0
m+2 m m ~ .J n (t-j)dt.f(m+1)(~) fUr m ungerade \mT"I' 0 0
Oie Gewichte sowie die Fehler sind fUr einige m in folgender Tabelle angegeben:
:~ m J 0 1 2 3 4 -Em(f) Name
1 1 .!. TI-f(~)(~).h3 Trapez-Regel I 2
2 1 4 1 ~f( 4) (~) .h5 Simpson-Regel "3 "3 "3
3 3 9 9 3 ~f(4)(~).h5 3 1r '8 '8 '8 '8 -Regel
4 14 64 24 64 14 -.J!f( 6) (~) . h 7 Ni 1 ne- Rege 1 45 45 45 45 45 945
Bei kleinen Intervall-Breiten ~-« und nicht zu groBem m fUhren die NewtonCotes-Formeln i.a. zu brauchbaren Ergebnissen, liefern aber leider fUr groBere Integrationsintervalle oft schlechte Naherungen, die bei einer Steigerung des Interpolationsgrades m haufig noch schlechter werden. Bei aquidistanten StUtzstellen ist also eine Steigerung von m nicht der richtige Weg, und es liegt daher folgende Vorgehensweise nahe: Sei [a,b] das Integrationsintervall. Man zerlegt nun [a,b] in n Teilintervalle der Lange H = b~a, wendet die Newton-Cotes-Formeln einzeln auf diese Teilinter-
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valle an und summiert anschlieBend die Naherungsformeln auf; man setzt also
b-a N := m·n, h := N' sowie
a+h·k k = 0, ... ,N j = O, ... ,n
Xo xl x2 x3 x6 Xg x12 x15 a I I I I I , ' b
Yo Y1 Y2 Y3 Y4 Y5
m = 3 , n = 5
b n-1 Y'+l Wegen I(f) = Jf(x)dx = L fJ f(x)dx erhalten wir jetzt die summierten Newton-
a j=o Yj
Cotes-Formeln in folgender Form:
(j+1 )m
(9 )
~ Yk·f(x k) k=Jm
k = 0, ... ,m ; j = 0, ... , n-1 .
Obung: Mit Hilfe von Formel (8) leite man die folgende Darstellung fUr den
~ummierten) Fehler
R~m) (f) : = I ( f)- SI~ m) ( f)
her: r'2 )'-'i ' t.~(t-j)dt'f(m+2)(~) fUr m gerade , R(m) (f)
= m· (m+ )! ~ 0
N hm+1. (b-a) m m
m.(m+1)! J n (t-j)dt.f(m+1)(~) fUr m ungerade 0 0
Wir geben zum AbschluB die summierte Trapezregel (m = 1) sowie die summierte
Simpson-Regel (m = 2) mit ihren Fehlerdarstellungen an:
( lOa) b h n-1 h2.(b-a) (2) ff(x)dx ="2 . L (f(x k)+f(xk+1))- 12 ·f (~) a k=o
(lOb) b h n-1 h4.(b-a) (4) Jf(x)dx = 3" . L (f(x2k)+4f(x2k+1)+f(x2k+2))- 180 ·f (~). a k=o
Db ungen:
1. ~Ii t der Formel (7) berechne man die in der Tabelle angegebenen Gewichte
Yo'" "Ym fUr m = 1,2,3,4 .
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2. Man leite die Fehlerdarstellung fUr die Trapezregel (also (8) fUr m = 1) her, indem man (2) sowie den Mittelwertsatz der Integralrechnung (Satz 2.1. Abschn. 9.2) verwendet.
A2: Iterative Losung linearer Gleichungssysteme
Als Erganzung zu Kapitel 10 sollen hier kurz Iterationsverfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme behandelt werden; sie sind in speziellen Fallen den direkten Verfahren (vgl. GauB-Elimination in Abschnitt 10.5) vorzuziehen, z.B. bei sehr groBen Systemen mit schwach besetzten Koeffizientenmatrizen, moglicherweise noch mit unregelmaBiger Struktur. In solchen Fallen namlich hat man bei Iterationsverfahren wesentlich weniger Schwierigkeiten mit Speicherplatzproblemen in den e1ektronischen Rechenanlagen. Ein Iterationsverfahren besteht in der Wahl eines Startvektors x(o) und der rekursiven Erzeugung einer Folge von Vektoren x(v), v = 1,2,3, ...• die (komponentenweise) gegen die gesuchte Losung xilt konvergiert:
( 1) { lim x~v) = x~ fUr i 1, ...• n v-
. Iv) (v) (v) T xli mltX' =(x1 , ... ,xn ),
Mit A = (aik)n,n' b (bl"" .bn)T sei das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:
(2) A'x = b, DetA * 0 •
des sen (eindeutig bestimmte) Losung mit xli bezeichnet sei. Wir spalten A auf:
(3) A = N-P, N,Pt:R (n,n). DetN * 0 •
wobei wir anstreben wollen, daB N eine moglichst einfache Struktur hat. Wir definieren nun M := N- 1.P. d := N- 1.b und konnen dann (2) in der aquivalenten Form schreiben:
(2ilt) X = M'x+d .
Ausgehend von einem Startvektor x(o) bilden wir nun die Vektorfolge:
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( 4 ) x ( v) = M. x ( v- 1 ) +d, v = l, 2, . .. .
Konvergiert die Vektorfolge (4) komponentenweise, dann ist der Grenzvektor die
gesuchte Uisung von (2); in diesem Falle schreiben wir:
(5) lim x(v) x* = A-l.b . v--
lJie ~'l!trix Min (2*) bzw. (4) wird die Iterationsmatrix des Verfahrens genannt. Wir wollen jetzt die Frage untersuchen, unter welchen Bedingungen die Iteration
(4) konvergiert. Sind Al , A2, ... ,An€[ die Eigenwerte von M, dann nennen wir die
Zahl
(6) p (M) : = max I A. I l~i~n 1
den Spektralradius der Matrix M. Man kann nun beweisen, daB die Folge der Potenzen M", v = 1,2,3, ... (elementweise) gegen die Nullmatrix konvergiert genau dann
wenn p(M)<1 ist:
(7) p(M) < 1 .. limMv = 0 . v-
Den Beweis von (7) mUssen wir hier Ubergehen. Nun gilt
Satz A2.1: Oas Iterationsverfahren (4) zur Losung von (2) konvergiert fUr jeden Startvektor x(o)€:R n genau dann, wenn p( M)<1 ist.
Bewei s:
Es sei e(v) := x(V)_x*, v = 1,2, ... die Folge der Fehlervektoren. Setzen wir in
(2*) den Losungsvektor x* ein und subtrahieren diese Gleichung von (4), dann folgt:
(8a) e (v) M· e (v-l) , v = 1, 2, ...
bzw. (8b) e(v) MV.e(o), v = 1,2, ....
GrenzUbergang v- und Benutzung von (7) liefert die eine Richtung der Aussage. - 1st andererseits e(o) ein Eigenvektor zum betragsmaBig groBten Eigenwert von M, dann kann im Falle p(M) ~ 1 die Folge e(v) nicht gegen Null konvergieren .•
-44S-
Di e Bestimmung des Spektra 1 radi us is t in der Praxi soft mUhsam; wi r wollen daher eine sogenannte Norm der Iterationsmatrix M einfUhren (i .Z. II MID, die leicht auszurechnen ist, und die uns ein hinreichendes Konvergenzkriterium liefert. Mit M = (m'k) setzen wir:
1 n,n
n (9a) t t Mt I : = max 1: 1m. k I .
l~d~n k=l 1
Ferner wollen wir auch fUr Vektoren x = (X1, ... ,Xn)T schreiben:
(9b) II xii : = max I x ,I . 1fifn 1
Der Leser beweise als Obung die folgenden Ungleichungen:
(10) II Mxll :; II Mil ,11 xII •
(11) p(M) :; II Mil. p(M) ~ II MTII
Hinweis zu (11): Man gehe aus von einer Eigenwertgleichung Mx = AX mit I Ixl I = 1 und benutze auBerdem. daB M und MT die gleichen Eigenwerte haben. Nun folgt
Satz A2.2: Oas Iterationsverfahren (4) zur Losung von (2) konvergiert fUr jeden Startvektor x(o)€lR n, falls II Mil <1 oder II MTII <1 gilt. Ferner gelten fUr die Fehlervektoren die Ungleichungen:
Beweis: ergibt sich unmittelbar aus (Sa) und (10). • Wir betrachten nun zwei wichtige Iterationsverfahren, die man aus dem Ansatz (3) gewinnen kann. Dazu nehmen wir an. daB alle Diagonalelemente von A von Null verschieden sind: aii * O. i = 1, ...• n .
a) Das Gesamtschritt- oder Jacobi-Verfahren: Wi r wahlen
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also die Oiagonale von A. Es gilt also fUr die Iterationsmatrix
(13b)
und fUr die Komponenten der Iterationsvektoren x(v) erhalten wir aus (4):
(Bc) x(v) = _1_ .(b.- ~ a . .. x(v-l) 1 aii 1 j=1 lJ J
j*i
fUri=l, ... ,n
v = 1,2, .. .
b) Oas Einzelschritt- oder GauI3-Seidel-Verfahren:
Wi r wahlen
(14a) 11
Hieraus erhalten wir fUr die Iterationsmatrix:
(14b)
und fUr die Komponenten der Iterationsvektoren x(v) ergibt sich aus (4):
(14c) (v) __ 1_ _ i-I (vt n (v-I)
xi - (b . 1: a· . x . 1: a·· x . ) fU r i = 1, ... , n aii 1 j=l lJ J j=i+l lJ J v = 1,2, .. .
Beispiel:
Die Losung von (2) ist x* = (1,2,3)T.
Die Iterationen sollen mit x(o) = (O,O,O)T gestartet werden, und es soll vierma 1 iteri ert werden.
-450-
a) Anwendung des Gesamtschrittverfahrens. Mit (13c) ergibt sich:
,i 1) • r~·~·\. ,i 2)
\~,3 ... ) Ferner rechnet man aus:
~ '6 ... ) (O,S ... ) (0,911" ... ) - (3)_ (4)_ 1,6 ... , x - 1,81 ... , x - 1,911"... .
2,6... 2,S ... 2,911" ...
MGeO ~ :fC : 0 0; D Es ergi b t s i ch also II e (v) II ; ~ .11 e (v-I) II . Wir geben zur Kontrolle die Fehler und deren Quotienten in einer kleinen Tabelle an:
v lIe(v)1I II e ( v ) II . II e ( v- 1 ) 11- 1
° 3
1 0,3 ...
2 0,3 ... 0,3 ...
3 0,16 ... 0,5
4 0,05 ... 0,3 ...
b) Anwendung des Einzelschrittverfahrens. Mit (l4c) ergibt sich:
~'694 ... ) ~.9490 ... ) (0.9915.). - (3)_ (4)_ 1.8472... , x - 1.9745... , x - 1.9957 ...
2.949... 2.9915... 2.9985 ..
Ferner rechnet man aus:
so daB man erhalt:
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Die Tabelle aer Fehler und deren Quotienten sieht jetzt so aus:
v
0
0,916 ... 0.305 ...
2 0.305 ... 0,3 ...
3 0,0509 ... 0,166 ...
4 0,0085 ... 0,166 ...
In diesem Beispiel konvergiert also das Einzelschrittverfahren etwas schneller,
als das Gesamtschrittverfahren.
A3: Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Die einfachste iterative Methode zur Berechnung eines betragsgroBten Eigenwertes
mit zugehorigem Eigenvektor ist das Verfahren von v. Mises:
FUr Y = (Y1' ...• yn)T€Rn fUhren wir die folgende Norm ein:
II y II = max I y·1 . l~i~n 1
1st nun A€lI~ (n.n) gegeben, dann lautet das Verfahren:
{a) Man wahle x(o)€R n mit II x(o) II = 1,
(1) b) Man bilde fUr v = 0,1,2, ... die Folge: x(v+l) = 1 .Ax(v)
IIAx(v) II .
~il.n sieht, daB die Vektorfolge {x(v)} normiert ist, d.h. es gilt Ilx(v)11 = 1
fUr v = 0,1, .... Die Renormierung sollte in der Praxis unbedingt durchgefUhrt
werden, urn die Erzeugung extrem groBer bzw. kleiner Komponenten zu vermeiden. Nun gil t
Satz A3.1: Sei A€R ( n. n) di agona 1 ahnl i ch und es gebe genau ei nen betragsgroBten Ei genwert
Al von A. Falls dann der Startvektor x(o) geeignet gewahlt wird, dann gilt fUr die in (1) definierte Iteration:
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(2a) a) A·x{v) = A1'x{v)+£{v) mit lim £(v) = 0 ,
(2b)
Hi erbei
v-
b) Es existiert ein Index k so, daB gilt:
(v+l) limIIAx{v)II' ~ = Al . v- XIV}
k
ist x~v) die Komponente Nr. k des Vektors x(v). • Der Satz besagt also, daB die Vektorfolge {x(v)} eine Eigenrichtung zu Al immer
besser approximiert, und daB die Zahlenfolge auf der linken Seite von (2b) gegen
den Eigenwert Al konvergiert.
Beispiel: Gesucht ist der groBte Eigenwert Al und ein zugehoriger Eigenvektor x der Matrix
A = C~ I~J' Wir starten mit x{o) (1,O)T und erhalten fur v = 0:
A'x(o) = C~~ IIA.x(o)11 = 10, also nach (1):
x ( 1) = --.!. . (10) = ( 1) 10 -4 ~-0.4
v = 1: A.x{l) = (~:~)~ IIA'x(1)11 = 9.6, also:
x(2) = 9 :6 .c:::) ~ C~.4792)' v = 2: A'x(2) ~ (~:~in .. IIA.x(2)11 ~ 9.521, also:
(3). 1 (9.521) ( 1 ) x "" 9.521' -4.719 ~ -0.4956
Wahlen wir in (2b) k = 1, dann hat man in den Zahlen IIA'x(v)11 Naherungen fur Al und in den Vektoren x(v) Naherungen fUr eine zu Al gehorige Eigenrichtung.
Anmerkung: Es gilt exakt: Al = 9.5, sowie x = (1,-0.5)T .
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A4: Verfahren vom Runge-Kutta-Typ zur numerischen Losung gewohnlicher
Differentialgleichungen
Viele in der Praxis auftretende Anfangswertprobleme sind nicht elementar inte
grierbar, so daB man auf Naherungsverfahren angewiesen ist. Da die AusfUhrungen
Uber Differenzenverfahren in Teil III, Abschn. 15.5 nur sehr knapp gehalten
sind, sollen hier einige wichtige Erganzungen gebracht werden.
Wir gehen aus von einem Anfangswertproblem der Form
( 1 )
J y' (x) f(x,y(x)),
ly(a)=yo'
x€[a,b]
zerlegen das Intervall [a,b] in N Teilintervalle der Lange 6X durch die StUtz
stellen
(2 ) a+j·6x 0,1, ... ,N ; b-a 6X = N
und erhalten durch Integration von (1) das folgende System von Integralglei
chungen:
j = 0,1, ... ,N-1 .
Der Grundgedanke ist nun der, das Integral auf der rechten Seite in geeigneter
Weise durch interpolatorische Quadratur zu approximieren (vgl. AI). Man erhalt so einen numerischen Algorithmus zur naherungsweisen Berechnung der Losung
y(x) in den StUtzstellen xo' ... ,xN. Dabei wird die Naherung i .a. umso besser
sein, je kleiner 6X gewahlt wird.
WCihlt man den Interpolationsgrad m und setzt h := 6~ , dann erhCilt man als
Approximation der Gleichung Nr. j in (1*) mittels der Formel (6), Abschnitt Al
die folgende Beziehung
m (3 ) y(x. 1) ~ y(x.)+h· E y.·f(x.+ih, y(x.+ih))
J+ J i =0 1 J J
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Unser Ziel ist es, explizite Formeln herzuleiten. Da aber nun die Werte von
f(·,·) nur fUr i = 0 bekannt sind, muB man Y(Xj+i.h) fUr i > 0 in geeigneter
Weise entwickeln. Eine Ausnahme bildet das bereits in Abschn. 15.5 behandelte Polygonzugverfahren:
das darauf beruht, daB man den Integranden durch eine Konstante (Interpolations
grad m = 0) ersetzt. Dabei haben wir in (4a) statt y(xj ) uj gesetzt, da ja die i~aherungswerte i .a. von den exakten Funktionswerten etwas abweichen werden.
FUr m = 1 ersetzen wir y(xj+h) durch den 8eginn der Taylor-Entwicklung: y(Xj)+h.f(xj,y(xj )) und erhalten die Trapezregel:
(4b) {
u = y o 0 /:,X
u. 1 = u.+ --;y ·[f(x.,u.)+f(x.MX,U.+/:,x·f(x.,u.))J, J+ J L J J J J J J
j = 0, ... ,N-1 .
Uer Fall m = 2 (Simpson-Regel) liefert ein sehr viel genaueres und in der Praxis gern benutztes Verfahren, das sogen. klassische Runge-Kutta-Verfahren: Ausgehend von der Formel
~+1 ~ ~ ~ f f(x ,y(x) )dx "" 6" [f(xJ. ,y(x .) )+4· f(x.+ 2'y(xJ.+ 2))+ x. J J
J
erhiilt man durch geeignete Entwicklungen den Algorithmus
uo;= Yo • FUr j = 0, ... ,N-1 bilde man
/:'x uj +1:= uj + 6" . (k1+2k2+2k 3+k4)
(4c) mit
k1 .- f(xj,u j ) , /:'x /:'x
k2 .- f(x j + 2 ' u/ 2 k1)
k4 .- f(X j MX,U/Mk 3) .
-455-
Weitere Formeln fUr m> 2 wollen wir hier nicht mehr diskutieren.
Die eben diskutierten numerischen Verfahren (4a) bis (4c) lassen sich allgemein
schreiben in der Form:
wobei ~(.) die Verfahrensfunktion heiSt. Setzt man hier die exakten Losungswerte
Y(Xj) ein, dann wird die rechte Seite natUrlich nicht mehr exakt Null sein. Wir
nennen
(5)
den lokalen Abschneidefehler des Verfahrens an der StUtzstelle xj . Er ist ein
MaS dafUr, wie gut das numerische Verfahren das exakte Problem (1) annahert.
Falls gilt
dann nennt man das Verfahren konsistent von der Ordnung p. Es gilt
a) Das Polygonzugverfahren (4a) ist konsistent von der Ordnung 1,
b) die Trapezregel (4b) ist konsistent von der Ordnung 2,
c) das Runge-Kutta-Verfahren (4c) ist konsistent von der Ordnung 4.
Beispiel:
Das Anfangswertproblem
y' (x) = l+/(x) , X€[O,ll y(O) = 0
hat die Losung y(x) = tg x.
Wirwollen die drei Differenzenverfahren (4a), (4b), (4c) fUr D.X =i, also N = 2 testen. ~t Uo = 0 ergeben sich fUr j = 0,1 nacheinander die Formeln:
1 2 122 uj + 4(2+u j +(u j + 2 (l+u j )) )
mit 2 k1 .- l+u j ,
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In der folgenden kleinen Tabelle sind neb en den exakten Werten be; xl = i und x2 = 1 die jeweiligen Naherungen sowie die Fehler ej = y(xj)-uj angegeben:
Polygonzu verfahren Trapezregel ~unge-~utta-Vertanren
j y(xj ) uj ej uj ej uj ej 11 0.5463 ... 0.5 U.046 ... U.5625 -0.016 ... U_. 546u ... 0.0003 ...
2 1. 5574 ... 1.125 ... 0.43 ... 1. 5141 0.043 ... 1. 5546 ... 0.0028 ...
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Verzeichnis der Symbo1e und AbkUrzungen
Symbole Symbole !N, !N o,2 , 0) , IR, (t 1, 2, 4t x(t) 197 ->, < , < > 4 af
fX=:il( 210
1'1, 1'1 4, 32 \If = aradf D .. f 215 {, .. ), e, C , t,¢,V,fl,\ 6 a(x,y",. ) 218 a\u v, .. l: 7 anf n!, II
f xx' a;(IT 221 9
(" ) 10 L\U = U +u +u 222
~ - Nu11punkt des IR 27 xx yy zz
... (Uber einem Buchstaben) 30 fJ, fff 234, 240
... G G ei , e; 32, 36 V·W, vxw 32, 37 ~, ~, #> 251, 253, 275
1: (u,v) 33 div, grad, rot 262, 263 [u,v,wl 40 'V, V·, \/x 263 i = A~ 45 f(a+), f(a-) 362
argz, z 47 48 G G aG ,QA
[ ], ( ), [ ), ( 1 54 Res f(z) 409 inf, sup <;4
Zo
lim 56 (p,q) bezeichnet den groBten gemeinsamen a ... b ... (Zuordnungssymbo1) 62 Tei1er von p und q fUr
-> (strebt gegen) 209 p€ 7L , qe~
-> (strebt gleichmaBig gegen) qlp bedeutet: q tei1t p fUr glm 97 pe 7l , qe~
fog hh . _{+1' falls a ~ 0 L\X, dx, L\f, df, f' df 69 51 9 a - -1, falls , Ox a < 0 f", f(n) 79 lim sup = nm 92 IR+ 101
Ib f , f 124, 125 a
IR n 151, 152 ( .. ,)T AT A* 152, 160 IR (m,n), (t(m,n) 159
dim 153
rgA, DetA = I * I 166, 167
Aadj. SpA = SpurA 171, 183
-458-
Wir erklaren noch die folgenden, im Text auftretenden Symbole und AbkUrzungen:
x := y
x ~ y
x ~ y
x « y
x » y
f " 9 -# bzw. 4· max M
min M exp(x)
Ogl. bzw. Ogl n
FS
RWP
x ist definitionsgemaB gleich y
x ist ungefahr gleich y x ist proportional y
x ist sehr viel kleiner als y
x ist sehr viel groBer als y
Funktion fist identisch gleich 9
Normalen- bzw. Tangentenvektor supM, falls supMeM infM, falls infMeM eX
Oifferentialgleichung bzw. Oifferentialgleichungen
Fundamental system
Randwertproblem
Ein Stern unter dem Integralzeichen: f* bezeichnet einen Integranden, des sen
Gestalt aus dem Zusammenhang im Text eindeutig klar hervorgeht.
Ab Kapitel 10 werden die Vektoren nicht mehr durch Pfeile gekennzeichnet. Ausnahmen werden in Abschnitt 16.5 und stellenweise in Abschnitt 20.2 gemacht.
Mit en [a,b] bzw. en(G) wird die Menge aller auf [a,b] bzw. G definierten Funktionen bezeichnet, die dort stetige Ableitungen bzw. stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung n besitzen.
LIT ERA T U R
a) Allgemeine Literatur [1] B1ickensdorfer-Eh1ers; Eschmann; Neunzert; Sche1skes: Mathematik fUr Physi
ker und Ingenieure (2 Bde). Springer 1980/82.
[2] Brauch, W.; Dreyer, H. J.; Haacke, W.: Mathematik fUr Ingenieure des Ma
schinenbaus und der E1ektrotechnik. Teubner Stuttgart 1977.
[3] Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Hohere Mathematik fUr Ingenieure (4 Bde). Teubner Stuttgart 1985/86.
[4] Hainzl, J.: Mathematik fUr Naturwissenschaft1er. Teubner Stuttgart 1974.
[5] Laugwitz, D.: Ingenieurmathematik (5 Bde). 81 Mannheim Nr. 59-62, 93.
[6] Luh, W.: Mathematik fUr Naturwissenschaft1er (2 Bde). Akadem. Verlagsgesel1sch. Wiesbaden 1978, 1982.
[7] Tietz, H.: EinfUhrung in die Mathematik fUr Ingenieure (2 Bde). Vanden
hoeck u. Ruprecht Gottingen 1979/80.
b)· Nachschl agewerke· und· Aufgabensamml ungen [8] Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. Harri
Deutsch Frankfurt 1981.
[9] Laugwitz, D.; Schmieden, C.: Aufgaben zur 1ngenieurmathematik. B1 Mannheim Nr. 95.
[10] Spiegel, M. R.: Hohere Mathematik fUr Ingenieure und Naturwissenschaft1er. Schaum's Outline, McGraw-Hill 1978.
c) Zusatzliche Literatur
[11] Carrier, G. F.; Pearson, C. E.: Partial Differential Equations. Academic Press 1976.
[12] Collatz, L.: Differentia1g1eichungen. Teubner Stuttgart 1973.
-460-
[13] Janich, K.: Analysis fUr Physiker und Ingenieure. Springer 1983.
[14] Lingenberg, R.: EinfUhrung in die Lineare Algebra. BI Mannheim 1976.
[15] Strang, G.: Linear Algebra and its Applications. Academic Press 1976.
[16] Wylie, C. R.: Advanced Engineering Mathematics. McGraw-Hill 1975.
SACHVERZEICHNIS
A
Abbildung 155
-, konforme 423
-, 1 ineare 155
Abelscher Grenzwertsatz 109, 115
Abhangigkeitsintervall 381
Ab 1 eitung 69
in einer Richtung 214
komplexe 398
partielle 210 Tabelle von 120, 121
tota 1 e 211 Abschneidefehler 455
Ahnlichkeits-Ogl. 289
~hnlichkeitstransformation 185
Alternativsatz 343
Amplitude 355
Anfangswertproblem 299 f ~quipotential-Flachen 270
-, Linien 425
Archimedisches Prinzip 232 Arcus-Funktionen 76 f Area-Funktionen 116 f
B
Bahnbeschleunigung 203
Bahngeschwindigkeit 198
barometrische Hohenformel 103
Basis 153
Bernoulli'sche Ogl. 293
Bernoulli'sche Ungleichung 8
Bessel'sche Ogl. 335
Bessel'sche Ungleichung 361
bestimmtes Integral 124
Bestimmtheitsbereich 381
Betrag einer Zahl 4 bijektiv 156
Bild 156
Binomialkoeffizient 10
Binomische Reihe 107 f
Binomischer Satz 11
Bogenlange 198
Bolzano-WeierstraB 55
Brachystochrone 428, 434
C
Cauchy-Folge 59
Hadamard 92
Integralformeln 418
Integra 1 satz 406
Konvergenzkriterium 59
Produkt 95
- Riemann'sche Dgln 399
Charakteristiken 392
-, der Wellengleichung 381
-, Verfahren 391
charakteristische Gleichung 183
charakteristisches Polynom 183, 324 Cramer'sche Regel 176
o Oefinitionsbereich 62
Determi nante 39, 41, 166
Deviationsmomente 190
Diagonalmatrix 186
Differential, totales 213
Differentialgleichung 280
- ~hnlichkeits 289
- Bernoulli 293
Bessel 335
Cauchy-Riemann 399
ell i pti sche 366 - Euler 375
exakte 296
hyperb 01 i sche 366
lineare 291,318
parabol ische 366
Ri ccati 295
Oifferentialquotient 69
Differenzenquotient 69
Differenzenverfahren 305, 336, 453 f
Oimension 153 ~ .. hl t P bl 279, 368, 372 ul rl C e - ro em 427, 437 tJivergenz 262
Orehimpuls 190
tJreiecksmatrix 186
Dreiecksungleichung 5, 36
Durchbiegung eines Stabes 283
E
Ebenengleichung 42
Eigenfunktion 346
Eigenvektor 183 Eigenwert 183 Eigenwertproblem 182, 346
-, numerische Losung 451 f
Einzelschrittverfahren 449 elementare Funktion 145, 209 elementare Umformung 164 elementar integrierbar 145
Eliminationsverfahren 177, 180
elliptische Dgl. 366
elliptisches Integral 200
Energie-Ell ipsoid 191
Erzeugendensystem 153
Euklidischer Betrag 154
Euklid, Satz von 8
Euler'sche Ogl. 375 Euler'sche Gleichung 432, 433 exakte Ogl. 296
Exponentialfunktion 99, 416 Extremale e. Funktionals 430
Extremum 80, 227
- 462-
F
Faustregel 327
Fermat'sches Prinzip 82
Finite Elemente 438 f
Flachenelement 258
Fl achensa tz 207
Folge 56
Divergenz einer 56
- Grenzwert einer 56
Konvergenz einer 56
- monotone 60
Fourier-Koeffizient 357
-, Polynom 356
-, Reihe 362
freier Fall 282, 312
Frequenz 355
Fundamentalsatz der Analysis 127
-, fUr holomorphe Funktionen 407
-, der Variationsrechnung 431 Fundamentalsystem 319 Funktion 62
antitone 74 - differenzierbare 69
- elementare 209 - gerade 119
- gleichmaBig stetig 64
harmonische 264, 402
'morphe 400
integrierbare 234
- isotone 74
- komplex differenzierbare 398
- konkave 79
- konvexe 79 lipschitzstetige 64, 300
- monotone 75 - partiell differenzierbare 210 - periodische 355
- rationale 63
stetige 64, 209
totaldifferenzierbare 211
ungerade 119 zusammengesetzte 66
Funktional 430
Determi nante 242
kltrix 218
G
r- Funkti on 148
Gauf}- El i mi na ti on 180
Gauf}-Jordan-Elirilination 177
GauB, Satz von 21, 53, 273, 275
Gauf}-Seidel-Verfahren 449 Gebietsintegral 234 f
gedampfte Schwingung 329
Geodati sche 429 Gesamtschritt-Verfahren 448 f -, numerische Losung 446
Geschwindigkeitspotential 403
glatte Funktion 362
-, Fl ache 257
-, Kurve 250 Gleichungssystem 172 f - gestaffeltes 181 -, homogenes 173
-, 1 i neares 172
Gradient 215
Gradientenfeld 254 Graph -einer Funktion 208
Green, Satz von 274
Grundcharakteristiken 395
H
Haufungspunkt 54
Hamilton-Operator 263
harmonische Funktion 264, 402
harmonische Schwingung 329 Hauptminor 183
Hauptteil einer Laurent-Reihe 417
- 463-
Haupttragheitsachsen 192 Hesse'sche Matrix 226
-, Normalform 29,43
holomorph 400
Holomorphiegebiet 400
homogenes Gleichungssystem 173
Horner-Schema 14
Hydrodynamische Gleichung 397
Hyperbelfunktionen 113
hyperbolische Dgl. 366
Infimum 54
inhomogenes Gleichungssystem 173
injektiv 156
Integrabilitatsbedingung 254, 297
Integral 124 -, bestimmtes 124
-, unbestimmtes 125
Integralbasis 319
Integralformeln von Cauchy 418
Integralsatz von Cauchy 406
- GauB 273,' 275 -, Green 274
-, Stoke~ 273, 275 Integration von Potenzreihen 129
Integration, numerische 148
Integrierender Faktor 298 holG
Interpolation 442 f Interpolationspolynom 443
interpolatorische Quadratur 442 I nterva 11 54 invertierbare Matrix 169
Isoklinien einer Dgl. 285
isoperimetrisches Problem 429
Iterationsmatrix 447
Iterationsverfahren 446 f Jacobi-Verfahren 448 f
K
kartesische Koordinaten 24 Kern 156 Kettenlinie 341, 437 Kettenregel 71, 216
kompressibel 396 konform 422 Konsistenz 455 Kontinuitatsgleichung 397 Konvergenz einer Folge 56 -, einer Funktionenfolge 97 -, gleichma6ige 97
Konvergenzbereich 91, 92 Konvergenzkreis 414
Konvergenzradius 92, 414 Koordinatenvektor 193 KrUmmung 201 KrUmmungs-Kreis 202 -, Radius 202 Kugel-Koordinaten 243 Kurve im Raum 197 Kurvenintegral 251 - Hauptsatz 254 - komplexes 404
L
Laplace-uperator 264 Laurent-Reihe 416 Leibn~kriterium 90 L-Hospital, Satz von 85 lineare Abbildung 155
Linearfaktoren 20 lineare Ogl. 291, 313, 318 -, Gleichungen 28, 172 -, Vektorraum 150 linear unabhangig 152, 318 Liouville, Satz von 419 Lipschitz-Bedingung 300 L ipschitz-Konstante 64
-464-
lipschitzstetig 64, 300
Logarithmus 99, 425
M
~~jorantenkriterium 88 Matrix 159 -. adjungierte 170
-, diagonalahnliche 186 - hermitesche 186 - invertierbare 169 - nichtsingulare 169 - orthogonale 186 - pasitiv definite 189 - regul are 169 - symmetrische 186 - transponierte 160 - uni tar~ 186 - Vandermonde'sche 325 - Wronski'sche 318 Matrixnorm 448
~'aximum 80 f, 227 t-t!nge 6 f lIe6fehler 231 M; 1 ne- Rege 1 444
Mi nima lfl achenprob 1 em 429 Minimum 80 f, 227 Mises, Verfahren von 451 Mi ttelwertsatz 77, 223 -, der Integralrechnung 126, 235
~bivre, Formel von 48 Multiplikationssatz fUr Oeterminanten 172
N
Nabla-Operator 263 Neumann-Problem 368 Newton-Cotes Formeln 443 f Newton'sches Potential 270 Newton-Verfahren 22, 83 nichtsingulare Matrix 169
Niveaulinie 208
i~orm einer ~atrix 448
-, eines Vektors 448 Normalenvektor 34, 258
Nullstellensatz 67
- 465-
Taylorentwicklung von 18
- trigonometrische 356
positiv definit 189
Pote~:ial-Funktion 254
-, G1eichung 264
numerische Integration 148, 443 f -, Strbmung 276 numer. Lbsung v. G1eichungssystemen 446f Potenzreihen 91 f
-, von Eigenwertproblemen 451 f
o Oberf1achenintegra1 259
Orthogona1itat 154
-, der Winkelfunktionen 356
orthonormierte Basis 155
Ortsvektor 33
P
parabolische Dgl. 366
Parameterdarste11ung 197
Parseva1 'sche G1eichung 361
partie11e Ab1eitung 210
-, Integration 131
Partia1bruchzer1egung 139 Pasca 1 'sches Orei eck 11
Peano, Satz von 300
Permutation 12
Phasenverschiebung 355
Pivotsuche 180
Poisson-G1eichung 367, 372
-, Integralforme1 379
Pol einer komp1. Funktion 417
Po1arkoordinaten 27, 243
Polygonzugverfahren 306, 336, 454
Po1ynome 14
Division von 16 komplexe 52 f
Nullstellen von 19, 53 ree 11 e 14 f
Differentiation von 97
Identitatssatz fUr 99, 415
komp1exe 413 f
Konvergenz von 92
Tabe11e von 120, 121
Pote~'reihenansatz 302, 335
Produktansatz 347, 374,38r;
Produktintegration 131
Produktrege1 70
Projektion 24, 30
Q
quadratische Form 189
Quudratur, interpo1atorische 442 Quelle einer Strbmung 276
Quotientenkriterium 89, 93 Quotientenregel 70
R
radioaktiver Zerfall 103, 282
rationale Funktion 138
Randmaximumprinzip 378 f Randwertproblem 338
halbhomogenes 342
inhomogenes 342
1ineares 342
Sturm'sches 338
vo11homogenes 342
Rang 166
regulare Matrix 169
Rei he 86 f
absolut konvergente 90
a lterni erende 90
bedingt konvergente 90
- binomische 107
di vergente 87
Fourier 361 f
geometrische 86
harmonische 87
konvergente 87
trigonometrische 355, 361 f
Res i duensatz 410
Residuum 409
Resonanz 330
Restglied 105, 106
Riccati'sche Dgl. 295
Richtungsableitung 214
Richtungsfeld einer Dgl. 285
Ritz-Verfahren 438 f
Rotation 263 Rotationsenergie 191
Rotationskorper 248 Runge-Kutta Verfahren 454 f
S
Saite, schwingende 347
Sattelpunkt 227
Schranke 54
schrittweise Naherung 304 f
Schwerpunkt 190, 246
Schwingungen eines Pendels 283, 328
Senke einer Stromung 276
Simpson-Regel 149, 444"f
Singularitat einer hol. Funktion 409
Skalarprodukt 32, 36, 154 Spaltenrang 164 Spatprodukt 40 Spektralradius e. ~atrix 447
Spur 183
Stab, belasteter 339 f
-466-
Stammfunktion 122
Stationarer Punkt 79, 228
Steti gkei t 64
stetiges Wachs tum 104
Storfunktion 324, 327
Stokes, Satz von 273, 275
Stromfunktion 403
stUckweise glatt 233, 362
StUtzstellen 442
StUtzwerte 442 Substitutionsregeln 135 f, 242
Supremum 54
surjektiv 156
Systeme von linearen Gleichungen 172 f
-, von Dgln 330 f
T
Tangentenvektor 198, 257
Tangentialebene 212 Taylor-Po1ynom 105 -, Rei he 106
Taylor'sche Forme 1 224, 105
Teilfolge 60
Tensor 194 f -, produkt 196
Torus 248
totale Ableitung 211
totales Differential 213
Tr~gheits-El1ipsoid 192
- i10ment 190, 247
Tensor 190
Translationsenergie 191
Trapezregel 149, 444 f
Trennung der Veranderlichen 287 Triangulierung 438, 441
trigonometrische Funktion 25 f, 416
U
Umkehrfunktion 75
unbes ti mmtes Integra 1 125
Untervektorraum 153
V
Vandermonde'sche Matrix 325
Variation der Konstanten 291, 321
Variation, erste 430, 431
Vektor 30, 151
Vektorfeld ('62
Vektornorm 448
Vektorprodukt 37
Vektorraum 150
Verfahrensfunktion 455
W
Warmeleitungsgleichung 370, 385
Wahrscheinlichkeit 13
Wellengleichung 222, 368, 379
Wertebereich 62
Winkelfunktionen 25 f, 416
Wirbel einer Stromung 276
Wronski'sche l'latri x 318
Wurzelkriterium 89, 93
Wurzeln komplexer Zahlen 49 f
Z
Zahl 1 f
imaginare 47
komplexe 45
konjugiert komplexe 48
rationale
ree 11 e 3
Zeilenrang 164
Zentralkraftfeld 206
zusammengesetzte Abbildung 158
Zwischenwertsatz 68
- 467-
Zylinder-Koordinaten 244
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